Método dos Elementos Finitos em Estruturas

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Teoria das Estruturas II Método dos Elementos Finitos
1
Elementos Finitos
I. Estados Planos de Tensão e Deformação.
1. Estática e Cinemática de Peças Laminares
onde bi são as forças do corpo ou ligação (massa, pressão de fundação, etc.) e σ12 = σ21 uma
vez que as componentes das tensões tangenciais, que actuam em duas facetas ortogonais e
são perpendiculares à aresta comum às duas facetas, são iguais e têm sentidos tais que
convergem ambas para a aresta comum ou divergem ambas da mesma. É o que chamamos
de reciprocidade das tensões tangenciais.
Estas equações aplicam-se a estruturas laminares, delgadas e espessas.
CINEMÁTICA
Sabemos que a deformada final de um corpo pode ser representada como a acção
conjunta de deformações puras (extensões e distorções) e movimentos de corpo rígido
(translações e rotações). Assim,
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2
ESTÁTICA
u
u
u
xx
x
x
 0
0
2
2
1
12
2
1
12
22
11
∂=ε⇔

















∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=






ε
ε
ε
NOTA : ε12 é a extensão de corte usada em cálculo tensorial
 γ12 = 2ε12 é a extensão de corte usada em engenharia (também chamada de distorção)
 Teoria das Estruturas II Método dos Elementos Finitos
3
0b 
0
0
b
b
0
0
T
2
1
12
22
11
12
21
=+σ∂⇔





=





+






σ
σ
σ








∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
xx
xx
2. Relações Constitutivas de Elasticidade para Peças Laminares
Como hipótese base, suponha-se que o material é isotrópico, isto é, tem as mesmas
características em todas as direcções e que temos elasticidade linear.
σ=εε=σ C ; D
onde D é a matriz de elasticidade (tensões internas relacionadas com extensões) e C é a
matriz de reciprocidade (extensões relacionadas com tensões internas).
( i ) Estados Planos de Tensão
Consideramos uma estrutura laminar e não vamos considerar tensões na direcção z.
0313233 =σ=σ=σ
Podemos citar como exemplo placas finas que surgem em problemas de Engenharia
de Estruturas.










υ−
υ
υ
υ
=
)1(
2
100
01
01
-1
ED 2
onde υ é o coeficiente de Poisson e E é o módulo de elasticidade.
 Teoria das Estruturas II Método dos Elementos Finitos
4
( ii ) Estados Planos de Deformação
Supõem-se que o material não pode alongar na direcção z.
0313233 =ε=ε=ε
Também aqui, podemos citar como exemplo fundações, barragens, tensões em
túneis e condutas.










υ−
υ−υ
υυ−
υ−υ
=
)21(
2
100
0)1(
0)1(
)21)(-(1
ED
onde, mais uma vez, υ é o coeficiente de Poisson e E é o módulo de elasticidade.
Até agora convertemos deslocamentos em extensões (cinemática), extensões em
tensões (relações constitutivas) e as tensões em forças (estática).Há a necessidade de passar
do contínuo para uma discretização finita (aproximada), para o que se tem de definir o
modelo de aproximação a adoptar.
3. Modelos de Aproximação
O modelo mais simples é o correspondente à interpolação linear, no qual o
polinómio é definido por dois pontos.
Os valores da função f(x) para x compreendido entre x1 e x2 são aproximados para,
f(x) = φ1(x)f1 + φ2(x)f2
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5
FUNÇÕES BÁSICAS
ξ1 + ξ2 = 1
Neste caso, podemos introduzir um sistema de coordenadas homogéneas, ξ1 e ξ2.
Caso φ2(x) = 0,
Caso φ1(x) = 0,
Como vamos considerar uma única coordenada dentro do intervalo,
φ1(x) = ξ1 ; φ2(x) = ξ2
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6
Para o modelo linear o polinómio tem uma forma característica muito simples,
relacionando as coordenadas do sistema.
Num modelo de interpolação quadrático seriam necessários três pontos para definir
o polinómio. Caso fosse expresso em termos das coordenadas homogéneas, verificar-se-ia
que era quadrático em termos de ξi.
Vamos supor que a deformada de cada elemento pode ser representada por um
polinómio do 3º grau. Já sabemos que quando se consideram os efeitos das cargas axiais
esta deformada não é uma aproximação correcta.
Além disso, vamos ter necessidade de efectuar interpolações na função f(x) dado
que só a conhecemos em alguns pontos específicos e pretendemos prever qual o seu valor
noutros pontos.
No caso da aproximação por um polinómio de 2º grau, poder-se-ia passar uma
parábola por três pontos.
Quando não for possível calcular os integrais através das expressões analíticas
podem utilizar-se métodos numéricos como, por exemplo, a quadratura de Gauss, que exige
a integração numérica de pontos interiores.
 Teoria das Estruturas II Método dos Elementos Finitos
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Se além dos valores das funções em dois pontos, também poderíamos determinar os
valores das derivadas nesses pontos, vamos ter quatro elementos para definir um modelo
cúbico.
Neste capítulo, o estudo de estruturas laminares sujeitas a estados planos será feito
de uma forma analógica à do comportamento das vigas à flexão :
• O intervalo de variação da função corresponde a cada elemento ou
membro;
• Os pontos vão significar os nós ou extremidades das barras da descrição
considerada.
4. Aplicação aos Elementos Planos
Numa placa em lugar de se considerar apenas um eixo, tal como no estudo de peças
lineares, vamos ter uma área. Considera-se que os deslocamentos do elemento se verificam
no próprio plano.
Neste caso em lugar de uma abcissa temos duas coordenadas que tem de ser
representadas no espaço.
 Teoria das Estruturas II Método dos Elementos Finitos
8
Se a figura geométrica a considerar for um triângulo ou um quadrilátero em que os
nós correspondem aos vértices, depois do carregamento os nós deslocam-se para uma nova
posição. No modelo de interpolação linear os lados mantém-se rectos e a matriz B é linear.
No modelo de deformação quadrático, tudo se vai passar do mesmo modo. Agora
vão ser acrescentados pontos correspondentes ao meio dos lados e a matriz B deixa de ser
linear.
4.1. Modelo Triangular para Deslocamentos Lineares
Consideram-se seis graus de liberdade correspondentes aos deslocamentos
horizontais e verticais dos vértices.
 Teoria das Estruturas II Método dos Elementos Finitos
9
Dado um ponto no plano interior, vamos determinar as funções coordenadas em
termos de φ1, φ2 e φ3 a partir dos valores de f1, f2 e f3.
f(x1, x2) = φ1(x1, x2)f1 + φ2(x1, x2)f2 + φ3(x1, x2)f3
Para obtermos a função básica φ1 vamos fazer f2 = f3 = 0.
A superfície gerada vai ser,
Dado uma origem e o sentido dos eixos coordenados, as funções básicas vão variar
em termos de x1 e x2, pelo que não nos interessa.
Se considerarmosum ponto interior e definirmos as áreas parciais em que se divide
o triângulo elementar, opostas ao nó correspondente, vamos obter um novo sistema de
coordenadas homogéneas.
Ai : área parcial ; A : área total (do triângulo 123) ! A = ΣAi ; ξi = A
A i
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10
Observações :
1) Quando o ponto interior P se desloca em direcção ao nó 1, A2 e A3 ! 0 e A1 ! A.
P ≡ 1 ⇒ (ξ1,ξ2,ξ3) = (1,0,0) ⇒
2) A posição do centro de gravidade G corresponde a 


3
1
,
3
1
,
3
1
3) Este sistema de coordenadas básicas não varia com x1 e x2, dependendo apenas
da localização de P
f = α1ξ1 + α2ξ2 + α3ξ3
em que vamos determinar os valores de α1, α2 e α3 de acordo com os valores conhecidos de
f.
No interior do triângulo os deslocamentos horizontais e verticais são,
respectivamente,
u1 = φ1u11 + φ2u12 + φ3u13
u2 = φ1u21 + φ2u22 + φ3u23
Então, vamos ter






∂
∂
∂
∂
=






ε
ε
ε
12
22
11
0
2
x
x
qualquer ponto do triângulo pode
ser representado em termos das
coordenadas cartesianas ou
homogéneas.


1
0









∂
∂
∂
∂
2
1
12
2 x
x
x
x
 Teoria das Estruturas II Método dos Elementos Finitos
11
13
1
1
12
1
1
11
1
1
1
1
11 uuu
u 
xxxx ∂
φ∂
+
∂
φ∂
+
∂
φ∂
=
∂
∂
=ε
onde,
1
3
3
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
xxxx ∂
ξ∂
⋅ξ∂
φ∂
+
∂
ξ∂
⋅ξ∂
φ∂
+
∂
ξ∂
⋅ξ∂
φ∂
=
∂
φ∂
Mas,
φ1 = x1
e
ε11 = u11 ⇒ as extensões são constantes dentro do triângulo elementar.






ξ
ξ
ξ








=






3
2
1
232221
131211
2
1
1111
xxx
xxx
x
x
Da expressão anterior,














=






ξ
ξ
ξ
2
1
3312
2231
1123
3
2
1 1
b2A
b2A
b2A
A2
1
x
x
a
a
a
onde,
2A23 = 2×área(023) = x12x23 − x13x22 ; a1 = x13 − x12 ; b1 = x22 − x23
2A31 = 2×área(031) = x13x21 − x11x23 ; a2 = x11 − x13 ; b2 = x23 − x21
2A12 = 2×área(012) = x11x22 − x12x21 ; a3 = x12 − x11 ; b3 = x21 − x22
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12
Um modelo de deslocamentos linear pode ser dado directamente em termos de ξ1, ξ2
e ξ3,
e
23
22
21
13
12
11
321
321
e
2
e
1
2
1
Nu
u
u
u
u
u
u
000
000
u
u
0
0
u
u
u =






















φφφ
φφφ
=










φ
φ
=





=
O modelo de interpolação linear conduz a
[ ]321 ξξξ=φ
Atendendo ao sistema de equações que relaciona as coordenadas cartesianas e as
homogéneas e diferenciando φi em ordem a x1 e x2, respectivamente, vamos ter
i
iiiiiii
xxxx
b
2A
1bbb
2A
1
3
3
2
2
1
1
1
3
31
2
21
1
11
=


ξ∂
φ∂
+ξ∂
φ∂
+ξ∂
φ∂
=
∂
ξ∂
×ξ∂
φ∂
+
∂
ξ∂
×ξ∂
φ∂
+
∂
ξ∂
×ξ∂
φ∂
=
∂
φ∂
i
iiiiiii aaaa
xxxx 2A
1
2A
1
3
3
2
2
1
1
2
3
32
2
22
1
12
=


ξ∂
φ∂
+ξ∂
φ∂
+ξ∂
φ∂
=
∂
ξ∂
×ξ∂
φ∂
+
∂
ξ∂
×ξ∂
φ∂
+
∂
ξ∂
×ξ∂
φ∂
=
∂
φ∂
4.2. Relações de Compatibilidade
O vector das extensões é dado por,
ε = Bue
 Teoria das Estruturas II Método dos Elementos Finitos
13


























=
=






















φφφ
φφφ












∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=






ε
ε
ε
23
22
21
13
12
11
321321
321
321
23
22
21
13
12
11
321
321
12
2
1
12
22
11
u
u
u
u
u
u
bbb
000
000bbb
2A
1
 
u
u
u
u
u
u
000
000
0
0
2
aaa
aaa
xx
x
x
Rearranjando este sistema de equações para escrever as equações de cada nó


























=






ε
ε
ε
23
22
21
13
12
11
321321
321
321
12
22
11
u
u
u
u
u
u
bbb
000
0b0b0b
2A
1
2 aaa
aaa
4.3. Relações de Equilíbrio de Elementos
A Energia de Deformação Total é dada por,
( ) ( )∫ ε−εε−ε= V D21 0T0 dU
 Teoria das Estruturas II Método dos Elementos Finitos
14
onde dV é o volume de cada elemento infinitesimal
A Energia de Deformação é, portanto, dada pela área limitada superiormente pela
linha indicada. Como em cada elemento triangular, vamos ter 3 extensões e 3 tensões.
A Energia Total Potencial é dada por,
V = U − W
onde W é o trabalho realizado pelas forças de ligação, forças de superfícies e as forças
nodais (cada elemento finito está ligado aos outros por intermédio de nós, sendo apenas
estes que transmitem as forças nodais, Fe). O trabalho realizado é dado pela soma dos
termos do tipo u1ε1, u2ε2.
eTeTT
0
T
0
T
0
T uFsu pVu bV D
2
1V DV D
2
1
−−−εε+εε−εε= ∫∫∫∫∫ dddddV
Introduzindo o modelo de elementos finitos,
ee u B ; u Nu =ε=
eTeeTeT
0
T
0
e
0
eTTe
uFu s Npu V NbV D
2
1
u V B Du V B DBu
2
1
−−−εε+ε−= ∫∫∫∫∫ dddddV
 Teoria das Estruturas II Método dos Elementos Finitos
15
Deste modo, V torna-se uma função algébrica dos deslocamentos nodais ue, dado
que todos os integrais representam valores constantes. Das relações de equilíbrio de cada
elemento, temos que V tem de ser estacionária em relação a ue (equivale à aplicação da
Dualidade Estático-Cinemática), isto é :
0Fs pNV bNV DBu V B DB
u
eTT
0
TeT
e
=−−−ε−=
∂
∂ ∫∫∫∫ ddddV
⇓
∫∫∫∫ −−ε−= s pNV bNV DBu V B DBF TT0TeTe dddd
No caso de considerarmos os efeitos dinâmicos para o cálculo de elementos finitos,
podemos representar as equações de movimento relativas aos nós da estrutura, a partir da
Energia Cinética Total, J.
∫ρ= Vu u 21J T d
onde ρ é a densidade do material.
Supondo que no modelo elementar de velocidades a matriz N é independente do
tempo t, temos,
∫ρ= eTTe u V NN u21J d
Usando as equações de Lagrange,
0
uu
J
u
J
 t eee
=
∂
∂
+
∂
∂
−


∂
∂
∂
∂ V
o que dá,
∫∫∫∫∫ −−ε−+= s pNV bNV DBu V B DBu V NNF TT0TeTeTe ddddd
 Teoria das Estruturas II Método dos Elementos Finitos
16
Comentários :
1. Estamos a utilizar técnicas de elementos finitos, discretizando a estrutura
laminar em triângulos elementares aos quais estamos a determinar as propriedades;
2. É possível ter modeloselementares baseados em esforços internos e não em
deslocamentos nodais;
3. O deslocamento final da estrutura é igual a soma das contribuições dos
elementos triangulares.
Vamos substituir o problema no contínuo, inicialmente dado por equações
diferenciais parciais, por um conjunto de equações lineares;
4. No caso do Método das Diferenças Finitas vão-se integrar as equações
diferenciais numa grelha regular por um método numérico aproximado;
Podemos escrever,
dltd
tdtd
×=
×=
s
e laje da espessura a sendoA,V
A matriz de rigidez será,
ttd ×=×= ∫ A B DBA B DBK TTe
4.4. Vector das Cargas Aplicadas
Vector das cargas aplicadas (consistente com a formulação em elementos finitos) :
( i ) Extensões iniciais : ttd A DBA DBF 0T0Te0 ε=ε= ∫ε
( ii ) Forças de ligação : ∫∫ == tdtd bA NA bNF TTeb
sendo ε0 e b valores constantes. Para efectuar a integração utilizando a discretização
anteriormente indicada,
 Teoria das Estruturas II Método dos Elementos Finitos
17
t
d
d
td 
bA 
bA 
 
b
b
A
0
0
F
2
T
1
T
2
1
T
T
e
b 





φ
φ
=









φ
φ
= ∫
∫∫
Como,
∫∫






ξ
ξ
ξ
=φ A A
3
2
1
T dd
e a fórmula a que corresponde o integral de ∫ ξξξ A321 drqp será,
A2)!1(
! ! !
×
+++ rqp
rqp
Exemplo : A
3
1A1 =ξ∫ d (dado que 0! = 1)
Assim, 


















=
2
2
2
1
1
1
e
b
b
b
b
b
b
b
 A 
3
1F t , ou seja, 
3
1
 da força de ligação total vai para cada
nó.
 Teoria das Estruturas II Método dos Elementos Finitos
18
4.5. Modelo de Deformação Quadrático
O modelo de deformações quadrático (considerando pontos intermédios) vai dar,
a) Para um elemento linear (barra) :
21
21
21
2
2
21
2
1
T 1 onde 
4
ξ−=ξ






ξξ
ξξ−ξ
ξξ−ξ
=φ
b) Para um modelo triangular :


















ξξ
ξξ
ξξ
−ξξ
−ξξ
−ξξ
=φ
13
32
21
33
22
11
T
4
4
4
)1(2
)1(2
)1(2
 Teoria das Estruturas II Método dos Elementos Finitos
19
( iii ) Forças de superfície : ∫∫ == tdltdl p N pNF TTep
onde p é um valor constante.
Estas podem ser distribuídas ao longo da superfície, podendo variar quer a sua
intensidade, quer o ângulo de aplicação. Exprimem-se em unidade de força por unidade de
área e são geralmente de tracção. A força total é pois dada pela intensidade de força vezes a
área a que corresponde.
t
dl
dl
 
p 
p 
F
2
T
1
T
e
p 





φ
φ
= ∫
∫
Como a fórmula a que corresponde o integral de ∫ ξξ dlqp 21 será,
12)!1(
! ! l
qp
qp
×
++
Exemplo : 121 2
1 ldl =ξ∫
Assim, 


















=
0
p
p
0
p
p
 
2
1F
2
2
1
1
12
e
p tl , ou seja, 2
1
 da força aplicada à superfície vai para
cada nó.
 Teoria das Estruturas II Método dos Elementos Finitos
20
4.6. Matriz de Massa (análise dinâmica)
No caso de existirem efeitos dinâmicos, temos de introduzir os termos relativos ao
desenvolvimento da Energia Cinética,
∫∫ ρ+ eTeT u V NNu V B DB dd = Forças nodais dos diferentes tipos
onde ρ é a densidade do elemento triangular.
Obtemos assim um problema constituído por um conjunto de equações
diferenciais, definidas para os elementos em que se vão discretizar a estrutura.
As forças de massa correspondem ao termo ∫ρ eT u V NN d e são proporcionais à
aceleração dos deslocamentos nodais. A aceleração define-se como a segunda derivada em
ordem ao tempo dos deslocamentos nodais.
A matriz da massa será,
∫∫ ρ=ρ= A t NNA t NNM TTe dd
∫∫ 



φφ
φφ
ρ=




φ
φ




φ
φ
ρ= A 
0
0
 A 
0
0
0
0
 M
T
T
T
T
e dtdt
Mas,
A A 
332313
322212
312111
T dd ∫∫








ξξξξξξ
ξξξξξξ
ξξξξξξ
=φφ
 Teoria das Estruturas II Método dos Elementos Finitos
21
Da fórmula geral,
A
12
1AAA
A
6
1AAA
323121
2
3
2
2
2
1
=ξξ=ξξ=ξξ
=ξ=ξ=ξ
∫∫∫
∫∫∫
ddd
ddd














ρ
=
211
121
112
211
121
112
12
A Me t
As Forças de Restituição associadas à rigidez da estrutura tem um comportamento
semelhante a uma mola : a força exercida na mola aumenta proporcionalmente ao
deslocamento produzido.
Observações :
1. Para as forças de ligação, considerou-se que se for adoptado este raciocínio
para a determinação da matriz de massa obtinham-se que 31 das cargas aplicadas no
elemento triangular está aplicada em cada nó). Neste caso, vamos obter soluções
mais inexactas, embora a matriz obtida seja diagonal ⇒ utilização de técnicas
numéricas mais simples
em
1
1
1
3
LA
=








ρ
 Teoria das Estruturas II Método dos Elementos Finitos
22
2. No caso de termos cargas horizontais e a parede estar simplesmente apoiada
na fundação, considera-se a estrutura libertada ser do tipo porticado e rotulado na
base.
5. Exemplos
5.1. Aplicação a um problema de Estados Planos de Tensão
Considere a parede representada na figura sujeita ao carregamento indicado e ligada
ao solo.
Como os graus de liberdade são deslocamentos horizontais e verticais (não se
consideram rotações) considera-se a estrutura sendo a base contituída por apoios duplos.
Como a estrutura é simétrica, o comportamento dos dois lados do eixo de simetria é
idêntico, pelo que podemos suprimir os deslocamentos verticais e horizontais ao longo
deste eixo.
A estrutura está sujeita à um Estado Plano de Tensão.
 Teoria das Estruturas II Método dos Elementos Finitos
23
Discretizando a estrutura vem,
Para resolver o problema vamos produzir uma deformação no sistema devido a ui =
1 e vamos determinar quais os esforços que mantém o sistema numa posição deslocada.
Assim a Matriz de Rigidez vem,
( )3636
e
 
 
 
 
 
1031200
3101400
1110312
2431014
001150
002405
6
 EK
×
















−−
−−
−−−−
−−−−
−−
−−
==
.
.
.
...t
Notas :
1. Cada ponto interior pode fazer a ligação de 6 triângulos;
2. Se utilizarmos um sistema de coordenadas locais, ele deve ser transformado
num sistema de coordenadas globais.
32 elementos
36 graus de liberdade
 Teoria das Estruturas II Método dos Elementos Finitos
24
Cargas aplicadas :
• Peso próprio, 




−
=





γ=
5750
0
1-
0
 A 
3
1Feb
.
t
• Carregamento, ∫= A pNF Tep d
Caso a distribuição de cargas seja muito complicada, pode-se aproximar colocando
parte da carga aplicada em cada nó (por exemplo, no caso da carga distribuída vamos
mandar metade para cada lado).
Resolução do sistema Ku = F
A maior vantagem em utilizar a inversa de K é a de podermos determinar
imediatamente os deslocamentos correspondentes às diversas condições de carregamento.
u = K-1F
NOTA : Vamos considerar que no caso de haver um bom contacto entre a fundação e a parede, se desenvolve um efeito de arco.
Depois de se obterem os deslocamentos nodais, é possível obter os 6 deslocamentos
ue.
Com estes valores podemos determinar as extensões, ε, através da equação,
ε = Bue
As tensões no interior da peça são obtidas à custa da matriz de elasticidade D,
σ = Dε
 Teoria das Estruturas II Método dos Elementos Finitos
25
Observações :
1. No caso do comportamento do material ser elásto-plástico, a equação que
nos dá as tensões é modificada, uma vez que a matriz das relações constitutivas
deixa de ser constante.
dσ = D(ε)dε
Neste tipo de comportamento temos necessidade de calcular a tangente em
cada ponto da curva de tensões-extensões ou de momentos-curvaturas.
2. No caso de acrescentarmos pontos intermédios (nós intermédios) para o
cálculo de um modelo de deformações quadrático, cada elemento triangular estaria
associado a 12 graus de liberdade;
3. O modelo definido aplica-se aos casos de cargas axiais que actuam no plano
médio da placa e que provoquem igualmente deslocamentos segundo o plano
intermédio da placa
No caso de haver cargas perpendiculares ao plano médio da laje, o modelo
que estudamos não é correcto porque entra com o movimento perpendicular ao
plano médio da placa, não satisfazendo a condição de compatibilidade da estrutura.
Para isso deve desenvolver-se um elemento para flexão em placas. Em seguida
apresenta-se um modelo deste tipo com 15 graus de liberdade.
	Elementos Finitos
	CINEMÁTICA
	ESTÁTICA
	
	
	Caso ?2(x) = 0,
	?1(x) = ?1 ; ?2(x) = ?2
	4. Aplicação aos Elementos Planos
	4.1. Modelo Triangular para Deslocamentos Lineares
	
	A Energia de Deformação Total é dada por,