Aula 06 Método dos elementos finitos aplicado a Treliças Bidimensionais

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6a aula de Métodos numéricos - Prof Cristiane Mota
Método dos elementos finitos aplicado a Treliças Bidimensionais
Os sistemas de molas e barras em que o MEF foi aplicado até agora, 
os elementos estavam alinhados horizontalmente. Vamos ver o caso em que a barra está inclinada. 
As forças e os deslocamentos são grandezas vetoriais. 
Será feita a decomposição desses vetores no pla
no:
 
um componente no eixo X e outro componente no eixo Y. Por isso 
teremos
 
2
 incógnitas por nó. As forças continuam sendo aplicadas somente nos nós de cada elemento e essas forças são axiais.
Usaremos as incógnitas abaixo:
Fjx - força aplicada no nó j na direção do eixo X
Fjy - força aplicada no nó j na direção do eixo Y
djx - deslocamento do nó j na direção do eixo X
djy - deslocamento do nó j na direção do eixo Y
Ai - área da seção transversal da barra (i)
Ei - modulo de elasticidade do material da barra (i)
Li - comprimento da barra (i)
ϴi - ângulo entre a barra (i) e o eixo X (sentido anti-horário).
Matriz de rigidez do elemento (i):
em que é a constante de elasticidade da barra (i).
A matriz de rigidez de uma estrutura de treliças bidimensionais de m nós é de ordem 2m x 2m, pois cada nó tem informação referente a decomposição no eixo X e a decomposição no eixo Y.
Exemplo: Na estrutura de treliça representada abaixo, os nós 1 e 2 estão fixos. Só há força aplicada no nó 3. Essa força é paralela ao eixo x e vale 10N. A barra (1) é perpendicular ao eixo X. 
L = 1
m
, 
A1
 
=
 
A2
 
= 10
-1
 
m
2
, 
E1
 
= E2 = 10
5
 
N/m
2
.
Use valores com pelo menos 4 casas decimais e arredondamento para responder os itens a seguir:
a) Encontre a matriz de rigidez de cada elemento finito. 
b) Encontre a matriz de rigidez da estrutura.
c) Monte e particione o sistema F = K.d que relaciona as forças com os deslocamentos da estrutura.
d) Escreva as equações obtidas após a partição do sistema.
e) Resolva o sistema para encontrar os deslocamentos desconhecidos.
f) Escreva o vetor de deslocamentos. 
g) Calcule as forças de reação.
h) Escreva o vetor de forças.
Algumas respostas: 
f) 
 
h) 
Exercício
Na estrutura de treliça representada abaixo, os nós 1 e 2 estão fixos e distam 1m. A barra (1) é perpendicular ao eixo X. Só há força aplicada no nó 3. Essa força vale 100N e é paralela ao eixo X. O comprimento da barra (2) é 2m. A área da seção transversal das duas barras é 10-2 m2. O módulo de elasticidade das duas barras é 106 N/m2.
 
Use valores com pelo menos 4 casas decimais e arredondamento para responder os itens a seguir:
a) Encontre a matriz de rigidez de cada elemento finito 
b) Encontre a matriz de rigidez da estrutura.
c) Monte e particione o sistema F = K.d que relaciona as forças com os deslocamentos da estrutura.
d) Escreva as equações obtidas após a partição do sistema.
e) Calcule os deslocamentos nodais.
f) Escreva o vetor de deslocamentos. 
g) Calcule as forças de reação.
h) Escreva o vetor de forças.
Algumas respostas: 
f) 
 
 
h)