Lista de Exercícios - Campos Vetoriais e Integral de Linha de Campos Vetoriais

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CCáállccuulloo IIVV 
LLiissttaa ddee EExxeerrccíícciiooss 
CCaammppooss VVeettoorriiaaiiss ee IInntteeggrraall ddee LLiinnhhaa ddee CCaammppooss VVeettoorriiaaiiss 
 
 
1. A temperatura nos pontos de um sólido esférico é dada pelo quadrado da distância do ponto 
até o centro da esfera. Para um ponto qualquer do sólido a função 
 modela o campo de temperatura. Determine o campo vetorial 
gradiente gerado por T. 
 
2. Seja D um sólido esférico de raio 4. A temperatura em cada um de seus pontos é 
proporcional à distância do ponto até a superfície da esfera. A função 
 , K constante de proporcionalidade, define o campo de 
temperatura. Considerando , determine o campo vetorial gradiente gerado por T. 
 
3. Em cada ponto , o campo gradiente fornece um vetor apontando na direção e sentido 
do maior crescimento da função f, com a magnitude sendo o valor da derivada direcional 
naquela direção. Seja uma distribuição de temperatura em 
uma região do espaço. Seja P uma partícula localizada em . Qual a direção e o 
sentido que a partícula P deve tomar para que esquente o mais rápido possível? 
 
4. Podemos determinar o campo elétrico pela fórmula , sendo V o potencial 
elétrico de uma carga. Um potencial elétrico é dado por 
 
 
. Determine o 
campo elétrico. 
 
5. Encontrar o vetor intensidade elétrica a partir da função potencial V, no ponto 
indicado: 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
6. O campo vetorial representa a velocidade de um volante em 
rotação rígida em torno do eixo z. Determine o rotacional do campo vetorial . 
 
7. O campo vetorial 
 
 
 
 
 
 aproxima o campo de velocidade da água, 
que ocorre quando se puxa um tampão em uma canalização. Determine o divergente do 
campo vetorial . 
 
8. Se , encontre uma função f tal que . 
 
9. Se , encontre uma função f tal que 
 
10. Encontre o trabalho realizado pelo campo ao mover uma partícula 
ao longo de um caminho C dado por , . 
 
11. O campo de velocidade de um fluido é . Encontre o escoamento ao 
longo da hélice , 
 
 
 . 
 
12. Encontre a circulação do campo ao longo da circunferência 
 , . 
 
13. Encontre o trabalho realizado pelo campo ao mover 
uma partícula ao longo de um caminho C dado por , . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RReessppoossttaass:: 
1. 
2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Como P deve esquentar o mais rápido possível, deve tomar a direção e o sentido do 
 . 
 
4. 
 
 
 
5. a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
7. 
 
 
 
8. 
9. 
10. 45 
11. 
 
 
 
 
 
 
12. 
13.