Determine o comprimento do arco da curva dada por Y= √(x^(3 )+1) no intervalo [0,4]

Para determinar o comprimento do arco da curva dada por \( y = \sqrt{x^3 + 1} \) no intervalo \([0, 4]\), utilizamos a fórmula do comprimento do arco: \[ L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx \] 1. Encontrar \(\frac{dy}{dx}\): \[ y = \sqrt{x^3 + 1} \] Usando a regra da cadeia: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x^3 + 1}} \cdot 3x^2 = \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}} \] 2. Calcular \(\left(\frac{dy}{dx}\right)^2\): \[ \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \left(\frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}}\right)^2 = \frac{9x^4}{4(x^3 + 1)} \] 3. Substituir na fórmula do comprimento do arco: \[ L = \int_{0}^{4} \sqrt{1 + \frac{9x^4}{4(x^3 + 1)}} \, dx \] 4. Simplificar a expressão dentro da raiz: \[ L = \int_{0}^{4} \sqrt{\frac{4(x^3 + 1) + 9x^4}{4(x^3 + 1)}} \, dx = \int_{0}^{4} \frac{\sqrt{9x^4 + 4x^3 + 4}}{2\sqrt{x^3 + 1}} \, dx \] 5. Calcular a integral: Essa integral pode ser complexa e pode exigir métodos numéricos ou uma calculadora para obter um valor aproximado. Após calcular, você encontrará o comprimento do arco da curva no intervalo \([0, 4]\). Se precisar de um valor numérico, você pode usar uma calculadora ou software de cálculo.