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Física Básica D
Paulo José Sena dos Santos
Florianópolis, 2009
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Catalogação na fonte: Eleonora Milano Falcão Vieira
S237f
Santos, Paulo José Sena dos
 Física básica D / Paulo José Sena dos Santos. - Florianópolis : UFSC/ 
 EAD/CED/CFM, 2009.
 219p.
 
 ISBN 978-85-99379-26-4
 
 1.Física. I. Título.
 CDU 53
Sumário
Apresentação .................................................................... 9
1 Lei de Coulomb .............................................................11
1.1 Carga elétrica ........................................................................13
1.2 Condutores e isolantes .........................................................17
1.3 Lei de Coulomb .....................................................................19
Resumo ...................................................................................... 23
Bibliografia comentada ...............................................................26
2 O Campo Elétrico ......................................................... 27
2.1 Campo elétrico ......................................................................29
2.2 Campo elétrico produzido por uma carga pontual ............ 30
2.3 Campo elétrico devido a distribuições 
contínuas de cargas ............................................................ 33
2.4 Linhas de campo elétrico .....................................................43
2.5 Movimento de partículas carregadas 
em um campo elétrico uniforme .........................................45
2.6 Dipolo elétrico em um campo uniforme ............................. 46
Resumo ...................................................................................... 48
Bibliografia comentada ...............................................................52
3 Lei de Gauss ................................................................ 53
3.1 Fluxo ..................................................................................... 55
3.2 Fluxo elétrico ........................................................................ 56
3.3 Lei de Gauss ..........................................................................59
3.4 Aplicações da lei de Gauss a distribuições 
simétricas de carga ............................................................. 64
3.5 Cargas e campos elétricos nas 
superfícies condutoras .........................................................69
Resumo .......................................................................................79
Bibliografia comentada ...............................................................81
4 O potencial elétrico ...................................................... 83
4.1. Trabalho e energia potencial ............................................. 85
4.2. Diferença de potencial e potencial elétrico ....................... 86
4.3 Potencial elétrico de uma carga pontual ............................ 88
4.4 Potencial elétrico devido a distribuições 
contínuas de carga .............................................................. 90
4.5 Superfícies eqüipotenciais ................................................... 96
4.6 Cálculo do campo elétrico a partir do potencial ................ 96
4.7 Potencial elétrico de um condutor carregado ..................... 98
Resumo ...................................................................................... 99
Bibliografia Comentada ............................................................102
5 Capacitância .............................................................. 105
5.1 Capacitância ........................................................................107
5.2 Cálculos de capacitância ....................................................108
5.3 Associação de capacitores ................................................. 111
5.4 Energia armazenada em um capacitor .............................. 116
5.5 Dielétricos ........................................................................... 117
Resumo ..................................................................................... 119
Bibliografia comentada .............................................................122
6 Corrente elétrica e resistência ................................... 123
6.1 Corrente elétrica ..................................................................125
6.2 Resistência e leis de Ohm ...................................................128
6.3 Energia elétrica e potência .................................................130
6.4 Fonte de força eletromotriz (fonte fem ) (  ) ...................... 131
6.5 Associação de resistores ....................................................132
6.6. Leis de Kirchhoff ................................................................135
6.7 Circuitos RC .........................................................................138
Resumo .....................................................................................142
Bibliografia comentada .............................................................1487 Campo magnético ...................................................... 149
7.1 Um pouco de história .......................................................... 151
7.2 O campo magnético ............................................................152
7.3 Movimento de uma partícula carregada 
em um campo magnético ..................................................154
7.4 Aplicações do movimento de partículas 
carregadas em campos magnéticos..................................156
7.4.3 Cíclotrons ..........................................................................158
7.5 Força magnética sobre um condutor de corrente .............160
7.6 Torque sobre uma espira de corrente 
em um campo magnético uniforme .................................. 161
Resumo .....................................................................................163
Bibliografia comentada .............................................................167
8 Lei de Ampère ............................................................ 169
8.1 Lei de Biot-Savart ................................................................ 171
8.2 Força magnética sobre dois fios paralelos ......................... 176
8.3 Lei de Ampère .....................................................................178
8.4 Campo magnético de um solenóide ...................................179
Resumo ..................................................................................... 181
Bibliografia comentada .............................................................184
9 Lei de Faraday ............................................................ 185
9.1 Fluxo Magnético ..................................................................187
9.2 Lei de Faraday .....................................................................189
9.3 Aplicações das leis de Faraday ...........................................190
9.4 Lei de Lenz ..........................................................................193
9.5 Indutância ............................................................................194
9.6 Circuitos RL .........................................................................196
9.7 Energia armazenada em um campo magnético................199
Resumo .................................................................................... 200
Bibliografia comentada ............................................................ 204
10 Equações de Maxwell ............................................... 205
10.1 Introdução histórica ..........................................................207
10.2 Corrente de deslocamento de Maxwell ........................... 209
10.3 As equações de Maxwell .................................................. 210
10.4 Ondas eletromagnéticas ................................................... 210
Resumo ..................................................................................... 216
Bibliografia comentada ............................................................. 216
Referências ....................................................................219
Apresentação
Este livro foi escrito para a disciplina de Física Básica D, do curso de Licen-
ciatura a Distância em Física da Universidade Federal de Santa Catarina, que 
tem duração de 90 horas-aula.
Conforme você poderá perceber, a presente obra procura, através de uma lin-
guagem acessível, apresentar um pouco da Teoria Eletromagnética, com um 
grande número de exemplos resolvidos ao longo dos capítulos.
No capítulo 1 será apresentado um pouco da história do eletromagnetismo, 
as propriedades das cargas elétricas e, ao final, a lei de Coulomb e algumas 
aplicações.
A força elétrica, assim como a força gravitacional, é uma força de ação a dis-
tância. Desse modo, as definições feitas no estudo da gravitação podem ser 
utilizadas no estudo da interação entre cargas elétricas. Assim, no capítulo 2 
será definido o campo elétrico, que será calculado em distribuições pontuais e 
contínuas de cargas. No final do capítulo discutiremos o movimento de cargas 
pontuais e o comportamento de um dipolo elétrico em um campo elétrico.
No capítulo 3 será mostrada uma nova forma de cálculo do campo elétrico 
em distribuições contínuas de cargas que apresentam um alto grau de sime-
tria, através da lei de Gauss.
No capítulo 4, através do trabalho realizado pela força elétrica e sua relação 
com a energia potencial, serão definidos o potencial elétrico e a diferença de 
potencial. Diversas aplicações, tais como cálculos de potencial em diversas 
distribuições de cargas e uma nova forma de calcular o campo elétrico, serão 
apresentadas. A discussão sobre o comportamento de um condutor em equi-
líbrio eletrostático será finalizada.
No capítulo 5 será discutida a capacitância (e os capacitores – dispositivos 
que armazenam energia através do armazenamento de cargas). 
No capítulo 6 serão apresentadas as definições de corrente elétrica e resis-
tência. Além de aplicações na resolução de inicialmente de circuitos elétricos 
simples e circuitos que envolvam resistências e capacitores.
No capítulo 7 será discutida a interação entre cargas em movimento e um 
campo magnético externo. Algumas aplicações tais como: filtro de velocida-
des, espectrômetro de massa e o ciclotron também serão apresentadas.
No capítulo 8 serão discutidas as leis de Biot-Savart e de Ampère.
No capítulo 9 será abordado o fenômeno da indução eletromagnética e a lei 
de Faraday, que é fundamental no entendimento do funcionamento de mo-
tores e geradores. 
Finalmente, no capítulo 10 serão apresentadas as equações de Maxwell, que 
sintetizam as leis do eletromagnetismo. Através dessas equações, Maxwell 
previu a existência de ondas eletromagnéticas, que mais tarde foram produ-
zidas em laboratório por Hertz.
Em virtude do desafio de estudar Física a distância, você deve estudar tanto 
a teoria quanto os exemplos com bastante atenção. Os exercícios propostos 
devem ser resolvidos e as dúvidas discutidas com o professor da disciplina, 
com os tutores nos pólos e com seus colegas de curso.
Ao fim de cada capítulo também são apresentadas algumas referências. Mui-
tas delas já devem ser conhecidas de outras disciplinas; outras, principal-
mente as comentadas, apresentam uma conexão entre a teoria discutida e 
alguns fenômenos naturais. Alguns autores discutem também a respeito da 
história dessa apaixonante parte da Física Clássica.
Espero que você goste e aproveite bastante este livro.
Para finalizar, gostaria de agradecer ao Conselho Editorial pela revisão dessa 
obra e a Rodrigo Machado, que em algumas discussões contribuiu bastante 
para a feitura desse material.
O autor.
Lei de Coulomb1
13Lei de Coulomb
1 Lei de Coulomb
13
Com certeza você já está familiarizado com uma série de 
fenômenos que têm origem no comportamento de cargas 
elétricas. Alguns são naturais, como a incidência de raios 
em um dia de tempestade; outros são provocados, como o 
processo de carga em um gerador Van der Graff, presente 
em uma série de laboratórios e museus de ciências. Além 
disso, muitos aparelhos, em seu funcionamento, realizam a 
conversão da energia elétrica em outros tipos de energia.
Começaremos este capítulo enunciando algumas proprie-
dades da carga elétrica, tais como conservação e quanti-
zação. Nossa discussão continuará com a diferenciação 
entre condutores e isolantes, e os diversos processos de 
transferência de carga (também chamados processos 
de eletrização). Finalmente, terminaremos este capítulo 
enunciando a lei de Coulomb e aplicando-a à resolução 
de algumas situações-problema.
1.1 Carga elétrica
Várias experiências mostram a existência de forças entre corpos ele-
tricamente carregados.Os gregos já observavam esses fenômenos 
por volta de 700 a.C. Eles descreveram que pedaços de âmbar, quando 
atritados, atraíam pequenos pedaços de palha e penas de animais.
Em 1600, William Gilbert, em seu livro De Magnete, afirmou que cor-
pos feitos de outros materiais (como o enxofre ou o vidro, por exem-
plo) também podiam ser eletrizados por atrito.
Pouco mais de cem anos após a publicação do tratado de Gilbert, em 
1733, Charles du Fay mostrou que duas porções do mesmo material 
(âmbar por exemplo), ao serem eletrizadas por atrito com um tecido, 
se repeliam. Entretanto, o vidro, ao ser eletrizado por um tecido, atraía 
o âmbar. Esse fenômeno foi explicado considerando que existiam dois 
tipos de cargas denominados por du Fay de “vítrea” e “resinosa”. Mais 
Elektron, em grego.
Charles François de 
Cisternay du Fay 
(1698 – 1739): químico 
francês especializado em 
eletricidade, mas também 
com trabalhos na botânica 
e sobre a propriedade 
óptica dos cristais. Morreu 
aos 41 anos de idade, 
em Paris, após uma 
breve enfermidade.
14
tarde, Benjamin Franklin chamou essas cargas de positiva e negativa, 
respectivamente.
Essa experiência e outras feitas mais tarde mostraram uma importan-
te propriedade das cargas elétricas:
“Cargas de mesmo sinal se repelem, enquanto cargas de 
sinais contrários se atraem.”
1.1.1 Conservação da Carga
Outra propriedade importante da carga elétrica é que:
“Em um sistema isolado a carga total é sempre conser-
vada.”
Dessa forma, quando dois corpos neutros são esfregados entre si, 
não há criação de cargas, e sim a transferência de partículas negati-
vamente carregadas de um corpo para outro. Um dos corpos ganha 
uma quantidade de carga negativa, enquanto o outro perde a mesma 
quantidade de carga, ficando positivamente carregado.
Para determinar qual o sinal das cargas adquiridas pelos corpos, de-
ve-se recorrer à série triboelétrica. Um exemplo desse tipo pode visto 
abaixo, na tabela 1.1. Ao se esfregarem dois materiais da tabela, as 
partículas negativas serão transferidas do material mais acima para o 
material mais abaixo.
Série triboelétrica
(+) Extremidade positiva da série
Amianto
Vidro
Náilon
Alumínio
Papel
Plástico
Borracha de silicone
(-) Extremidade negativa da série
Tabela 1.1: Série triboelétrica. 
Em grego, tribos 
significa fricção.
15Lei de Coulomb
Uma outra forma de se eletrizar corpos é através do contato. Nesse 
processo, os corpos são apenas colocados em contato, ocorrendo a 
transferência de cargas de um corpo para outro, conforme mostra a 
Figura 1.1.
Figura 1.1: Eletrização por contato.
Se dois condutores A e B , com cargas Aq e Bq , respectivamente, 
após o contato adquirirem cargas 'Aq e 'Bq , a conservação da carga 
implicará em:
' 'A B A Bq q q q+ = + .
Caso os corpos sejam idênticos:
2
A Bq qq +=
 
' '
A Bq q q= = .
1.1.2 Quantização da carga
A matéria é composta por átomos eletricamente neutros. Cada átomo 
possui um núcleo maciço que contém prótons (partículas de carga 
positiva) e nêutrons (partículas sem carga). Em volta do núcleo existe 
uma quantidade de elétrons (partículas de carga negativa) em núme-
ro igual ao de prótons no núcleo. O próton possui uma carga e+ , 
enquanto o elétron possui uma massa cerca de 2000 vezes menor, 
porém uma carga igual a e− . Desse modo, e é a menor carga que 
podemos encontrar livre na natureza. Esse valor é chamado carga 
elementar. Toda carga encontrada na natureza é um múltiplo inteiro 
da carga elementar, assim:
16
19
 , 1, 2, ...
 1,6 10
q n e n
e C−
= ⋅ = ± ±
= ×
 
.
A carga elétrica, no Sistema Internacional de Unidades, é medida em 
coulombs (C ). Esse valor foi obtido através de experimentos.
Exemplo 1: Uma moeda de cobre ( 29Z = ) possui uma massa de 3 g . 
Qual é a carga elétrica total de todos os elétrons da moeda? (Massa 
molar do cobre 63,5 /g mol .)
Resolução:
Dicas para a resolução de problemas:
1. Ler cuidadosamente, procurando entender o que se 
pede.
2. Ler e anotar os dados fornecidos.
3. Fazer as figuras, localizando os elementos de carga, 
corrente etc., e apontar os respectivos vetores.
4. Comparar os dados anotados e o que se quer obter 
com teoria descrita no capítulo.
5. Substituir os valores dados nas respectivas fórmu-
las.
Sabemos que um mol de átomos de cobre possui 236,02 10 átomos× e 
63,5 g . Desse modo, podemos escrever:
23
23
22
6,02 10 63,5
 3
3 6,02 10 2,84 10
63,5
átomos g
N átomos g
g átomosN átomos
g
× − − − − − − − − −
− − − − − − − − −
⋅ ×= = ×
 
.
Lembramos que esse número de átomos é referente a uma moeda de 
3g de cobre. O número de elétrons em um átomo de cobre é 29 . Em 
N átomos, temos:
22 2329 2,84 10 8,24 10n elétrons= ⋅ × = × .
A carga total dos elétrons da moeda de cobre de 3 g é:
A principal experiência 
foi a do norte-americano 
Robert Andrews Mílikan 
(1868–1953), realizada 
com minúsculas gotas 
de óleos eletrizadas 
submetidas a um campo 
elétrico.
17Lei de Coulomb
23 19 58, 24 10 1,6 10 1,32 10q n e C C−= ⋅ = − × ⋅ × = − × .
Observamos que essa carga possui valor bastante elevado em relação 
à carga elétrica elementar.
1.2 Condutores e isolantes
Em 1729, Stephen Gray constatou que cargas elétricas podiam ser 
transmitidas através de diferentes materiais, os quais foram chama-
dos de condutores, e tendiam a permanecer retidas em outros, chama-
dos isolantes.
Hoje esses materiais são classificados de acordo com a habilidade das 
cargas de estarem, ou não, em movimento no interior do material. 
Desse modo:
• Condutores – são materiais nos quais as cargas elétri-
cas se deslocam de maneira relativamente livre.
• Isolantes – são materiais nos quais as cargas elétricas 
não se deslocam livremente.
Materiais como o vidro, a água destilada, a borracha, plásticos e gases 
em condições normais são isolantes. Quando uma barra de plástico, 
por exemplo, é carregada por atrito, apenas a área friccionada torna-
se carregada. Já materiais como os metais, água contendo ácidos, 
bases ou sais em solução são condutores. Quando os metais são car-
regados, por exemplo, as cargas distribuem-se por toda a superfície 
do material.
Existe ainda uma terceira classe de materiais, de propriedades in-
termediárias entre as dos condutores e dos isolantes, denominados 
semicondutores. No interior desses materiais existem menos cargas 
deslocando-se do que em um condutor.
1.2.1 Carga por indução
Quando um condutor é conectado à Terra por meio de um fio condu-
tor, diz-se que ele está aterrado.
Considere uma esfera condutora não carregada (neutra) que esteja 
isolada (Figura 1.2 (a)). Aproxima-se uma haste isolante negativamente 
Stephen Gray (1666–1736): 
físico inglês.
Esse é o mesmo princípio 
do aterramento utilizado 
em residências, onde 
se conecta toda a rede 
em uma haste fincada 
à Terra, objetivando 
escoamento de excesso 
de energia proveniente de 
sobretensões (relâmpagos, 
por exemplo). O termo 
terra é, às vezes, 
usado como sinônimo 
de referencial de um 
circuito, embora nesses 
casos não haja conexão 
direta ao solo.
18
carregada da esfera (Figura 1.2 (b)). A força de repulsão entre as cargas 
negativas provoca uma redistribuição das cargas no interior da esfera 
(polarização). Na região mais próxima da haste há uma concentração 
de cargas positivas, enquanto na região oposta há uma concentração 
de cargas negativas. Se o corpo for aterrado (Figura 1.2 (c)), alguns 
elétrons deixarão o corpo em direção à Terra. Se o fio for removido 
(Figura 1.2 (d) e 1.2 (e)), o corpo fica positivamente carregado.
Figura 1.2 (a): Esfera inicialmente neutra.
Figura 1.2 (b): A esfera inicialmente neutra é polarizadaem virtude da aproximação 
de uma haste carregada negativamente.
Figura 1.2 (c): Quando a esfera é aterrada, parte das cargas negativas são transferi-
das para a Terra.
 
Figuras 1.2 (d) e (e): Ao se retirar a ligação com a Terra, a esfera fica positivamente 
carregada.
A polarização de materiais 
elétricos é o acúmulo 
de cargas, ou seja, você 
acumula cargas positivas 
de um lado e negativas 
de outro, gerando um 
campo elétrico. Já o 
termo polarizabilidade 
representa à facilidade 
de distorção da 
configuração eletrônica 
de uma espécie, quando 
submetida a interação 
de um campo elétrico.
19Lei de Coulomb
Esse processo, onde a haste de borracha não entra em contato com 
a esfera, é chamado indução eletrostática. Esse efeito explica como 
um pente atritado com o seu cabelo atrai pedaços pequenos de papel 
(Figura 1.3) e como um balão que seja atritado com seu cabelo pode 
ficar aderido a uma parede, entre outros fenômenos.
Figura 1.3: Um pente carregado atrai pequenos pedaços de papel.
1.3 Lei de Coulomb
As forças elétricas de atração (ou repulsão) entre corpos carregados 
foram estudadas por Charles A. Coulomb, utilizando uma balança 
de torção (semelhante à utilizada por Cavendish para medir a atração 
gravitacional entre dois corpos). Um esquema da balança de torção 
pode ser visto na Figura 1.4.
Ele confirmou, a partir de suas experiências, em 1785, que a força elé-
trica é proporcional ao valor das cargas e inversamente proporcional 
ao quadrado da distância de separação ( r ) entre elas. Assim, pode-se 
escrever:
1 2
2e
q q
F k
r
⋅
= ⋅ ,
onde 9 2 29 10 /k Nm C= × é a constante eletrostática no vácuo. Essa 
constante pode ser escrita em termos da permissividade do vácuo 
12 2 2
0 8,85 10 /C Nm −= ×
0
1
4
k
 
=
⋅ ⋅
.
Charles Augustin de 
Coulomb (1736–1806): 
físico francês. Com 
um método experimental 
rigoroso e perspicaz, 
escreveu uma série de 
tratados sobre magnetismo 
e eletricidade. Em 
homenagem aos seus 
trabalhos, seu nome foi 
utilizado na definição 
de carga elétrica.
Fibra
q1q2
F
Figura 1.4: Balança de 
torção.
20
Deve-se lembrar que a força é uma grandeza vetorial, assim a força 
eletrostática exercida por 1q em 2q pode ser escrita da forma
12
1 2
122 ˆ
q q
F k r
r
→ ⋅
= ,
onde 12rˆ é um vetor unitário orientado de 1q para 2q , como mostra a 
Figura 1.5 (a). A partir da terceira lei de Newton, concluímos que a 
força elétrica exercida pela carga 2q sobre a carga 1q tem mesmo mó-
dulo, mesma direção e sentido contrário à força exercida pela carga 1q 
sobre a 2q 12 21( )F F= −
 
 . Nas Figuras 1.5 (a) e (b), podemos observar 
a direção e o sentido das forças quando as cargas possuem mesmo 
sinal (repulsão) ou sinais contrários (atração).
Se compararmos a Lei de Coulomb com a Lei de Newton para o mó-
dulo da força gravitacional entre duas partículas de massa 1m e 2m , 
separadas por uma distância r :
1 2
2
m mF G
r
⋅= ,
onde G é a constante gravitacional ( 11 2 26,67 10 /G Nm kg−= × ), vere-
mos como são semelhantes.
Quando estão presentes mais de duas partículas carregadas, como na 
Figura 1.6, a força resultante sobre qualquer partícula é igual à soma 
vetorial das forças devido a todas das outras partículas (princípio da 
superposição):
3 13 23F F F= +
  
.
r 
r 
q
q
q
F3
3
32
31
2
1
Figura 1.6: A força resultante sobre a carga 3q é a soma vetorial das forças exercidas 
pelas cargas 1q e 2q .
F21
F12
(b)q1
q2
(a)F21
q1
r12
q2
r
^
F12
Figura 1.5: Direção e sen-
tido da força eletrostática 
entre corpos com cargas de 
(a) mesmo sinal e (b) sinais 
contrários.
21Lei de Coulomb
Exemplo 2: A Figura 1.7 mostra três partículas carregadas presas 
nas respectivas posições por forças que não são mostradas. Qual é 
a força resultante na carga 1q ? Dados: 1 1, 2q C= − , 2 3,7q C= , 
3 2,3q C= − , 12 15r cm= , 13 10r cm= e 32 = ° .
r
y
x
r13
q3
q
1
12
q2
F12
F13
θ
θ
Figura 1.7: Exemplo 2.
Resolução: Na resolução desse exemplo podemos aplicar o princí-
pio da superposição. Vamos começar calculando o módulo das forças 
que atuam sobre a carga 1q (os sinais foram levados em conta no mo-
mento em que representamos as forças).
2 6 6
91 2
12 2 2 2
12
2 6 6
91 3
13 2 2 2
13
1,2 10 3,7 109 10 1,77
(0,15 )
1,2 10 2,3 109 10 2,48
(0,10 )
q q Nm C CF k N
r C m
q q Nm C CF k N
r C m
− −
− −
⋅ × ⋅ ×= = × =
⋅ × ⋅ ×= = × =
 
Para a obtenção do módulo da força resultante, devemos utilizar os 
componentes da força 13F . Portanto:
1 12 13 12 13
1 12 13 13
sen32 3,08
0 cos32 2,10
o
x x x
o
y y y
F F F F F N
F F F F N
= + = + ⋅ =
= + = − ⋅ = −
A partir desses componentes, obtemos o módulo da força resultante 
sobre a carga 1q :
2 2
1 1 1 3,73x yF F F N= + = ,
e a orientação da força 1F é 34− ° (Figura 1.7 (b)) com o eixo x .
22
r
34°
y
x
r13
q
3
q
1
12
q2
F12
F13
F1
θ
θ
Figura 1.7b: Exemplo 2.
Exemplo 3: Três partículas carregadas encontram-se ao longo do eixo 
x , como na Figura 1.8. A partícula 1 15,0q C= está em 2,00x m= , 
enquanto a partícula com carga 2 6,00q C= está na origem. Onde 
deve ser colocada no eixo x uma partícula com carga negativa 3q , de 
maneira que a força resultante sobre ela seja nula?
F23 F13
x
2,00 m
2,00 - xx
q2 q3 q1
Figura 1.8: Exemplo 3.
Resolução: Para que as forças exercidas pelas cargas 1q e 2q sobre 3q 
se anulem, devem ter sentidos opostos. Se a carga 3q for colocada à di-
reita de 1q ou à esquerda de 2q , as forças terão o mesmo sentido (verifi-
que com base no que foi discutido neste capítulo). Assim, 3q deverá ser 
colocada a uma distância x da origem (onde está colocada a carga 2q ). 
Conforme você dever ter visto em cursos anteriores, o módulo da força 
resultante nesse caso é igual à diferença dos módulos dos dois vetores:
1 3 2 3
3 13 23 13 23 2 20 (2,00 )
q q q qF F F F F k k
x x
⋅ ⋅= − = ⇒ = ∴ =
− 
.
Como k e 3q são comuns aos dois termos, eles se anulam. Desse 
modo, o valor de x pode ser obtido.
23Lei de Coulomb
6 6
2 2
2 2
15 10 6 10 15 6 (4,00 4,00 ) 
(2,00 )
C C x x x
x x
− −× ×= ∴ ⋅ = ⋅ − ⋅ + ∴
− 
29 24,0 24,0 0x x⋅ + ⋅ − = 
Resolvendo a equação de segundo grau acima, encontramos duas raí-
zes. A positiva 0,775x m= e a negativa, que deve ser desprezada. Por 
que a raiz negativa deve ser desprezada nesse caso?
Resumo
Neste capítulo foi discutido que a carga elétrica é uma grandeza que 
apresenta as seguintes propriedades:
Em um sistema fechado a carga elétrica total do sistema é con-• 
servada.
Pode ser positiva ou negativa.• 
Cargas de mesmo sinal se repelem, enquanto cargas de sinais • 
contrários se atraem.
A carga elétrica de um corpo é uma • grandeza quantizada 
(múltipla inteira da carga fundamental 191,6 10e C−= × ).
q n e= ⋅ .
As cargas elétricas podem ser transferidas de um corpo para outro 
por atrito, por contato ou por indução eletrostática. Nos processos de 
indução eletrostática e atrito, os corpos adquirem cargas de sinais 
opostos. Ao final da eletrização por contato, os corpos podem adquirir 
cargas de mesmo sinal.
A lei de atração (ou repulsão) entre corpos carregados eletricamente 
foi descoberta em 1785, por Charles Augustin Coulomb. Seus experi-
mentos mostraram que:
A força é proporcional ao valor das cargas.• 
A força é inversamente proporcional ao quadrado da distância • 
de separação entre as cargas.
Quando uma grandeza 
física, nesse caso, a carga 
elétrica, pode ter somente 
valores discretos (múltiplos 
inteiros de um valor 
fundamental)em vez de 
qualquer valor, dizemos 
que é uma grandeza 
quantizada. Por exemplo, 
uma partícula carregada 
poderá assumir os valores 
de carga igual a ,
, ou , 
mas não poderá ter 
valores como .
24
Dessa forma:
1 2
2 ˆ
q qF k r
r
⋅=

,
onde k é a constante eletrostática do meio (no vácuo 9 2 29 10 /k Nm C= × ) 
e rˆ é um vetor unitário na direção da reta que une as duas cargas.
A constante eletrostática pode ser escrita em função de uma outra 
constante, a permissividade do meio ( 0 )
0
1
4
k

= .
No vácuo (representada por 0ε ), a permissividade vale 
12 2 28,85 10 /C Nm−× .
Exercícios
1) Calcule o número de elétrons existentes em um pequeno alfinete 
de prata eletricamente neutro que tem massa 10,0 g . A prata tem 47 
elétrons por átomo e sua massa molar é 107,87 /g mol . 
Resposta: 242,62 10× elétrons.
2) O elétron e o próton em um átomo de hidrogênio são separados, em 
média, por uma distância de aproximadamente 115,3 10 m−× . Encontre 
os valores da força eletrostática e da força gravitacional que as partícu-
las exercem uma sobre a outra. Dados: 19| | | | 1,6 10próton elétronq q C
−= = × , 
271,67 10prótonm kg
−= × e 319,11 10elétronm kg
−= × . 
Respostas: 88, 2 10eF N
−= × e 473,6 10gF N
−= × .
3) Dois prótons em um núcleo atômico estão separados normalmen-
te por uma distância de 152 10 m−× . A força elétrica de repulsão entre 
dois prótons é enorme, mas a força nuclear de atração é ainda maior, 
impedindo que o núcleo se desintegre. Qual é o valor da força elétri-
ca de repulsão entre os dois prótons separados por uma distância de 
152 10 m−× ? 
Resposta: 57,5 N .
4) Duas cargas fixas de 1,0 C e 3,0 C− estão separadas por uma 
25Lei de Coulomb
distância de 10cm . Onde deve ser colocada uma terceira carga, para 
que nenhuma força atue sobre ela? 
Resposta: a 14cm da carga positiva e a 24cm da carga negativa.
5) Duas pequenas esferas estão positivamente carregadas. O valor 
total das duas cargas é 55,0 10 C−× . As esferas repelem-se com uma 
força de 1,0 N , quando estão separadas por uma distância de 2,0 m . 
Nessas condições, determine a carga em cada uma das esferas. 
Resposta: 51, 2 10 C−× e 53,8 10 C−× .
6) Três cargas pontuais são colocadas nos vértices de um triângulo 
eqüilátero, como mostrado na Figura 1.9. Calcule a força elétrica re-
sultante sobre a carga de 7,00 C . 
Resposta: 0,872 N a 330° .
7) Duas pequenas esferas condutoras de massa m estão suspensas 
por fios de seda de comprimento L e possuem a mesma carga q , 
como é mostrado na figura 1.10. Considerando que o ângulo  é tão 
pequeno que a tg  possa ser substituída por sen :
(a) mostre que para essa aproximação no equilíbrio teremos:
1/32
02
q Lx
m g 
 
=  ⋅ ⋅ ⋅ ⋅  .
(b) Sendo 120L cm= , 10,0m g= e 5,00x cm= , quanto vale q ? 
Resposta: 82, 4 10 C−± × .
Bibliografia comentada
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica. Vol. 3. São Paulo: Edgard 
Blücher, 1997.
Nessa obra o autor discute a lei de Coulomb, apresentando, ao final do 
segundo capítulo, vários exercícios úteis para o nosso curso.
L L
x
θ θ
q q
Figura 1.10: Exercício 7.
2,00 µC
7,00 µC
0,500 m
- 4,00 µC
y
x
60,0°
Figura 1.9: Exercício 6.
26
PIRES, A. S. T. A Evolução das Idéias da Física. São Paulo: Livraria da 
Física, 2008.
Nesse livro o autor apresenta um pouco da história do desenvolvimento 
da Teoria Eletromagnética, dos antigos gregos até os experimentos 
realizados com éter, que supostamente desempenharam algum papel 
no desenvolvimento da Teoria da Relatividade, restrita anos mais tarde 
por Einstein.
SERWAY, R. A. e JEWETT Jr., J. W. Princípios da Física. Vol. 3. São Pau-
lo: Pioneira Thomson Learning, 2004.
Nessa obra os autores propõem exercícios interessantes sobre a lei de 
Coulomb.
O Campo Elétrico2
29O Campo Elétrico
2 O Campo Elétrico
29
No capítulo anterior, ao estudar sobre a lei de Coulomb, 
você deve ter percebido a similaridade entre essa lei e a lei 
da Gravitação Universal de Newton (ambas são leis que 
dependem do inverso do quadrado da distância). 
Ao discutir a Gravitação, foi definido o campo gravitacio-
nal g . Desse modo, iniciaremos o capítulo definindo o 
campo elétrico e calculando esse campo para uma carga 
pontual. Em seguida, utilizaremos o campo da carga pon-
tual e suas propriedades para calcular o campo elétrico 
de distribuições contínuas de cargas. Discutiremos tam-
bém as linhas de campo elétrico, que foram propostas por 
Michael Faraday, muito utilizadas para visualizar padrões 
de campo elétrico produzidos por distribuições de cargas. 
Finalmente, discutiremos os movimentos de uma carga 
pontual e de dipolo elétrico em regiões onde existem cam-
pos elétricos.
2.1 Campo elétrico
O campo gravitacional ( g ) em um ponto foi definido anteriormente 
como a força gravitacional ( gF

), que age sobre uma partícula de mas-
sa m, dividida pela massa da partícula:
.g
F
g
m
=

 .
De maneira similar, um campo elétrico em um ponto do espaço pode 
ser definido em termos da força elétrica que age em uma partícula de 
prova com carga 0q colocada nesse ponto (como existem dois tipos de 
carga, convenciona-se que uma partícula de prova tem sempre carga 
positiva). Essa carga de prova é pequena o bastante para não alterar a 
distribuição de carga responsável pelo campo elétrico.
O campo elétrico ( E

) em um ponto do espaço é definido como a força 
elétrica ( eF

), que age sobre uma partícula de prova, colocada nesse 
ponto, dividida pela carga da partícula de prova:
30
0
eFE
q
=


.
No Sistema Internacional, o campo elétrico é medido em Newton por 
Coulomb ( /N C ).
2.2 Campo elétrico produzido por uma carga 
pontual
Considere uma partícula de prova 0q localizada a uma distância r de 
uma partícula de carga q (Figuras 2.1(a) e 2.1(b)). De acordo com a lei 
de Coulomb, a força exercida na partícula de prova pela carga q é:
0
2 ˆ.e
q qF k r
r
⋅= ⋅

 
Conforme visto nas Figuras 1.5 (a) e (b) do capítulo anterior, se a carga 
q for positiva, a força sobre 0q apontará radialmente para fora a partir 
dela; se a carga q for negativa, a força sobre 0q apontará radialmente 
em direção a carga q .
O campo elétrico criado por q no ponto onde a carga de prova é co-
locada é:
2
0
ˆ.eF qE E k r
q r
= ⇒ = ⋅

 
Devido à definição do campo elétrico, se a carga q for positiva, o 
campo elétrico será também radial e apontará para fora a partir da 
carga. Se a carga q for negativa, o campo apontará em direção à car-
ga (Figuras 2.1 (a) e (b)).
q
E
q0
P
r^ r
(a) 
q
q0
P
r^ E
(b)
Figura 2.1: A direção e o sentido do campo elétrico produzido por uma carga q (a) 
positiva e (b) negativa a uma distância r da carga.
Se traçarmos uma 
circunferência centrada 
na carga, o campo 
elétrico assumirá a 
direção do raio dessa 
circunferência; por esse 
motivo o denominamos 
radial
31O Campo Elétrico
Para calcularmos o campo elétrico em um ponto devido a uma dis-
tribuição de cargas pontuais num ponto qualquer, primeiramente cal-
culamos o campo elétrico produzido individualmente por cada carga 
nesse ponto e, então, realizamos a soma vetorial (princípio da super-
posição).
1 2 3 ...E E E E= + + +
   
Exemplo 1: A Figura 2.2 mostra uma carga 1q de 1,5 Cµ e uma carga 
2q de 2,3 Cµ . A primeira carga está na origem do eixo x e a segunda 
na posição x L= , onde 13L cm= . Em que ponto P ao longo do eixo 
x o campo elétrico é zero?
x
L
q1 E1 E2P
q2
Figura 2.2: Exemplo 1
Resolução: Conforme discutido no capítulo anterior, o campo elétri-
co resultantenão pode ser nulo à esquerda de 1q nem à direita de 2q , 
pois nessas regiões os campos produzidos pelas cargas terão a mes-
ma direção e o mesmo sentido. Desse modo, o campo será nulo em 
uma posição x à direita de 1q e à esquerda de 2q . Podemos escrever:
1 2
1 2 1 2 2 20 ( )
q qE E E E k k
x x L
+ = ⇒ = ∴ =
−
 
.
A constante k pode ser cancelada, pois aparece nos dois termos da 
equação. Assim:
6 6
2 2 2 2
2 2
2 2 2
1,5 10 C 2,3 10 C 1,5 (x 13) 2,3 x 1,5 (x 26 x 169) 2,3 x .
x (x 13cm)
1,5 x 39 x 253,5 2,3 x 0,8 x 39 x 253,5 0
− −× ×= ∴ ⋅ − = ⋅ ∴ ⋅ − ⋅ + = ⋅
−
⋅ − ⋅ + = ⋅ ∴ ⋅ + ⋅ − =
Resolvendo a equação de segundo grau acima, encontramos duas raí-
zes: uma positiva 5,8x cm= e outra negativa, que será descartada.
Faça uma análise e tente 
explicar o porquê do 
descarte da solução 
negativa.
32
Exemplo 2: Um dipolo elétrico é constituído por uma carga pontual q 
e por uma carga pontual q− separadas por uma distância 2a , como 
pode ser visto na Figura 2.3. Esse é um sistema importante, pois áto-
mos e moléculas neutras comportam-se como um dipolo ao serem 
colocadas em um campo elétrico externo. Moléculas formadas atra-
vés de ligações iônicas, como a molécula de cloreto de sódio ( NaCl ), 
formam dipolos permanentes. 
Encontre o módulo do campo elétrico resultante devido ao dipo-a) 
lo no ponto P da figura. 
Encontre o módulo do campo elétrico resultante considerando b) 
o ponto P muito distante do centro do dipolo (a uma distância 
y a>> ).
Resolução: Na Figura 2.3 podemos ver um esquema representando o 
dipolo elétrico. Nesse esquema pode-se ver também os campos pro-
duzidos pelas cargas q (campo 1E

) e q− (campo 2E

).
P
E1
E2
E
y
q aa q-
y
r
x
θ
θ
θ
θ
Figura 2.3: Dipolo elétrico do exemplo 3.
 O campo produzido pelas cargas têm módulo:1) 
1 2 2 2 2
q qE E k k
r y a
= = =
+
.
Ao decompor os campos, os componentes ao longo do eixo y 
33O Campo Elétrico
se anulam. Assim, o campo resultante no ponto P é:
1 2 2 2 2 2 2 2 1/2 2 2 3/22 cos 2 2 .( ) ( )x x
q q a q aE E E k k k
y a y a y a y a
⋅= + = ⋅ θ = ⋅ ⋅ = ⋅
+ + + +
 Para pontos onde 2) y a>> , podemos escrever 2 2 2y a y+ ≈ . As-
sim:
3 32 2
q a pE k k
y y
⋅= ⋅ = ⋅ .
Na expressão acima, o produto p q a= ⋅ é o módulo do vetor 
momento de dipolo. Esse vetor aponta da carga positiva para a 
carga negativa.
Podemos ainda perceber que ao longo do eixo y o campo de 
um dipolo varia com 
3
1
r
, enquanto o campo da carga punti-
forme varia com 
2
1
r
. Isso acontece porque nesses pontos os 
campos elétricos produzidos pelas cargas do dipolo quase se 
anulam.
2.3 Campo elétrico devido a distribuições contínuas 
de cargas
Para se calcular o campo elétrico de uma distribuição contínua de 
cargas, utiliza-se o seguinte procedimento:
Dividimos a distribuição de cargas em elementos pequenos, • 
cada um com uma pequena carga dq ;
Calcula-se o campo elétrico devido a cada elemento (conside-• 
rando esse elemento como uma carga pontual);
Calcula-se o campo resultante mediante a soma vetorial dos • 
campos produzidos pelos elementos.
Exemplo 3: Um anel de raio a tem carga positiva uniforme, por uni-
dade de comprimento, com uma carga total Q . Calcule o campo elé-
trico em um ponto P no eixo do anel a uma distância x do seu centro 
(Figura 2.4 a).
34
1
dE²
2 dE¹
(b)
dq
dEx
dE
(a)
P
dE┴
x
a
r
θ
θ
Figura 2.4 Calculo da Distribuição de Cargas em um anel.
Resolução: Conforme discutido acima, um elemento de carga dq 
produz no ponto P um campo elétrico dE

, de módulo:
2 2 2
dq dqdE k k
r x a
= ⋅ = ⋅
+
.
Na Figura 2.4 (a), podemos observar que esse campo tem dois com-
ponentes. O primeiro paralelo ao eixo . O segundo 
perpendicular: . Por simetria (Figura 2.4 (b)), o com-
ponente perpendicular de qualquer elemento é cancelado em virtude 
do componente perpendicular do elemento de carga oposto. Desse 
modo, o módulo do campo resultante no ponto P é:
2 2 2 2 2 2 1/2cos ( )x
dq dq xE dE k k
x a x a x a
= = = ⋅
+ + +∑ ∑ ∑ .
Tirando as constantes do somatório:
2 2 3/2( )
xE k dq
x a
= ⋅ ⋅
+ ∑ .
Nessa situação, ao somar os elementos de carga dq , encontramos a 
carga total Q do anel.
Observação: Em uma distribuição contínua de cargas, como o pre-
sente caso, o somatório geralmente é feito através de técnicas de in-
tegração. A soma acima poderia ser feita desta maneira:
35O Campo Elétrico
Definindo a densidade linear de cargas λ como a razão entre a carga 
e o comprimento da distribuição l :
Q
l
λ = .
Dessa maneira, o elemento de carga dq pode ser escrito da forma:
dq dl= λ ⋅ ,
onde dl é um comprimento de um arco infinitesimal de raio a e ân-
gulo d :
dl a d= ⋅ .
O comprimento da circunferência é encontrado através do somatório 
dos elementos de arco de 0 a 2π .
2
2 2 3/2 0
2
2 2 3/2 0
2
2 2 3/2
0
2 2 3/2
( )
( )
( )
2
( )
xk dl
x a
xk ad
x a
xk a
x a
x ak
x a




 
 
 
+
+
+
=
+
∫
∫
,
onde:
2Q a= λ π .
E finalmente temos:
2 2 3/2( )
Q xE k
x a
⋅= ⋅
+
.
De acordo com esse resultado, podemos concluir que:
 No centro do anel 1) .
 Se o ponto 2) P estiver muito longe do centro do anel ( x a>> ):
2 2 3/2 3
2( ) 
Qx a x E k
x
+ → ⇒ =
(campo produzido pela carga puntiforme) .
Você consegue explicar 
esse resultado?
36
Exemplo 4: Um disco circular de raio a está carregado com uma 
carga Q uniformemente distribuída ao longo de sua superfície. Qual 
é o campo num ponto do eixo vertical que atravessa o disco em seu 
centro, a uma distância D do centro (Figura 2.5)?
D
P
dEE
dρ
ρ
O
a
ρ
O
a
Figura 2.5: Disco uniformemente carregado.
Resolução: Olhando a figura, podemos pensar no disco como forma-
do por anéis de largura infinitesimal d  e raio  , variando de 0 a 
a . Cada anel tem uma carga dq , uniformemente distribuída em sua 
superfície. Nesse tipo de situação, é conveniente definir a densidade 
superficial de carga σ (carga/área da superfície):
 2dq dq dA d
dA
     = ∴ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
 
.
Do exemplo anterior, concluímos que o módulo do campo elétrico 
produzido pelo anel a uma distância D de seu centro ( dE ) é:
 
2 2 3/2 2 2 3/2
2
( ) ( )
dq D d DdE k k
D D
⋅ σ ⋅ ⋅π ⋅ρ ⋅ ρ ⋅= =
+ρ +ρ
.
Como todas as contribuições têm a mesma direção, o campo elétrico 
resultante é obtido através do somatório dos campos produzidos pe-
los anéis (raios variando de 0 a a ):
37O Campo Elétrico
2 2 3/ 2 2 2 3/ 2 2 2 1/ 20 0
0
2 2 2
( ) ( ) ( )
a
a ad D dE k k D k D
D D D
        
  
 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅  + + + ∫ ∫
Lembrando que:
0
1
4
k =
⋅π⋅ε
.
Podemos escrever:
2 2 1/2
0
1
2 ( )
DE
D a
 σ= − ⋅ε + 
.
Se considerarmos um ponto muito próximo do disco ( a →∞ ):
0
 
2
E σ=
⋅ε
(campo elétrico produzido por um plano infinito uniformemente carregado)
Observações:
Se a carga sobre o plano infinito for positiva, o campo elétrico • 
para pontos acima da superfície tem direção vertical, sentido 
para cima. Ao passarmos para a parte de baixo, o campo elétri-
co sofre uma descontinuidade, passando a apontar para baixo.
	•	 No exemplo anterior, definimos a densidade superficial de carga 
(σ ). Podemos ainda definir a densidade volumétrica de carga  
(carga/volume) e a densidade linear de carga λ (carga/compri-
mento).
Exemplo 5: Calcule o campo elétrico produzido por uma distribui-
ção linear de cargas λ , de comprimento l , no ponto P localizado, 
perpendicularmente acimada distância média da distribuição. Veja 
Figura 2.6.
38
dEy
dEx
dE
0
y
P
x
dx
dq = λ.dx
r = √ x² + y²
θ
ℓ
2
— ℓ
2
—
θ
Figura 2.6: Exemplo 5.
Resolução: Cada elemento de carga à esquerda e à direita tem seu 
análogo e contribui de forma igual no ponto P . Portanto, as compo-
nentes xdE se cancelam. Logo:
2cos ,y
dqdE dE dE k
r
= =
 
.
Assim: 
2 2cos cosy
dq dxdE k k
r r
 = =
 
/2
2/2
cos
l
y l
dxE k
r
 
−
= ∫
 
ou
/2
20
2 cos
l
y
dxE k
r
 = ∫
 
,
se observarmos, essa integral possui três variáveis x , r e  . Deve-
mos colocar tudo como função de uma variável só: ou x , ou  .
/2
2 20
2 cos
( )
l
y
dxE k
y x
 =
+∫
 
. (2.1)
Da figura:
2 2
cos y
y x
 =
+
 
.
39O Campo Elétrico
Logo:
/2
2 2 3/20
2
( )
l
y
ydxE k
y x
=
+∫
 
.
Podemos utilizar uma tabela de integrais para resolvê-la ou tentar 
simplificá-la, como:
2 2
sen x
y x
 =
+
 
e
2 2tg . tg sec secx dxx y y dx d
y d
    

= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
 
.
Também de cos  :
2
2 2 2 2
2( ) seccos
yy x y 

+ = =
 
.
Logo, em (2.1):
2
2 2
sec2 cos
secy
y dE k
y
  

= ∫
 
.
Resta:
2 cosy
kE d
y
  = ∫
 
.
Observe que excluímos os limites, pois trocamos as variáveis. Assim:
para 0 0l = ⇒ = ° ;
para 
12
ll  = ⇒ = .
40
0
y
P
1θ
ℓ
2
— ℓ
2
—
√ y² + ²ℓ 
2
—( )
Figura 2.7: Exemplo 5
Logo:
1
0
2 cosy
kE d
y
  = ∫
 
12 seny
kE
y


 =
 
1 1 2
2
2 2sen , sen
2
y
l
kE
y ly
  = =
 +    
.
Logo:
1
2 2 2
2 1 ,
2 1 [4 ]
2
y
k lE Q l
y y l
 = =
+
 
.
Finalizando:
1
2 2 2
2
[4 ]
y
kQE
y y l
=
+
.
41O Campo Elétrico
Exemplo 6: Para o mesmo enunciado do Exemplo 5, calcule agora o 
campo elétrico no ponto P da Figura 2.8:
dEy
dEx
dE
y
P
x
dq = λ.dx
r = √ x² + y² ; r² = x² + y² 
θ
θ
ℓ
dx
Figura 2.8: Exemplo 6
Resolução: Note que no presente caso teremos que calcular também 
a componente xdE . A componente ydE possui a mesma expressão 
sem o fator 2:
1 1 2 2
sen , seny
k lE
y y l
  = =
+ 
.
Logo:
2 2
,y
k lE Q l
y y l
 = =
+
 
.
A componente xdE :
2 2 20
2 2 3/20
sen , sen
( )
l
x
l
x
dx xE k
r y x
xdxE k
x y
  

= =
+
=
+
∫
∫
 
.
A presente integral pode ser diretamente resolvida, ou simplificada, 
como no problema anterior. Podemos resolver diretamente pela subs-
tituição direta:
42
2 2 2u x y du xdx= + ⇒ = .
Logo:
3
2
3/20
1
2
1
2 2 2
0
1 1
2 2 2 22 2
1
2 2 2
1
2 2
1 1
12 ( )2
1 1 1 1
( ) ( )
1 1
( )
l
x
l
x
x
x
k du kE u du
u
kE u k
x y
E k k
y yl y l y
E k
y l y
 
 
 

−
−
= = ⇒
⇒ = = − ⇒
− +
   
   ⇒ = − − = − ⇒   
+ +      
 
 ⇒ = − 
+  
∫ ∫
 
.
Ou simplificando, como no exemplo anterior:
y
P
r = √ ℓ² + y² 
θ1
ℓ
Figura 2.9: Exemplo 6
1
2
2 2
sec sen
secx
y dE k
y


  

= ∫
 
1 senx
kE d
y


  = ∫
 
0
( cos ) 1x
kE
y
 −
 
43O Campo Elétrico
1 1 2 2
( cos 1), cosx
k yE
y l y
  = − + =
+
 
2 2
1
x
k yE
y yl y
   = − + +  
1
2 2 2
1 1
( )
xE k y l y

 
 = −  +  
.
2.4 Linhas de campo elétrico
Muitas vezes é conveniente visualizar o comportamento do campo 
elétrico através das linhas de campo (ou de força). É importante res-
saltar a relação entre as linhas de campo e o vetor campo elétrico em 
uma determinada região: 
O vetor campo elétrico em uma região do espaço é tangente às • 
linhas de campo nessa região;
O número de linhas de campo em uma região é proporcional ao • 
módulo do vetor campo elétrico nessa região.
Essas propriedades podem ser vistas na Figura 2.10. A densidade de 
linhas ao longo da superfície A é maior do que ao longo da super-
fície B . Portanto, podemos concluir que o campo elétrico ao longo 
da superfície A tem módulo maior que o campo elétrico ao longo da 
superfície B .
A
B
Figura 2.10: Linhas de campo através de duas superfícies A e B
44
Para cargas pontuais, podemos observar que em qualquer ponto pró-
ximo a uma carga positiva, uma carga de prova será repelida e, como 
conseqüência, as linhas de campo divergem da carga positiva. Do mes-
mo modo, em qualquer ponto próximo a uma carga negativa, uma 
carga de prova será atraída, e por esse motivo as linhas de campo 
convergem para uma carga negativa. Na Figura 2.11 podemos observar 
as linhas de campo produzidas por cargas puntiformes.
(b) (c)(a)
-qq
Figura 2.11: Linhas de campo produzidas por cargas (a) positiva e (b) negativa. (c) 
Pequenos filamentos de fibra suspensos em óleo se alinham com o campo elétrico.
Para um sistema de cargas pontuais, como mostradas nas Figuras 
2.12 e 2.13, as linhas de campo saem das cargas positivas e chegam às 
cargas negativas. É importantíssimo ainda observar que duas ou mais 
linhas de campo não se cruzam em um ponto do espaço.
(a) (b)
Figura 2.12: (a) Linhas de campo em um dipolo elétrico. (b) Filamentos de fibra sus-
pensos em óleo alinhados com o campo elétrico produzido por um dipolo elétrico.
45O Campo Elétrico
(a) (b)
Figura 2.13: (a) Linhas de campo produzidas por um par de cargas de mesmo sinal. 
(b) Filamentos de fibra suspensos em óleo alinhados com o campo produzido pelas 
cargas.
2.5 Movimento de partículas carregadas em um 
campo elétrico uniforme
Um campo elétrico em uma região será uniforme quando seu módu-
lo, direção e sentido continuarem os mesmos em todos os pontos da 
região. Quando uma partícula de carga q e massa m é colocada em 
um campo elétrico uniforme, a força elétrica sobre a carga é dada 
pela equação F q E= ⋅
 
. Se essa força for a resultante, a aceleração da 
partícula será:
 e
q ER F m a q E a
m
⋅= ∴ ⋅ = ⋅ ∴ =

  
 
 
.
Essa aceleração é constante, portanto a partícula estará em movimen-
to retilíneo uniformemente variado. Se a partícula tiver carga positiva, 
a força elétrica sobre a carga terá o sentido do campo; se a carga for 
negativa, a força terá sentido contrário ao campo (Figura 2.14).
46
FE
FE
E
Figura 2.14: Cargas aceleradas em um campo elétrico uniforme.
Exemplo 7: Um elétron entra em uma região onde existe um campo 
elétrico uniforme de módulo 200 /E N C= . Encontre o módulo da 
aceleração do elétron enquanto ele estiver no campo elétrico. A mas-
sa do elétron é igual a 319,11 10 kg−× .
Resolução: Conforme discutido acima, a aceleração do elétron é:
19
13 2
31
1,6 10 200 / 3,51 10 /
9,11 10
q E C N Ca m s
m kg
−
−
⋅ × ⋅= = = ×
× .
2.6 Dipolo elétrico em um campo uniforme
Conforme discutido anteriormente, no Exemplo 2, embora os átomos 
e moléculas sejam eletricamente neutros, ambos são afetados por 
campos elétricos. Em algumas moléculas, denominadas polares, os 
centros de cargas positivas e negativas não coincidem. Essas molécu-
las possuem um momento de dipolo permanente. Quando uma dessas 
moléculas é colocada em uma região onde existe um campo elétrico 
uniforme, como na Figura 2.15, não há uma força resultante sobre ela, 
mas um torque, que faz a molécula girar em torno de seu centro. Num 
campo elétrico não uniforme (Figura 2.16), a molécula sofre a ação de 
uma força resultante, em virtude da diferença do campo nas posições 
ocupadas pelos centros de cargas.
Como exemplo de 
moléculapolar podemos 
citar a água.
47O Campo Elétrico
L
E
F1
F2 q
q+
-
θ
Figura 2.15: Forças que atuam sobre os centros de cargas positiva e negativa em um 
dipolo elétrico imerso em um campo elétrico uniforme.
E
F2
q
q+
-
F1
Figura 2.16: Forças que atuam sobre os centros de cargas positiva e negativa em um 
dipolo elétrico imerso em um campo elétrico não uniforme.
Na Figura 2.15 temos um dipolo imerso em um campo elétrico unifor-
me. O vetor momento de dipolo ( )p

forma um ângulo  com o campo 
elétrico. As forças que atuam sobre as cargas que formam o dipolo 
são: 1F q E= ⋅
 
 e 2F q E= − ⋅
 
. Como o campo é uniforme, as forças 
têm mesmo módulo, porém sentidos opostos, e desse modo a força 
resultante sobre o dipolo é nula. Entretanto, as forças atuam em ex-
tremidades diferentes, ocasionando um torque responsável pelo giro 
do dipolo no sentido do alinhamento entre o momento de dipolo e o 
campo elétrico. Assim:
48
1 2 1 22 2
L LF sen F sen q E L sen p E sen      = + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
 
Onde p q L= ⋅


 é o vetor momento de dipolo. Convenientemente, po-
demos escrever o torque como o produto vetorial do momento de di-
polo pelo campo elétrico
p Eτ = ×

 
.
Resumo
De maneira semelhante ao campo gravitacional, pode-se definir o 
campo elétrico produzido por uma carga q como:
0
eFE
q
=


,
onde 0q é uma carga de prova colocada a uma distância r da carga 
pontual q . Desse modo, esse campo elétrico pode ser reescrito como:
2 ˆ
qE k r
r
=

.
Na equação acima, rˆ é o vetor unitário que possui a direção da reta 
que une a carga ao ponto onde se deseja determinar o campo. 
Como conseqüência da definição de campo elétrico, observa-se que ele 
diverge para uma carga positiva e converge para uma carga negativa.
Para se determinar o campo elétrico produzido por uma distribuição 
de cargas pontuais, deve-se calcular o campo de carga isoladamente 
e depois somar esses campos (princípio da superposição):
1 2 3 ...E E E E= + + +
   
Um procedimento semelhante deve ser utilizado para calcular o cam-
po elétrico devido a uma distribuição contínua de carga. Em primeiro 
lugar, divide-se essa distribuição em elementos de carga dq . Depois, 
49O Campo Elétrico
calcula-se o campo devido a cada elemento. Finalmente, somam-se 
(utilizando o princípio da superposição) os campos desses elementos 
(geralmente esse somatório é transformado em uma integral).
Quando uma carga elétrica é abandonada em uma região onde existe 
um campo elétrico uniforme, ela é acelerada no sentido do campo se 
for positiva, ou em sentido contrário ao campo se for negativa. Se a 
atração gravitacional e as forças de resistência forem desprezadas, 
esse movimento será uniformemente variado.
Foi discutido o comportamento de um dipolo elétrico (sistema forma-
do por duas cargas de mesmo módulo e sinais contrários separadas 
por uma distância d ) em um campo elétrico. O campo elétrico produ-
zido por um dipolo a uma distância r de seu centro tem módulo:
3
2kpE
r
=
 
,
onde p q d= ⋅ é o módulo do vetor momento de dipolo. Esse vetor 
tem direção sobre a reta que une as duas cargas do dipolo e aponta 
da carga positiva para a negativa. 
Quando esse dipolo estiver em uma região onde existe um campo 
elétrico uniforme, o dipolo tende a se alinhar com o campo, ou seja, 
sofre um torque dado por:
p Eτ = ×

 
.
Exercícios
1)	Uma carga de 4,0 Cµ está na origem. Qual é o módulo do campo 
elétrico sobre o eixo x em (a) 6x m= e (b) 10x m= ? 
(Respostas: (a) 1000 /N C e (b) 360 /N C .)
2)	A carga 1 6,0q nC= está sobre o eixo dos y em 3y cm= + , e a 
carga 2 6,0q nC= − está sobre o eixo dos y em 3y cm= − . 
Qual é o módulo e a direção do campo elétrico sobre o eixo dos a) 
x em 4x cm= ? 
50
Qual é a força exercida sobre uma carga puntiforme de b) 2 nC 
colocada sobre o eixo dos x em 4x cm= ? 
(Respostas: (a) ˆ25900 /j N C− e (b) ˆ51800 /j N C− .) 
( 91 1 10n nano −= = )
3)	A haste de comprimento 

, da Figura 2.12, tem uma densidade 
linear de carga uniforme λ e uma carga total Q . Calcule o campo 
elétrico em um ponto P ao longo do eixo da haste, à distância a de 
uma das extremidades. 
(Resposta: 
QE k
a ( a)
=
⋅ +
).
y
P
a
dx
dq = λdx
x
x
ℓ
Figura 2.17: Exercício 3
4)	Ao se calcular a aceleração de um elétron ou de outras partículas 
carregadas, a razão entre a carga e a massa (carga específica) da par-
tícula é importante. 
Calcule a) e
m
 no caso de um elétron. 
Qual é o módulo e a direção da aceleração de um elétron num b) 
campo elétrico uniforme de módulo 100 /N C ? 
A mecânica não-relativística só pode ser usada se a velocidade c) 
escalar do elétron for significativamente menor que a velocida-
de da luz c . Calcule o tempo necessário para que um elétron, 
partindo do repouso, num campo elétrico de módulo 100 /N C , 
atinja a velocidade de 0,01c . 
Qual a distância percorrida pelo elétron no intervalo de tempo d) 
calculado? 
51O Campo Elétrico
(Respostas: (a) 111,76 10 /C kg× , (b) 16 21,76 10 /m s× na mes-
ma direção e em sentido contrário ao campo, (c) 0,17us e (d) 
25,6 cm ).
5)	Um dipolo, com momento 0,5e nm , está colocado num campo 
elétrico uniforme de intensidade 44 10 /N C× . Qual é o valor do tor-
que sobre o dipolo quando 
o dipolo está paralelo ao campo elétrico, a) 
o dipolo está perpendicular ao campo elétrico e b) 
o dipolo faz um ângulo de c) 30° com o campo elétrico?
6)	Quatro cargas elétricas de módulos iguais estão dispostas nos 
vértices de um quadrado de lado L , conforme mostra a figura 2.13. 
Mostre que o campo elétrico no ponto médio de um lado do quadrado 
está na direção do lado, apontando para a carga negativa, e tem mó-
dulo E dado por:
2
8 51
25
qE k
L
 
= −    
.
- q
- q
+ q
+ q
Figura2.18: Exercício 6.
52
Bibliografia comentada
ALONSO, M.; FINN, E. J. Física um Curso Universitário. Vol. 2. São Pau-
lo: Edgard Blücher.
Nos capítulos 14 e 16 desse livro, os autores discutem a interação elétrica 
e a lei de Gauss, apresentando uma grande variedade de exercícios.
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica. Vol. 3. São Paulo: Edgard 
Blücher, 1997. 
No terceiro capítulo dessa obra, o autor discute o vetor campo elétrico 
e a lei de Gauss, apresentando diversos exercícios.
SERWAY, R. A.; JEWETT Jr., J. W. Princípios da Física. Vol. 3. São Paulo: 
Pioneira Thomson Learning, 2004.
Nessa obra, os autores propõem exercícios interessantes sobre campo 
elétrico e a lei de Gauss.
Lei de Gauss3
55Lei de Gauss
3 Lei de Gauss
55
No capítulo anterior, ao calcular campos elétricos produ-
zidos por distribuições contínuas de cargas, você deve ter 
percebido que em diversas situações esse tipo de cálculo 
não é simples de ser executado.
Nas situações que envolvem um alto grau de simetria (sis-
temas esféricos, cilíndricos e planos), podemos fazer o 
cálculo do campo elétrico utilizando a lei de Gauss. Esse 
tipo de cálculo envolve a determinação do fluxo elétrico 
através de uma superfície.
No início deste capítulo definiremos fluxo elétrico e enun-
ciaremos a lei de Gauss. Em seguida, aplicaremos a lei 
de Gauss a distribuições contínuas de cargas, resolven-
do problemas que envolvam alto grau de simetria. Final-
mente, discutiremos o comportamento de condutores em 
equilíbrio eletrostático.
3.1 Fluxo
Ao injetarmos tinta em um fluido em movimento, podemos observar 
as linhas de escoamento do líquido (Figura 3.1). Um efeito semelhante 
pode ser obtido com a fumaça no interior de um tubo de vento (Figura 
3.2).
Essas linhas de corrente são os caminhos traçados por pequenos ele-mentos de fluido, e apresentam as seguintes propriedades:
O vetor velocidade é sempre tangente a uma linha de corrente;• 
Duas linhas de corrente jamais se cruzam.• 
Figura 3.1: Linhas de escoa-
mento de um fluido em tor-
no de um cilindro reveladas 
por tinta colorida.
Figura 3.2: Linhas de 
escoamento reveladas por 
fumaça no interior de um 
tubo de vento.
56
Perceba a similaridade entre as linhas de corrente e as linhas de cam-
po discutidas no capítulo anterior.
Na Figura 3.3 podemos observar duas seções transversais de áreas 
1A e 2A , por onde passam linhas de corrente. Durante um pequeno 
intervalo de tempo passará uma quantidade de fluido na superfície de 
área 1A . Se o fluido em questão for incompressível, a mesma quanti-
dade de fluido passará pela superfície de área 2A . Desse modo, o fluxo 
ou vazão do fluido pode ser definido como o volume de fluido que escoa 
através de uma superfície de área A por unidade de tempo, portanto:
A vΦ = ⋅ ,
onde A é a área da superfície e v é a velocidade do fluido ao passar 
pela superfície.
B
C
A1
A2
Figura 3.3 Linhas de corrente através de duas superfícies de áreas 1A e 2A .
3.2 Fluxo elétrico
Na Figura 3.4 podemos ver uma superfície de área A colocada per-
pendicularmente a um campo elétrico uniforme. Analogamente à hi-
drodinâmica, podemos definir o fluxo elétrico através da superfície de 
área A como:
E AΦ = ⋅ ,
que, no Sistema Internacional, é medido em 2 /Nm C .
57Lei de Gauss
E
Área = A
Figura 3.4: Linhas de campo uniforme penetrando em uma superfície de área A 
colocada perpendicularmente ao campo.
Se a superfície não estiver colocada perpendicularmente ao campo, 
como na Figura 3.5, o número de linhas que cruzam essa superfície 
é o mesmo que cruza uma área projetada 'A . A partir da figura per-
cebemos que as áreas estão relacionadas pela equação 'A A cos= ⋅ θ . 
Como o fluxo através da área A é o mesmo através da área 'A , pois 
o número de linhas de campo que cruzam a superfície é o mesmo, 
temos:
'E A E A cosΦ = ⋅ = ⋅ ⋅ θ .
θ
θ
E
A' = A cos θ
A
Normal
Figura 3.5: Linhas de campo para um campo elétrico uniforme através de uma área 
A que faz um ângulo θ em relação ao campo.
Da Figuras 3.4 e 3.5 concluímos que o fluxo será máximo quando a 
superfície for perpendicular ao campo, ou seja, quando a reta normal 
à superfície for paralela ao campo ( 0θ = ° ).
58
Em situações mais gerais, o vetor campo elétrico pode variar ao longo 
da superfície. Nesse caso, para calcularmos o fluxo através da super-
fície, devemos dividir a superfície em diversos elementos (um deles 
pode ser visto na Figura 3.6), calcular o fluxo em cada um e somar os 
fluxos através das superfícies infinitesimais. Ao dividir a superfície da 
Figura 3.6 em um grande número de pequenos elementos de superfí-
cie de área A∆ , o fluxo através de cada superfície é:
i i i i i iE A cos E A∆Φ = ⋅∆ ⋅ θ = ⋅∆

,
onde iA∆

é um vetor cujo módulo representa a área do elemento de 
superfície e a direção é perpendicular à superfície. Somando o fluxo 
em todos os elementos, encontramos o fluxo através da superfície.
0i
i iA
i
lim E A E dA
∆ →
Φ = ⋅∆ = ⋅∑ ∫
  
.
∆Ai
θi Ei
Figura 3.6: Campo elétrico faz um ângulo iθ com a normal à superfície de área iA∆ .
Finalmente, quando a superfície for uma superfície fechada, como a 
da figura 3.7, o fluxo através da superfície fechada pode ser calculado 
através da expressão:
, se // 0º nE dA E dA E dA cos E dA→ ⋅ = ⋅ =
    
,
onde nE é a componente de E

 normal à superfície e o símbolo 
 
re-
presenta uma integral sobre uma superfície fechada.
Em se tratando de uma 
distribuição contínua, o 
somatório é escrito na 
forma de uma integral.
59Lei de Gauss
3
1
3
2
1
E EE∆Ai
∆Ai
∆Ai
θiθi
2
Figura 3.7: Uma superfície fechada em um campo elétrico. Os vetores iA∆

são 
normais à superfície e apontam para fora. Esse fluxo pode ser positivo (1), zero (2) 
ou negativo (3).
3.3 Lei de Gauss
Agora vamos encontrar a relação entre o fluxo elétrico através de uma 
superfície fechada e a carga no interior da superfície. Essa relação 
é conhecida como lei de Gauss, e é bastante utilizada no cálculo do 
campo elétrico de distribuições contínuas de carga.
Na Figura 3.8 (a) podemos ver as linhas de campo através de duas 
superfícies, uma arbitrária e outra esférica, que englobam a carga. 
Como o número de linhas de campo que saem das duas superfícies é 
a mesma, o fluxo elétrico é o mesmo para as duas superfícies. Desse 
modo, é mais simples calcular o fluxo elétrico através da esfera de raio 
R , devido às condições de simetria da esfera. A esfera é mais simétri-
ca que uma superfície arbitrária.
60
Q
(a)
(b)
+ Q
R
++ Q
RR
dA
E 
dAE // 
Figura 3.8: (a) O número de linhas de campo que passam através das duas superfí-
cies é o mesmo, portanto o fluxo elétrico através das superfícies é igual. (b) Desse 
modo, o fluxo elétrico pode ser facilmente calculado utilizando a superfície esférica.
O módulo do campo elétrico da carga Q que se encontra no centro da 
superfície gaussiana na figura 3.8(b) é:
2n
QE k
R
= .
O fluxo resultante através da superfície é:
.
O componente do campo elétrico na direção do vetor normal ao ele-
mento de área dA pode ser retirado do somatório (da integral), pois 
tem módulo constante ao longo da superfície de raio R . A integral de 
dA ao longo da superfície corresponde à área da superfície, que para 
uma esfera de raio R , vale 24 R . O fluxo elétrico através da superfí-
cie será, então:
2
2 4 4
Qk R kQ
R
Φ = π = π .
Lembrando que:
0
1
4
k =
πε
.
61Lei de Gauss
A expressão para o fluxo pode ser reescrita da forma:
0
QΦ =
ε
.
É importante lembrar que esse fluxo é independente da forma da 
superfície. Nesse caso, a escolha de uma superfície esférica ape-
nas simplificou o cálculo. Assim, o fluxo é facilmente calculado em 
situações com um elevado grau de simetria. Esse resultado pode ser 
estendido a uma distribuição de carga qualquer, como a distribuição 
da Figura 3.9. Nessa situação, a carga que aparece na expressão para 
o fluxo é a carga líquida (ou total) no interior da superfície.
q1 q2q1 q2
q3
S
Figura 3.9: O fluxo elétrico através da superfície S depende apenas da carga líquida 
( 1 2q q+ ) no interior da superfície.
Portanto:
“O fluxo elétrico através de uma superfície fechada é pro-
porcional à carga líquida (total) no interior da superfície.”
O enunciado acima é conhecido como lei de Gauss, que pode ser es-
crita formalmente como:
.
Exemplo 1: Na Figura 3.10 estão representadas três superfícies: S , 'S 
e ''S , que envolvem três cargas 1q , 2q e 3q . Determine o fluxo elétrico 
em cada superfície.
62
q1
q3
q2
S
S''
S'
Figura 3.10: Exemplo 1.
Resolução: A superfície S engloba a carga 1q , e desse modo, o fluxo 
elétrico através dessa superfície será:
1
0
qΦ =
ε
.
A superfície 'S engloba as cargas 2q e 3q , e portanto, o fluxo através 
dessa superfície será:
2 3
0 0
' totalq q q+Φ = =
ε ε
.
No interior da superfície ''S não há carga, assim: '' 0Φ = .
Exemplo 2: Um campo elétrico vale ˆE (200 N / C)i=

 na região em 
que 0x > , e ˆE ( 200 N / C) i= −

 na região em que 0x < . Uma superfí-
cie cilíndrica imaginária com comprimento de 20cm e raio 5R cm= 
tem seu centro geométrico na origem e seu eixo, coincidente com o 
eixo x , de modo que uma de suas extremidades está em 10x cm= + e 
a outra em 10x cm= − (Figura 3.11). (a) Qual é o valor do fluxo elétrico 
que atravessa toda a superfície fechada definida pelo cilindro? (b) Qual 
é a carga resultante no interior da superfície fechada?63Lei de Gauss
z
n^
E
y
x
n^
n^
E
A A
E
Figura 3.11: Exemplo 2.
Resolução: (a) Para resolver esse item, devemos calcular o fluxo no 
corpo e nas extremidades do cilindro. Com o objetivo de facilitar esse 
cálculo, vamos definir um vetor unitário ( nˆ ) normal à superfície. Des-
sa forma, o vetor A

 pode ser escrito como ˆA n⋅ . O fluxo no corpo do 
cilindro é:
ˆ 90 0ocorpo E A E nA E A cosΦ = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ =
 
.
Na extremidade direita o fluxo é:
2
2ˆ 0 200 (0,05 ) 1,57odireita
N NmE A E nA E A cos m
C C
Φ = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅π ⋅ =
 
.
Na extremidade esquerda o fluxo é:
2
2ˆ 0 200 (0,05 ) 1,57oesquerda
N NmE A E nA E A cos m
C C
Φ = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅π ⋅ =
 
.
O fluxo elétrico através da superfície é igual a:
2
3,14corpo direita esquerda
Nm
C
Φ = Φ +Φ +Φ = .
(b) Usando a lei de Gauss, podemos escrever:
2 2
12 11
0 2
0
 8,85 10 3,14 2,78 10q C Nmq C
CNm
− −Φ = ⇒ = ε ⋅Φ = × ⋅ = ×
ε
.
64
3.4 Aplicações da lei de Gauss a distribuições 
simétricas de carga
A lei de Gauss pode ser utilizada para calcular o campo elétrico atra-
vés de qualquer superfície. Entretanto, conforme comentamos na se-
ção anterior, o fluxo pode ser facilmente calculado em superfícies com 
um elevado grau de simetria. Por elevado grau de simetria podemos 
entender as simetrias esférica, plana e cilíndrica.
Nessa seção vamos aplicar a lei de Gauss para o cálculo do campo 
elétrico em algumas distribuições de carga. Para efetuarmos esse cál-
culo, devemos primeiramente escolher uma superfície que englobará 
a distribuição. Essa superfície deve ser escolhida de forma a aprovei-
tar a simetria da distribuição. Quando isto é observado, o vetor cam-
po elétrico tem módulo constante ao longo da superfície e a direção 
do vetor unitário normal ( nˆ ) à superfície. Portanto, o produto escalar 
entre o campo elétrico e o vetor normal será igual ao módulo do cam-
po, que poderá sair da integral. E a resolução da integral será igual à 
área da superfície gaussiana.
Exemplo 3: Campo elétrico devido a uma carga pontual - Usando a 
lei de Gauss, determine o campo elétrico devido a uma carga pontual 
q isolada.
Resolução: Conforme discutido anteriormente, devemos escolher 
uma superfície gaussiana com um elevado grau de simetria. Aqui es-
colheremos uma superfície esférica de raio r , centrada na carga (Fi-
gura 3.12).
Superfície
gaussiana
E
r
q
+
r
qq
+
dA
Figura 3.12: A superfície gaussiana é uma esfera de raio r centrada na carga.
O fluxo elétrico através da superfície é:
chamada superfície 
gaussiana
65Lei de Gauss
,
pois
// 0ºE dA E dA E dA cos→ ⋅ = ⋅
    
.
Como o campo elétrico tem módulo constante ao longo da superfí-
cie:
,
que é o campo elétrico obtido no capítulo anterior, a partir da lei de 
Coulomb.
Exemplo 4: Uma distribuição de carga com simetria esférica - Uma 
esfera sólida isolante de raio a tem uma densidade volumétrica de 
carga uniforme ρ e uma carga positiva total q . (a) Calcule a magni-
tude do campo elétrico em um ponto fora da esfera. (b) Determine o 
módulo do campo elétrico em um ponto dentro da esfera.
Resolução: (a) Como o problema tem simetria esférica, a superfí-
cie gaussiana escolhida será uma esfera de raio r ( r a> ), de mesmo 
centro que a esfera sólida, como mostra a Figura 3.13a. Resolvendo o 
problema da mesma forma que o exemplo 3, obtemos:
2
qE k
r
= .
Ou seja, o campo elétrico é equivalente ao de uma carga pontual.
(b) A superfície gaussiana será uma esfera de raio r ( r a< ) concên-
trica à esfera sólida (Figura 3.13b). O volume da superfície gaussiana é 
menor que o volume da esfera. Desse modo, a carga contida no inte-
rior da superfície gaussiana será:
34 
3
interna
interna
q q V r
V
ρ = ⇒ = ρ = ρ π .
Em virtude da simetria, o campo elétrico tem módulo constante ao 
longo da superfície gaussiana, e a mesma direção e sentido do vetor 
 - Área da superfície 
da casca esférica.
66
normal à superfície. Dessa forma:
.
Da expressão encontrada acima, podemos concluir que no interior 
da esfera o campo elétrico varia linearmente com o raio r . O gráfico 
do campo elétrico em função da distância r pode ser visto na figura 
3.14.
r
a
r
a
(a) (b)
Esfera (superfície)
gaussiana
Esfera (superfície)
gaussiana
r
a
r
Figura 3.13: Superfícies gaussianas (a) fora e (b) dentro da esfera sólida de raio a .
E
a
a r
E
keQ
r2=
Figura 3.14: O gráfico acima mostra o comportamento do campo elétrico em fun-
ção da distância r .
Exemplo 5: Uma distribuição de carga com simetria cilíndrica - En-
contre o campo elétrico a uma distância r de uma linha de carga 
positiva, de comprimento infinito, com uma densidade linear de carga 
λ constante (Figura 3.15).
67Lei de Gauss
Resolução: Em virtude da simetria do problema, o vetor campo elé-
trico é perpendicular à linha carregada e orientado para fora. A sime-
tria do problema é, portanto, cilíndrica. A superfície gaussiana esco-
lhida será um cilindro de raio r e altura L , coaxial à linha carregada, 
como mostra a Figura 3.15.
+
+
+
+
+
+
r
E
dAℓ
Superfície
gaussiana
Figura 3.15: A linha infinita carregada envolvida pela superfície gaussiana.
A carga elétrica no interior da superfície gaussiana é:
.
O fluxo elétrico através da superfície é:
.
Como o módulo do campo elétrico é constante ao longo da superfície:
.
Nesse tipo de distribuição, o campo elétrico é inversamente propor-
cional à distância r . Se a linha de carga não for infinita, a lei de Gauss 
não pode ser utilizada, pois o campo elétrico não será constante ao 
longo da superfície gaussiana.
68
Exemplo 6: Uma folha plana não condutora eletricamente carregada 
- Calcule o campo elétrico devido a um plano infinito não condutor, 
com carga positiva por unidade de área σ uniforme.
Resolução: Uma superfície plana pode ser considerada infinita quan-
do estivermos calculando o campo elétrico em um ponto muito próxi-
mo à superfície e ao centro do plano. Em virtude da simetria, o campo 
elétrico deve ser perpendicular à superfície do plano, como mostra a 
Figura 3.16. A superfície gaussiana escolhida será um pequeno cilindro 
de eixo perpendicular ao plano, cujas extremidades têm área A . Na 
superfície lateral o produto escalar é cos 0º 0E dA E dA⋅ = ⋅ ⋅ =

. Logo, 
só as tampas contribuem para o calculo do E total.
+ +
+
+
+ +
+
+
++
+ +
+
+ +
+ +
+
+ +
+ +
+ +
+
+
+ ++
+
+ + + +
+ +
E A
E
Cilindro
gaussiano
Superfície
gaussiana=
Figura 3.16: Direção e sentido do campo elétrico produzido por um plano infinito 
uniformemente carregado.
A carga no interior da superfície gaussiana é dada por:
 interior interior
q q A
A
σ = ⇒ = σ .
O fluxo elétrico é:
.
Como o campo é constante ao longo das extremidades da superfície:
.
69Lei de Gauss
É importante lembrar que há fluxo elétrico nos dois lados da superfí-
cie gaussiana. Por esse motivo, o resultado da integral é igual a 2A 
(devido às duas extremidades de área A ).
3.5 Cargas e campos elétricos nas superfícies 
condutoras
Um condutor possui um número grande de cargas que podem se mo-
ver livremente em seu interior. Quando esse condutor é submetido 
a um campo elétrico externo, essas cargas passam a se mover de 
acordo com a orientação do campo. Para manter essas cargas nes-
se movimento ordenado, é necessário uma fonte externa de energia, 
conforme será discutido no Capítulo 6.
Dessa forma, na ausência desse campo externo, o campo elétrico no 
interior do condutor é nulo. Diz-se, então, que o condutor está em 
equilíbrio eletrostático.
Suponha um condutor de forma qualquer, em equilíbrio eletrostático,