Relatorio Vibrações Livres e Forçadas

Prévia do material em texto

INSTITUTO FEDERAL DE GOIÁS / CÂMPUS GOIÂNIA 
DEPARTAMENTO DE ÁREAS ACADÊMICAS IV 
COORDENAÇÃO DE MECÂNICA 
DISCIPLINA: VIBRAÇÕES DOS SISTEMAS MECÂNICOS 
 
 
 
 
TÍTULO DA ATIVIDADE 
Sistema de 1 grau de liberdade (GDL) em vibração livre 
 
 
 
 
 
 
CAIO DIAS DE MEDEIROS 
 
 
 
 
 
Professor 
EIDER LÚCIO DE OLIVEIRA 
 
 
 
 
 
GOIÂNIA 
OUTUBRO/2019 
1. IDENTIFICAÇÃO DA ATIVIDADE 
 
1.1. Título: Aula prática de sistema de 1 grau de liberdade (GDL) em vibração livre e vibração 
harmônica. 
1.2. Disciplina: Vibrações dos Sistemas Mecânicos 
1.3. Local: Laboratório T-409 
1.4. Responsável pela realização: Prof. Eider Lucio de Oliveira. 
 
2. OBJETIVOS 
 
2.1. OBJETIVO GERAL 
 
 Estudar um sistema massa, mola e amortecedor (1GDL) em vibração livre e em vibração com 
uma excitação harmônica com amortecimento. 
 
2.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS 
 
• Montar o modelo experimental de um sistema de 1 GDL; 
• Realizar aquisição de dados (aceleração) de um sistema de 1 GDL em vibração livre; 
• Desenvolver metodologia para obter o sinal de deslocamento da massa; 
• Realizar aquisição de dados (aceleração) de um sistema de 1 GDL em vibração com 
uma excitação harmônica com amortecimento. 
 
3. ASPECTOS TEÓRICOS RELATIVOS AO EXPERIMENTO 
 
3.1. VIBRAÇÃO 
 
 Segundo RAO (2008) pode-se entender vibração como sendo qualquer movimento que se 
repita após um intervalo de tempo. 
 O movimento oscilatório é geralmente provocado quando o sistema é deslocado da sua 
posição de equilíbrio devido, por exemplo, à atuação de forças exteriores, de deslocamentos da sua 
base ou de choques com outros corpos. As forças atuantes no corpo quando essa solicitação cessa têm 
a tendência de restaurar a configuração inicial. Quando o corpo atinge de novo a sua posição inicial 
a sua velocidade não será nula porque o movimento se prolongará no tempo como uma oscilação 
harmônica (Correia, 2007). 
 O intervalo de tempo necessário para completar um ciclo complete é compreendido como 
período de vibração (T) e sua frequência (f) é o inverso do período e representa o número de ciclos 
por unidade de tempo. 
𝑓 =
1
𝑇
 (1) 
 
 Sendo que um ciclo num movimento circular corresponde a um ângulo de 2π radianos, define-
se a frequência angular (ω) pela Equação (2). O deslocamento máximo do sistema medido a partir da 
sua posição de equilíbrio é a amplitude do movimento. 
 
𝜔 = 2𝜋𝑓 (2) 
 
 O deslocamento máximo do sistema medido a partir da sua posição de equilíbrio é a amplitude 
do movimento. 
 
3.2. GRAU DE LIBERDADE 
 
 O número de graus de liberdade (GDL) usado na análise de um sistema mecânico é o número 
de coordenadas cinematicamente independentes necessárias para descrever completamente (localizar 
e orientar) o movimento espacial de toda partícula de um sistema em qualquer instante de tempo 
(RAO,2008). 
 
3.3. SISTEMAS DE UM GRAU DE LIBERDADE 
 
 Sistemas de um grau de liberdade são sistemas ideais, capazes de representar uma reduzida 
parte dos sistemas reais presentes no mundo físico, assim mesmo com grande simplificação (BONI, 
2011). 
 
 
 
3.4. VIBRAÇÃO LIVRE 
 
 Segundo RAO (2008) a vibração pode ser definida como livre se um sistema, após uma 
perturbação inicial, continuar a vibrar por conta própria. Nenhuma força externa age sobre o sistema, 
ou seja, ocorre quando o movimento resulta apenas de condições iniciais, não havendo nenhuma 
causa externa atuando durante o mesmo. As vibrações livres são a solução da seguinte Equação: 
 
𝑥 .. + 2𝜁𝜔𝑛𝑥
. + 𝜔𝑛
2𝑥 = 0 (3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1: Sistema conservativo com 1GDL 
 
 Quando não há amortecimento, a Equação (3) rege o movimento: 
 
𝑀𝑥′(𝑡) + 𝐾𝑥(𝑡) = 0 (4) 
 
3.5. FREQUÊNCIA NATURAL E FREQUÊNCIA NATURAL AMORTECIDA 
 
 Segundo RAO (2008) se, após uma perturbação inicial, um sistema continuar a vibrar por si 
próprio sem a ação de forças externas, a frequência com que ele oscila é conhecida como frequência 
natural. 
 A frequência natural pode ser definida pela relação entre a rigidez ‘k’ do elemento do sistema 
e a massa ‘m’ do bloco ou corpo em estudo. A relação é dada pela Eq. 5, onde ‘ωn’ é a frequência 
natural. 
𝜔𝑛 = √
𝑘
𝑚
 (5) 
 
 Em que: 
 k → rigidez do elemento (N/m no SI) 
 m → massa do bloco (Kg no SI) 
 ωn → frequência natural (Hz no SI) 
 
 De acordo com Rao (2008), a frequência de vibração amortecida, é sempre menor do que a 
frequência natural não amortecida, dada pela Eq. 6. 
 
𝜔𝑑 = 𝜔𝑛√1 − 𝜁2 (6) 
 
Em que: 
𝜁 → fator de amortecimento 
𝜁 =
𝑐
𝑐𝑐
 (7) 
 
𝑐𝑐 = 2𝑚𝜔𝑛 (8) 
 
c → constante de amortecimento 
cc→ constante de amortecimento crítico 
 
3.6. AMORTECIMENTO VISCOSO 
 
 Amortecimento viscoso é o mecanismo de amortecimento mais comumente usados em análise 
de vibrações. Quando sistemas mecânicos vibram em um meio fluido como ar, gás, óleo, a resistência 
oferecida pelo fluido ao corpo em movimento faz que a energia seja dissipada. Nesse caso, a 
quantidade de energia dissipada depende de muitos fatores como o tamanho e a forma do corpo em 
vibração, a viscosidade do fluido, a frequência de vibração e velocidade do corpo em vibração. No 
amortecimento viscoso, a força de amortecimento é proporcional à velocidade do corpo vibratório 
(RAO, 2008). 
 
3.7. AMORTECIMENTO POR HISTERESE 
 
 Quando um material é deformado, ele absorve e dissipa energia. O efeito deve-se ao atrito 
entre os planos internos, que deslizam ou escorregam enquanto as deformações ocorrem. Quando um 
corpo amortecido material é sujeito à vibração, o diagrama tensão-deformação mostra um ciclo de 
histerese. A área desse ciclo denota a energia perdida por unidade de volume do corpo por ciclo 
devido ao amortecimento (RAO, 2008). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 2: Ciclo de histerese para materiais elásticos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.8. VIBRAÇÃO LIVRE COM AMORTECIMENTO 
 
 Um sistema com um grau de liberdade com amortecimento do tipo viscoso é mostrado na Fig. 
3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3: Sistema massa, mola, amortecedor. 
 Quando o sistema mecânico vibra, energia é dissipada devido às forças de amortecimento e 
assim, quando a vibração é livre, sua amplitude decresce com o tempo. A Equação do movimento (4) 
é dada por: 
 
𝑀𝑥′′(𝑡) + 𝐶𝑥′(𝑡) + 𝑘𝑥(𝑡) = 0 (9) 
 
3.8.1. CASOS DE SISTEMA LIVRE AMORTECIDO 
 
Dentre os sistemas amortecidos, existem 3 categorias, como mostra RAO,2008 a fórmula 
para encontrar o fator de amortecimento é: 
 
 𝜉 =
𝑐
𝐶𝑐
 (10) 
 
 (
𝐶𝑐
2𝑚
)2 =
𝑘
𝑚
 (11) 
Sendo assim, existem 3 possíveis casospara o valor do fator de amortecimento, 𝜉 > 1; 𝜉 =
1; 𝜉 < 1 < 0 
 
• 𝜁 < 1: Sistema Subamortecido ou Supercrítico, força de atrito é maior que a restauradora; 
não há movimento periódico e a partícula tende a parar na sua posição de equilíbrio sem 
oscilar. 
• 𝜁 = 1: Sistema Criticamente Amortecido, as duas forças são comparáveis. 
• 𝜁 > 1: Sistema Superamortecido ou Subcrítico, a força restauradora é maior que a força 
de atrito; o oscilador terá seu movimento oscilatório, porém, a força de atrito diminui a 
amplitude desse movimento até a partícula parar na sua posição de equilíbrio. 
 
 
Figura 04: Gráficos de comparação entre sistemas com amortecimento. 
 
3.9. DECREMENTO LOGARÍTMICO 
 
 Um problema que se apresenta normalmente para quem estuda sistemas vibratórios é estimar 
o fator de amortecimento 𝜁. Quando se possui um registro, resultado de uma medição, de um 
movimento vibratório, é possível observar a queda exponencial da amplitude de vibração com o 
tempo. O método do decremento logarítmico se fundamenta na comparação entre dois deslocamentos 
medidos de um movimento vibratório livre amortecido (BONI, 2011). 
 O decremento logarítmico é definido pela equação: 
 
𝛿 =
2𝜋𝜉
√1−𝜉2
 (12) 
 
 A Fig. 4 mostra graficamente a relação entre δ e 𝜁de onde se pode ver que a curva (2.44) se 
aproxima da reta descrita por (2.45) quando 𝜁< 0.3 . 
 
 
Figura 5: Variação do decremento logarítmico com o amortecimento. (Fonte: BONI, 2011) 
 
3.10. VIBRAÇÃO COM FORÇA HARMÔNICA 
 
 Vibração forçada é aquela que ocorre quando o sistema sofre a ação de forças externas durante 
o movimento. É importante estudar este fenômeno pois abrange grande quantidade das situações reais 
enfrentadas por profissionais de engenharia. As forças que atuam no sistema pode ser determinísticas 
e aleatórias. As forças harmônicas e as forças periódicas são uma das maneiras de representar e 
determinar a força determinística. A resposta do sistema é dada pela resolução da equação do 
movimento. A solução geral é dada pela solução particular e pela solução homogênea. 
 A resposta dinâmica de um sistema com um grau de liberdade sob excitação harmônica para 
um sistema com um grau de liberdade é dada por: 
 
𝐹(𝑡) = 𝐹𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜙) 𝑜𝑢 𝐹(𝑡) = 𝐹𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜙) (13) 
 
 Onde F é a amplitude, 𝜔 é a frequência e 𝜙 é o ângulo de fase da excitação harmônica. O 
valor de 𝜙 depende do valor de F(t) em t=0 e normalmente é considerado igual a zero. Também pode 
ser representado pela forma exponencial: 
 
 𝐹(𝑡) = 𝐹𝑒𝑖(𝜔𝑡+𝜙) (14) 
 
3.11. SOLUÇÃO DE UM SISTEMA DE 1 GDL COM AMORTECIMENTO VISCOSO COM 
FORÇA HARMÔNICA 
 
 
Figura 6. Sistema amortecido 1GDL. 
 
 A equação do movimento para este sistema deve ter presente o amortecimento e a força 
elástica da mola: 
 
 𝑚𝑥" + 𝑐𝑥′ + 𝑘𝑥 = 𝐹(𝑡) = 𝐹0𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) (15) 
 A solução total é dada pela soma da solução homogênea com solução particular do sistema. 
 
 𝑥𝑡(𝑡) = 𝑥ℎ(𝑡) + 𝑥𝑝(𝑡) (16) 
 
 A solução particular desse sistema será na forma: 
 
 𝑥𝑝(𝑡) = 𝑋𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜙) (17) 
 
onde X e 𝜙são constantes a se determinar a seguir. Utilizando o seno e o cosseno da subtração é 
possível desenvolver a equação e isolando os termos correspondentes ou cos (𝜙) e ao sen (𝜙) temos 
que: 
 
 𝑋 =
𝐹0
√ [(𝑘−𝑚𝜔²)²+𝑐²𝜔²]
 (18) 
 
 𝜙 = 𝑡𝑔⁻¹(
𝑐𝜔
𝑘−𝑚𝜔
) (19) 
 
 O fator de ampliação 𝑀 = 𝑋/𝛿ₛₜvaria com a variação do fator de amortecimento (𝜁), 
amplitude da resposta (X), ângulo de fase da resposta (𝜙) e a razão de frequências (𝑟 = 𝜔 /𝜔𝑛). 
 Dessa maneira a resposta é dada por: 
 
 𝑥(𝑡) = 𝑋0𝑒^(−𝜁𝜔𝑛𝑡)𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑑𝑡 − 𝜙0) + 𝑋𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝜙) (20) 
 
3.12. GRÁFICOS E COMPARAÇÕES DO FATOR DE AMPLIFICAÇÃO PARA UM 
SISTEMA DE 1 GDL COM AMORTECIMENTO VISCOSO COM FORÇA HARMÔNICA. 
 
Observa-se que para amortecimentos baixos há uma faixa de frequência em torno da 
frequência natural na qual os fatores de amplificação dinâmica são altos. Portanto nesta região podem 
ocorrer vibrações com grandes amplitudes, mesmo quando as amplitudes das forças excitadoras são 
pequenas. 
Para frequências próximas de zero, o comportamento do sistema é do tipo estático. Para 
frequências muito acima da frequência natural há grande redução na amplitude de vibração. Esta faixa 
de frequências de excitação (por ex. para frequências acima de duas vezes a frequência natural) pode 
ser indicada em muitas aplicações. O amortecimento é muito importante quando se trabalha com 
frequências de excitação próximas da frequência natural. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 07: Gráfico fator de ampliação x amortecimento. 
 
4. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
 
4.1. INSTRUMENTOS 
 
Para realização do experimento montou-se a bancada experimental utilizando-se os seguintes 
equipamentos: 
● Sistema massa mola amortecedor com um grau de liberdade. 
● Gerador de sinais da Atten Instruments®, modelo ATF 20B DDF Function Generator, 
20MHZ. 
● Amplificador de Potência da Pasco Scientific®, modelo CI-6502, Séries 6500 Interfaces, 
0 a ±10V, 1A máx. 
● Shaker (Wave Driver II) da Pasco Scientific®, modelo WA-9753, entrada máxima de 
20Vpp, resistência 4Ω. 
● Placa de aquisição de dados National Instruments®, 4 canais, 24 bits de resolução AD, 
faixa dinâmica de 102dB, 51,2 kS/s de amostragem; 
● Acelerômetro miniatura piezoelétrico DeltaTron® da Bruel Kjaer®, modelo 4516, banda 
de frequência de 1 a 20.000 Hz; 
● Notebook. 
 
4.2. DESCRIÇÃO DO PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
 
 O Experimento em questão tem como finalidade a comparação dos conceitos estudados 
teoricamente com o que acontece na prática, para isso foi montada uma bancada conectada onde o 
acelerômetro era conectado ao sistema de 1 GDL e o cabo do acelerômetro conectado à placa de 
aquisição que por sua vez foi ligada ao notebook. 
Após a montagem foi aplicado um deslocamento inicial ao sistema de 1 GDL que vibrou 
livremente, ou seja, sem perturbação de forças externas aparentes. Após isso foi aplicada uma força 
harmônica com 3 Volts de pico a pico e frequência de 5 Hz. Através da placa foram feitas aquisições 
de sinais de aceleração no tempo e na frequência e, posteriormente. 
O mesmo modelo foi seguido porem alterando as frequências de saída para 6, 7, 8, 9, 10 ,15 
e 20 Hz, o sistema foi desmontado e os parâmetros físicos foram medidos. Após aferição dos 
parâmetros necessários foi repassado um código para realização de um programa no MatLab que será 
utilizado para gerar os gráficos da aceleração no domínio do tempo, aceleração no domínio da 
frequência. 
 
5. METODOLOGIA 
 
5.1. CÁLCULOS TEÓRICOS 
 
 Os dados necessários para posteriores cálculos foram aferidos e são: 
 l = 18 mm 
 e = 0,85 mm 
 h=115 mm 
 E = 200 GPa (aço inox) 
 M = 2193,00 g (massa do sistema) 
 
 Para encontramos a rigidez equivalente do sistema temos: 
 
 
 
𝐹(
𝑙
2
)
3
3𝐸𝐼
=
𝐹(𝑙)3
12𝐸𝐼
 
 
 𝐾𝑐𝑜𝑙 =
12𝐸𝐼
ℎ3
 (21) 
 
 Como são quatro colunas: 
 
 𝐾𝑒𝑞 = 4𝐾𝑐𝑜𝑙 =
48𝐸𝐼
ℎ3
 (22) 
 
 Temos para o cálculo do momento de inércia: 
 
 𝐼 =
𝑙𝑒3
12
 (23) 
 
 l → Comprimento de cada viga (m) 
 e → Espessura de cada viga (m) 
 Substituindo naeq. 23 os valores aferidos acima obtêm-se: 
 
 𝐼 = 9,21.10−13𝑚4 
 
 Substituindo o valor de “I”, “h” e “E” na equação 22 tem-se: 
 
 𝐾𝑒𝑞 = 5,81468
𝐾𝑁
𝑚
 
 
 𝑤𝑛 = √
𝑘
𝑀
 
 
 
 𝑤𝑛 = 51,49245
𝑟𝑎𝑑
𝑠
 
 
 Para cálculo da constante de amortecimento crítico: 
 
 𝑐𝑐 = 2𝑚𝑊𝑛 
 
𝑐𝑐 = 2 ⋅ 2,193 ⋅ 51,49245 =225,845886 𝑁.
𝑠
𝑚
 
 
Figura 08: Resultados Teóricos com base nos dados de entrada fornecidos. 
 
5.2. CÁLCULOS EXPERIMENTAIS 
 
 Para os cálculos experimentais da rigidez equivalente, frequência natural e do amortecimento 
crítico experimental foi necessário a utilização do decremento logarítmico. O decremento logarítmico 
pode ser obtido através das razões das amplitudes por um ciclo, como será demonstrado abaixo: 
 
𝑥(𝑡) = 𝑋0𝑒
−𝛼𝑡𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑡 + 𝛷) 
 
𝑥(𝑡) = 𝑋0[−𝛼𝑒
−𝛼𝑡𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑡 + 𝛷) − 𝛽𝑒−𝛼𝑡𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑡 + 𝛷)] 
 
𝑥′(𝑡) = −𝑋0𝑒
−𝛼𝑡[−𝛼𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑡 + 𝛷) − 𝛽𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑡 + 𝛷)] 
 
 Sabe-se que: 
 
𝐴𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝐶𝑐𝑜𝑠(𝜃 + 𝛷) e 𝐶 = √𝐴2 + 𝐵2 
 
 Então: 
 
𝑥′(𝑡) = −𝑋0𝑒
−𝛼𝑡[𝑦𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑡 + 𝛷𝑣)]onde 𝛷𝑣 = 𝛷 +
𝜋
2
 
 
 Considerando Xv = y.X0 
 
𝑥′(𝑡) = −𝑋𝑣𝑒
−𝛼𝑡[𝑦𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑡 + 𝛷𝑣)] 
 
𝑥′′(𝑡) = −𝑋𝑣. 𝑦. 𝑒
−𝛼𝑡𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑡 + 𝛷𝑎)onde 𝛷𝑎 = 𝛷𝑣 +
𝜋
2
 
 
 Fazendo 
𝑥1′′(𝑡1)
𝑥2(𝑡2)
, para 𝑡2 = 𝑡1 + 𝑇𝑑, tem-se: 
 
𝑥1′′(𝑡1)
𝑥2(𝑡2)
=
𝐴𝑒−𝛼(𝑡1)𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑡1 + 𝛷𝑎)
𝐴𝑒−𝛼(𝑡2)𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑡2 + 𝛷𝑎)
=
𝐴𝑒−𝛼(𝑡1)𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑡1 + 𝛷𝑎)
𝐴𝑒−𝛼(𝑡1+𝑇𝑑)𝑐𝑜𝑠(𝛽(𝑡1 + 𝑇𝑑) + 𝛷𝑎)
 
 
𝑥1′′(𝑡1)
𝑥2(𝑡2)
= 𝑒𝛼𝑇𝑑e 𝛿 = 𝑙𝑛 [
𝑥′′1(𝑡1)
𝑥′′2(𝑡2)
] = 𝛼𝑇𝑑 
5.3. CÁLCULOS DA RIGIDEZ EQUIVALENTE, FREQUÊNCIA NATURAL E 
AMORTECIMENTO CRÍTICO EXPERIMENTAIS. 
 
 Para cálculo do período amortecido foi selecionado 2 pontos a partir dos dados coletados da 
Figura09 e feito a média entre a diferença dos valores das coordenadas X de cada ponto, obtendo-se: 
 
 
 
 
Figura09: Dados coletados. 
 
 Com isso conseguimos calcular o decremento logaritmo do sistema e então encontrar a 
constante de amortecimento como mostrado na figura 10: 
 
 
Figura 10: Resultados experimentais. 
 
5.4. RESULTADOS ENSAIO POR MEIOS GRÁFICOS 
 
 5.4.1. VIBRAÇÃO LIVRE 
 
 Com os dados retirados do experimento e através do software MatLab foram gerados os 
gráficos da aceleração no domínio do tempo (Figura 11) e no domínio da frequência (Figura 12) 
 
 
Figura 11: Gráfico da aceleração no domínio do tempo. 
 
 
Figura 12 Gráfico da aceleração no domínio da frequência. 
 
5.4.2. VIBRAÇÃO HARMONICA. 
 
Com os dados retirados do experimento e através do software MatLab foram gerados os 
gráficos da aceleração no domínio do tempo (Figura 13) e no domínio da frequência (Figura 14). 
Foram coletados dados de variadas frequências, entretanto focaremos na faixa de frequência de 10Hz. 
 
 
Figura 13: Gráfico da aceleração no domínio do tempo. 
 
 
Figura 14: Gráfico da aceleração no domínio da frequência. 
 
Integrando o gráfico da aceleração duas vezes encontramos o gráfico do deslocamento em 
função do tempo. Conforme retratado na Figura15: 
 
Figura 15: Deslocamento no domínio do tempo para uma frequência de 10 Hz. 
 
 
6. CONCLUSÃO 
 
 Através do trabalho proposto pode-se perceber a presença de vibrações em vários aspectos do 
cotidiano que podem ser apresentadas com baixas, médias e altas frequências, podendo perceber 
como um sistema se comportou quando foi excitado e depois quando estava sujeito a vibração livre. 
 Através dos dados retirados da placa de aquisição foi possível gerar um programa no software 
livre MatLab para plotar os gráficos da aceleração no domínio do tempo, aceleração no domínio da 
frequência e aceleração no domínio do tempo de amostragem e retirar dados destes para cálculos 
experimentais da frequência, da constante rigidez da mola e o amortecimento crítico e compará-los 
com os calculados teoricamente. 
 Comparando os resultados obtidos teoricamente com os experimentalmente pode-se perceber 
que há uma grande diferença nesses valores que podem ser devido a fatores como: erro na medição 
das lâminas e o fato de a massa principal do sistema estar engastada na parte superior das mesmas e 
erro de medição da massa do sistema. 
 Apesar dos erros considerados acima foi possível realizar os cálculos e plotagem dos gráficos 
e através do decremento logarítmico e do fator de amortecimento perceber que o sistema é 
subamortecido, o que também pode ser observado no gráfico Aceleração x Tempo devido ao 
comportamento harmônico, ou seja, percebe-se um movimento repetido a intervalos de tempos 
aproximadamente iguais. 
 
 
7. QUESTÕES 
 
1) Por que é importante determinar a frequência natural de um sistema? 
 
R.: Pois a frequência natural é a variável de referência para ressonância. Caso a 
frequência do sistema seja igual à frequência natural, o sistema entrará em ressonância 
invertendo a função de amortecer para a de aumentar a amplitude da vibração, situação 
indesejada na maioria das situações. 
 
2) Qual o efeito de uma dedução na massa sobre a frequência de um sistema? 
 
R.: Com o aumento da massa de um sistema, sua frequência também aumenta, pois 
são inversamente proporcionais de acordo com a fórmula. 
 
3) Qual é o efeito de uma redução na rigidez do sistema sob o período natural? 
 
R.: Uma redução na rigidez faz com que o período natural aumente, como mostra as 
seguintes equações. 
𝑇 =
1
𝑊𝑛
 𝑊𝑛 = √
𝑘
𝑚
 𝑇 = √
𝑚
𝑘
 (inversamente proporcional). 
 
4) Por que a amplitude de vibração livre diminui gradativamente em sistemas práticos? 
 
R.: Pois na prática existem fatores externos que não são considerados na teoria, como, 
atrito nas junções do sistema, resistência do ar, forças externas de vento e barulhos. 
 
5) O que é amortecimento crítico e qual a sua importância? 
R.: O amortecimento crítico (Cc) é definido como o valor da constante de 
amortecimento c para qual o radical na Eq. abaixo torna-se zero: 
(
𝐶𝑐
2𝑚
)
2
−
𝑘
𝑚
= 0 
Um sistema criticamente amortecido terá o menor amortecimento requerido para o 
movimento aperiódico; por consequência, a massa retorna a posição de repouso no 
menor tempo possível, sem ultrapassar o limite. 
 
6) O que acontece com a energia dissipada por amortecimento? 
 
R.: Ela é transformada em energia térmica e sonora. 
 
7) Explique por que uma força constante sobre a massa vibratória não provoca nenhum 
efeito na vibração em regime permanente. 
 
R.: Pois para ter o efeito de vibração é necessária uma variação de deslocamento 
constante, que só pode ser gerado por uma força não constante. Como afirma 
RAO,2008 “vibração é qualquer movimento que se repita após um intervalo de 
tempo”. 
 
8) Defina fator de amplificação. 
 
R.: Fator de amplificação é a razão entre a amplitude estática (X) e a amplitude 
dinâmica (δs). 
 
9) Explique em termos físicos, por que o fator de amplificação é aproximadamente igual a 
1 para pequenos valores de r e é pequeno para grandes valores de r. 
 
R.:Pois a relação entre o fator de amplificação e o valor de r leva em consideração a 
resposta harmônica do sistema e a força externa, estando elas uma vez em fase e ou 
não. Quando em fase, no caso de 0<r<1, o fator de amplificação tende a 1, seu máximo. 
Quando não está em fase, em caso de r>1, o fator tende a 0, seu mínimo. 
 
 
 
 
 
7. Referências Bibliográficas 
 
• BONI. MECANISMOS. Disponível em: 
http//www.joinville.ifsc.edu.br/~pauloboni/MECANISMOS/DIN%C3%82MICA%20DE%20M%C3%81QUINAS/Vibra%C3%A7%C3%B5es%20Apostila.pdf. Acesso em: 04 de Jan 
de 2017. 
 
• RAO, S.S. Vibrações Mecânicas. 4 ed. Pearson, São Paulo, 2008. 
 
• CORREIA, A.A. Dinamica: Vibrações de Sistemas com 1 Grau de Liberdade 
 
 
 
 
 
8. Apêndices 
 
//Dominio do tempo 
 
sinal1=read(Lab01_tempo.txt',-1,2); 
temp1=sinal1(:,1); //tempo 
acel1=sinal1(:,2); //aceleração 
figure(1); 
plot(temp1,acel1); 
title('SINAL NO DOMINIO DO TEMPO'); 
xlabel('Tempo [s]', "fontsize", 3); 
ylabel('Aceleração [m/s^2]', "fontsize", 3); 
xgrid 
 
//Dominio da frequência 
 
sinal2=read(Lab01_freq.txt',-1,2); 
freq1=sinal2(:,1); //frênquencia 
acel2=sinal2(:,2); //aceleração 
figure(2); 
plot(freq1,acel2); 
title('SINAL NO DOMINIO DA FREQUÊNCIA'); 
xlabel('Frequência [Hz]', "fontsize", 3); 
ylabel('Amplitude da Aceleração [m/s^2]', "fontsize", 3); 
xgrid 
 
//Amostragem do Sinal 
 
temp2=temp1(1500:2500,1); //intervalo amostragem tempo 
acelNovo=acel1(1500:2500,1); //intervalo amostragem aceleração 
dt=temp2(2)-temp2(1); 
nptos=length(temp2); 
tempA=0:dt:((length(temp2)-1)*dt); //amostragem do tempo começando em zero 
tempA=tempA'; 
figure(3); 
plot(tempA,acelNovo); 
xlabel("Tempo [s]", "fontsize", 3); 
ylabel("Amostragem da aceleração [m/s^2]", "fontsize", 3); 
xtitle("SINAL DA ACELERAÇÃO NO TEMPO SELECIONADO"); 
xgrid 
 
//Aplicando Filtro 
 
fAmost=1/dt; //frequencia de amostragem 
fmax=fAmost/2; //frequencia maxima 
df=fAmost/nptos; //variação da frequencia 
fr=linspace(0,fAmost,nptos); //Aplicação de filtro para retirada de altas frequencias 
hz=iir(8,'lp','butt',71/fAmost,[]); 
A=numer(hz); 
B=denom(hz); 
y=filter(A,B,acelNovo); 
figure(4); 
plot(tempA,y); 
xlabel("Tempo [s]", "fontsize",3); 
ylabel("Amplitude da aceleração [m/s^2]","fontsize",3); 
xtitle("SINAL DA ACELERAÇÃO NO DOMINIO DO TEMPO APÓS FILTRAGEM"); 
xgrid 
 
//Decremento logarítmo 
 
va1=xclick("SINAL DA ACELERAÇÃO NO DOMINIO DO TEMPO APÓS FILTRAGEM"); 
A1=va1(1, 3); 
va2=xclick("SINAL DA ACELERAÇÃO NO DOMINIO DO TEMPO APÓS FILTRAGEM"); 
A2=va2(1, 3); 
va3=xclick("SINAL DA ACELERAÇÃO NO DOMINIO DO TEMPO APÓS FILTRAGEM"); 
A3=va3(1, 3); 
va4=xclick("SINAL DA ACELERAÇÃO NO DOMINIO DO TEMPO APÓS FILTRAGEM"); 
A4=va4(1, 3); 
 
dec1=log(A1/A2); 
dec2=log(A2/A3); 
dec3=log(A3/A4); 
decT=(dec1+dec2+dec3)/3; 
disp(dec1); 
disp(dec2); 
disp(dec3); 
printf("Decremento = %g\n", decT); 
pi=%pi; 
ksi=decT/(sqrt((2*pi)^2)+decT^2); 
printf("O fator de amortecimento é ksi = %g\n", ksi) 
 
//Período amortecido 
 
B1=va1(1, 2); 
B2=va2(1, 2); 
B3=va3(1, 2); 
B4=va4(1, 2); 
Td=((B2-B1)+(B3-B2)+(B4-B3))/6; 
printf("Período amortecido é Td = %g\n", Td) 
 
//Frequência Amortecida, frquencia natural e Rigidez. 
 
Fd=1/Td; 
printf("Frequência amortecida é Fd = %g\n", Fd) 
Wd= 2*pi*Fd; 
printf("Frequência amortecida é Wd = %g\n", Wd) 
Wn= (Wd/sqrt(1-ksi^2)); 
printf("Frequência natural é Wn = %g\n", Wn) 
m=2.191; //Massa do sistema 
Keq= m*(Wn^2); 
printf("Rigidez equivalente do sistema Keq = %g\n", Keq) 
K=Keq/4; 
printf("Rigidez de cada haste K = %g\n", K)