Análise de Sinais - Roni Rigoni

DRAFT E NGENHEIR O ( A ) D E E QUIP AMENT OS J R - E LETR ÔNICA E NGENHEIR O ( A ) D E E QUIP AMENT OS J R - E LÉTRICA E NGENHEIR O ( A ) D E A U T O M A Ç Ã O J R Análise de Sinais Questões Resolvidas Q U E S TÕ E S R E T I R A DA S D E P RO VA S DA B A N C A CESGRANRIO Eng. Roni Gabr iel Rigoni www.concursopetrobraseng.com.br DRAFT Introdução P ara a utilização deste material é recomendado que o leitor já tenha estudado todo o conteúdo ref erente a Análise de Sinais, como consta no edital do concurso . P or este motivo , não é explicado detalhadamente cada método , teorema ou deﬁnição utilizados durante as resoluções. P orém fazemos questão de sempre deixar e xplícito qual método/teorema/deﬁnição está sendo utilizado , para o leitor poder cunsultá-lo na bibliog raﬁa que pref er ir . Não será dado nenhum tipo de assistência pós-venda par a compradores deste mater ial, ou seja, qualquer dúvida ref erente às resoluções de ve se sanada por iniciativ a própr ia do comprador , seja consultando docentes da área ou a bibliog raﬁa. Apenas serão considerados casos em que o leitor encontrar algum erro (conceitual ou de digitação) e desejar inf or mar ao autor tal erro a ﬁm de ser corrigido. O autor deste material não tem nenhum tipo de vínculo com a empresa CESGRANRIO , e as resoluções aqui apresentadas são de autoria exclusiv a de Roni Gabr iel Rigoni, formado pela Univer- sidade F ederal de Santa Catarina e atualmente Engenheiro de A utomação da P etrobras T ranspor tes - T ranspetro . Este material é de uso exclusiv o do Comprador Cód. T34TRJ59YNKS. Sendo v edada, por quaisquer meios e a qualquer título , a sua reprodução , cópia, divulgação e distribuição . Sujeitando-se o infrator à responsabilização civil e criminal. F aça um bom uso do material, e que ele possa ser muito útil na conquista da sua vaga. T34TRJ59YNKS T34TRJ59YNKS T34TRJ59YNKS Análise de Sinais Questão 1 (Eng. de Automação Jr - T r anspetro 2006) PROVA 35 - ENGENHEIRO(A) JÚNIOR - ÁREA AUTOMAÇÃO 8 27 A figura acima mostra uma fonte de tensão contínua alimen- tando um circuito RC. Com o capacitor descarregado, a chave fecha-se no instante inicial, isto é, em t=0. A expressão matemática do tempo total ( t ), contado a partir do instante inicial até o capacitor se carregar com 1/5 da tensão da fonte, é: (A) RC , 2 0 (B)       3 5 2 ln RC (C) () 2 0 , ln RC (D)       5 3 2 ln RC (E) RC , 6 0 28 Considere a figura abaixo. A chave S, no circuito, encontrava-se aberta por um longo tempo, tendo o circuito alcançado o regime permanente. Imediatamente após fechar a chave S, o valor da corrente I 1 , em ampères, será: (A) 0,75 (B) 1,00 (C) 1,25 (D) 1,50 (E) 2,00 R E + C R 12 V 2m H 3m F S 4  5  20  I 1 + 29 Uma planta industrial pode ser modelada através de uma Função de Transferência G(s) racional e contínua, de terceira ordem, estritamente própria e estável. Com relação a G(s), é correto afirmar que: (A) possui três pólos localizados no semiplano s da direita. (B) possui pelo menos um zero localizado no infinito. (C) o seu grau relativo é zero. (D) possui dois zeros localizados sobre o eixo imaginário no plano s. (E) todos os pólos estão localizados sobre o eixo real nega- tivo. 30 A figura acima mostra um sinal oriundo de uma descarga de capacitor , cuja expressão é dada por: () ()    = ≥ = α − 0 0 0 t para t f t para Ae t f t onde A e α são constantes positivas. A expressão da T rans- formada de Fourier deste sinal é: (A) () ω + α ω = ω j A F (B) () ω + α = ω j A F (C) () ω − α = ω j A F (D) () 2 2 ω + α = ω A F (E) () 2 2 ω + α = ω A F f(t) 0 t A www.pciconcursos.com.br Resolução: A T r ansformada de Fourier de um sinal é dada pela e xpressão: F ( ω ) = Z + ∞ −∞ f ( t ) e − j ω t dt Mas como f ( t )=0 par a t 0 , podemos integrar a função de z ero a inﬁnito T34TRJ59YNKS T34TRJ59YNKS T34TRJ59YNKS ANÁLISE DE SINAIS www.concursopetrobraseng.com.br 2 apenas: F ( ω ) = Z + ∞ 0 f ( t ) e − j ω t dt F ( ω ) = Z + ∞ 0 Ae − αt e − j ω t dt F ( ω ) = Z + ∞ 0 Ae − ( α + j ω ) t dt F ( ω ) = − A α + j ω  e − ( α + j ω ) t  + ∞ 0 F ( ω ) = − A α + j ω [0 − 1] F ( ω ) = A α + j ω     Alternativa (B) Material de uso exclusiv o do Comprador Cód. T34TRJ59YNKS . Sendo vedada, por quaisquer meios e a qualquer título , a sua reprodução , cópia, divulgação e distr ibuição . Sujeitando-se o infrator à responsabilização civil e criminal. T34TRJ59YNKS T34TRJ59YNKS T34TRJ59YNKS ANÁLISE DE SINAIS www.concursopetrobraseng.com.br 3 Questão 2 (Eng. de Equipamentos Jr Eletrônica - P etrobras 2012/1) A Figura mostra o espectro de Fourier de um sinal x(t). X( ) w w 2x 1 0 p 4 A taxa de amostragem de Nyquist do sinal x 3 (t) é (A) 3.33 kHz (B) 10 kHz (C) 20 kHz (D) 30 kHz (E) 60 kHz Resolução: Do gráﬁco f or necido podemos identiﬁcar diretamente a máxima frequência do espectro , que é ω = 2 π 10 4 r ad/s . Das propriedades da T ransf or mada de F our ier podemos inferir que: Se x ( t ) ⇔ F ( ω ) , então x 3 ( t ) ⇔ F (3 ω ) Ou seja, para o sinal x 3 ( t ) a máxima frequência do espectro , que chamare- mos de ω 3 , será: ω 3 = 3 ω 2 π f 3 = 3 × (2 π 10 4 ) f 3 = 30 k H z Como sabemos, a taxa de amostr agem de Nyquist de ve ter o dobro da má- xima frequência do espectro , então: f ny q = 2 × f 3 f ny q = 2 × 30 k f ny q = 60 k H z     Alternativa (E) Material de uso exclusiv o do Comprador Cód. T34TRJ59YNKS . Sendo vedada, por quaisquer meios e a qualquer título , a sua reprodução , cópia, divulgação e distr ibuição . Sujeitando-se o infrator à responsabilização civil e criminal. T34TRJ59YNKS T34TRJ59YNKS T34TRJ59YNKS ANÁLISE DE SINAIS www.concursopetrobraseng.com.br 4 Questão 3 (Eng. de Equipamentos Jr Eletrônica - P etrobras 2012/1) A energia E x do sinal x(t) = 4[u(t + 1) − u(t)] + 4e − t u(t), onde u(t) é degrau unitário, é (A) E x = 4 (B) E x = 6 (C) E x = 10 (D) E x = 12 (E) E x = 24 Resolução: Primeiramente gostaríamos de salientar que a questão or iginal apresentav a um traço abaixo do “ − t ” da e xponencial, que tomamos a liberdade de retirá-lo pois trata-se claramente de um prob lema de digitação . Sabemos que a energia de um sinal é dada por : E x = Z + ∞ −∞ | x ( t ) | 2 dt P or tanto a energia do sinal dado será: E x = Z + ∞ −∞ | 4[ u ( t + 1) − u ( t )] + 4 e − t u ( t ) | 2 dt E x = Z 0 − 1 | 4[ u ( t + 1) − u ( t )] | 2 + Z ∞ 0 | 4 e − t u ( t ) | 2 E x = 4 2 Z 0 − 1 | [ u ( t + 1) − u ( t )] | 2 + 4 2 Z ∞ 0 | e − t u ( t ) | 2 E x = 16 × 1 2 +  16 e − 2 t − 2  ∞ 0 E x = 16 + [0 − ( − 8)] E x = 16 + 8 E x = 24     Alternativa (E) Material de uso exclusiv o do Comprador Cód. T34TRJ59YNKS . Sendo vedada, por quaisquer meios e a qualquer título , a sua reprodução , cópia, divulgação e distr ibuição . Sujeitando-se o infrator à responsabilização civil e criminal. T34TRJ59YNKS T34TRJ59YNKS T34TRJ59YNKS ANÁLISE DE SINAIS www.concursopetrobraseng.com.br 5 Questão 4 (Eng. de Equipamentos Jr Elétrica - P etrobras 2010/2) ENGENHEIRO(A) DE EQUIP AMENTOS JÚNIOR ELÉTRICA 15 59 A figura acima mostra um diagrama em blocos, no domínio de Laplace, contendo um bloco de retardo, um somador e um integrador . Aplicando um impulso unitário δ (t) na entrada, a forma de onda da saída h(t) é (A) (B) (C) (D) (E) 60 Um sistema linear , causal e de segunda ordem é representado pela seguinte função de T ransferência: Esse sistema opera com razão de amortecimento 0,7 e frequência natural não amortecida de 15 rad/s. Quando alimentado por um degrau unitário em sua entrada, a saída, em regime permanente, atinge o valor 0,4. Os valores de a e K , respectivamente, são (A) 42 e 180 (B) 21 e 90 (C) 21 e 15 (D) 10,5 e 90 (E) 10,5 e 45 Resolução: A e xpressão no domínio de Laplace do diagrama de blocos dado é f acil- mente deduzida: H ( s ) = U ( s )[ 1 s − e − τ s s ] P orém, sabemos que a entrada é um impulso unitário , ou seja, u ( t ) = δ ( t ) , logo U ( s ) é 1. H ( s )=1 × [ 1 s − e − τ s s ] = 1 s − 1 s × e − τ s Sabemos que uma translação no tempo igual a τ segundos equiv ale a uma multiplicação por e − τ s no domínio de Laplace, ou seja: e − τ s → δ ( t − τ ) . Logo , sabendo que 1 s no domínio de Laplace equiv ale a um degrau ( D ( t ) ) no domínio do tempo , a e xpressão: H ( s ) = 1 s − 1 s × e − τ s Material de uso exclusiv o do Comprador Cód. T34TRJ59YNKS . Sendo vedada, por quaisquer meios e a qualquer título , a sua reprodução , cópia, divulgação e distr ibuição . Sujeitando-se o infrator à responsabilização civil e criminal. T34TRJ59YNKS T34TRJ59YNKS T34TRJ59YNKS ANÁLISE DE SINAIS www.concursopetrobraseng.com.br 6 No domínio do tempo ﬁca: h ( t ) = D ( t ) − D ( t ) δ ( t − τ ) h ( t ) = D ( t ) − D ( t − τ ) Ou seja, h ( t ) será um degr au unitár io de t = 0 até t = τ , quando então subtrai-se um degr au também unitár io , zerando a saída. A alternativa que mostr a este compor tamento da saída é a alter nativa (A).     Alternativa (A) Material de uso exclusiv o do Comprador Cód. T34TRJ59YNKS . Sendo vedada, por quaisquer meios e a qualquer título , a sua reprodução , cópia, divulgação e distr ibuição . Sujeitando-se o infrator à responsabilização civil e criminal. T34TRJ59YNKS T34TRJ59YNKS T34TRJ59YNKS ANÁLISE DE SINAIS www.concursopetrobraseng.com.br 7 Questão 5 (Eng. de Equipamentos Jr Eletrônica - P etrobras 2010/2) ENGENHEIRO(A) DE EQUIP AMENTOS JÚNIOR ELETRÔNICA 6 CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS BLOCO 1 21 A figura acima mostra dois sinais, na forma de pulsos limitados no tempo. Considere que a transformada de Fourier de v(t) é dada pela expressão, na forma polar , V( ω )=|V (ω )|e j φ ( ω ) . Com base nas propriedades da transformada de Fourier e considerando as semelhanças e simetrias entre os dois pulsos, a expressão da transformada de w(t) é (A) W( ω ) = 2|V( ω )| (B) W( ω ) = 2|V( ω )|cos[ φ ( ω )] (C) W( ω ) = j2|V( ω )|sen[ φ ( ω )] (D) W( ω ) = j2|V( ω )|cos[ φ ( ω )] (E) W( ω ) = 2|V( ω )|sen[ φ ( ω )] 22 Um sistema discreto de 2 a ordem é composto por dois polos complexos, conjugados, que estão representados no diagra- ma de polos e zeros da figura acima. O círculo unitário está traçado com linha pontilhada. A resposta ao impulso desse sistema gera um sinal, discreto, senoidal amortecido e que oscila na frequência de 25 π rad/s. Nessas condições, o período de amostragem, em ms, usado na discretização desse sistema, é (A) 5,0 (B) 10,0 (C) 12,0 (D) 15,5 (E) 20,2 Resolução: P ara resolv er esta questão , primeiro vamos relembrar a pr opriedade de escalonamento de um sinal: x ( at ) ⇔ 1 | a | X ( ω a ) Se a = − 1 temos: x ( − t ) ⇔ X ( − ω ) Baseando-nos nos gráﬁcos , podemos expressar o sinal w ( t ) em função do sinal v ( t ) : w ( t ) = v ( t ) − v ( − t ) Agora, aplicando a T ransf or mada de Fourier , utilizando a f or ma polar mostrada no enunciado e lembr ando da propr iedade, temos: W ( t ) = V ( ω ) − V ( − ω ) W ( t ) = | V ( ω ) | e j φ ( ω ) − | V ( − ω ) | e − j φ ( ω ) W ( t ) = | V ( ω ) |  e j φ ( ω ) − e − j φ ( ω )  W ( t ) = | V ( ω ) | [( cos [ φ ( ω )] + j sen [ φ ( ω )]) − ( cos [ φ ( ω )] − j sen [ φ ( ω )])] W ( t ) = j 2 | V ( ω ) | sen [ φ ( ω )]     Alternativa (C) Material de uso exclusiv o do Comprador Cód. T34TRJ59YNKS . Sendo vedada, por quaisquer meios e a qualquer título , a sua reprodução , cópia, divulgação e distr ibuição . Sujeitando-se o infrator à responsabilização civil e criminal. T34TRJ59YNKS T34TRJ59YNKS T34TRJ59YNKS ANÁLISE DE SINAIS www.concursopetrobraseng.com.br 8 Questão 6 (Eng. de Equipamentos Jr Eletrônica - P etrobras 2010/2) ENGENHEIRO(A) DE EQUIP AMENTOS JÚNIOR ELETRÔNICA 10 33 A resposta de um sistema linear à aplicação de um im- pulso δ (t) (delta de Dirac) é dada por h(t) = A δ (t − t 0 ), onde A e t 0 são constantes positivas. Admitindo-se que este sistema tenha como entrada um sinal senoidal defi- nido por x(t) = B cos(2 π f 0 t ), o espectro do sinal de saída, correspondente a essa entrada, é dado pela expressão (A) (e j2 π f t 0 + e - j2 π f t 0 ) (B) ABcos(2 π f t 0 ) (C) δ( f ) cos(2 π f t 0 ) (D) [ δ( f - f 0 ) + δ( f + f 0 )] e - j2 π f t 0 (E) δ( f - f 0 ) cos(2 π f t 0 ) 34 Deseja-se transmitir , digitalmente, um sinal de vídeo cujo espectro é limitado à faixa de 0 a 4 MHz. Na conversão A/D desse sinal, utilizam-se um amostrador que opera na taxa de Nyquist e um codificador que gera na saída, para cada amostra na sua entrada, uma palavra binária de comprimento fixo igual a 12 bits . Para que a interferência entre símbolos (IES) no receptor seja desprezível, admite- -se que a largura de banda do canal deve ser , no mínimo, igual a , onde T s é o intervalo de sinalização na saída do modulador , ou, em outras palavras, o intervalo entre símbolos (sinais) gerados pelo modulador . Dispondo-se de um canal com largura de banda de 25 MHz, o método de modulação que atende à condição para que a IES seja desprezível é o (A) BPSK (B) QPSK (C) FSK-2 (D) PSK-8 (E) QAM-16 35 Considere um sistema de segunda ordem com a seguinte função de transferência: A partir da análise de estabilidade e de desempenho, afirma-se que G(s) é (A) estável, com a frequência natural amortecida igual a 6, e o sistema é subamortecido. (B) estável, com o coeficiente de amortecimento igual a 1, e o sistema é criticamente amortecido. (C) estável, com o coeficiente de amortecimento igual a 3, e o sistema é superamortecido. (D) instável, com a frequência natural não amortecida igual a 3, e o sistema é subamortecido. (E) instável, com frequência natural não amortecida igual a 6, e o sistema é criticamente amortecido. 36 Para análise de estabilidade em sistemas lineares, conside- re a função de transferência de um sistema em malha fecha- da, dada por , onde a constante . Para garantir a estabilidade desse sistema, o intervalo de variação de k deve ser (A) 0 (B) 1 (C) k > − 2 (D) k > − 1 (E) k > 0 37 Em um determinado processo industrial, sabe-se que a temperatura de uma de suas etapas varia entre 10 ºC e 50 ºC. O instrumento de medição usado para medir essa temperatura possui sua faixa de medida de − 50 ºC a 50 ºC, com uma zona morta de 1%. Diante do exposto, afirma-se que o instrumento de medição (A) não apresentará variações de temperaturas inferiores ou iguais a 0,5 ºC. (B) não apresentará variações de temperaturas inferiores ou iguais a 1 ºC. (C) não é adequado para a medição na qual é empregado, visto que pode apresentar distorções na medição da temperatura se a mesma estiver entre 49 ºC e 50 ºC. (D) mede, embora sem confiabilidade na precisão, tempe- raturas variando em até 0,5 ºC além de sua faixa de medida nominal. (E) mede, embora sem confiabilidade na precisão, tem- peraturas variando em até 1 ºC além de sua faixa de medida nominal. Resolução: Do enunciado sabemos que para uma entr ada δ ( t ) a saída será dada por h ( t ) = Aδ ( t − t 0 ) , ou seja, o sistema multiplica a entrada por uma constante A e também e xecuta uma tr anslação no tempo igual a t 0 . P or tanto , quando tivermos uma entrada x ( t ) = B cos (2 π f 0 t ) , a saída será a multiplicação deste sinal por A com um deslocamento no tempo igual a t 0 , ou seja, se chamar mos esta saída de y ( t ) teremos: y ( t ) = AB cos [2 π f 0 ( t − t 0 )] (1) P orém, sabemos que um deslocamento no tempo pode ser representado na fre- quência por : x ( t − t 0 ) ⇔ X ( ω ) e − j ω t 0 = X ( ω ) e − j 2 π f t 0 E também sabemos que a T ransf or mada de Fourier de um cosseno é: cos ( ω 0 t ) ⇔ π [ δ ( ω − ω 0 ) + δ ( ω + ω 0 )] Ou ainda, em função de f : cos (2 π f 0 t ) ⇔ 1 2 [ δ ( f − f 0 ) + δ ( f + f 0 )] Agora podemos ﬁnalmente aplicar a T ransf or mada de F ourier na equação 1: Y ( ω ) = AB 2 [ δ ( f − f 0 ) + δ ( f + f 0 )] e − j 2 π f t 0     Alternativa (D) Material de uso exclusiv o do Comprador Cód. T34TRJ59YNKS . Sendo vedada, por quaisquer meios e a qualquer título , a sua reprodução , cópia, divulgação e distr ibuição . Sujeitando-se o infrator à responsabilização civil e criminal.

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