cem-revisao-trigonometria

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TRIGONOMETRIA 
UFSC 
01. Sen x ≤ x para todo x Є [ 0,/2 ] 
 
UFSC 2003 
Questão 02 Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 
Resolução: 
01. Representando y = sen x no plano cartesiano 
CORRETO 
 Representando y = x no plano cartesiano 
temos sen x ≤ x, para x Є [ 0,/2 ] 
1
-1 
/2 
/2 2  
02. Sen x + cos x ≥ 1 para todo x Є [ 0,/2 ] 
 
UFSC 2003 
Resolução: 
02. 
Sen x + cos x ≥ 1 
CORRETO 
++
- - 
COSX 
SENX 
1
|SENX – COS X|<1<SENX + COS X 
(Sen x + cos x)2 ≥ (1)2 
Sen2x + 2.senx.cosx + cos2x ≥ 1 
2.senx.cosx ≥ 0 
Sen2x ≥ 0, como x Є [ 0,/2 ] 
Senx + Cosx > 1 
 
04. Para qualquer arco x pertencente à interseção dos domínios das funções 
trigonométricas vale a igualdade cosec2x/cotg2x = sec2x. 
 
UFSC 2003 
Resolução: 
CORRETO 
xg
xec
2
2
cot
cos
xsen
x
xsen
2
2
2
cos
1
x2cos
1 x2sec
08. Os grá!cos das funções f1(x) = sen x e f2(x) = 5sen x se interceptam 
numa in!nidade de pontos. 
 
UFSC 2003 
Resolução: 
Construindo os grá$cos das duas funções podemos observar que se 
interceptam em in$nitos pontos: 
CORRETO 
-1 
 1 
-5 
 5 
 2 3 
f1(x) = sen x f2(x) = 5.sen x 
16. Os grá!cos das funções g1(x) = cosx e g2(x) = 3 + cosx não possuem 
ponto em comum. 
 
UFSC 2003 
Resolução: 
 Construindo os grá$cos das duas funções podemos observar que nunca 
se interceptam : 
CORRETO 
g1(x) = cosx 
-1 
 1 
 2 
 3 
 4 
  2 3 
g2(x) = 3 + cosx 
32. Os grá!cos das funções h1(x) = sen x e h2(x) = sen (x+1) se interceptam 
numa in!nidade de pontos. 
UFSC 2003 
Resolução: 
Construindo os grá$cos das duas funções podemos observar que se 
interceptam em in$nitos pontos: 
CORRETO 
h1(x) = sen x 
-1 
 1 
  2 3 
h2(x) = sen (x+1) 
 
 
01. O valor de sen 9/2 é 1. 
UFSC 2004 
3) Assinale no cartão-resposta a soma dos números associados à(s) proposição(ões) 
CORRETA(S). 
Resolução: 
Sen 9/2 = sen /2 = 1 
02. O grá$co da função g(x) = In x² é simétrico em relação ao eixo das 
ordenadas. 
CORRETO 
CORRETO 
Simetria em relação ao eixo das ordenadas indica que a função é par, 
ou seja, g(x) = g(-x): g(x) = ln x2 e g(-x) = ln (-x)2 = ln x2 
Resolução: 
9/2 4/2 
2 /2
 
 
 
04. Para todo arco x para o qual as expressões cos x/(1 + tg x) e 1/(sen x + 
cos x) podem ser calculadas, elas fornecem o mesmo valor. 
UFSC 2004 
)1(
cos
tgx
x
xsenxsenxx
x
cos
1
cos
cos2
Resolução: 
 
 
)
cos
1(
cos
x
senx
x
x
senxx
x
cos
cos
cos
senxx
x
cos
cos2
INCORRETO 
08. Para todo arco x vale sen x² + cos x² = 1 e |sen x| + |cos x| ≥ 1 e pode ocorrer 
senx + cosx = 0. 
UFSC 2004 
COSX 
SENX 1
|SENX – COS X|<1<SENX + COS X 
 Senx + Cosx > 1 
 
Resolução : 
sen x² + cos x² = 1 
(relação fundamental) 
|sen x| + |cos x| ≥ 1 
|sen x|2 + 2. |sen x|.|cos x| + |cos x|2 ≥ 12 
2.|sen x|.|cos x| ≥ 0 
|sen x.cos x| ≥ 0 
senx + cosx = 0 
sen 1350 + cos 1350 = 0 CORRETO 
 
 
 
 
16. A imagem da função y = 3.cos x é o intervalo [-3,3]. 
 
UFSC 2004 
Resolução : 
Y = a + b.cos(m.x + n) 
Im = [ a – b, a + b ] 
Im = [ 0 – 3, 0 + 3 ] 
Im = [- 3, 3 ] 
CORRETO 
UFSC 2006 
01. Um poste na posição vertical, colocado num plano horizontal, encontra-se a 
3m de uma parede plana evertical. Neste instante, o sol projeta a sombra do 
poste na parede e esta sombra tem 17m de altura. Se a altura do poste é de 
20m, então a inclinação dos raios solares, em relação ao plano horizontal, é 
de 45º. 
9) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 
Resolução : 
CORRETO 
3 
17 
20 
3 
450 
UFSC 2006 
02. Se sen(a) = 1/3, então sen (25 + a) – sen (88 - a) = 2/3 
++
- - 
04. Os grá$cos das funções f(x) = sen(4x) e g (x) = -2x/3 +  /4 têm 
exatamente 3 pontos em comum, para x no intervalo (0,  /2). 
Resolução: 
 - sen a – (- sen a) = 2/3 
 0 ≠ 2/3 
INCORRETO 
CORRETO 
1
-1 
/2 
/4=0,75 
- 0,25 
g(π/2) = -2 . (π ) + π/4 
 3 2 
g(π/2) = - 1+ 0,75 = - 0,25 
 
UFSC 2006 
08. Para ser verdadeira a desigualdade tg(x).sec(x) < 0, x deve estar 
localizado no segundo ou no quarto quadrante. 
0
cos
cos
1.
cos
2 x
senx
o
xx
senx
Sen x < 0, logo x é um ângulo do 30 ou 40 
 
Resolução : 
INCORRETO 
++
- - 
01.( ) Se 0≤x<2π, então as raízes da equação cos2x - sen2x = -1 são 0 e π. 
UFSC 2007 – PÁGINA 13 
cos2 x – sen2 x = -1 
INCORRETO 
Resolução: 
(1-sen2 x) – sen2 x = -1 
1 - 2sen2 x = -1 
2sen2 x = 2 
sen2 x = 1 
sen x = ±1 
π/2 
3π/2 
OBS: A questão poderia ser resolvida usando a fórmula do 
arco duplo do cosseno: cos 2x = cos2 x – sen2 x 
. 
 UFSC - 2007 
04. Quando Eugênio entrou em sua sala de aula, havia o seguinte problema no 
quadro-negro: “Numa indústria deseja-se construir uma rampa com inclinação 
de  graus para vencer um desnível de 4m. Qual será o comprimento da 
rampa?” Mas, o professor já havia apagado os valores de sen e cos , 
restando apenas tg=√2/5 . Eugênio usou seus conhecimentos de 
trigonometria e determinou que o comprimento da rampa é 10√2 m. 
 
 Resolução: 
4m 

x 
y 
2tgθ
5
4 2
y 5
y. 2 20
20y
2
20 2y .
2 2
y 10 2
INCORRETO 
. 
08. A $gura a seguir mostra parte do grá$co da função f, de R em R, dada por 
f(x) = 2sen(x/4). 
FIGURA 
CORRETO 
f(x) = 2.sen(x/4) 
UFSC 2007 – Página 14 
Resolução: 
x 
y 
Eixos máximo e mínimo: 
Maior valor do seno(1): 
Menor valor do seno(-1) 
f(x) = 2.1 = 2 
f(x) = 2.(-1) = -2 
2 
-2 
|m|
π2
=P
4
1
π2
= π8=
8π 
Seninho começa do “meinho” 
•  16. A $gura a seguir representa o desenho de uma casa em construção. A telha 
que vai ser usada nessa construção necessita de um ângulo de inclinação de 30° 
para o telhado. Portanto, a altura x do telhado para se obter a inclinação desejada 
é de 4√3/3 metros. 
300 
x 
8m 
Resolução: 
4m 
0 xtg30
4
3 x
3 4
4 3x
3
CORRETO 
UFSC - 2008 
As marés são fenômenos periódicos que podem ser descritos, simpli$cadamente, pela função 
seno. Suponhamos que, para uma determinada maré, a altura h, medida em metros, acima do 
nível médio, seja dada, aproximadamente, pela fórmula h(t) = 8 + 4sen(.t/12), em que t é o 
tempo medido em horas. Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 
01. O valor mínimo atingido pela maré baixa é 8 m. 
02. O momento do dia em que ocorre a maré baixa é às 12 h. 
04. O período de variação da altura da maré é de 24 h. 
08. O período do dia em que um navio de 10 m de calado (altura necessária de água para que o 
navio )utue livremente) pode permanecer nesta região é entre 2 e 10 horas. 
0 
 4 
 8 
 12 
 6 12 18 24 
. 
 UFSC - 2008 
08. O período do dia em que um navio de 10 m de calado (altura necessária de água 
para que o navio )utue livremente) pode permanecer nesta região é entre 2 e 10 
horas. 
 
 
CORRETO 
h(t) = 8 + 4.sen(.t/12 ) 
 10 = 8 + 4.sen(.t/12 ) 
 1/2 = sen(.t/12 ) 
 .t/12 = /6 
 t = 2 
 .t/12 = 5/6 
 t = 10 
+ + 
- - 
5/6 /6 
UFSC - 2009 
Na $gura a seguir determine a medida do segmento AB, em cm, sabendo que sen a = 0,6. 
Assinale o resultado encontrado no cartão-resposta. 
 B 
A C 100 cm 
a 
a 
. 
100 y 
y 
y = 80 
Sen α = h’/100 
0,6 = h’/100 
h’ = 60 
 1002 = 602 +y2 
sen α = h/160 
6/10 = h/160 
 h = 96 
h 
h' 
(UFSC) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 
01. O gráfico que representa a função trigonométrica :é , t ,
3
π3t2senf(t)
Começa : 
INCORRETO 
0
3
π3t
9
π- t 9/5t
UFSC 2009 
Termina: 
π2
3
π3t
02. Um oscilador harmônico simples é descrito pela 
função , onde 
y e t são expressos em metros e segundos, respectivamente. De posse 
desses dados, pode-se afirmar que a imagem e o período da função são 
[-20,20] e 2, respectivamente.Resolução: 
CORRETO 
20.
1-
1 20 20,20
m
P 2
)2
πt cos(π20y(t)
Imagem 
- Vai de (-1,1), mas como temos um parâmetro multiplicativo ela se altera. 
20. 20
Período - lembre-se da fómula ,onde m é o valor que multiplica o t. 
m
P 2 2 2
UFSC - 2009 
INCORRETO 
UFSC - 2010 
02. Sabendo que e que , então . 
Resolução: 
INCORRETO 
1 ²1²5²h
5tgx 2
3πxπ 26
26cosx
Dica: perceba que o intervalo correspondente, pertence ao 3° quadrante, onde os valores de cosseno são 
negativos, logo a questão já estaria errada. 
Resolvendo a questão, monte um triângulo retângulo, sabendo que tgx=5. 
5
x
26²h
h
26h h
CAxcos
26
1
26
26.
26
26
Como cosseno no 3° quadrante é negativo... 
26
26
04. Se os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética, então o valor numérico do cosseno do 
maior ângulo agudo é . 
5
3
k3
k4
k5
h
CAcos
k
k
5
3
É aquele que está oposto ao 
maior cateto. 
Resolução: 
CORRETO 
UFSC - 2010 
08. Para todo x real, , onde k é um número inteiro qualquer, vale 
Resolução: 
INCORRETO 
2kπ2
πx
.xcos xsenxtg1
xtg1 22
2
2
xtg1
xtg1
2
2
cos²x
sen²x1
cos²x
sen²x1
cos²x
sen²xcos²
cos²x
sen²x-cos²x
xsenx
xsenx
²²cos
²²cos xsenx ²²cos
UFSC - 2010 
UFSC 2011 
08.( ) Supondo que uma partícula tem o deslocamento dado pela equação s(t) = 
5.cos(π.t + π/2), em que t está em segundos e s em metros, então essa função 
tem período de 2 segundos e seu conjunto imagem é Im = [- 1, 1] 
Resolução: 
INCORRETO 
P = 2/|m | 
P = 2/|  | 
P = 2 
Im = [ a – b, a + b] 
Im = [ 0 – 5, 0 + 5] 
Im = [ -5, 5] 
UFSC 2011 
08. ( ) A equação sen 2x + cos x = 0, admite 4 soluções no intervalo [0, 3π] 
Resolução: 
INCORRETO 
sen 2x + cos x = 0 
2.sen x.cos x + cos x = 0 
cos x.(2.sen x + 1) = 0 
cos x = 0 
3 soluções 
2.sen x + 1 = 0 
sen x = -1/2 
a b 
2 soluções 
UFSC 2012 
Valeu !!!