Formulas Sinais e Sistemas integrais

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Sinais e Sistemas 
Tipos de Sinais 
 Sinais periódicos: 𝑥(𝑡) = 𝑥(𝑡 + 𝑇), para todo 𝑡. 
 Sinal par: 𝑥(−𝑡) = 𝑥(𝑡) ou 𝑥[−𝑛] = 𝑥[𝑛] 
 Sinal ímpar: −𝑥(𝑡) = 𝑥(−𝑡) ou −𝑥[𝑛] = 𝑥[−𝑛] 
 Energia do sinal: 𝐸 = ∫ |𝑥(𝑡)|2𝑑𝑡 < ∞
∞
−∞
 ou E = ∑ |x[n]|2∞n=-∞ <∞ 
 Potência do sinal: 𝑃 = lim
𝑇→∞
(
1
2𝑇
) ∫ |𝑥(𝑡)|2
𝑇
−𝑇
𝑑𝑡 < ∞ ou 𝑃 = lim
𝑇→∞
(
1
2𝑁+1
) ∑ |𝑥[𝑛]|2𝑁𝑛=−𝑁 < ∞ 
Sinais Básicos 
 Impulso unitário discreto: 𝛿[𝑛] = {
0, 𝑛 ≠ 0
1, 𝑛 = 0
 
 Degrau unitário discreto: 𝑢[𝑛] = {
0, 𝑛 < 0
1, 𝑛 ≥ 0
 
 𝛿[𝑛] = 𝑢[𝑛] − 𝑢[𝑛 − 1] 
 𝑢[𝑛] = ∑ 𝛿[𝑛 − 𝑘]∞𝑘=∞ 
 Degrau unitário contínuo: 𝑢(𝑡) = {
0, 𝑡 < 0
1, 𝑡 ≥ 0
 
 Impulso unitário contínuo: ∫ 𝛿(𝑡)𝑑𝑡 = 1 
∞
−∞
 
 Propriedade do impulso: 𝑥(𝑡)𝛿(𝑡) = 𝑥(0)𝛿(𝑡) ou 𝑥[𝑛]𝛿[𝑛] = 𝑥[0] 
 Exponenciais reais: 𝑥(𝑡) = 𝐶𝑒𝛼𝑡 
 Sinais senoidais: 𝑥(𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) 
 Sinais Exponenciais Complexas: 𝐶 = |𝐶|𝑒𝑎𝑡 
 Número complexo: 𝐶 = 𝑟 + 𝑗𝜔 ou 𝐶 = |𝐶|𝑒𝑗𝜃 
 Relação de Euler: 𝑒𝑗𝑏 = 𝑐𝑜𝑠(𝑏) + 𝑗𝑠𝑒𝑛(𝑏) 
 Divisão do sinal em parte par e parte ímpar: 
o Par: 
ℇ𝑣{𝑥(𝑡)} =
1
2
[𝑥(𝑡) + 𝑥(−𝑡)] 
ℇ𝑣{𝑥[𝑛]} =
1
2
(𝑥[𝑛] + 𝑥[−𝑛]) 
o Ímpar: 
𝒪𝑑{𝑥(𝑡)} =
1
2
[𝑥(𝑡) − 𝑥(−𝑡)] 
𝒪𝑑{𝑥[𝑛]} =
1
2
(𝑥[𝑛] − 𝑥[−𝑛]) 
Operações com sinais 
 Multiplicação por escalar: 𝑦(𝑡) = 𝐶𝑥(𝑡) 
 Deslocamento temporal: 𝜑(𝑡 + 𝑇) = 𝑥(𝑡) 
 Deslocamento temporal em atraso: 𝜑(𝑡) = 𝑥(𝑡 − 𝑇), 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑇 > 0 
 Deslocamento temporal em avanço: 𝜑(𝑡) = 𝑥(𝑡 + 𝑇), 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑇 > 0 
 
 
1 
 Escalamento temporal – compressão: 𝜑(𝑡) = 𝑥(𝑎𝑡), 𝑎 > 1 
 Escalamento temporal – expansão: 𝜑(𝑡) = 𝑥 (
𝑡
𝑎
) , 𝑎 > 1 
 Reversão temporal: 𝜑(𝑡) = 𝑥(−𝑡) 
Propriedade de Sistemas 
 Invariância no tempo: 
o Se 𝑥[𝑛] → 𝑦[𝑛], então 𝑥[𝑛 − 𝑛0] → 𝑦[𝑛 − 𝑛0] 
o Se x(t) → y(t), então 𝑥(𝑡 − 𝑡0) → 𝑦(𝑡 − 𝑡0) 
 Linearidade (Superposição): 
o Se 𝑥1(𝑡) → 𝑦1(𝑡) 𝑒 𝑥2(𝑡) → 𝑦2(𝑡), 
o Então: 𝑥(𝑡) = 𝑎𝑥1(𝑡) + 𝑏𝑥2(𝑡) → 𝑦(𝑡) = 𝑎𝑦1(𝑡) + 𝑏𝑦2(𝑡) 
 Generalização: ∑ 𝑎𝑘𝑥𝑘(𝑡) → ∑ 𝑎𝑘𝑦𝑘(𝑡)𝑘𝑘 
 Causalidade: 
o Causal: a saída depende de valores presentes e passados da entrada. 
o Não causal: a saída depende de valores presentes, passados e futuros da entrada. 
o Anticausal: a saída depende de valores futuros da entrada. 
 Estabilidade: o sistema é estável se a amplitude nunca atinge o infinito. 
 Sem memória: a saída não depende de valores de entrada armazenados em memória. 
Representação de sinais 
 Sistema Linear Invariante no tempo: 𝑥[𝑛] = ∑ 𝑎𝑘𝑥𝑘[𝑛 − 𝑛𝑘] →𝑘 𝑦[𝑛] = ∑ 𝑎𝑘𝑦𝑘[𝑛 − 𝑛𝑘]𝑘 
 Representação do sinal com impulsos deslocados: 𝑥[𝑛] = ∑ 𝑥[𝑘]𝛿[𝑛 − 𝑘] ∞𝑘=−∞ 
 Resposta ao impulso: 𝑥[𝑛] = ∑ 𝑥[𝑘]𝛿[𝑛 − 𝑘]∞𝑘=−∞ → 𝑦[𝑛] = ∑ 𝑥[𝑘]ℎ[𝑛 − 𝑘]
∞
𝑘=−∞ 
Convolução 
 Convolução discreta: 𝑦[𝑛] = 𝑥[𝑛] ∗ ℎ[𝑛] = ∑ 𝑥[𝑘]ℎ[𝑛 − 𝑘] ∞𝑘=−∞ 
 Convolução contínua: 𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡) ∗ ℎ(𝑡) = ∫ 𝑥(𝜏)ℎ(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏
∞
−∞
 
Propriedade dos sistemas LIT 
 Comutação: 
o 𝑥(𝑡) ∗ ℎ(𝑡) = ℎ(𝑡) ∗ 𝑥(𝑡) = ∫ ℎ(𝜏)𝑥(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏
+∞
−∞
 
o 𝑥[𝑛] ∗ ℎ[𝑛] = ∑ 𝑥[𝑛]ℎ[𝑛 − 𝑘]∞𝑘=−∞ = ∑ 𝑥[𝑛 − 𝑟]ℎ[𝑟]
∞
𝑟=−∞ = ℎ[𝑛] ∗ 𝑥[𝑛] 
 Distributiva: 
o 𝑥(𝑡) ∗ (ℎ1(𝑡) + ℎ2(𝑡)) = 𝑥(𝑡) ∗ ℎ1(𝑡) + 𝑥(𝑡) ∗ ℎ2(𝑡) 
o 𝑥[𝑛] ∗ (ℎ1[𝑛] + ℎ2[𝑛]) = 𝑥[𝑛] ∗ ℎ1[𝑛] + 𝑥[𝑛] ∗ ℎ2[𝑛] 
 Associativa: 
o 𝑥(𝑡) ∗ (ℎ1(𝑡) ∗ ℎ2(𝑡)) = (𝑥(𝑡) ∗ ℎ1(𝑡)) ∗ ℎ2(𝑡) 
o 𝑥[𝑛] ∗ (ℎ1[𝑛] ∗ ℎ2[𝑛]) = (𝑥[𝑛] ∗ ℎ1[𝑛]) ∗ ℎ2[𝑛] 
 Causalidade: 
o ℎ(𝑡) = 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 < 0 
o ℎ[𝑛] = 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 < 0 
 Estabilidade: 
 
 
2 
o ∫ |ℎ(𝑡)|𝑑𝜏
∞
−∞
< ∞ 
o ∑ |ℎ[𝑛]| < ∞∞𝑛=−∞ 
 Operador Identidade: 𝑥(𝑡) = ∫ 𝑥(𝜏)𝛿(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏 
∞
−∞
 
 Operador Deslocamento: 
o 𝑦(𝑡) = ∫ 𝑥(𝜏)𝛿(𝑡 − 𝑡0 − 𝜏)𝑑𝜏
∞
−∞
= ∫ 𝑥(𝜏 − 𝑡0)𝛿(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏
∞
−∞
= 𝑥(𝑡 − 𝑡0) 
Série de Fourier 
 Equação de síntese contínua: 𝑥(𝑡) = ∑ 𝑎𝑘𝑒
𝑗𝑘𝜔0𝑡 +∞𝑘=−∞ 
 Equação de analise contínua: 𝑎𝑘 =
1
𝑇
∫ 𝑥(𝑡)𝑒−𝑗𝑘𝜔0𝑡𝑑𝑡 
 Equação de síntese discreta: 𝑥[𝑛] = ∑ 𝑎𝑘𝑒
𝑗𝑘𝜔0𝑛 =𝑘=<𝑁> ∑ 𝑎𝑘𝑒
𝑗𝑘(2𝜋/𝑁)𝑛 𝑘=<𝑁> 
 Equação de analise discreta: 𝑎𝑘 =
1
𝑁
∑ 𝑥[𝑛]𝑒
𝑗𝑘(
2𝜋
𝑁
)𝑛
 𝑛=<𝑁> 
Propriedades da série de Fourier 
 Linearidade: Se 𝑥(𝑡) → 𝑎𝑘 e 𝑦(𝑡) → 𝑏𝑘, 
o Então, 𝑧(𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) + 𝐵𝑦(𝑡) ↔ 𝑐𝑘 = 𝐴𝑎𝑘 + 𝑏𝑘 
 Deslocamento no tempo: Se 𝑥(𝑡) → 𝑎𝑘, 
o Então 𝑥(𝑡 − 𝑡0) → 𝑒
−𝑗𝑘(2𝜋/𝑇)𝑡0𝑎𝑘 
 Reversão temporal: 
o 𝑥(𝑡) → 𝑎𝑘 
o 𝑥(−𝑡) → 𝑎−𝑘 
 Mudança de escala temporal: 𝑥(𝛼𝑡) = ∑ 𝑎𝑘𝑒
𝑗𝑘(𝛼𝜔0)𝑡+∞
𝑘=−∞ 
 Multiplicação: 𝑥(𝑡)𝑦(𝑡) ↔ ℎ𝑘 = ∑ 𝑎𝑙𝑏𝑘−𝑙
∞
𝑙=−∞ 
 Simetria conjugada: 
o 𝑥(𝑡) → 𝑎𝑘 
o 𝑥∗(𝑡) → 𝑎−𝑘
∗ 
Transformada de Fourier 
 Equação de síntese contínua: 𝑥(𝑡) =
1
2𝜋
∫ 𝑋(𝑗𝜔)𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔
+∞
−∞
 
 Equação de analise contínua: 𝑋(𝑗𝜔) = ∫ 𝑥(𝑡)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡
+∞
−∞
 
 Equação de síntese discreta: 𝑥[𝑛] =
1
2𝜋
∫ 𝑋(𝑒𝑗𝜔)𝑒𝑗𝜔𝑛𝑑𝜔 
 Equação de analise discreta: 𝑋(𝑒𝑗𝜔) = ∑ 𝑥[𝑛]𝑒−𝑗𝜔𝑛 +∞𝑛=−∞ 
Propriedades da série de Fourier 
 Linearidade: Se 𝑥(𝑡)
ℱ
↔ 𝑋(𝑗𝜔) e 𝑦(𝑡)
ℱ
↔ 𝑌(𝑗𝜔), 
o Então, 𝑎𝑥(𝑡) + 𝑏𝑦(𝑡)
ℱ
↔ 𝑎𝑋(𝑗𝜔) + 𝑏𝑌(𝑗𝜔) 
 Deslocamento no tempo: ℱ{𝑥(𝑡 − 𝑡0)} = 𝑒
−𝑗𝜔𝑡0𝑋(𝑗𝜔) = |𝑋(𝑗𝜔)|𝑒𝑗[∢𝑋(𝑗𝜔)−𝜔𝑡0] 
 Conjugação e simetria conjugada: 
o ℛℯ[𝑋(𝑗𝜔)] = ℛℯ[𝑋(−𝑗𝜔)] 
o ℐ𝓂[𝑋(𝑗𝜔)] = −ℐ𝓂[𝑋(−𝑗𝜔)] 
 
 
3 
 Mudança de escala: ℱ{𝑥(𝛼𝑡)} = {
1
𝛼
∫ 𝑥(𝜏)𝑒
−𝑗(
𝜔
𝛼
)𝜏𝑑𝜏, 𝛼 > 0
+∞
−∞
−
1
𝛼
∫ 𝑥(𝜏)𝑒
−𝑗(
𝜔
𝛼
)𝜏𝑑𝜏, 𝛼 < 0
+∞
−∞
 
 Relação de Parseval: ∫ |𝑥(𝑡)|2𝑑𝑡
+∞
−∞
=
1
2𝜋
∫ |𝐻(𝑗𝜔)|2𝑑𝜔
+∞
−∞
 
 Convolução: 𝑦(𝑡) = ℎ(𝑡) ∗ 𝑥(𝑡)
ℱ
↔ 𝑌(𝑗𝜔) = 𝐻(𝑗𝜔)𝑋(𝑗𝜔) 
Representação da transformada de Fourier em magnitude e fase 
 Sinal em tempo contínuo: 𝑋(𝑗𝜔) = |𝑋(𝑗𝜔)|𝑒𝑗∢𝑋(𝑗𝜔) 
 Sinal em tempo discreto: 𝑋(𝑗𝜔) = ∫ 𝑥(𝑡)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡
+∞
−∞
 
 Resposta em frequência - magnitude: |𝑌(𝑗𝜔)| = |𝐻(𝑗𝜔)||𝑋(𝑗𝜔)| 
 Resposta em frequência – fase: ∢𝑌(𝑗𝜔) = ∢𝐻(𝑗𝜔) + ∢𝑋(𝑗𝜔) 
 
Sistema Contínuo 
 Equações diferenciais: 𝑏0𝑥(𝑡) + 𝑏1
𝑑𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
+ ⋯ + 𝑏𝑛
𝑑𝑁𝑥(𝑡)
𝑑𝑡𝑁
= 𝑎0𝑦(𝑡) + 𝑎1
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
+ ⋯ + 𝑎𝑀
𝑑𝑀𝑦(𝑡)
𝑑𝑡𝑀
 
 Transformada de Fourier: ∑ 𝑏𝑛(𝑗𝜔)
𝑛𝑋(𝑗𝜔) = ∑ 𝑎𝑚(𝑗𝜔)
𝑚𝑌(𝑗𝜔)𝑀𝑚=0 
𝑁
𝑛=0 
 Relação de Y(jω)/ X(jω): 𝐻(𝑗𝜔) =
𝑌(𝑗𝜔)
𝑋(𝑗𝜔)
= 
∑ 𝑏𝑛(𝑗𝜔)
𝑛𝑁
𝑛=0
∑ 𝑎𝑚(𝑗𝜔)𝑚
𝑀
𝑚=0
 
 
Filtros ideiais 
 Filtro passa-baixa: 𝐻(𝑗𝜔) = {
1, |𝜔| ≤ 𝜔𝑐
0, |𝜔| > 𝜔𝑐
 
 Filtro passa-alta: 𝐻(𝑗𝜔) = {
1, |𝜔| ≥ 𝜔𝑐
0, |𝜔| < 𝜔𝑐
 
 Filtro passa-faixa: 𝐻(𝑗𝜔) = {
1, 𝜔𝑐1 ≤ |𝜔| ≤ 𝜔𝑐2
0, |𝜔| < 𝜔𝑐1 𝑒 |𝜔| > 𝜔𝑐2 
 
 Filtro rejeita-faixa: 𝐻(𝑗𝜔) = {
1, |𝜔| ≤ 𝜔𝑐1 𝑒 |𝜔| ≥ 𝜔𝑐2 
0, 𝜔𝑐1 < |𝜔| < 𝜔𝑐2
 
 
Amostragem 
 Trem de impulsos: 𝑝(𝑡) = ∑ 𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇) +∞−∞ 
 Sinal amostrado: 𝑥𝑝(𝑡) = ∑ 𝑥(𝑛𝑇)𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇)
+∞
−∞ 
 Transformada do sinal amostrado: 𝑋𝑝(𝑗𝜔) =
1
𝑇
∑ 𝑋(𝑗(𝜔 − 𝑘𝜔𝑠))
∞
𝑘=−∞ 
 Taxa de Nyquist: 𝜔𝑠 > 2𝜔𝑀 
 Conversão D/C: 𝑥𝑑[𝑛] = 𝑥𝑐(𝑛𝑇) e 𝑦𝑑[𝑛] = 𝑦𝑐(𝑛𝑇) 
 Frequências continuas e discretas: Ω = 𝜔𝑇 e 𝑋𝑑(𝑒
𝑗Ω) = 𝑋𝑝 (
𝑗Ω
𝑇
) 
 Conversão Xd e Xc: 𝑋𝑑(𝑒
𝑗Ω) =
1
𝑇
∑ 𝑋𝑐 (
𝑗(Ω−2𝜋𝑘)
𝑇
) ∞𝑘=−∞ 
 
 
4 
 Conversão C/D - frequência: 𝑌𝑐(𝑗𝜔) = {
𝑇𝑌𝑝(𝑗𝜔), |𝜔| <
𝜔𝑠
2
0, 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜
 e 
 Conversão C/D – tempo: 𝑦𝑐(𝑡) = ∑ 𝑦[𝑛]ℎ𝑟(𝑡 − 𝑛𝑇) = ∑ 𝑦[𝑛]
𝑠𝑒𝑛(𝜋(𝑡−𝑛𝑇)/𝑇)
𝜋(𝑡−𝑛𝑇)/𝑇
∞
𝑛=−∞ 
∞
𝑛=−∞ 
Série de Fourier 
 
 
 
 
 
5 
Propriedades das transformadas de Fourier 
 
 
 
 
6 
Pares de transformadas 
 
 
 
 
 
7 
Integrais de exponenciais 
 
TABELA: Derivadas, Integrais
e Identidades Trigonométricas
• Derivadas
Sejam u e v funções deriváveis de x e n con-
stante.
1. y = un ⇒ y′ = nun−1u′.
2. y = uv ⇒ y′ = u′v + v′u.
3. y = uv ⇒ y′ = u
′v−v′u
v2
.
4. y =au ⇒ y′ = au(ln a) u′, (a > 0, a 6= 1).
5. y = eu ⇒ y′ = euu′.
6. y = loga u ⇒ y′ = u
′
u loga e.
7. y = lnu ⇒ y′ = 1uu′.
8. y = uv ⇒ y′ = v uv−1 u′ + uv(lnu) v′.
9. y = sen u ⇒ y′ = u′ cos u.
10. y = cos u ⇒ y′ = −u′sen u.
11. y = tg u ⇒ y′ = u′ sec2 u.
12. y = cotg u ⇒ y′ = −u′cosec2u.
13. y = sec u ⇒ y′ = u′ sec u tg u.
14. y = cosec u ⇒ y′ = −u′cosec u cotg u.
15. y = arc sen u ⇒ y′ = u′√
1−u2 .
16. y = arc cos u ⇒ y′ = −u′√
1−u2 .
17. y = arc tg u ⇒ y′ = u′
1+u2
.
18. y = arc cot g u ⇒ −u′
1+u2
.
19. y = arc sec u, |u| > 1
⇒ y′ = u′|u|√u2−1 , |u| > 1.
20. y = arc cosec u, |u| > 1
⇒ y′ = −u′|u|√u2−1 , |u| > 1.
• Identidades Trigonométricas
1. sen2x + cos2 x = 1.
2. 1 + tg2x = sec2 x.
3. 1 + cotg2x = cosec2x.
4. sen2x = 1−cos 2x2 .
5. cos2 x = 1+cos 2x2 .
6. sen 2x = 2 sen x cos x.
7. 2 sen x cos y = sen (x− y) + sen (x + y).
8. 2 sen x sen y = cos (x− y)− cos (x + y).
9. 2 cos x cos y = cos (x− y) + cos (x + y).
10. 1± sen x = 1± cos (π2 − x
)
.
• Integrais
1.
∫
du = u + c.
2.
∫
undu = u
n+1
n+1 + c, n 6= −1.
3.
∫
du
u = ln |u|+ c.
4.
∫
audu = a
u
ln a + c, a > 0, a 6= 1.
5.
∫
eudu = eu + c.
6.
∫
sen u du = − cos u + c.
7.
∫
cos u du = sen u + c.
8.
∫
tg u du = ln |sec u|+ c.
9.
∫
cotg u du = ln |sen u|+ c.
10.
∫
sec u du = ln |sec u + tg u|+ c.
11.
∫
cosec u du = ln |cosec u− cotg u|+ c.
12.
∫
sec u tg u du = sec u + c.
13.
∫
cosec u cotg u du = −cosec u + c.
14.
∫
sec2 u du = tg u + c.
15.
∫
cosec2u du = −cotg u + c.
16.
∫
du
u2+a2
= 1aarc tg
u
a + c.
17.
∫
du
u2−a2 =
1
2a ln
∣∣∣u−au+a
∣∣∣ + c, u2 > a2.
18.
∫
du√
u2+a2
= ln
∣∣∣u +
√
u2 + a2
∣∣∣ + c.
19.
∫
du√
u2−a2 = ln
∣∣∣u +
√
u2 − a2
∣∣∣ + c.
20.
∫
du√
a2−u2 = arc sen
u
a + c, u
2 < a2.
21.
∫
du
u
√
u2−a2 =
1
aarc sec
∣∣u
a
∣∣ + c.
• Fórmulas de Recorrência
1.
∫
sennau du = − senn−1au cos auan
+
(
n−1
n
) ∫
senn−2au du.
2.
∫
cosn au du = sen au cos
n−1 au
an
+
(
n−1
n
) ∫
cosn−2 au du.
3.
∫
tgnau du = tg
n−1au
a(n−1) −
∫
tgn−2au du.
4.
∫
cotgnau du = − cotgn−1aua(n−1) −
∫
cotgn−2au du.
5.
∫
secn au du = sec
n−2 au tg au
a(n−1)
+
(
n−2
n−1
) ∫
secn−2 au du.
6.
∫
cosecnau du = − cosecn−2au cotg aua(n−1)
+
(
n−2
n−1
) ∫
cosecn−2au du.