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AP1 – Me´todos Determin´ısticos I – 2019.2 ORIENTAC¸O˜ES PARA PROVA COM CORREC¸A˜O ONLINE Orientac¸o˜es gerais: I 1. Voceˆ esta´ recebendo do aplicador o Caderno com os enunciados das Questo˜es e uma Folha de Resposta, para desenvolver suas resoluc¸o˜es. 2. Confira se o Caderno de Questo˜es corresponde a` disciplina em que devera´ realizar a prova. Caso contra´rio verifique com o aplicador a soluc¸a˜o cab´ıvel. 3. Apo´s a confereˆncia e se estiver tudo certo, assine o Caderno de Questo˜es no local indicado para este fim. 4. Para cada folha de respostas que utilizar, antes de comec¸ar a resolver as questo˜es, preencha (pintando os respectivos espac¸os na parte superior da folha) o nu´mero do CPF, o co´digo da disciplina (indicado no cabec¸alho da pro´xima folha) e o nu´mero da folha. PADRA˜O DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS DOIS TRÊS QUATRO CINCO SEIS SETE OITO NOVE ZEROUM 5. Confira e assine cada Folha de Respostas solicitada. 6. Preencha o nu´mero total de folhas somente quando for entregar a prova! 7. E´ expressamente proibido o uso de aparelho celular e qualquer outro aparelho com conexa˜o a` Internet durante a aplicac¸a˜o da prova. Qualquer irregularidade sera´ reportada pelo aplicador a` Direc¸a˜o do Polo e a` Coordenac¸a˜o para aplicac¸a˜o das sanc¸o˜es devidas. 8. Ao te´rmino da prova, entregue ao aplicador todas as Folhas de Respostas utilizadas, devidamente assinadas, o Caderno de Questo˜es e rascunhos. Orientac¸o˜es para o preenchimento da(s) Folha(s) de Respostas: I 1. Somente utilize caneta esferogra´fica com tinta azul ou preta, para registro das resoluc¸o˜es das questo˜es nas Folhas de Respostas. 2. Apresente as resoluc¸o˜es de forma clara, leg´ıvel e organizada. Na˜o se esquec¸a de numera´-las de acordo com as questo˜es. 3. As Folhas de Respostas sera˜o o u´nico material considerado para correc¸a˜o. Por- tanto, quaisquer anotac¸o˜es feitas fora deste espac¸o, mesmo que em folha de rascunho, sera˜o ignoradas. 4. As respostas devem vir acompanhadas de justificativas. 5. NA˜O AMASSE, DOBRE OU RASURE as Folhas de Respostas, pois isto pode inviabilizar a digitalizac¸a˜o e a correc¸a˜o. Orientac¸a˜o espec´ıfica: I1. E´ expressamente proibido o uso de qualquer instrumento que sirva para ca´lculo comotambe´m qualquer material que sirva de consulta. ATENC¸A˜O: O descumprimento de quaisquer das orientac¸o˜es podera´ implicar em preju´ızo na sua avaliac¸a˜o, o que sera´ de sua inteira responsabilidade. Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro AP1 – Me´todos Determin´ısticos I – ??/0?/2019 Co´digo da disciplina EAD 06075 Nome: Matr´ıcula: Polo: Atenc¸a˜o! • Para cada folha de respostas que utilizar, antes de comec¸ar a resolver as questo˜es, preencha (pintando os respectivos espac¸os na parte superior da folha) o nu´mero do CPF, o co´digo da disciplina (indicado acima em negrito) e o nu´mero da folha. PADRA˜O DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS DOIS TRÊS QUATRO CINCO SEIS SETE OITO NOVE ZEROUM • Preencha o nu´mero total de folhas somente quando for entregar a prova! • Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula e Polo. • E´ expressamente proibido o uso de qualquer instru- mento que sirva para ca´lculo como tambe´m qualquer material que sirva de consulta. • Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao apli- cador. • Somente utilize caneta esferogra´fica com tinta azul ou preta para registro das resoluc¸o˜es nas Folhas de Respostas. • As Folhas de Respostas sera˜o o u´nico material considerado para correc¸a˜o. Quaisquer anotac¸o˜es feitas fora deste espac¸o, mesmo que em folha de rascunho, sera˜o ignoradas. • Na˜o amasse, dobre ou rasure as Folhas de Respostas, pois isto pode inviabilizar a digitalizac¸a˜o e a correc¸a˜o. (Este texto e´ comum a`s questo˜es 1 a 4 e a seguir.) Na bolsa de valores de um determinado pa´ıs, sa˜o negociadas ac¸o˜es de 150 empresas. Estas empresas podem ter suas ac¸o˜es de posse do governo, de investidores privados ou de ambos. Para as empresas negociadas nesta bolsa, ha´ um projeto especial de investimentos chamado de Projeto Parceria, do qual so´ podem participar empresas que possuem ac¸o˜es com os investidores privados e com o governo. Sabe-se ainda que: i. 3/4 das empresas que podem participar do Projeto Parceria participam deste projeto; ii. 1/3 das empresas que possuem ac¸o˜es com os investidores privados participam do Projeto Parceria; iii. o nu´mero de empresas que possuem ac¸o˜es com o governo e´ o dobro do nu´mero das que na˜o possuem; iv. toda empresa possui ac¸o˜es com o governo, com investidores privados ou com ambos, na˜o havendo empresas sem investidor. Questa˜o 1 (1.5 pt) Represente a situac¸a˜o por meio de um diagrama de Venn, chamando de P o conjunto de empresas com ac¸o˜es na ma˜o de investidores privados, de G o conjunto de empresas com ac¸o˜es na ma˜o do governo e de R o conjunto de empresas que participam do Projeto Parceria. Chame de x o nu´mero de empresas que possuem ac¸o˜es tanto com o governo quanto com os investidores privados. Escreva, em func¸a˜o de x, o nu´mero de empresas que participam do Projeto Parceria. Me´todos Determin´ısticos I AP1 3 Resposta: Como so´ podem participar do Projeto Parceria as empresas que possuem ac¸o˜es com os investidores privados e com o governo, temos que o conjunto R das empresas que participam do Projeto Parceria esta´ contido na intersec¸a˜o do conjunto P de empresas com ac¸o˜es na ma˜o de investidores privados com o conjunto G de empresas com ac¸o˜es na ma˜o do governo. Observe que na˜o e´ necessa´rio representar um conjunto U que contenha os conjunto P , G e R, visto que na˜o ha´ elementos fora da unia˜o de P e G, pois cada empresa possui ac¸o˜es na ma˜o de investidores privados ou do governo. Representamos enta˜o, abaixo, a situac¸a˜o por meio de um diagrama de Venn. De acordo com i), temos que 3/4 das empresas que podem participar do Projeto Parceria participam deste projeto. Lembrando que so´ podem participar do Projeto Parceria as empresas na intersec¸a˜o entre os conjuntos P e G, cujo nu´mero de elementos, conforme pedido, e´ x, temos que o nu´mero de elementos do conjunto R e´ igual a 3/4 de x, isto e´, 3x/4. Questa˜o 2 (1.0 pt) Escreva, em func¸a˜o de x, o nu´mero de empresas que possuem ac¸o˜es apenas com os investidores privados. Resposta: Como o nu´mero de elementos do conjunto R e´ igual a 3x/4 e o nu´mero de elementos na intersec¸a˜o de G com P e´ x, temos que o nu´mero de elementos do conjunto P ∩G−R e´ x− 3x4 = 4x 4 − 3x 4 = x 4 . Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP1 4 Vamos agora chamar de p o nu´mero de elementos do conjunto P , isto e´, o nu´mero de empresas que possuem ac¸o˜es com os investidores privados. De acordo com ii), temos que 1/3 das empresas que possuem ac¸o˜es com os investidores privados participam do Projeto Parceria. Temos, portanto, que 1 3 · p = 3x 4 ∴ p = 3 · 3x 4 = 9x 4 . Queremos agora o nu´mero de empresas que possuem ac¸o˜es apenas com os investidores privados, ou seja, o nu´mero de elementos do conjunto P − P ∩G, e´ igual a p− x. Como p = 9x4 , temos que o nu´mero de empresas que possuem ac¸o˜es apenas com os investidores privados e´ dado por p− x = 9x4 − x = 9x 4 − 4x 4 = 5x 4 . Questa˜o 3 (1.0 pt) Escreva, em func¸a˜o de x, o nu´mero de empresas que possuem ac¸o˜es apenas na ma˜o do governo. Resposta: Vamos chamar de g o nu´mero de elementos do conjunto G, isto e´, o nu´mero de empresas que possuem ac¸o˜es com o governo. De acordo com iii), temos que o nu´mero de empresas que possuem ac¸o˜es com o governo e´ o dobro do nu´mero das que na˜o possuem. Como o nu´mero de empresas que na˜o possuem ac¸o˜es com o governo e´ o nu´mero de elementos do conjunto P − P∩G e este nu´mero e´ 5x 4 , por iii), temos que g = 2 · 5x4 = 10x 4 . Queremos agora o nu´mero de empresas que possuem ac¸o˜es apenas com o governo, ou seja, o nu´mero de elementos do conjunto G − P ∩ G, e´ igual a g − x. Como g = 10x4 , temos que o nu´mero de empresas que possuem ac¸o˜es apenas com o governo e´ dado por g − x = 10x4 − x = 10x 4 − 4x 4 = 6x 4 . Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP1 5 Questa˜o 4 (1.0 pt) Determine o nu´mero de empresas que possuem ac¸o˜es tanto com o governo quanto com investidores privados. Resposta: Como o total de empresas e´ de 150, pelo diagrama de Venn anterior, temos que 150 = 5x4 + x+ 6x 4 = 5x 4 + 4x 4 + 6x 4 = 15x 4 , de modo que x = 150 · 415 = 40 Conclu´ımos assim que 150 empresas possuem ac¸o˜es tanto com o governo quanto com investidores privados. (Este texto e´ comum a`s questo˜es 5 a 7 e a seguir.) Uma pequena empresa, cujos gastos mensais totais somam 20.000, pode escolher duas formas de tributac¸a˜o: i. sobre o faturamento, em que paga um imposto de 10% sobre o faturamento mensal; ii. sobre o lucro, em que paga um imposto de 20% sobre o lucro mensal, isto e´, sobre a diferenc¸a entre o faturamento e o custo mensais. Obs.: assuma, nas questo˜es abaixo, que a empresa ache interessante optar, mensalmente, pela forma de tributac¸a˜o que resulte em menor imposto. Questa˜o 5 (1.0 pt) Caso o faturamento da empresa em um dado meˆs seja de 50.000, por qual forma de tributac¸a˜o, neste meˆs, a empresa achara´ interessante optar? Justifique sua resposta. Resposta: Se a empresa optasse pela forma de tributac¸a˜o sobre o faturamento, com um faturamento de 50.000, o imposto, que chamaremos de If , seria de If = 10% de 50.000 = 10 100 · 50.000 = 50.000 10 = 5.000. Ja´ se a empresa optasse pela forma de tributac¸a˜o sobre o lucro, com um faturamento de 50.000 e um custo de 20.000, o lucro e´ de 50.000− 20.000 = 30.000, de modo que o imposto, que chamaremos de Il, seria de Il = 20% de 30.000 = 20 100 · 30.000 = 60.000 10 = 6.000. Como If < Il, temos que a empresa achara´ interessante optar pela forma de tributac¸a˜o sobre o faturamento. Questa˜o 6 (1.0 pt) Deˆ as expresso˜es dos impostos a serem pagos nas duas modalidades de tri- butac¸a˜o (sobre o faturamento e sobre o lucro), em func¸a˜o do faturamento x de um determinado meˆs. Resposta: Se a empresa optasse pela forma de tributac¸a˜o sobre o faturamento, com um faturamento de x, o imposto, que chamaremos de If , seria de If = 10% de x = 10 100 · x = 10x 100 = x 10 . Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP1 6 Ja´ se a empresa optasse pela forma de tributac¸a˜o sobre o lucro, com um faturamento de x e um custo de 20.000, o lucro e´ de x− 20.000, de modo que o imposto, que chamaremos de Il, seria de Il = 20% de (x− 20.000) = 20100 · (x− 20.000) = 1 5 · (x− 20.000) = x 5 − 20.000 5 = x 5 − 4.000. Questa˜o 7 (1.5 pt) Diga para que valores de faturamento mensal x, o imposto sobre o lucro e´ o mais interessante para a empresa optar? Resposta: A empresa achara´ mais interessante optar pelo imposto sobre o lucro, que chamamos de Il, se este for menor do que o imposto sobre o faturamento, que chamamos de If . Pela questa˜o anterior, temos que Il < If ⇔= x5 − 4.000 < x 10 ⇔ x 5 − x 10 < 4.000. ⇔ 2x10 − x 10 < 4.000⇔ x 10 < 4.000⇔ x < 40.000 Temos assim, que o imposto sobre o lucro e´ o mais interessante para a empresa optar se o faturamento mensal x for menor do que 40.000. Se o faturamento mensal x for de 40.000, as duas forma de imposto resultam em um imposto de 4.000. (Este texto e´ comum a`s questo˜es 8 a 10 e a seguir.) No Bistroˆ Cafe´ına, se um cliente come torta, enta˜o ele toma cafe´. E, se um cliente come um salgado, enta˜o ele bebe um refrigerante. Questa˜o 8 (0.5 pt) Se, em um certo dia, nenhum cliente consumiu mais do que dois produtos, e´ poss´ıvel algue´m ter comido um salgado e bebido um cafe´? Justifique sua resposta. Resposta: Na˜o e´ poss´ıvel, pois, se um cliente comeu um salgado, enta˜o ele tambe´m tomou um refrigerante. Desta forma, teria comido um salgado, bebido um cafe´ e tomado um refrigente, to- talizando treˆs produtos neste dia, o que na˜o e´ poss´ıvel, uma vez que, por hipo´tese, nenhum cliente consumiu mais do que dois produtos neste dia. Questa˜o 9 (0.5 pt) Se, em um certo dia, nenhum cliente consumiu mais do que dois produtos, e´ poss´ıvel algue´m ter comido torta e tomado um refrigerante? Justifique sua resposta. Resposta: Na˜o e´ poss´ıvel, pois, se um cliente comeu uma torta, enta˜o ele tambe´m bebeu cafe´. Desta forma, teria comido uma torta, bebido um cafe´ e tomado um refrigente, totalizando treˆs produtos neste dia, o que na˜o e´ poss´ıvel, uma vez que, por hipo´tese, nenhum cliente consumiu mais do que dois produtos neste dia. Questa˜o 10 (1.0 pt) Se, em um certo dia, todos os clientes consumiram exatamente dois pro- dutos, conclui-se obrigatoriamente que, se um cliente na˜o comeu uma torta, enta˜o ele comeu um salgado? Justifique sua resposta. Resposta: Na˜o. Ele pode ter bebido um cafe´ e tomado um refrigerante. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ RASCUNHO Nome: Matr´ıcula: Polo: Atenc¸a˜o! • Resoluc¸o˜es feitas nesta folha na˜o sera˜o corrigidas. • Devolver esta folha ao aplicador.
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