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1 
 
 
ARMIN FRANZ ISENMANN 
 
 
 
 
OPERAÇÕES UNITÁRIAS 
 
NA INDÚSTRIA QUÍMICA 
 
 
 
 
3
a
 edição 
 
 
 
 
 
Timóteo, MG 
Edição do Autor 
2018 
 
 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 2 
 
 
 Os direitos neste texto são exclusivamente com o autor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Isenmann, Armin Franz 
Operações unitárias na indústria química / Armin Franz Isenmann - 
Timóteo, MG : 
2012. 1
a
 Edição 
2013. 2
a
 Edição 
2016 3ª Edição 
 atualizado em 2018 (289 páginas), 
 
Bibliografia 
ISBN 978-85-913050-2-5 
 
 
 
 3 
 
 
 
 
CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS 
GERAIS 
CAMPUS TIMÓTEO 
 
 
Disciplina: Operações Unitárias 
Prof. Armin F. Isenmann 
 
Traduzido, atualizado e complementado, com permissão, de uma apostila de 
Prof. Dr. Peter Hugo (Universidade Técnica de Berlim). 
 
1 O que são Operações Unitárias? ......................................................................................... 6 
2 Fluxo de matéria ................................................................................................................. 7 
2.1 Dados dos materiais, grandezas e unidades ................................................................. 8 
2.2 Propriedades dos Fluidos ........................................................................................... 10 
2.3 A viscosidade ............................................................................................................. 11 
2.3.1 Fluidos com comportamento não newtoniano ................................................... 13 
2.3.2 Viscosidade em gases ......................................................................................... 19 
2.3.3 Viscosidade de líquidos ...................................................................................... 20 
2.4 Fluxo tubular e perda de pressão em peças ............................................................... 22 
2.4.1 Fluxo laminar em tubos ...................................................................................... 22 
2.4.2 Perda de pressão e números adimensionais ........................................................ 28 
2.4.3 Fluxo turbulento dentro do tubo ......................................................................... 31 
2.4.4 Perda de pressão em peças e sistemas tubulares ................................................ 35 
2.5 Balanço do transporte do fluido ................................................................................. 37 
2.5.1 Equações de balanço .......................................................................................... 37 
2.5.2 Medição da vazão ............................................................................................... 40 
2.5.3 Transporte de líquidos via bombas ..................................................................... 54 
2.6 Bombas ...................................................................................................................... 57 
2.6.1 Bombas de deslocamento positivo ..................................................................... 58 
2.6.2 Bombas centrífugas ............................................................................................ 63 
2.7 Transporte de gases.................................................................................................... 71 
2.7.1 Variação da temperatura durante a expansão ou compressão de um gás real .... 77 
2.7.2 Aplicações do efeito de Joule-Thomson ............................................................. 79 
2.8 Fluxo através de leitos ............................................................................................... 82 
2.8.1 Exemplos e definições ........................................................................................ 82 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 4 
2.8.2 Fluxo em leitos fixos .......................................................................................... 84 
2.8.3 Cálculo da perda de pressão em leitos fixos - considerações gerais .................. 86 
2.8.4 Perda de pressão em leitos fixos - o caminho. ................................................... 87 
2.8.5 Fluxo em leitos fluidizados ................................................................................ 89 
2.9 Métodos mecânicos de separação .............................................................................. 95 
2.9.1 Sedimentação e centrifugação ............................................................................ 95 
2.9.2 Centrifugação ..................................................................................................... 99 
2.9.3 Filtração ............................................................................................................ 108 
2.9.4 Princípios da filtração ....................................................................................... 109 
3 Números adimensionais, semelhança geométrica e os critérios do scale-up ................. 116 
3.1 Objetivo dos cálculos e balanços em processos industriais ..................................... 116 
3.2 Teoria do modelo e semelhança física ..................................................................... 118 
3.3 Análise dimensional - método de elaborar números adimensionais ........................ 121 
4 Fluxo de calor ................................................................................................................. 124 
4.1 Importância técnica .................................................................................................. 124 
4.2 Unidades, valores específicos, equações de transporte ........................................... 127 
4.2.1 Condução de calor ............................................................................................ 128 
4.2.2 Transporte de calor por convecção ................................................................... 131 
4.2.3 Transporte de calor por radiação ...................................................................... 131 
4.3 Transferência de calor e transmissão de calor ......................................................... 134 
4.3.1 Convecção livre e forçada ................................................................................ 135 
4.3.2 Definições de transferência e transmissão de calor .......................................... 136 
4.3.3 Análise dimensional e números adimensionais da transição de calor .............. 140 
4.3.4 Transição de calor envolvendo os processos de evaporação e condensação ... 145 
4.4 Trocadores de calor.................................................................................................. 148 
5 Métodos térmicos de separação ...................................................................................... 158 
5.1 Destilação e retificação, no contexto dos métodos térmicos de separação.............. 158 
5.2 Fundamentos da termodinâmica .............................................................................. 159 
5.2.1 Dependência da temperatura de ebulição da pressão externa .......................... 159 
5.2.2 Misturas binárias ideais .................................................................................... 162 
5.2.3 Misturas binárias não ideais ............................................................................. 167 
5.3 Destilação simples ................................................................................................... 170 
5.4 Retificação ............................................................................................................... 172 
5.5 Balanço de uma coluna de retificação em operação contínua ................................. 174 
5.5.1 Construção do diagrama de McCabe-Thiele ....................................................178 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 5 
5.5.2 Determinação do número de pratos teóricos, segundo o método de McCabe-
Thiele 180 
5.5.3 Número mínimo de pratos e taxa mínima de refluxo ....................................... 181 
5.5.4 Pratos reais e o fator de eficiência .................................................................... 184 
5.6 Equipamentos de retificação .................................................................................... 185 
5.7 Operações destilativas especiais .............................................................................. 187 
5.7.1 Separação de misturas multi-componentes ...................................................... 187 
5.7.2 Método de duas pressões .................................................................................. 187 
5.7.3 Retificação extrativa ......................................................................................... 189 
5.7.4 Destilação azeotrópica ...................................................................................... 190 
5.7.5 Destilação extrativa usando sal ........................................................................ 192 
5.8 Transferência e transmissão de massa ..................................................................... 194 
5.8.1 Transferência de massa .................................................................................... 194 
5.8.2 Transferência de massa e de calor – paralelas e diferenças. ............................ 196 
5.9 Torres de absorção ................................................................................................... 200 
5.9.1 Princípio e pontos comuns na lavagem de gases. ............................................. 201 
5.9.2 Velocidade da transferência de massa .............................................................. 204 
5.9.3 Balanceamento de uma coluna de absorção com troca de massa contínua ...... 205 
5.9.4 Cálculo do NTU (lei de distribuição uniforme) ............................................... 208 
5.9.5 Caminho dos cálculos no dimensionamento da torre de absorção ................... 211 
5.10 Outras operações unitárias térmicas ..................................................................... 214 
5.10.1 Adsorção ........................................................................................................... 214 
5.10.2 Equipamento de adsorção ................................................................................. 217 
5.10.3 Preparo do material de retenção ....................................................................... 219 
5.10.4 Secagem ........................................................................................................... 222 
5.10.5 Extração ............................................................................................................ 225 
5.10.6 Extração por fluidos supercríticos .................................................................... 241 
5.11 Semelhanças e diferenças entre os métodos térmicos de separação .................... 246 
5.11.1 Cristalização ..................................................................................................... 247 
5.12 Técnicas de separação através de membranas ..................................................... 268 
5.12.1 Funcionamento das técnicas com membranas.................................................. 268 
5.12.2 Descrição das diferentes técnicas com membranas .......................................... 273 
6 Sistemas de medição, controle e regulagem (MCR) ...................................................... 279 
6.1 As grandezas medidas.............................................................................................. 282 
6.2 Tratamento do sinal medido e sua transmissão ao regulador .................................. 284 
6.3 Dispositivos de regulagem ....................................................................................... 285 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 6 
6.3.1 Prinípios de acionamento de reguladores contínuos ........................................ 287 
7 Representações das operações unitárias ......................................................................... 289 
7.1.1 Diagrama de operações básicas ........................................................................ 289 
7.1.2 Diagrama de fluxo de processo ........................................................................ 289 
7.1.3 Diagrama de tubulação e instrumentação (P&ID) ........................................... 293 
7.1.4 Interpretação do sistema MCR no diagrama P&ID.......................................... 298 
8 Anexos ............................................................................................................................ 300 
8.1.1 Vista geral sobre os números adimensionais mais importantes na engenharia 
química 300 
8.1.2 Números adimensionais, organizados por campo de aplicação: ...................... 302 
8.1.3 Tabela de pressão de vapor sobre os líquidos, em função da temperatura ....... 304 
8.2 Índice dos símbolos usados neste texto e suas unidades (onde se aplicam) ............ 306 
 
 
1 O que são Operações Unitárias? 
Antigamente, do início até o auge da revolução industrial, acreditava-se que os diferentes 
processos industriais da química seguem princípios diferentes, então cada linha de produção 
requer métodos, aparelhos e procedimentos específicos. Em 1915, o engenheiro químico 
americano Arthur Dehon Little, empresário e professor universitário do MIT, estabeleceu o 
conceito de "operação unitária", segundo o qual um processo químico seria dividido em uma 
série de etapas básicas que podem incluir: transferência de massa, transporte de sólidos e 
líquidos, destilação, filtração, cristalização, evaporação, secagem, etc. Cada uma das etapas 
seqüenciais numa linha de produção industrial é, portanto, uma operação unitária. O conjunto 
de todas as etapas compõe um ―processo unitário‖. Portanto, Operações Unitárias são 
seqüências de operações físicas, necessárias para realizar econômicamente um processo 
químico em escala industrial. 
Um exemplo típico da área de alimentos: o processamento de leite inclui as operações 
unitárias de padronização, homogenização, pasteurização, resfriamento, e empacotamento. A 
linha de produção integral, necessária para obter-se o produto comercial a partir da matéria-
prima, se dá pelo sequenciamento e interligação destas operações. 
"Os Princípios da Engenharia Química" de W. H Walker, W.K. Lewis e W.H. McAdams, 
(título no original: "The Principles of Chemical Engineering", do ano 1923) é considerada por 
muitos engenheiros sendo a monografia pioneira do abordamento da química industrial. Nesta 
são tratadas as indústrias químicas de maneira uniforme e generalizada, seguindo as mesmas 
leis da física, independente do insumo a ser produzido. Cada operação unitária por si pode ser 
calculada e dimensionada, enquanto a base deste cálculo são as leis estabelecidas da física e o 
caminho do cálculo geralmente são equações diferenciais. Sendo assim, as operações unitárias 
certamente formam os pilares da Engenharia Química. Aliás, este procedimento tem caráter 
universal e pode ser aplicado em qualquer outra indústria de transformação, também. 
As operações unitárias são baseadas em princípios, teóricos e empíricos: 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 7 
 Transferência de massa, 
 Transferência de calor, 
 Transferência de quantidade de movimento, 
 Termodinâmica, 
 Biotecnologia e 
 Cinética química. 
Desta forma, os processos podem ser estudados de maneira unificada. Uma operação unitária 
sempre tem o mesmo objetivo, independenteda natureza química dos componentes 
envolvidos. Por exemplo, a transferência de calor é a mesma operação, quer em um processo 
petroquímico, quer em uma indústria de alimentos. 
As operações unitárias dividem-se em cinco classes: 
1. Processos de Escoamento de Fluidos, como transporte de fluido, filtração, fluidização 
sólida. 
2. Transferência de Calor: aquecimento e refrigeração. 
3. Transferência de Massa, como o transporte em tubos, mas também absorção gasosa, 
destilação, extração, adsorção, secagem. 
4. Processos Termodinâmicos, como liquefação gasosa, evaporação, condensação, etc. 
5. Processos Mecânicos, como transporte de sólidos, triturar, peneiramento, 
sedimentação, centrifugação, filtração, etc. 
As operações unitárias aplicadas especialmente na Engenharia Química também se encaixam 
nas seguintes categorias: 
 Combinação (misturar) 
 Separação (destilação) 
 Reacão (reação química) 
Não só o Engenheiro, mas também o Técnico em Química deve ter noção do cálculo e 
dimensionamento dos equipamentos utilizados nas operações unitárias. Ele deve estar ciente 
de que o tamanho dos aparelhos é fundamental para os fluxos dentro da fábrica e até o 
desenho de completas plantas químicas. 
 
2 Fluxo de matéria 
Na indústria química, o transporte e o processamento de reagentes, produtos e materiais de 
modo geral, se dá principalmente em meios fluidos (gases, líquidos, géis, pastas, etc.), 
enquanto o uso de sólidos geralmente é evitado onde for possível, devido ao atrito durante o 
transporte. Este capítulo aborda então os problemas acerca do transporte que o engenheiro 
químico tem que resolver para assegurar uma produção contínua. 
A base do cálculo de tarefas de transporte e o dimensionamento de bombas é a teoria do 
fluxo. Essa teoria é apresentada aqui de forma resumida, tratando do essencial para o 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 8 
entendimento das aplicações mais importantes na química técnica. Não é o objetivo deste 
texto a derivação exata das equações que deve ficar reservada à literatura especial 
1
. 
Os focos aqui são: 
 Conhecimento dos caminhos e das formulações de equações que resolvem problemas 
acerca das operações unitárias - inclusive o uso de números adimensionais, 
características para o fluxo da matéria. 
 Aplicação das leis em exemplos concretos e o cálculo do resultado. 
 
Visto ainda, no caso particular da engenharia química, a suma importância do reator químico 
– lugar onde acontece a transformação da matéria prima em produto valioso – o capítulo de 
reatores e a condução de reações químicas em escala industrial, foi desintegrado deste texto e 
disponibilizado à parte, nesta biblioteca 
2
. 
2.1 Dados dos materiais, grandezas e unidades 
Na teoria do fluxo se destacam as seguintes grandezas e características da matéria: 
 
Tab. 1. Grandezas e unidades importantes na teoria do fluxo 
Grandeza Unidade SI e suas conversões 
Pressão: p, p Pa = N 
.
 m
-2
 = Kg 
.
 m
-1 .
 s
-2
 
1 MPa = 10
6
 Pa = 10 bar 
Velocidade linear: u m 
.
 s
-1
 
Velocidade do volume: m³ 
. 
s
-1
 
Velocidade da massa: Kg 
.
 s
-1
 
Energia: E, E N 
.
 m = J = W 
.
 s = Kg 
.
 m² 
.
 s
-2
 
Aceleração gravitacional: g g = 9,81 m 
.
 s
-2
, ao nível do mar. 
Densidade:  Kg 
.
 m
-3
 
Viscosidade dinâmica:  Pa 
.
 s = N 
.
 m
-2
 
.
 s = Kg 
.
 m
-1 .
 s
-1 
Nas tabelas antigas ainda Poise (centi-Poise): 
1 Poise = 0,1 Pa 
.
 s (1 cP = 0,001 Pa 
.
 s) 
 
1
 Disponíveis nas bibliotecas do CEFET-MG: 
W.L. McCabe, Unit Operation of Chemical Engineering, McGraw Hill 1967; No. de chamada: 660 M121u. 
A.S. Foust, Princípios das operações unitárias, LTC 1982; No. de chamada: 66.021 F782p. 
D.A. Blackadder, Manual das operações unitárias, Ed. Hemus 2004; No. de chamada: 660 B628m. 
Disponível em CD: 
J.H. Perry, Chemical Engineer´s Handbook, McGraw Hill 2002. 
2
 A. Isenmann, Reatores e Reações Químicas em Escala Industrial. Edição do Autor, Timóteo 2018. 
V
m
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 9 
Viscosidade cinemática: 



(= "Momento da difusividade") 
m² 
.
 s
-1
 
Nas tabelas antigas ainda Stokes: 
1 Stokes = 10
-4
 m² 
.
 s
-1
 
 
Nota: As grandezas expressas como , representam a derivada temporal da variável X, ou 
seja, (dX/dt); ̈ significa então 
2
2
dt
Xd
, etc. 
As grandezas físicas devem então ser indicadas através das unidades do Sistema Internacional 
(SI), conforme nas tabelas a seguir: 
Tab. 2. Grandezas fundamentais e suas unidades (definidas pela sociedade científica) 
Grandeza Unidade Símbolo 
Comprimento metro m 
Massa quilograma Kg, também kg 
Tempo segundo s 
Corrente elétrica Ampère A 
Temperatura 
termodinâmica 
Kelvin K 
Quantidade de matéria mol mol 
Clareza da luz Candela cd 
 
Tab. 3. Grandezas derivadas e suas unidades 
Grandeza Expressão básica Unidade Símbolo 
Força Newton N 
Pressão 
 
Pascal Pa 
Energia (energia química, 
trabalho mecânico ou calor) 
, onde 
 (calor), 
 
 (trabalho mecânico) 
Joule J 
Potência (= desempenho) Watt W 
Viscosidade dinâmica 
 
Pascal 
segundo 
Pa
.
s 
Frequência 
t
1
 
Hertz Hz ou s
-1
 
Tensão elétrica (= potencial) Volt V 
X
umamF 
dA
dF
p 
dWdQdE 
dTcmdQ p 
dLFdW 
EP 


 
dIRdU 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 10 
Resistência elétrica 
 
Ohm 
Carga elétrica Coulomb C 
Condutividade elétrica 
 
Siemens S 
 
Tab. 4. Relação entre algumas unidades derivadas e as unidades fundamentais: 
1 Pa = 1 N m
-2
 = 1 Kg m
-1
 s
-2
 1 N = 1 Kg m s
-2
 
1 Pa s = 1 N s m
-2
 = 1 Kg m
-1
 s
-1
 1  = 1 V A
-1
 = 1 N m A
-2
 s
-1
 
1 J = 1 W s = 1 N m = 1 Kg m
2
 s
-2
 1 C = 1 A s 
1 W = 1 J s
-1
 = 1 N m s
-1
 = 1 Kg m
2
 s
-3
 1 S = 1 
-1
 
1 V = 1 W A
-1
 = 1 J A
-1
 s
-1
 = 1 J C
-1
= 1  A 
= 1 N m A
-1
 s
-1 
= 1 kg m
2
 A
-1
 s
-3
 
1 bar = 10
5
 N m
-2
 
 
 
2.2 Propriedades dos Fluidos 
Fluidos são substâncias que se deformam constantemente quando submetidas a uma força 
tangencial, não importando o quão pequena seja esta. O trabalho feito num fluido provoca sua 
deformação e a energia entregue é armazenada em forma de energia cinética, principalmente. 
Já os sólidos se opõem à força externa e armazenam a energia entregue de maneira elástica. 
Isto é, eles não são deslocados notavelmente da sua posição inicial (somente se fossem 
fragmentados), em função do ponto de aplicação da força, da intensidade e do centro de massa 
do material. 
Esta força tangencial que atua ao longo de uma superfície, é denominada tensão de 
cisalhamento: 
 
Onde o termo A// significa área paralela à força aplicada, diferente da área perpendicular Axy = 
A usada no cálculo da pressão p: 
. 
Consideremos um fluido escoando em uma tubulação de comprimento L e raio r. Após a 
aplicação de uma força externa F, por exemplo, por meio de uma bomba, a massa desse fluido 
exerce força na área perpendicular A, gerando uma pressão global, também conhecida como 
pressão de bombeamento. Ao mesmo tempo o fluido entrega seu momento à parede interna 
do tubo, isto é, a área A//. A maneira como acontece o escoamento do fluido neste tubo será 
apresentada mais adiante (ver perfil de velocidade, Fig. 9 na p. 26). 
A
L
R



dtIdQ 
1

 R
L
A
k

//A
F



A
F
p
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 11 
 
Fig. 1. Definições da pressão, p, e da tensão de cisalhamento, , mostradas em um tubo 
com líquido. 
 
2.3 A viscosidade 
Nas seções a seguir serão tratados os fenômenos de fluxo com fricção 
3
. A medida da fricção 
internade um fluido é a viscosidade. Além de definir a viscosidade, esta secção indica os 
caminhos do seu cálculo e alguns dados de viscosidades típicas. 
Dentro de um meio em fluxo ocorre uma perpétua troca de momento linear (= impulso; ) 
entre as partículas. Nas paredes imóveis o momento é entregue; neste local a velocidade do 
fluido é zero, u = 0 (condição de adesão). A partir do local com u = 0 a velocidade aumenta 
junto à distância da parede e pode-se observar um perfil linear de velocidade dentro do fluido 
(ver Fig. 2). Entre as zonas de diferentes velocidades ocorre a transmissão de momento, yx, 
através da fricção interna. Esta grandeza também é conhecida como tensão de cisalhamento, 
tensão tangencial ou força tangencial por área unitária. 
Vamos procurar um modelo macroscópico para entender o acontecimento em nível molecular. 
Supomos dois trens andando em dois trilhos paralelos, na mesma direção, porém em 
velocidades diferentes. Daí os passageiros começam pular do trem mais rápido para o trem 
mais lento. Chegando ao outro trêm, cada uma destas pessoas cede um momento mais alto, 
provocado pela sua alta velocidade e seu próprio peso. Isso irá acelerar o trem mais lento. 
Num outro momento as pessoas pulam do trem mais lento para o mais rápido, o que terá o 
efeito de frear o trem de destino. 
 
Fig. 2. Perfil da velocidade tangencial, a partir de uma parede imóvel. 
 
 
3
 Fricção e atrito são sinônimos. 
um 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 12 
Voltando para o fluido, podemos então comparar as camadas em direção ao fluxo sendo trens 
de diferentes velocidades, o número de pessoas que pulam seja a viscosidade  e a diferença 
em velocidade entre os trens vizinhos seja o gradiente . 
Chegamos assim numa formulação da lei de Newton na seguinte forma: 
 
. Lei de Newton, aplicada ao fluido. 
 
com = viscosidade dinâmica (ou fricção interna); = perfil de velocidade 
perpendicular ao fluxo; também chamado de razão, taxa ou frequência de cisalhamento. O 
sinal negativo nesta equação é convenção internacional. 
 
Admitimos que a lei de Newton é menos conhecida nesta forma do que . Portanto, 
seja mostrada a seguir a analogia destas formulações. 
Dividindo ambos os lados por , temos: 
. 
Escrevemos para e para a aceleração . A geometria dentro de um 
tubo fornece a área paralela ao fluxo, , portanto: 
 
. 
 
O termo tem a dimensão massa por comprimento e por tempo, então as unidades 
são Kg
.
m
-1.
s
-1 
ou seja, Pa
.
s. Esta grandeza é definida matematicamente como viscosidade. 
Genericamente, podemos escrever para qualquer sistema de fluido, independente da simetria 
do recipiente: 
 
Nessas equações, os termos: 
 
dy
dux
yx

dy
dux
amF 
//A
//// A
am
A
F 

/// AF
dt
du
ua xx  
rLA 2// 


 






dtL
m
dr
du
dtL
m
dt
du
drL
m xx
222
dtL
m
2
F = m . a
 =  . 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 13 
F e  expressam forças externas atuando no sistema, 
a e  expressam movimento, 
m e  expressam inércia, fator de proporção entre a força externa e o movimento. 
 
A lei de Newton torna-se mais universal quando escrita na forma diferencial: 
 
.
 
 
Através desta equação a viscosidade dinâmica  (também chamada de tenacidade 
dinâmica) é definida. Em tabelas mais antigas encontram-se os valores da tenacidade 
dinâmica em centi-Poise (cP), valendo a relação: 
1000 cP = 10 P = 1 Pa
.
s. 
Em muitas situações é conveniente usar a viscosidade cinemática  (também: tenacidade 
cinemática, ou ainda: momento da difusividade). A relação entre as grandezas  e  é 
simples: 
 
, 
 
com a densidade  (em Kg.m-3). 
Em tabelas antigas ainda encontra-se a unidade Stokes para essa grandeza. Vale a relação: 
1 Stokes = 10
-4
 m
2
 s
-1
. 
2.3.1 Fluidos com comportamento não newtoniano 
A viscosidade dinâmica  é então a variação na tensão tangencial ao variar o gradiente de 
velocidade. Podemos, portanto, interpretar a viscosidade sendo a inclinação da curva do 
cisalhamento, em função ao gradiente. Conforme a lei de Newton essa curva deve ser uma 
reta. A maioria dos fluidos obedece a essa lei, o que facilita bastante os cálculos e o 
dimensionamento da bomba propulsora. Mas existem também desvios característicos do 
comportamento newtoniano, conforme mostrado na figura a seguir. 
 
 dd yx 


 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 14 
 ou 
Fig. 3. Comparação de fluidos newtonianos, pseudoplásticos e dilatantes. 
 
O ramo dos métodos analíticos que caracteriza a fluidez, especialmente dos fluidos líquidos 
espessos, é a ―Reologia‖. É uma disciplina relativamente recente, mas cada vez mais 
importante devido à sua importância industrial no setor de processamento de termoplásticos, 
mas também na cosmética (cremes, pastas), na indústria de alimentos (molhos, sorvete, 
extratos) e na mecânica (óleos hidráulicos e de lubrificação). 
Nos gases e na maioria dos líquidos a viscosidade é constante e independente da razão de 
cisalhamento dux/dy (curva no meio dos gráficos da Fig. 3). Nestes casos se fala de 
comportamento newtoniano, ou seja, são fluidos newtonianos. Exceções têm-se com pastas, 
líquidos geleificados e polímeros fundidos ou em solução. Na maioria destes casos observa-se 
uma diminuição da viscosidade ao aumentar a razão de cisalhamento, chamado de 
viscosidade estrutural (ou pseudoplasticidade). Menos frequente é o comportamento 
oposto, conhecido como dilatância. 
A viscosidade estrutural se explica, a nível supramolecular, com a deformação de novelos 
estatísticos de polímeros de alta massa, ao serem deformados. O novelo, aproximadamente 
redondo quando em repouso, é esticado em direção à força da deformação. Quando muitos 
novelos fazem isso, eles deslisam mutuamente com maior facilidade, quer dizer, sua 
resistência contra a força deformativa diminui. Por outro lado, quando a velocidade da 
deformação for baixa, os novelos têm tempo suficiente de entrelaçar-se - o que acarreta uma 
viscosidade proporcionalmente maior. Viscosidade estrutural também pode-se esperar quando 
as partículas do fluido mostram aspectos bastante alongados (agulhas, discos, etc.). Quanto 
maior a gradiente dentro do fluido, mais alinhadas as partículas, e isso facilita seu 
deslizamento. Este efeito é benéfico no processamento de um grande número de líquidos 
semi-sólidos onde o processamento industrial requer a passagem rápida através de orifícios e 
dosadores. 
Um efeito contrário em função da velocidade da deformação se espera em fluidos onde as 
partículas ou os novelos mostram a tendência de orientar-se perpendicular à direção do fluxo. 
Daí observa-se dilatância. O mesmo efeito se observa em polímeros onde os novelos se 
―abrem‖ e entrelaçam, mais em geral falado de corpos que podem aumentar suas dimensões 
sob solicitação. E finalmente se observa dilatância, também em dispersões altamente 
concentradas de pequenas partículas sólidas (por exemplo, a argila bentonita), onde as 
micropartículas se aproximam sob a influência do cisalhamento. Isto pode acontecer, por 
exemplo, ao sofrer um impacto. Daí o fluido líquido é forçado a sair e as partículas rígidas se 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 15 
aproximam formando aglomerados de dimensões macroscópicos, por sua vez de alta 
viscosidade, que até mostram um comportamento típico de sólidos. O exemplo mais famoso 
de um fluido dilatante é a massa de ―Silly Putty‖, um brinquedo que, quando formado em uma 
bola, mostra uma elasticidade semelhante à borrachaquando deixado cair no chão, mas que 
―derrete‖ aos poucos quando deixado em repouso, em cima da mesa. Mas também novas 
aplicações se acharam para os materiais dilatantes, tais como coletes a prova de balas ou em 
vestimentos de esportes radicais. 
Os dois desvios do comportamento newtoniano, a pseudoplasticidade e a dilatância, podem 
ser descritos pela lei de Newton quando flexibilizada por meio de um expoente  que se 
atribui comumente à taxa de deformação : 
 yx 
Sendo assim, é possível descrever um desvio da viscosidade , tanto para cima (dilatância;  
|< 1) como para baixo (viscosidade estrutural ou pseudoplasticidade;  > 1), ao aumentar a 
força aplicada no fluido. 
Existe um terceiro caso que desvia do comportamento ideal, conhecido como corpo de 
Bingham: o material se comporta conforme descrito por Newton, mas somente após 
ultrapassar uma tensão limite; abaixo deste limite o corpo fica sólido elástico e não mostra 
fluência, mas reverte à sua posição original quando relaxar a tensão. Exemplos para materiais 
deste comportamento são ketchup, pasta de dente, massa de pão, certas tintas de parede, lamas 
e lodos, óleos com espessantes, líquidos petrolíferos, mas também o nosso sangue. Muitas 
suspensões de alta concentração (isto é, partículas sólidas em pouco solvente líquido; 
exemplo: areia fina e molhada na praia) também mostram este comportamento. Daí a lei de 
Newton deve ser modificada conforme 
 , onde lim é a força limite de fluidez. 
 
Materiais que mostram as duas características, do corpo de Bingham e a viscosidade 
estrutural, são conhecidos como corpos de Herschel-Bulkley. 
Um bonito exemplo de um comportamento não-newtoniano que pode ser mostrado em sala de 
aula, é a mistura de Maizena em (pouca) água. Na relação certa dos componentes esta massa 
mostra elevada resistência contra transformações mecânicas rápidas, enquanto sua resistência 
contra deformações demoradas requerem forças muito baixas (fluidez lenta). Daí a pergunta: 
qual comportamento se evidenciou: dilatância, viscosidade estrutural ou corpo de Bingham? 
Existe um comportamento ainda mais complexo, a dizer nos polímeros fundidos e em 
soluções altamente concentradas de polímeros, por sua vez de suma importância para a 
indústria de transformação de termoplásticos (através dos processos de injeção, extrusão e 
sopro, principalmente). Estes materiais mostram características, tanto de sólidos (= elásticos), 
como de líquidos (= viscosos). Portanto, este perfil se chama de viscoelasticidade. Ao soltar 
uma deformação leve estes materiais voltam à sua forma original; por outro lado, sob alta 
solicitação mecânica se observa uma deformação irreversível, ou seja, fluidez. Um 
lim  dd yx
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 16 
comportamento típico de um termoplástico fundido é mostrado na Fig. 4 
4
. Este efeito deve 
ser levado em conta, por exemplo, na transformação termo-mecânica dos plásticos fundidos, 
onde se articula como ―efeito de memória‖. Um plástico quando extrudido através de um 
orifício fino se dilata logo após a passagem estreita. Isso dificulta a produção de tubos, cabos 
e perfis com dimensões exatas. Outro comportamento especial é o efeito de Weissenberg, 
onde a massa viscoelástica sobe na haste de agitação, em vez de ser expelida em direção à 
parede da batelada. 
 
 
Fig. 4. Curva típica de tensão (; no texto representado por ) em função do 
elongamento () à velocidade constante, de um material viscoelástico. No início da 
curva predomina o comportamento elástico, no final as características viscosas. 
O comportamento viscoelástico pode ser simulado, usando-se arranjos de dois aparelhos que 
destacam-se pela sua elasticidade e sua fluidez livre: a mola e o amortecedor, 
respectivamento. Em homenagem aos pioneiros da reologia os dois arranjos típicos mais 
simples são conhecidos como 
 Modelo de Voigt-Kelvin, descrevendo sólidos com aspectos viscosos; 
 Modelo de Maxwell, descrevendo líquidos viscosos com aspectos elásticos. 
Estes dois modelos básicos podem ser acoplados, por sua vez em paralelo ou em série, para 
obter-se a perfeita simulação do material estudado. Os dois modelos tem seus pontos fortes e 
fracos, sendo o modelo de Voigt-Kelvin mais adequado para descrever o ―efeito de memória‖ 
(ver em cima) e o modelo de Maxwell melhor para descrever o creep (ver em baixo). 
 
 
4
 Note que também os metais dúcteis e certas ligas metálicas mostram viscoelasticidade. Como o aspecto de 
sólidos predomina nestes materiais, no entanto, eles estão fora do nosso foco neste contexto. 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 17 
 
a b 
 
c 
Fig. 5. Simulação do comportamento viscoelástico, usando os modelos (a) de Voigt-
Kelvin e (b) de Maxwell. Para aproximar-se ao comportamento real estes dois 
arranjos podem ser acoplados (c), em parelelo ou em série. 
 
Esses fenômenos, até então apresentados sob o título ―comportamento não newtoniano‖, não 
devem ser confundidos com a tixotropia que é o fenômeno da diminuição da viscosidade 
aparente com o tempo de cisalhamento, enquanto a taxa de cisalhamento é mantida constante. 
Ao contrário dos fenômenos da pseudoplasticidade/dilatância, a tixotropia está sujeita a uma 
histerese temporal, quer dizer, depende do seu histórico. No entanto, as explicações ao nivel 
molecular são semelhantes. Como também na viscosidade estrutural e no corpo de Bingham, a 
diminuição da viscosidade aparente com o tempo se deve à quebra de uma supraestrutura 
organizada no fluido em repouso que podemos identificar como gel. Um gel é uma dispersão 
coloidal em que o meio disperso apresenta-se no estado sólido, e o meio dispersante no estado 
líquido. Se deixarmos o sistema tixotrópico em repouso durante algum tempo, a viscosidade 
aparente aumentará novamente e a supraestrutura entre as partículas que ―imobiliza‖ o líquido 
se recupera. Se em seguida submetermos o sistema ao cisalhamento, a uma velocidade de 
agitação constante, a viscosidade aparente decrescerá com o tempo até atingirmos uma 
viscosidade limite, isto é, o equilíbrio entre quebra e reconstrução da estrutura do gel. 
A tixotropia é tipicamente observada quando mexer (= cisalhar) com uma espátula uma tinta 
latex para pintar parede. Inicialmente a tinta parece muito viscosa, mas, com o tempo de 
mexer, ela vai se tornando mais fluida. Sendo assim, a tixotropia é um importante critério de 
qualidade para tintas decorativas, a serem aplicadas por pincel, rolo ou borrifador. Uma vez 
que a tinta foi aplicada numa parede vertical, o pintor espera que ela fique no lugar e não 
escorre em forma de ―lágrimas‖. Soluções de polímeros de massa molar elevada são, em 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 18 
geral, tixotrópicas. Suspensões coloidais de óxido de ferro III, de alumina e algumas argilas, 
que formam sistemas fracamente geleificados, também apresentam tixotropia. A formação 
reversível de géis é vital em uma série de processos industriais importantes, tais como o 
transporte de lodos na estação de tratamento de esgotos, em poços petrolíferos ou no Fracking 
do gás natural. Neste último exemplo os aditivos de geleificação (polissacarídeos ou 
poliacrilamida) imobilizam os grãos de areia dentro da água de processo e assim podem ser 
levados até as fendas dos sedimentos profundos. 
Em sala de aula um gel pode ser rapida e facilmente produzido, a partir de 3 g de acetato de 
cálcio, dissolvidos em 10 mL de água. O gel se forma imediatamente quando verter essa 
solução em cima de 75 mL de etanol. 
 
 
Fig. 6. Classificação comum dos fluidos com comportamentonão newtoniano. 
 
A diferença entre viscosidade estrutral, corpo de Bingham e tixotropia, é afinal a facilidade da 
formação do gel: no primeiro caso a formação do gel é imediata, no segundo caso o gel 
quebra de maneira catastrófica acima de um limite de stress e no último caso o gel se degrada 
aos poucos. 
O oposto da tixotropia é chamada de reopexia (ou anti-tixotropia), então o fenômeno do 
aumento da viscosidade aparente com o tempo de cisalhamento a uma taxa de cisalhamento 
constante. Fluidos reopéticos têm menos aplicações que os tixotrópicos. Note que ambos os 
tipos de fluidos, tixotrópicos e reopéticos, mostram tipicamente uma histerese no seu 
comportamento viscoso, quer dizer, a tensão  quando aumentando o cisalhamento  e outra 
do que a tensão (= resistência) quando atenuando o fluxo. 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 19 
 
Fig. 7. Histereses típicas nas curvas  em fluidos tixotrópicos e reopéticos. 
 
Finalmente mencionamos uma dependência temporal da viscosidade, conhecida como 
fluência fria (inglês: creep). É de suma importância na técnica, já que ela descreve a 
deformação irreversível ao longo prazo (na ordem de alguns anos), de materiais de 
construção. Nestes casos a fluidez é uma expressão da fatiga do material. Isso mostra que até 
materiais tipicamente sólidos podem mostrar as características de fluidos – embora que estes 
não sejam no foco da nossa discussão. 
 
2.3.2 Viscosidade em gases 
O que determina a viscosidade em gases é o número das colisões entre as partículas, também 
podemos afirmar que é inversamente proporcional à média do caminho de voo livre, , que 
existe entre duas partículas. Também influencia o momento, , que é transmitido entre as 
partículas ( = densidade; = velocidade média das partículas). 
As seguintes expressões são resultados de um modelo cinético bastante simples, porém 
confirmados por cálculos quânticos ab initio: 
 
 e , 
 
com N = densidade média em termos de número de partículas por volume 
12 = média dos raios efetivos onde ocorre colisão. 
M = média da massa molar das partículas. 
 
Sob condições normais (nossa pressão atmosférica é de 0,1 MPa, aproximadamante) 
esperamos caminhos livres entre 100 nm <  < 1 µm. Já com uma pressão de 1 MPa os 
caminhos se reduzem a 10 nm <  < 100 nm, isto é, 50 a 500 vezes o comprimento da própria 
molécula. 
Para gases ideais o modelo cinético das patículas fornece para a viscosidade: 
u
u
2
122
1
 

N M
RT
u



8
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 20 
 
. 
 
Embora essas relações valem rigorosamente só para gases ideais, elas podem também ser 
aplicadas ao gás real, até pressões moderadas. As seguintes afirmações certamente valem para 
os gases industriais enquanto aplicados entre 0,01 e 1 MPa, por que nestas condições o 
caminho de voo livre é pequeno em relação às dimensões do recipiente (ou tubulação), e 
grande em relação às dimensões das moléculas. 
Notamos que a viscosidade deve ser independente da pressão nestes gases, mas deve 
aumentar junto à temperatura. Já que o raio médio de colisão, 12, diminui um pouco ao 
aumentar a temperatura, então essa última proporcionalidade fica ligeiramente maior do que 
. Em geral, podemos descrever a dependência térmica da viscosidade de gases na seguinte 
forma: 
 
, com T0 = 273 K e viscosidade dinâmica medida a 273 K. 
 
Por outro lado, para um gás bastante muito densificado e também diluído, a viscosidade se 
torna dependente da pressão, ou seja, da densidade do gás. 
A viscosidade de todos os gases fica na ordem de grandeza de . O expoente n 
desta última equação é um valor empírico, indicado para alguns gases comuns na Tab. 5. 
 
2.3.3 Viscosidade de líquidos 
Entre ponto de fusão e ponto de ebulição comum, a viscosidade dos líquidos depende muito 
pouco da pressão. Por outro lado, a viscosidade depende fortemente da temperatura. Ao 
contrário dos gases ela diminui junto à temperatura. A dependência fenomenológica pode ser 
descrita por: 
 
, 
 
enquanto o cálculo das constantes A e B a partir dos dados moleculares requer um alto esforço 
matemático e contém diversas aproximações 
5
. Portanto, essa equação é usada, principalmente 
para interpolações entre os dados experimentais. 
A viscosidade de líquidos é aproximadamente de duas ordens de grandeza (= fator 100) maior 
do que a dos gases. Valores típicos nas seguintes tabelas. 
 
5
 R.C. Reid, T.K. Sherwood, The properties of gases and liquids, McGraw-Hill 1966. 
2
12
3
28
3
2
3
2













RTM
M
RT
u
T
n
T
T









0
0 0
sPa  510
T
A
eB 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 21 
Tab. 5. Viscosidades dinâmicas e caminhos de voo livre de alguns gases, sob condições 
padrão (25 °C; 0,1 MPa) 
Gás sob cond. padrão η in µPa·s  in nm 
Ar seco 17,1 59,8 
Oxigênio (O2) 19,2 63,3 
Gás carbônico (CO2) 13,8 39,0 
Nitrogênio (N2) 16,6 58,8 
Argônio 21,0 62,6 
Neônio 29,7 124,0 
Hélio 18,6 174,0 
Hidrogênio 8,4 111,0 
 
Tab. 6. Viscosidades de alguns gases de importância industrial, calculadas por 
. 
Gás H2 ar CH4 CO2 Cl2 
 em 10
-5
 Pa s 0,85 1,74 1,06 1,44 1,32 
n 0,65 0,67 0,72 0,77 0,81 
 
Tab. 7. Viscosidade de líquidos que têm importância em processos químicos e 
alimentícios, calculadas por . 
Líquido A em K B em 10
-5
 Pa s  a temp. padrão (25 °C) 
em 

Pa
.
s 
Acetona 780 2,2 0,3 
Etanol 1710 0,35 1,09 
Benzeno 1250 0,9 0,66 
Ciclohexano 1460 0,66 0,89 
Dioxano 1460 0,85 1,14 
Ácido acético 1340 1,25 1,12 
Nitrobenzeno 1440 1,45 1,82 
Octano 1070 1,4 0,51 
Azeite de oliva 3350 0,082 62,51 
Fenol 3460 0,008 sólido 
Tricloroetileno 800 3,8 0,56 
n
T
T









0
0
0
T
A
eB 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 22 
 
Tab. 8. Viscosidade da água e do benzeno, em função da temperatura. 
T (em °C) 0 20 40 60 80 100 
 em 10
-3
 Pa s 1,792 1,002 0,653 0,467 0,353 0,282 
 em 10
-3
 Pa s 0,906 0,647 0,489 0,386 0,314 (0,262) 
 
2.4 Fluxo tubular e perda de pressão em peças 
Em plantas da indústria química o transporte de meios fluidos ocorre quase exclusivamente 
em tubos. As máquinas de propulsão são bombas (em caso de líquidos) e densificadores (em 
caso de gases). Ocasionalmente, os líquidos são transportados sob o efeito da força 
gravitacional, de um reservatório de posição alta para um recipiente de posição mais baixa 
("transporte hidrostático"). Em geral, os fluidos não apenas passam por tubos, mas também 
por peças, tais como joelhos, arcos, válvulas, ferrolhos, torneiras, manilhas e outras conexões. 
Tanto nos tubos, quanto nas peças, o fluido está sofrendo perda de pressão. Para o 
dimensionamento da bomba é necessário conhecer o grau de perda de pressão, p. A 
experiência nos mostra que p depende sensivelmente do diâmetro do tubo: quanto mais 
largo o tubo, menor será p. Por outro lado, os tubos de diâmetros maiores são muito mais 
caros. Também tenta-se evitar fluido parado dentro da tubulação. Aquela parte do fluido que 
não chega ao recipiente-alvo, mas permanece dentro do tubo, é conhecido como volume 
morto. Portanto, os aspectos econômico e de segurança estão pedindo um dimensionamento 
justo do sistema de tubulação. 
Em primeiro lugar olhamos então no fluxo em tubos retos, em seguida será considerada a 
perda de pressão nas peças. 
 
2.4.1 Fluxo laminar em tubos 
Um fluxo bastante lento estabiliza um perfil parabólico de velocidade dentro do tubo. Neste 
caso se fala de fluxo laminar. A relação entre a velocidade médiado fluxo, , e a perda de 
pressão p está dada pela famosa lei de Hagen-Poiseulle: 
 
, Hagen-Poiseulle 
 
onde d = diâmetro do tubo; L = comprimento do tubo;  = viscosidade dinâmica. 
Esta lei somente vale para o fluxo laminar! Ela é muito aplicada, não só em cálculos de 
problemas de transporte, mas também na medição da viscosidade usando viscosímetros (do 
tipo Ostwald ou Ubbelohde, ver Fig. 8). 
 
água
benzeno
u
L
pd
u




32
2
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 23 
 
Fig. 8. Modelos comuns de viscosímetros, para líquidos até uma viscosidade na ordem 
de 10
-2
 Pa
.
s: Nestes mede-se o tempo que passa para escoar o líquido, no regime 
laminar, do reservatório superior (entre as marcas indicadas) para o inferior. Note 
que, devido à forte dependência térmica da viscosidade estes aparelhos devem ser 
mergulhados num banho termostatizado. 
 
Aumentamos o fluxo gradativamente, observamos uma mudança repentina, do laminar para 
turbulento (ver secção 2.4.3). 
Devido à grande importância desta lei para o fluxo, tentamos derivá-la de forma resumida. 
Consideremos um tubo de comprimento L, com a pressão p1 no início e p2 no final, com p1 > 
p2. O fluido atravessa esse tubo com a velocidade u, unicamente em direção x. A situação é 
esboçada abaixo. 
 
A perda em pressão é então p= p1 - p2. E a velocidade u depende evidentemente desta 
diferença propulsora p que está sendo provocada pela bomba. 
Em primeiro lugar deve-se procurar o balanço dos momentos. Como já dito acima, o fluido 
transfere momento à parede do tubo, e isso é em resumo a causa para a perda de pressão 
dentro do tubo. O balanço de momento pode ser formulado, tanto em coordenadas cartesianas 
quanto em coordenadas cilíndricas. No sistema cartesiano aplicam-se as três coordenadas do 
espaço: 
 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 24 
ux = velocidade do fluxo em direção x; x = direção do fluxo; y e z = direções perpendiculares 
ao fluxo = ortogonais à parede fixa. 
Nestas coordenadas o balanço do caso unidirecional é: 
 
. 
 
Em palavras: a perda de pressão em direção ao fluxo é igual à queda da transmissão de 
momento ao afastar-se da parede. 
Devido à simetria do tubo, porém, será mais útil usar coordenadas cilíndricas: 
 
r = raio do tubo; z = direção única do fluxo. O ângulo radiano  (isto é a direção do raio r) 
pode ser desconsiderado graças à simetria do tubo. 
Nestas coordenadas o balanço se formula da seguinte forma 
6
: 
 
. 
 
Junto à lei de Newton, obtemos: 
 
 
Isso é uma equação diferencial parcial com duas coordenadas do espaço (r, z). Podemos 
transformá-la em uma equação diferencial comum quando fizermos a restrição de se ter um 
fluido incompressível (isto é, praticamente todos os líquidos). Neste caso a perda em pressão 
em direção z fica linear. 
Para o fluxo laminar se obtém (isso vale grosseiramente para os gases, também): 
 
 
6
 Essa transformação pode ser melhor entendida, com as explicações dadas no apêndice matemático D do livro 
G. Wedler, Manual da Química Física, Calouste Gulbenkian 2001; disponível em nossa biblioteca. 
yx
yx
p






)(
1
rzr
rrz
p






dr
du
rz  
.













r
u
r
rrz
p 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 25 
L
p
z
p 



. 
 
O sinal negativo reflete o fato que, ao prosseguir em direção +z, a pressão p diminui; p tem, 
nesta consideração, um valor positivo. 
Com essa aproximação chegamos a uma equação diferencial comum que pode ser resolvida 
sem problemas: 
 
. 
 
Sua integração com margens abertas fornece: 
 
, com a constante de integração C a ser determinada pelas condições 
marginais. Lembramos-nos que essa relação vale para todos os raios r, então vamos 
considerar o local exatamente no miolo do tubo (r = 0) e obtemos diretamente: 
C = 0. 
 
Temos então . Na verdade estamos interessados na velocidade u, ou melhor 
falado, na relação entre a velocidade do fluxo e a perda em pressão p, portanto temos que 
integrar mais uma vez. Isso leva à relação: 
 
. 
Para determinar a constante C´ aproveitamos da situação imóvel, diretamente na parede do 
tubo (r = R e u(R) = 0): 
7
 
 
. 
 
7
 Único caso onde a condição da imobilidade do fluido na parede não está obedecida, é no fluxo de gases do alto 
vácuo. Mas os casos técnicos geralmente são longe deste caso excepcional. 
L
pr
dr
du
r
dr
d 








C
L
pr
dr
du
r 


2
2
L
pr
dr
du 

2
´
4
)(
2
C
L
pr
ru 



L
pR
C


4
´
2
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 26 
 
Inserimos a constante de integração e obtemos, em outras variáveis, a lei de Hagen-Poiseulle: 
 
. 
 
Essa é a lei na forma que está apresentada na maioria dos livros da física. Ela fala que a 
velocidade u(r) é diretamente proporcional à perda em pressão p e indiretamente 
proporcional ao comprimento do tubo, L. Além destas, a velocidade depende de maneira 
quadrática do raio r. Isso implica que se estabelece um perfil parabólico de velocidade dentro 
do tubo: 
 
Fig. 9. Perfil do escoamento laminar dentro do tubo 
 
A velocidade máxima, umax, se observa no miolo do tubo (r = 0). A lei de Hagen-Poiseulle 
fornece para este local: 
 
. 
 
Podemos inserir esse valor na equação geral e obtemos: 
 
. 
 
A relação (r/R) podemos chamar de raio reduzido do tubo; ele assume valores entre 0 (no 
miolo) e 1 (na parede do tubo). 
O engenheiro se interessa menos pela velocidade máxima, mas sim, para a velocidade média, 
. Este valor tem importância para o cálculo da corrente de volume ou de massa. Ele se 
calcula da seguinte maneira: 
 
 
L
prR
ru




4
)(
22
L
pR
u


4
2
max















2
max 1)(
R
r
uru
u
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 27 
, onde Ftotal é a secção transversal do tubo (circular!): . 
 
Então: 
 
. 
 
A derivada da área transversal em geral, , é . Ela tem o significado 
físico da circunferência do tubo. Com isso obtemos: 
 
  . 
Resolvemos essa integral com uma variável auxiliar, , com . A integral se 
formula como: 
 
. 
 
Aproveitamos do resultado . Daí obtemos: 
 
. 
 
O resultado para a velocidade média do fluxo é então: 
 
. 
 
Com podemos obter a lei de Hagen-Poiseuille também na seguinte forma: 
 
dFru
F
u
Ftotal
  )(
1 2RFtotal  
2
)(
R
dF
ruu
F

  
2rF   r
dr
dF
 2
drrdF  2  












R
rr
R
r
d
R
r
rudr
R
r
ruu )(2
2
)(
2
R
r
 10  
 
1
0
2  duu
 2max
2
max 11 













 u
R
r
uu
 
4
1
2
42
212 max
1
0
42
max
1
0
2
max 





  uuduu


2
maxuu 
L
pR
u


4
2
max
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 28 
. 
 
Para o fluxo de volume, [m³/s], e o fluxo de massa, [Kg/s], obtemos assim: 
 
 
 
, 
 
com F = secção transversal do tubo, = densidade do fluido. 
 
2.4.2 Perda de pressão e números adimensionais 
Nesta secção vamos introduzir os números adimensionais - sem descrição mais aprofundada - 
que vai seguir no capítulo 3. Com isso é possível achar equações de aplicação em geral, 
especialmente úteis quando temos o objetivo de aumentar o tamanho do sistema ("scale-up").Em primeiro lugar vamos considerar a energia cinética, . Na teoria do fluxo 
usaremos, por conveniência, a energia cinética relacionada à unidade de volume. Então: 
 
. 
 
Aproveitamos da densidade, , daí obtemos a energia na forma de: 
 
, com as unidades . 
 
A consideração das unidades revela um fato interessante: tem a mesma unidade que a 
pressão! Podemos concluir que a divisão desta energia pela pressão fornece um número 
adimensional. Um número que deve ter uma aplicação mais universal, pois não é mais 
acoplado às unidades nem aos valores absolutos os quais a gente escolhe. Chegamos ao 
famoso número de Euler: 
 
p
L
R
u 
8
2
V m
p
L
R
FuV 





8
4

p
L
R
Vm 






8
4

2
2
1
umEcin 
2
2
1
u
V
m
EVcin 
V
m

2
2
1
uEVcin   Pa
m
N
sm
Kg

 22
V
cinE
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 29 
Definição: . Número de Euler. 
 
O número de Euler indica qual a queda em pressão, ocasionada pela introdução de uma 
quantidade de energia cinética, a cada unidade de volume. Para nossa surpresa, essa relação 
vale para todos os processos de fluxo - quer para condição laminar quer para turbulenta. 
Podemos expressar a queda em pressão p nesta relação, pela lei de Hagen-Poiseuille (por 
sua vez somente para o fluxo laminar): 
 
 , com o diâmetro d = 2R. 
 
Vamos para frente simplificar com , e obtemos para o número de Euler: 
 
. 
 
Esta relação já foi organizada de tal maneira que resultem dois novos termos adimensionais, 
isto são e . O primeiro é conhecido como aspecto do tubo e o último representa outro 
número característico da engenharia de processos chamado de número de Reynolds: 
 
Definição: Número de Reynolds 
 
De todos os números adimensionais (existem muitos deles! Verifique o anexo deste livro, p. 
300), provavelmente esses dois são os mais utilizados, na engenharia química. 
O número de Reynolds descreve a característica do fluxo. O número de Reynolds indica se 
existe um fluxo turbulento ou laminar. Especialmente importante é a situação turbulenta em 
reatores tubulares 
2
 onde não há retromistura (inglês: plug flow reactor). 
O número de Reynolds é a razão entre influências desestabilizadoras (força inercial) e 
estabilizadoras (força de atrito) em um fluido. Abaixo de um número crítico de Reynolds onde 
ambas as forças se equilibram e o fluxo laminar prevalece porque a força de atrito é maior que 
a força inercial. Significativamente acima do número crítico de Reynolds há fluxo turbulento, 
no qual o meio é misturado, de modo que (quase) nenhuma gradiente ocorra entre a parede do 
tubo e o centro do tubo. 
 
Re e Eu podem ser interpretados da seguinte maneira: 
2
2
1
u
p
Eu




u
d
L
u
R
L
p 
22
328 
uu 




udd
L
u
u
d
L
Eu
64
2
1
32
2
2










d
L

ud

ud
Re
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 30 
 
 
 
. 
 
Usando essas duas expressões podemos escrever a lei de Hagen-Poiseuille na seguinte forma: 
 
 lei de Hagen-Poiseuille. 
 
Em certas situações será mais útil usar o número de fricção, (Re), em vez do próprio número 
de Reynolds. Através deste truque a gente amplia a relação, por enquanto somente válida para 
o regime laminar, também para o fluxo turbulento. Em caso de fluxo laminar, os dois têm a 
seguinte relação inversa: 
 
; número de fricção (ou coeficiente de fricção) no regime laminar. 
 
É importante lembrar-se que essa relação entre o número de fricção e Re somente vale para o 
fluxo laminar, então somente para a região onde a lei de Hagen-Poiseuille é válida; ver 
também cap. 2.4.3. 
No entanto, ao usarmos o número de fricção (Re) desvinculado do número Re, a lei de 
Hagen-Poiseuille torna-se aplicável a todos os tipos de fluxo: 
 
. Relação universal, para os regimes laminar e turbulento. 
 
Mais uma vez: ao deixarmos aberta a dependência de Re do número de Reynolds, a 
equação acima torna-se mais flexível, ou seja, ganha validade universal: ela descreve fluxos, 
tanto laminares quanto turbulentos. O Reusado na expressão a seguir deve ser determinado 
no experimento ou, para sistemas de tubulação mais simples, lido da Fig. 12 (p. 34). Com essa 
equação a perda de pressão num tubo pode então ser calculada para qualquer velocidade de 
fluxo u: 
 
. 
 
tocisalhamen de força
volumeimpulso
d
u





Re
cinética Energia
pressão em perda
u
p
Eu 


221 
Re
64

d
L
Eu
Re
64
(Re) 
(Re)
d
L
Eu
2
2
1
(Re) u
d
L
p  
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 31 
2.4.3 Fluxo turbulento dentro do tubo 
Ao aumentar a velocidade do fluido em tubos compridos e lisos, chegamos a um ponto onde a 
lei de Hagen-Poiseuille da correnteza laminar não vale mais. O perfil parabólico da 
velocidade u(r) que constatamos para o fluxo laminar, de repente entra em colapso e fica cada 
vez mais achatado, quanto mais rápido o fluido passa pelo tubo. Isso é causado por processos 
irregulares de mistura, ou seja, pequenos redemoinhos: 
 
 
A medida para o tipo de correnteza é o número de Reynolds. Se tiver um valor baixo, o efeito 
da viscosidade do fluido sobre o transporte de momento perpendicular à direção do fluxo (isto 
é, em direção à parede) é uma característica unicamente do próprio fluido. Aumentando o 
número de Reynolds, percorremos uma região estreita de transição, acima da qual se adiciona 
ao transporte de momento do fluxo laminar, um outro transporte de momento devido à 
mistura em redemoinhos. Até podemos afirmar que a contribuição dos redemoinhos ao 
transporte do momento é dominante. Em processos de fluxo através de tubos compridos e 
lisos a transição laminar para turbulento ocorre repentinamente, num número de Reynolds 
Recrit.=2300. Em outros sistemas (tubos ásperos, peças e conexões) se acham outros números 
críticos de Reynolds. 
A lei de Hagen-Poiseuille não prediz a transição laminar/turbulento. Essa deficiência deve-se 
às simplificações que foram feitas, no início da derivação desta lei, isto é, um fluxo 
rigorosamente unidimensional. Ponto de partida foi: 
 
, 
 
com movimento somente em direção z, a dizer, uz = constante e u= ur = 0. No fluxo 
turbulento, por outro lado, os movimentos não são constantes ao longo do tempo, além disso 
ue ur têm valores diferentes de zero (ver último esboço). Significa que as equações 
diferenciais dos movimentos completos devem ser resolvidas 
8
. Isso foi possível, por 
enquanto, somente com altíssimo investimento de computação e ainda somente para casos 
especiais. Mesmo se fosse possível certo dia, com ajuda de supercalculadoras vetoriais etc. 
resolver uma equação geral, mesmo assim o engenheiro prático sempre procurará a solução de 
um problema de fluxo dentro das fórmulas aproximadas e simplificadas - simplesmente 
porque o tempo de cálculo custará muito caro. 
 
 
8
 Disponível da Biblioteca do Campus I do CEFET-MG: 
R.R. Bird, W.E. Stewart, E.N. Lightfoot, Fenômenos de Transporte, 2
a
 Ed. LTC Rio de Janeiro 2004. 

















r
u
r
rr
r
rrz
p
rz

 )(
1
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 32 
 
Fig. 10. As equações de movimento completas, em coordenadas cilíndricas. São 
conhecidas como equações de Navier-Stokes (Fonte: R.R.Bird, W.E. Stewart, E.N. 
Lightfoot, Transport phenomena, Wiley NY 1960, p. 85) 
 
Vamos tentar entender a transição do fluxo laminar para turbulento, a partir dos fenômenosobservados em uma mistura de líquidos coloridos. Em fluxos bastante lentos se estabelece um 
perfil de velocidade parabólico, conforme mostrado acima (Fig. 9). Ao aumentar a 
velocidade, essa parábola é esticada cada vez mais, de forma que o miolo avança muito, 
enquanto as zonas marginais estão cada vez mais retidas, em relação ao miolo. Nesta situação 
as camadas mais avançadas têm a tendência de escapar radialmente para fora, então em 
direção à parede do tubo. No momento que o movimento para fora supera o movimento para 
frente haverá formação de diversos centros de turbulência. Afinal, formam-se muitos 
redemoinhos ao mesmo tempo que misturam as camadas de forma aleatória, ou seja, a 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 33 
transição de laminar para turbulento ocorre bruscamente. Os diâmetros típicos destes 
redemoinhos são aproximadamente do diâmetro do tubo. O movimento principal em 
direção z fica sobreposto por movimentos aleatórios de mistura. A velocidade máxima, umax, 
continua sendo no miolo do eixo, mas a velocidade do fluxo é quase a mesma, ao longo das 
camadas internas. O perfil parabólico fica fortemente achatado. Por outro lado, continua 
valendo a condição da estacionaridade, diretamente na parede do tubo. Isso implica que, em 
uma estreita camada limite o gradiente de velocidade fica muito elevado. Essa camada se 
conhece com ―camada limite de Prandtl‖. 
Provou-se na prática que a velocidade média no fluxo turbulento é: 
 
. 
 
Apesar da camada limite de Prandtl ser bastante estreita (quanto maior a velocidade, mais 
estreita ela é), mesmo assim podemos afirmar que dentro dessa camada o caráter do fluxo 
continua laminar. 
 
Fig. 11. Representação do perfil de velocidade do fluxo turbulento. 
 
Quando os tufos de turbulência batem na camada limite, eles ficam grudados nesta camada e 
entregam seu momento. 
Na prática se tem, na maioria dos casos, fluxo turbulento. Ele acarreta uma queda de pressão 
maior do que o fluxo laminar. A equação usada para estimar p é, em analogia ao cap. 2.4.2, 
é 
, 
9
 
 
pois o caráter desta equação é universal (laminar e turbulento!). 
Como os movimentos no fluxo turbulento são muito mais complexos, é preciso usar um 
coeficiente (Re) que foi experimentalmente determinado. Na região turbulenta o coeficiente 
 
9
 Note que o fluxo turbulento descrito aqui é de suma importância para os reatores tubulares; ver ―Reatores e 
reações químicas em escala industrial‖, disponível nesta biblioteca digital. 
30
1

max)9,0......8,0( uu 
2
2
1
(Re) u
d
L
p  
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 34 
de fricção (Re) é menos dependente do número de Reynolds. Além disso, a asperidade do 
tubo torna-se um fator cada vez mais importante. Ela provoca um aumento da espessura da 
camada limite, sobre a qual o miolo turbulento é transportado com baixa fricção. 
Na próxima figura podemos ver a dependência do número de fricção , do número de 
Reynolds. Fica evidente que a asperidade da parede, em caso de turbulência, tem uma 
influência notável sobre o . Em casos de turbulência total em tubos ásperos o  fica quase 
independente do Re, com valores entre 0,02 e 0,04. Nesta situação o modelo do fluxo "sem 
fricção" é bastante útil e vale como simplificação. 
 
 
Fig. 12. Dependência do coeficiente de fricção, , do número de Reynolds, Re, com a 
asperidade relativa, n = k/d, como parâmetro. 
 
Na literatura se encontram várias relações empíricas que foram propostas para determinar 
(Re). Nenhuma delas, porém, tem caráter universal, mas vale somente para um caso 
específico. Sendo mencionada como exemplo apenas a relação de Blasius: 
 
, 
 
que vale para e somente para tubos hidraulicamente lisos. 
 
O caminho do cálculo da perda de pressão em tubos pode ser resumido em três etapas: 
1. O cálculo de Re. Deste resultado a gente sabe que tipo de fluxo podemos esperar, ou 
laminar ou turbulento. Daí sabemos quais relações devemos aplicar a seguir. 
25,0Re
316,0

510Re 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 35 
2. Cálculo (ou determinação gráfica a partir da Fig. 12) do valor do coeficiente de 
fricção, (Re). 
3. Cálculo da perda de pressão usando 
 
O fluxo da massa (= vazão de massa; ver também cap. 2.5.2), , na maioria das vezes é 
estabelecido pela fábrica. 
Aplicamos a transformação da densidade do fluido, conforme: 
 
 
Daí, o número de Reynolds para um tubo se obtém através da fórmula: 
 
; 
 
para o cálculo da perda de pressão usaremos: 
 
. 
 
2.4.4 Perda de pressão em peças e sistemas tubulares 
Quando o fluido passa por peças dentro da tubulação, ele sofre uma queda em pressão extra. 
Essas resistências não se estendem ao longo do caminho, mas são localizadas. Portanto se fala 
de quedas localizadas da pressão. 
Enquanto no fluxo pelo tubo aparece o fator (L/d)
.(Re), as quedas de pressão localizadas 
podem ser descritas por um simples coeficiente (fala: zeta): 
 
, 
 
com  = coeficiente de resistência localizada. 
Ao contrário do transporte no tubo, a perda em pressão localizada provocada por uma peça 
depende muito pouco do número Re, quer dizer, o fluxo nas peças sempre é turbulento. Um 
resumo das peças mais utilizadas e seus coeficientes , se encontram na próxima tabela. 
 
2
2
1
(Re) u
d
L
p  
m
2
2
2
4
4
4
du
m
d
dt
dL
dt
dm
dL
m
V
m

















d
mdu 4
Re
2
2
(Re)
d
um
d
L
p






2
2
1
up  
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 36 
Tab. 9. Coeficientes  das resistências localizadas, para diversas peças dentro de uma 
tubulação (Fonte: K.F. Pawlow, P.C. Romankow, A.A. Noskow, Beispiele und Übungsaufgaben zur 
Chemischen Verfahrenstechnik, VEB Deutscher Verlag für Grundstoffindustrie 1979) 
 
 
A perda total dentro da tubulação se obtém da soma, do próprio tubo e das peças localizadas. 
Para tubulações com diâmetro único vale: 
 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 37 
. 
 tubo peças 
 
Caso a secção transversal do caminho não seja exatamente circular, deve-se usar, em vez de d, 
o diâmetro hidráulico, dh: 
 
, 
 
com F = área da secção transversal e U = circunferência. Como se pode facilmente verificar, 
essa expressão se reduz a dh = d, caso a passagem realmente seja circular (com e 
). 
 
No cálculo de problemas de transporte muitas vezes se resume todas as resistências, inclusive 
a do tubo reto: 
 
. 
 
A queda em pressão na tubulação devido à fricção é assim: 
 
. 
 
2.5 Balanço do transporte do fluido 
Para resolver problemas de transporte, a engenharia precisa de expressões matemáticas 
manejáveis que unem as grandezas físicas de importância no transporte. Problemas mais 
complexos de transporte podem ser resolvidos com a técnica da análise dimensional (a ser 
apresentada no cap. 3.3). As duas relações fundamentais da teoria do transporte são a 
condição de continuidade e a equação de Bernoulli. Elas podem ser aplicadas, de maneira 
segura, através de um balanço simples, como será mostrado a seguir. 
 
2.5.1 Equações de balanço 
Os balanços podem ser divididos em expressões integrais e diferenciais. No caso do balanço 
integral (mais fácil) a grandeza a ser determinada se refere a um trecho macroscópico da 
tubulação, enquanto o balanço diferencial se refere a um elemento de volume infinitamente 
pequeno. O balanço diferencial leva a várias equações diferenciais que devem ser 
2
2
1
(Re) u
d
L
p
i
i 






  U
F
d h  4
4
2d
F



dU  







 
i
i
d
L
(Re)
2
2
1
up  
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 38 
devidamente integradas, sobre todo o trecho do transporte. Isso geralmente é possível, 
somente com um alto desempenho de cálculo. Por outro lado, com um balanço integral se 
obtém rapidamente uma equação simples que leva ao resultado desejado. A desvantagem do 
último, porém, é a falta inerente de detalhes sobre as particularidades da tubulação. 
a) Condição da continuidade (= constância da massa) 
Consideremos uma tubulação onde o diâmetro aumenta: 
 
Em um fluxo contínuo e constante a velocidade na parte mais larga é menor que na parte mais 
estreita. Através da lei da manutenção das massas podemos calcular os fluxos de massa, nos 
dois pontos de controle 1 e 2: 
 
. 
 
Inserimos a definição do fluxo da massa, 
 
; , 
 
obtemos diretamente a equação de continuidade: 
 
 ou, em outras palavras: 
 
Para fluidos incompressíveis (líquidos) a expressão fica mais simples ainda, pois 
: 
. 
 
b) Equação de Bernoulli (balanço da energia por unidade de volume) 
Primeiro um modelo bastante simples: um fluido idealizado que não mostre fricção interna, 
então o modelo do fluxo sem fricção. Esse fluido se move de um reservatório mais alto 
(estado 1) através da tubulação para um reservatório mais baixo (estado 2). 
21 mm  
uFm  
4
2d
F



222111 uFuF   .constuF  
  21
2211 uFuF 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 39 
 
Os dois estados são caracterizados pela velocidade do fluxo, também chamada de vazão, u, 
pela altura h e pela pressão p. Em caso de fluxo sem fricção (isto é, não há perdas de energia 
para fora) vale a lei da manutenção da energia (sempre relacionada ao volume, mostrado pelo 
índice sobrescrito, 
v 
): 
 
, 
 
onde e . 
 
Obtemos diretamente a equação de Bernoulli para o caso sem fricção (com g = aceleração 
gravitacional): 
 
 
 
Sua aplicação nos estados 1 e 2 fornece: 
 
. 
 
Escrito como diferença: 
 
, 
 
com e . 
 
Exemplo da sua aplicação: escoamento de um tanque de reservatório (simplificação: o nível 
do fluido dentro do reservatório seja constante ao longo do processo). 
.constpEE vpot
v
cin 
2
2
1
uE vcin   hgE
v
pot  
.
2
1 2 constphgu  
22
2
211
2
1
2
1
2
1
phguphgu  
  0
2
1 2
2
2
1  phguu 
21 hhh  21 ppp 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 40 
 
 
Para o escoamento sem fricção obtemos diretamente: 
 
. 
 
Desta equação segue, para a velocidade do escoamento, u: 
 
. 
 
Isso vale tanto para o transporte sob pressão externa quanto para o transporte hidrostático. 
Em casos reais, porém, temos que levar em consideração a fricção, pois os fluidos geralmente 
são retidos dentro da tubulação. Por isso, adicionamos o termo da queda em pressão devido à 
fricção, , ao lado esquerdo da equação: 
 
. 
 
. 
 
Essa relação formará mais adiante a base para o dimensionamento de bombas. 
Para a velocidade do fluxo sob fricção obtemos então: 
 
. 
 
2.5.2 Medição da vazão 
Para o regulamento e o controle de processos químicos é preciso fazer medições diretas da 
vazão, seja do fluxo de massa ou do fluxo de volume. A vazão é a terceira mais importante 
grandeza a ser medida na engenharia química. A vazão, ou quantidade em fluxo, se mede e se 
phgu   2
2
1
 

 hgp
u


2
2
2
1
up  
phguu   22
2
1
2
1
  phgu   1
2
1 2
 
 


1
2

 hgp
u
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 41 
calcula através da velocidade média da corrente, (a seguir simplesmente: u). Uma vez 
obtida a velocidade u de um fluido da densidade , fluindo em um tubo da área transversal F, 
daí podemos indicar as quantidades em fluxo: 
 
 Fluxo de volume = vazão de volume 
e 
 Fluxo de massa = vazão de massa. 
 
Como já dito acima, a maioria dos fluxos aplicados é bastante rápida e turbulenta. O 
equipamento clássico para sua medição é uma sonda fixada de maneira centralizada dentro do 
tubo: 
 
 
Mas, hoje existe no mercado uma grande variedade de medidores que se baseiam nas mais 
variados princípios: 
 Medição direta da velocidade u; 
 Medição por pressão diferencial, p; 
 Medição por área F variável; 
 Medição por tensão induzida; 
 Medição através de força, 
 
entre outros. Os mais avançados trabalham com alta precisão, dentro de uma ampla faixa de 
velocidades do fluido, ao mesmo tempo opõem pouca ou até nenhuma resistência adicional ao 
fluxo. Em seguida uma seleção dos medidors clássicos, depois uma breve apresentação dos mais 
modernos de tecnologia avançada. 
 
a) Medição linear do fluxo, por meio de turbina. 
O medidor de vazão tipo turbina 
10
 possui hoje uma tecnologia consagrada nas diversas 
aplicações para medição da vazão de líquidos e gases, principalmente onde são requeridas 
precisão, confiabilidade e robustez, como também a melhor relação custo-benefício. 
As características principais são: 
 Utilização em processos industriais, laboratórios, contabilização e transferência de 
custódia. 
 Exatidão melhor do que 0,5% para líquidos e 1% para gases. 
 Vazões de 0,08 a 2.800 m³/h para líquidos e de 0,5 a 20.000 m³/h para gases. 
 Conexões para processo tipo flangeadas, rosqueadas ou sanitárias. 
 Tempo de resposta baixo, ideal para processos de bateladas. 
 
 
10
 http://www.hdtechsolucoes.com.br/auxiliar/catalogoturbina.pdf 
u
uFV 
uFm  
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 42 
Princípio de funcionamento: 
O medidor de vazão tipo turbina consiste basicamente de um rotor, montado entre buchas em 
um eixo, que gira a uma velocidade proporcional à velocidade do fluido dentro do corpo do 
medidor. Um sensor eletromagnético (pick-up) detecta a velocidade de giro do rotor gerando 
um trem de pulsos que serão transmitidos para um indicador eletrônico que fornecerá uma 
leitura em vazão instantânea e totalização nas unidades de engenharia ou transmitindo um 
sinal analógico de 4 a 20 mA. 
 
 
 
 
Fig. 13. Medição da vazão por turbina (em cima): modelo com leitor digital (esquerda) e 
mecânico (direita). Em baixo: medidor a palhetas (com eixo perpendicular à vazão). 
 
Aplicações típicas da turbina 
O medidor de vazão tipo turbina é bastante versátil. Hoje, ele é aplicado em medição de 
consumo de combustíveis, nas indústrias químicas, petroquímicas, farmacêuticas, refinarias, 
papeleiras, saneamento básico, tratamento e distribuição de água, alimentícia, geradoras de 
energia elétrica, distribuidoras de gasolina, postos de abastecimentos de gás veicular, etc. 
Os processos industriais controlados por turbinas são: 
 Venda, contabilização ou apropriação de matéria-prima ou produto final. 
 Transferência de custódia. 
 Bateladas em processos industriais. 
 Processos de mistura de líquidos ou gases. 
 Automatização em processos e envasamento. 
 Medição de consumo de combustíveis líquidos ou gasosos. 
 
O medidor à turbina se destaca dos demais medidores, a serem apresentados a seguir, porque 
registra um valor integral do volume, . Desde o início da medição o aparelho Vdt
dt
dV
V
t
  
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 43 
conta o volume percorrido pela tubulação e caso haja uma parada do fluxo, o contador guarda 
seu último valor. 
Ao invésdeste, os equipamentos descritos a seguir registram somente um volume diferencial, 
quer dizer, a vazão momentânea, . Quando o fluxo pára, o mostrador destes aparelhos 
ficará em zero. A informação sobre a vazão anteriormente medida se perde. 
A base da medição da vazão pelos aparelhos apresentados a seguir, é a equação de Bernoulli, 
sem a contribuição geodésica (situação horizontal) e sem os termos de fricção: 
 
. 
 
Devemos tomar providência que em dois pontos de controle, 1 e 2, se têm diferentes 
velocidades de fluxo, u1 e u2. Daí se mede como resposta a queda em pressão, p. 
 
b) Registrador de velocidade via pressão dinâmica 
É um método bastante simples, mas hoje menos usado. Baseia-se no fato de que um corpo, 
quando introduzido numa corrente, é envolto pelo fluido e em pelo menos um ponto a 
velocidade do fluido se torna zero. Este ponto é chamado de ponto de remanso ou de 
estagnação. 
A partir da equação de Bernoulli obtemos com esse ponto (u2 = 0): 
 
. 
 
O termo é denominado de pressão dinâmica. 
 
 
Mede-se então a diferença, p, e desta se calcula a velocidade do fluxo, u1. 
Com o tubo de pressão dinâmica de Prandtl (esquema abaixo) pode-se medir diretamente a 
diferença em pressão, p, que aqui se dá entre diferença de pressão p2 (= pressão total = 
pressão de estagnação = pressão dinâmica + pressão estática) e p1 (= pressão estática): 
 
dt
dV
V 
2
2
21
2
1
2
1
2
1
pupu  
21
2
1
2
1
ppu  
2
1
2
1
u 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 44 
. 
 
Calculamos a velocidade do fluxo por: 
 
, 
 
com , onde M = densidade do líquido dentro do tubo U manométrico. 
 
 
Fig. 14. Tubo de pressão dinâmica segundo Prandtl, também conhecido como tubo de 
Pitot, aplicável em fluidos gasosos e líquidos em fluxo laminar. 
 
É importante que o tubo de Prandtl (também conhecido como tubo de Pitot) seja exatamente 
alinhado à corrente de escoamento, caso contrário se esperam grandes desvios, tanto na 
medição da pressão estática (na lateral do tubo) quanto da pressão total (na ponta do tubo). 
Mesmo se o tubo for perfeitamente alinhado, a medição da pressão estática geralmente é 
afetada com desvios positivos, pois a sua tomada de medição está sujeita aos componentes 
transversais do escoamento turbilhonado. Os vetores não direcionados do fluxo provocam, ao 
mesmo tempo, um desvio negativo na medição da pressão de estagnação. O tubo fornece 
então os melhores resultados, com fluxos rigorosamente laminares. Como é difícil garantir 
isso na prática, a escala no tubo U (manômetro) deve ser aferida, especialmente para as 
correntezas de maior velocidade. 
Existe também uma variação deste medidor, onde pressão total e pressão estática são medidas por 
sondas que atravessam o duto perpendicular ao fluxo. Estes modelos são conhecidos como 
―Annubar‖. 
Aplicação principal do tubo de Prandtl: 
 Monitoramento de fluxos contínuos (e constantes), 
 Controle de fluidos de refrigeração/aquecimento em trocadores de calor 
 Geradores de vapor e turbinas de energia hídrica. 
2
1
2
1
up  

p
u


2
  hgp M  
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 45 
Ele tem também uma famosa aplicação fora da produção industrial: o "Pitot" é o clássico 
velocímetro dos aviões de pequeno porte. 
 
c) Passagem em estreitamento 
Dentro de um estreitamento a velocidade do fluxo u aumenta (ver equação de continuidade). 
A pressão estática p, porém, diminui neste trecho - isso é o resultado da equação de Bernoulli 
11
. 
 
 
 
No caso de fluxo sem fricção temos então as mesmas condições, nos pontos de controle 1 e 3, 
já que o diâmetro do tubo é idêntico nestes locais. 
Os perfis de velocidade e da pressão têm então a seguinte forma: 
 
 
Fig. 15. Perfil de velocidade e perfil de pressão 
 
Agora olhamos nos pontos de balanço 1 e 2. No caso ideal, onde não tiver fricção, obtemos: 
 
. 
 
Com a equação de continuidade, , obtemos: 
 
11
 Esse fato, aliás, explica também o efeito da sustentação numa asa de avião, pois o extradorso é mais curvado, 
portanto o fluxo do ar fica mais rápido e a pressão fica reduzida. Essa diferença em pressão, no extradorso e no 
intradorso, afinal causa a força sustentadora e faz o avião voar. E, ainda, é o princípio de sucção em qualquer 
tipo de borrifador, onde o líquido a ser borrifado é succionado pelo cano vertical, enquanto no seu topo o ar está 
sendo movido com alta velocidade. 
3
2
32
2
21
2
1
2
1
2
1
2
1
pupupu  
 2122
2
1
uup  
2211 uFuF 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 46 
 
, 
 
ou seja: 
 
. 
 
Conhecem-se os diâmetros do tubo, F1 e F2, também a densidadedo fluido. A velocidade do 
fluxo u1 se obtém da queda em pressão medida, p. Devido à "contração de jato" e à fricção 
real, porém, precisamos de correções na prática. A contração de jato é um fenômeno que se 
observa durante a passagem rápida de um fluido através de um estreitamento: o perfil de fluxo 
mais estreito não se mede exatamente no ponto mais estreito da passagem, mas um pouco 
depois (ver Fig. 16 b). 
Na prática se aprovaram especialmente as medições pelo tubo de Venturi 
12
 e dispositivos de 
blendas. 
 
 
Fig. 16. Dispositivos de estreitamento: 
 a) Tubo de Venturi (também para versões em grande escala) 
 b) Blenda (em pequena escala, para fluidos não abrasivos e de baixa viscosidade) 
 c) Bocal (para fluxos mais rápidos / fluidos corrosivos / fluidos abrasivos). 
 
 
12
 O tubo de Venturi também é o dispositivo usado como velocímetro na aviação (isto é, mede a velocidade que o 
avião tem em relação ao vento natural); é mais usado em aviões de alta velocidade. 














 1
2
1
2
2
12
1
F
F
up 

















1
2
2
2
1
1
F
F
p
u

A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 47 
Vantagem do tubo de Venturi: oferece uma resistência adicional ao fluxo relativamente 
pequena, então a queda de pressão causada pelo próprio instrumento é pequena. 
Vantagem de blendas: são muito robustas, baratas e de fácil manutenção. 
Vantagem do bocal: resistente à abrasão, é pequeno. Sua desvantagem: mostra tendência de 
depósitos em caso de suspensões. 
 
d) Aparelhos com bóia (= rotâmetro) 
Esses instrumentos servem para medir pequenas vazões (= fluxo lento). Trata-se de um tubo 
transparente, de paredes retas e cônicas com abertura para cima, na posição vertical, dentro do 
qual se encontra uma bóia pontiaguda (às vezes uma simples bolinha). O fluido que vem de 
baixo passa pelo anel no espaço aberto, entre a parede fixa do tubo e a beirada superior da 
bóia. Quanto mais alta a velocidade do fluido, mais alta a posição da bóia na qual ela entra em 
flutuação (posição estável). Ao contrário dos dispositivos de jato e blenda, a passagem mais 
estreita deste aparelho não é fixa, mas varia junto à quantidade de matéria que passa por ela 
em determinado período, ou . Isto é, neste aparelho a queda em pressão p fica constante, 
mas a área de passagem F varia, de acordo com o fluxo. 
 
 
Fig. 17. Esquema do rotâmetro. O tubo cônico é feito de um material transparente (vidro, 
PVC, PMMA, etc.). 
Importantes são as áreas circulares nos pontos de balanço 1 e 2, que se abrem entre o tubo 
fixo e a bóia. Nestas temos sempre: ; isso levará a alguma simplificação adiante. 
 
Fig. 18. Os pontos de balanço na bóia. ////// = área entre bóia e parede. 
À esquerda: fundo da bóia (fluido numa passagem larga;) 
À direita:topo da bóia (fluido numa passagem estreita). 
 
Devido à forma cônica do tubo a área F2 depende da posição da bóia (bóia em alemão: 
Schwimmer, portanto o índice S em seguida): 
 
2
2 hCF  , com C = constante do aparelho e h = altura relativa da bóia. 
V m
21 FF 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 48 
 
A leitura da altura relativa h é possível quando se estabelece um estado de flutuação (= bóia 
parada). Nesta situação se equilibram as forças: 
 com direção para cima: a força da pressão Kp, 
 para baixo: a forças gravitacional Kg, reduzida pela força de sustentação Ka. 
 
, 
 
onde , e . 
 
Fig. 19. Esboço da bóia, com os marcos construtivos e as variáveis usadas no cálculo. 
Neste esboço a área grifada ////// representa a área ocupada pelo topo da bóia. 
 
. 
 
FS = área da bóia que desloca o fluido, p = diferença de pressão entre os dois pontos de 
balanço, mS = massa da bóia, VS = volume da bóia, S = densidade da bóia,  = densidade do 
fluido, g = aceleração gravitacional. 
Com e reorganizar obtemos a última equação de balanço na seguinte forma: 
 
. 
 
Como somente entram valores constantes (para um dado fluido), então podemos afirmar que a 
diferença em pressão também é uma constante do aparelho. 
A equação de Bernoulli nos dois pontos de balanço fornece uma relação entre a diferença em 
pressão e as velocidades do fluxo: 
 
agp KKK 
pFK Sp  gmK Sg  gVK Sa  
gVgmpF SSS  
S
S
S
m
V













SS
S
F
gm
p


1
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 49 
. 
 
Com a condição de continuidade, , podemos escrever para a velocidade do 
fluxo u2 (isto é, no anel estreito): 
 
. 
 
Devido a podemos escrever isso, com boa aproximação: 
 
. 
 
Conforme essa equação a velocidade do fluxo também é praticamente uma constante. Mesmo 
assim, conseguimos medir a quantidade do fluido, pelo fato que não medimos u2, mas sim, a 
vazão de volume, . 
 
. 
 
Nesta inserimos as expressões que achamos para F2, p e u2 e obtemos: 
 












SS
S
F
gm
hCV



1.
22 
 













S
S
S
S
F
gm
hCV .
22 . 
 
E a vazão de massa, m se dá como: 
 
 


 


 S
SS
S
F
gm
hCVm .
22 . 
 
 212221
2
1
uuppp  
2211 uFuF 

















2
1
2
2
1
2
F
F
p
u

21 FF 

p
u


2
2
V
22 uFV 

A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 50 
e) Medidores do fluxo avançados que não impõem resistência notável ao fluxo. 
Ainda mencionamos outros medidores de fluxo e suas aplicações típicas. Cada um requer de 
uma tecnologia avançada 
13
. 
Medidor magnético (para líquidos condutores cuja condutividade > 0,1 μS
.
m
-1
): 
A base do funcionamento deste medidor de fluxo é a lei de Faraday que descreve a indução 
eletromagnética por meios movidos. Um condutor quando for deslocado através de um campo 
magnético, gera uma força eletromotriz (FEM) nos seus finais que se mostra proporcional à 
intensidade do campo magnético, ao comprimento L e finalmente também à velocidade de 
deslocamento. 
 
 
Fig. 20. Princípio da medição do fluxo por indução eletromagnética. 
 
Os eletrodos que medem o potencial elétrico estão em contato com o fluido que deve ser, para 
que este medidor possa ser aplicado, um condutor elétrico com uma condutividade maior que 
0,1 μS
.
m
-1
. Ao mesmo tempo, o fluido não deve conter partículas magnéticas – isso falsificará 
o sinal deste aparelho. Sendo assim, este aparelho é muito usado na indústria química (ácidos, 
bases, soluções de eletrólitos), polpa e papel, alimentícia, lamas da mineração, mas também 
na medição de efluentes industriais (esgoto). Também fluidos corrosivos e sujos, com carga 
pariculada etc., podem ser medidos por este aparelho, sem problemas. 
A maioria dos aparelhos é equipada com bobinas, mas o campo magnético pode ser 
estabelecido também por ímãs permanentes. A bobina tem a vantagem de operar com corrente 
alternada, o que causa um campo magnético igualmente alternado no qual não se corre o 
perigo de desvios devido a efeitos de polarização; também não se observa a deposição de sais 
isolantes nos eletrodos que poderão interromper o circuito de medição. 
A FEM gerada é da ordem de microvolts, pedindo um isolamento rigoroso frente ao ambiente 
que está cheio de ruídos eletromagnéticos. Um bom condicionamento do sinal requer também 
de um bom aterramento do medidor, e em casos de a tubulação ser feita de material isolante 
(PVC, por exemplo) esta deve ser envolta por anéis metálicos nas proximidades do medidor. 
Além disso, um funcionamento confiável requer a garantia de ausência de bolhas de ar na 
tubulação. Os pontos fortes deste aparelho, além de não contribuir à perda de pressão, são sua 
 
13
 Literatura especial: 
Jean G. Delmée, Manual de medição de vazão; 3ª Edição 2003 Editora Edgard Blücher Ltda. 
Antônio M. Ribeiro, Medição de vazão; 6ª Edição 2004. 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 51 
insensibilidade frente à densidade e à viscosidade do fluido medido. É hoje um dos mais 
flexíveis e universais medidores da vazão. 
Medidor da força de Coriolis: (medição direta da vazão mássica de líquidos 
14
). 
Medidor avançado que aproveita de um conceito avançado da hidrodinâmica, segundo o qual 
o tubo em vibração sinoidal efetua uma força sobre o fluido inerte. De fato, um techo do tubo 
é usado como diapasão, ao ser induzida uma vibração harmônica por um gerador eletrônico. 
Isto permite determinar, com alta precisão, a densidade do conteúdo do tubo. Quando, além 
de acompanhar a vibração do tubo, essa massa está em movimento, uma força de inércia da 
massa movida conhecida como ―força de Coriolis‖, provoca o deslocamento da fase da 
vibração, medida entre os dois pontos extremos do diapasão. A massa percorrida pelo tubo 
pode assim ser calculada com alta precisão (erro típico: ±0,1%), sem aumentar a queda em 
pressão p do tubo liso e reto. É um instrumento que tem grande aplicabilidade nas indústrias 
alimentícia, farmacêutica, química, papel, petróleo, entre outras. Sua medição não depende 
das variáveis de processo: densidade, viscosidade, condutividade, pressão, temperatura, perfil 
de velocidade do fluído. 
 
 
 
14
 http://www3.emersonprocess.com/micromotion/tutor/portuguese 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 52 
 
Fig. 21. Em cima: medidor do fluxo Coriolis; embaixo, esquerda: os laços são colocados 
em vibração para cima e para baixo; em baixo, direita: haverá deformação desfasada 
como resposta ao fluxo. 
 
Medidor de ultrassom 
15
: 
Este aparelho usa a velocidade do som como meio auxiliar para medir a velocidade do fluido. 
Oferecem-se dois princípios para detectar o tempo em que o sinal emitido chega ao detetor: 
 
1. Medir o tempo de trânsito que o sinal leva até chegar ao sensor receptor. Emissor e 
receptor de ultrassons são fixados à parede externa e em lados opostos do tubo, de 
maneira que formam um ângulo  ≈ 45° em relação ao fluxo. Os transdutores 
transmitem e recebem alternadamente um trem de ondas ultrassónicas de curta 
duração. O tempo de transmissão é levemente inferior orientada para a jusante, e 
levemente superior orientada para a montante, em comparação ao tempo que levará 
com fluido parado. Os fluídos medidos devem ser relativamente limpos, então este 
medidor não é adequado para fluidos que contêmpartículas. 
2. Medir o efeito de Doppler, que é a variação da freqüência provocada pelo 
movimento relativo de um emissor e de um receptor de freqüência. Estes 
instrumentos são adequados para medir a vazão de fluídos que contêm partículas 
capazes de refletir ondas acústicas. Nos medidores baseados neste princípio, os 
transdutores-emissores projetam um feixe contínuo de ultrassom num ângulo , na 
faixa das centenas de kHz. Os ultrassons refletidos por partículas veiculadas pelo 
fluído têm sua freqüência alterada proporcionalmente ao componente da velocidade 
das partículas na direção do feixe, cos . 
 
 
15
 G. Bergmann, Avaliação metrológica de sistemas de medição de vazão. Tese da Univates, 2011; disponível 
em https://www.univates.br/bdu/bitstream/10737/256/1/GuilhermeBergmann.pdf 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 53 
 
 
Fig. 22. Princípio do medidor de fluxo ultrassónico: Em cima: tempo de trânsito, caminho 
direto; Em baixo, esquerda: arranjo em V para medir o tempo de trânsito, com uma 
reflexão na parede interna e lisa do tubo. Em baixo, direita: medição pelo efeito de 
Doppler. 
Existem medidores ultrassónicos nos quais os transdutores são presos à superfície externa da 
tubulação, e outros com os transdutores em contato direto com o fluído. Os transdutores-
emissores de ultrassons consistem em cristais piezoelétricos que são usados como fonte de 
ultrassom, para enviar sinais acústicos que passam pelo fluído, antes de atingir os sensores 
correspondentes. 
Tab. 10. Vista geral sobre os medidores da vazão 
Método / 
dispositivo 
Sinal 
entrada 
Sinal resposta Fluido Perda de 
pressão 
Erro 
típico 
(%) 
Custo 
relativo 
Tubo de Pitot Velocidade 
pontual 
Pressão 
diferencial 
Gases e 
líquidos 
limpos 
Baixa ±3 a ±5 baixo 
Placa de orifício Fluxo 
volumétrico 
Pressão 
diferencial 
Gases e 
líquidos 
limpos 
Média ±2 a ±4 Baixo 
Tubo de Venturi Fluxo 
volumétrico 
Pressão 
diferencial 
Gases e 
líquidos 
sem 
restrição 
Baixa ±1 Médio 
Bocal Fluxo 
volumétrico 
Pressão 
diferencial 
Líquidos 
sem 
restrição 
Média ±1 a ±2 Médio 
Turbina Fluxo 
volumétrico 
Ciclos, 
revoluções 
Líquidos 
limpos e 
viscosos 
Alta ±0,25 Alto 
Rotâmetro Fluxo 
volumétrico 
Deslocamento 
da bóia 
Gases e 
líquidos 
translúcidos 
Média ±1 a 
±10 
Baixo 
Eletromagnético Velocidade 
média do 
fluido 
Potencial 
elétrico 
Líquidos 
condutivos, 
limpos ou 
sujos 
Nenhuma ±0,5 Alto 
Coriolis Massa 
média do 
Força Líquidos 
sem 
Baixa ±0,4 Alto 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 54 
fluxo restrição 
Ultrassom 
trânsito 
Velocidade 
média do 
fluido 
Tempo de 
transmissão 
Líquidos 
limpos e 
viscosos 
Nenhuma ±1 a ±5 Alto 
Ultrassom 
Doppler 
Velocidade 
média do 
fluido 
Frequência Líquidos 
sujos e 
viscosos 
Nenhuma ±5 Alto 
Vórtice Fluxo 
volumétrico 
Frequência Líquidos 
sem 
restrição 
Alta ±1 Alto 
 
2.5.3 Transporte de líquidos via bombas 
Em geral, entende-se por transporte o deslocamento de fluidos de um estado de baixa energia 
potencial (= baixa altura ou baixa pressão), a um nível de energia mais alto. Neste capítulo 
vamos fazer a restrição de fluidos líquidos, enquanto o transporte de gases, devido às suas 
particularidades, será tratado aparte, no cap. 2.7. 
O líquido é transportado de um recipiente de estoque 1 (u1 = 0, quer dizer, desconsideramos o 
abaixamento do nível durante a vazão), via uma tubulação com perdas por fricção, até o local 
do consumidor 2 (geralmente um reator químico ou um outro recipiente). Isso acontece com a 
velocidade u2 = u, tudo conforme o esboço a seguir. 
 
Fig. 23. Esquema de uma tarefa de transporte 
 
Para a finalidade de transporte usa-se geralmente uma bomba que proporciona ao sistema a 
energia externa/unidade de volume, ; somente em casos especiais se aproveita da energia 
potencial hidrostática do próprio fluido líquido (= diferença em altura ou aplicação de ar 
pressurizado sobre o reservatório 1). 
No transporte contínuo a energia fornecida pela bomba é do mesmo módulo que a diferença 
em energia potencial entre partida e destino, mais a energia perdida por fricção, mais a 
energia que se precisa para a aceleração à velocidade u. Sendo assim, podemos escrever o 
balanço da energia: 
 
. 
 
Neste balanço significam: 
V
BE
V
cin
V
fric
V
pot
V
B EEEE 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 55 
 Energia potencial/Volume 
 
Perda de energia por fricção/Volume 
 
Energia cinética/Volume 
 
Inserimos essas expressões: 
 
 
 
Essa é a equação-base para o cálculo da energia necessária, a ser entregue para o sistema. 
Lembramos que o símbolo "" representa a diferença entre o nível do destino 2 (= 
consumidor) e o nível de origem 1 (reservatório). 
Muito usada na técnica é a "equação de nivelamento", isto é, o balanço acima dividido por 
. Daí: 
 
, 
 
abreviado: 
 
. 
 
Nesta significam: 
 
Altura pressão 
 Altura geodésica 
 
Altura fricção, já incluso o termo da 
aceleração 
 
H é a altura do bombeamento, ou seja, a altura útil de transporte da bomba. Para certa planta 
pode ser calculado, através da equação acima, o trabalho que a bomba entrega, expresso em 
altura útil de transporte. 
Para o dimensionamento de uma bomba precisamos, além da altura útil H, um segundo fator. 
Tem várias possibilidades: 
hgpEVpot  
 2
2
1
uEVfric 
2
2
1
uEVcin  
  1
2
1 2uhgpEVB 
g
 




 1
2
2
g
u
h
g
p
g
E
H
V
B

frichP HHHH 
g
p
H P




12 hhhH h 
  1
2
2
g
u
H fric
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 56 
 indicar a vazão de massa, 
 indicar a vazão de volume, ou 
 indicar a potência requisita pela bomba, mais específico, a potência útil, Nutil. 
 
A potência (sinônimos são: performance, desempenho) que sai da bomba é: 
 
. 
 
Podemos escrever isso como: 
 
 
 
Ampliamos com o fator : 
 
. 
 
O último termo já conhecemos como altura útil da bomba: 
 
, 
 
lembrando que e . 
Nutil é a potência que realmente está sendo transferida ao sistema de transporte. Como a 
bomba tem perdas internas (que são dissipadas em forma de calor), a potência recebida pela 
fonte elétrica, Nel, sempre fica maior do que a potência entregue ao fluido, Nutil. 
 
 
 
dt
dm
m 
dt
dV
V 
Volumetempo
VolumeEneriga
tempo
Eneriga
útil Potência
/
/

V
B
BBB
util EV
V
E
V
VV
E
t
E
N  

g
g
E
gVN
V
B
util




HgmHgVNutil  
 
Vm 
g
E
H
V
B



A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 57 
A eficiência da bomba, , é definido por: 
 
. 
 
O valor (quanto mais perto de 1, melhor o aproveitamento) da maioria das bombas em uso 
hoje fica entre 0,5 <  < 0,95. 
Quais as causas destas perdas imensas? 
 Perdas dentro da bomba (de natureza mecânica, perda nas caçambas/alcatruzes) 
 Perdas no motor (fricção, indução, mau contato). 
 
2.6 Bombas 
O transporte de líquidos requer bombas 
16
, com apropriado perfil de potência e outras 
características. A maioria das bombas converte energia elétrica em energia mecânica que por 
sua vez é usada em criar ―energia hidráulica‖. Essa última expressão já contém as partes de 
energia cinética, energia potencial e as perdas por fricção, conforme ilustrado acima. As 
bombas mais usadas na indústria química são (em ordem decrescente de importância): 
 Bombas centrífugas 
 Bombas rotativas (engrenagem ou lóbulos) 
 Bomba helicoidal 
 Bomba de parafuso (tambémusada para o transporte de sólidos granulados ou semi-
sólidos em extrusoras) 
 Bomba a pistão 
 Trompa 
 Bomba de mamute 
 
Na maioria dos problemas de transporte temos a escolha de diversos tipos de bombas. Os 
critérios da nossa escolha são, além das propriedades acerca do transporte: 
 Confiabilidade 
 Condições de operação 
 Custos de investimento 
 Custos de operação 
 Segurança de trabalho e, como sempre, 
 As experiências que a fábrica já vivenciou com certo tipo de bomba. 
 
16
 Um texto intuitivo sobre a hidrodinâmica e os tipos principais de bombas, encontra-se na página de Alex 
Nogueira Brasil, http://www.alexbrasil.com.br (acesso em 07/2013). 
1
el
util
N
N

A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 58 
 
Uma classificação das bombas, segundo princípio do funcionamento: 
 Bombas de deslocamento (bombas de êmbolo, de membrana ou de engrenagem) 
 Bombas rotativas (bomba centrífuga, bomba de palhetas, parafuso helicoidal) 
 Bombas com meio de propulsão (trompas a vapor; trompa d´água) 
 Bombas de gás pressurizado (bomba de mamute) 
 
A seguir vamos rascunhar apenas o princípio de funcionamento e as características mais 
importantes das duas bombas mais importantes, a bomba a pistão/membrana e a bomba 
centrífuga. 
 
2.6.1 Bombas de deslocamento positivo 
No caso das bombas de deslocamento positivo (também chamadas de bombas hidrostáticas) o 
corpo em movimento pode fazer um movimento vai-vem (bomba de êmbolo ou de 
membrana) ou pode rotar (bomba de engrenagem, de palhetas rotativas, bomba peristáltica, 
bomba helicoidal, etc.), ela cria sucção no lado da entrada e empurre o fluido pelo lado da 
saída. Ela não permite fluxo reverso. 
Uma característica importante das bombas de deslocamento é a independência da quantidade 
transportada, da contrapressão dentro da tubulação que acha sua expressão na altura de 
transporte, H, até chegar num valor máximo, Hmax. Isso significa que as pressões que esse tipo 
de bomba pode gerar são enormes. Essa característica de transporte é mostrada na Fig. 24. 
Também importantes são o regulamento da quantidade transportada através do número de 
rotações da bomba (frequência), ou seja, cada rotação do eixo mecânico da bomba 
corresponde a um definido volume transportado. Em consequência podemos atribuir às 
bombas de deslocamento positivo seu funcionamento no modo de autossucção (única 
limitação é a evaporação do fluido líquido devido à baixa pressão criada no lado da admissão, 
ver discussão da cavitação na p. 66). E ainda, o líquido transportado pela bomba de 
deslocamento não recua na tubulação: a bomba pára e .0m Quer dizer que a própria bomba 
pode fazer o papel de válula. Sendo assim, este dispositivo é adequado para tarefas de 
dosagem exata. 
 
Fig. 24. Característica de uma bomba de deslocamento; n = rotações/min. A descarga da 
bomba, ̇, é constante e não depende da contrapressão, H. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 59 
a) Bomba de êmbolo 
O princípio de funcionamento é mostrado na Fig. 25. O corpo de deslocamento (pistão) é 
movido, através de um disco descentralizado, em um cilindro equipado com válvulas. Quando 
o pistão vai à direita, a válvula do lado da pressão se abre enquanto a válvula do lado de 
sucção se fecha. Nesta fase de trabalho o líquido está sendo transportado. Podemos afirmar 
que, no pleno funcionamento das válculas, a parada dessa bomba impede completamente o 
fluxo; durante sua ação a vazão ̇ pode ser regulada através das rotações do seu eixo. Cada 
rotação corresponde a um definido volume transportado – independente da contrapressão 
exercida pelo fluido líquido. Isso já indica uma das suas finalidades mais importantes: a 
dosagem exata do fluido. 
Durante o movimento à esquerda o líquido é succionado para dentro do cilindro, porque agora 
a posição das válvulas está invertida. Isso já mostra que a bomba de êmbolo simples acarreta 
uma vazão altamente ondulada. Certo alisamento da pulsação se consegue com a ajuda de 
reservatórios pressurizados, conforme o esboço. 
 
 
Fig. 25. Funcionamento da bomba a êmbolo. No gráfico à direita a vazão produzida pela 
bomba de pistão simples: linha tracejada = vazão média; linha direta: linha de corte 
(= vazão zero). 
 
Neste aspecto as bombas de pistão de dupla face são mais favoráveis (Fig. 26), onde ambas as 
direções do pistão provocam o transporte de líquido para a tubulação. 
Dentro da família das bombas de deslocamento positivo se destacam a bomba de pistão e a 
bomba de palhetas (Fig. 29), por terem a opção de operar com passo variável, isto é, o volume 
transportado por uma rotação pode ser ajustado. 
 
 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 60 
Fig. 26. Modelos de bombas de pistão. À esquerda: pistão de dupla face, com passo fixo; 
à direita: bomba de dois pistões de simples face, passo variável. 
 
Uma bomba de êmbolo se usa, especialmente quando se pretende gerar altas pressões. Elas 
são altamente confiáveis, mas em comparação aos outros tipos são grandes, pesadas e caras. 
Outra desvantagem é a necessidade de válvulas que são consideradas as partes mais 
vulneráveis. As tubulações indo e saindo à bomba jamais devem ser fechadas, pois assim a 
pressão rapidamente aumenta e leva imediatamente ao estrago da bomba (ou da tubulação). 
Portanto, as tubulações conectadas a este tipo de bomba sempre são equipadas com válvulas 
de segurança. Muitos fabricantes fornecem bombas que incorporam válvulas de alívio 
interno: quando a pressão se aproxima ao valor máximo permitido essas válvulas se abrem e 
desviem o fluido internamento para a zona de sucção. Assim, a bomba continua operando, 
porém o volume transportado ao destino é nulo. Este dispositivo de segurança tem caráter 
emergencial, ou seja, não deve ser acionado por um tempo prolongado. O líquido assim 
circulado dentro da bomba, no entanto, se esquenta bastante e pode estragar ou evaporar. 
Além da degradação térmica do produto se corre então o risco de provocar cavitações (ver p. 
67) que podem danificar as partes movidas da bomba. 
Algumas bombas de pistão são construídas para operar com deslocamento variável, a Fig. 26 
à direita mostra uma construção comum com essa característica. O ajuste do volume 
transportado por rotação pode ser feito, ou manualmente, ou então pode ser acoplado à 
contrapressão que se estabelece na saída da descarga da bomba. Neste último caso se dispensa 
uma válvula de segurança, já que a descarga diminui sucessivamente com o aumento da 
pressão, até que pára de empurrar quando a pressão limite predefinida for atingida. Para a 
bomba de palhetas que será descrita logo em seguir existem também modelos de passo 
variável (ver Fig. 29b). Esse sistema de compensação de pressão torna a operação do sistema 
hidráulico mais seguro e mais suave, portanto é bastante usado em máquinas cujos braços são 
movidos por cilindros hidráulicos de alta pressão (guindastes, tratores, etc.) 
Bombas de êmbolo têm uma eficiência alta, de 0,7 <  < 0,9. 
 
b) Bombas com membrana 
Bombas de membrana são bombas de deslocamento robustas onde uma membrana de 
borracha ou um outro elastômero serve como deslocador. Ela trabalha no mesmo princípio 
que a bomba de êmbolo, com a diferença que o fluido não necessariamente entra em contato 
com partes metálicas da bomba. Sendo assim, pode ser usada para transportar líquidos 
corrosivos, tais como ácidos, bases e lodos. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 61 
 
Fig. 27. Princípio da bomba com membrana 
 
O movimento vai-vem da bomba a pistão implica a inversão da direçãodo êmbolo, passando 
duas vezes no estado parado, a cada ciclo de operação. O pistão é então duas vezes acerlerado 
e desacelerado, o que aumenta inerentemente o consumo de energia e abaixa a eficiência desta 
bomba 
17
. Neste sentido, as bombas de deslocamento positivo apresentados a seguir mostram 
uma vantagem, já que fazem movimentos unidirecionadas, circulares e uniformes. 
c) Nas bombas de engrenagem, de palhetas rotativas, de lóbulos e a helicoidal (Fig. 28), o 
volume de carregamento se enche continuamente com fluido, então o transporte não é 
submetido a pulsações fortes. Destes modelos, a bomba helicoidal e a de engrenagem 
produzem o perfil de pressão mais uniforme, portanto são usadas, além de tarefas industriais 
onde precisam de pressões altas e pouca quantidade de volume, também na analítica (bombas 
de HPLC), onde a constância da vazão é de suma importância. 
 
a b 
 
c d 
 
17
 Pelo mesmo motivo, a dizer a perda de momento nas posições paradas, é também o motivo pelo qual as 
máquinas de lavar-roupa frontais (andamento unidirecionado) podem ser operadas com maior economia do que 
as de carregamento no topo (andamento vai-vem). 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 62 
 
e 
Fig. 28. Bombas de deslocamento positivo de movimento rotativo, usadas para dosagens 
precisas de líquidos de praticamente qualquer viscosidade. 
a) Bomba de engrenagem, com baixa pulsação e alta pressão; 
b) Bomba de palhetas rotativas, flexível e universal, porém de manutenção cara; 
c) Bomba de lóbulos, com maior pusação e menor eficiência do que o modelo a), 
porém mais silenciosa e adequada para fluidos misturados onde causa menor 
emulsão. 
d) Bomba helicoidal, funciona sob altíssima contrapressão, baixo cisalhamento do 
fluido, não gera pulsação, baixa manutenção, mas transporta pouco volume por 
tempo. 
e) Bomba peristáltica, muito usada em laboratório por que suporta fluidos corrosivos, 
serve como válvula, contrapressão limitada. 
 
Já as bombas de palhetas e de lóbulos são usadas para tarefas onde uma leve pulsação é 
aceita. Devido ao menor número de elementos interligados no rotor (3 elementos no modelo 
mostrado na Fig. 28; existem também modelos de somente dois elementos por lóbulo), a saída 
da bomba de lóbulos terá uma maior pulsação, embora seu deslocamento volumétrico por 
rotação seja geralmente maior do que o conseguido pela bomba de engrenagem (onde se tem 
4 ou mais elementos). 
O caráter universal da bomba de palhetas se deve ao fato que pode ser usada, tanto para o 
transporte de líquidos (indústria) quanto para gases; ela pode ser usada, por exemplo, como 
bomba de vácuo no laboratório. Hoje existem sofisticações do modelo básico mostrado na 
Fig. 28. Com uma bomba de palhetas onde o grau da excentricidade do rotor pode ser 
ajustado (Fig. 29a) se consegue ajustar a vazão por rotação, ou de maneira manual ou 
automático, em função da contrapressão dentro da tubulação. Este último modelo aumenta a 
segurança de operação da bomba, já que ela impede um aumento demasiado de pressão que 
pode levar a danos em bomba e tubulação. No caso de um pico de pressão a excentricidade se 
torna nula, enquanto o deslocamento do eixo do centro da carcaça se torna máximo (e assim o 
volume transportado por rotação) sob baixa contrapressão. Alguns modelos com 
excentricidade ajustável até permitem uma suave inversão do fluxo, simplesmente ao mover o 
centro do eixo do rotor ao outro lado da carcaça. 
A bomba de palhetas balanceada, finalmente, dispõe de duas portas de entrada e duas de 
saída, ambas colocadas em lados opostos (Fig. 29b). Ao invés de ter um anel excêntrico 
redondo, a carcaça deste modelo se apresenta em forma oval. Com essa construção se evita 
qualquer excentricidade do rotor – que por sua vez sempre implica alta carga sobre os 
rolamentos do eixo e desgaste mecânico. As pressões permitidas com este modelo são, 
portanto, maiores. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 63 
 
a b 
Fig. 29. Tecnologia nas bombas de palheta: 
a) bomba com anel excêntrico ajustável; b) bomba de palheta balanceada. 
(fonte: http://clubedotecnico.com/area_vip/apostilas/hidraulica_pneumatica/hp-1013-
a_fonte_de_potencias_hidraulica_bomba.pdf) 
 
Outra vantagem destas bombas é que não requerem de válvulas; além disso, conseguem 
transportar líquidos de praticamente qualquer viscosidade. Até mesmo podemos afirmar que 
as bombas de deslocamento positivo funcionam com maior eficiência com líquidos mais 
viscosos, já que estes líquidos mostram menor tendência de escapar pelas folgas entre rotor e 
estator e a taxa de fluido transportado para frente se aproxima à marca de 100%. 
Uma desvantagem da bomba de palhetas é o grande desgaste nas palhetas deslizantes em 
virtude do atrito delas na parede da carcaça. Por isso, este model geralmente se aplica onde o 
próprio fluido tem propriedades de lubrificante (óleos, alimentos gordurosos, géis, etc.). 
 
2.6.2 Bombas centrífugas 
A bomba centrífuga tem uma carcaça fixa e no seu interior uma roda equipada com pás que se 
move com altas rotações (Fig. 30). Há um espaço aberto entre o rotor e a carcaça, portanto 
esta bomba opera com deslocamento não positivo, quer dizer, o fluido pode recuar sob a 
influência de uma contrapressão. Outra consequência deste fato é que a descarga desta bomba, 
ao contrário das bombas de deslocamento positivo, não só depende das rotações, mas também 
da resistência ofertado pelo sistema hidráulico. Portanto, este tipo de transporte é chamado de 
―não positivo‖ e a bomba de ―bomba hidrodinâmica‖. 
O fluido entra no meio, através do eixo do rotor, por uma manga de sucção e flui através das 
pás, de dentro para fora (isto é, em direção à carcaça; Fig. 30). Neste trecho está sendo 
fortemente acelerado, isto é, a energia está sendo entregue em forma de momento angular. 
Bombas centrífugas providenciam uma vazão contínua com poucas ondulações. Ela não 
precisa de válvulas nem reservatório pressurizado. 
As bombas centrífugas existem em vários modelos, no que diz respeito ao desvio angular do 
líquido após a entrada pelo eixo: 
 Bombas de fluxo radial: o líquido sai do rotor radialmente, isto é, perpendicular à 
direção do eixo. Este é o modelo mais difundido. A potência consumida cresce 
linearmente com o aumento da vazão. Adequada para produzir alta pressão, porém a 
vazão não é muito alta. 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 64 
 Bombas de fluxo axial: a água sai do rotor com a direção aproximadamente axial com 
relação ao eixo. Este rotor é também chamado de turbina ou hélice, o dispositivo 
propulsor clássico em embarcações. A potência consumida, ao contrário da bomba 
radial, é maior quando a sua saída se acha bloqueada. Este tipo é indicado para 
grandes vazões e baixas alturas manométricas. 
 Bombas de fluxo misto: centrífuga + propulsora. O líquido sai do rotor com direção 
inclinada com relação ao eixo. Atende a faixa intermediária entre a radial e a axial. 
 
Um ponto fraco em todos os tipos de bomba centrífuga é que elas não têm força para 
autossucção. Geralmente basta um pequeno volume de ar no lado da admissão para levar à 
falha desta bomba. Para que não andam vazias, elas geralmente são implantadas na parte mais 
baixa do circuito. Onde isso não for possível se aplica uma válvula de retenção (que impede 
qualquer fluxo reverso). Hoje se têm no mercado até bombas centrífugas que prometem certa 
autossucção: elas têm em cima do seu eixo uma pequena bomba auxiliar (queé do tipo 
deslocamento positivo) que providencia o vácuo necessário numa bomba cheia de ar. 
A eficiência da bomba centrífuga fica abaixo das bombas de deslocamento, geralmente entre 
0,3 <  < 0,7. 
 
Fig. 30. Bomba centrífuga, rotor de palhetas radiais e estator em forma de caracol (ou 
voluta). 
 
 
Fig. 31. Tipos de Rotores em bombas centrífugas: (a) Rotor aberto para líquidos sujos e 
muito viscosos; (b) Rotor semi-aberto para líquidos viscosos ou sujos; (c) Rotor 
fechado, para água límpida e fluidos de baixa viscosidade. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 65 
A bomba centrífuga é usada para tarefas de transporte de grandes volumes e baixa 
contrapressão (ou seja, baixa altura útil). Isso se deve ao fato que há espaços abertos entre o 
rotor e a carcaça. A falta de vedação tem consequências negativas, em comparação às bombas 
de deslocamento unidirecionado: 
 A bomba centrífuga não pode ser usada como ―válvula‖ no sistema hidráulico. 
 A potência (expressa em termos de volume transportado, ̇) não somente depende da 
sua rotação (rotações por minuto; rpm), mas também da contrapressão externa e da 
viscosidade do próprio fluido. 
 A eficiência da bomba centrífuga cai com aumento da viscosidade do fluido – ao 
contrário do falado sobre as bombas de deslocamento positivo (p. 63). 
 Finalmente, essa bomba somente funciona de maneira eficaz em uma janela (estreita) 
de rotações; fora desta janela sua eficiência cai rapidamente. 
 A entrada de gases na voluta impede o funcionamento desta bomba, pois estes fluidos 
escapam com grande facilidade pelo espaço entre rotor e carcaça. 
 
 
Fig. 32. Curva típica de pressão verso vazão para uma bomba centrífuga, mantida 
constante a rotação. 
O que foi mostrado para as bombas de deslocamento positivo na Fig. 24 acha seu equivalente 
para a bomba centrífuga na Fig. 32. Aqui observamos uma forte dependência da descarga da 
contrapressão. Quando maior a contrapressão (que pode ser expressa em altura útil, H), menor 
sua vazão (expressa em ̇ ou ̇). 
Mais completa do que a Fig. 32 é a Fig. 33 que representa as características de uma bomba 
centrífuga quando operada com diferentes rotações. Verifica-se que uma boa eficiência 
somente se tem em uma margem estreita de altura útil de transporte, H, e vazão de volume, 
. Portanto, cada bomba centrífuga deve ser conceituada para uma aplicação específica, para 
assegurar seu funcionamento dentro da área ótima. Ela deve ser operada a uma rotação 
definida e constante. 
V
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 66 
 
Fig. 33. Características de uma bomba centrífuga. Algumas linhas representam as 
rotações por minuto, n, as outras mostram a eficiência  da bomba. 
 
As alturas úteis desta bomba geralmente são pequenas, mas o volume transportado é enorme. 
De longe, ela é a bomba mais utilizada na indústria química. Onde for preciso transportar a 
uma altura maior, a solução pode ser o emprego de várias bombas centrífugas em série, 
instaladas ao longo do trecho ascendente. 
As curvas características conforme a Fig. 33 podem ser classificadas como: 
 Rasas (flat) - altura manométrica varia muito pouco com a variação da vazão; 
 Caindo (drooping)- para uma mesma altura manométrica podemos ter vazões 
diferentes; ver também a curva da Fig. 32. 
 Íngremes (steep)- grande diferença entre alturas na vazão de projeto e a na vazão zero 
(ponto de shut off); 
 Subindo (rising)- altura crescendo continuamente com o crescimento da vazão. 
As curvas tipo drooping são ditas instáveis e são próprias de algumas bombas centrífugas de 
alta rotação e para tubulações e situações especiais, principalmente em sistemas com curvas 
de encanamento acentuadamente inclinadas. As demais são consideradas estáveis, 
correspondendo uma definida vazão a cada altura (mais seguro é o cálculo da vazão no tipo 
rising). 
As bombas centrífugas geralmente trabalham a rotações constantes (parâmetro n, nas curvas 
da Fig. 33). Portanto, o seu dimensionamento requer um cálculo preciso. Já pequenas 
mudanças no transporte geralmente significam que se precisa de uma outra bomba. 
Os custos acerca da fabricação, instalação e uso contínuo são mais baixos na bomba 
centrífuga. 
 
Pressão hidráulica de admissão 
Como já dito acima, as bombas de deslocamento são de autossucção - ao contrário das 
bombas centrífugas. Mesmo assim, nenhum tipo de bomba deve ser instalado a mais de 10 m 
acima do poço de estoque, em caso do fluido seja água, pelo motivo que segue. 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 67 
Um fluido pode ser empurrado muito vigorosamente de maneira a percorrer um tubo. O único 
limite é a capacidade do tubo para lidar com a pressão. No entanto, um líquido não pode ser 
puxado com vigor, porque bolhas são criadas com a volatilização do líquido a um gás. Quanto 
menor a pressão criada, maiores as bolhas, e por isso não irá fluir mais líquido para a bomba. 
Ao invés da capacidade da bomba ser o fator limitante para puxar o líquido, é o próprio fluido 
no lado da admissão da bomba que limita o volume a ser bombeado. Cada bomba requer 
então uma pressão suficientemente alta na sua entrada, que por sua vez depende da gravitação 
e da pressão atmosférica. 
NPSH (Net Positive Suction Head; carga líquida positiva no lado da sucção) é a energia 
(carga) medida em pressão absoluta disponível na entrada de sucção de uma bomba 
hidráulica. Em qualquer secção transversal de um circuito hidráulico, o parâmetro NPSH 
mostra a diferença entre a pressão atual de um líquido em uma tubulação e a pressão de vapor 
do líquido, à dada temperatura. 
NPSH é um importante parâmetro a ser levado em conta no projeto de um circuito: quando a 
pressão do líquido cai abaixo da pressão de vapor, a vaporização do líquido ocorre, e o efeito 
final será a cavitação: bolhas de vapor podem reduzir ou parar o fluxo do líquido. 
Bombas centrífugas são particularmente vulneráveis, enquanto bombas de deslocamento 
positivo são menos afetadas por cavitação, como são mais hábeis a bombear fluidos de duas 
fases (mistura de gás e líquido). Entretanto, a taxa m resultante da bomba cai drasticamente 
por causa do gás que ocupa o volume interno da bomba, em vez do líquido cuja densidade 
fica de 600 a 900 vezes maior. No caso da bomba centrífuga, uma entrada dupla, por ambos 
os lados do eixo do rotor, proporciona uma área de sucção maior; isso ajuda a abaixar a 
NPSH. 
O colapso violento das bolhas de cavitação cria uma onda de choque que pode literalmente 
escavar material dos componentes internos da bomba (geralmente a borda do propulsor) e 
criar um ruído que é mais frequentemente descrito como "bombear cascalho". 
Adicionalmente, o inevitável aumento na vibração pode causar outras falhas mecânicas na 
bomba e equipamentos associados. 
 
Comparação entre bomba de êmbolo e bomba centrífuga 
A seguinte tabela mostra as características mais importantes das bombas, isto são: 
 Vazão de volume, 
 Altura útil de transporte, H e 
 Potência nominal, Nutil, 
em dependência das rotações por minuto, n. 
 
Grandeza Bomba de êmbolo Bomba centrífuga 
 ~ n ~ n 
H = constante ~ n² 
Nutil ~ n ~ n³ 
 
V
V
V
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 68 
Resumindo os pontos fortes: 
As bombas centrífugas são menores e mais compactas e são utilizadas para transportar um 
grande volume de líquido. Por outro lado, as bombas de êmbolo são mais adequadas para 
trabalhar sob altas contrapressões e têm a finalidade de dosagem, pois a velocidade do líquido 
( ) fica diretamente proporcional à rotação da bomba - mesmo sob contrapressões variáveis, 
pois a altura útil H fica constante.V
 69 
Tab. 11. Relação das bombas mais usadas, com suas aplicações típicas e suas restrições. 
Categoria Bomba centrífuga Bomba de deslocamento positivo 
Movimento radial axial rotando oscilando 
Tipo Efeito 
único 
Ef. 
múltiplo 
 Engrenagem Rosca 
sem fim 
Lóbulo
s 
Extrusora Palhetas Liquid-
Ring 
Pistão 
submerso 
Disco 
sinoida
l 
Pistão 
dosador 
Taxa de 
transporte 
[m
3.
h
-1
] 
1 - 1500 3 - 2500 200 – 
100.000 
< 0,1 - 300 0,1 - 600 < 0,1 - 
500 
< 0,1 - 
300 
0,1 - 400 0,3 - 5000 1 - 450 5 - 500 10
-6
 - 
15 
Altura útil 
[m] 
175 4000 6 250 300 200 120 100 1 bar 7
.
10
4
 2000 5
.
10
4
 
Viscosidad
e 
[mPa
.
s] 
1 – 5
.
10
2
 1 – 5
.
10
2
 1 – 5
.
10
2
 1 – 2
.
10
4
 1 – 10
5
 10 – 
5
.
10
4
 
1 – 10
5
 1 – 10
4
 10
-2
 –10 1 – 10
4
 1 – 10
3
 1 – 10
4
 
Rotações 
[min
-1
] 
750 - 3000 1500 - 
6000 
150 - 
1500 
30 - 1500 500 - 
1500 
20 - 
400 
100 - 
3000 
30 - 1500 750 - 
1500 
30 - 450 30 - 
350 
<1 - 
200 
Aplicações 
/ restrições 
Liquidos 
límpidos 
até 
(fortemente
) sujos 
Liquidos 
límpidos 
até 
(fortemente
) sujos 
Irrigação; 
drenagem
; 
circulação 
Líquidos 
autolubrificantes
; polímeros 
fundidos ou em 
solução 
Dispersõe
s sem 
partículas 
lixantes, 
massas 
plásticas 
Tintas, 
vernizes
, pastas 
Pastas, 
dispersões
, lodos 
(podem 
conter 
partículas 
e fibras) 
Líquidos 
límpidos, 
combustíveis
, óleos 
Vácuo; 
compressã
o de gases 
Óleos, 
ácidos, 
bases, 
também 
com 
particulado
s 
Lodo 
grosso, 
água 
suja 
Líquidos 
límpidos
. 
V
 70 
 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 71 
2.7 Transporte de gases 
As considerações até então se restringiram a fluidos incompressíveis (= líquidos). O que é 
novo no transporte de gases é a variação do seu volume, ao aumentar a pressão, conforme 
descrito pela lei dos gases. No transporte dos gases a maior variação em pressão certamente 
ocorre dentro do meio de transporte que seja, neste caso: 
 Um Densificador, 
 Compressor ou 
 Ventilador. 
Portanto, é costume e geralmente suficiente considerar as mudanças em pressão, diretamente 
nestes dispositivos. A experiência mostra que a queda em pressão na demais tubulação é 
pequena, em comparação à mudança da pressão no local do meio de transporte. Além disso, o 
termo da altura hidrostática pode ser desconsiderado, devido à baixa densidade dos gases. 
Para fins didáticos vamos manter a expressão "bomba" neste capítulo, em vez de discriminar 
conforme a lista acima. 
 
 
Fig. 34. Perfil da pressão ao redor do meio de transporte de gases. 
 
Para a densificação do gás dentro da bomba é preciso um trabalho de volume, que, 
quando relacionado ao tempo, corresponde à potência útil, Nutil da bomba. Para pequenas 
mudanças em volume podemos indicar a potência útil como: 
 
. 
 
Com maiores mudanças em pressão deve-se aplicar o valor integral, medido entre o lado de 
sucção (índice S) e o lado da pressão (índice P): 
 
. 
 
Através da lei dos gases ideais, 
 
pV 

p
mpVNutil

 

P
S
util
dp
mN


A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 72 
    , 
 
chegamos a uma expressão para a densidade: 
 
, com = massa molar média, daí obtemos: 
 
. 
 
Teoricamente seria melhor se pudessemos operar a bomba de modo isotérmico. Só que isso 
requer gastos altos demais para refrigeração, pois os gases se aquecem bastante ao serem 
comprimidos (efeito de Joule-Thomson; ver secção 2.7.1). Embora na prática aplica-se uma 
refrigeração razoável, podemos constatar para o funcionamento da nossa bomba um elevado 
caráter adiabático. Portanto, vamos considerar esses dois casos limites, para depois concluir o 
caso real. 
 
a) Caso limite da compressão isotérmica (dT = 0). 
Sob refrigeração ideal poderíamos usufruir da máxima potência da bomba. Caso T = 
constante, a equação acima pode ser integrada diretamente: 
 
. 
 
b) Caso limite da compressão adiabática (dQ = 0) 
Adiabático significa que não há troca de calor com o ambiente e temos que usar a lei de 
Poisson (para o gás ideal): 
 
.constVp   ou .
1 constTp   Lei de Poisson. 
 
Da segunda expressão segue: 
 
. 
 
TRnVp  TRnmmVp  TR
V
m
n
m
p  TRMp  
TR
pM


 M





P
S
util
p
dpT
M
Rm
N

S
P
util
p
p
M
TRm
N ln



T
dT
p
dp



1

A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 73 
Nestas equações aparece, ao contrário da lei para o gás ideal, o coeficiente de Poisson, 
, para corrigir a mudança da pressão junto à temperatura 
18
. Inserimos essa relação na 
equação geral e obtemos: 
 
. 
 
A integração fornece a potência útil para o caso adiabático: 
 
. 
 
c) O caso real 
Na realidade o gás sempre se mostra "politrópico". Neste caso que fica entre os casos limites, 
se provou útil usar uma expressão politrópica que na sua estrutura é semelhante à lei de 
Poisson: 
 
 
 
ou 
 
Td
n
n
pd ln
1
ln 

 . 
 
Nesta relação n é o expoente politrópico cujo valor fica entre 1 e  19. Para a potência útil 
obtemos então: 
 
. 
 
18
 No gás ideal vale, além disso: Rcc Vp  (R = constante dos gases); já para o gás real entra o fator a de 
correção de Van der Waals: 
2
2
RT
pa
Rcc Vp

 . 
19
 Para um gás diatômico podemos indicar: RcV
2
3
 e Rcp
2
5
  7,1
3
5

V
p
c
c
 . 
V
p
c
c





P
S
util dT
M
Rm
N
1

 SPutil TT
M
Rm
N 




1

T
dT
n
n
p
dp



1
 SPutil TT
n
n
M
Rm
N 




1

A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 74 
 
Para expressar as temperaturas TP e TS dos dois lados da bomba, pelas pressões, podemos usar 
a expressão politrópica na sua forma integrada: 
 
 

P
S
P
S
T
dT
n
n
p
dp
1
 
 
   PS
P
S
T
n
n
p ln
1
ln 

 , 
 
S
P
S
P
T
T
n
n
p
p
ln
1
ln 

 , 
 
S
P
n
n
S
P
T
T
p
p








1
, 
 
. 
 
Inserimos essa e obtemos para a potência útil: 
 
. 
 
Para a razão de densificação obtemos com isso: 
 
. 
 
Lembramos-nós do contexto entre a potência útil Nutil e a altura útil de transporte H : 
 
. 
 
S
SP
n
n
S
P
T
TT
p
p 









1
1
























1
1
1
n
n
S
PS
util
p
p
n
n
M
TRm
N

11
1












n
n
S
util
S
P
TRm
NM
n
n
p
p

HgmNutil  
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 75 
Inserimos em cima, obtemos a relação entre a razão de densificação, pP/pS, e a altura útil da 
bomba: 
 
. 
 
A razão de densificação das bombas é limitada a aproximadamente 10, devido aos limites em 
sequestrar o calor. Os valores mais realizados são: 
 
. 
 
Caso se exija uma densificação além desta, é necessário um sistema de bombas em série. 
Atenção: a razão de densificação não fala nada sobre a pressão absoluta! Sendo assim, não 
importa se a densificação será de 1 para 8 MPa ou de 8 para 64 MPa - em cada caso é preciso 
apenas uma bomba. 
Os princípios de funcionamento das bombas dos gases correspondem, na maioria dos 
aspectos, aos princípios das bombas de líquidos apresentados no cap. 2.6. A Fig. 35 mostra 
algumas aplicações típicas. 
 
 
11
1












n
n
SS
P
TR
HgM
n
n
p
p
86 
S
P
p
p
A. Isenmann Operações Unitárias na IndústriaQuímica 
 76 
 
 
 
Fig. 35. Exemplos para compressores, ventiladores e densificadores de gases: 
a) turbocompressor de um motor de automóvel; b) o turboprop é um dos sistemas de 
propulsão mais económicos para aviões de porte médio; c) ventilador de teto com 
estilo; d) compressor de ar multi-uso (note que os cilindros de compressão se 
esquentam acima de 100 °C). 
 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 77 
2.7.1 Variação da temperatura durante a expansão ou compressão de um gás 
real 
A variação da temperatura durante a compressão ou expansão de um gás real se conhece 
como efeito de Joule e Thomson (1852). Este efeito se evidencia, no caso mais simples, em 
um aparelho que consiste de duas câmaras de gás, uma de alta pressão e outra de baixa 
pressão, interligadas por uma válvula estranguladora ou uma parede porosa, conforme Fig. 36. 
Mostrou-se que, à temperatura ambiente, quase todos os gases (com exceção do hidrogênio, 
hélio e neônio), quando passar pela válvula para o lado de baixa pressão, se esfriam. 
 
 
Fig. 36. Esboço do ensaio de Joule-Thomson 
 
Como se explica este fenômeno ao nível molecular? 
Existem dois processos que visam um efeito térmico oposto: 
No primeiro aspecto olhamos no gás que se expande, então a distância média entre as 
moléculas aumenta. Devido às forças atrativas intermoleculares (Van der Waals), a expansão 
produz um aumento na energia potencial do gás. Se nenhum trabalho externo for extraído no 
processo e nenhum calor trocado com o ambiente, a energia total do gás permanece a mesma, 
por causa da conservação da energia. O aumento da energia potencial, portanto, implica uma 
diminuição da energia cinética, portanto a temperatura cai. 
Sob o segundo aspecto chegamos ao resultado oposto. No momento da colisão de duas 
moléculas do gás, a energia cinética é temporariamente convertida em energia potencial. 
Durante a expansão a distância média intermolecular aumenta, então há uma queda no 
número de colisões por unidade de tempo. A energia potencial média cai. Mais uma vez, a 
energia total é conservada, então isto acarreta um aumento na energia cinética (= 
temperatura). 
Abaixo da temperatura de inversão de Joule-Thomson, o efeito anterior (o trabalho interno 
realizado contra as forças atrativas intermoleculares) predomina, e a expansão livre provoca 
uma diminuição na temperatura. Acima da temperatura de inversão, as moléculas de gás se 
movem mais rapidamente e assim colidem com maior força, e o último efeito (colisões 
reduzidas provocam uma diminuição na energia potencial média) predomina: a expansão 
provoca um aumento da temperatura. 
Justamente na temperatura de inversão, esperamos a compensação dos dois efeitos, com a 
consequência de a temperatura durante a expansão fique constante. Neste momento o gás se 
comporta ―pseudo-ideal‖. 
Como já mencionado acima, todos os gases excetos H2, He e Ne, têm temperaturas de 
inversão acima da temperatura ambiente. A temperatura de inversão do ar, por exemplo, 
podemos indicar com 386 °C (N2: 348 °C; O2: 491 °C); já a do hidrogênio fica em -68 °C, a 
do hélio até em -222 °C! Isso implica que os gases H2, He e Ne devem ser pré-esfriados 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 78 
abaixo da sua temperatura de inversão, para se obter o efeito de esfriamento através de um 
estrangulamento. Isso foi ignorado por muitas décadas e se acreditou, nestes três casos, em 
―gases permanentes‖, isto é, gases que não podem ser liquefeitos. Hoje se sabe que não 
existem gases permanentes. 
A variação da temperatura T em relação à pressão p em um processo de Joule-Thomson (isto 
é, à entalpia H constante e não há troca de calor com o ambiente), é expressa pelo coeficiente 
de Joule-Thomson, JT. Ele pode ser calculado pelo volume molar V do gás, da sua 
capacidade calorífica à pressão constante, cp, e do coeficiente de expansão térmica, , 
conforme: 
 
 
Coeficiente de Joule-Thomson, para a expansão irreversível de um gás. 
 
O valor de é normalmente indicado em °C/bar (unidade SI: K/Pa; ver Fig. 37) e depende 
do tipo de gás, da temperatura e da pressão do gás antes da expansão. A sua dependência da 
pressão, no entanto, é apenas de poucos %, para pressões até 100 bar. 
Todos os gases reais têm um ponto de inversão no qual o coeficiente µJT muda de sinal. A 
temperatura deste ponto é a já mencionada temperatura de inversão de Joule-Thomson. 
Note que no modelo do gás ideal se assume nenhuma interação entre as partículas, isto é, nem 
atração nem repulsão. Sendo assim, um gás ideal também não deve mostrar o efeito de Joule-
Thomson e a temperatura durante expansão/compressão fica constante. Podemos afirmar que 
seu coeficiente de expansão térmica é , sendo que seu coeficiente é sempre zero. 
Aplicamos o comportamento dos gases reais ao caso de maior relevância técnica, a expansão. 
Numa expansão o sinal de é negativo e podemos afirmar: 
 Se a temperatura do gás for abaixo da temperatura de inversão, é positivo; numa 
expansão ( ) isto acarreta uma variação , quer dizer, o gás se resfria. 
 Se a temperatura do gás for acima da temperatura de inversão, é negativo; numa 
expansão ( ) isto acarreta uma variação , quer dizer, o gás se esquenta. 
 
 1







  T
c
V
p
T
pH
JT
JT
T
1
 JT
p
JT
0p 0T
JT
0p 0T
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 79 
Fig. 37. Coeficiente de Joule-Thomson de alguns gases (todos à pressão ambiente), em 
função da temperatura. 
 
2.7.2 Aplicações do efeito de Joule-Thomson 
Na prática se aproveita do efeito Joule-Thomson permitindo-se que o gás se expanda através 
de um dispositivo de estrangulamento (normalmente uma válvula) que deve estar muito bem 
isolada, para impedir qualquer transferência de calor para o gás ou do gás para o ambiente. 
Além disso, nenhum trabalho externo seja extraído do gás durante a expansão (o gás não deve 
ser expandido através de uma turbina, por exemplo). 
Liquefação do ar 
Os densificadores de gases têm um papel central na liquefação de gases. O caso clássico é a 
produção de nitrogênio e oxigênio líquidos em grande escala, através do processo industrial 
de Linde. 
(Note que, para escala menor, existe um método alternativo para separar o oxigênio do ar, por 
meio de adsorção, descrito na p. 218 como pressure swing adsorption.) 
 
 
Fig. 38. Fluxograma do processo de Linde, para liquefação e/ou separar os componentes 
do ar. 
A Fig. 38 mostra o fluxograma de uma planta para separar oxigênio e nitrogênio em alta 
pureza, a partir do ar. O princípio é uma expansão adiabática do ar, condições sob quais essa 
mistura de gases se esfria. Conforme o dito, o resfriamente por expansão isentálpica somente 
funciona com gases cujo coeficiente de Joule-Thomson é positivo (p. 78). Nesta operação 
unitária o ar comprimido a 200 atm e condicionado à temperatura ambiente, primeiramente é 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 80 
lavado e liberado de vapor de água, poeira, hidrocarbonetos, óxido nitroso e dióxido de 
carbono através de uma peneira molecular (ver processo de adsorção, na p. 217). Se não fizer 
isso, os hidrocarbonetos e óxido nitroso poderiam causar uma deflagração ou mesmo uma 
explosão na coluna de retificação. 
O ar pressurizado e purificado passa por uma válvula estranguladora devidamente isolada, 
para chegar a uma pressão final de cerca de 20 atm. Durante esta passagem o gás se esfria por 
cerca de 45 °C. A partir destes valores se calcula um coeficiente de Joule-Thomson para o ar, 
de 0,27 K
.
atm
-1
. 
Este ar de baixa temperatura pode ser usado para esfriar outra porção de ar altamente 
comprimido.Isto geralmente ocorre em trocadores de calor que trabalham no modo 
contracorrente (compare p. 150). Através de várias etapas subsequentes de esfriar e relaxar o 
ar pode ser resfriado um tanto que seus compostos principais, nitrogênio (78,08% em ar seco) 
e oxigênio (20,95%) se liquefazem. A mistura líquida é conduzida à coluna de fracionamento 
(compare cap. 5.6) que opera sob pressões entre 5,5 atm (na parte do esgotament) e 1,4 atm 
(na parte do enriquecimento ou cabeça), enquanto as temperaturas desta operação ficam entre 
-160 e -180 °C. 
 
Fig. 39. Princípio de funcionamento da coluna que separa os componentes do ar 
(indicadas as temperaturas de ebulição à pressão de 1 atm). 
Caso se pretenda usufruir dos gases liquefeitos, isto é, O2 abaixo de -183 °C e N2 abaixo de 
-196 °C sob pressão ambiente, estes podem ser retirados do esgotamento e da cabeça da 
coluna, repectivamente. São levados em caminhões isolados ao cliente. Caso se pretenda usar 
os gases puros, no entanto à temperatura ambiente, suas baixas temperaturas nas saídas da 
coluna servem mais uma vez para refrigerar o ar bruto altamente pressurizado, matéria prima 
do processo de Linde. 
Subproduto valioso do processo, aliás, é o argônio (contido no ar seco em 0,93%; Tfus (1 atm) 
= −189,3 °C; Teb (1 atm) = −186 °C). O argônio não é separado na coluna de retificação 
principal, mas em uma coluna de argônio separada. Neste processo se obtém o argônio bruto 
que ainda contém cerca de 3-5% de oxigênio e 1% de nitrogênio. A purificação desta fração 
ocorre à temperatura ambiente e 4-6 bar. A fim de remover o oxigênio restante se injeta 
hidrogênio que reage na presença de catalisadores de metais nobres com o oxigênio para a 
água. Após isso ter sido removido, o argônio, que se acumula na extremidade inferior da 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 81 
coluna, é separado do nitrogênio remanescente em outra coluna, de modo que o argônio pode 
ser produzido com uma pureza de 99,9999% (argônio 6,0) 
20
. 
O ―gelo seco‖ (= CO2 sólido, Tsubl.= -78 °C, contido no ar seco com cerca de 0,04%), por 
outro lado, não é produzido em grande escala a partir do ar. Na verdade, a umidade (que pode 
ser de até 4% do peso do ar) e o CO2 devem ser removidos da atmosfera natural, antes de a 
mesma ser utilizada como matéria prima no processo de Linde, se não iriam entupir as 
tubulações frias. No caso do CO2 isso acontece a cerca de 150 atm e 0 °C, onde se apresenta 
em fase líquida (ver Fig. 123), por meio de uma destilação simples. 
 
 
Fig. 40. Composição média da atmosfera seca da terra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Outras aplicações do efeito térmico da compressão de gases 
Mais recentemente, esta tecnologia da liquefação de gases é utilizada para transportar gás 
natural, no seu estado líquido, a longas distâncias por meio de navios. Isso claramente tem 
vantagens sobre o transporte em estado gasoso, visto que o volume do gás (Vmol do gás ideal = 
22,4 L
.
mol
-1
) é cerca de 600 vezes maior do que o do líquido, assumindo uma massa molar 
média de 60 g
.
mol
-1
 e uma densidade média de 700 g
.
L
-1
 no estado líquido. 
Mas também o transporte tradicional do gás natural via tubulação pode ser afetado pelo efeito 
de Joule-Thomson. Um elevado fluxo de massa e a queda em pressão devido à fricção 
podem levar, sob condições desfavoráveis, à glaciação do gasoduto e suas peças. Para evitar 
esta situação perigosa o gás pode ser pré-aquecido logo antes da sua compressão, isto é, logo 
antes da entrada do densificador onde a queda da pressão é especialmente alta e a temperatura 
do gás especialmente baixa (ver Fig. 34). 
 
20
 Outras fontes do argônio são a produção de amônia pelo processo Haber-Bosch e o gás de síntese que se usa, 
por exemplo, na produção de metanol. Nestes processos - todos utilizam o ar como matéria-prima - o argônio e 
outros gases nobres se acumulam nos gases recirculados e devem ser sequestrados, se não a reação principal 
destes processos leva prejuízo. 
m p
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 82 
Outro exemplo, também no que concerne o gás natural: nas cavernas rochosas o gás é 
armazenado na natureza a 200-250 atm. Por outro lado, o duto que leva o gás ao consumidor 
geralmente não pode ser operado a mais de 100 bar, por motivos de segurança. Isto implica 
que o gás arrefece rapidamente quando sai do reservatório natural e entra no duto. A fim de 
evitar o congelamento das peças móveis da planta, o gás armazenado deve então ser pré-
aquecido, logo antes de ser relaxado. O pré-aquecimento deve ser alto suficiente que a 
temperatura não caia abaixo do ponto de orvalho após seu relaxamento. 
Os efeitos de congelamento do gás natural podem ser desconsiderados quando a diferença de 
pressão p for inferior a 12 atm. Nestes casos não há necessidade de um aquecimento. 
Finalmente, não podemos esquecer que o efeito Joule-Thomson é a base do sistema de 
refrigeração da maioria das geladeiras, freezeres e condicionadores de ar de hoje. Os 
hidrocarbonetos policlorados e fluorados, amplamente utilizados por estes fins até a virada do 
milênio, foram largamente substituídos por butano, amônia ou gás carbônico, pois estes não 
prejudicam a camada de ozônio e contribuem menos ao efeito estufa (Protocolo de Montreal, 
1987). 
 
2.8 Fluxo através de leitos 
2.8.1 Exemplos e definições 
Na indústria química encontramos uma série de processos com operações unitárias onde o 
fluido passa através de um leito particulado que pode ser, por exemplo, cascalho, areia, 
materiais adsorventes, catalisadores ou corpos de recheio na retificação. Interessante é, 
portanto, ter conhecimentos do funcionamento e dos parâmetros deste fluxo. 
Vamos primeiro olhar em exemplos de importância técnica. 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 83 
 
Fig. 41. Operações unitárias que incluem a penetração de um leito: a, b e c: leito fixo; d: 
leito fluidizado. 
 
 
Fig. 42. Reatores que aproveitam de leitos: a) leito fixo, b) leito fluidizado. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 84 
2.8.2 Fluxo em leitos fixos 
Em um leito fixo as partículas sólidas mantêm sua posição. Caso este leito for penetrado pelo 
fluido de baixo, conforme mostrado na Fig. 42 a), isso somente vale até o ponto de soltura, a 
partir do qual o leito fixo se transforma em um leito fluidizado (Fig. 42 b; também é assunto 
da secção 2.8.5). 
Importante na passagem do fluido atravé de um leito sólido é a relação entre velocidade do 
fluxo e a perda em pressão. Essa pode ser descrita, como vimos na p. 30, através de números 
adimensionais: uma relação contendo os números de Euler e de Reynolds. 
A princípio deveríamos esperar diferentes leis para as diversas partículas do leito e as diversas 
formas de empacotamento. A prática mostra, no entanto, que as diferenças não são muito 
grandes, o que justifica o uso de um modelo geral para todas essas formas de leito. Cada 
partícula é envolta por uma camada fixa de fluido, e seu comportamento é aproximadamente 
igual ao de uma esfera. Aproveitamos então do princípio da semelhança geométrica das 
partículas. 
Para os cálculos acerca de leitos usamos as seguintes grandezas e definições: 
V Volume total do leito (= volume da carga) 
Vg Volume das partículas sólidas em forma de grãos 
V Volume do espaço intersticial. 
 
Fig. 43. Esquema do leito 
 
O volume total V se compõe então do volume de sólidos Vg mais o volume intersticial V: 
 
. 
 
De grande importância no cálculo da perda em pressão é a porosidade  da carga. Ela é 
definida por: 
 
.Porosidade 
VVV g 
V
V 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 85 
 
Um cálculo exato da porosidade é impossível, portanto essa grandeza deve ser determinada no 
experimento. Em leitos técnicos o valor de  fica entre 0,4 e 0,5. É costume descrever os 
volumes V e Vg, através da porosidade, conforme: 
 
 e . 
 
O volume total V do leito é facilmente obtido pela geometria do recipiente (cilíndrico), então 
da altura do leito, L, vezes a área do fundo, F. 
Outras grandezas úteis são: 
a área de fluxo livre, Flivre, e o diâmetro médio das partículas, dg (índice g = grão): 
 
 e 
S
V
d
g
g


6
, 
 
onde Vg é o volume dos sólidos e S a sua superfície acessível.
. 
No caso especial de partículas esféricas temos 
 
3
3
4
rVbola   (Volume) e 
24 rSbola   (Superfície), 
 
ou, em termos de diâmetro em vez do raio (d = 2r): 
 
 e , 
 
daí temos identidade entre diâmetro médio e diâmetro real, ou seja, dg = d. 
O uso do diâmetro médio dg é somente problemático se tivermos um leito onde as partículas 
têm formas bastante irregulares. Neste caso, deve-se determinar a distribuição dos tamanhos 
21
, para estimar se o uso de dg é tolerável ou não. 
 
21
 Métodos para determinar tamanho médio, a forma geométrica na média e concentração de partículas finas, são 
conhecidos por bastante tempo, sendo essas informações globais ou integrais acerca do leito. Mais recente é um 
ensaio que fornece as informações diferenciais sobre o material particulado, ou seja, a distribuição dos tamanhos, 
a faixa da irregularidade geométrica e flutuações na concentração local. Trata-se de um ensaio de espalhamento 
de luz, conhecido como "contagem de partículas" ou espalhamento de Fraunhofer. 
VV   VVg  )1( 
FFlivre  
6
3d
Vbola


 2dSbola  
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 86 
 
Na maioria das vezes se conhece apenas a ―superfície específica‖ dos grãos, Sg, definida como 
superfície por massa. A superfície específica, Sg, de material finamente particulado se 
consegue mais facilmente através da análise calorimétrica da adsorção de um gás inerte. A 
curva, parecida à Fig. 107, se chama ―isoterma de adsorção‖ e o método é conhecido como 
BET, lembrando aos aseus inventores Brunauer, Emmett e Teller. 
Mas a superfície acessível ao fluido, S, pode ser calculada por: 
 
. 
 
Nesta significam mg a massa e g a densidade da carga particulada. Para o diâmetro médio dos 
grãos obtemos então: 
 
. 
 
2.8.3 Cálculo da perda de pressão em leitos fixos - considerações gerais 
Para calcular a perda de pressão em um leito fixo é mais conveniente referir-se à velocidade 
que teríamos num tubo vazio (u0), do que à velocidade que se tem nos interstícios do leito real 
(u). A velocidade u0 é facilmente acessível, pois é a velocidade linear média com que o fluido 
passa pelo tubo (suposto sendo vazio), do comprimento L e da área transversal F: 
 
A velocidade real através da carga é muito mais alta, já que o espaço para o fluido é restrito à 
área transversal livre, Flivre. Podemos afirmar que a carga exerce o mesmo efeito do que um 
entalhe no diâmetro do tubo (ver p. 45). Com a equação da continuidade obtemos para o fluxo 
de volume : 
 
. 
ggggg SVSmS  
gg
g
g
SS
V
d





66
V
uFuFV livre  0

A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 87 
 
Inserimos para a área transversal livre Flivre =  
.
 F : 
 
 . 
 
A porosidade da carga raramente pode ser indicada com exatidão. Ao invés desta, o fluxo de 
volume conseguimos determinar exata e facilmente. As indicações técnicas, portanto, 
sempre se referem à velocidade num tubo vazio, u0: 
 
 , com . 
 
Em concordância a esta convenção, o número de Reynolds também é relacionado à velocidade 
média no tubo vazio, u0, e ao diâmetro médio dos grãos, dg: 
 
. 
 
Um fluxo atravessando um leito fica laminar até apenas Re < 20. Além disso, a transição 
laminar para turbulento, se estende a um intervalo maior de Re, quer dizer, não é tão bem 
definido quanto num tubo vazio e liso. 
 
2.8.4 Perda de pressão em leitos fixos - o caminho. 
No modelo a seguir, que serve para o fluxo laminar, usa-se um tubo enchido com bolinhas. O 
fluido passa pelos canais formados entre as bolinhas 
 
 
Fig. 44. Modelo de um leito 
 

0uu 
V
V
V
Lu

0
FV
L 1




gdu0
Re
Canal 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 88 
A determinação daquela área que pode ser aproveitada para o fluido seria afinal a contagem 
da área intersticial, ou seja, dos canais, Flivre = 
 .
 F. Como diâmetro equivalente destes canais 
deveria ser usado o diâmetro hidráulico ( , com U = circunferência, ver p. 37). O 
caminho percorrido pelo fluido é certamente muito maior que simplesmente a altura do leito, 
pois os canais se formam em zig-zag, bem irregular e estatístico. Como estas grandezas não 
são facilmente acessíveis, podemos tratar os canais como se fossem tubos paralelos cujo 
comprimento corresponde à altura do leito, L. O diâmetro destes tubinhos é equivalente ao 
diâmetro médio dos grãos, dg. Com esse modelo grosseiro podemos escrever a lei de Hagen-
Poiseuille, , na seguinte forma: 
 
. 
 
Cálculos exatos foram feitos por Kozeny. Para o fator F() vale, confirmado pelo 
experimento: 
 
. 
 
Para a velocidade no tubo vazio se obtém com isso a equação de Kozeny: 
 
. 
 
Uma reorganização desta equação a deixa numa forma mais familiar: 
 
, 
 
na qual (Re) é o número de fricção dentro dos tubinhos. 
 
. Número de fricção nos tubinhos equivalentes aos canais intersticiais. 
 
Em comparação ao tubo macroscópico vazio, onde  = 64/Re (ver p. 30), podemos afirmar 
para este número de fricção, supondo uma porosidade do leito de  = 0,5: 
U
F
d h
4

L
pd
u



2
32
1

 0
2
)(
u
L
pd
Fu
g



2
1150
1
)( 









F
  L
pd
u
g 





2
2
3
0
1150
1
2
0
2
1
(Re) u
d
L
p
g
 
 
Re
3001
(Re)
3
2






A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 89 
 
, ou seja, aproximadamente 10 vezes maior! 
 
Caso houver fluxo turbulento, isso é o caso mais comumente realizado, o termo (Re) deve 
ser ampliado. Medições e cálculos ab initio revelam, para leitos comuns: 
 
. 
 
Essa é a famosa equação de Ergun. Ela vale para fluxos laminares e turbulentos (1 < Re < 
30.000) em leitos. 
 
2.8.5 Fluxo em leitos fluidizados 
Agora vamos só olhar no fluxo atravessando o leito, de baixo para cima, conforme Fig. 41 d e 
Fig. 42 b. Na secção acima discutimos velocidades do fluido que, mesmo quando penetrar de 
maneira turbulenta, não foram fortes o suficiente para mover as partículas sólidas do leito, da 
sua posição em repouso. Aumentamos, porém, a velocidade do fluido mais e mais, as 
partículas do leito se soltam repentinamente, no ponto de fluidez, WP (do alemão: 
Wirbelpunkt). O leito em repouso se tornou um leito fluidizado. 
Leitos fluidizados são bastante úteis, tanto nas operações unitárias (por exemplo, na secagem 
de material sólido), quanto como técnica de reação (por exemplo, no craqueamento catalítico 
―FCC‖ da refinaria do petróleo 
2
, onde o catalisador é de zeólitos particulados, descritos na p. 
220, que circulam o reator em regime fluidizado). 
A perda em pressão, p, mostra a seguinte dependência da velocidade adimensional do fluido, 
u0 / u0,WP: 
 
Fig. 45. Perda em pressão num leito, em dependênciada velocidade do fluido (injetado de 
baixo). 
Re
600

   










 5,3
Re
13001
(Re)
3




A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 90 
 
Enquanto as partículas do leito estão em repouso, a perda de pressão aumenta junto à 
velocidade do fluido, como vimos acima, na proporção p ~ u0
2
. Quando ultrapassamos o 
ponto de soltura WP as partículas estão soltas e estamos na região do leito fluidizado. Nesta 
região a perda em pressão se torna independente da velocidade do fluido, ela fica no mesmo 
nível. A explicação para este comportamento: qualquer energia cinética que é entregue acima 
da velocidade u0,WP, é usada para aumentar a altura até onde as partículas estão chegando – 
em seguida denominada de altura L do leito. 
Interessante é que em volta do ponto de fluidez, WP, existe uma histerese, isto quer dizer, o 
percurso da curva depende da direção da aproximação neste ponto: partindo de baixas 
velocidades (linha tracejada) observamos uma elevada perda em pressão que chega até acima 
do valor constante que p assume no regime fluidizado. A (leve) elevação da curva no WP se 
deve à expansão do leito quando começa a fluidez. Na outra direção (linha sólida) não se 
observa essa curvatura. Chegando de altas velocidades, o leito fluidizado se repousa 
suavemente, sem quantidade extra em pressão. 
Enquanto as partículas estão em repouso, a perda de pressão p é diretamente proporcional à 
velocidade no tubo vazio, u0. Mais corretamente: p ~ u0 na região laminar (que é muito 
estreita e tecnicamente pouco realizada), e p ~ u0
2 
na região turbulenta. No ponto de fluidez 
a reta da perda em pressão quebra nitidamente e fica num valor constante, mesmo com 
aumento da velocidade do fluido. Quando a velocidade do fluido sobe demais, finalmente, as 
partículas do leito são levadas embora. A partir daí (não mostrado na Fig. 45), temos um 
transporte pneumático das partículas do leito. 
A perda de pressão crítica, pWP, onde o leito fixo se transforma em leito fluidizado, pode ser 
calculada. No ponto WP podemos formular um balanço das forças: a força de pressão (força 
que bate no leito de baixo) é igual à força gravitacional das partículas, reduzida pela força de 
sustentação (peso do fluido deslocado pelas partículas do leito; caso o fluido for um gás, a 
contribuição da sustentação é negligenciável, pois 
sfl   ). Neste equilíbrio vale então: 
 
, 
 
com Kp = força de pressão; Kg = força gravitacional; Ka = força de sustentação. Podemos 
inserir as devidas dependências: 
 
, 
 
. 
 
Inserido no balanço: 
 
 
 
agp KKK 
WPp pFK 
    gVKK flsWPag  1
    gVpF flsWPWP  1
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 91 
 = perda em pressão no ponto de fluidez; VWP = volume do leito no ponto de fluidez; F = 
área transversal; g = aceleração gravitacional da terra; s = densidade do leito; fl = densidade 
do fluido, termo que pode ser desconsiderado, em caso do fluido ser um gás. 
Com a altura L do leito obtemos: 
 
; inserido em cima: 
 
. 
 
Por outro lado, vale para a perda em pressão num leito, conforme a secção 2.8.3: 
 
. 
 
Podemos colocar essas duas equações em relação e resulta: 
 
. 
Multiplicamos com e introduzimos o número de Reynolds, 

 flgdu 

0
Re . Daí 
obtemos: 
 
. 
 
Obtemos um novo número adimensional, conhecido como número de Arquimedes, Ar: 
 
 Número de Arquimedes. 
 
A última equação pode então ser notada de forma resumida: 
 
. 
 
WPp
F
V
L WP
    gLp flsWP  1
2
0
2
1
(Re) u
d
L
p fl
g
WP  
  gdu
fl
fls
g 




 12(Re)20
2
22

 flgd 
 
 
2
3
2 12(Re)Re



gd flflsg 

 
2
3

 gd
Ar
flflsg 

  Ar  12(Re)Re2
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 92 
Essa implica que o número de Reynolds no ponto de fluidez, ReWP, depende do espaço 
intersticial  e do número adimensional de Arquimedes: 
 
. 
 
A experiência, porém, mostra que o espaço intersticial num leito solto, situação típica no WP, 
sempre tem aproximadamente o mesmo valor. Ou seja, afinal o número de Reynolds ReWP 
depende quase exclusivamente do número de Arquimedes. Tanto a teoria como o experimento 
revelaram relações úteis que permitem o cálculo do número de Reynolds no ponto WP. De 
valor prático é a relação de Goroschko, Rosenbaum e Todes: 
 
, 
 
e também a relação de Levenspiel e Kunii: 
 
. 
 
O descarregamento das partículas (= transporte pneumático) requer velocidades maiores ainda 
e começa quando não apenas o leito como coletivo é suportado pelo fluido, mas também cada 
grão por si. Caso o fluxo necessário para este evento seja laminar (caso raro, somente com 
fluidos líquidos e pequena diferença entre as densidades fl e s): 
 
 
 
Em caso de fluxo turbulento temos: 
 
. 
 
Geralmente tem-se uma região entre os valores limites, ReWP e Redescarr, onde pode-se obter 
um estado estável de leito fluidizado. 
Conforme a Fig. 45, após o alcance do ponto de fluidez praticamente não há mais perda em 
pressão - até o ponto de descarregamento. Isso se explica com a expansão do leito fluidizado 
quando aumenta a velocidade do fluido. O comportamento é mais uma vez representado na 
figura a seguir, onde observamos justamente a altura do leito, em função do número de 
Reynolds. 
),(ReRe ArWPWP 
Ar
Ar
WP
22,51400
Re


7,330408,07,33Re 2  ArWP
18
Re
Ar
descarr 
ArArdescarr 73,13Re 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 93 
 
Fig. 46. Altura do leito (fixo e fluidizado), em função do número de Reynolds. 
 
Com pequeno número de Reynolds temos um leito em repouso que somente no ponto WP se 
solta. Aumentamos sucessivamente a velocidade do fluido, o leito aumenta em volume, isto é, 
sua altura L aumenta, até finalmente as partículas sólidas serem levadas embora - típico para o 
transporte pneumático. Para distinguir entre os diferentes efeitos que o fluido exerce sobre a 
carga, costuma-se usar um diagrama das fases do leito turbulento, do tipo mostrado na Fig. 
47. 
 
 
Fig. 47. Diagrama de fases do leito turbulento. 
 
Fluxos favoráveis a leitos fluidizados geralmente se tem em torno de . 
As discussões até então se restringiram a leitos fluidizados homogêneos. Em casos onde a 
diferença entre a densidade da carga e do fluido é grande, no entanto, observam-se 
frequentemente grandes inhomogeneidades em densidade dentro do leito. Nesta situação o 
WPRe3Re 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 94 
fluido forma grandes bolhas que atravessam o leito lentamente em direção para cima. O 
tamanho das bolhas aumenta linearmente com a velocidade do fluido. O leito nesta situação 
tem a aparência de um líquido efervescente. O estado pode ser bastante útil para o processo, 
pois a mudança perpétua de regiões de altas e baixas concentrações em sólido proporciona 
uma excelente homogeneização, tanto entre sólido e fluido como das partículas entre si. 
À alta velocidade do fluido as bolhas são de tal tamanho que preenchem o diâmetro inteiro do 
tanque, o fluido sobe, atravessando o leito em forma de pistão ("leito empurrando"). No ponto 
de descarregamento, finalmente, a velocidade do fluido se iguala com a velocidade de 
afundamento das partículas sólidas. A carga está sendo rastejada pelo fluido. Em casos onde o 
fluido é um gás sai do recipiente uma nuvem de poeira. Uma diminuição do pó descarregado 
se consegue pelo acoplamento a um ciclone (p. 106) onde grande parte das partículas pode ser 
separado do gáse então reenviada para o recipiente com leito fluidizado. A situação é 
representada na Fig. 48e – bastante útil para os reatores operados com catalisador particulado 
em leito fluidizado. 
 
 
Fig. 48. Diferentes estados do leito fluidizado: 
a) carga em repouso 
b) leito fluidizado no ponto de fluidez WP 
c) fluido sobe em forma de bolhas, misturando a carga 
d) leito empurrando 
e) leito em expansão livre. 
 
Em alguns processos de produção as operações com leitos fluidizados têm um papel 
dominante, pois oferecem uma maneira confortável de lançar sólidos num equipamento, sem 
a necessidade de se ter um dispositivo mecânico de transporte (esteiras, parafusos, 
escavadeiras, vagões, etc.). Basta aumentar a velocidade do fluido e elevar o sistema para o 
transporte pneumático. Outro motivo para sua aplicação é a alta taxa de transferência de 
massa e calor entre as fases envolvidas. O campo de aplicação principal é a reação entre gases 
e sólidos, ou então reações em fase gasosa na presença de um catalisador particulado. 
Exemplos: 
 Gaseificação de carvão mineral em geradores de Winkler 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 95 
 Craqueamento catalítico em unidades de FCC (= Fluidized Catalyst Cracking) 
 Calcinação de minério. 
 
2.9 Métodos mecânicos de separação 
A maioria dos processos químicos industriais tem que lidar com problemas acerca da mistura 
de diferentes produtos. A separação dos componentes puros geralmente consome mais tempo 
do que a própria síntese. Produtos químicos sólidos muitas vezes se obtêm via precipitação 
(sais pouco solúveis, complexos ácido-base, etc.) ou via cristalização (não metais elementares, 
produtos orgânicos), a partir de uma mistura líquida. Portanto, temos que separar 
seletivamente este sólido da fase líquida que contém solvente e impurezas. Em casos menos 
frequentes visa-se obter a fase líquida pura enquanto o sólido é considerado o subproduto de 
baixo valor (secagem por meios higroscópicos, tratamento com carvão ativado, clareamento 
de esgotos). Finalmente precisamos de métodos mecânicos de separação, também com 
sistemas biológicos (separação do lodo de águas servidas; isolar as leveduras da mistura que 
sai das dornas de fermentação) e no despoeiramento de gases. 
Dentre os processos de separação os métodos puramente mecânicos são os mais simples, no 
que se diz respeito ao seu tratamento teórico, como também no equipamento utilizado. 
Classificamos, dentro dos métodos mecânicos de separação: 
 a sedimentação (sob influência da força gravitacional natural), 
 a centrifugação (sob influência de força gravitacional elevada), 
 a filtração. 
Na engenharia de processos se diferenciam os métodos térmicos de separação (destilação, 
retificação, lavagem de gases) e outros métodos mais sofisticados para separar misturas 
homogêneas (adsorção, extração, métodos de membranas), a serem discutidos mais adiante. 
Serão apresentados a seguir os métodos mecânicos mais importantes, tanto no laboratório 
como em escala industrial. 
 
2.9.1 Sedimentação e centrifugação 
Sedimentação 
Entendemos por sedimentação a separação do componente sólido a partir de uma suspensão, 
perante a força gravitacional terrestre. A mistura de partida deve ser uma suspensão, isto é, 
deve conter partículas sólidas grandes, na ordem de alguns micrômetros. A regra grosseira é: 
conseguimos um bom resultado por sedimentação caso as partículas sejam visíveis ao olho 
nu. Isso implica que partículas menores (na ordem de nanômetros; colóides) não podem ser 
separados de maneira satisfatória, por este método. 
O caso geral é que o sólido tem uma densidade maior do que o líquido, daí observamos que o 
sólido se precipita e o líquido clareado fica sobrenadante. (O caso oposto, o sólido se 
acumular em cima do líquido, é conhecido como ―flotação‖, uma técnica bastante útil na 
mineração.) 
O princípio da sedimentação em operação contínua é mostrado na Fig. 49. A suspensão entra 
na bacia pelo lado esquerdo e a atravessa lentamente, com a velocidade de volume . A 
bacia ocupa a área F e tem a altura média h, contudo ela tem a capacidade de V = F 
.
 h. 
V
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 96 
Podemos afirmar que separação ocorre quando o tempo médio de demora  é maior ou igual 
ao tempo de sedimentação ts (= condição de clareamento): 
 
. 
 
Fig. 49. Esquema de uma bacia de clareamento 
Para o tempo de demora  e o tempo de sedimentação ts podemos escrever: 
 
 e (us = velocidade da sedimentação). 
 
Para a formulação explicita escolhemos a condição mínima de clareamento ( ) e 
obtemos: 
 
. 
 
Segue então para a velocidade de volume: 
 
. 
 
O cálculo do parâmetro operacional é possível via determinação da velocidade média da 
sedimentação. O fluxo não deve ser escolhido maior que o produto , se não o líquido 
que sai da bacia ainda fica turvo. 
Para calcular a velocidade de sedimentação presumem-se partículas redondas que descem 
independentemente, sem interagir e de forma laminar (Re < 0,5). Daí vale a lei de Stokes da 
sedimentação (o limite do processo de sedimentação é o estado de flutuação). Para ser 
aplicada nos diversos aparelhos esta lei deve ser formulada em números adimensionais e 
ainda adaptada por fatores de correção, para corresponder corretamente às condições reais. 
Ao se ter um movimento constante, a sedimentação pode ser descrita pelo seguinte equilíbrio 
das forças: 
 Força de fricção Kfr e 
st
V
V


s
s
u
h
t 
st
su
h
V
hF



suFV 

V
suF 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 97 
 Força gravitacional Kg, diminuída pela força da sustentação, Ka (onde entra a massa do 
líquido deslocado pela partícula): 
 
, 
 
onde Lei de Stokes 
 e . 
 
Segue: 
 
, 
 
onde d é o diâmetro e V é o volume da bolinha em sedimentação. Podemos escrever para o 
volume , daí: 
 
. 
 
Lembramos-nos dos números de Reynolds e de Arquimedes (ver também tabela de vista geral 
sobre os números adimensionais, na p. 300): 
 
 e . 
 
Uma álgebra simples deixa aparecer a última equação na forma: 
 
. 
 
Essa ainda requer de certas correções devido às insuficiências de nosso modelo simplificado: 
1. Não temos bolinhas, mas formas mais complexas e irregulares, nas partículas sólidas. 
2. Interações durante a sedimentação: uma aglomeração promove a sedimentação, 
enquanto altas concentrações do sólido a atrapalham (lodo = enxame de partículas!). 
3. Partículas maiores sedimentam muitas vezes fora da região laminar. 
 
agfr KKK 
sfr udK  3
  gVKK liqsag  
  gVud liqss  3
6
3d
V



  gdud liqss 

 


6
3
3

 liqs
s
ud 
Re
 
2
3

 gd
Ar
liqliqs 

18
Re
Ar
s 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 98 
À base de dados experimentais tenta-se então achar a relação empírica Re = f(Ar). A maioria 
dos ensaios de sedimentação pode ser descrita satisfatoriamente com a fórmula geral 
 
. 
 
Para a região tecnicamente interessante de 0,5 < Re < 500 acha-se: 
 
. 
 
Nesta,  é o fator de forma, isto é, o fator que reflete a geometria da partícula: 
 bolinha uniforme e lisa 1,0 
 partículas arredondadas 0,8 - 1,0 
 partículas com cantos agudos (areia, por exemplo) 0,7 
 pauzinho 0,4 - 0,6 
 
Para a determinação do fator de forma usa-se a relação do diâmetro médio do grão, dg. Para 
bolinhas uniformes e lisas vale ( = 1): 
 
, (ver também p. 86) 
 
e em toda analogia coloca-se para partículas deformadas: 
 
. 
 
Para o cálculo detalhado e o dimensionamento de estações desedimentação o engenheiro 
refere-se à ―carga‖ que é definida por: 
 
. 
 
Para us podemos escrever, usando as relações derivadas acima: 
 
n
s Arconst Re
7,0
6
Re Ars 

gs
g
S
d



6
 

gs
g
S
d
6
su
F
V
bacia da área
fluxo
carga 

A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 99 
. 
 
Podemos esperar boa separação quando a carga da bacia pode ser escolhida alta, isto é, as 
partículas estão descendo rapidamente. Olhamos, portanto, de quais fatores depende us, não 
esquecendo-nos de quais parâmetros se constitui o número de Arquimedes. As exigências ao 
bom funcionamento são então: 
1. Diferença em densidade (s – liq) mais alta possível 
2. Baixa viscosidade (talvez aquecer?) 
3. Alto tamanho do grão (= parâmetro mais importante). 
 
Em consequência, processos químicos devem ser conduzidos de tal maneira que resultem 
partículas maiores possíveis. Não só sob a vista da etapa da sedimentação, por sua vez o 
método mais barato de separar um sólido, mas também sob os aspectos da pureza do produto 
pode-se afirmar que um material particulado grosso é vantajoso. Quando tiver partículas 
muito finas a sedimentação não é mais economicamente viável. Neste caso pode se tentar 
promover uma aglomeração das partículas por adição de um agente de floculação e assim 
acelerar o descer dos aglomerados. Usam-se favoravelmente sais de múltiplas cargas 
(Al2(SO4)3, MgSO4, Fe(OH)3, etc.) que compensam as cargas nas superfícies das pequenas 
partículas - que muitas vezes são da ordem de grandeza de colóides. 
Lembramos da regra grosseira que uma separação por sedimentação tem sucesso quando as 
partículas podem ser enxergadas com o olho nu (dg  100 m). 
 
2.9.2 Centrifugação 
A sedimentação de partículas finíssimas é inaceitavelmente lenta, se for feita sob a influência 
do campo gravitacional natural. Abaixo de aproximadamente 1 µm de diâmetro a 
sedimentação fica completamente ausente, pois as velocidades do aleatório movimento 
térmico (= movimento Browneano) são maiores do que a velocidade direcionada da 
sedimentação. Um processamento bem mais rápido se consegue ao aplicar uma aceleração 
centrifugal por altas rotações. As leis e relações são exatamente as mesmas que derivamos no 
último capítulo para a sedimentação. Somente duas particularidades: 
1. Ao centrifugar uma suspensão que contém somente partículas muito finas, a 
velocidade do afundamento us geralmente fica na região laminar. 
2. Em vez da aceleração gravitacional g entra nas equações a aceleração centrifugal, 
 (com r = distância do eixo da centrífuga e 
dt
d
  = velocidade angular; 
unidade: graus por segundo). A força que age sobre uma massa centrifugada é então 
. 
 
7,0
6
Re Ar
dd
u
liqgliqg
s 









2r
2 rmamFc
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 100 
Introduzimos, conforme a convenção, o número de aceleração G, como relação entre a 
aceleração que um corpo movido percebe, em relação ao corpo não movido, apenas exposto 
ao campo gravitacional da terra 
22
: 
 
g
r
G
2
 . 
 
Com essa definição podemos indicar a eficiência de uma centrífuga, em unidades da 
gravitação terrestre. Para as centrífugas referidas na Tab. 12 se acham valores de G, entre 160 
e 50.000. As forças sobre a partícula são G vezes maiores do que no campo gravitacional: 
 
GgmF  
 
Para a transformação da velocidade angular , em rotações n´ (unidade: rotações por segundo 
= rps, ou simplesmente s
-1
), melhor ainda em rotações da unidade rpm (= rotações por minuto; 
n), deve-se colocar: 
 
 
3060
2
´2
nn
n





 
 
e para a força centrifugal se recebe: 
 
2
2
2 011,0
30
nrm
n
rmrmFc 




 


 , com n em rpm. 
 
A relação entre as rotações n em rpm e o fator de aceleração G é então: 
 
 
 
 
 . 
 
 
22
 Um piloto de caça ou astronauta, durante seu treinamento é submetido a acelerações de até 8 G. 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 101 
Tab. 12. Os modelos de centrífugas mais comuns e suas características 23 
Tipo de 
Centrífuga 
Diâmetro do 
tambor, dT 
em mm. 
Número de 
rotações, n 
em rpm. 
Número de 
aceleração G 
Partes de 
sólido, . 
carga 
máxima, . 
C. de transbordo 
e C. de 
descamamento 
tubular (Peeler). 
600 - 1200 500 - 1000 < 0,1 3 m³/h 
C. de câmara 6000 < 0,01 10 m³/h 
C. de tubos 
múltiplos 
30 - 150 10.000 - 
50.000 
12.000 - 
50.000 
< 0,01 4 m³/h 
C. de 
descamamento 
de invólucro 
fechado 
600 - 2500 300 - 1500 < 0,4 40 m³/h 
C. decantadora 
(descarregamento 
por rosca sem 
fim) 
300 - 1000 800 - 3000 0,1 - 0,3 20 t/h 
(só a torta) 
C. de pratos 
(Plate) 
200 - 600 4000 - 
10.000 
6000 - 
12.000 
0,01 - 0,1 25 m³/h 
C. de peneiras, 
penduradas ou 
em pé. 
1000 - 1500 600 - 1200 0,05 - 0,7 3 m³/h 
C. de peneira e 
descamamento 
800 - 2000 500 - 2000 0,3 - 0,4 35 t/h 
C. de peneira e 
caracol 
200 - 500 600 - 1800 0,2 - 0,7 5 - 50 t/h 
C. empurradora 
(Pusher) 
800 - 1500 500 - 2000 0,2 - 0,9 25 t/h 
C. de tambor < 800 600 160 - 200 8 - 12 t/h 
 
Tab. 13. Faixas de operação das centrífugas industriais com finalidade de separar 
material particulado. 
 
 
23
 Uma vista geral sobre os modelos de centrífugas industriais, suas vantagens e limitações, foi elaborada por: 
Eduardo Q.B. Lima, Centrifugação - Estudo da arte e aplicações de centrífugas na indústria; disponível em 
ftp://ftp.feq.ufu.br/Curso_Eng_Quimica/ (44 páginas; acesso em 09/2014) 
Também: Lair P. Carvalho (Prof. do DEQ-UFRN), Seleção de Centrífugas; disponível em 
http://www.ufrnet.br/~lair/Pagina-OPUNIT/equipamento.htm (acesso em 09/2014) 
V
ftp://ftp.feq.ufu.br/Curso_Eng_Quimica/
http://www.ufrnet.br/~lair/Pagina-OPUNIT/equipamento.htm
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 102 
Denominação Tamanho de 
partículas a separar 
[µm] 
Porcentagem de sólidos 
na alimentação 
[% V/V] 
Teor de secagem 
[% m/m dos sólidos] 
Cesto 10 a 10.000 10 a 60 85 a 95 
Pusher 100 a 50.000 20 a 50 85 a 95 
Peeler 10 a 10.000 10 a 50 85 a 95 
Disco 0,5 a 500 até 2% 10 a 80 
Decantadora 5 a 10.000 até 30 30 a 80 
Fonte: Jorge Takano 
O esquema da Fig. 50 mostra o lugar da mistura a ser separada, numa centrífuga, com tambor 
de arranjo vertical, por sua vez o modelo mais antigo das centrífugas. A mistura heterogênea, 
logo que entrar no tambor, espalha-se de maneira que a borda da massa fica vertical. No caso 
de suspensões a fase particulada geralmente tem densidade maior do que a fase contínua 
líquida, portanto as partículas migram para fora. 
 
Fig. 50. Esquema geral de uma centrífuga com cesto vertical: ri = raio interior e re = raio 
exterior do cilindro formado pela mistura heterogênea. 
Através de dispositivos apropriados (faca de escamamento; deslizamento contínuo para a 
saída, etc.) evita-se o acúmulo excessivo da torta, do lado de dentro do tambor. Mas na 
maioria dos casos é inevitável que a fase particulada se acumule na parede interna do tambor. 
Daí a operação deve ser interrompida para a limpeza do tambor (funcionamento descontínuo; 
também chamado de funcionamento em batelada). Em alguns modelos basta, por fim de 
descarregamento da torta, uma redução das rotações sem necessidade de parada total do 
tambor (funcionamento semi-contínuo). A centrífuga descamadora tem então o mesmo papel 
que um filtro (ver cap. 2.9.3), no entanto mostra duas vantagens: 
1. Redução drástica do tempo do processo de separação, o que permite a operação do 
equipamento com uma vazão elevada.2. Nos poros da torta sólida fica menos líquido retido. Apenas 3% do líquido clarificado, 
em comparação aos 7%, típicos numa filtração convencional, se perde nesta operação. 
Por outro lado, em casos de separar emulsões (mais raro), esta centrífuga pode ser operada em 
fluxo contínuo. Ainda há dois modelos diferentes: os com cesta perfurada e os com tambor de 
parede fechada. O líquido clareado sai, continuamente, ou pelos orifícios do tambor ou por 
baixo, respectivamente. Note que as centrífugas de cesto perfurado já pertencem, em partes, 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 103 
ao capítulo da filtração (ver cap. 2.9.3). Esta diferenciação se nota na Fig. 51, em forma das 
classes de centrífugas filtrantes e as sedimentadoras. 
 
Fig. 51. Classificação das centrífugas industriais (Fonte: E.Q.B. Lima, Centrifugação - Estudo da 
arte e Aplicações de centrífugas na Indústria. Monografia disponível em 
ftp://ftp.feq.ufu.br/Curso_Eng_Quimica/). 
 
Cálculo da carga máxima da centrífuga em operação contínua 
Durante o caminho de dentro para fora, as partículas sólidas são submetidas a uma força 
centrifugal cada vez maior. Na prática calcula-se o número de aceleração G (também 
chamado de "número de rotações" - menos correto), usando um valor médio da força 
centrífuga. Como raio pode-se usar, em primeira estimação, a média aritmética entre raio 
externo e interno: 
 
. 
 
Melhor, porém, será usar um valor experimental, para , verificado em muitos tipos 
de centrífugas, à base do raio externo, re: 
 
 
 
No esquema abaixo serão representadas as centrífugas mais utilizadas. Devido à sedimentação 
laminar das partículas vale para as centrífugas em geral e em toda analogia à sedimentação: 
 
GAr 
18
Re

 
 
 ei rrr 
2
1
ei rr  7,0
err  85,0
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 104 
Quando inserir os valores específicos para G e os números Re e Ar, chegamos à expressão 
para a velocidade terminal da queda de uma partícula, dentro do campo centrífuga: 
 
. 
 
Uma vez que , temos: 
 
. 
 
A integração entre os limites r = re em , e r = ri em : 
 
  i
e
fls
fim
r
r
d
t ln
18
22





. 
 
O tempo de residência, tfim, é igual ao volume da centrífuga,  22 ie rrLV  , dividido 
pela taxa de alimentação, . Substituindo na equação acima, obtemos uma expressão para a 
taxa máxima de alimentação: 
 
   
  22
2222
max
)/ln(18)/ln(18
ie
ie
fls
ie
fls
rrL
rr
d
V
rr
d
V 





 




 . 
 
O diâmetro d da partícula em movimento aparece nesta equação com seu quadrado, enquanto 
a diferença em densidade entre partícula e solvente somente entra na primeira potência. Sendo 
assim, concluímos que o tamanho da partícula é de suma importância para o sucesso da 
separação. Portanto, a meta do engenheiro químico sempre deve ser produzir partículas (= 
cristais) maiores que possível. Um resultado ruim, por outro extremo, se espera em dispersões 
coloidais, onde os diâmetros das partículas ficam tipicamente abaixo de 1 µm. 
 
 


18
22
flsdr
u


dt
dr
u 
  r
dr
d
dt
fls





22
18
0t fimtt 
V
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 105 
 
 
Fig. 52. Esboço das centrífugas industriais em operação contínua: 
Em cima: Empurradora (também chamada de centrífuga de tambor), com unidade de 
lavagem dos sólidos; 
À direita: Tubular: operação contínua em caso de separar emulsões. 
No meio: Descamadora (Peeler; aplicações na indústria de alimentos e bebidas): o 
sólido é depositado no tambor e a partir de certa espessura descamada/descarregada 
por uma faca fixa. 
Em baixo: Centrífuga de pratos (também chamada de centrífuga de discos; modelo 
mais utilizado): grande área de separação devido ao empilhamento de 15 a 25 pratos 
cônicos; serve para emulsões como leite ou petróleo cru. Também separa até 2% V/V 
de sólidos, enquanto a fase mais pesada migra para baixo e a mais leve para cima em 
cada prato. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 106 
 
 
 
Fig. 53. Outras centrífugas industriais de alto desempenho que podem ser operadas em 
fluxo contínuo: 
a) Conturbex: transporte do sólido no tambor convexo. 
b) Conthick: geometria do tambor favorece longos tempos de permanência. 
c) Centrífuga Pusher (ou Empurradora; a peça em azul se desloca periodicamente 
para tras e para frente) 
d) Decantadora: transporte do sólido por uma rosca sem fim. O operador deste 
processo tem mais uma variável, já que a velocidade da rosca é independente da 
velocidade do tambor. 
e) Vibratória: Tambor exerce vibrações horizontais rápidas. 
f) Turbo Screen (avançada). 
 (Fonte: http://www.aprotech.se/en/products/separation-3589349) 
 
Ciclones 
Parecido ao das centrífugas é o funcionamento do ciclone, aparelho igualmente usado para 
separar misturas heterogêneas. No entanto, notamos as seguintes particularidades: 
 Nas misturas separáveis por ciclone a fase contínua geralmente é um gás, enquanto 
nas centrífugas apresentadas acima é um líquido. Exceção: ―hidrociclone‖. 
a b 
d c 
e f 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 107 
 Ciclones não têm peças móveis, portanto se desgastam pouco. Por outro lado, a parede 
interna sofre desgaste por atrito com a fase particulada – especialmente quando o gás 
empoeirado contém ainda partículas maiores – um problema que se dá frequentemente 
na mineração. Mas em geral, a construção simples acarreta custos de manutenção 
baixos. 
 
 
Fig. 54. Ciclone para gases com carga. 
 
Os campos principais dos ciclones são a recuperação de material arrastado, a limpeza de gases 
de escapamento e de vapores de processo. Sendo assim, este equipamento é imprescindível na 
indústria cimenteira, em coquerias e em processos da mineração (calcinação de minério), nos 
grandes moinhos de farinha, para assegurar segurança (partículas orgânicas suspensas no ar 
representam uma mistura explosiva!) - em geral, para liberar gases de escapamento da 
fumaça/poeira particulada. 
O funcionamento do ciclone é em analogia ao da centrífuga: o gás carregado com o pó entra 
no equipamento através da abertura lateral, na parte superior. Assim é submetido a um 
movimento circular que acelera as partículas em direção à parede, já que sua densidade é 
cerca de 1000 vezes superior à do gás. Uma vez em contato com a parede o material 
particulado é desacelerado e em seguida desliza para baixo, devido à gravitação. Já que o 
equipamento é convergente para baixo, as partículas estão submetidas a uma aceleração 
centrifugal cada vez menor, o que facilita o deslizamento para baixo. Finalmente chegam a 
uma abertura pequena na extremidade inferior do ciclone por onde estão descarregadas. O 
grande volume do gás purificado, por outro lado, não passa por este orifício, em vez disso 
procura a saída por cima, onde na parte central se encontra um cano cujo diâmetro é quase 
idêntico com o da entrada. 
Para separar partículas maiores que 200 µm se usa favoravelmente câmaras gravitacionais, 
pois estes se sedimentam em velocidade suficientemente alta. Em caso de partículas menores 
o ciclone se torna mais econômico. Seu limite inferior fica com partículas de 10 µm. Um 
ciclone típico é mostrado na Fig. 54, com diâmetro de 3 a 6 vezes do duto de entrada, para 
correntes de gases de até 50 MPa. 
Como sua eficiência é limitada a 80 - 90%, um grau de pureza elevado pode ser alcançado 
somente ao conduzir o gás carregado através de uma cascata de ciclones (Fig. 55). 
 
A. IsenmannOperações Unitárias na Indústria Química 
 108 
 
Fig. 55. Forno rotatório da fábrica de cimento, equipado com cascata de ciclones. 
 
2.9.3 Filtração 
Um procedimento simples de separar uma mistura de sólidos e líquidos é a filtração, aplicada 
em muitas etapas das linhas produtivas da indústria química. Os produtos são o filtrado 
(líquido límpido) e a torta de filtragem (também ―bolo de filtragem‖; sólido contendo pouco 
líquido). O dispositivo utilizado, conforme Fig. 56, é o meio de filtragem que retém a torta. 
No decorrer da filtração a própria torta funciona como meio de filtragem, de maneira que o 
dispositivo somente serve como suporte desta torta, mas não mais exerce o papel de retenção 
das partículas sólidas. 
Geralmente, a separação é insuficiente ao início do processo. Portanto, os primeiros volumes 
de suspensão são reenviados ao filtro, desta vez por cima da recém torta de filtragem. A 
espessura da torta está aumentando e seu efeito de filtro, mas também sua resistência ao fluxo 
estão aumentando continuamente. Este último fato faz necessário, a partir de certo momento, 
uma etapa de diminuição, na maioria das vezes uma remoção total da torta. Ao decorrer do 
processo a torta aumenta em espessura e diminui em espaço intersticial. Isso faz com que a 
resistência ao fluxo aumente rapidamente. Quando a velocidade ̇ se torna inaceitavelmente 
pequena o processo da filtragem é interrupto e a torta descarregada. Sendo assim, podemos 
afirmar que toda filtração é um processo descontínuo. 
 
 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 109 
Fig. 56. Princípio do processo da filtração 
 
2.9.4 Princípios da filtração 
O tratamento teórico da filtração é especialmente complicado - embora o líquido passe pela 
torta como se fosse um leito fixo (cap. 2.8). Em geral, o escoamento do líquido é laminar, daí 
deveríamos, teoricamente, aplicar as relações da p. 87, para calcular o número de fricção 
(Re) e a velocidade de escoamento no tubo vazio (diâmetro: u0): 
 
 e . (Kozeny) 
 
Só que na filtração mudam as condições ao longo do processo: 
1. A altura da torta de filtragem aumenta continuamente. 
2. A estrutura da torta e então o volume intersticial  mudam aos poucos, pois as 
partículas menores ficam garradas nos poros maiores que foram formados na torta no 
início da filtração. 
3. A perda em pressão p aumenta, daí a vazão não ficará constante, ao longo do 
processo. 
4. Ao aumentar a pressão da filtragem (isto é necessário, com tempos prorrogados da 
filtragem), a torta é comprimida, daí a sua permeabilidade diminui. 
 
A experiência mostrou que os pontos desta lista podem ser bem diferentes, de caso em caso. 
Portanto, é necessário basear-se em fatos empíricos - enquanto uma derivação ab início é 
pouco prática (ver também o dito no fluxo turbulento, p. 32). Para este fim, visando afinal o 
dimensionamento do filtro (isto é, o cálculo da área útil F do meio de filtragem), servem as 
"equações de filtro". São equações úteis cujas dependências fundamentais são confirmadas 
pela teoria. 
Começamos com uma equação da seguinte estrutura: 
 
. 
 
Nesta, F é a área útil do meio de filtragem, Vliq o volume do filtrado que já passou pelo filtro, 
R a resistência da torta de filtragem inclusive à resistência do meio de filtragem (que pode ser 
desconsiderada, em caso geral) e p a diferença em pressão que ocasiona a passagem do 
líquido pelo meio de filtragem. 
Afirmamos que a velocidade do tubo vazio u0, ou seja, a quantidade de líquido Vliq que passa 
pelo filtro, é diretamente proporcional à diferença em pressão p e inversamente proporcional 
à resistência da torta R. 
Para a espessura da torta, L, e a resistência proporcionada por ela, R, valem as seguintes 
relações: 
 
Re
3001
(Re)
3
2






  L
pd
u
g 





2
2
3
0
1150
1
V
R
p
dt
dV
F
u
liq 

1
0
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 110 
 
. 
 
Além disso, esperam-se as seguintes dependências em R: 
 
 (pressupondo passagem laminar do líquido pela torta), 
 
. 
 
Km é a carga do filtro que é definida como: 
 
. 
 
Vs = partes volumais do sólido dentro da suspensão, ms = massa do sólido, s = densidade do 
sólido. As grandezas com índice liq se referem à fase líquida da suspensão (a ser medida, de 
maneira mais fácil, no filtrado). 
Resumindo todos os fatores, recebemos para a resistência da torta: 
 
. 
 
Nesta,  é a resistência específica da torta (unidade: m-2) que deve ser determinada no 
experimento de caso em caso. Inserimos essa expressão na equação básica dada acima, 
obtemos a "equação da filtração": 
 
. 
Com o truque matemático, obtemos: 
 
. 
 
F
V
F
V
LR
liqs ~~~
~R
mKR ~
liqliq
ss
liq
s
m
m
m
V
V
K



F
V
KR
liq
m  
m
liqliq
K
p
F
V
dt
d
F
V












)(
2
1 2y
dt
d
dt
dy
y 
m
liq
K
p
F
V
dt
d











2
2
1
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 111 
Oferecem-se dois princípios de medir , tanto na escala de bancada, de laboratório técnico, 
como em escala grande (situações limites): 
1. Filtração sob perda de pressão constante, então a vazão diminui ao longo do processo. 
2. Filtração sob vazão constante, então a perda em pressão aumenta ao longo do 
processo. 
Na prática geralmente escolhe-se o caminho do meio. Mas vamos estudar esses dois casos 
marginais, para entendermos melhor as dependências. 
 
a) Filtração com p = constante. 
Para p = const. (por exemplo, numa filtração a vácuo) a integração da equação de filtração 
fornece: 
 
. 
 
Da representação gráfica, onde colocamos o termo esquerdo na ordenada e o tempo t na 
abscissa, resulta uma reta cuja inclinação contém a constante , a resistência específica da 
torta de filtragem (ver Fig. 57). Km e p geralmente são dados pela fábrica, enquanto  é 
facilmente acessível por medição no viscosímetro. 
 
 
Fig. 57. Determinação gráfica da resistência específica da torta de filtragem (p = 
const.). 
A Fig. 58 mostra a dependência da vazão e do volume do filtrado Vliq, do tempo. A vazão 
diminui, ou seja, é proporcional a , enquanto o volume do filtrado aumenta cada vez 
mais lento, ou seja, é proporcional a . Em filtrações industriais se encerra o processo 
quando se torna muito pequeno, para limpar ou trocar o meio de filtragem. 
 
t
K
p
F
V
m
liq












2
2
V
t1
t
V
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 112 
 
Fig. 58. Desenvolvimento da vazão e do volume do filtrado, ao longo do processo de 
filtragem sob pressão constante. 
 
b) Filtração sob vazão constante ( = const.) 
Com podemos escrever a equação da filtração na forma: 
 
. 
 
Como e F são constantes, podemos excluí-las da diferencial: 
 
; 
 
segue: 
 
. 
 
Obtemos para a perda em pressão uma dependência linear do tempo de filtração: 
 
 . 
 
V
tVVliq 

mK
p
F
tV
dt
d







 

2
2
1 
V
mK
p
t
dt
d
F
V









2
2
2
1 
mK
p
t
F
V









2
t
F
V
Kp m 






2

A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 113 
Mas, como Fig. 59 mostra claramente, essa relação linear não vale mais para tempos 
prorrogados de filtração. Em determinado momento a diferença em pressão chega a um valor 
tão grande que provoca uma compressão demasiada da torta de filtragem. A partir deste 
momento (começo da linha pontilhada) a perda em pressão aumenta mais do que 
proporcional. Para evitar danosno equipamento deve-se encerrar o processo neste ponto. 
 
 
Fig. 59. Perda em pressão em dependência do tempo de filtração sob vazão constante. 
 
Na prática se trabalha entre os dois casos extremos, como já dito. 
Temos que olhar nas devidas relações . Enquanto a relação é conhecida para 
p = const., ela tem que ser determinada ainda para a vazão = const., usando a equação 
dada logo acima, ampliando-a pelo tempo t e inserindo : 
 
. 
 
Segue: 
 
 (para = const.). 
 
Comparamos este resultado com o que achamos na p. 111: 
 
 (para = const.). 
 
A filtração sob pressão constante é evidentemente mais favorável pelo fator 2. Portanto, na 
prática se começa o processo, aumentando a pressão aos poucos até o filtrado sair límpido. 
  )(2 tfFVliq 
V
liqVtV 

tF
V
K
tF
tV
Kp
liq
mm
11
22













 
 

t
K
p
F
V
m
liq












2
V
t
K
p
F
V
m
liq












2
2
p
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 114 
Após a formação de uma camada suficientemente grossa se continua o processo sob pressão 
constante, formando a torta de filtragem final. 
 
 
Fig. 60. Vazão e perda em pressão durante a filtração técnica. 
 
Aspectos práticos da filtração 
Na filtração técnica se diferenciam dois objetivos: em um dos processos se aproveita do 
filtrado e a torta é o rejeito. Exemplo deste seja a remoção de resíduos sólidos, numa reação 
bifásica sólido/líquido. 
Por exemplo, temos como objetivo a produção de sais de ácidos carboxílicos solúveis 
(acetatos, propionato, butirato, mas não oxalato ou sabões, por serem insolúveis), a partir dos 
ácidos livres e o óxido do metal (geralmente CaO ou MgO), conforme: 
 
MO + 2 R-COOH M(RCOO)2 + H2O. 
 
Neste caso, temos que remover restos de óxido MO - que certamente foi usado em excesso 
nesta síntese. É retido na torta de filtragem e conduzido de volta, ao reator. 
O outro objetivo da filtração é o isolamento da torta que contém o produto com valor, 
enquanto o filtrado é rejeitado. Exemplos são processos onde o produto se obtém por 
cristalização ou por precipitação. Nestes casos temos que separar a mistura reacional, ainda 
líquida, do nosso produto sólido. Muitas vezes se aproveita da posição da torta dentro do meio 
de filtragem, para ainda lavar e/ou secar o produto cristalino. 
A princípio, a filtração é um processo descontínuo, pois a torta tem que ser removida 
periodicamente do pano (= meio de filtragem, na Fig. 56). Em muitas linhas de produção se 
revesa, portanto, o filtro com um segundo equipamento idêntico a ele, para não interromper o 
fluxo da suspensão enquanto a torta está sendo removida do primeiro filtro. Mas também 
foram desenvolvidos processos de filtragem quase contínuos, entre outros: filtros de velas de 
pressão (Fig. 61), filtro de câmara e de moldura (Fig. 62) ou o filtro de tambor celular (Fig. 
63). 
 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 115 
 
Fig. 61. Filtro de velas de pressão. 
1 = Suspensão ou solvente de lavagem da torta que se encontra em cima da vela. 
2 = Fundo removível contendo canais de distribuição. 
3 = Velas montadas num console intermediário. 
4 = Saída do filtrado, ao mesmo tempo entrada de ar pressurizado para a descarga 
das tortas. 
5 = Conexão de vapor, para o tratamento das tortas prontas em cima das velas. 
 
 
Fig. 62. Filtros de câmara (esquerda) e de molduras pressurizadas (direita). 
 1: moldura; 2: chapa; 3: pano de malha fina; 4: admissão da suspensão; 5: saída do 
filtrado. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 116 
 
Fig. 63. Filtro de tambor celular (Filtro Oliver). 
1 = pano de filtragem com a torta; 2 = células de sucção; 3 = ducha de lavagem; as 
seguintes conexões são fixas: 4 = conexão ao vácuo; 5 = conexão ao ar pressurizado; 
6 = saída da água de lavagem. 
 
 
3 Números adimensionais, semelhança 
geométrica e os critérios do scale-up 
 
3.1 Objetivo dos cálculos e balanços em processos industriais 
No capítulo anterior encontramos em vários lugares com os números adimensionais (aqui 
abreviados como Na) que caracterizam um sistema operacional que consiste de um 
dispositivo, os parâmetros escolhidos pelo operador e o material a ser transformado: 
 
 Número de Reynolds. 
24
 
 
. Número de Euler. 
 
24
 inclusive o número de fricção, (Re), um valor empírico derivado do valor teórico de Re. 

 ud 
Re
2
2
1
u
p
Eu




A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 117 
 
 Número de Arquimedes. 
 
Neste livro vão aparecer ainda outros Na que são relacionados ao fluxo de calor, tais com os 
números de Schmidt (Sc), Sherwood (Sh), Nusselt (Nu) e Grashof (Gr) (ver Tab. 22, na p. 
195). Vamos questionar por que estes números adimensionais acham uma aplicação tão 
extensa na química técnica. 
Respondendo essa pergunta, temos que reconhecer que a base da descrição de acontecimentos 
naturais (ciências exatas) e tecnológicas (engenharias) são as leis. Estas leis podem ser dadas 
em forma de: 
 Equações algébricas (por exemplo: ); 
 Equações diferenciais (por exemplo: segunda lei de Fick, para a descrição do fluxo 
durante o nivelamento de pressões desiguais); 
 Matrizes (muito usadas na física quântica) ou então 
 Valores numéricos (arquivos de tabelas). Aqui entram os valores dos números 
adimensionais. 
 
A base das ciências de engenharia, mais especificamente, são as equações de balanço que 
servem para descrever os fenômenos de transporte. Nestes, podemos classificar: 
 Balanços da matéria, 
 Balanços de momentos e forças, 
 Balanços de energia, 
 Balanços de calor. 
 
São geralmente equações diferenciais que muitas vezes são bastante complexas e, além disso, 
acopladas entre si. Um exemplo repugnante nós vimos na p. 32, com as equações de Navier-
Stokes. Soluções discretas se obtêm muitas vezes somente com uma série de condições 
marginais e/ou situações especiais. Portanto, o engenheiro sempre tenta chegar a equações 
algébricas comuns que valem em geral e cujo tratamento matemático é muito mais simples. 
Um exemplo para estas seja a lei de Hagen-Poisseulle: 
 
. 
 
No gráfico, onde a velocidade do fluido u é representada como função da diferença em 
pressão p, acha-se uma reta - mas somente para perdas em pressão pequenas. O limite desta 
relação linear é a região do fluxo laminar, isto é, podemos afirmar que esta lei somente vale 
para fluxos laminares. Já para a região turbulenta não é mais possível achar uma solução 
rigorosa para u - uma integração numérica falha. 
 
2
3
2
3



 gdgd
Ar
gflflsg 



TRnVp 
L
pd
u



32
2
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 118 
Uma descrição correta do fluxo turbulento seria possível à base de valores experimentais e 
sua extrapolação. Porém, neste caminho temos que lidar com a severa restrição que os valores 
obtidos somente valem para um determinado tubo (comprimento L, diâmetro d, asperidade k) 
e somente para um determinado fluido (densidade , viscosidade ). Para cada tubo, cada 
peça e cada fluido deveriam ser medidos novamente - certamente uma aproximação bastante 
desgastante e pouco econômica. 
Portanto, queremos questionar se não fosse possível obter leis de caráter universal, a partir de 
medições e valores experimentais. Leis com as quais o engenheiro pode calcular e 
dimensionar novosequipamentos e/ou fluidos a serem transportados. Estratégias promissoras 
são a teoria do modelo e a análise dimensional que nós levam, finalmente, aos números 
adimensionais. 
 
3.2 Teoria do modelo e semelhança física 
A teoria do modelo tem um papel importante em todas as engenharias. É ela que permite o 
estudo e a simulação de um processo industrial, em pequena escala (= modelo; em seguida 
abreviado de M), para que os resultados possam ser transferidos posteriormente ao 
equipamento real, de tamanho grande (em seguida: índice G). Com estes modelos 
economizamos em tempo, matéria-prima e aparelhos de medição - afinal poupamos muito 
dinheiro porque todo projeto ficaria bem mais caro se as tentativas e otimizações fossem 
feitas diretamente no equipamento grande. O risco de mau funcionamento, prejuizos 
financeiros e tempo perdido, são muito grandes se o processo não seria estudado primeiro em 
pequena escala. 
Exemplos especialmente expressivos são as indústrias, automobilística e aeroespacial, onde os 
primeiros estudos de novos veículos são feitos em pequenos modelos, a serem testados no 
canal de vento. A indústria naval e náutica também aproveita, pensamos em modelos 
estudados antes a construção de um novo dique, na simulação de tsunamis, novos barcos de 
transporte, cruzeiros etc. Temos também exemplos da técnica de reações, onde podemos 
estudar a mistura e homogeneização de sistemas de alta viscosidade, o efeito de diferentes 
agitadores, simulação de vórtices numa batelada, do transporte em tubulações, etc. 
A teoria do modelo deve atender em primeiro lugar à questão: quais são os critérios para que 
dois acontecimentos, mais especificamente, modelo e equipamento grande, sejam 
equivalentes? Temos que ter noção de quanto confiável é a transferência dos conhecimentos, 
obtidos no modelo, ao equipamento grande (= "problema do scale-up"). Este problema é 
estudado há muito tempo e leva ao critério principal da Semelhança física. 
 
 
Condição fundamental para a semelhança física é que os acontecimentos no modelo e no 
equipamento grande abrem o mesmo campo de variáveis independentes. Nosso exemplo seja 
o fluxo turbulento, estabelecido em um tubo pequeno e um tubo grande. Aqui o campo de 
variáveis é: a direção e o tamanho dos vetores da correnteza; podemos incluir também a 
Modelo (M) Equipamento real 
(G, de grande) 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 119 
distribuição das pressões. O seguinte esboço esclarece essa situação, muitas vezes referida 
como ―semelhança cinemática‖: 
 
Fig. 64. Distribuição dos vetores que descrevem as correntezas, num tubo modelo e no 
tubo real. Os redemoinhos foram transcritos 1 : 1, conforme exigido pelo princípio da 
semelhança. 
Matematicamente, a semelhança física exige que o equipamento real deve ser descrito 
corretamente, aplicando transformações lineares no modelo. Temos que levar em 
consideração que nem todas as variáveis podem ser ampliadas de maneira uniforme. Com 
grandezas geométricas isto é possível; já com propriedades do material (viscosidade, 
tenacidade, densidade,...) não é possível. Portanto, cada procedimento de scale-up é acoplado 
a certas condições que limitam sua aplicação. 
Semelhança física é dada quando: 
a) As dimensões geométricas são semelhantes (= congruentes). 
b) As diferentes forças que pegam em pontos equivalentes de modelo e versão grande 
tenham uma relação fixa (semelhança dinâmica). 
c) Os números adimensionais à base das grandezas relevantes no processo (incluindo as 
grandezas de operação e as grandezas do material) são iguais. 
Estas são as exigências que resultam da condição da transformação equivalente. 
 
a) Semelhança geométrica 
Modelo e equipamento real são geometricamente semelhantes quando as dimensões e 
aspectos têm a mesma relação. Em tubos estas são, em primeira linha, comprimento e 
diâmetro. A relação entre duas dimensões é adimensional. Ela é chamada de "número 
geométrico", Ge, para diferenciá-lo dos números adimensionais, Na, discutidos a seguir. 
 
Exemplos para números geométricos: 
, (com d = comprimento característico) 
 
Mas vamos soltar-nos um pouco do exemplo de fluxo em tubos, e perguntamos: O que é o 
―comprimento característico‖? 
Um comprimento característico L serve para caracterizar a extensão de um dispositivo (de 
geometria geralmente tridimensional) e tem a dimensão de metro. Os comprimentos 
característicos se aplicam, principalmente, na formulação de diversos números adimensionais, 
especialmente na mecânica de fluidos, como no número de Reynolds ou no número de Nusselt 
(p. 143). 
d
L
Ge 1
d
asperidade
Ge 2
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 120 
Em outras palavras: Na teoria da semelhança geométrica, onde trata problemas de ampliação 
ou redução, a especificação de um comprimento característico é suficiente para descrever as 
dimensões do sistema considerado – que é geralmente um corpo. A definição do comprimento 
característico, no entanto, pode variar de acordo com a geometria em particular do problema 
considerado. 
Exemplos de definição do comprimento característico, dependendo do problema estudado: 
 Para o fluxo dentro de um tubo se oferece o diâmetro interno do tubo; 
 Para o fluxo em volta de um fio ou haste se adequa o diâmetro externo; 
 Para as asas de aviões o comprimento (profundidade) do perfil. 
 Para o modelo da batelada perfeitamente agitada, especialmente no estudo da 
transferência de calor, o comprimento característico pode ser definido como relação 
(volume/superfície). 
No exemplo do fluxo em tubos, L será o comprimento do tubo e d o diâmetro. Nos números 
geométricos pode ser trapaceado um pouco. Quer dizer, atribuímos semelhança geométrica 
onde ela não está dada. Um exemplo são leitos, onde sabemos que as partículas reais não são 
bolinhas redondas. Porém, nestes casos onde não se tem semelhança no sentido rigoroso, 
observamos mesmo assim boa concordância entre modelo e equipamento real, confirmada por 
testes e a larga experiência neste setor. 
Além da semelhança geométrica, os ângulos construtivos devem ser iguais em modelo e 
versão grande. 
 
b) Semelhança dinâmica 
Aqui olhamos na equivalência das forças. Isso não se refere aos valores absolutos destas 
forças, mas às relações entre as forças, tipicamente observadas em diferentes locais do 
equipamento. Essas forças podem ser de diferentes naturezas: 
 Forças devido às diferenças em pressão, 
 Forças resultantes da ação da viscosidade, 
 Forças devido à tensão superficial, 
 Forças elásticas, 
 Forças de inércia, 
 Forças devido à gravitação. 
 
c) Números adimensionais. 
Sob números adimensionais, Na, entendemos a combinação (multiplicação e divisão) de 
grandezas do equipamento, grandezas de operação e grandezas do material, enquanto todas as 
dimensões se cortam. Resulta assim um número puro. 
 Grandezas do equipamento (ver acima); 
 Grandezas de operação: p, T, ci, , .... e uma grandeza geométrica (por exemplo, o 
comprimento L); 
 Grandezas dos materiais:  .... e constantes da natureza (por exemplo, aceleração 
terrestre g, número de Avogadro Na, constante de Planck h, etc.). 
 
u
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 121 
A questão é: quais destes são os números adimensionais "certos", ou seja, úteis? Quais são as 
melhores combinações que permitem uma avaliação da similaridade hidrodinâmica, térmica, 
reacional, etc? E como podemos obtê-los? 
Existem diversos métodos de desenvolver números adimensionais. Aqui seja apresentado o 
método mais simples de todos - a análise dimensional. 
 
3.3 Análise dimensional - método de elaborar números 
adimensionais 
A análise dimensional é um procedimento como sechega, sem erros, a um número 
adimensional. Já deixamos claro: existem inúmeros Na – quais deles estão realmente em uso, 
isto é sujeito de acordo internacional. Além disso, a análise dimensional fornece uma resposta 
à pergunta de quantos Na são precisos para descrever um sistema. 
A base desta análise é o fato que todas as importantes grandezas físicas são uma combinação 
de um valor numérico com uma dimensão. 
Exemplo: a velocidade de um carro (= grandeza) é de 50 (=valor numérico) Km
.
h
-1
 
(=dimensão). 
a) Quantidade de números adimensionais necessários para descrever um acontecimento 
Em primeiro lugar, pressupomos semelhança geométrica (= congruência). Com essa condição 
já temos fixas as relações entre as dimensões dos corpos. Os números geométricos estão 
definidos. No fluxo hidrodinâmico, isso são geralmente os aspectos do tubo: 
, . 
 
Esses números, por definição, não são contados juntos aos números adimensionais. 
No início desta apostila, na Tab. 2, são listadas todas as grandezas básicas do sistema 
internacional (SI), junto às suas dimensões. Com essas unidades básicas podemos derivar 
todas as demais unidades compostas. 
 
Exemplos: 
Pressão p Pa = kg m
-1
 s
-2
 
Potência N W = kg m
2
 s
-3
 
Velocidade u m s
-1
 
Densidade  kg m
-3
 
 
A análise dimensional leva ao resultado, conhecido como teorema de Buckingham: 
 
 Teorema  de Buckingham. 
 
Nesta são: 
d
L
Ge 1
d
k
Ge 2
esan ZZZZ 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 122 
Zn = Número de Na (entende-se o número mínimo; sem contar Ge1 e Ge2). 
Za = Número de valores que especificam o equipamento e números do funcionamento. 
Zs = Número de valores específicos da matéria e constantes da natureza. 
Ze = Número de unidades básicas do SI. 
 
Este teorema 
25
 fala que o número mínimo de números adimensionais resulta da soma de 
grandezas de equipamento/operação e grandezas de material/constantes da natureza, 
diminuída pelo número de unidades básicas que foram usadas. 
 
Em nosso exemplo do fluxo no tubo, estas são: 
Grandezas de equipamento/operação u, d, p Za = 3 
Grandezas da matéria/constantes da natureza , , g Zs = 3 
Unidades básicas m, kg, s Ze = 3 
Dai resulta: 
Número mínimo de Na: . 
 
Para descrever adequadamente o acontecimento no fluxo tubular precisamos então de três 
números adimensionais. Todos estes já conhecemos: Eu, Re, Ar. 
 
b) Desenvolvimento dos números adimensionais. 
Segue um procedimento que não é o único acesso aos números adimensionais, mas o mais 
simples e mais conhecido. 
Construam-se algumas unidades básicas, a partir das grandezas de aparelho, operação e da 
matéria. Estes achados inserem-se nas grandezas compostas que não foram utilizadas ainda. 
Os quocientes destas representam os números adimensionais. 
Para mais clareza vamos aplicar este princípio ao estudo do fluxo. 
É bastante útil listar todas as grandezas de aparelho/operação/matéria, junto às unidades SI, 
em uma tabela, conforme feito a seguir: 
 
Grandeza Unidade 
Pressão p kg m
-1
 s
-2
 = Pa 
Viscosidade  kg m
-1
 s
-1
 = Pa s 
Aceleração gravitacional g m s
-2
 
Velocidade u m s
-1
 
 
25
 Um teorema é uma afirmação que tem validade universal – mesmo sem ser rigorosamente comprovada. Um 
exemplo: não existe temperatura abaixo de 0 K. 
3333 nZ
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 123 
Comprimento d m 
Densidade  kg m
-3
 
 
As unidades básicas, aqui são Kg para a massa, m para o comprimento e s para o tempo, 
resultam quando combinarmos duas destas grandezas (de maneira qualquer - multiplicação ou 
divisão): 
 
kg = [ d³] m = [d] s = [d/u] 26 
 
Inserir estas nas demais grandezas fornece: 
 
Pressão [p] . 
Daí resulta o primeiro Número adimensional, . Este, como já sabemos, levará 
ao Número de Euler. 
 
Viscosidade [] . 
 
Número adimensional Na2  levará ao Número de Reynolds 
 
Aceleração gravitacional [g] . 
 
Número adimensional Na3  é o Número de Froude. 
Além destes podemos formular (somente para dar exemplos; estes números realmente não 
têm importância prática): 
 
 ....... 
 
26
 Para o tempo serve também a combinação: s = [/p]. 
 
  
 2
2
3
2
u
udd
d
sm
kg




 

21 u
p
Na



 
  
 ud
udd
d
sm
kg




 
 3
ud 



 
 
 du
ud
d
s
m 2
22

gd
u


2



g
pu
Na4





6
32
5
udp
g
Na
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 124 
 
Os números adimensionais requerem ainda da nossa definição, pois não existe uma única 
maneira de formulá-los. Os Na acima poderiam também ser escritas pelas expressões 
recíprocas. Afinal, eles são sujeitos à convenção internacional. Além disso, a análise 
dimensional não diferencia entre uma grandeza (p) ou uma diferença desta grandeza (p). 
Sendo assim, pode entrar nas fórmulas acima a pressão p ou a queda em pressão p. 
Realmente, os números adimensionais convencionais se dão das expressões acima, da 
seguinte maneira: 
. Número de Euler. 
 Número de Reynolds. 
24
 
 Número de Froude. 
É lógico que cada produto a partir destes números leva a um novo número adimensional. 
Muitos números são definidos por este caminho, por exemplo, o já conhecido número de 
Arquimedes: 
 
 
 Número de Arquimedes 
 
Desta maneira obtemos dois jogos de números adimensionais. Qual destes deve ser aplicado, 
isso depende da problemática a ser resolvida: 
1
o
 Jogo: Eu, Re, Ar Úteis em tarefas acerca de sedimentação em sistemas heterogêneos 
(leitos, gaseificação, catalisadores heterogêneos, filtração, etc.). 
2
o
 Jogo: Eu, Re, Fr Úteis em tarefas no campo gravitacional em sistemas homogêneos 
(bombas, transporte em tubulações, agitação de bateladas, etc.). 
 
4 Fluxo de calor 
 
4.1 Importância técnica 
As tecnologias de aquecimento e resfriamento e o transporte de calor que resulta destas 
operações, são etapas fundamentais em todos os processos da indústria química. Notamos que 
as técnicas utilizadas em grande escala são bastante diferentes daquelas que aplicamos no 
laboratório, onde hoje a maioria dos aquecimentos é via resistências elétricas e o resfriamento 
por água corrente. 
1
2
2
2
1
Na
u
p
Eu 




2
1
Re
Na
ud





3
2
Na
gd
u
Fr 


2
23
22
2222Re



 gd
u
gdud
Fr
Ar




2
3
liq
liqg gd
Ar

 

A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 125 
Na prática industrial podemos classificar estes processos em dois princípios: 
resfriamento/aquecimento direto ou indireto. 
 
a) Resfriamento/aquecimento direto 
Como exemplos deste princípio podemos mencionar: 
1. Introdução de vapor, através de um tubo perfurado. 
 Secagem direta de um produto sólido, através de ar aquecido – que pode ser em leito 
fluidizado (ver Fig. 48 na p. 94). 
2. Acrescentar gelo diretamente à mistura reacional. 
Resfriamento de uma mistura por ebulição. 
Resfriamento na retificação, pelo líquido retornando. 
Todavia, podemos constatar que as aplicações de esfriamento/aquecimento direto são 
relativamente raras. 
 
b) Resfriamento/aquecimento indireto 
Nesta categoria a transferência do calor ocorre através de uma parede (= superfície trocadora 
de calor): 
 
Este tipo de transferência de calor é aplicado em diversas formas, na indústria química. Os 
exemplos mais importantes são: 
A. Isenmann Operações Unitárias naIndústria Química 
 126 
 
 3) Aquecimento com gás combustível através de bicos: 
 
 
Os meios preferidos para aquecimento/resfriamento na indústria são vapor, mas também água 
(em circuitos fechados ou semi-abertos) e sóis de refrigeração. Devido aos custos elevados o 
aquecimento elétrico se aplica somente em situações especiais. 
Abaixo de 100 °C aplica-se quase exclusivamente água para transferir o calor (água quente ou 
água fria). A temperaturas entre 100 e 250 °C aplica-se vapor d´água. Neste contexto deve-se 
lembrar do investimento adicional de calor para evaporar a água líquida (= "calor latente") 
que conta com , ou seja, 
. 
Esse valor deve ser ainda ligeiramente corrigido, respeitando as dependências térmicas da 
capacidade calorífica (Lei de Kirchhoff), daí se assume um valor de 2260 kJ, para evaporar 
um Kg de água. 
Ainda deve-se respeitar a relação entre a temperatura do vapor e a pressão criada numa 
tubulação fechada: 
140  molkJ HV
1
1
1 2222
18
1000
40 

 

 kgkJ
molg
molkJHV
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 127 
Tab. 14. Pressão de vapor da água, em função da temperatura. 
Temperatura T 
em °C 
100 133 180 211 310 374 
(crítica) 
Pressão p de 
vapor em MPa 
(em atm) 
 
0,1 
(0,99) 
 
0,3 
(2,96) 
 
1 
(9,87) 
 
2 
(19,74) 
 
10 
(98,7) 
22,6 
(crítica) 
(223,0) 
Modo de 
operação 
(segurança!) 
 
Baixa pressão 
 
Média pressão 
 
Alta pressão 
 
Caso forem precisas temperaturas mais altas ainda, aquece-se a superfície com a chama 
aberta, conforme esboçado acima. 
O resfriamento ocorre com água fria ou água evaporando; a temperaturas abaixo zero grau 
usa-se um sol de refrigeração (NH3, hidrocarbonetos fluorados-clorados), porém esta 
operação sai bem mais cara do que a refrigeração com água. 
 
4.2 Unidades, valores específicos, equações de transporte 
As unidades mais usadas para o transporte térmico se derivam da unidade da energia: 
 
Energia (calor), E (Q): 1 kJ = 1 kW
.
s = 1000 kg
.
m
2.
s
-2
. 
Para o armazém do calor geralmente usamos a capacidade calorífica, Cp (em J
.
K
-1.
mol
-1
) ou a 
capacidade calorífica específica, cp (em J
.
K
-1.
g
-1
). Para esquentar um grama de água, de 15 a 
16 °C, se gasta 1 caloria (cal). Isso foi a definição histórica da caloria - que hoje deve ser 
substituída por Joule; 1 cal = 4,18 J. Portanto, a capacidade calorífica específica da água 
líquida a 15 ºC é . E para quase todos os materiais sólidos se acha o 
mesmo valor de (regra de Dulong-Petit). 
Para o fluxo do calor, , e a condutividade térmica  resultam as seguintes unidades: 
 
Fluxo de calor ( ): 1 kJ
.
s
-1
 = 1 kW = 1000 kg
.
m
2.
s
-3
. 
Condutividade térmica (): 1 kW.K-1.m-1 = 1 kJ.K-1.m-1.s-1 = 1000 kg.m.K-1.s-3. 
 
Em processos industriais temos que contar com energias das seguintes ordens de grandeza: 
 
Combustões (= reações com oxigênio tripleto): ~ 400 kJ
.
mol
-1
, 
Outras reações químicas: ~ 100 kJ
.
mol
-1
, 
Evaporações: ~ 30 kJ
.
mol
-1
, 
 
1118,4   gKJc p
1126   molKJC p
Q
Q
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 128 
Nos casos mais simples a transferência de calor não provoca mudanças na matéria nem 
transformações das fases. Este tipo de transporte chamamos de processos de "nivelamento 
térmico". O fluxo de calor unicamente serve para nivelar diferenças em temperatura em dois 
locais distintos. O registro diferencial do calor transportado geralmente é uma tarefa bastante 
complexa, requerendo cálculos complexos. Isso se deve, principalmente, aos diferentes 
mecanismos de transporte do calor que agem paralelamente e podem influenciar-se 
mutuamente. Portanto, em muitas situações utilizaremos a teoria da semelhança, através da 
qual podemos tirar conclusões com validade geral, a partir dos dados experimentais obtidos 
no modelo (ver cap. 3.2). 
Podemos classificar três tipos de transporte de calor que, como já dito, podem acionar de 
forma isolada ou, como é o caso geral, em combinação: 
1. Condução de calor 
2. Convecção de calor 
3. Radiação. 
 
Estes mecanismos de transporte do calor são matérias da aula de física, portanto devem ser 
tratados aqui, de forma bem resumida. 
 
4.2.1 Condução de calor 
O transporte do calor via condução se explica a nível molecular. Para entender isso, devemos 
estar ciente que calor significa movimento das massas moleculares. Isto são, principalmente, 
as vibrações (angulares e de estiramento, também chamados de vibrações de valência), em 
segunda linha também as rotações das moléculas. No caso das vibrações as moléculas 
armazenam energia na região típica do infravermelho, no caso das rotações na região das 
microondas. O relaxamento não radiativo, a partir de níveis excitados de vibração e rotação, 
corresponde a uma transferência de calor, da molécula para o seu ambiente. A energia pode, 
por exemplo, ser transferida a uma molécula vizinha que recebe a energia e a armazena em 
forma de níveis elevados de rotação/vibração. E assim vai - o calor se transmite de molécula 
para molécula e temos o fenômeno da condução. Em gases e líquidos a condução na sua 
forma pura somente ocorre em pequenos volumes. Sendo esses, fendas, canais ou capilares. 
Nestes locais não se tem um movimento supramolecular direcionado, ou seja, não se tem 
convecção livre. 
O fenômeno de transporte de qualquer grandeza, seja massa, calor, eletricidade, magnetismo 
ou momento, é descrito pelas leis de Fick. A situação momentânea (= diferencial) do 
transporte é descrita pela 1
a
 lei de Fick, enquanto o desenvolvimento temporal do nivelamento 
é formulado numa equação diferencial conhecida como 2
a
 lei de Fick. Aqui nos interessam, 
em primeira linha, as dependências do fluxo das grandezas do sistema (1
a
 lei de Fick), 
largamente conhecidas como difusão: 
 
 
dz
d
Fa
dt
d 


 . 
 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 129 
 vazão de alguma grandeza (fala: gama); t = tempo; F = área perpendicular à linha z por 
onde passa a grandeza ; a = coeficiente da difusão; = mudança da grandeza  
ao longo do caminho de transporte, z (ou seja, z é a normal da área F). 
Aplicamos essa equação geral do transporte à  = massa, obteremos a lei do fluxo hidráulico, 
conhecida também como lei de Darcy. Aqui observamos uma clara dependência do 
coeficiente da difusão (na maioria dos livros descrito pelo símbolo D), da temperatura: quanto 
maior a temperatura, maior o fluxo por difusão, uma relação linear. Essa relação foi 
primeiramente descrita no início do século 20 e desde então é conhecida como lei de Stokes-
Einstein. 
Aplicamos a mesma equação à eletricidade, resultará a lei de Ohm. E, finalmente, aplicamos 
essa lei ao calor, resulta a 1
a
 lei de Fourier que será unicamente aplicada a seguir: 
 
 1
a
 Lei de Fourier. 
 
Nesta,  representa o coeficiente de transporte de calor devido à condução 27, também 
chamado de condutividade térmica intrínseca da matéria transportadora de calor 
(introduzida na p. 127); F é a área da superfície trocadora de calor, T a temperatura (em 
Kelvin) e z a coordenada em direção ao fluxo do calor. Podemos afirmar que o fluxo de calor 
 é proporcional à superfície F e ao gradiente em calor, dT/dz. O último representa a força 
propulsora para o fluxo do calor, perpendicular à área F e em direção z. A 1
a
 lei de Fourier 
pode ser aplicada para resolver problemas de transporte de calor, atravessando tanto chapas 
planas quanto tubos com superfícies curvadas. O coeficiente da condutividade térmica 
intrínseca  é uma grandeza de transporte, característica para o meio condutor. As menores 
condutividades têm os gases, as maiores os metais. Os valores para líquidosestão no meio do 
espectro: 
 
Gases: 0,02 a 0,2 W
.
K
-1.
m
-1
 
Líquidos: 0,1 a 0,6 W
.
K
-1.
m
-1
 
Sólidos: 
Não-metais 0,5 a 30 W
.
K
-1.
m
-1
 
Metais 30 a 400 W
.
K
-1.
m
-1
 
 
Na Tab. 15 estão referidos coeficientes de condução térmica de alguns sólidos, líquidos e 
gases que frequentemente acham aplicação em aquecimentos/resfriamentos 
28
. 
 
27
 Esse coeficiente, relacionado à densidade  e à capacidade calorífica cp do meio, leva à condutividade térmica, 
a; a condutividade a será usada na definição do número de Prandtl, na p. 134. 
28
 Curiosidade: o diamante, embora ser bom isolante elétrico, tem uma condutividade térmica extremamente 
alta:  = 900 a 2300 W.K-1.m-1, dependendo da direção da medição. Outro material excelente condutor térmico é 
o nanocomposto "grafeno", com  de até 5000 W.K-1.m-1. 
 
dz
d
grad


dz
dT
FQ  

Q

A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 130 
 
Tab. 15. Coeficientes de condutividade térmica de alguns materiais de importância 
industrial em trocadores de calor (valores indicados para 20 °C). 
Sólidos  em W.K-1.m-1 Líquidos e gases  em W.K-1.m-1 
Prata 458 Água 0,59 
Cobre 393 Amônia 0,52 
Alumínio 221 Líquidos orgânicos 0,1 - 0,3 
Latão 
Ferro 
81 - 105 
67 
 
Níquel 58 Hidrogênio 0,17 
Chumbo 35 Ar 0,025 
Aços Cr/Ni 15 - 21 Vapor d´água (100 
°C) 
0,023 
Grafite 12 - 175 Gás carbônico 0,017 
Gelo (0 °C) 2,2 Cloro 0,007 
Vidro 
Alvenaria 
Polipropileno 
0,75 
0,4 - 1,2 
0,25 
 
Madeira (pinho) 0,13 
Materiais isolantes 
(isopor, espuma PU, 
lã de vidro, etc.) 
0,03 - 0,1 
 
A condutividade térmica extraordinária dos metais se deve à contribuição, não só da vibração 
dos núcleos (―fônons‖), mas também da mobilidade dos elétrons. Podemos afirmar que a 
sobretaxa em condutividade térmica, dos metais acima dos não metais, se deve à transmissão 
do calor pelos elétrons que no caso dos metais, são quase livres. 
Dentro dos metais ainda observamos que os bons condutores elétricos também são bons 
condutores térmicos. Essas duas condutividades, no entanto, mostram dependências térmicas 
opostas: enquanto a condutividade elétrica diminui com altas temperaturas, a condutividade 
térmica ainda aumenta. Evidentemente, a vibração das massas pesadas atrapalha o transporte 
elétrico, enquanto promove o transporte térmico pelos elétrons. A famosa lei de Wiedemann-
Franz descreve a relação entre a condutividade elétrica  e a condutividade térmica : 
 
TLT
e
k



2
22
3



, onde a constante L = 2,45.10-8 W..K-2.
 
 
 
 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 131 
4.2.2 Transporte de calor por convecção 
Na convecção a molécula transportadora do calor (por vibrações e rotações) está se 
movimentando ao longo do caminho z (= translação). O fenômeno é cooperativo, isto é, o 
movimento translatório ocorre com um coletivo de moléculas. São maiores agregados de 
moléculas que geralmente todas estão portadoras do calor. A convecção pode ser forçada ou 
livre, ela nunca ocorre isoladamente, mas sempre está sobreposta pelo fenômeno da condução. 
As condições para a convecção são um volume maior para que se estabeleçam as dinâmicas 
do fluido livremente. Caso a única força propulsora para o movimento translatório for uma 
diferença em densidade, causada por um aquecimento localizado, daí se fala da convecção 
própria ou convecção livre. A outra possibilidade é o acionamento da matéria por uma 
bomba externa (= convecção forçada). Devido à importância destes casos para o engenheiro, 
estas formas de transporte do calor serão apresentadas em detalhe no cap. 4.3.1. 
Em caso geral, quando houver convecção forçada, a convecção própria é subdominante e 
pode até ser desconsiderada. Podemos formular o fluxo de calor, para este caso: 
 
. 
 
Nesta, = vazão de massa;
 
 = vazão de volume;  = densidade do portador do calor; cp 
= capacidade calorífica do portador, T = temperatura dentro do elemento de volume. 
Nestes dois mecanismos, condução e convecção, o conteúdo energético foi transportado e 
transferido, via movimentos da matéria. No caso da condução discutimos o movimento de 
massas dentro de cada molécula que pode induzir movimentos nas moléculas vizinhas, sem as 
mesmas mudarem suas coordenadas no espaço; no caso da convecção trata-se do movimento 
translatório de moléculas em vibração, ao longo do caminho z. 
4.2.3 Transporte de calor por radiação 
O fenômeno da radiação é fundamentalmente diferente dos casos de condução e convecção, 
por que não estão envolvidos movimentos de matéria pesada, mas o calor está sendo 
transportado por ondas eletromagnéticas. Isso somente pode ser entendido ao reconhecer a 
natureza dual, corpuscular / ondular, do elétron. Elétrons em níveis de energia elevada (para 
isso será preciso a energia de ativação que corresponde à luz visível e/ou ultravioleta) podem 
assim transferir sua energia para outros elétrons, de átomos remotos. A transferência da sua 
elevada energia ocorre por meio de radiação eletromagnética - que deve ser igualmente 
entendida como onda. Os elétrons emissores então relaxam e voltam para um nível de energia 
mais baixo – geralmente ao seu nível fundamental (HOMO). Isso implica que o evento da 
radiação não requer do contato direto entre as moléculas portadoras do calor. 
Em processos técnicos, salvo exceções, o mecanismo da radiação é de importância 
subordenada e pode até ser desprezado nos cálculos. 
O calor se transmite via radiação ao ambiente frio quando um corpo é extremamente quente 
(agitação eletrônica; elétrons em níveis elevados; população dos orbitais LUMO). Segundo a 
famosa lei de Stefan-Boltzmann, o fluxo em calor é dado (rigorosamente válido para o corpo 
negro): 
 
 Lei de Stefan-Boltzmann. 
TcVTcmQ ppconv  

m convV
4
100







T
FcQ nrad

A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 132 
 
Nesta, F = área irradiante, T = temperatura absoluta do corpo em radiação; cn = constante da 
radiação do corpo negro: valor: cn = 5,67 W
.
m
-2.
K
-4
. Para ampliar a todos os tipos de 
superfícies, aplica-se um fator que reduz a constante cn, por um fator corretivo : 
 
Material e acabamento 
da superfície 
Fe polido Fe cru Vidro liso Verniz, preto 
fosco 
 0,2 0,6 0,94 0,97 
 
Na prática se procura o fluxo calórico devido a uma diferença T = T2 - T1; T1 do corpo que 
emite e a temperatura T2 do ambiente mais frio que absorve o calor. O processo pode ser 
representado como: T1 T2. A quantidade de calor transferida por radiação então é: 
 
. 
Já que o fluxo de calor depende de T
4
, temos que contar com a contribuição notável da 
radiação, somente a partir de temperaturas T1 bastante altas: geralmente > 400 °C. Ao extremo 
superior, o calor emitido por um pedaço de metal aquecido ao rubro, é transferido ao seu 
ambiente, principalmente por radiação. Outro exemplo do nosso quotidiano: a sensação de 
calor quando passamos num fogo aberto, sentado dentro do carro de janela fechada. 
Também anotamos o calor do sol – fato que deixa claro que a radiação se transmite por 
distâncias muito longas, bem maiores do que a condução e a convecção, e não requer de muita 
matéria densa para ser efetiva (lembre-se que o espaço interplanetar é de vácuo ultra alto). 
Processos de transporte calórico se compõem, grosseiramente falado, aditivamente das três 
contribuições mencionadas acima, condução, convecção e radiação: 
 
. 
 
Relações importantes e equações úteis para resolver problemasde transporte de calor em 
procedimentos industriais de química se dão do modelo do transporte contínuo e constante, de 
calor através de uma parede plana de uma batelada ou através da parede curvada de um tubo. 
Dentro destes meios sólidos a única contribuinte ao fluxo do calor é a condução. Portanto, a 
única relação de importância a ser discutida em detalhe é a 1
a
 lei de Fourier. 
 
a) Transporte constante de calor através de uma parede plana. 
Uma parede plana e paralela, da espessura s e da área F, tenha em um lado a temperatura T1 e 
no outro lado a temperatura T2, com T1 > T2. Para o processo constante de transporte do calor 
podemos repor o quociente diferencial na equação de Fourier por uma simples fração: 
 





















4
2
4
1
100100
TT
FcQ nrad 

radQ

radconv QQQQ
  
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 133 
. 
 
Daí resulta a relação simples: 
 
. 
 
Conforme essa, a quantidade de calor transportada em direção z em um intervalo de tempo, 
, é diretamente proporcional à área F e à diferença em temperatura T; ela é inversamente 
proporcional à espessura da parede, s. O perfil térmico que se estabelece dentro da parede, é 
linear, conforme o esboço a seguir. 
 
 
b) Transporte constante de calor, através da parede de um tubo. 
No transporte constante de calor através de uma parede curvada de um tubo, a direção do 
fluxo é perpendicular à área superficial F da parede. 
 
 
s
T
s
TT
dz
dT 


 21
s
T
FQ

 

Q

Q

A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 134 
Devido à simetria cilíndrica do tubo vale: 
 
. 
 
Integração desta relação fornece a expressão discreta para a constante: 
 
 
 
Inserida na lei de Fourier fornece para o fluxo de calor: 
 
. 
 
Nesta, podemos afirmar que a parede externa do tubo, F1 é dada por: 
 
. 
 
Para tubos largos com parede fina, a equação acima se aproxima à equação que achamos para 
a passagem pela parede plana 
29
. 
 
4.3 Transferência de calor e transmissão de calor 
Fala-se em transferência de calor quando o transporte está passando por uma interface, em 
casos gerais do fluido (líquido ou gás), para um sólido. Já uma situação mais complexa temos 
quando o calor é levado de um fluido para outro fluido atravessando uma fase sólida (parede, 
tubulação, caldeirão, blendas, etc.); neste caso é mais adequado falar de transmissão de 
calor. Em ambos os casos a convecção do calor, exercido pelo(s) fluido(s) é o processo 
principal, responsável pelo transporte. Portanto, precisamos conhecer melhor o fenômeno e as 
particularidades da convecção, antes de entrar em detalhes e equipamentos. 
 
 
29
 A aproximação dessa situação limite não é trivial, pois 1lim
2
1 





r
r , então 0lnlim
2
1 





r
r . Este problema deve 
ser resolvido aplicando a regra matemática de l´Hospital. 
r
const
dr
dT .

   2121
21
lnln
.
rr
T
rr
TT
const




 211
1
ln rrr
T
FQ


 

LrF  11 2
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 135 
4.3.1 Convecção livre e forçada 
Na prática o transporte de calor por convecção (sinônimo para correntezas) sempre é 
acompanhado pelo processo da condução. Devido à situação extremamente complexa da 
dinâmica dentro do fluido, somente em casos excepcionais e com uma série de restrições esse 
transporte pode ser descrito matematicamente correto e de maneira fechada. 
 
a) Convecção forçada 
Numa convecção forçada a correnteza é produzida por forças externas. O fluido cuja 
temperatura se distingue do seu ambiente, está fluindo, de maneira laminar ou turbulenta em 
tubos (por exemplo, em trocadores de calor) ou em mantas (por exemplo, manta refrigeradora 
de bateladas), propulso por uma bomba. 
Vamos olhar mais perto no fluxo laminar do meio transportador de calor em um tubo – 
aparentemente o caso mais simples de se calcular. 
Um líquido tenha a temperatura T0 e passe por um tubo, de maneira laminar. A parede deste 
tubo tenha a temperatura Tw que seja mantida constante através de um meio de refrigeração. A 
temperatura da parede seja inferior à temperatura do líquido, T0 > Tw. Neste caso o calor será 
cedido à parede. 
 
 
 
No caso geral o perfil parabólico do fluxo laminar está sendo perturbado pelo transporte do 
calor. Em alguns casos, porém, é possível fazer um cálculo simplificado, ao se usar valores 
específicos, válidos para uma temperatura definida. Sob esta restrição o sistema é chamado de 
"Problema de Graetz-Nusselt", ainda bastante complexo, que, no entanto, pode ainda ser 
resolvido usando funções de Bessel. Caso os valores específicos do líquido dependam da 
temperatura, ou o fluxo seja turbulento ou se considere uma outra forma de caminho do que 
um tubo liso e reto, daí o problema se torna complexo demais para o qual, até hoje, não 
existem mais soluções exatas. 
 
b) Convecção livre (= convecção natural) 
A correnteza da convecção livre não tem sua origem numa bomba ou outra força externa, mas 
é provocada pelo gradiente térmico do próprio fluido e, acoplado nele, o gradiente em 
densidade. É evidente que um fluxo se estabelece, de maneira espontânea, do local de alta 
densidade para o local de baixa densidade. 
Seja um exemplo simples uma parede vertical da temperatura Tw, que está em contato com um 
fluido parado. A temperatura T do fluido seja inferior à da parede, Tw > T. Sob estas 
condições podemos esperar o seguinte perfil térmico: 
 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 136 
 
Fig. 65. Perfil térmico (T) e os vetores do movimento mássico dentro de um fluido que 
encosta numa parede vertical quente. 
Na proximidade à parede o líquido tem a temperatura mais alta. Nesta área deveríamos 
esperar a maior sustentação e então a maior velocidade ascendente do fluido. Sobreposta, 
porém, é a condição da estacionaridade (p. 33) que vale diretamente na parede. Isto é, a 
primeira camada de fluido está parada. Contamos com os dois efeitos, observamos então um 
aumento da velocidade ascendente a partir de u = 0. Ela percorre um máximo e cai 
rapidamente, ao afastar-se mais um pouco da parede, até chegar novamente a u = 0. A partir 
daí a direção do fluxo se inverte, quer dizer, temos vetores de movimento para baixo. Os 
elementos de volume que foram aquecidos e levados para cima, descem novamente nesta 
distância à parede. Os movimentos do calor nesta distância da parede são igualmente 
acoplados a um movimento das massas, sem presença de uma bomba externa, portanto 
identificamos como convecção livre. 
Com um perfil térmico constante e fluxos laminares o problema ainda pode ser 
matematicamente resolvido. A maioria das situações de transporte de calor, porém, não pode 
ser resolvida de forma fechada. Nestes casos aplicam-se com sucesso a análise dimensional e 
as correlações adimensionais (p. 121), para descrever o acontecimento qualitativamente 
correto. 
 
4.3.2 Definições de transferência e transmissão de calor 
As definições de transferência e transmissão de calor valem em geral, independente se a 
convecção for forçada ou livre. A transferência de calor é então o transporte do calor através 
de um encosto das fases, em geral de um sólido a um fluido, ou vice versa. Como já 
mencionado, o processo de transferência do calor, de uma superfície fixa para um fluido em 
movimento é um acontecimento bastante complexo, já que a condução térmica é sobreposta e 
influenciada pelo movimento das massas por convecção. Os dois processos, condução e 
convecção são efeitos mutuamente acoplados. Na prática usa-seo seguinte conceito simples, 
para descrever o fluxo numa transferência de calor: 
 
. 
 
Conforme esta equação simples a quantidade de calor transferida em unidade do tempo, é 
proporcional à área de contato F e à diferença em temperatura entre parede e fluido, enquanto 
para a última deve ser utilizada a temperatura média. A constante de proporcionalidade  é 
chamada de coeficiente de transferência de calor e tem a unidade W m
-2
 K
-1
 (em unidades 
SI: Kg
.
s
-3.
K
-1
). 
Q
 TTFQ w  
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 137 
Atenção: ao contrário da condutividade térmica intrínseca, , o coeficiente  não é mais uma 
grandeza característica somente do meio transportador do calor, mas também depende da 
geometria do equipamento. Portanto, é difícil achar valores tabelados de ; sendo assim, a 
Tab. 16 (p. 139) é uma mera coleção de faixas onde se espera o valor de  – no entanto, para 
uma estimativa mais confiável será imprescindível calcular o coeficiente! 
 
Fig. 66. Esboço da transferência de calor, da parede quete a um meio fluido frio. 
 
A relação dada acima define então o coeficiente de transferência ; na forma dada ela vale 
para o processo de aquecimento do fluido (Tw > T); no caso da refrigeração (Tw < T) 
invertemos essas temperaturas, para que resulte novamente um coeficiente  positivo. 
Para fim de refrigeração/aquecimento usamos geralmente um meio fluido que transfere o 
calor a uma parede que, no seu outro lado, o transfere a um segundo fluido. Nesta situação 
ocorrem sucessivamente três etapas de transporte de calor: 
1. Transferência do calor do fluido 1 para a parede 
2. Condução do calor através da parede (que pode ser de várias camadas) 
3. Transferência do calor da parede para o fluido 2. 
 
O processo todo se conhece como transmissão de calor. 
 
 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 138 
Fig. 67. Esboço da transmissão de calor através de uma parede sólida. 
 
Podemos aplicar a este problema a relação empírica 
 
. 
 
A quantidade de calor transferida do fluido 1 para o fluido 2 em um intervalo de tempo, é 
proporcional à área de troca de calor e à diferença das temperaturas nos fluidos. O fator de 
proporcionalidade kw chamamos de coeficiente da transmissão de calor e tem a mesma 
unidade que o coeficiente de transferência de calor , apresentado acima. Esse coeficiente kw 
depende de mais variáveis ainda do que o coeficiente , portanto é mais difícil achar valores 
confiáveis em tabelas (ver, por exemplo, Tab. 17 na p. 140). Mas, como veremos a seguir, 
existe um caminho para seu cálculo. 
Na situação de fluxo constante, a quantidade de calor transferida do fluido 1 à parede é 
igual ao fluxo através da parede e igual ao fluxo da parede ao fluido 2. É claro que 
todos estes fluxos resumidos podem ser descritos pela equação da transmissão de calor. Sendo 
assim, escrevemos: 
 
. 
 
Para obtermos as relações entre os coeficientes kw,  e , anotamos explicitamente os fluxos 
particulares envolvidos nesta transmissão: 
 
 
 
 
 
 
 
Resolver estas pela diferença de temperatura: 
 
 
 
 
 21 TTFkQ w 
Q
Q Q
       2122221111 TTFkTTFTTF
s
TTFQ wwwww  


 wTTFQ 111  
 ww TTF
s
Q 21 

 222 TTFQ w  
 wTT
F
Q
11
1



 ww TT
F
sQ
21 




A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 139 
 
. 
 
A adição dos três termos fornece a diferença global das temperaturas: 
 
. 
 
A comparação dos coeficientes com o da equação da transmissão fornece: 
 
 Equação de Peclet. 
 
Essa relação descreve o acoplamento em série, das resistências ao fluxo de calor, enquanto a 
área de troca seja plana. Na prática o termo muitas vezes pode ser desprezado, devido ao 
alto valor de  e uma espessura fina da parede. É claro que isso muda quando em uma 
caldeira se depositou uma camada de cal, devido à dureza da água utilizada. 
Como já mencionado acima, os coeficientes de transferência e de transmissão de calor,  e 
kw, não são valores específicos, mas dependem também do equipamento. Um cálculo teórico 
do coeficiente  é difícil ou até impossível, devido à desconhecida espessura da camada 
limite na beirada da parede. Sendo assim, temos apenas valores aproximados para  e kw que 
servem para uma orientação grosseira (ver Tab. 16 e Tab. 17). Mas os coeficientes  e kw são 
acessíveis pelo experimento; como acessá-los está descrito no cap. 4.3.3. 
Tab. 16. Valores aproximados para o coeficiente de transferência de calor,  (em W m-2 
K
-1
). Note que esses valores servem apenas para uma primeira estimativa. 
Forma de fluxo Meio de transferência 
= água 
Meio = ar 
Fluxo longitudinal turbulento no 
tubo 
1000 - 4000 30 - 50 
Fluxo turbulento no tubo, 
perpendicular à parede 
2000 - 7000 50 - 80 
Fluxo laminar 250 - 350 3 - 4 
Convecção livre 250 - 700 3 - 8 
Água fervendo 1500 - 15.000 
Vapor d´água condensando no 
tubo vertical 
5000 - 12.000 
Condensação de líquidos 500 - 2000 
 22
2
TT
F
Q
w 









21
21
11

s
F
Q
TT

21
111


s
kw
s
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 140 
orgânicos 
 
Tab. 17. Valores aproximados para o coeficiente de transmissão de calor, kw (em W m
-2
 
K
-1
). Note que esses valores servem apenas para uma primeira estimativa. 
Tipo de trocador de calor Convecção forçada Convecção livre 
De gás para outro gás, à pressão ambiente 10 - 30 3 - 10 
De gás para líquido (refrigerador de gás) 10 - 50 5 - 15 
De vapor em condensação para gás (LUVO) 10 - 50 5 - 10 
De líquido para outro líquido (água) 700 - 1500 120 - 300 
De líquido para outro líquido (óleo) 100 - 250 25 - 50 
De vapor em condensação para água (pré-
aquecedor) 
700 - 3000 250 - 1000 
De vapor em condensação para líquido 
orgânico (pré-aquecedor) 
100 - 300 50 - 150 
De vapor orgânico em condensação para 
água líquida (condensador) 
300 - 750 200 - 400 
De vapor em condensação para líquido em 
ebulição (evaporador) 
 250 - 3000 
 
 
4.3.3 Análise dimensional e números adimensionais da transição de calor 
Em analogia ao problema do escoamento constante de matéria dentro do tubo, o cálculo do 
fluxo de calor aproveita também dos seus números adimensionais. Em primeira instância 
devemos determinar quantos números são precisos, aproveitando do teorema  de 
Buckingham. Como ilustrado na p. 121, precisamos para esse propósito: 
 o número de grandezas aparativas/operacionais Za, 
 o número de grandezas da matéria/constantes da natureza Zs e 
 o número de unidades básicas Ze. 
Essas grandezas são resumidas na tabela a seguir. 
Tab. 18. Grandezas relevantes na transmissão de calor 
Grandeza Designação Unidade Categoria 
d Distância da interface 
(perpendicular ao fluxo) 
m aparelho/operação 
u Velocidade m s
-1
 aparelho/operação 
 Densidade kg m
-3
 matéria/const. naturais 
 Viscosidade dinâmica kg m
-1
 s
-1
 matéria/const. naturais 
 Condutividade térmica m kg K
-1
 s
-3
 matéria/const. naturais 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 141 
cp Capacidade calorífica m
2
 K
-1
 s
-2
 matéria/const. naturais 
g Gravidade terrestre m s
-2
 matéria/const. naturais 
 Coeficiente da 
transferência de calor 
kg K
-1
 s
-3
 aparelho/operação 
(grandeza alvo) 
 
A pressão p, geralmente, não tem grande influência na transmissão de calor. Como se vê das 
unidades compostas, precisamos de quatro unidades básicas para sua descrição completa: m, 
kg, s e K. Sendo assim, temos os números característicos: 
 
Za = 3, Zs =5, Ze = 4. 
 
O teorema  de Buckingham prediz com esses a quantidade de números adimensionais, Zk: 
 
. 
 
São necessários 4 números adimensionais para a descrição adequada da transmissão de calor. 
Para as unidades básicas podemos escrever: 
 
, , , . 
 
Inserir essas expressões nas outras quatro grandezas, , g, cp e , fornece: 
 
 
 
. 
 
 
 
. 
 
4453  esak ZZZZ
 dm   3dkg   






u
d
s 




 


 du
K
3
 
 
   
 ud
udd
d
sm
kg





 


3
ud
Na




1
 
 
  





d
u
ud
d
s
m
g
2
22
22 u
dg
Na


A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 142 
 
 
. 
 
E, finalmente: 
 
 
 
. 
 
Os números adimensionais assim obtidos podem ser multiplicados e divididos, desta forma 
convertidos nos números convencionais do fluxo de calor: 
 
 Número de Reynolds 
 
 Número de Arquimedes 
 
Quando tratamos processos de sedimentação ou de remoinho, a expressão 2 neste número 
deve ser substituído por .. É conhecido, em analogia ao escoamento da matéria, como 
número de Arquimedes. 
Consideramos ainda a dilatação térmica, 
 
, 
 
com o coeficiente da dilatação térmica , daí obtemos o número de Grashof, Gr: 
 
 Número de Grashof 
 
   
   
 
 udduud
d
sK
m
c p






 3
2
2
2
2

 udc
Na
p 
3
 
 
   
 
 dduud
d
sK
kg 


 




33
3
3

 d
Na

4
1
1
Re
Na
ud





2
1
2
2
23
2
222
2 Na
Nagdud
u
dg
Ar 






T 







dT
dV
V
1

2
1
2
2
23
Na
NagTd
Gr 




A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 143 
Além destes, obtemos: 
 
 Número de Prandtl 
 
 Número de Nusselt. 
 
O número de Prandtl, além da equação dada acima, representa a relação entre a viscosidade 
cinemática  e a condutividade térmica a (ver também Tab. 22 na p. 195, no contexto de 
transmissão de calor). O número Pr resulta diretamente das definições de  e a: 
 
 (viscosidade cinemática) e (condutividade térmica). 
 
Daí: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
 
Por meio da análise dimensional recebemos o número de Nusselt, Nu 
30
, através do qual 
temos acesso ao coeficiente da transição térmica  - que era o nosso objetivo geral (ver Tab. 
18). A experiência mostrou que obtemos valores de Nu suficientemente exatos quando 
calculados através de equações exponenciais (empíricos), a partir dos demais números 
adimensionais. A seguir sejam indicadas as equações típicas que relacionam os números 
adimensionais. 
 
1. Transferência de calor sob convecção forçada 
Na transmissão de calor sob convecção forçada o número de Grashof e a aceleração 
gravitacional g não têm importância. Neste caso vale: 
 
. 
 
Para o fluxo tubular (tubos compridos; refrigeração) valem as seguintes relações 
exponenciais: 
 
30
 Significado físico de Nu: Transferência de calor por convecção sobre transferência de calor por condução; 
compare tabela no cap. 8.1.2. 
31Pr NaNa
c p





4Na
d
Nu 






 
pc
a




Pr)(Re,fNu 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 144 
Fluxo laminar: ; 
 
Fluxo turbulento: . 
 
2. Transferência de calor sob convecção livre 
Na convecção livre o fluxo é provocado pela expansão térmica do meio. Neste caso o número 
de Reynolds é irrelevante, já que a velocidade u dos movimentos é bastante pequena. Invés 
deste, o número de Grashof se torna importante: 
 
 
 
Um exemplo seja a transferência de calor na parede vertical. O comprimento característico, 
neste caso, é a altura da superfície considerada. Em dependência do valor absoluto do produto 
Gr 
. 
Pr podemos indicar um valor de orientação para Nu que serve para estimar o coeficiente 
da transferência de calor : 
 
 para ; 
 
 para . 
 
Outras relações, especialmente para outras situações geométricas do que a parede plana 
vertical, se acham nos manuais da engenharia (ver nota de rodapé na p. 8). 
O caminho geral para a solução de um problema de transferência de calor compreende as 
seguintes etapas: 
1. Determinação dos números adimensionais, por exemplo Re e Pr. 
2. Cálculo do número de Nusselt através da equação potencial cabível. 
3. Indicar o coeficiente  através de . 
4. Cálculo da transição calorífica em uma parede aquecida, através da relação: 
 
 , 
 
onde Tw represente a temperatura da parede e T a temperatura média do meio fluido. 
Os valores de  indicados na Tab. 16 devem ser entendidos apenas como orientação grosseira, 
da ordem de grandeza do coeficiente . Eles servem apenas para cálculos preliminares. 
3
1
PrRe86,1 






L
d
Nu
3,08,0 PrRe023,0 Nu
Pr),(GrfNu 
5,0Nu 001,0Pr Gr
  125,0Pr18,1  GrNu 1000Pr001,0  Gr



d
Nu
   TTFNu
d
TTFQ ww 


A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 145 
 
4.3.4 Transição de calor envolvendo os processos de evaporação e condensação 
Temos que contar com algumas particularidades, na transição de calor, quando estão 
envolvidos evaporação de um líquido ou condensação de um vapor. 
a) Evaporação 
Na evaporação se transmite calor da superfície quente ao líquido que é usado para transformar 
o estado físico para o gás. A temperatura do líquido, neste processo não varia, ela é igual à 
temperatura de ebulição, uma temperatura fixa a dada pressão do ambiente. 
 
 
Fig. 68. Coeficiente de transmissão de calor  e carga da superfície quente , na 
evaporação de água, em dependência da diferença de temperatura Tw  Teb , à 
pressão atmosférica. = Temperatura da parede (quente); Teb = temperatura de 
ebulição do líquido (água); , onde é o fluxo de calor e F é a área de troca 
de calor. 
Como mostrado no exemplo da evaporação da água (Fig. 68), o calor transmitido por unidade 
de área e tempo, ( também é chamado de "carga da superfície quente") não sobe 
de forma linear com a diferença das temperaturas da superfície quente e de ebulição, 
T  Tw Teb. Em vez disso, a curva percorre um máximo, para depois cair 
novamente de maneira acentuada. Um comportamento semelhante mostra a curva 
. Nesta curva, podemos distinguir quatro regiões: 
q
wT
F
Q
q

  Q
F
Q
q

  q
)( Tfq 
)( Tf 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 146 
1.Com pequena diferença em temperatura tem-se aquecimento e agitação do líquido, 
provocados por convecção livre (região A-B). 
2.Com diferença de temperatura maior formam-se bolinhas de gás. Começa a formação de 
bolhas de gás que se torna tão intensa que o efeito agitador destas bolhas em ascensão 
acelera consideravelmente a transição de calor ao líquido. Aumento drástico de  (B-C). 
3.As bolhas de gás crescem com uma velocidade maior, suficiente para cobrir grande parte 
da superfície quente com uma camada isolante de vapor. Esta situação é conhecida como 
"evaporação de filme instável" (região C-D). 
4.A velocidade ascendente das bolhas de gás chega ao limite. Portanto, um aumento da 
carga da superfície aquecedora a deixa inteiramente coberta com um filme fino de vapor, 
uma situação conhecida como "evaporação de filme estável", região D-E. Como o 
coeficiente de transição térmica  em gases é de duas ordens de grandeza menor do que 
em líquidos, este filme representa uma barreira isolante que acarreta uma velocidade de 
transporte do calor menor do que no trecho inicial (A-B-C). Por consequênciaa inclinação 
das duas curvas nos trechos D-E fica mais baixa (aqui não foi levado em consideração o 
surgimento da radiação da parede quente que transmite o calor ao fluido, não importa qual 
a barreira física). 
 
Os fenômenos mais evidentes durante o processo de aquecimento/evaporação de um líquido 
sejam apresentados no esquema a seguir. Vamos olhar no exemplo da evaporação da água 
numa parede vertical. Inicialmente a água está em repouso: 
 
 
 (1) (2) (3) 
Fig. 69. Fenômenos durante a evaporação de água numa parede quente vertical. 
 
Com uma temperatura da parede Tw < 100 °C temos um comparavelmente pequeno (1). 
Devido ao gradiente térmico na água que está em proximidade à parede estabelece-se uma 
convecção livre; nesta situação vale: 
 
 e . 
 
Com uma temperatura da parede Tw logo acima de 100 °C formam-se bolhas de vapor (2). 
Quando estas se soltam da parede e ascendem dentro da água, elas apóiam e aceleram o 
movimento da água para cima. Além disso, elas transportam calor que está sendo usado para 
Q
 nGrCNu Pr Nu
h



A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 147 
uma evaporação dentro da fase líquida ( ). Usa-se a expressão 
"evaporação por bolhas". 
Numa temperatura da parede bastante acima de 100 °C forma-se um filme permanente na 
superfície quente (3). Devido à sua baixa condutividade térmica esse filme funciona como 
isolante, com o efeito que e  diminuem. Aqui temos "evaporação por filme", uma situação 
que requer uma alta carga de aquecimento da superfície que geralmente somente é possível 
via chama aberta ou resistências elétricas. Observa-se uma descontinuidade pronunciada da 
diferença térmica, , na transição de "evaporação por bolhas" para "evaporação 
por filme". Portanto, esta forma de evaporação acarreta o perigo de superaquecer a superfície 
sem querer, que pode levar à destruição do equipamento ("burn out"; situação especialmente 
perigosa em usinas termonucleares). A carga térmica crítica da superfície para o caso de 
aquecer água, como vimos na Fig. 68, fica em torno de 10
6
 W
.
m
-2
. 
 
b) Condensação 
Quando um vapor é resfriado indiretamente e a temperatura cai abaixo do ponto de orvalho, 
forma-se o condensado líquido na superfície que escorre para baixo em forma de gotas 
macroscópicas. É claro que nesta situação a carga da superfície fria ̇ tem um limite superior 
natual, pois abaixo de certa temperatura (< Tfus) ela provocaria a condensação do vapor, não 
só para a fase líquida, mas a congelação total do vapor (ressublimação; geado) – um caso para 
qual valem outras leis. 
Dependendo das condições da superfície fria, a condensação do vapor inicia-se em forma de 
gotículas ou em filme. Geralmente, tem-se uma superfície umectável na qual a condensação 
ocorre em filme ininterrupto (ver Fig. 70) que, devido à força gravitacional, escorre para 
baixo. 
 
Fig. 70. Condensação de vapor numa parede fria vertical. 
 
Em superfícies repelentes, por outro lado, pode ocorrer condensação de gotículas. Neste caso 
não há barreira frente ao transporte de calor em forma de um filme fechado de líquido. 
1
2 2260)(
 kgkJOHHev
q
sw TTT 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 148 
Portanto, os números de transição de calor são cerca de 10 vezes maiores na condensação em 
gotículas. 
Na prática domina a condensação em filme, e este caso foi calculado por Nusselt (1919). 
Como exemplo pegamos um vapor d´água de escoamento lento que forma um filme numa 
parede fria da altura h. O filme de água líquida escorre abaixo de modo laminar. Neste caso se 
acha: 
 
. 
 
Nesta, , a entalpia de evaporação da água e  o coeficiente da 
condutividade térmica da parede (ver Tab. 15). 
Em caso de tubos resfriados na posição horizontal o filme líquido escorre da parte superior 
para baixo e se acumula em forma de gotas, na parte mais baixa do tubo. Para este caso se 
acha uma equação correspondente, onde a altura h foi reposta pelo diâmetro d do tubo. E em 
vez do fator 0,943 deve-se usar o fator 0,725. 
 
4.4 Trocadores de calor 
Aparelhos onde o calor está sendo transferido de um meio para outro, são os chamados 
trocadores de calor, evaporadores ou condensadores. A quantidade de calor ̇ a ser transferida 
em determinado tempo, geralmente é dada pelas exigências da operação unitária, igualmente 
as temperaturas de entrada e de saída, das correntes trocadoras de calor. Para o 
dimensionamento destes aparelhos deve-se calcular então o coeficiente de transição de calor, 
seja o coeficiente de transferência  ou o coeficiente de transmissão kw (caso geral), e em 
consequência a área F necessária para trocar a quantidade de calor requisitada pelo processo. 
Atendendo as exigências cada vez maiores em economizar energia, o manuseio racional da 
energia envolvida ao longo de uma linha de produção e a recuperação de calor via trocadores 
de calor se tornou cada vez mais importante nas últimas décadas. Portanto, é uma das 
exigências principais a um processo de ser econômico em energia. Sendo um exemplo o 
fluxograma de blocos mostrado na Fig. 71, que representa uma síntese exotérmica a altas 
pressões. É evidente que os calores, liberados pela reação e pela compressão, estão sendo 
reaproveitados para o pré-aquecimento da água, fonte de vapor para a turbina que aciona o 
compressor. 
 
25,0
23
943,0 








Th
Hg ev



wvapor TTT  Hev
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 149 
 
Fig. 71. Fluxograma simplificado de uma síntese exotérmica a alta pressão. 
 
Em seguida sejam apresentados os trocadores de superfície ou de contato indireto entre os 
meios fluidos, por sua vez de longe os mais utilizados na indústria química. Nestes, o fluido 
quente é separado, por meio de uma parede fixa, do fluido frio. Os modelos de contato direto 
entre os fluidos, por outro lado, se destacam pelas taxas de transferência de calor 
extremamente altas, no entanto se limitam aos casos onde a transferência das duas massas, 
quente e fria, seja permitida ou até desejada. Exemplos famosos são as torres de refrigeração 
nas usinas de energia elétrica térmica, onde gotículas de água estão em contracorrente com o 
ar quente e seco, por sua vez injetado do lado inferior da torre. Outro exemplo é a coluna de 
retificação (cap. 5.4) onde há contato direto das fases que correm em contracorrente. 
 
Existem principalmente duas formas de direcionar os fluxos dos meios dentro de um trocador 
de calor: concorrente e contracorrente (ver Fig. 72). Além dessas formas mais aplicadas 
existem também modelos com condução cruzada e contracorrente-cruzada, especialmente em 
aparelhos de refrigeração a baixa temperatura, ou em casos onde um dos fluidos é um gás (por 
exemplo, radiador do carro, ar condicionado, etc.). Neste último caso a área de contato pode 
ser aumentada por meio de aletas, como, por exemplo, se vê no cilindro do motor de 
motocicleta que é refrigerado pelo ar que bate pela frente. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 150 
 
Fig. 72. Condução das correntes e perfil térmico dentro das tubulações do trocador de 
calor: a) operação concorrente b) operação contracorrente. 
 
Nos gráficos da Fig. 72 se evidencia que em operação contracorrente é possível aquecer o 
meio frio até chegar numa temperatura final que fica até acima da temperatura final do meio 
aquecedor. Logicamente, isto não é possível em operação concorrente. Podemos concluir que 
um trocador contracorrente é sempre de vantagem quando a diferença T dos meiostransportadores de calor for pequena. O trocador concorrente, por outro lado, torna-se mais 
importante em casos onde se precisa de um resfriamento mais rápido possível, supressando o 
fluido quente abaixo de uma temperatura crítica, por exemplo, para impedir reações 
indesejadas ou decomposição térmica, em uma mistura reativa. 
A equação fundamental para cálculos de trocadores de calor é: 
 
. 
 
Nesta, kw é o coeficiente de transmissão de calor e F a área trocadora, conforme definido na p. 
136. A força propulsora para o fluxo de calor é a diferença em temperatura, T. Já que esse 
valor não fica constante, mas depende caracteristicamente do local dentro do aparelho, 
podemos afirmar que T é específico conforme o modelo e o tipo de condução das 
correntezas no trocador de calor. Todavia, achamos uma diferença média em temperatura em 
forma da média geométrica logarítmica, tanto para o modo concorrente como 
contracorrente; isto será comprovado mais adiante: 
 
, Média geométrica logarítmica 
 
TFkQ w 

fim
ini
fimini
T
T
TT
T




ln
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 151 
com e sendo as diferenças térmicas entre os dois meios no início e no final da 
tubulação do trocador, respectivamente. No caso especial de , isso é possível 
somente na condução contracorrente e quando os dois meios fluidos sejam usados nos 
mesmos fluxos V e ainda tenham a mesma capacidade calorífica, cp; essa média é 
. 
Essas relações importantes sejam deduzidas, no exemplo do trocador de calor concorrente. 
Assumimos que a troca de calor aconteça exclusivamente na parede separadora entre as duas 
tubulações (área F) e não tenha perdas de calor para o ambiente. Como ilustrado na Fig. 72 
parte a, a temperatura do meio quente cai, do valor inicial T1ini até o valor final T1fim; a 
temperatura do meio frio sobe do valor inicial T2ini até o valor final T2fim. Certamente é correto 
afirmar que a quantidade de calor Q1 cedida pela corrente 1 é igual à quantidade de calor Q2 
recebida pela corrente 2. O transporte do calor é o resultado da transição através da área de 
contato. Em forma diferencial podemos escrever: 
 
. 
 
Segue: 
 
 e . 
 
Também vale: 
 
, com . 
 
Para mudanças infinitamente pequenas segue: 
 
. 
 
Inserimos nesta as duas expressões para dT1 e dT2 e reorganizamos, obtemos: 
 
, 
 
ou seja: 
 
iniT fimT
fimini TT 
iniTT 
22,211,121 dTcmdTcmQdQdQd pp  

1,1
1
pcm
Qd
dT




2,2
2
pcm
Qd
dT




21 TTT  21 TT 
21 dTdTTd 
Qd
cmcm
Td
pp















2,21,1
11
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 152 
 
 
Suponhamos que os fluxos de massa, e 2m , sejam constantes e desconsideremos a 
dependência térmica dos calores específicos, e , então podemos integrar essa equação 
sem dificuldades. Feito isso entre os limites Tini e Tfim (sinal negativo), chegamos a: 
 
. 
 
. 
 
Também vimos que vale para a transição do calor: . Passando por uma área 
infinitamente pequena temos: 
 
. 
 
Podemos igualar essa com a expressão acima para e obtemos: 
 
. 
 
Separamos as variáveis T e F: 
 
. 
 
A integração desta nos limites Tini e Tfim fornece: 
 













2,21,1
11
pp cmcm
Td
Qd


1m
1,pc 2,pc
Q
cmcm
TT
pp
fimini















2,21,1
11













2,21,1
11
pp
fimini
cmcm
TT
Q


TFkQ w 

TdFkQd w 

Qd 













2,21,1
11
pp
w
cmcm
Td
TdFk

dFk
cmcmT
Td
w
pp















2,21,1
11

A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 153 
. 
 
Nesta equação podemos substituir o termo , pela diferença ( ) 
dividida por , conforme a relação descrita antes. 
 
. 
 
Resolver pelo fluxo de calor: 
 
, 
 
ou simplesmente: 
 
, quando identificamos sendo a média logarítmica da diferença em 
temperatura: 
 
, o que queríamos mostrar. 
 
Podemos desenvolver um polinômio de Taylor para o termo logarítmico. 
 
 Série de Taylor 
31
. 
 
 
31
 Desenvolvida em volta da origem - o que não é possível para ln(x) - essa sequência convergente aparece mais 
simples, conhecida como "Série de McLaurin": ......)0(
!3
)0(
!2
)0()0()(
32
 f
x
f
x
fxfxf 
Fk
cmcmT
T
w
ppfim
ini 














2,21,1
11
ln











 2,21,1
11
pp cmcm 
fimini TT 
Q
Q
TT
T
T
Fkcmcm
fimini
fim
ini
wpp



















ln
111
2,21,1
fim
ini
fimini
w
T
T
TT
FkQ




ln

TFkQ w 
 T
fim
ini
fimini
T
T
TT
T




ln
       n
n
ax
n
af
ax
af
ax
af
ax
af
xf 




!
)(
.....
!2
)(
!1
)(
!0
)(
)(
)(
210
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 154 
Para o caso de Tini e Tfim sejam valores não muito diferentes, aplicamos essa fórmula à função 
, na proximidade de : 
 (com os limites de convergência de 0 < x ≤ 2). 
Provou-se mais aplicável, no entanto, desenvolver a série de Taylor para a função , 
já que essa converge mais rapidamente: 
 
 (com os limites de convergência de -1 < x < 1). 
 
Para valores podemos cortar essa sequência após o termo linear, sem cometer 
grande erro. A média logarítmica então se simplifica para a média aritmética: 
 
. 
 
O dimensionamento de um trocador significa, em primeira linha, a determinação da área 
trocadora F. O procedimento deste cálculo é praticamente o mesmo, com trocadores 
concorrentes e contracorrentes. Caso a velocidade das correntes for desconhecida, o número 
de Reynolds não é acessível e então o coeficiente de transição de calor kw somente pode ser 
determinado por métodos iterativos. Por outro lado, caso conheçamos as condições das 
correntezas, o número de Reynolds pode ser calculado, e com Re se obtém o número de 
Nusselt Nu e assim também o coeficiente de transferência de calor, . A partir de  temos 
acesso ao coeficiente kw (ver equação de Peclet, p. 139) e, finalmente, usando , 
à área de contato F. 
A Fig. 73 mostra os esboços dos trocadores mais usados 
32
. É evidente que as características 
vantajosas de cada modelo são: 
 Dimensões compactas; pequeno espaço necessário para sua instalação. 
 Grandes áreas F, ao mesmo tempo pequena dimensão externa do aparelho. 
 Condução vantajosa das correntes, para evitar grandes perdas em pressão. Isto implica, 
especialmente, evitar joelhos estreitos, achatamentos e cantos nas tubulações, 
colocação estratégica das chicanas. 
 Facilidade de limpeza. 
 
32
 Uma classificação dos trocadores de calor, com descrição do princípio, os cálculos elementares do seu 
dimensionamento e exercícios, encontram-se em http://www.mundomecanico.com.br/wp-
content/uploads/2014/01/Trocadores-de-calor.pdf (acesso em 06/2016) 
xxf ln)(  10 x
 
   
......
3
1
2
1
1)ln(
32





xx
xx








x
x
1
1
ln
.....
5
2
3
2
2
1
1
ln 53 







xxx
x
x
4,1


fim
ini
T
T
2
fimini TT
T


TFkQ w 

A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 155 
 Opção de adaptar a área trocadora às necessidades da operação unitária; em destaque: 
o trocador de placas (= trocador de chapas, ver Fig. 73, 3ª linha). 
 
O modelo mais utilizado na indústria química é de tubo e casco. Para não ocupargrande 
espaço na fábrica, os tubos do feixe contendo o líquido refrigerador / fluido aquecedor devem 
ser colocados em distâncias adequadas, não muito distantes nem muito pertos. O passo ideal, 
medido do centro do tubo até o centro do(s) tubo(s) adjacente(s), deve ser de 1,25 vezes o 
diâmetro externo dos tubos. Sendo assim, os tubinhos do feixe têm a finalidade de aumentar a 
área trocadora F, ao mesmo tempo deixar mínimas as extensões do aparelho. No modelo mais 
simples os tubinhos são retos, alimentados pelo fluido 1 através de um distribuidor 
(―espelho‖) de um lado e com saída do fluido 1 no espelho do outro lado. O fluido 2 entra e 
sai pelos bocais laterais no casco. Para promover seu fluxo turbulento muitos trocadores do 
modelo ―tubo e casco‖ possuem chicanas que direcionam o fluxo no casco, ao mesmo tempo 
estabilizam os tubinhos na sua posição dentro do casco. No entanto, uma má colocação destas 
chicanas acarreta o risco de entupimento por sujeira na água, crescimento de algas, depósitos 
de ferrugem, etc. Um dos métodos adotados na prática para saber o grau de depósito num 
trocador de calor em operação é acompanhar, ao longo do tempo de uso, as temperaturas e as 
pressões terminais do trocador. Na medida em que o depósito aumenta, a eficiência de troca 
térmica (T) diminui e a perda em carga (p) aumenta. 
Tab. 19. Trocadores de calor (= recuperadores de calor), os modelos mais usados na 
indústria (desenhos ver Fig. 73 em cima). 
Modelo Vantagens Desvantagens 
Tubo e casco Modelo mais aplicado, eficaz 
e manutenção fácil. 
Custo de investimento 
elevado. 
Tubo duplo Construção simples e 
robusta, aguenta altas 
temperaturas e pressões. 
Usado em pequenas escalas, 
ocupa espaço maior na 
fábrica. 
Espiralado (ou em 
serpentina; não mostrado) 
Alta área e taxa de 
transferência de calor, 
economiza espaço. 
Manutenção e limpeza 
complicada. 
Placas ou chapas. Com maior facilidade de 
desmontagem e limpeza, alta 
área trocadora em pequeno 
volume, universalidade por 
ser um sistema modular. 
Não aguenta altas pressões. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 156 
 
 
 
Fig. 73. Em cima: modelos mais comuns de trocadores de calor. (descrição breve destes 
modelos, ver Tab. 19) 
Em baixo: diferentes modelos de refrigeração e aquecimento de bateladas. 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 157 
 
Fig. 74. Evaporadores e condensadores em escala industrial. 
 
 
 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 158 
5 Métodos térmicos de separação 
Serão apresentados os métodos mais utilizados de separação de misturas, binárias e 
multicomponentes, na ordem da sua importância industrial: 
 Destilação; 
 Retificação; 
 Lavagem de gases ou absorção; 
 Extração líquido-líquido; 
 Outras operações unitárias envolvendo estágios de transferência de massas que são 
induzidos por variações da temperatura. 
5.1 Destilação e retificação, no contexto dos métodos térmicos de 
separação 
Por enquanto lidamos com problemas de separação de sistemas heterogêneos que apresentam 
pelo menos duas fases distintas. No entanto, há inúmeras situações na indústria onde se 
formam misturas homogêneas. Nestes casos, uma separação puramente mecânica 
naturalmente falha e devemos levar em consideração métodos térmicos ou combinações de 
etapas térmicas / mecânicas, para efetuar uma separação em seus compostos puros. Exemplos 
de importância industrial são: 
 Fracionamento e refinamento do petróleo. 
 Separação de frações de aromáticos. 
 Separação de misturas de gases (produção de O2 e N2, a partir do ar; purificação do ar 
de exaustão,...) 
 Purificação do produto a partir de misturas reacionais que resultam de uma reação 
incompleta (devido ao emprego de um reagente em excesso; estabelecimento de um 
equilíbrio; outras insuficiências nas condições reacionais) 
 Isolamento do produto principal a partir de uma mistura reacional onde se formaram 
produtos paralelos. 
 
Para resolver essas tarefas temos uma série de métodos térmicos de separação, dos quais os 
mais importantes são: 
 Destilação 
 Retificação (= destilação fracionada) 
 Extração 
 Cristalização 
 Adsorção. 
 
Os critérios na sua escolha são a natureza química e física das substâncias envolvidas, o grau 
de pureza do produto final, o volume da mistura, os custos de investimento e os custos 
operacionais, principalmente. Atualmente, a destilação - simples ou fracionada – é o método 
de separação mais aplicado em escala industrial. 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 159 
Os fundamentos destes métodos são os equilíbrios das fases que podem ser de naturezas 
diferenciadas: 
 líquido/vapor (isto é a base da destilação), 
 líquido/sólido (na cristalização), 
 líquido/líquido (isto é, dois líquidos que não se misturam sendo a base para a 
―extração‖), 
 gás/líquido (na lavagem de gases) 
 gás/sólido (nos equilíbrios de adsorção). 
 
Na destilação se aproveita da experiência que a fase dos vapores tem uma composição 
diferente da fase líquida a partir da qual foram formados por ebulição. Observamos o 
enriquecimento do compontente mais volátil, na fase do vapor. Separar a fase gasosa mais 
rica em componente mais volátil implica que a fase líquida empobrece neste mesmo 
componente. Como a evaporação do líquido geralmente é um processo bastante endotérmico, 
a destilação é um processo altamente energético. 
Sob destilação se entende a separação de uma mistura líquida em duas frações líquidas, uma 
cuja de temperatura de ebulição é alta (fração pesada) e outra de Teb baixa (fração leve). Caso 
isso for possível através de um único ciclo de evaporação e recondensação, o processo se 
chama de destilação simples ou destilação de via única. Bons resultados deste processo se 
esperam somente em casos onde as volatilidades relativas dos componentes da mistura são 
bastante diferentes. Para melhorar o efeito de separação, uma série de vários desses ciclos de 
evaporação e condensação pode ser executada. O efeito elementar de separação assim se 
multiplica. Surpreendentemente, essa sequência em transformações das fases pode ser feita 
em apenas um equipamento, denominado de coluna de retificação. Esta coluna opera em 
contracorrente, onde os vapores sobem e o líquido resultando da recondensação parcial desce. 
Vapores e líquidos trocam intensamente calor e matéria ao longo do seu caminho. 
Observamos a seguinte tendência: o líquido acumula a parte de Teb alta (parte pesada) e os 
vapores enriquecem em componente de Teb baixo (parte leve), ao longo dos múltiplos estágios 
da coluna. 
 
5.2 Fundamentos da termodinâmica 
5.2.1 Dependência da temperatura de ebulição da pressão externa 
A pressão de vapor sobre um líquido aumenta rapidamente com a temperatura do ambiente. 
Enquanto as pressões dos vapores estão abaixo da pressão ambiente (que geralmente é 
exercida pelo ar, se não por gases estranhos) o líquido volatiliza-se aos poucos até saturar o 
ambiente com seu vapor próprio. Quando a pressão de vapor do líquido chega a igualar-se 
com a pressão ambiente, temos o fenômeno de ebulição do líquido. Este fenômeno se percebe 
quando bolinhas de vapor começam a formar-se, não só na superfície, mas também no interior 
do líquido. Sendo assim, podemos afirmar que a água fervendo na panela tem uma pressão de 
vapor de aproximadamente 101,3 kPa (= 1 atm; compare Tab. 14). Se estivermos no topo de 
uma alta montanha a fervura da água certamente ocorreria a uma pressão mais baixa, ou seja, 
a uma temperatura mais baixa do que 100 °C. 
A relação entre temperatura e pressão de vapor é dada pela relação de Clausius-Clapeyron, a 
ser derivada em seguida.O ponto de partida seja uma substância pura que se apresente nas 
fases líquida e gasosa em um ambiente fechado, em equilíbrio dinâmico. Equilíbrio significa 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 160 
que tantas moléculas que se evaporam em determinado tempo, se recondensam na superfície 
da fase líquida. As mudanças em energia de Gibbs, dG, tanto na fase líquida (sufixo L) como 
na fase de vapor (sufixo V), sob esta condição são nulas: 
 
0 LLLL ddpVdTSdG  e 0 VVVV ddpVdTSdG  , respectivamente. 
 
S = entropia;  = potencial químico; V = volume molar; T, p = temperatura e pressão 
variáveis. 
Além disso, as variações nos potenciais químicos das duas fases são iguais: 
 
VL dd   . 
 
Isso leva à equação 
 
dpVdTSdpVdTS VVLL  . 
 
   dpVVdTSS LVVL  
 
dT
dp
VV
SS
LV
VL



. 
 
Com a definição TdSdHdG  e a condição 0dG podemos escrever TdSdH  e 
substituir a entropia S por H/T: 
 
T
dT
dp
VV
HH
LV
VL



. 
 
O volume molar do vapor é muito maior que o volume molar do líquido, 
LV VV  , portanto: 
 
V
VL
LV
VL
V
HH
VV
HH
T
dT
dp 



 . 
 
A diferença VL HH  identificamos com a entalpia de evaporação, evH. Ainda aproveitando 
da lei dos gases ideais, TRVp  , resulta: 
 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 161 
p
RT
H
V
H
T
dT
dp ev
V
ev 

 , 
 
2
1
RT
H
dT
dp
p
ev , 
 
 Relação de Clausius-Clapeyron 
 
com p = pressão de vapor sobre o líquido no sistema fechado, T = temperatura absoluta em 
K, = entalpia de evaporação (= energia que se gasta para transformar 1 mol do líquido 
em gás), R = constante dos gases = 8,31 Jmol
-1
K
-1
 = 1,98 LatmK
-1
. 
Então, a pressão de vapor aumenta exponencialmente ao aumentar a temperatura. Com que 
facilidade certo líquido evapora, isso depende das forças coesivas intermoleculares e se reflete 
na sua entalpia de evaporação. 
Em muitas situações estamos menos interessados na variação da pressão de vapor ao mudar a 
temperatura, mas queremos saber a pressão final ao se aumentar a temperatura. Para este fim 
temos que integrar a relação de Clausius-Clapeyron: 
 
 





2
1
2
1
2
1
22
1
ln
T
T
ev
T
T
ev
p
p
dT
TR
H
dT
TR
H
pd  . 
 
Nesta equação consideramos a entalpia sendo independente da temperatura. Uma medição 
exata, porém, revela uma leve dependência térmica, conhecida como lei de Kirchhoff. 
Quando colocamos a pressão em escala logarítmica na ordenada e o inverso da temperatura na 
abscissa, então deveríamos obter uma reta cuja inclinação é , compare gráfico no 
anexo (p. 304). A entalpia de evaporação é contida na inclinação. O valor prático deste 
gráfico (e também da relação de Clausius-Clapeyron integrada): 
1. Estipular a pressão de vapor de um líquido à outra temperatura que não seja Tamb. O 
valor da pressão a 25 ºC se acha facilmente em tabelas. 
2. Quando conhecer aproximadamente o valor da entalpia de evaporação de algum 
líquido, que não seja muito diferente a um líquido referido no gráfico, então pode-se 
predizer sua pressão de vapor a qualquer temperatura. 
3. O gráfico proporciona uma orientação na escolha da pressão externa (por exemplo, um 
leve vácuo); assim, podemos predizer a temperatura de ebulição do líquido a dada 
pressão reduzida. 
4. Em geral vale: substâncias com semelhança química, em termos de polaridade, 
polarizabilidade, massa molar e pontes de hidrogênio, principalmente, têm valores 
 semelhantes. 
2
ln evHd p
dT RT


ev H

















21121
2 1111ln
TTR
H
TTR
H
p
p evev
R
Hev
ev H
ev H
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 162 
Mais grosseira ainda, no entanto bastante útil no planejamento de uma destilação a vácuo no 
laboratório, é a estimação da temperatura de ebulição através da seguinte regra: 
Uma redução da pressão pela metade deixa cair a temperatura de ebulição por 15 °. Sendo 
assim, um líquido de Teb = 180°C à pressão ambiente ( 100 kPa) ebule a 165 °C sob 50 kPa; 
ebule a 150 °C sob 25 kPa, etc. 
 
No laboratório, isto é, em pequena escala, usamos com sucesso a trompa de vácuo, para 
estabelecer um vácuo de até 2 kPa - dependendo da pressão e temperatura da água da torneira 
(por que a temperatura da água é importante?). Embora de este equipamento de vácuo tenha 
os custos de investimento e manutenção bastante baixos, sua operação não é sem problema. 
Lembra-se do alto consumo de água ao usar este equipamento. É 1 L de água a cada 0,6 L de 
gás transportado, e na média são 8 a 10 litros de água tratada por minuto que se gastam 
durante seu funcionamento. 
 
Classificação das pressões reduzidas: 
 Vácuo grosso: 0,1 a 100 kPa (1 a 760 Torr) 
 Vácuo fino: 10-4 a 10-1 kPa (0,001 a 1 Torr) 
 Vácuo alto: < 10-4 kPa (<10-3 Torr) 
 
Qual seria a vantagem de executar uma destilação a vácuo? 
Obviamente se gasta menos energia para gerar calor, pois a evaporação ocorre a temperaturas 
mais baixas. A maior vantagem, porém, é o fato de que o produto a ser purificado por 
destilação não sofre decomposição térmica. Especialmente em líquidos de pontos de ebulição 
muito altos (200 °C ou mais) se corre o perigo de quebrar ligações intramoleculares, antes de 
romper as ligações intermoleculares. A consequência seria a mudança na estrutura química do 
produto - o que sempre é indesejável. A substância se decompõe (estraga) antes de ebulir. 
Aplicar uma pressão reduzida permite então a purificação por destilação, sob condições mais 
brandas. 
 
5.2.2 Misturas binárias ideais 
A mistura binária ideal de dois líquidos representa o sistema mais simples para se estudar o 
comportamento durante a evaporação. "Binária" significa que temos que considerar apenas 
dois componentes, 1 e 2; a condição do "ideal" é satisfeita quando na fase líquida as forças 
atrativas entre as moléculas de um componente são aproximadamente iguais às forças entre 
moléculas diferentes: . Além disso, os vapores do 
sistema ideal devem comportar-se como sendo gases ideais. Sob estas simplificações valem as 
leis de Raoult e de Dalton (ver abaixo) sobre quaisquer concentrações dos componentes. 
É conveniente definir os seguintes símbolos: 
1. O índice 1 represente a substância mais volátil, o índice 2 a menos volátil da mistura. 
2. A pressão de vapor gerada pelo componente mais volátil seja , a pressão sobre o 
componente mais pesado seja . 
3. A composição da fase de vapor e também da fase líquida sempre sejam expressas em 
termos de fração molar do componente mais volátil, então do componente 1: 
0
1p
0
2p
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 163 
x = fração molar de 1 na fase líquida 
y = fração molar de 1 na fase gasosa. 
 
Com essas definições podemos escrever a lei de Raoult na seguinte forma: 
 
 Lei de Raoult. 
 
Em palavras: a pressão parcial de cada componente é igual à pressão sobre o líquido puro 
vezes a fração molar do componente na mistura líquida. 
A adição destas duas expressões é conhecida como lei de Dalton: a pressão total dos vapores 
p se dá aditivamente das pressões parciais pi. 
Resulta a equação para a curva de ebulição, : 
 
 Lei de Dalton. 
 
Essa curva descreve a dependência da pressão total dos vapores, p, da composição do líquido 
x, à temperatura constante. 
Caso se conhece, por outro lado, a composição da fase gasosa (y), as pressões parciais pi 
podem ser calculadas a partir da pressão total p e da fração molar do devido componente: 
 
 
 
. 
 
Com essas novas formulações da lei de Raoulttemos acesso à curva de condensação, 
, que descreve a pressão total dos vapores em função da composição da fase gasosa. 
Combinando as equações acima: 
 
 e 
 
Resolver pela composição do líquido: 
 
 e . 
 
xpp  011
 xpp  1022
)(xfp 
)1(02
0
121 xpxpppp 
ypp 1
 ypp  12
)(yfp 
1
0
1



xp
yp
1
)1(
)1(
0
2



xp
yp
xy
p
p

0
1
)1(
)1(
0
2
x
p
yp


A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 164 
Ao adicionarmos essas conseguimos eliminar os termos em x: 
 
. 
 
Resolver pela pressão total fornece a equação da curva de condensação: 
 
. Curva de condensação. 
 
A representação da curva de ebulição, da curva de condensação e da relação de Raoult é 
possível num diagrama p vs. (x,y) que é largamente conhecido como diagrama isotérmico 
da pressão de vapor. A Fig. 75, gráfico à esquerda, mostra o desenvolvimento das pressões 
dos vapores sobre os líquidos puros, benzeno e tolueno, conforme calculado pela fórmula de 
Clausius-Clapeyron (p. 159). Na Fig. 75 à direita está referido o comportamento da mistura 
destes líquidos, a 150 °C. Este sistema podemos então considerar sendo ideal (outro exemplo 
de sistema ideal: N2 / O2, relevante no processo de Linde descrito na p. 79). 
 
 
Fig. 75. As curvas de pressões parciais e o relacionado diagrama da pressão de vapor 
isotérmico, para a mistura benzeno-tolueno. 
 
Na prática, porém, as destilações raras vezes são feitas de maneira isotérmica. Muito mais 
comum é a condução isóbara, ou seja, à pressão constante. Portanto, devemos respeitar as 
curvas de temperatura para dp = 0: 
 
Teb = f(x) Curva de ebulição e Teb = f(y) Curva de condensação. 
 
1)1(
)1(
0
2
0
1


 xx
p
yp
y
p
p
0
2
0
1
)1(
1
p
y
p
y
p



A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 165 
A representação gráfica destas curvas no diagrama TS - x,y se conhece como diagrama 
isóbaro de ebulição ou diagrama de destilação , ver Fig. 76. Notamos três diferenças deste 
diagrama, em comparação ao diagrama isotérmico da pressão de vapor: 
1. O componente cuja pressão de vapor é mais alta ( = componente mais volátil; no 
exemplo acima: o benzeno) se destaca por ter a temperatura de ebulição 
1,ebT mais 
baixa. 
2. No diagrama de destilação a curva de condensação fica acima da curva de ebulição, 
então invertida ao diagrama da Fig. 75 b. 
3. No gráfico da Fig. 64b anotamos uma reta para p(x), conforme predito pela lei de 
Raoult, e uma curva para p(y). Por outro lado, no diagrama de ebulição da Fig. 76 
nenhuma das duas curvas, )(xTeb e  yTeb , é uma reta. 
 
 
Fig. 76. Diagrama isóbaro de ebulição de uma mistura binária ideal. 
 
Os dados experimentais para sua construção se obtêm ao medir a temperatura de ebulição em 
função da composição do líquido, )(xfTeb  , e em função da composição da fase gasosa, 
)(yfTeb  , para uma série de composições. Importante é que isto seja feito em um sistema 
fechado e sob condições que permitem alcançar equilíbrio entre as fases. Neste ensaio 
observa-se uma faixa térmica dentro da qual o líquido se evapora: a temperatura onde a 
ebulição começa representa um ponto na curva )(xfTeb  , também conhecida como curva de 
evaporação; o fim da ebulição, isto é, onde a última gota do líquido se transforma em vapor, 
representa um ponto da curva )(yfTeb  , também chamada de curva de condensação. 
Atenção: um aparelho de destilação simples não representa um sistema fechado, já que os 
vapores que entram no condensador são removidos irreversivelmente! 
Em misturas ideais a curva de ebulição também é acessível via cálculo, das curvas de pressão 
para as curvas de temperatura, desde que a dependência térmica de p1 e p2 seja conhecida. 
Um terceiro tipo de diagrama mostrou-se bastante útil na interpretação dos processos de 
destilação: o diagrama das fases [x verso y], ver Fig. 77. Neste, a pressão é mantida 
constante, em concordância com a situação mais realizada. Este diagrama tem apenas uma 
curva de equilíbrio, uma hipérbole, que indica a composição da fase gasosa y em dependência 
da composição da fase líquida x, enquanto a temperatura seja a temperatura de ebulição em 
qualquer ponto da curva. 
0
1p
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 166 
 
 
Fig. 77. Diagrama das fases, líquida e gasosa, uma mistura binária ideal. 
 
Atenção: a temperatura muda ao longo desta hipérbole! O diagrama das fases será a base para 
o método de McCabe-Thiele (ver p. 180) com que dimensionaremos o equipamento da 
retificação. A Fig. 77 ainda contém a diagonal, y = x, por sua vez uma linha auxiliar bastante 
útil, por dois motivos: 
1. Destaca o caso onde os dois componentes tenham a mesma pressão de vapor, ou seja, 
onde a volatilidade relativa (ver definição abaixo)  = 1. Neste caso, a mistura binária 
não pode ser separada por meio de destilações. 
2. A diagonal representa o caso em que a fase gasosa tem a mesma composição que a 
fase líquida. Como veremos adiante, isto é a situação ideal que se visa na 
transformação dos vapores em líquidos, em cada um dos pratos ideais da coluna de 
retificação 
33
. 
 
A representação matemática desta curva de equilíbrio 
25
: 
 
  . 
 
 é a chamada volatilidade relativa, definida por . Pressupomos que o valor de  
seja constante - o que é aproximadamente dado em misturas ideais. Em misturas reais, por 
outro lado, percebe-se uma dependência de , tanto da composição x como da temperatura. 
 
33
 Uma derivação simplificada e intuitiva, do diagrama das fases [x verso y] e seu significado para a coluna de 
retificação, ver artigo ―Destilação, retificação e arraste por vapor‖, disponível no site 
http://sistemas.timoteo.cefetmg.br/nos/_media/bd:artigotecnico:quimica:destilacao_retificacao_arraste_07_2016.
pdf (acesso 09/2017). 
x
x
y
y


 11

  x
x
y



11 

0
2
0
1 pp
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 167 
É possível testar se a constância de  é uma estimativa legítima: ao comparar a volatilidade 
relativa perto de 0% e perto de 100% de x. Caso esses valores sejam bem semelhantes,  pode 
ser considerado constante e a equação dada acima pode ser usada para calcular a hipérbole do 
diagrama [x verso y]. As volatilidades relativas se acham em numerosas obras de referência, 
para um grande número de misturas binárias. A Tab. 20 contém uma pequena seleção destas. 
 
Tab. 20. Pontos de ebulição (em °C) e as volatilidades relativas de líquidos em misturas 
próximas aos componentes puros (à pressão atmosférica, desde não indicado 
diferente). 
Mistura 
1,eb
T 2,ebT 
Benzeno - Dicloroetileno 
Benzeno - Tolueno 
Cloreto de n-butila - brometo de n-butila 
Clorofórmio - CCl4 
Etanol - Isopropanol 
Etanol - n-propanol 
Cloreto de etila - Brometo de etila 
Éter dietílico - Benzeno 
Dibrometo de etileno - Dibrometo de propileno 
Dicloreto de etileno - Tricloroetano 
n-heptano - metilciclohexano 
n-hexano - n-heptano 
Metanol - Etanol 
Metanol - Isobutanol 
Metanol - Propanol 
Metilacetona - Etilacetona 
Fenol - o-cresol 
fenol - m-cresol 
Tolueno - Cloreto de benzila 
Tolueno - Clorotolueno 
Água - Etilenoglicol (a 200 mbar) 
Água - Glicerina (a 66,8 mbar) 
80,1 
80,1 
77,5 
61,1 
78,3 
78,3 
12,5 
34,6 
131,7 
83,5 
98,4 
69,0 
64,7 
64,7 
64,7 
56,8 
181,2 
181,2 
110,7 
110,7 
60,1 
38,1 
1,113 
2,61 
2,08 
1,71 
1,18 
2,18 
3,23 
5,16 
1,30 
2,52 
1,058 
2,613 
1,73 
6,1 
3,89 
2,036 
1,30 
1,768 
7,75 
4,76 
98,0 
76400 
83,5110,7 
101,6 
76,6 
82,3 
97,2 
38,4 
80,2 
141,5 
113,7 
100,3 
98,4 
78,1 
107,5 
97,2 
77,1 
190,6 
201,5 
178,0 
162,0 
150,2 
202,0 
1,109 
2,315 
1,87 
1,60 
1,17 
2,03 
2,79 
3,95 
1,30 
2,33 
1,056 
2,33 
1,64 
4,4 
3,15 
1,923 
1,275 
1,699 
4,45 
3,65 
21,0 
244 
 
5.2.3 Misturas binárias não ideais 
Podemos esperar um comportamento não ideal quando as forças entre as moléculas do 
componente A são diferentes das forças entre A e B. Podemos diferenciar dois casos: 
a) As forças entre moléculas iguais, A-A e B-B, são menores do que entre moléculas 
desiguais. Ist quer dizer, A está segurando firmemente B e vice versa. Daí observamos 
um desvio negativo da lei de Raoult e então uma depressão da pressão dos vapores. A 
situação corresponde aos diagramas a e b, na Fig. 78. 
0
2
0
1 pp
0
2
0
1 pp
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 168 
b) As forças entre moléculas iguais são maiores do que a força entre A e B. Daí 
observamos um desvio positivo da lei de Raoult e então um aumento da pressão dos 
vapores acima do sistema ideal (diagramas c e d, na Fig. 78). 
 
Podemos visualizar esses desvios da idealidade, nos diagramas isotérmicos de pressão dos 
vapores (Fig. 75 b e Fig. 78). Em casos de desvios mais pronunciados podem formar-se até 
extrema nas curvas de pressão de vapor, mostrado nas curvas (b) e (d). Esses pontos extremos 
são chamados de misturas azeotrópicas. Elas representam um problema especial porque não 
podem ser separadas por procedimentos simples ou destilações repetidas, mas requerem de 
métodos térmicos especiais (ver p. 187 em seguida). 
 
 
Fig. 78. Diagramas de pressão de vapor de misturas não ideais: (a) e (b): desvio negativo, 
observado em sistemas atraentes; (c) e (d): desvio positivo da Lei de Raoult, 
observado em sistemas repelentes. As linhas pontilhadas representam comportamento 
ideal. Nas misturas (b) e (d) forma-se uma mistura azeotrópica, com pressão de vapor 
mínimo e máximo, respectivamente. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 169 
Mistura ideal Pressão de vapor mostra 
um mínimo 
Pressão de vapor mostra um 
máximo 
As forças entre todas as moléculas 
são iguais. 
 
Vale Raoult: 
 e 
 
Exemplos: 
D2O / H2O; Benzeno / Tolueno; 
O2 (l) / N2 (l) 
As atrações A - B são 
maiores do que entre A - A 
e B - B 
(efeito atraente). 
 e 
 
Exemplos: 
Acetona / Clorofórmio; HCl / 
H2O 
As atrações A - B são menores 
do que entre A - A e B – B. 
 
(efeito repelente). 
 e 
 
Exemplos: 
Acetona / CS2; Piridina / H2O; 
Etanol / Heptano; Metanol / 
clorofórmio; THF / H2O; i-
Propanol / H2O; Etanol / H2O. 
 
Fig. 79. Comparação dos diagramas de pressão de vapor(p verso x), diagramas de 
destilação (T verso x) e diagramas das fases (x verso y), para sistemas ideais (à 
esquerda), atraentes (no meio) e repelentes (à direita). 
 
Exemplos típicos para sistemas com azeotrópico 
34
: 
a) Azeotrópicos em sistemas de componentes atraentes 
 (= pressão de vapor mínimo = temperatura de ebulição máxima): 
 HNO3 / H2O, H2SO4 / H2O. 
 
34
 Um banco de dados para misturas binárias com ponto azeotrópico é disponível em 
http://eweb.chemeng.ed.ac.uk/chem_eng/azeotrope_bank.html (acesso em 10/2014). 
Uma lista mais abrangente (15825 sistemas binárias e ternárias), ver monografia L. H. Horsley (Editor) 
Azeotropic Data—III. Advances in Chemistry Series No. 166. American Chemical Society 1973. 
A A Ap P x  B B Bp P x 
A A Ap P x  B B Bp P x 
A A Ap P x  B B Bp P x 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 170 
 
b) Azeotrópicos em sistemas de componentes repelentes 
 (= pressão de vapor máximo = temperatura de ebulição mínima): 
 Etanol / H2O, Benzeno / Ciclohexano, i-Propanol / H2O. 
 
Tab. 21. Misturas azeotrópicas frequentemente encontradas no laboratório. 
 
 
5.3 Destilação simples 
A destilação simples é geralmente um processo descontínuo, mas pode ser feito também de 
modo contínuo. O esquema de uma destilação simples é dado na Fig. 80, que consiste 
basicamente do balão do fundo e um condensador. Os vapores que sobem do balão do fundo 
entram no condensador onde são liquefeitos. Isto implica que não tem retorno dos vapores, 
para o balão do fundo. Portanto, este método também se conhece como "destilação de via 
única". Os condensados são recolhidos, geralmente em várias frações, nos recipientes 
apropriados. 
 
 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 171 
Fig. 80. Esquema de uma destilação simples (= destilação de via única), tipicamente 
aplicada num alambique. 
 
A representação deste processo no diagrama de ebulição é dada na Fig. 81, junto ao diagrama 
das fases líquido-gasoso que, neste caso, pode ser identificado como diagrama [composição 
do líquido no balão do fundo] vs. [composição do líquido no recipiente do destilado]. 
O líquido em ebulição tenha a composição x1. A fase gasosa produzida a partir deste líquido 
tem a composição y1. A primeira gota de destilado tem, portanto, a composição y1 = xD. A 
diferença xD-x1 representa o máximo efeito de separação elementar que pode ser atingido sob 
dada pressão. Ao decorrer do processo de destilação, não só a quantidade do líquido no balão 
do fundo decresce, mas também a porcentagem do componente mais volátil neste líquido cai 
continuamente. Em consequência, a porcentagem do componente mais volátil decresce 
também no destilado. Além disso, é preciso um aumento da temperatura operacional para dar 
continuidade do processo. 
O final da evaporação é dado pelo ponto de ebulição do componente mais pesado (quer dizer, 
menos volátil), na temperatura Teb,2. Neste ponto a fase líquida e a gasosa têm a mesma 
composição, a saber, é o puro componente pesado. Isso seria o caso na última gota de líquido 
no balão do fundo. Neste momento a composição do produto da destilação seria idêntica com 
a composição da mistura original, ou seja, a mistura foi completamente transferida para o 
outro lado da destila. Como isso não faz sentido, todo processo destilativo deve ser 
interrompido antes de chegar à secura do balão do fundo. Na prática de um alambique, por 
exemplo, se encerra o processo quando o grau alcoólico dos vapores cai abaixo de 30 °GL 
35
. 
Mesmo que o pé de cuba contenha ainda bastante álcool não vale a pena continuar a 
destilação, pois o aumento do volume do destilado se compra com uma queda drástica na 
qualidade do produto. 
 
Fig. 81. Destilação simples e descontínua: diagrama de ebulição e diagrama das fases em 
equilíbrio. 
 
Resumindo: 
O efeito separador numa destilação simples é limitado, ou seja, separações completas são 
impossíveis. Em geral, uma destilação simples somente deve ser levada em consideração 
 
35
 A unidade °GL (fala graus Gay-Lussac) é a fração em volume, ou seja, a quantidade em mililitros de álcool 
absoluto contida em 100 mililitros de mistura hidro-alcoólica. Um frasco de álcool com 90 graus GL tem 90% 
em volume de álcool, e 10% em volume de água. 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 172 
quando a mistura tem componentes de volatilidade bastante diferentes (= diagrama das fases 
com curvas bastante barrigudas, ver Fig. 81). Vale a regra geral que os pontos de ebulição 
Teb,1 e Teb,2 devem diferir em pelo menos 80 °C, para se conseguir um resultado de separação 
satisfatório através da destilação simples. 
 
5.4 Retificação 
Para a maioria das tarefas de separação o efeitoelementar da destilação simples não é 
satisfatório; o destilado não pode ser obtido em grau de pureza suficiente. O processo de 
separação deve ser repetido com o destilado, se for preciso, várias vezes. Daí o efeito 
elementar da separação se multiplica. Por conveniência isto é feito em uma coluna de 
retificação, onde há fluxos contracorrentes entre os vapores (subindo) e o líquido resultante 
dos vapores (descendo). Daí, em diferentes alturas da coluna, chamadas de pratos, o equilíbrio 
da evaporação pode se restabelecer. O efeito elementar da separação (que depende da 
volatilidade relativa ) se repete em cada prato. O efeito total da separação, portanto, é 
proporcional a n, onde n é o número de pratos da coluna. 
 
n
nn
x
x
x
x


 11 0
0  , 
 
onde x0 = composição do líquido no balão do fundo; onde xn = composição do líquido no 
prato n° n da coluna. 
 
 
Fig. 82. Determinação do número mínimo de pratos (na ordenada), em dependência da 
diferença das temperaturas de ebulição dos componentes (abscissa), em uma mistura 
binária 50:50. Parâmetro nas retas é o grau de pureza do destilado: 90%, 99% e 
99,9%. 
Para entendermos o funcionamento da coluna de retificação em operação contínua, temos que 
ampliar nossa visão da coluna separadora, tanto para cima (onde ocorre o enriquecimento do 
composto mais volátil), quanto para baixo, onde se tem um acúmulo sucessivo do composto 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 173 
mais pesado. As considerações matemáticas, nestes dois trechos distintos, no entanto, são 
idênticos. 
Na Fig. 83 a é mostrado o princípio da coluna de retificação em operação contínua. Fig. 83 b 
mostra a construção da coluna na prática. Como veremos abaixo, a coluna pode ter pratos 
reais (Fig. 92) ou um recheio de corpos irregulares com grande superfície (ver Fig. 93 na p. 
186). No fundo encontra-se um evaporador, na cabeça um condensador. Devido ao elevado 
peso do equipamento, porém, o condensador da cabeça é instalado num console mais abaixo e 
o líquido depois bombeado para cima, para estabelecer o refluxo. Geralmente, a retificação é 
um processo contínuo. Daí a mistura líquida a ser separada é alimentada na meia altura, entre 
a cabeça e o fundo. Na maioria das vezes a alimentação desta mistura (ingês: feed; alemão: 
Zulauf) ocorre naquele prato onde a composição dos vapores recondensados tem a mesma 
composição que a mistura original, para não falsificar as composições que se estabeleceram 
nos pratos. Além disso, o líquido é alimentado perto do seu ponto de ebulição, para não 
interferir no balanço térmico ao longo da coluna. O feed separa a coluna, formalmente, em 
uma parte enriquecedora que finaliza no condensador da cabeça (também chamada de ―parte 
de absorção‖; inglês: rectifying section; alemão: Verstärkerteil) e uma parte de esgotamento 
que termina na caldeira do fundo (inglês: stripping section; alemão: Abtriebsteil). 
Na parte enriquecedora o componente mais pesado é extraído dos vapores em ascensão, pelo 
líquido que está em movimento para baixo. Na parte do esgotamento o componente mais leve 
está levado em grande parte para cima, junto aos vapores que sobem. A contracorrente é 
induzida no balão do fundo (alemão: Sumpf) pela ebulição da mistura pesada, na Fig. 84 
denominada de ―inversão das fases‖; na cabeça (alemão: Kopf) ocorre a condensação total dos 
vapores que chegam até lá (na Fig. 84 denominada de ―reversão das fases‖). Uma parte deste 
líquido está redirecionada à coluna onde reflui, a outra parte é tirada como produto de cabeça. 
O mesmo acontece no fundo: uma parte é re-evaporada e induzida à coluna, a outra parte é 
retirada como produto do fundo. Como a mistura no fundo é mais rica em composto pesado e 
a cabeça mais rica em composto leve, a coluna de retificação está operando com gradiente 
térmico linear, mais quente no fundo e mais frio na cabeça. 
 
 (a) (b) 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 174 
 
 (c) (d) 
Fig. 83. Representações da retificação em operação contínua: 
a) Esboço funcional b) Esquema de P&ID (Piping and Instrumentation Diagram) 
c) Equipamento de escala técnica d) Equipamento de escala industrial. 
 
5.5 Balanço de uma coluna de retificação em operação contínua 
Por ser mais ilustrativo, vamos considerar neste cálculo uma coluna equipada com pratos, e 
vamos supor que em cada um destes pratos se estabilize o equilíbrio termodinâmico (troca de 
matéria e troca de calor, entre fase líquida e gasosa), daí se fala de um "prato ideal". Implica 
que o número dos pratos calculado é igual ao número dos pratos que se precisa na execução 
da retificação. 
O objetivo do nosso balanço é visualizar a separação de uma mistura de líquidos, construir um 
diagrama das fases e à base deste gráfico determinar o número de pratos que se precisa para 
dada tarefa separativa. Provou-se mais fácil fazer esse cálculo para uma mistura binária, em 
processo de destilação contínua, com as seguintes idealizações: 
1. A coluna trabalhe de maneira adiabática. Isso implica que não se precisa balancear o 
calor, mas apenas as massas e composições. 
2. O equilíbrio entre as fases esteja estabelecido, em cada um dos pratos. 
3. As entalpias de evaporação, , dos dois componentes sejam aproximadamente 
iguais e independentes de temperatura T e composição x. 
4. Os fluxos de vapor e líquido sejam constantes, tanto na parte de enriquecimento 
quanto no esgotamento. 
5. A alimentação ("feed") da mistura de composição xF aconteça à quente, perto do seu 
ponto de ebulição e na altura daquele prato onde o líquido refluxado tenha a mesma 
composição. 
6. Não haja perda em pressão ao longo da coluna. 
 
Hev
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 175 
Vamos familiarizar-nos com os fluxos de matéria dentro da coluna: 
 = fluxo do feed [em L.h-1] 
 = fluxo do produto leve que é retirado na cabeça; 
 = fluxo do produto pesado que é retirado no fundo. 
 
Suas composições são xF, yP (= xP, devido à condensação total dos vapores na cabeça) e xS, 
respectivamente. 
Além disso, é útil descrever os fluxos dos vapores e dos líquidos em contracorrente: 
 (do vapor) e (do líquido), na parte do enriquecimento; suas composições sejam 
y e x, respectivamente. 
 e na parte do esgotamento; suas composições sejam y´ e x´, respectivamente. 
 
 
Fig. 84. Envelope dos balanços feitos acerca da coluna de retificação (operação 
contínua). 
Um envelope de balanço, como mostrado na Fig. 84, é uma área de equilíbrio, um espaço 
abstrato que permite uma demarcação definida do objeto de investigação frente ao ambiente. 
A natureza da demarcação pode ser tanto física (por exemplo, numa coluna ou num reator 
homogêneo), como imaginário (por exemplo, uma porção de um espaço de reação, um 
elemento de volume diferencial, etc.). 
 
Além destas grandezas básicas, se mostrou confortável na hora do balanço introduzir as 
seguintes grandezas de processo: 
dt
dn
n FF 
dt
dn
n PP 
dt
dn
n SS 
Dn Ln

Dn

Ln
ou 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 176 
 Taxa de refluxo: 
 Taxa de re-evaporação: 
 Taxa de retirada: (quantidades de produto, retiradas no fundo e na cabeça, 
resp.). 
Atenção: a taxa S não é necessariamente idêntica com a composição do feed, já que os 
produtos pesado e leve podem ter purezas diferentes. 
Criamos a seguir três balanços independentes, dos quais dois são mostrados no gráfico a 
seguir.1) Balanço da coluna inteira: 
Fluxos em total: 
Usando a taxa de retirada, podemos escrever: 
. 
O balanço dos componentes (respeitando as composições, sempre olhando no componente 
mais leve): 
. 
Substituíndo ̇ pela expressão acima: 
 ̇ ̇ ̇ | ̇ 
P
L
n
n
v



S
L
n
n
v

 ´
´
P
S
n
n
S



SPF nnn  
 Snn PF  1
SSPPFF xnynxn  
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 177 
 
 ̇ ̇ 
 ̇ 
 
 
 ̇ 
 ̇ 
 
 
 
 . 
 
2) Balanço da parte de enriquecimento: 
Fluxos: . 
Aproveitando da taxa de refluxo: 
. 
 
O balanço dos componentes (respeitando as composições): 
. 
 
Resolver por y, introduzir a taxa de refluxo (v) e o balanço total conforme derivado na parte 1 
acima: 
 
 













1111 v
x
x
v
v
v
y
x
v
v
y PP 
 
Essa é a equação de uma reta, no diagrama x vs. y, com a inclinação 
 
 
 e a intersecção com a 
ordenada 
 
 
 (ou 
 
 
 ; ver Fig. 77). Vamos chamá-la em seguida de reta de trabalho do 
enriquecimento. 
 
3) Balanço da parte de esgotamento: 
Fluxos: ̇ ̇ ̇ . 
Aproveitando da taxa de re-evaporação: 
. 
 
O balanço dos componentes: 
. 
 
Resolver por y´, introduzir a taxa de re-evaporação (v´) e usando o balanço total conforme 
parte 1 acima: 
 
S
xSy
x SPF



1
LPD nnn  
1

v
n
n DP


xnynyn LPPD  
1´
´


v
n
n DS


SSDL xnynxn   ´´´´
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 178 
 
 
Essa é a equação da reta de trabalho do esgotamento. 
 
4) Considerações sobre o ponto do feed: 
Através do feed (= líquido perto do ponto de ebulição) os fluxos na parte de esgotamento e 
enriquecimento se desigualam: e . O que facilita os cálculos é a escolha certa 
do ponto de feed: na altura do prato onde o líquido tenha a mesma composição. Essa prática 
também não falsifica os equilíbrios, térmico e composicional, estabelecidos no prato onde for 
injetado. Portanto, essa é a forma de alimentação mais praticada, na indústria petroquímica. 
O balanço nesta altura da coluna fornece: 
. 
 
. 
 
Quanto mais próxima a composição do feed à composição do produto retirado na cabeça da 
coluna, menor quantidade de produto é retirada no fundo, para manter o equilíbrio com o 
produto da cabeça. E vice versa: quanto mais próxima a composição do feed à composição do 
produto retirado no fundo da coluna, menor a quantidade de produto que se acumula na 
cabeça, para manter o equilíbrio mássico com o produto do fundo. 
Para as demais formas de alimantação pode-se usar essa mesma equação, ampliada por um 
fator de correção f que pode ser determinado através de um balanço entálpico (não será feito 
neste texto introdutório). 
5.5.1 Construção do diagrama de McCabe-Thiele 
A representação das retas de trabalho no diagrama das fases leva ao Diagrama de McCabe-
Thiele. Todas as transições mássicas entre os vapores e os líquidos que se encontram nos 
pratos, devem ser procuradas na área entre essas retas de trabalho e a hipérbole do equilíbrio 
líquido-gasoso do sistema binário. Afinal, o diagrama pode ser usada para a determinação do 
número de pratos que se precisam para chegar a um determinado grau de pureza. 
1´
´
1´
´
´




v
x
x
v
v
y S
DD nn  ´ LL nn  ´
SF
FP
xx
xx
v
v
S






1´
1
   PFPSFS xxnxxn  
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 179 
 
Fig. 85. Posições das retas de trabalho no diagrama das fases [x vs. y], segundo McCabe-
Thiele (a representação da diagonal, y = x, é opcional). 
Observamos que a reta de enriquecimento tem uma inclinação inferior à diagonal, quando a 
taxa de refluxo v tenha um valor fora de ∞ (quer dizer, produto leve está sendo retirado da 
cabeça da coluna). Ela corta a diagonal, no ponto da composição da cabeça, , ou seja, 
em . O trecho de intersecção na ordenada é 
 
 
 (ou 
 
 
 ), isto é, depende da 
composição do produto de cabeça ( , dada pelas exigências da fábrica) e da taxa de refluxo 
(v, a ser escolhida pelo operador da coluna). Quanto menor a taxa de refluxo (isto é, maior a 
retirada do produto na cabeça), mais alto será o ponto de intersecção da reta de trabalho do 
enriquecimento, com a ordenada. Ao mesmo tempo constatamos que o espaço entre a 
hipérbole e a reta de trabalho fica mais estreito. 
Por outro lado, ao diminuir a quantidade do produto retirado na cabeça, ou até interromper a 
alimentação e fechar o feed e as saídas dos produtos, a taxa de refluxo torna-se infinita (
, então e ), isto é, a reta de de trabalho do enriquecimento torna-se 
idêntica com a diagonal, y = x. 
A reta de trabalho do esgotamento se evidencia mais íngreme do que a diagonal. Ela a corta 
no ponto da composição do balão do fundo, xS. O trecho na ordenada é de (- ) e depende, 
além da composição prescrita pela fábrica, yS, também da taxa de re-evaporação, v´. 
Marcante é que o ponto de secção das duas retas de trabalho fica exatamente em , ou 
seja, coincide com a composição do feed (que deve ser em ebulição, como já dito!). Mas isso 
fica evidente quando lembramos que as duas retas de trabalho representam as partes de 
enriquecimento e esgotamento da coluna, respectivamente; então a extremidade direita da reta 
do esgotamento deve representar o topo deste trecho da coluna; a extremidade esquerda da 
Pxx 
Pyy 
Py
v 1
1

v
v
0
1

v
yP
1´v
yS
Fxx 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 180 
reta do enriquecimento deve representar o fundo deste trecho. Realmente, estes dois trechos se 
encontram na altura do feed. 
 
5.5.2 Determinação do número de pratos teóricos, segundo o método de 
McCabe-Thiele 
O método de McCabe-Thiele se baseia no gráfico deduzido acima e tem por objetivo 
determinar o número necessário de pratos, nteor, para dada tarefa de separação. Na prática se 
precisam sempre mais pratos do que nteor, devido às insuficiências nas trocas de matéria 
gasosa-líquida, nos pratos reais. O valor nteor deve ser visto, portanto, como número mínimo 
de pratos necessários. 
A confecção do diagrama de McCabe-Thiele precisa da curva de equilíbrio (dados 
experimentais ou calculadas) e as retas de trabalho, tanto a de enriquecimento como a de 
esgotamento. 
Pegamos um ponto na curva de equilíbrio. Quando tirar uma reta horizontal pode-se alcançar 
uma das retas de trabalho. Neste ponto fazemos leitura da composição da fase líquida, no 
próximo prato mais alto. Essa leitura se faz, consequentemente, no eixo x do diagrama. 
Através deste ponto podemos tirar uma reta vertical. Essa cruza em certo ponto a curva de 
equilíbrio. Neste ponto podemos fazer leitura da composição dos vapores que sobem, a partir 
do prato em questão; a leitura da composição deste vapor é feita no eixo y do diagrama. 
O ponto de partida, para estimarmos o número necessário de pratos, nteor, é a composição do 
líquido no balão do fundo da coluna, x = xS. Este ponto se encontra em cima da diagonal (yS = 
xS). A partir deste ponto procuramos a composição dos vapores que sobem até o primeiro 
prato (cruzamento da vertical com a curva de equilíbrio). A partir deste vapor, yS, podemos 
condensar um líquido no primeiro prato da composição x1 - basta tirar uma horizontal com o 
ponto xS/yS e procurar o cruzamento com a reta de trabalho (no caso, a reta do esgotamento). 
Os vapores que sobem do prato 1 têm a composição y1, conforme ilustrado no próximo 
gráfico: 
 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 181 
 
Fig. 86. Determinação gráficado número de pratos necessário, segundo McCabe-Thiele. 
Finalmente, criamos uma ―escada‖ que vai até a composição da cabeça, xP. A horizontal mais 
alta neste desenho representa a composição dos vapores que sobem do prato mais alto (na 
figura: y12) e entram no condensador onde se transformam em um líquido da mesma 
composição, y12 = yP = xP. A leitura do destilado xP se dá então da secção entre a horizontal e 
a diagonal do gráfico. A contagem dos degraus (sem o fundo S) fornece o número mínimo de 
pratos que se precisa, para alcançar dada pureza, aplicando-se uma taxa de refluxo v e uma 
taxa de re-evaporação v´. Em nosso exemplo a escada termina por acaso exatamente na 
composição do destilado. Em casos contrários, então deve-se acrescentar mais um degrau (ou 
seja, mais um prato), para chegar logo acima do ponto xP. 
Em nosso exemplo acima, o feed deve ser injetado entre o prato 5 e 6, enquanto a parte do 
esgotamento requer cerca de 5½ pratos e a parte do enriquecimento cerca de 7½ pratos. O que 
parece absurdo, nesta frase, é de se falar em ―meios pratos‖. A prática, no entanto, mostrou 
que o uso de corpos de recheio (ver Fig. 93) justifica essa indicação, pois a altura dos ―pratos‖ 
neste caso é muito baixa e forma um quase contínuo, ao longo da altura da coluna. 
 
5.5.3 Número mínimo de pratos e taxa mínima de refluxo 
A solução gráfica do nosso problema deixa claro que o número de pratos depende da taxa de 
refluxo e, acoplado nesta, da taxa de re-evaporação, também. Para o dimensionamento e o 
controle do processo da retificação é de importância qual a combinação, taxa de refluxo e 
número de pratos, seja a mais econômica. Os limites dentro dos quais o engenheiro pode 
tomar uma decisão, são dados pelo número mínimo de pratos de um lado e pela taxa mínima 
de refluxo no outro lado. Afinal, é ele que decide sobre os custos operacionais (através da 
velocidade da destilação) e os custos de investimento (acumulados na construção da coluna). 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 182 
Vamos analisar quais são os critérios fixos e/ou exigidos pela fábrica, e quais são o 
parâmetros onde o operador pode ajustar o processo. O processo de separação certamente 
depende 
 da curvatura da hipérbole do diagrama [x verso y] que depende da volatilidade relativa 
 dos componentes da mistura; um parâmetro aparentemente difícil a ser manipulado. 
Mais adiante veremos, no entanto, que existem vários métodos de aumentar a 
volatilidade relativa, por meio de um componente auxiliar. Este pode ser um líquido 
de volatilidade baixa que se mistura com o composto mais pesado (p. 189,―Retificação 
extrativa‖), um líquido volátil que arrasta o composto mais leve (p. 190, ―Destilação 
azeotrópica‖) ou até um sal que se dissolve seletivamente em um dos componentes e 
assim o torna mais pesado (p. 192, ―Destilação extrativa usando sal‖). Sendo assim, o 
se apresenta como um dos parâmetros operacionais mais importantes para a 
retificação industrial; 
 da composição xF do feed; 
 da pureza do destilado, yP, e da fração pesada, xS. 
 
A partir do balanço da coluna inteira (p. 176) pode-se verificar que através desses parâmetros 
o fluxo do produto na cabeça, , e a taxa de partição ou taxa de retirada, , são 
definidos. Para tal situação existe um número mínimo de pratos, nmin, que se aplica quando a 
taxa de refluxo for infinita (= nenhuma retirada de produtos), ou seja, e o fluxo do feed é 
zero. A leitura de nmin se faz entre a curva de equilíbrio e a diagonal, entre xS e xP. 
 
Fig. 87. Determinação do número mínimo de pratos, segundo McCabe-Thiele, aplicando 
uma taxa de refluxo infinita (v = ). Dados os valores de xS e xP. 
Por outro lado, a taxa de refluxo mínima, vmin, se obtém com uma reta de enriquecimento 
menos íngreme possível. Isto é o caso quando ela corta a curva de equilíbrio em xF e a 
diagonal em xP (ver Fig. 88). A leitura de vmin se dá do ponto de secção da reta de trabalho 
com a ordenada. A parte do esgotamento se dispensa neste caso, por ser acoplada à reta de 
Pn
P
S
n
n
S



Fn
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 183 
enriquecimento que já consta do gráfico. Sob a condição de taxa de refluxo mínimo a coluna 
iria precisar um número infinito de pratos teóricos - uma situação tão pouco realística quanto 
a do número mínimo de pratos. 
 
Fig. 88. Determinação da taxa mínima de refluxo, vmin de uma coluna, requerendo um 
número infinito de pratos (n = ). 
A decisão do engenheiro vai ser em cima de um ponto da curva a seguir (que descreve a 
relação recíproca de nteor e v): 
 
Fig. 89. Relação funcional, entre o número de pratos teóricos nteor , e a taxa de refluxo v, 
de uma coluna de retificação contínua. 
Na prática dominam os aspectos econômicos. Muitos pratos significam altos custos de 
investimento na construção da coluna e baixos custos de operação. Alta taxa de refluxo 
significa baixos custos de investimento, mas altos custos de operação. Deve-se então procurar 
o ponto mínimo na curva de custos totais - que é a soma das duas. 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 184 
 
Fig. 90. Custos de investimento, operação e custo total, de uma coluna de retficação, em 
função da taxa de refluxo , v, e do número de pratos, n. 
A experiência mostra que a taxa de refluxo ótima, vopt, fica entre 2 e 10 vezes o valor de vmin. 
 
5.5.4 Pratos reais e o fator de eficiência 
Na prática não se consegue um equilíbrio total entre a fase gasosa e líquida, em nenhum dos 
pratos. Este fato deve ser levado em consideração no planejamento da coluna. Equilíbrio não 
é atingido devido ao curto tempo de contato entre vapor e líquido. Neste curto período o 
líquido na proximidade da bolinha de gás tem, de fato, outra concentração (mais rico em 
composto mais volátil), do que em outro local longe das bolhas. Um prato onde se tem este 
tipo de gradiente local em concentração se chama, portanto, prato real. 
A insuficiência em equilíbrio pode ser considerada por um fator de eficiência, S (também 
conhecido como coeficiente de Murphree). Pode-se postular se a resistência contra o 
transporte da matéria for dentro do vapor ou dentro do líquido. Seja ela maior na fase do 
vapor (o que é o caso geral), podemos definir o fator de eficiência em termos de y: 
. 
O fator de eficiência é a relação entre as composições obtidas, na realidade e por cálculo, 
quando comparamos um prato com o seu prato vizinho logo abaixo. 
O problema é que o fator de eficiência varia ao longo da coluna e, portanto, ao longo da curva 
de equilíbrio, no diagrama das fases. Afinal, o fator S depende do tipo de prato, das 
condições de operação da coluna e, lógico, das propriedades físicas dos líquidos que estão em 
contato. 
Um cálculo aproximado do número de pratos reais às vezes é possível através de um fator que 
representa a média dos fatores S,n de todos pratos: 
, com = fator de eficiência média. 
 
1
1,
1 





neqn
nn
S
yy
yy

m
teornn

 m
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 185 
O uso do fator de eficiência médio, no entanto, pode levar a graves desvios, especialmente 
quando a curva de equilíbrio e a reta de trabalho tenham inclinações bastante diferentes. Neste 
caso é aconselhado usar uma curva de pseudo-equilíbrio, conforme mostrado no próximo 
gráfico: 
 
 
Fig. 91. Diagrama de McCabe-Thiele para uma coluna com pratos reais. 
5.6 Equipamentos de retificação 
Além da coluna de refluxo um aparelho de retificação sempre tem um condensador e um 
evaporador, para estabelecer a mudança das fases na cabeça e no balão do fundo, 
respectivamente. Também acompanham trocadores de calor comfinalidade de aquecer o feed 
e resfriar os produtos separados. Dependendo da construção do interior da coluna, podemos 
classificar como coluna com pratos reais ou corpos de recheio. Na primeira categoria 
encaixam os pratos com borbulhadores de sino e pratos retos com perfurações, enquanto o 
último tipo de coluna é um empacotamento frouxo com corpos de recheio de grande 
superfície e curvatura típica. 
 
Fig. 92. Diferentes construções de pratos em colunas de retificação, em comparação à 
coluna com um leito de corpos de recheio. 
 
yn,eq 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 186 
Pratos de borbulhadores e pratos perfurados têm o mesmo objetivo: os vapores devem 
atravessar o líquido (regulado a poucos centímetros de altura em cada prato), de maneira mais 
fina e sem causar grande resistência ao longo do seu caminho para cima. Cada prato é 
equipado com um cano de entorno que impede o caminho livre, para os vapores não 
escaparem para cima. A posição da sua beirada determina a altura do líquido nos pratos. 
Em colunas com recheios os vapores que sobem e os líquidos em refluxo estão em contato 
intenso e perpétuo. A área onde pode ocorrer troca de calor e matéria é muito maior do que 
em colunas com pratos reais. Para garantir um filme fino de grande área, os corpos de recheio 
têm geometrias típicas que impedem um empacotamento denso. Isso é necessário para não 
entopir o caminho para os vapores ascendentes. As qualidades marcantes são a grande 
superfície e, ao mesmo tempo, um grande espaço livre para os vapores. 
 
 
Fig. 93. Corpos de recheio de colunas de retificação industriais. 
 
Um ponto fraco nos corpos de recheio é a ocorrência de canais de baixa resistência onde 
grande quantidade de vapor sobe (e com alta velocidade), enquanto em zonas de 
empacotamento mais denso passar muito pouco ou nenhum vapor, mas somente reflui o 
líquido. Se isso for o caso a coluna deve ser refeita, os recheios recolocados de maneira mais 
adequada. O empacotamento (não empilhamento!) de colunas requer, portanto, bastante 
experiência prática! 
Uma vez a coluna com corpos de recheio estiver funcionando, ela tem certas vantagens sobre 
uma coluna com pratos reais: 
 A limpeza do material de recheio (os corpos são geralmente feitos de um material 
bastante resistente, tal como aço inox ou cerâmica) fica mais confortável, por ser 
retirável da coluna. 
 A perda em pressão ao longo da coluna é menor do que em colunas com pratos 
verdadeiros. 
 Comparando o poder de separação de colunas da mesma altura, o efeito da coluna 
equipada com recheios é superior. 
 
Para sua caracterização usa-se a altura de empacotamento que tem o mesmo efeito do que um 
prato teórico (equilíbrio total), chamado de HETP = Hight Equivalente to a Theoretical Plate. 
 
teornHETPh  , 
 
com h = altura da coluna toda, nteor = número teórico de pratos. 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 187 
(No cap. 5.9.3 identificaremos h como HTU e nteor como NTU.) 
O número teórico de pratos se determina, usualmente, no gráfico de McCabe-Thiele por um 
zig-zag entre as curvas (ver Fig. 86). Note que o valor HETP é um valor médio, ao longo da 
coluna toda. Dependendo do tipo e tamanho do recheio o HETP fica de 2 a 15 cm. 
 
5.7 Operações destilativas especiais 
Esta secção aborda a separação de misturas multi-componentes, misturas azeotrópicas e 
misturas onde a curva de equilíbrio fica muito próxima à diagonal (isto é, onde a volatilidade 
relativa  tiver um valor perto de 1). Nestes casos a destilação industrial requer de 
equipamentos mais sofisticados. 
Em virtude da suma importância industrial para o Brasil, o álcool hidratado foi escolhido 
como sistema exemplar no qual se aplicam com sucesso todos os métodos de separação 
especiais descritos abaixo. Produto de valor, neste caso, é o álcool anidro cuja finalidade é a 
aditivação da gasolina comum do Brasil. 
 
5.7.1 Separação de misturas multi-componentes 
Para resolver esta tarefa de maneira satisfatória e em fluxo contínuo, várias colunas devem ser 
acopladas em série. A maneira do acoplamento depende do grau de pureza exigido e, como 
sempre, é uma questão econômica de se construir as colunas. A retirada lateral de uma coluna 
(inglês: side streams), por outro lado, não fornece produtos puros. Este método se aplica, 
principalmente, na indústria petroquímica, onde se visa obter frações de 
solventes/combustíveis com faixa (estreita) de ebulição. 
 
5.7.2 Método de duas pressões 
É impossível separar uma mistura azeotrópica por uma retificação simples. Mesmo com um 
alto número de pratos se consegue apenas a composição azeotrópica, mas não os componentes 
puros. Isto se deve ao fato de que a curva de equilíbrio está cortando a diagonal no diagrama 
das fases (onde y = x), no ponto azeotrópico. Naturalmente, onde a composição dos vapores y 
é indentica com a da fase líquida x, não há mais efeito separativo por meio de pratos. O 
método especial de duas colunas com pressões diferentes aproveita da dependência do ponto 
azeotrópico, da pressão. Em geral, o ponto azeotrópico está sendo deslocado à direita, ao 
abaixar a pressão. Isto é, a mistura azeotrópica se enriquece em componente mais volátil. 
O próximo esquema mostra o fluxograma das duas colunas e o diagrama das fases, às duas 
pressões diferentes (pressão baixa = pressão 1 ou índice n; pressão alta = pressão 2 ou índice 
h). Um exemplo que todos conhecem é a mistura água - etanol. Na primeira coluna onde há 
baixa pressão, pn, uma mistura azeotrópica da composição xA1 está sendo retirada na cabeça, 
enquanto no fundo se coleciona o componente mais pesado (2) que é, no caso, a água. O 
produto da cabeça está conduzido à segunda coluna que trabalha à pressão mais alta, ph 
(tipicamente ~5 atm). Aqui é possível separar a mistura da composição xA1, em um produto de 
fundo que é etanol e um azeotrópico mais leve, no entanto enriquecido em água, da 
composição xA2 que sai pela cabeça. Este último sendo reinjetado na primeira coluna e volta 
ao ciclo. 
 
 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 188 
 
Fig. 94. Fluxograma da destilação de duas pressões; diagrama das fases de uma mistura 
com azeotrópico a ser separada por este método. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 189 
 
Fig. 95. A mistura água-etanol: . 
À esquerda em cima: diagrama das fases à pressão ambiente; 
À direita em cima: acrescentadas as linhas de operação, a reta de esgotamento e a 
reta de enriquecimento, numa taxa típica de refluxo. . 
Em baixo: Diagrama de destilação à base de dados reais. 
 
Há casos onde um abaixamento da pressão faz com que o ponto azeotrópico some 
completamente. Em nosso exemplo importante de etanol/água, isso acontece abaixo de 0,11 
atm. Daí se dispensa a necessidade da segunda coluna; a retificação se executa simplesmente 
à pressão reduzida, daí se fala de retificação a vácuo. Esta técnica também mostra vantagens 
quando tratar componentes que são altamente sensíveis a altas temperaturas ou correm perigo 
de decomposição por oxidação. 
 
5.7.3 Retificação extrativa 
Uma alternativa ao trabalho com pressões diferenciadas é o auxílio de mais um componente, 
geralmente um componente bem menos volátil do que se tem na mistura azeotrópica. Este 
componente provoca igualmente um deslocamento da posição do ponto azeotrópico ou, em 
casos de curva de equilíbrio rasa, o afastamento da curva da diagonal. Neste método extrativo 
(também conhecido como processo distex 
36
) a substância auxiliar se junta intimamente ao 
componente menos volátil da mistura problema. Assim,a pressão de vapor deste componente 
se abaixa, então a volatilidade relativa do componente mais leve aumenta, sua separação pela 
cabeça fica mais fácil. Em uma coluna de retificação posterior ocorre a separação do produto 
do fundo da coluna 1 (composto auxiliar + componente pesado). O composto auxiliar é então 
 
36
 J. Griswold , D. Andres , C. F. Van Berg , J. E. Kasch, Pure Hydrocarbons from Petroleum - Separation of 
Straight-Run Fractions by Distex Process, Ind. Eng. Chem., 38 (1946), 65–70 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 190 
reinjetado na coluna 1, isto é, ele não sai do ciclo e pode então ser aplicado em "quantidades 
catalíticas". 
 
Fig. 96. Fluxograma da retificação extrativa 
Exemplos da prática: 
 Separação de benzeno e ciclohexano, usando anilina. 
 Absolutar etanol com auxílio de monoetilenoglicol (ainda em fase de implementação) 
ou glicerina (segundo Mariller 1950; ultrapassado por causa de polimerizações e 
recuperação cara do solvente). 
Para dar conta na crescente importância industrial do Brasil, o último método deve ser 
descrito mais em detalhe. Utiliza-se uma coluna de desidratação, onde o monoetilenoglicol 
(MEG) é alimentado no topo desta coluna e o álcool a ser desidratado também a um terço 
abaixo do topo da coluna. Inversamente ao processo do ciclohexano (ver logo em seguida), o 
MEG absorve e arrasteja a água para o fundo da coluna e os vapores de álcool anidro saem 
pelo topo da coluna, de onde o álcool é condensado e enviado para armazenamento nos 
tanques. A mistura contendo água, MEG e uma pequena quantidade de álcool, é enviada para 
uma coluna de recuperação do MEG, o qual retorna ao processo de desidratação. Como o 
MEG concentra as impurezas retiradas do álcool e se torna mais corrosivo, é necessária a sua 
purificação pela passagem através de uma coluna de resinas de troca iônica, que retém os sais 
e reduz a acidez. 
 
5.7.4 Destilação azeotrópica 
Em analogia à destilação extrativa, este método também aproveita de um componente auxiliar 
- esta vez um líquido mais leve que os componentes a serem separados. Em caso de uma 
mistura de pontos de ebulição próximos ( perto de 1) o auxiliar provoca a formação de um 
azeotrópico, em casos onde já há azeotrópico haverá mudança do ponto azeotrópico. O novo 
azeotrópico deve ter um ponto de ebulição tão baixo que seja possível retirá-lo pela cabeça da 
primeira coluna, de onde sai em forma de mistura ternária. No fundo da coluna 1 se obtém 
então o componente 1 da mistura binária original, quase puro. O produto da cabeça, após seu 
arrefecimento, separa-se em duas fases (ver na Fig. 97, unidade da sigla PT). Daí se tem a 
possibilidade de conduzir uma das fases, aquela que é mais rica em composto auxiliar, de 
volta ao ciclo. A outra fase é mais rica em componente 2, mas contém ainda o composto 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 191 
auxiliar. Este componente deve ser purificado na coluna 2. Na coluna 2 ocorre a separação e o 
componente 2 (= menos volátil) é retirado pelo fundo. A recuperação do restante do composto 
auxiliar sai pela cabeça que, logo a seguir, está reinjetado na coluna 1. 
Com a etapa da separação das fases a frio, executada no equipamento da sigla PT (do alemão: 
Phasentrennung), este método tem bastante semelhança ao "arraste por vapor" 
33
 ou com o 
Dean Stark Trap do laboratório, onde há separação quase completa da água e da fase orgânica 
extraída, a frio. As destilações, azeotrópica e extrativa, são os métodos mais importantes na 
petroquímica, para separar os aromáticos dos alifáticos. 
 
Fig. 97. Fluxograma da destilação azeotrópica; PT = separador das fases. 
Uma variação da destilação azeotrópica se aplica na produção do etanol anidro em alta escala, 
proveniente da hidratação catalítica de etileno ou de processos fermentativos: 
 A coluna principal que leva a mistura de cabeça à proximidade do ponto azeotrópico; 
a água é o produto do fundo. 
 A coluna segundária é alimentada com o produto de cabeça que contém 95,6% de 
etanol e 4,4% água, e uma substância auxiliar de arraste, hoje o ciclohexano (Teb = 
80,8 °C, a 1 atm). 
Destilação azeotrópica do álcool hidratado, utilizando ciclohexano, é atualmente o processo 
mais aplicado no Brasil para elevar o álcool absoluto ao álcool anidro. Este processo utiliza 
uma coluna de desidratação, sendo o ciclohexano alimentado no topo da coluna e o álcool a 
ser desidratado alimentado a um terço abaixo do topo da coluna. Neste processo, o 
ciclohexano tem a característica de formar com o álcool e a água uma mistura ternária 
(azeótropo) com um ponto de ebulição de 63ºC. 
Esta mistura ternária, por ter o menor ponto de ebulição da mistura em relação ao do álcool 
(78,3ºC), faz com que a água seja retirada pelo topo da coluna. Por condensação e 
arrefecimento, esta mistura azeotrópica irá separar-se em duas fases, sendo a fase superior rica 
em ciclohexano e álcool; ela é retornada e injetada no topo da coluna 1. Já a fase inferior, 
mais rica em água, é enviada para uma outra coluna onde ocorre a recuperação dos restos do 
ciclohexano, que retorna ao processo de desidratação. O álcool anidro obtido, com um teor 
alcóolico em torno de 99,3% p/p, é retirado na parte inferior da coluna de desidratação, de 
onde é condensado e encaminhado para armazenamento. 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 192 
 
A mistura de dois dos três componentes é separada na segunda coluna, em um produto de 
cabeça (água e ciclohexano) e o etanol que é retirado do fundo com alta pureza. O produto da 
cabeça é esfriado e condensado, onde as fases líquidas se separam imediatamente: em cima o 
ciclohexano e em baixo a água que ainda contem algum ciclohexano em menor parte. Segue 
uma simples decantação do ciclohexano que recircula na parte de enriquecimento da segunda 
coluna. Para atender as leis ambientais este resto de solvente orgânico contido na água deste 
separador PT pode ser separado ainda numa terceira coluna. 
 
Fig. 98. Produção de etanol anidro em grande escala. 
Os auxiliares antigamente usados, o benzeno (no processo de Young) e o tricloroetano (no 
processo Drawinol) não se usam mais hoje, devido a problemas ambientais e toxicidade. Pela 
teoria apresentada a substância auxiliar não deve sair deste ciclo fechado. Na prática, no 
entanto, a perda de uma pequena quantidade é inevitável, devido a insuficiências na separação 
e/ou perdas por vazamento. No caso da separação água/etanol, por exemplo, se perde em 
torno de um litro de ciclihexano a cada tonelada de etanol anidro produzido. 
 
5.7.5 Destilação extrativa usando sal 
Para ficar ainda um pouco com o exemplo etanol/água, devido à grande importância 
econômica para o Brasil que é o segundo maior produtor de etanol do mundo, logo depois dos 
EUA. O álcool absoluto (~93% de pureza) é vendido como combustível ―Álcool‖ nos postos 
de gasolina. Ainda é produzido o álcool anidro ( ≥ 99,3% de pureza) que é misturado com a 
gasolina comum em até 25%. Deve-se mencionar também uma técnica que não usa uma 
substância auxiliar líquida para separar os dois componentes, mas um sal. 
37
 
 
37
 A. Cardoso Lima, Estudo de uma coluna recheada para a produção de etanol anidro; artio disponível no site 
http://www.cobeqic2009.feq.ufu.br/uploads/media/87721931.pdf 
 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 193 
Trata-se de um método relativamente recente e ainda pouco aplicado, mas que oferece 
vantagens pela simplificação e diminuição dos equipamentos, baixa toxidade do auxiliar e 
maior economia em energia.Além disso, a destilação extrativa usando sal dissolvido como 
agente separador ao invés de um solvente líquido tem a vantagem que pequenas 
concentrações de sal são capazes de aumentar, consideravelmente, a volatilidade relativa do 
componente mais volátil da mistura a ser destilada. Aspecto negativo: a presença de um sal 
aumenta consideravelmente a corrosividade da mistura – o que deve ser levado em 
consideração nos aços usados nas torres. 
Um agente separador líquido é superior ao sal, sob os seguintes aspectos: é melhor 
transportador de massa, tem alto grau de solubilidade para o componente menos volátil e 
mistura-se com alta taxa no ponto de alimentação (feed). O ponto fraco é justamente que 
alguma parte do separador é compatível com o componente mais volátil, também. Neste 
aspecto não há auxiliar melhor do que um sal, quando o objetivo é retirar água, de uma 
mistura com um líquido mais volátil. Sendo totalmente não volátil, todo o sal flui pelo fundo 
da coluna, deixando o produto de topo isento do agente separador. Portanto, não há 
necessidade de outras etapas de separação do produto de topo com o agente separador, como 
ocorre com agentes líquidos. O consumo de energia na operação é menor, pois parte do agente 
separador não é vaporizada e condensada em seu ciclo através da coluna de destilação 
extrativa, como ocorre quando se utilizam agentes líquidos. Outra principal vantagem é que o 
efeito pode ser mais efetivo do que com agentes separadores líquidos. Isto pode ser explicado 
pelo fato das forças de associação serem muito mais fortes por íons salinos do que por 
moléculas de líquidos. O resultado é que bem menos agente separador é requerido. Enquanto 
poucas quantias de sal são usadas, agentes líquidos são usados, geralmente, em concentrações 
de 50-90% da mistura líquida. Esta redução acarreta em menores dimensões nos 
equipamentos, como diâmetro da coluna, capacidade de recuperação e reciclo do agente 
separador. 
O melhor resultado na produção de etanol anidro por este método se obteve, por enquanto, 
com uma mistura de acetatos. Já a adição de cal viva (CaO) à mistura etanol/água se mostrou 
menos eficaz, devido à alta energia envolvida na recuperação do sal após sua hidratação, à 
formação de lamas de manuseio difícil e, principalmente, devido à taxa elevada de perda de 
etanol na etapa da separação e recuperação deste sal. 
Existem ainda outros métodos de absolutar etanol: um que faz uso de um aditivo sólido, 
denominadamente de zeólitos (também conhecidos como ―peneira molecular‖, ver p. 220). 
Este processo, no entanto, é uma secagem seguindo aos princípios da adsorção - que será 
discutida mais adiante (ver p. 214). Mostrou-se vantajoso aplicar o etanol hidratado em fase 
de vapor, enquanto os zeólitos formam um leito fixo e frouxo, na coluna de adsorção. A 
regeneração do leito (= ―dessorção‖) acontece, favoravel e periodicamente, por passagem de 
vapor de álcool superaquecido que leva a umidade em forma de vapor. Essa mistura é 
recondensada e reciclada na coluna de retificação. 
Em outro processo conhecido como pervaporação o etanol é desidratado por meio de uma 
membrana seletiva (ver p. 247) que pode ser feita, por exemplo, de polivinil álcool (PVA) e 
 
R. Barroso Soares, Estudo da destilação extrativa salina em coluna recheada para a produção de etanol. Tese 
disponível no site 
http://www.ufrrj.br/posgrad/cpeq/paginas/docs_teses_dissert/dissertacoes_docs_2010/RenanBarrosoSoares.pdf 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 194 
poliacrilonitrila (PAN). 
38
 Esse método está ainda em desenvolvimento, mas as primeiras 
experiências prometem um consumo de energia de apenas 1/3 da destilação azeotrópica – 
além de ser inofensivo devido à ausência de solventes auxiliares. 
 
5.8 Transferência e transmissão de massa 
5.8.1 Transferência de massa 
Em muitos processos técnicos de transporte podemos identificar a transferência de massa, de 
uma fase para outra, decorrendo sob intensa mistura nos interiores destas fases, enquanto 
diretamente na interface se tem um filme laminar dentro do qual existe um gradiente de 
concentração linear para a substância em questão. Para as partículas que se encontram nesta 
camada fina podemos admitir equilíbrio termodinâmico. O transporte destas partículas ocorre 
exclusivamente por difusão. Além disso, pressupomos a espessura do filme da interface sendo 
constante e independente da massa transportada. 
Exemplos representativos para este tipo de transporte: 
a) Dissolver uma substância sólida 
Sólido i Solvente 
 
 
Na superfície do sólido se mantém uma camada onde a solução é saturada (concentração csat, 
um valor fixo e característico para o sistema químico, a dada temperatura). A velocidade da 
transferência mássica é determinada por difusão nas imediações da superfície, e por 
convecção quando mais afastado, ou seja, no interior da fase líquida. 
b) Evaporação de um líquido da superfície. 
Gotícula do componente i Gás 
 
 
Na superfície redonda desta gota existe concentração de saturação, csat. A troca de matéria 
entre as duas fases ocorre com uma velocidade (= velocidade da transição de matéria) que 
na maioria dos casos se mostra proporcional à área de troca, F, e à diferença em concentração, 
c, entre a concentração de saturação na superfície e a concentração média no interior da fase 
gasosa. 
 
38
 N.N. Win, Separation of ethanol-water mixture by pervaporation with organic composit membrane: Modelling 
of separation performance using model parameters derived from experimental data. Artigo disponível em 
http://www.seed-net.org/download/ 
in
n
in
in
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 195 
 
. 
 
Essa relação para a velocidade de transição mássica (mol/s) é, ao mesmo tempo, a equação 
de definição do coeficiente de transição de massas,  (m/s). Ele pode depender de uma série 
de fatores, principalmente do tipo de matéria transportada (i), modo de fluxo, temperatura e 
grandezas acerca do aparelho. Portanto, coeficientes de transição mássica podem ser 
calculados, somente em casos simples e específicos. O jeito mais direto e confiável é sua 
determinação experimental. 
O grande parentesco com o transporte de calor (p. 136) se evidencia quando olhamos na 
equação correspondente, da transição calorífica: 
 
. 
 
E em analogia aos problemas de transporte do calor, somente se conseguem resolver equações 
diferenciais exatas para fluidos em repouso, mas não para situações de convecção livre ou 
forçada. Nestes casos o coeficiente de transição mássica somente é acessível através de um 
modelo e a teoria da semelhança (ver cap. 3.2). 
No entanto, a transição de massa sob convecção forçada é especialmente importante na 
técnica. Neste caso a parte que se deve à convecção livre pode ser desconsiderada. A seguir 
sejam referidos relações e números adimensionais acerca do transporte de massas, 
comparados com o fenômeno/problema correspondente do calor: 
Tab. 22. Comparação entre transição de massas e de calor, sob convecção forçada. 
Transição de massas Transição de calor 
 
Número de Reynolds: Número de Reynolds: 
Número de Schmidt: Número de Prandtl: 
Número de Sherwood: Número de Nusselt: 
 
 é a viscosidade cinemática, é a condutividade térmica, D (cm²/s) é o 
coeficiente de difusão molecular do componente de transferência dentro do solvente. 
O número de Sherwood é determinado ao combinar os outros números adimensionais, junto 
aos devidos expoentes e fatores de correção: 
 
. 
cFccFn sati  )(
in
TFTTFQ S   )(

)( , isatii ccFn   )( TTFQ S 




du
Re



du
Re
D
Sc


a

Pr
D
d
Sh




 d
Nu




 
pc
a




)(Re,ScfSh 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 196 
 
Exemplos: 
1) Evaporação a partir de um tubo molhado, onde a correnteza seja turbulenta e L >> d: 
 
. 
 
2) Evaporação a partir de um leito de corpos de recheio (onde d = diâmetro dos corpos de 
recheio): 
 
. 
 
Muitas outras equações da transição mássica, sob convecção forçada, são referidas nas obras 
padrões da engenharia (ver nota de rodapé 1). 
 
5.8.2 Transferência de massa e de calor – paralelas e diferenças. 
Em analogia à transferência do calor (p. 134) discutiremos a transferência de massa, de uma 
fase para outra. Podemos considerar essa transferência sendo a sequência de duas transições 
consecutivas da massa. Todavia, podemos constatar diferenças fundamentais, entre o 
fenômeno aplicado ao calor e à massa. Podemos visualizar essas diferenças pelos perfis de 
temperatura e concentração, respectivamente, que se estabelece entre as fases. 
 
 i pode ser CO2, SO2, etc. 
 = ? 
Fig. 99. Comparação entre a transferência de calor e de massa, através de uma barreira 
de fases. Note que a massa em forma do gás i, neste exemplo, mostra baixa 
solubilidade no líquido. 
No caso da transferência de calor os meios fluidos geralmente são separados um do outro, por 
uma parede fixa. Em ambas as fronteiras, fluido 1/parede e parede/fluido 2, as duas fases em 
contato têm a mesma temperatura (curva de temperatura = contínua). 
  42,075,0 180Re037,0 ScSh 
33,08,0Re066,0 ScSh 
)( 21 TTFkQ parede 

in
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 197 
Por outro lado, na transferência de massa as duas fases do fluido encostam diretamente, uma à 
outra. Além disso, o composto a ser transferido mostra solubilidades diferentes nas duas fases. 
Justamente devido a essa diferença em solubilidade se estabelece na interface um pulo na 
concentração (curva de concentração = descontínua). Como já pode suspeitar, não temos 
acesso experimental a essas concentrações em ambos os lados da interface. 
Temos que lidar com problemas de transferência de massa, nas mais diversas situações. 
Vamos considerar um processo de absorção. Neste caso lidamos com uma fase líquida que 
encosta na fase gasosa (ver Fig. 99 b). No tratamento teórico de transferência de massas as 
seguintes simplificações são comumente feitas: 
1. O transporte da massa em ambas as fases não dependa do acontecimento no seu 
interior, mas da velocidade da difusão na interface. 
2. Na proximidade da interface sempre tenha equilíbrio. 
3. Na proximidade da interface não tenha convecção, mas exclusivamente difusão. 
O ponto de partida geralmente é uma relação simples de distribuição, onde no caso da 
absorção rege a lei de Henry, bem conhecida da fisico-química: 
 
 Lei de Henry (1803) 
 
A constante de Henry, Hei, geralmente é definida para o caso de se ter as mesmas unidades de 
medida para a concentração, em ambas as fases. Para a concentração do componente de 
transferência na fase gasosa colocamos: 
 
, com pi = pressão parcial do componente i, 
 
conforme a lei dos gases ideais. Essa relação indica que a concentração é maior a 
temperaturas baixas - fato que o aparelho de absorção aproveita (ver Fig. 102, na p. 203). 
Uma coluna de absorção geralmente trabalha numa temperatura constante. Por isso e para 
facilitar os cálculos, as considerações neste e no próximo parágrafo valem para condições 
isotérmicas. As concentrações do componente de transferência i em ambas as fases mostram 
uma relação linear. Somente a concentrações muito altas essa relação desvia da linearidade. 
 
 
Fig. 100. Validade da lei de Henry; a inclinação da reta é Re. 
gasiiliqi cHec ,, 
RT
p
c igasi ,
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 198 
Caso a constante de Henry tiver um valor grande, significa que o componente de transferência 
é bem solúvel na fase líquida. O perfil de concentração esboçado na Fig. 99 b vale então para 
o caso de uma constante de Henry pequena. Por outro lado, com Hei grande obteremos um 
perfil da seguinte forma: 
 
Fig. 101. Absorção de um gás com alta constante de Henry (contrário do caso da Fig. 
99 b). 
Pela nossa surpresa, mesmo que ci,liq > ci,gas, o componente é transferido na direção indicada. 
Isso evidentemente não se explica com a diferença nas concentrações, mas sim, com a 
diferença no potencial químico. 
Para entrar mais em detalhe, mostrou-se cômodo representar o processo de transferência do 
ponto de vista do líquido ou do ponto de vista do gás, conforme indicado a seguir. Do lado de 
vista do líquido estima-se na parte do gás uma concentração imaginária c
*
i,gas que seja o 
contínuo da concentração ci,liq. Na representação da vista do lado do gás usa-se uma 
concentração imaginária c
*
i,liq que der continuação da concentração ci,gas. 
 
a) Transferência do ponto de vista do líquido 
Na representação do lado do líquido se desloca a concentração no gás formalmente ao nível 
da concentração do componente i no líquido, aproveitando-se da lei de Henry: 
 
 
 
Para a taxa de transferência obtemos então: 
 
, 
 
ou seja: 
 
. 
 
gasiigasi cHec ,,
* 
 liqigasiliqi ccFkn ,*, 
 liqigasiliqi ccHeFkn ,, 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 199 
 
 
b) Transferência do ponto de vista do gás 
Na representação do lado do gás se calcula com uma concentração imaginária no lado do 
líquido que seja ao nível da concentração do componente i no gás: 
 
. 
 
Para a taxa de transferência obtemos então: 
 
, 
 
ou seja: 
 









i
liqi
gasigasi
He
c
cFkn
,
,
 .
 
 
i
liqi
liqi
He
c
c
,
,
* 
in
 *,, liqigasigasi ccFkn 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 200 
 
 
Nas relações dadas acima têm-se os coeficientes de transferência mássica kliq e kgas para os 
quais vale, em toda analogia à equação de Peclet (p. 139): 
 
 e . 
 
Os coeficientes têm a seguinte relação (analogia à transferência de calor, ver p. 134): 
 
. 
 
Identificamos dois casos limites: 
Caso limite 1: O componente de transferência é pouco solúvel (por exemplo, O2 ou N2 em 
água). Daí a constante Hei é pequena e . Neste caso se oferece 
uma representação do lado do líquido. 
Caso limite 2: O componente de transferência é bem solúvel (por exemplo, NH3 ou HCl 
em água). Daí a constante Hei é grande e . Neste caso uma 
representação do lado do gás seria mais vantajosa. 
 
5.9 Torres de absorção 
A técnica mais utilizada para levar gases técnicos a um nível de pureza elevado é a absorção. 
Esse procedimento de absorção também é conhecido como lavagem de gases (inglês: 
Stripping). Os equipamentos mais utilizados para esta finalidade são: 
 Colunas com corpos de recheio (ver p. 186), usadas para quantidades menores de 
gases; 
 Colunas com pratos, usadas para quantidades maiores, principalmente; 
 Colunas com atomização/nebulização; 
gas
i
liqliq
He
k 

11
liqigasgas Hek  

111
liqigas kHek 
liqliqk 
gasgask 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 201 
 Borbolhamento do gás através de uma coluna cheia de solvente. 
Os esboços da realização técnicadestas colunas, ver Fig. 106, no final do capítulo 5.9. 
Enquanto no capítulo anterior (destilação e retificação) foi apresentada a coluna com pratos 
reais como equipamento principal, nesta secção a coluna com corpos de recheio tem mais 
importância e será o foco da nossa discussão. Lá, admitimos que em cada prato há equilíbrio e 
troca livre entre as fases, gasosa e líquida - um modelo que rigorosamente não é válido para 
colunas com corpos de recheio. 
Para o dimensionamento de métodos térmicos de separação são duas grandezas de suma 
importância: 
1. A posição do equilíbrio entre as fases, quer dizer, como a composição da fase I 
influencia na composição da fase II; 
2. A velocidade com que esse equilíbrio se estabeleça. 
O primeiro aspecto é atendido pela discussão da termodinâmica, o que foi feito extensamente 
no cap. 5.2. O segundo aspecto, no entanto, é uma questão da cinética e depende basicamente 
do mecanismo de transporte no interior das fases e, como fator especialmente limitante, o 
transporte da matéria na interface. Observamos muitas paralelas com o transporte de calor. 
Sendo assim, os mecanismos de transporte de calor, a dizer condução e convecção, têm seus 
análogos no transporte de massa, lá conhecidos como difusão e convecção. Também a 
transferência e a transmissão de calor (cap. 4.3) têm suas grandezas correspondentes no 
transporte mássico. Assim, pode-se formular o mecanismo deste transporte em várias etapas 
consecutivas, das quais a mais lenta é decisiva para a velocidade do processo global, ou seja, 
para o dimensionamento da planta. 
As metas deste capítulo são: 
1. Descrição dos processos de troca de massa entre duas fases adjacentes. 
2. O conhecimento teórico de mais um método térmico de purificação. 
3. A introdução em um modelo com troca de matéria contínua (princípio de NTU/HTU). 
Este princípio, como veremos a seguir, não só vale para a lavagem de gases, mas 
também para uma grande variedade de outros processos bifásicos (sendo exemplos, a 
retificação e a extração). 
 
5.9.1 Princípio e pontos comuns na lavagem de gases. 
Na indústria química se têm muitos exemplos de operações unitárias onde se retira um 
componente gasoso i (geralmente um composto tóxico, nocivo, corrosivo, reativo no senitido 
prejudical), a partir de um grande volume de gases misturados (gás cru). Mas também se 
conhece exemplos onde o componente i é que tem valor. O equipamento usado é uma torre 
com corpos de recheio, muito parecida à coluna de retificação discutida acima. Expressão em 
ingês: Stripper. 
Alguns exemplos: 
a) Na petroquímica: 
O stripper é usado na refinação de produtos do petróleo, onde os side streams (expressão ver 
p. 187) são liberados de compostos de elevada volatilidade. Por exemplo, liberar o queroseno 
da gasolina cuja volatilidade é mais alta. 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 202 
b) No procedimento da purificação de águas servidas: 
Podem ser retiradas, pela técnica do Stripping, gases tóxicos tais como NH3 e H2S, mas 
também contaminantes líquidos tais como mercaptanos, fenóis e hidrocarbonetos 
(poli)clorados. 
c) Na produção de celulose Kraft: 
O licor negro, subproduto na digestão da lignina da madeira, é concentrado em uma planta de 
evaporação que funciona em várias etapas 
39
. Em pelo menos uma destas etapas devem ser 
recolhidos os gases que chegam ao limite da sua solubilidade. Isso ocorre através de uma 
coluna de absorção, onde se separam os SOG (Stripper Off-Gases), uma mistura rica em gases 
condensáveis, tais como alcoóis. 
d) Produção de ácidos inorgânicos: 
SO3, HCl (ambos são gases)  Ácido sulfúrico; ácido clorídrico (que são líquidos). 
e) Purificação de gases de escapamento: 
Retirada de partículas de fuligem e enxofre em forma de SO2: 
Torre de nebulização com solução de cal, Ca(OH)2  formação de sulfito de cálcio. 
f) Retirada de CO2 do gás de síntese: 
A mistura dos gases H2 e CO, largamente conhecida como "gás de síntese" é ponto de partida 
de um grande número de sínteses de substâncias químicas de plataforma. É hoje a mais 
importante rota dentro das sínteses de C1 
39
, isto é, a transformação do reagente CO, fonte de 
exatamente um carbono. A composição exata do gás de síntese depende largamente dos seus 
precursores (petróleo; carvão mineral; resíduos orgânicos) e condições de reação (pirólise, 
altas temperaturas, deficiência em oxigênio). Felizmente pode ser ajustado o teor em 
hidrogênio dentro desta mistura complexa, graças à reação: 
CO + H2O  CO2 + H2. 
Isso gera, em menores partes, o coproduto da combustão, o gás carbônico. Este é sem valor e 
sua presença prejudica as demais etapas da síntese, principalmente devido ao seu efeito de 
diluição. Portanto, a mistura é lavada com metanol, a temperaturas baixas, onde se dissolve 
seletivamente o CO2. 
f) Recuperação de solventes: 
A recuperação de grandes volumes de solventes orgânicos e voláteis, usados nas bateladas de 
reação, é imperativa para a indústria química. Geralmente os vapores destes solventes são 
recuperados, por meio de lavagem com hidrocarbonetos de alto ponto de ebulição, já que a 
maioria dos solventes tem elevado caráter apolar. 
 
O princípio da lavagem de gases é mostrado na Fig. 102. O gás cru e o meio de lavagem 
("solvente") são conduzidos em contra-corrente, raramente con-corrente, na torre de absorção. 
Essa torre pode ser um tubo vazio ou, o que está realizado na maioria das vezes, contém 
corpos de recheio (ver Fig. 93) através dos quais o meio extrator líquido está descendo. Por 
esta medida a área de contato (= interface solvente/gás) se torna máxima, então a taxa de troca 
se estabelece mais rápidamente. O gás cru é injetado em baixo e flui para cima. Nesta etapa o 
 
39
 Leia sobre o processo Kraft em: A. Isenmann, Química a partir de Recursos Renováveis, disponível em 
http://www.timoteo.cefetmg.br/site/sobre/cursos/quimica/repositorio/livros/ 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 203 
componente danoso/valioso está sendo extraído da mistura de maneira seletiva. O solvente 
carregado é então levado à torre de dessorção, onde sob condições diferenciadas (pressão 
baixa, temperatura alta) o componente i é retirado termicamente (ver processo de retificação, 
cap. 5.4) do solvente e tratado, se for preciso, em uma operação unitária subsequente. Este 
Stripper Off Gas (SOG) será submetido a outras etapas ou descartado, dependendo do 
objetivo da fábrica. O solvente assim é recuperado, esfriado e reinjetado na torre de absorção, 
sendo assim não sai deste processo semi-aberto. Como uma pequena alíquota do solvente 
inevitavelmente escapa junto ao SOG, no entanto, o nível do solvente circulando deve sempre 
ser monitorado e completado. 
 
 
Fig. 102. Princípio da lavagem de gases por absorção (inglês: Stripper). 
 
Como solventes são usados: 
 Líquidos puros (por exemplo, água, metanol) 
 Misturas de líquidos (óleos de lavagem) 
 Soluções de sais inorgânicos ou orgânicos (solução de potassa, solução 
cáustica de alcazida) 
Temos as seguintes exigências a um solvente ideal de absorção: 
1. Na coluna de absorção deve mostrar alto poder de solvatação e alta seletividade para o 
componente i; tudo isso à baixa temperatura. A constante Hei deve ser grande. 
2. Na coluna de dessorção deve ser de fácil recuperação, a uma temperatura elevada (isso 
inclui estabilidade química, inércia, baixa corrosividade). A constante Hei deve ser 
pequena. 
3. A pressão de vapor própria do solvente deve ser pequena, em comparação ao 
componente i. 
4. Embora ser preso dentro do ciclo fechado, o solvente deve ser de baixa toxidade. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química204 
Todas as lavagens de gases operam em modo contínuo. A torre de absorção trabalha a baixa 
temperatura e pressão elevada, enquanto na torre de dessorção se aplicam alta temperatura e 
pressão reduzida. 
 
5.9.2 Velocidade da transferência de massa 
Em seguida usaremos a representação do lado do gás (conforme especificado na p. 199; 
adequada para grandes valores de He), para aprofundar o conhecimento acerca dos processos 
dentro da coluna de absorção. Para a velocidade de transferência de massa in vale sob este 
aspecto: 
 









i
liqi
gasigasi
He
c
cFkn
,
,
 . 
 
Além disso, pressupomos soluções diluídas ao longo do processo todo. As frações molares do 
composto i em ambas as fases anotamos na seguinte forma: 
y = fração molar de i na fase gasosa; 
x = fração molar de i na fase líquida. 
Para a concentração do componente de transferência i em ambas as fases, podemos escrever: 
 
, 
 
onde cgas e cliq representem as concentrações totais nestas fases. 
Introduzimos uma área específica de troca de matéria, a (dimensão: m
-1
): 
 
. Área específica 
 
Por fim de uma anotação mais simples deixaremos o índice i do componente transferido 
embora. Daí obtemos para a velocidade da transferência: 
 
. 
 
O termo podemos interpretar como concentração de equilíbrio (em partes 
molares). Portanto, usaremos um novo símbolo: 
 
ycc gasgasi ,
xcc liqliqi ,
V
F
a 










 x
cHe
c
ycVakn
gas
liq
gasgas

x
cHe
c
gas
liq


A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 205 
x
cHe
c
xy
gas
liq
eq 

)( 
 
e obtemos da equação acima: 
 
 )(xyycVakn eqgasgas  . 
 
Caso , a troca de matéria cessa, a taxa de transferência de massa se torna nula. 
Experimentalmente constatamos a seguinte dependência de : 
 
Observação: essa reta de Henry corresponde à hipérbole que achamos para o equilíbrio das 
fases na coluna de destilação (ver Fig. 77, na p. 166). 
 
5.9.3 Balanceamento de uma coluna de absorção com troca de massa contínua 
Neste lugar seja apresentada apenas a discussão da parte de absorção, por ser a parte 
tecnicamente mais interessante do aparelho. Na Fig. 103 se encontram todos os símbolos 
usados para os fluxos de matéria, suas frações molares e a zona onde aplicarmos o 
balanceamento (compare com o balanço da coluna de retificação, Fig. 84, na p. 175). 
eqyy 
)(xfyeq 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 206 
 
Fig. 103. Esquema de uma coluna de absorção com troca de matéria contínuo. 
 
Balanço total na zona indicada no esboço acima: 
 
. 
 
Com a definição da relação de lavagem, v: 
 
 Relação de lavagem, 
 
que é nada outro do que o volume de solvente gasto em relação a certo volume de gás a ser 
lavado. 
Obtemos a equação para a reta do balanço: 
 
. 
 
 
Balanço diferencial no esboço acima: 
Para o balanço diferencial olhamos num segmento em alguma altura da coluna, conforme o 
esboço a seguir. 
    000  yynxxn yx 
y
x
n
n
v



00 xvyxvy 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 207 
 
 
Fig. 104. Segmento da coluna de absorção. 
 
Podemos formular o balanço da fase gasosa na seguinte forma (lembre-se que as partes de i 
que se perdem nesta fase, são transportadas para outro segmento): 
 
V
n
F
yn
dz
d iy  





 
. 
 
Escrevemos 
 
gasgas
gasgasy
cu
F
cV
F
n




 (ugas = velocidade do tubo vazio). 
 
e sabemos da página anterior que 
 
 )(xyycak
V
n
eqgasgas
i 

. 
 
Inserindo no balanço diferencial obtemos: 
 
 )(xyycak
dz
dy
cu eqgasgasgasgas  . 
 
Separação das variáveis e integração fornece para a coluna inteira da altura L: 
 











 
Ly
y eqgas
gas
L
xyy
dy
ka
u
Ldz
0
)(
0
. 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 208 
 
Neste ponto introduzimos as seguintes definições bastante usadas para este tipo de colunas 
(geralmente contendo corpos de recheio; ver Fig. 106 a): 
 
gas
gas
ka
u
HTU

 "Height of a Transfer Unit" 
 = altura teórica de uma unidade de transferência. 
 
 

0
)(
y
y eqL
xyy
dy
NTU "Number of Transfer Units" 
 = Número de unidades de transferência ao longo da coluna. 
 
Daí a equação que permite o dimensionamento da coluna toma uma forma especialmente 
simples: 
 
. 
 
Com essa equação podemos calcular o comprimento da coluna, necessário para alcançar certo 
efeito de lavagem, , exigido pela fábrica. Em caso geral o comprimento da coluna é 
a grandeza-alvo do balanceamento. Note que esta relação é bem universal e vale para todas as 
curvas de equilíbrio. Quer dizer, ela não se restringe à reta de Henry, mas pode ser aplicada 
também a outros tipos de colunas e separações térmicas, por exemplo, à retificação. Sendo 
assim, o dito aqui se entende como complementação para o cap. 5.5. 
O valor de HTU pode ser diretamente calculado, através de: 
 










liqgas
gas
gas
gas
Hea
u
ka
u
HTU

111
. 
 
No caso de colunas com corpos de recheio irregulares, usadas para lavagens líquido/gasoso, 
podemos contar com valores de 0,1 < HTU < 0,5 m. 
 
5.9.4 Cálculo do NTU (lei de distribuição uniforme) 
Antes da solução da integral do NTU, temos que transformar o termo da concentração yeq = 
yeq(x), em uma função yeq = yeq(y). 
A partir da equação que definiu yeq, 
 
NTUHTUL 
 Lyy 0
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 209 
, 
 
e a equação para a reta do balanço, 
 
, 
 
obtemos a concentração de equilíbrio, yeq, em termos da concentração atual y do componente 
de transferência na fase gasosa: 
 
. 
 
Agora é possível resolver a integral do NTU, de maneira fechada: 
 
dy
y
Hec
c
x
Hec
c
y
Hec
c
NTU
y
y
gas
liq
gas
liq
gas
liqL















 
0
001
1

. 
 
O cálculo é demorado, portanto anotamos aqui apenas o resultado: 
 
, onde . 
 
Essa relação fornece o NTU na validez de uma distribuição uniforme do componente de 
transferência. 
Vamos tentar entender esse resultado bastante abstrato. Em analogia à média logarítmica da 
temperatura que foi definida como 
 
L
L
T
T
TT
T




0
0
ln
ln
 (compare p. 150), 
 
identificamos na equação acima uma média nas concentrações, no sentido: 
 
x
Hec
c
xy
gas
liq
eq 

)(
0
0 x
v
yy
x 


 00)( yy
Hecv
c
x
Hec
c
yy
gas
liq
gas
liq
eq 




LL
L
y
y
yy
yy
NTU





 0
0
0 ln
eqyyy 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 210 
y
y
y
yy
L
L
ln
0
0
ln




. 
 
A equação de cima se simplifica com essa maneira de escrever: 
 
equilíbrio de médio Efeito
global lavagem de Efeito
ln
0 



y
yy
NTU L . 
 
Interpretamos o NTU como efeito de lavagem total, em relação à média do efeito do 
equilíbrio. Sob a "média do efeito do equilíbrio" entendemos o efeito de separação que se 
alcança em um prato teórico da coluna. Portanto, o NTU tem formalmente o significado do 
número de pratos teórico, nteor, definido na p. 180. 
A representação gráfica na Fig. 105a deixa o significado do NTU mais claro. 
 
 
Fig. 105. Diagramas de equilíbrio, para elucidar (a) quantas etapas separativas dentro 
da coluna de absorção são necessárias; (b) a relação mínima dos volumes que 
participam na lavagem, vmin; ver texto a seguir. 
 
Um caso especial temos quando a retade balanço anda paralelamente à reta de equilíbrio. 
Neste caso vale: 
 
. 
 
Além disso, podemos afirmar para este caso: 
 
NTUnteor 
00 xvyxvy 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 211 
HETP
n
L
HTU
teor
 (ver definições destas siglas nas pp. 186 e 208). 
 
O operador tem o controle sobre a reta de balanço (na p. 179 essa foi chamada de ―reta de 
trabalho‖). A inclinação desta reta é determinada pela relação das fases durante a lavagem, 
. Quando escolhe uma relação das fases de maneira que a reta de balanço corta a reta 
de equilíbrio no ponto C, ainda consegue resolver a tarefa de lavagem, porém precisaría um 
número infinito de estágios separativos. Portanto, esta relação das fases é o limite operacional, 
vmin (= relação mínima de lavagem). Ao abaixar o fluxo do solvente abaixo deste valor, em 
relação ao fluxo do gás, a tarefa de separação não pode mais ser cumprida. Seu valor pode ser 
determinado a partir da inclinação da reta , na Fig. 105 b. 
Na prática aplica-se, na maioria dos casos, uma relação de lavagem de 
 
minmin 6,13,1 vvv  . 
 
5.9.5 Caminho dos cálculos no dimensionamento da torre de absorção 
Os pontos de partida do dimensionamento de colunas de absorção são os dados de: 
 kgas, coeficiente de transferência do componente i na fase gasosa; 
 a , a área específica de contato e 
 ugas, a velocidade do gás no tubo vazio, 
a partir dos quais o engenheiro determina a HTU, para um determinado fluxo de gás. Os 
parâmetros-alvos y0 e yL, além de xL (que vem da coluna regeneradora), na maioria das vezes, 
são determinados pela fábrica. Portanto, deve-se calcular o valor de x0, que é a concentração 
do componente i no solvente na saída da torre, usando a equação do balanço total. Finalmente, 
temos que achar o certo comprimento L da coluna e a relação  das fases que participam na 
lavagem. 
Para a relação das fases vale a regra: 
v grande  coluna curta 
v pequeno  coluna comprida. 
 
Como sempre, a indústria tem que avaliar os custos totais do processo, que se compõe dos 
custos de investimento para o aparelho e os custos operacionais - além do fator tempo. O 
gráfico Fig. 90, na p. 184, ilustrou essas considerações econômicas, que valem, aliás, 
perfeitamente para todos os tipos de colunas operadas em fluxo contínuo. 
Na prática usam-se aparelhos onde o contato entre as fases, quer dizer, entre o gás impuro e o 
solvente de lavagem, é mais intenso possível. Isso pode ser alcançado por três diferentes 
maneiras: 
1. Gás e solvente, ambos formam fases contínuas e separadas que devem entrar em 
contato. Certamente, este princípio estabelece a menor área de contato a das três 
possibilidades. A maneira mais usual de se realizar esta situação é por corpos de 
y
x
n
n
v



CB
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 212 
recheio irregulares que se encontram uniforme e frouxamente empacotados dentro da 
torre. 
2. O gás é admitido em forma de dispersão fina na parte inferior de um tanque cheio de 
solvente. O gás, neste caso, representa a fase discreta e o solvente a fase contínua. 
3. O solvente é nebulizado na parte superior da torre e, ao cair, entra em contato com o 
gás em contracorrente. Neste caso, o gás representa a fase contínua e o solvente a fase 
discreta. 
Uma escolha das torres de absorção mais comuns é dada na seguinte figura. 
Os critérios para instalar um ou outro tipo de coluna depende de vários fatores: 
 do tempo de lavagem. Gerar bolhas finas de gás e gotículas do solvente requerem mais 
tempo, em relação ao volume, do que os fluxos por cima de corpos de recheio. 
 da solubilidade do gás no solvente. Onde há alta solubilidade (grande Hei) e rapidez da 
solução do gás no líquido, oferece-se o processo da nebulização do líquido; por outro 
lado, com má solubilidade do gás deve-se aumentar o volume do líquido, daí seria a 
coluna com bolhas de gás a melhor escolha, 
 da volatilidade e viscosidade do solvente. A coluna de nebulização não se aplica em 
casos de solventes altamente voláteis, porque a evaporação do mesmo dificulta sua 
recuperação e, afinal, impede o processo de lavagem. 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 213 
 
Fig. 106. As torres de absorção mais usados. 
 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 214 
5.10 Outras operações unitárias térmicas 
Neste capítulo sejam brevemente apresentados os demais métodos térmicos que se usam na 
separação e purificação de produtos industriais. 
5.10.1 Adsorção 
Ao contrário da absorção apresentada acima, que acontece no interior de um solvente, a 
adsorção descrita a seguir se deve ao contato de uma molécula móvel – geralmente um gás - 
com a superfície de material sólido. Daí podemos esperar duas grandes diferenças 
operacionais entre os métodos, por que 
 A base da adsorção é um fenômeno de superfície e não de volume. 
 O material adsorvente não é um fluido, então não pode ser facilmente deslocado, de 
uma coluna para outra. Podemos, então, esperar dificuldades de executar esta operação 
de maneira contínua. 
Os métodos de adsorção se aplicam somente em casos onde um grande volume de produto 
não adsorvível contém pequenas quantidades de uma impureza que pode ser adsorvida. Essas 
impurezas podem ser gases ou líquidos. Novamente, temos que exigir ao material adsorvente 
que sua regeneração seja fácil, econômica e isenta de perigos para operador e ambiente. 
Exemplos técnicos da aplicação de etapas de adsorção: 
1. Isolamento do benzeno, a partir dos gases da coqueria. 
2. Separação dos hidrocrbonetos de massas maiores, a partir do gás natural. 
3. Secagem de gases. 
4. Recuperação de solventes (na pintura profissional, na fabricação de folhas e filmes finos) 
5. Recuperação dos reagentes em sínteses quase completas (produção de tolueno e fenol). 
 
Fundamentos dos processos industriais de adsorção 
Típico para a fisissorção de um gás a um adsorvente sólido é o estabelecimento do equilíbrio 
adsorção-dessorção, dentro do tempo de saturação. Esse equilíbrio pode ser facilmente 
deslocado em uma ou outra direção. A Fig. 107 mostra as quantidades de gás que podem ser 
adsorvidas sob condições isotérmicas. O parâmetro mais influente é a pressão parcial com que 
se aplica o gás a ser adsorvido. 
 
 
(a) (b) 
Fig. 107. Isotermas de adsorção: 
(a): a curva ideal (= linha direta) descreve uma camada monomolecular, um modelo 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 215 
criado por Langmuir; a curva real (= linha pontilhada) inclui a possibilidade da 
adsorção multi-camada, um modelo estabelecido por Freundlich. 
(b): dependência da temperatura, onde T2 > T1. 
 
O comportamento ideal (cujo tratamento matemático é mais fácil) foi derivado por Langmuir, 
baseando-se em considerações cinéticas. Um equilíbrio se espera quando a velocidade da 
adsorção de novas moléculas na superfície, An , se torna igual à velocidade da dessorção de 
moléculas já adsorvidas, Dn . 
A velocidade An depende da concentração das moléculas móveis e da disponibilidade de 
lugares livres na superfície do adsorvente. Em caso de gases a concentração pode ser expressa 
pela pressão parcial, pi, e os lugares desocupados no sólido é igual a  1 , quando 
indicamos com  o grau de ocupação. O grau de ocupação pode ser entendido como 
m
i
N
N
 , 
onde Ni representa o número de moléculas adsorvidas e Nm é o número de moléculas que 
cabem no melhor caso, quer dizer, num arranjo mais denso, na superfície do sólido. Para a 
velocidade da adsorção resultaentão 
 
)1(  iAA pkn . 
 
Por outro lado, a velocidade da dessorção é somente proporcional ao grau de ocupação: 
 
 DD kn . 
 
A combinação das duas equações, para o caso de equilíbrio fornece 
 
)1(   iAD pkk . 
 
Resolvemos pelo grau  e abreviamos a relação das constantes de velocidade kD/kA, por uma 
nova constante b. 
Para a ocupação da superfície do sólido, com uma mono-camada de gás obtemos assim: 
 
i
i
mi
pb
p
NN

 . Isoterma de adsorção segundo Langmuir. 
 
Para pequenos valores de p (a dizer, pi << b) a isoterma de adsorção é proporcional à pressão 
pi; isso é mostrado na parte esquerda da curva na Fig. 107a. Para grandes valores de pressão 
(a dizer, pi >> b) esperamos a aproximação assintótica à ocupação máxima, Nm. 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 216 
Da termodinâmica estatística pode-se derivar a seguinte dependência da constante b: 
temperaturas altas e calores de adsorção baixos acarretam um valor alto na constante b. As 
conclusões são: 
1. Adsorção é um processo exotérmico e dessorção é endotérmica. 
2. Dessorção fica cada vez mais fácil quanto menor a exotermia da adsorção, ou seja, 
quanto menores as forças que seguram as moléculas na superfiície do adsorvente. 
Num modelo refinado se deu conta ao fato que o calor de adsorção não é constante, mas 
depende do grau de ocupação da superfície. Observa-se um decréscimo logarítimico da 
entalpia de adsorção e a isoterma de adosrção pode ser escrita na seguinte forma: 
 
m
ii paN
1
 , 
 
com as duas constantes a e m que dependem do sistema específico. 
O modelo da mono-camada funciona muito bem em casos de quimissorção. Em camadas que 
resultam de pura fisissorção, por outro lado, se observou que se formam camadas múltiplas na 
superfície do adsorvente quando a concentração do adsorbato for suficientemente alta. Na 
isoterma de adsorção isso se percebe numa aproximação aparente ao valor limite da 
monocamada, mas logo em seguir, ao aumentar ainda a disponibilidade do adsorbato (pi) a 
isoterma Ni também aumenta. Este comportamento real da fisissorção é mostrado pela curva 
pontilhada na Fig. 107a. Foram os trabalhos de Brunauer, Emmett e Teller que tornaram a 
isoterma da adsorção em multi-camada sendo útil e de grande valor prático: através dos 
calores de adsorção de um gás inerte é possível determinar a área superficial de materiais 
porosos e irregulares. Sem entrar em detalhes, eles assumiram que o contato entre o sólido e o 
gás, responsável pela primeira camada, libere um calor maior do que o contato entre as 
moléculas do gás, por sua vez responsáveis pela formação da segunda, terceira,.... camada. 
Isso se percebe no vinco da curva típica da Fig. 107 a. 
A grandeza de Nm depende evidentemente da área superficial do adsorvente sólido. Os 
materiais usados têm superfícies internas entre 300 a 1000 m²/g ! Sendo assim, podem ser 
carregados com 10 a 20% do seu peso próprio, com gases adsorvíveis. 
A adsorção é um fenômeno da qual a indústria química aproveita muito; não só em processos 
de purificação ‖lavagem de gases‖, mas também na síntese química, denominadamente na 
catálise heterogênea. Esta última aplicação está discutida mais em detalhe no livro ―Reatores 
e reações químicas em escala industrial‖, disponível nesta biblioteca. 
 
Interação adsorvente-adsorbato 
Para a adsorção em grande escala usa-se quase exclusivamente a "fisissorção", por ser um 
processo que facilmente pode ser revertido. Materiais que entram em contato quimicamente 
mais intenso com o adsorbato ("quimissorção"), por outro lado, são de regeneração mais 
difícil. 
Tab. 23. Comparação entre fisissorção e quimissorção numa superfície sólida. 
Fisissorção Quimissorção 
Forças van der Waals e atrações entre 
dipolos 
Forças comparáveis a ligações químicas 
covalentes 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 217 
Calor de adosrção < 20 kJ
.
mol
-1
 Calor de adosrção > 20 kJ
.
mol
-1
 
A espécie adsorvida conserva sua natureza Espécie adosrvida se transforma 
quimicamente e sua reatividade muda 
drasticamente 
A quantidade adsorvida depende mais do 
adsorbato do que do adsorvente 
A quantidade depende tanto do adsorbato 
como do adsorvente 
Pouco específico, alta tolerância frente ao 
tipo de adsorbato 
Muito seletivo; adsorvente e adsorbato 
devem ser vistos como reagentes químicos 
Energia de ativação baixa Energia de ativação elevada 
Adsorção pode ser em multicamadas Adsorção somente em monocamada 
Adsorção fácil de reverter Ádsorção pode-se tornar irreversível 
 
O último argumento desta tabela deixa claro que a grande maioria dos processos de adsorção 
em escala industrial se deve à fisissorção, enquanto uma quimissorção se restringe a casos 
especiais (exemplo importante é o contato do hidrogênio em cima dos catalisadores 
heterogêneos de hidrogenação, à base dos metais Ni, Pd ou Pt). Existem também situações de 
ligação adsorvente-adsorbato que se encontram no entremeio destas duas formas. 
Os modelos que descrevem o mecanismo de transporte do fluido dentro dos (nano)poros do 
sólido, assim que a reação heterogênea entre um fluido e uma partícula sólida, são descritos 
no livro ―Reatores e reações químicas em escala industrial‖, neste acervo. 
5.10.2 Equipamento de adsorção 
Os processos técnicos de adsorção envolvem um adsorvente sólido e um gás a ser adsorvido; 
eles compreendem três etapas: 
a. Adsorção (= carregamento), 
b. Dessorção (= regeneração), geralmente estabelecido por aquecimento e lavagem, 
c. Secagem e resfriamento. 
 
A adsorção é um processo exotérmico e a dessorção é endotérmica. Para a última significa 
que temos que forçar em forma de energia externa para que ocorra a regeneração do 
adsorvente carregado. Portanto, aparelhos de adsorção sempre são equipados com um sistema 
de aquecimento e resfriamento, conforme ilustrado na Fig. 108. 
A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 218 
 
Fig. 108. Esquema de uma coluna de adsorção 
 
Para levar a etapa da adsorção a um grau elevado, é necessário trabalhar a temperaturas mais 
baixas possíveis. O perigo de uma velocidade muito baixa de adsorção, acarretada pela baixa 
temperatura, geralmente não é dado, desde que se trata de uma pura fisissorção do gás. Uma 
vez o adsorvente está carregado, o sistema de refrigeração é mudado para aquecimento ou, 
sendo uma alternativa, é conduzido vapor quente através da coluna de adsorção. Este é o 
princípio de funcionamento, de qualquer maneira uma operação descontínua. Para estabelecer 
um funcionamento contínuo são precisas duas (ou mais) colunas paralelas, das quais uma está 
em fase de regeneração enquanto a outra está sendo carregada. Neste ponto o processo de 
lavagem de gases com líquidos tem uma clara vantagem, por ser de caráter contínuo sem 
grandes esforços estruturais (compare com o último parâgrafo). 
Uma grandeza importante para o bom funcionamento de colunas de adsorção é o tempo de 
saturação, S que pode ser calculado a partir da quantidade de gás carregado, nads, e o fluxo 
molar deste gás através da coluna, : 
 
. 
 
O valor de nads, por sua vez, é acessível através da quantidade do recheio poroso e a pressão 
parcial do gás a ser adsorvido, usando a fórmula de Langmuir. 
 
Separação adsortiva de gases por compressão / descompressão 
Em vez de regular a força adsortiva pela temperatura, é também possível aplicar um regime 
de compressão e descompressão (Inglês: Pressure Swing Adsorption, PSA), para provocar 
adsorção/dessorção de gases. A temperatura varia pouco nesta técnica. 
gn
g
ads
S
n
n


A. Isenmann Operações Unitárias na Indústria Química 
 219