Geometria Analítica e Álgebra Linear

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Prof. Felix Claret
UNIDADE I
Geometria Analítica
e Álgebra Linear
Estudaremos: 
 Matrizes, sistemas e determinantes.
 Vetores em suas abordagens geométricas e algébricas. 
 Retas e planos.
 Posição relativa, distância e ângulos.
 Seções cônicas.
Apresentação 
 Matriz é uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. 
 Os elementos de uma matriz podem ser números (reais ou complexos), funções, 
vetores ou ainda outras matrizes.
Matrizes 
a11 a12 a13 . . . a1n
Amxn = a21 a22 a23 . . . a2n = (aij)mxn
. . . .
. . . . 
. . . .
am1 am2 am3 . . .amn 
Am x n lê-se “matriz m por n”
m linhas n colunas
Matrizes 
 Notações
 Entre colchetes
 Entre parênteses 
 Entre barras duplas 
Matrizes 
3 - 4
0 15 
3 - 4
0 15 
3 - 4
0 15 
O elemento aij de uma matriz
a13 = da linha 1 coluna 3
a32 = da linha 3 coluna 2
a44 = da linha 4 coluna 4
Matrizes 
0 52 39 10
14 2 -34 8
9 153 0 22
0 - 6 57 0
Igualdade: Amxn = (ai j) Brxs = (bi j)
A = B  m = r e n = s e a i j = b i j
Exemplo:
determine a, b, c para A = B.
a = 8
b = 1
c = 1
Matrizes 
23 ln e - 5/2
2 25 1
a b - 10/4
2 32 c
A=
B=
Exemplo:
Determine os valores de x e y de modo que as matrizes A e B sejam iguais. 
Matrizes 
2x + 1 4 
6 y 
x2 100
A3x2 =
1 4 
x – 2y -3 
0 10
B3x2 =
 A = B 
Logo x = 0 e y = -3 
Matrizes 
2x + 1 = 1 
4 = 4 (V)
y = - 3 
x2 = 0 
x – 2 y = 6 
10 = √100(V)
Matriz por meio de uma condição
Exemplos
1.A = (aij) 2x2 e 
a11 = 2
a12 = 1
a21 = 1
a22 = 2
Matrizes 
aij = 
2 se i = j
1 se i  j
2 1 
1 2
A2x2=
2. Determinar os elementos a13, a22, a32 da matriz A = (aij) 3x2, sendo 
a13, i = 1 e j = 3; então a13 = 1
a22 = -1
a32 = 3 + 2 = 5
Matrizes 
aij = 
i + j se i > j
-1 se i = j
1 se i < j
Os valores de x e y para que as matrizes A e B sejam iguais é:
a) x = 2 e y = 1
b) x = 4 e y = -1
c) x = - 4 e y = 1
d) x = - 1 e y =4
e) x = -2 e y = 1
Interatividade
-2 2x
y3 0 
A2x2=
-2 8
-1 0 
B2x2=
Os valores de x e y para que as matrizes A e B sejam iguais é:
a) x = 2 e y = 1
b) x = 4 e y = -1
c) x = - 4 e y = 1
d) x = - 1 e y =4
e) x = -2 e y = 1
2 x = 8 → 
y3 = - 1 →
Resposta
-2 2x
y3 0 
A2x2=
-2 8
-1 0 
B2x2=
 Visualizando as diagonais
 DP: ai j , com I = j 
Matrizes 
diagonal secundária diagonal principal
(DS) (DP)
0 -3 1 
2 1 2
1 4 3 
Adição:
A = (aij)mxn e B = (bij)mxn A + B = (aij + bij)mxn 
Exemplo:
A B
A + B
Matrizes 
1 -2
6 0
2 -5
+ = = 
0 4
-2 -5
7 10
1 2
4 -5
9 5
Multiplicação por escalar: determine -3*A
Operações com matrizes 
Transposta:
AT =
2 x 3
Operações com matrizes 
Multiplicação de matrizes: 
notações: A*B, AB, A.B 
Operações com matrizes 
mxnpxnmxp
CBA *
Têm que ser iguais
A = (aik)mxp 
A . B = C = (cij) mxn
B = (bkj)pxn
cij = ai1 b1j + ai2 b2j + . . . + aip bpj
(linha por coluna)
Operações com matrizes 
Operações com matrizes 
1 2
3 -1 
A =
2x2
3 1
4 3 
B =
2x2
1 2
3 -1 
A.B = . = 
3 1
4 3 
11 7
5 0 
2x2
A.B = 
Operações com matrizes 
1 2
3 -1 
A =
2x2
3 1
4 3 
B =
2x2
1 2
3 -1 
B . A = . = 
3 1
4 3 
6 5
13 5 
2x2
A.B = A . B ≠ B . A
A inversível ↔ A . A-1 = I
Matrizes A e A-1 quadradas
Exemplo: determinar a inversa de A
Matriz inversa
1 2
3 -1 
A =
a b
c d 
A-1 =
A . A-1 = I2
Matriz inversa
1 2
3 -1 
A.A-1 = . = 
a b
c d 
1 0
0 1
a + 2c = 1  a + 2*3a = 1 
3 a - c = 0  c = 3 a  c =
b + 2d = 0  b = - 2d  b = 
3 b - d = 1  3*(-2d) - d = 1 
1/7 2/7
3/7 -1/7 
A-1 =
 Processo prático –
 Matriz ampliada. 
Matriz inversa
1 2 0 
-1 1 2
1 1 1 
A =
1 2 0 1 0 0 
-1 1 2 0 1 0
1 1 1 0 0 1 
A =
L2 = L2 + L1
L3 = L3 - L1 
L2 - 1 1 2 0 1 0 
L1 1 2 0 1 0 0 
L2 = L2 + L1
Matriz inversa 
1 2 0 1 0 0 
-1 1 2 0 1 0
1 1 1 0 0 1 
A = ~
1 2 0 1 0 0 
0 -1 1 -1 0 1
L3 = 3 L3 + L2
3 L3 0 -3 3 -3 0 3
L2 0 3 2 1 1 0 
L3 = 3L3 + L2
Matriz inversa 
1 2 0 1 0 0 
0 3 2 1 1 0
0 -1 1 -1 0 1 
1 2 0 1 0 0 
0 3 2 1 1 0
L2 = - 2 L3 + 5 L2
-2 L3 0 0 -10 4 -2 -6
5 L2 0 15 10 5 5 0 
L2 = -2L3 + 5 L2
Matriz inversa 
1 2 0 1 0 0 
0 3 2 1 1 0
0 0 5 -2 1 3 
1 2 0 1 0 0
0 0 5 -2 1 3
L1 = - 2 L2 + 15 L1
-2 L2 0 -30 0 -18 -6 12
15 L1 15 30 0 15 0 0
L1 = -2L2 + 15 L1
Matriz inversa 
0 15 0 9 3 -6 
0 0 5 -2 1 3
1 2 0 1 0 0
0 15 0 9 3 -6
0 0 5 -2 1 3
L1 = (L1) / 15
L2 = (L2) / 15
L3 = (L3 )/ 5
Matriz inversa
15 0 0 -3 -6 12
0 15 0 9 3 -6 
0 0 5 -2 1 3 1 0 0 -1/5 -2/5 4/5
0 1 0 3/5 1/5 -2/5
0 0 1 -2/5 1/5 3/5
A-1
Determine a matriz X de modo que X = 2A - BT + (1/2)C, dadas as matrizes
Interatividade
-2 3
-1 0
4 -5 
A =
1 2 3
-2 1 0
B =
8 -6
0 4
4 2 
C =
-3 5
- 4 1
5 -9 
a)
-1 5
- 4 1
7 -9 
b)
-3 5
0 1
7 -7 
c)
3 5
0 1
1 -7 
d)
3 5
0 1
0 7 
e)
Determine a matriz X de modo que X = 2A - BT + (1/2)C, dadas as matrizes
Resposta
-2 3
-1 0
4 -5 
A =
1 2 3
-2 1 0
B =
8 -6
0 4
4 2 
C =
-3 5
- 4 1
5 -9 
a)
-1 5
- 4 1
7 -9 
b)
-3 5
0 1
7 -7 
c)
3 5
0 1
1 -7 
d)
3 5
0 1
0 7 
e)
 Sistemas por escalonamento. 
Operações elementares:
 Permutação de equações.
 Multiplicação de uma equação por um número real não nulo.
 Substituição de uma equação por sua soma com outra, 
multiplicadas ou não por número real não nulo.
Sistemas lineares
 Sistemas por escalonamento.
E2 x - y + z = -1
- E1 -x - y + z = -1
E2 = E2 – E1
Sistemas lineares
x + y – z = 1
x - y + z = -1
2x + y – 3z = 2
E2 = E2 – E1
E3 = E3 – 2E1
x + y – z = 1
- y – z = 0
E3 = E2 –2 E3
E2 -2 y + 2 z = -2
-2E3 2 y + 2z = 0
E2 = E2 – E1
Sistemas lineares
x + y – z = 1
-2 y + 2z = -2
- y – z = 0
x + y– z = 1
-2 y + 2z = -2
Resolvendo o sistema: z = 
y = 
z = 
SPD
Sistemas lineares
x + y – z = 1
-2 y + 2z = -2
4z = -2
Método de Gauss:
Matriz ampliada: 
Sistemas lineares
x + y – z = 1
x - y + z = -1
2x + y – 3z = 2
1 1 -1 1
1 -1 1 - 1
2 1 -3 2
Pivô : a11 = 
Linha pivô: L1 Multiplicador : 
m31 = = e L3 = L3 – m31 L1
Sistemas lineares
m22 = = e L2 = L2 - m21 L1
1 1 -1 1
1 -1 1 - 1
2 1 -3 2
a21
a11
a31
a11
Pivô : a22 = Multiplicador: =
Linha pivô: L2 L3 = L3 – m32 L2
Sistemas lineares
1 1 -1 1
0 -2 2 -2
0 -1 -1 0
1 1 -1 1
0 -2 2 -2
0 0 -2 1
m32 =
a32
a22
 Reescrevendo o sistema
x + y – z = 1
- 2 y + 2 z = -2
-2z = 1
Daí temos: z =
y = 
z = 
SPD
Sistemas lineares
 A toda matriz quadrada M associa-se um número, det M.
Cálculo do det M:
1º caso: M é de ordem n = 1, então det M é o único elemento de M.
Exemplo: M = [4] 
Logo det M = 4.
Determinante
2º caso: M é de ordem 2,
Determinante
det M = = a11.a22 – (a12. a21)
a11 a12
a21 a22
DP
DS
M =
a11 a12
a21 a22
Exemplo:
Determinante
M =
2 -1
3 5 
det M = = 
DP
DS
2 -1
3 5 
O determinante de é igual a:
a) -13.
b) -10.
c) 13.
d) - 17.
e) 10.
Interatividade
1 -5 
3 -2 
M =
O determinante de é igual a:
a) -13.
b) -10.
c) 13.
d) - 17.
e) 10.
Resposta
1 -5 
3 -2 
M =
1 -5 
3 -2 
det M = =
3º caso: M é de ordem n = 3, isto é,
Determinante
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
M =
det M =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
 Regra de Sarrus
Determinante 
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
det M =
a11 a12
a21 a22
a31 a32
- - - + + +
Exemplos:
1) Resolva o determinante.
Determinante 
1 0 0
2 1 2
1 -2 3
det A = 7 
Determinante 
1 0 0
2 1 2
1 -2 3
1 0 0
2 1 2
1 -2 3
det M =
1 0
2 1
1 -2
2) Resolva a equação e determine o menor valor de x que a torne verdadeira.
Determinante 
x 0 0
2 x+1 2 = 0
1 -2 -1
Desenvolvendo o determinante temos:
Determinante 
x 0 0
2 x+1 2
1 -2 -1
det M =
x 0
2 x+ 1
1 -2
4x - x2 – x = 0 
x = 0 ou x = 3
Logo, o menor valor de x é x = 0 
Determinante 
Regra de Cramer:
 Sistema 2x2 
 Sistema 3x3
com det A ≠ 0
Determinante na resolução de sistemas
det Ax
det A
x =
det Ay
det A 
y =
det Ax
det A
x =
det Ay
det A 
y = det Az
det A
z =
Resolver pela regra de Cramer o sistema: 
Temos que: 
Determinante na resolução de sistemas
x + y = 4
x – y = - 2 1 1
1 -1 
A = =
1 4
1 -2
Ay = =
4 1
-2 -1 
Ax = =
Portanto:
Logo, S = {(1,3)}
Determinante 
Seja então o valor de Ax é igual a:
a) 1.
b) -2.
c) 3.
d) -1.
e) 0.
Interatividade
2x + y = 1
-x + y = 2 
Seja então o valor de Ax é igual a:
a) 1.
b) -2.
c) 3.
d) -1.
e) 0.
Resposta
2x + y = 1
-x + y = 2 
1 1
2 1 
Ax = = - 1
ATÉ A PRÓXIMA!