Notas_de_Aula_sobre_Matrizes (1)

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Notas de Aula sobre Matrizes
Lorrane Nascimento Lopes∗
III Unidade 2018
1 Apresentação
Uma vez que, estudar qualquer conteúdo sem saber para que serve é desmotiva-
dor, esta seção tem por finalidade apresentar, de forma simples, algumas respostas para a
pergunta Para que servem Matrizes?, e mostrar uma Aplicação de Matriz no Cotidiano,
de modo a motivar o caro aluno no estudo desse conteúdo, que é de grande valia (ao
decorrer das seções entenderão melhor a afirmação).
Esta seção aborda alguns termos da teoria de matrizes que são ou podem ser
novos para o aluno. Mas não se preocupe, pois, nas próximas seções cada termo aqui
presente será explicado detalhadamente.
1.1 Para que servem Matrizes?
Matrizes são tabelas e são muito úteis para organizar dados, por exemplos, pro-
vavelmente o leitor já utilizou o Excel ou ao menos já abriu aquela tabela cheia de linhas e
colunas, é possível afirmar que as matrizes organizam dados como o Excel. Com o “poder”
de organizar de modo compacto, as matrizes estão mais presentes do que imagina, por
exemplo, sabe a resolução do monitor de um computador 600× 800, nada mais é do que
uma matriz de pixels, com 600 linhas por 800 colunas.
∗Aluna do curso de Licenciatura em Matemática-UESB. E-mail: lorranenl@outlook.com.
1
Outra utilidade das ma-
trizes é nas imagens digitais, por
exemplo, as das páginas da inter-
net ou as fotografias que tira com
celular.
A título de ilustração,
veja a imagem ao lado, do Gato
Félix, a qual pode ser represen-
tada por uma matriz 35 x 35 onde
os elementos são 0 e 1.1
Nessa altura do campeonato, provavelmente, o aluno já estudou sistemas line-
ares, mas o professor não contou que Matrizes fornecem métodos que ajudam resolver
sistemas de equações lineares, principalmente aqueles que possuem muitas equações e
muitas incógnitas.
Em muitas áreas do conhecimento os sistemas de equações aparecem, como por
exemplo, na engenharia; na química, na hora de balancear uma equação redox; na en-
genharia civil, para calcular esforços em estruturas; na engenharia elétrica, para resolver
malhas de circuitos. A maioria dos sistemas de equações, que aparecem nessas áreas
do conhecimento, não são tão simples e para serem resolvidos precisam de programas
computacionais, os quais exigem que os sistemas sejam representados na forma matricial.
1.2 Uma Aplicação de Matriz no Cotidiano
Muitos livros apresentam Matrizes como tabelas de números reais, alguns
até dizem que servem para organizar dados. Mas, na maioria das vezes dão ênfase à
parte teórica, apresentando matrizes sem significado prático. Assim, a ideia de organizar
dados não fica explícita. Para ilustrar essa afirmação, observe:
Exemplo 1.1.2:
A matriz a seguir é composta por números reais; o elemento que está na 2a
linha 3a coluna é o -7, conhecido como elemento a23; possui 3 linhas e 3 colunas; como o
1Um artigo muito legal que fala com mais detalhes sobre imagens digitais e matrizes está disponível
em: <http://gazeta.spm.pt/getArtigo?gid=407>.
2
número de linhas é igual ao de colunas a matriz recebe um nome especial: matriz quadrada
de ordem 3. Veja:
A =

9 −0.5 0
2.6 3 −7
63 1 −2

Em termos práticos, “o que nos diz essa matriz?”, “para que ela serve?”. A
resposta é: essa matriz não possui significado prático, isto é, não serve para explicar a
organização de dados, a única coisa que podemos fazer é analisar suas características e
nomenclaturas da teoria matemática, como foi feito no exemplo 1.1.2.
Entretanto, esse tópico não visa dizer que o estudo da teoria de matrizes não é
importante, mas sim mostrar que essa teoria entrelaçada com situações do cotidiano se
torna mais estimulante e significante. Leia com atenção:
Exemplo 2.1.2:
Vitória da conquista (V/C), Jequié, Poções e Iguaí, são algumas cidades do
Sudoeste da Bahia. Com destaque para a cidade de Vitória da Conquista que é classificado
como centro sub-regional muito importante2. Essas cidades possuem ligações no tocante
ao comércio, educação e até mesmo viagens para lazer. Desse modo, alguns moradores
dessas cidades se deslocam com frequência de uma cidade para outra. Assim, podemos
pensar em uma tabela para organizar as distâncias em km, por estrada, entre tais cidades:
Cidades V/C Jequié Poções Iguaí
V/C 0 153 67 124
Jequié 153 0 86 139
Poções 67 86 0 54
Iguaí 124 139 54 0
Para guardar nossos dados de forma mais compacta podemos representá-los na
forma matricial. Veja:
A =

0 153 67 124
153 0 86 139
67 86 0 54
124 139 54 0

2Disponível em: <http://veranilzabr.blogspot.com/2009/01/apresentando-regio-sudoeste-da-
bahia.html>. Acesso em 28 de Set. 2018.
3
Temos uma matriz quadrada de ordem 4, uma vez que possui 4 linhas e 4 colunas.
Em que, a 1a linha e a 1a coluna são destinadas à cidade de Vitória da Conquista; a 2a linha
e a 2a coluna são destinadas à cidade de Jequié; a 3a linha e a 3a coluna são destinadas à
cidade de Poções; a 4a linha e a 4a coluna são destinadas à cidade de Iguaí.
Observe que os elementos que simbolizam as distâncias de cada cidade com ela
mesma são todos zeros e forma uma diagonal. Como a matriz é quadrada, essa diagonal
recebe o nome de diagonal principal.
Os elementos a23 e a32 são iguais a 86, e têm o significado da distância entre
as cidades Poções e Jequié. Essa matriz recebe, também, o nome de matriz simétrica,
uma vez que os elementos têm as seguintes características a12 = a21, a13 = a31, a14 = a41,
a23 = a32, a24 = a42, a34 = a43. (Verifique!).
1.3 Agora é com você!
1. Desafio: Uma das mais antigas menções à teoria matricial é encontrada no livro
chinês Nove capítulos sobre a arte matemática, escrito por volta de 250 a.C. Os chi-
neses gostavam especialmente de diagramas e, nessa obra, surge o primeiro registro
de um quadrado "mágico": a soma dos três algarismos na horizontal, na vertical ou
na diagonal (diagonal principal) é sempre 15.
• Organize os elementos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, e 9, na forma matricial com base
nas informações acima.
2. Construa uma matriz representando as distâncias entre 3 cidades que você gosta.
3. Essa matriz é simétrica? Por quê?
4. Construa uma matriz representando as distâncias entre 6 cidades que você gosta,
de modo que a matriz não seja simétrica.
Observação.3
3Se não conseguiu responder os itens deste tópico não se desespere, pois, você pode estudar com mais
calma as próximas seções e depois voltar para responder.
4
2 Representação Genérica
2.1 Partindo da seção anterior
Na seção anterior, no exemplo 2.1.2, foi apresentada a seguinte matriz:
A =

0 153 67 124
153 0 86 139
67 86 0 54
124 139 54 0

Em que cada elemento (cada número da matriz) significa a distância entre duas
cidades; possui 4 filas horizontais que são chamadas linhas e 4 filas verticais que são
chamadas colunas. Portanto, dizemos que a matriz A é do tipo 4 × 4 (4 linhas e 4
colunas). Lê-se: quatro por quatro.
A partir da explicação acima muitas perguntas surgem, por exemplos: (1) De
modo geral, como representar uma matriz A com m linhas e n colunas (m×n)?; (2) Como
identificar um elemento qualquer de uma matriz?
Veja as respostas das perguntas (1) e (2) no tópico seguinte.
2.2 Representação Genérica
De modo geral, uma matriz A de m linhas e n colunas (m× n) [lê-se: m por n]
pode ser indicada assim:
A =

a11 a12 a13 . . . a1n
a21 a22 a23 . . . a2n
a31 a32 a33 . . . a3n
...
...
... . . .
...
am1 am2 am3 . . . amn

com m, n ∈ N∗
Em uma matriz, a32 representa o elemento da 3a linha e da 2a coluna, enquanto
a23 representa o elemento da 2a linha e da 3a coluna da matriz Am×n.
Abreviadamente, a matriz A pode ser representada assim: A = (aij)m×n. Nessa
expressão, i assume valores no conjunto {1, 2, 3, ...,m} e j assume valores no conjunto
{1, 2, 3, ..., n}.
5
Exemplo 1.2.2:
Na representação genérica de uma matriz A = (aij)2×3, i assume valores no
conjunto {1, 2} e j assume valores no conjunto {1, 2, 3}. Veja:A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23

Ou seja, os aij representam, genericamente, cada elemento em sua determinada
posição, em que o i representa a posição da linha e o j a posição da coluna, por isso
que os i e j variam de acordo com a quantidade de linhas e colunas, respectivamente, da
matriz.
Exemplo 2.2.2:
O diagrama ao lado representa
um mapa rodoviário mostrando as estradas
que ligam as cidades 1, 2, 3 e 4.
A matriz A = [aij]4×4 associ-
ada a esse mapa é definida da seguinte
forma:
aij =
1, se i está ligada diretamente a j0, se i = j ou i não tem ligação direta com j
Sabendo que i e j referem-se às cidades do mapa e variam no conjunto {1, 2, 3, 4},
construa a matriz A.
Resposta:
A representação genérica da ma-
triz A é:
A =

a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44

De acordo com a definição, temos:
• a12, a21, a23, a32, a34, a43, a24 e a42
são iguais a 1, pois as cidades estão
diretamentes ligadas entre si.
• a11, a22, a33, a44 são iguais a zero, pois
i = j.
6
• a13, a14, a31 e a41 são iguais a zero,
pois as cidades não estão ligadas dire-
tamente entre si.
Portanto, a matriz é:
A =

0 1 0 0
1 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0

Observe que a matriz A representa a organização de dados, ou seja, cada ele-
mento tem um significado. Por exemplo, os elementos a23 = a32 = 1 diz que as cidades 2
e 3 estão ligadas diretamente. Portanto, a matriz substitui o mapa.
2.3 Agora é com você!
1. A representação genérica da matriz A = [aij]3×5 :
2. (UENF-RJ) A temperatura corporal de um paciente foi medida, em graus Celsius,
três vezes ao dia, durante cinco dias. Cada elemento aij da matriz abaixo corres-
ponde à temperatura observada no instante i do dia j.
35, 6 36, 4 38, 6 38, 0 36, 0
36, 1 37, 0 37, 2 40, 5 40, 4
35, 5 35, 7 36, 1 37, 0 39, 2

Determine:
• o instante e o dia em que o paciente apresentou a maior temperatura;
• a temperatura média do paciente no terceiro dia de observação.
2.3.1 Pesquise!
Existem algumas matrizes que recebem nomes especiais, entre elas estão: matriz
linha, matriz coluna e matriz nula. Pesquise sobre essas três matrizes e faça um exemplo
de cada uma.
7
3 Algumas Matrizes Especiais
3.1 Matriz Quadrada
Uma matrizm× n é dita quadrada quando o número de linhas é igual ao número
de colunas. Como m = n, dizemos que a matriz é do tipo n× n ou que é quadrada de
ordem n.
Numa matriz quadrada, os elementos aij, para os quais i = j, formam uma
diagonal denominada diagonal principal. Já a diagonal em que i + j = n + 1 (isto é,
a soma dos índices i e j é igual a ordem n da matriz somado 1) é chamada diagonal
secundária.
Exemplo 1.3.1:
A seguir temos uma matriz de ordem 3, em que são destacadas as diagonais
principal e secundária.
3.2 Matriz Identidade
Matriz identidade ou matriz unidade é toda matriz quadrada de ordem n, na
qual aij = 0 para i 6= j e aij = 1 para i = j (elementos da diagonal principal).
Indica-se a matriz identidade de ordem n por In.
In =

1 0 0 . . . 0
0 1 0 . . . 0
0 0 1 . . . 0
...
...
... . . .
...
0 0 0 . . . 1

Observe que todos os elementos da matriz In que não estão na diagonal principal
são iguais a zero. E todos os elementos da matriz In que estão na diagonal principal são
iguais a 1.
8
3.3 Agora é com você!
1. Procure todas as matrizes quadradas que já foram apresentadas nas seções ante-
riores e nesta seção, e escreva-as. Em seguida, destaque as diagonais principais e
secundárias das matrizes.
2. Observe a figura a seguir.
Construa a matriz associada a esse desenho, na qual aij = 2 se os pontos i e j
estiverem ligados ou se i = j, e aij = 1 se os pontos i e j não estiverem ligados.
3. A matriz resultado do exemplo 2.2.2 é uma matriz identidade? Justifique!
4. Faça uma matriz identidade de ordem 3.
9
4 Operações com Matrizes
4.1 Igualdade de Matrizes
Duas (ou mais) matrizes A = (aij) e B = (bij) de mesmo tipo (possuem o mesmo
número de linhas e colunas), são iguais se todos os elementos de mesma posição são iguais.
Indicamos: A = B ou (aij) = (bij)
4.2 Matriz Transposta
Dada uma matriz A do tipo m× n, denominamos transposta de A (notação At)
a matriz do tipo n ×m obtida trocando-se ordenadamente as linhas de A pelas colunas
de A (ou vice-versa).
Exemplo 1.4.2:
Se A =

2 5
0 π
4 −1

3×2
então, a sua transposta é At =
 2 0 4
5 π −1

2×3
Observe:
• A 1a linha de A é igual à 1a coluna de At.
• A 2a linha de A é igual à 2a coluna de At.
• A 3a linha de A é igual à 3a coluna de At.
4.3 Agora é com você!
1. Dadas duas matrizes A = (aij)4×3 e B = (bij)4×3 em que os elementos de mesma
posição são iguais, exceto a42 e b42 (pois, a42 6= b42). É correto afirmar que as
matrizes A e B são iguais? Justifique!
2. Dadas duas matrizes A = (aij)3×3 e B = (bij)4×3. É possível que as matrizes A e B
sejam iguais? Justifique!
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4.4 Matriz Simétrica
Uma matriz quadrada A de ordem n denomina-se matriz simétrica, quando
A = At.
Exemplo 1.4.4:
Retomando o exemplo 2.1.2, em que aparece a matriz simétrica A, a qual repre-
senta distância entre cidades:
A =

0 153 67 124
153 0 86 139
67 86 0 54
124 139 54 0

4×4
(Note que: A = At).
Observe que a forma em que as cidades foram organizadas, na tabela do exemplo
2.1.2, possibilitou que dois elementos colocados simetricamente em relação à dia-
gonal principal fossem iguais, tornando a matriz simétrica. Ou seja, a12 = a21 = 153,
a13 = a31 = 67, a14 = a41 = 124, a23 = a32 = 86, a24 = a42 = 139 e a34 = a43 = 54.
4.5 Agora é com você!
1. Dadas as matrizes A =
 2 5
10 1
 e B =
 x+ y 3x− y
5 1
, calcule x e y para que
A = Bt.
2. É correto afirmar que toda matriz identidade In é também uma matriz simétrica?
Justifique!
3. A matriz A do exemplo 2.2.2 é simétrica? Justifique!
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4.6 Adição e Subtração de Matrizes
A adição ou subtração de duas matrizes, A = (aij)m×n e B = (bij)m×n, do
mesmo tipo é efetuada adicionando-se ou subtraindo-se, respectivamente, os elementos
correspondentes. Leia com atenção:
Exemplo 1.4.6:
As tabelas a seguir mostram as notas de alunos, em algumas matérias, nas duas
primeiras unidades, e o total de pontos que terão de alcançar no final do ano para passar
com média 7.
I UNIDADE
Port. Mat. Fís. Hist.
Arlete 8.5 9.3 6.3 9.5
Gustavo 8.1 8.5 8.0 8.7
Denise 7.4 6.5 4.5 7.8
Lucas 9.5 9.0 7.5 6.5
Natan 7.0 10.0 9.3 5.5
II UNIDADE
Port. Mat. Fís. Hist.
Arlete 6.5 9.7 7.5 8.5
Gustavo 5.1 7.5 7.0 6.7
Denise 6.4 8.5 5.5 6.8
Lucas 8.5 8.0 6.5 7.5
Natan 6.0 9.0 8.5 7.5
TOTAL DE PONTOS
Port. Mat. Fís. Hist.
Arlete 21 21 21 21
Gustavo 21 21 21 21
Denise 21 21 21 21
Lucas 21 21 21 21
Natan 21 21 21 21
• Quantos pontos cada aluno já possui e quantos pontos faltam para os alunos alcan-
çarem a média 7?
Para responder tal pergunta, é necessário fazer duas operações: somar os ele-
mentos, que estão em posições iguais, das tabelas I UNIDADE e II UNIDADE, formando
a nova tabela SOMA DOS PONTOS I & II UNIDADE; subtrair os elementos, que es-
tão em posições iguais, das tabelas TOTAL DE PONTOS e SOMA DOS PONTOS I
12
& II UNIDADE, formando outra nova tabela PONTOS QUE FALTAM. Deste modo, o
problema pode ser resolvido com soma e subtração de matrizes. Veja a seguir:
A matriz UI corresponderá a tabela I UNIDADE e a matriz UII corresponderá a
tabela II UNIDADE. Assim, temos:
UI+UII =

8.5 9.3 6.3 9.5
8.1 8.5 8.0 8.7
7.4 6.5 4.5 7.8
9.5 9.0 7.5 6.5
7.0 10.0 9.3 5.5

+

6.5 9.7 7.5 8.5
5.1 7.5 7.0 6.7
6.4 8.5 5.5 6.8
8.5 8.0 6.5 7.5
6.0 9.0 8.5 7.5

=

15.0 19.0 13.8 18.0
13.2 16.0 15.0 15.4
13.8 15.0 10.0 14.6
18.0 17.0 14.0 14.0
13.0 19.0 17.8 13.0

Portanto, a nova tabela será:
SOMA DOS PONTOS I & II UNIDADE
Port. Mat. Fís. Hist.
Arlete 15.0 19.0 13.8 18.0
Gustavo 13.2 16.0 15.0 15.4
Denise 13.8 15.0 10.0 14.6
Lucas 18.0 17.0 14.0 14.0
Natan 13.019.0 17.8 13.0
Agora, a matriz T representará a tabela TOTAL DE PONTOS e a matriz
S = UI + UII representará a tabela SOMA DOS PONTOS I e II UNIDADE. Segue:
T − S =

21 21 21 21
21 21 21 21
21 21 21 21
21 21 21 21
21 21 21 21

−

15.0 19.0 13.8 18.0
13.2 16.0 15.0 15.4
13.8 15.0 10.0 14.6
18.0 17.0 14.0 14.0
13.0 19.0 17.8 13.0

=

6.0 2.0 7.2 3.0
7.8 5.0 6.0 5.6
7.2 6.0 11.0 6.4
3.0 4.0 7.0 7.0
8.0 2.0 3.2 8.0

Será nomeada por F a matriz obtida por T−S (isto é, F = T−S ). Observando
a matriz F , percebe-se que a aluna Denise não tem a possibilidade de alcançar a média 7
na disciplina de Física , pois precisará alcançar 11.0 pontos na terceira unidade, o que é
impossível visto que o máximo de pontos de cada unidade são 10.0 pontos.
13
A nova tabela PONTOS QUE FALTAM será construída de acordo com a matriz
F. Veja a seguir:
F =

6.0 2.0 7.2 3.0
7.8 5.0 6.0 5.6
7.2 6.0 11.0 6.4
3.0 4.0 7.0 7.0
8.0 2.0 3.2 8.0

PONTOS QUE FALTAM
Port. Mat. Fís. Hist.
Arlete 6.0 2.0 7.2 3.0
Gustavo 7.8 5.0 6.0 5.6
Denise 7.2 6.0 11.0 6.4
Lucas 3.0 4.0 7.0 7.0
Natan 8.0 2.0 3.2 8.0
Por meio deste exemplo fica claro que a soma ou a subtração de duas (ou mais)
matrizes forma uma nova matriz.
De modo geral, se A = (aij)m×n, B = (bij)m×n e C = (cij)m×n, temos:
Adição: C = A+B ⇒ cij = aij + bij
Subtração: C = A−B ⇒ cij = aij − bij
com i ∈ {1, 2, 3, ...,m} e j ∈ {1, 2, 3, ..., n}
4.7 Multiplicação de um número real por uma Matriz
Para multiplicar um número real por uma matriz multiplica-se o número por
todos os elementos da matriz, e o resultado é uma matriz do mesmo tipo. Veja os seguintes
exemplos:
Exemplo 1.4.7:
A =
 −3 √2
π −0.3
 e B = −2A.
Portanto, B = −2
 −3 √2
π −0.3
 =
 6 −2√2
−2π 0.6

14
Exemplo 2.4.7:
A tabela a seguir mostra o total de pontos obtidos por alguns alunos, em um ano
letivo, em algumas matérias:
TOTAL DE PONTOS NO ANO LETIVO
Port. Mat. Fís. Hist.
Arlete 25.0 25.8 21.8 28.8
Gustavo 21.2 23.0 23.0 24.0
Denise 21.8 23.7 19.6 22.9
Lucas 26.8 28.0 22.8 22.3
Natan 21.0 29.0 27.3 21.5
• Considerando que o ano letivo possui três unidades, qual foi a média final de cada
um desses alunos nas respectivas disciplinas?
Para responder tal pergunta basta utilizar a operação multiplicação de um número
por uma matriz. Veja:
Sendo A a representação matricial da tabela TOTAL DE PONTOS NO ANO
LETIVO e B =
1
3
A a representação matricial da nova tabela MÉDIA FINAL. Temos:
B =
1
3

25.0 25.8 21.8 28.8
21.2 23.0 23.0 24.0
21.8 23.7 19.6 22.9
26.8 28.0 22.8 22.3
21.0 29.0 27.3 21.5

=

8.3 8.6 7.3 9.6
7.1 7.7 7.7 8.0
7.3 7.9 6.5 7.6
8.9 9.3 7.6 7.4
7.0 9.7 9.1 7.2

Segue da matriz B a nova tabela MÉDIA FINAL:
MÉDIA FINAL
Port. Mat. Fís. Hist.
Arlete 8.3 8.6 7.3 9.6
Gustavo 7.1 7.7 7.7 8.0
Denise 7.3 7.9 6.5 7.6
Lucas 8.9 9.3 7.6 7.4
Natan 7.0 9.7 9.1 7.2
15
Dada uma matriz A = (aij)m×n e um número real k,
chama-se o produto de k por A
a matriz B = (bij)m×n, onde bij = k · aij.
B = k · A⇒ bij = k · aij
com i ∈ {1, 2, 3, ...,m} e j ∈ {1, 2, 3, ..., n}
4.8 Agora é com você!
1. Dadas as matrizes A =

1 5
2 4
−1 3
 , B =

−2 −3
1 0
4 2
 e C =

6 −1
3 −2
0 1
,
calcule e responda:
a) C − A+B
b) At − Ct
c) É possível somar ou subtrair as matrizes At e B? Justifique!
2. De modo análogo ao exemplo 1.4.6: escolha 4 disciplinas do seu atual ano letivo;
escolha 4 colegas, também inclua você; colete as notas de seus 4 colegas e as suas
das 4 disciplinas escolhidas; organize os dados em tabelas; utilizando soma e
subtração de matrizes, descubra quantos pontos faltam para você e seus 4 colegas
alcançarem a média determinada pelo colégio.
3. A partir do item anterior, você e os 4 colegas escolhidos, estipulem quantos pontos
desejam alcançar nas 4 disciplinas escolhidas, na III Unidade, de modo que, caso
possível, fiquem acima da média. Em seguida, faça uma nova tabela III UNIDADE,
com os pontos estipulados. Por fim, utilizando as matrizes que contém os
pontos da I e II unidades, a nova matriz que contém os pontos estipulados
para a III unidade, soma de matrizes e multiplicação de um número por
uma matriz, faça uma tabela que indica a possível média final que você e seus 4
colegas podem alcançar nas 4 disciplinas, no atual ano letivo.
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