Ebook Un 02

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Unidade 2
Cálculo
 Diferencial
e Integral I 
2 Ebook - EADUM
C
INDEX QUEM FAZ
Objetivo 03
Uma introdução às funções 
trigonométricas 04
Função Cosseno 06
Função Seno 08
Função Tangente 10
Gráfico e aplicação das funções seno, 
cosseno e tangente 12
Um resumo das funções trigonométricas 16
Referências 17 PROF. MANOEL BEZERRA DE MELO
Chanceler
PROFª MSc. REGINA COELI BEZERRA DE MELO
Reitora
DRA. ROSELI DOS SANTOS FERRAZ VERAS
Vice-Reitora
PROF. DR. CLAUDIO JOSÉ ALVES DE BRITO
Pró-reitor de Graduação do Campus Sede
PROF. ANTONIO DE OLIVAL FERNANDES
Pró-reitor de Graduação de Campus Fora de Sede
PROFª. DRª. REGINA LUCIA B. DA C. DE OLIVEIRA
Pró-reitora de Pesquisa, Pós-Graduação e Extensão
MARCOS ANTÔNIO DUCATTI
Coordenação EAD
CRISTIANE PANIAGUA
Designer Instrucional
RONALDO SANTOS
Designer Gráfico
CARLA TANGANELLI
SILVIA ARCADES
Revisoras
PUBLICAÇÃO
Esta revista virtual (E-book) é uma publicação da
UNIVERSIDADE DE MOGI DAS CRUZES
_
Av. Dr. Cândido Xavier de Almeida e Souza, 200.
Mogi das Cruzes - SP
Fone: (11) 4798-7000
É proibida a venda e a reprodução deste material sem a 
autorização prévia da Universidade.
Equipe de EAD
Administração da UMC
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Fi
gu
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Objetivo
Proporcionar ao aluno a compreensão, por meio de estudos, 
das funções e suas correlações com as atividades diárias e 
profissionais.
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Funções trigonométricas e circunferências
Uma circunferência pode ser dividida em partes iguais e de três formas:
GRAU: a circunferência é dividida em 360 partes iguais, a essa medida 
damos o nome de graus, assim, a medida 360 graus (360º) representa 
uma circunferência.
GRADO: o grado é a unidade que damos a uma parte da circunferência 
quando a dividimos em 400 partes. Portanto, 400gr é uma 
circunferência.
RADIANO: o radiano é um arco unitário, cujo comprimento é igual 
ao comprimento do raio da circunferência na qual está contido. Uma 
circunferência mede 2πrad.
As divisões são representadas de três formas, conforme a figura 1.
 Figura 1
O tamanho do raio ou a medida do arco (DC) ou o ângulo λ pode ser 
determinado pela relação:
λ = CD 
r
 Figura 1.1
A medida central do ângulo λ é dada em radianos.
A origem das relações seno, cosseno, tangente, entre outras, pode ser 
demonstrada através de uma circunferência trigonométrica, figura 
Uma introdução às funções trigonométricas
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2. Nesta circunferência, o raio é igual a uma unidade (r=1), o eixo 
x é cosseno, o eixo y é seno e a tangente é a reta que tangência a 
circunferência.
 Figura 2 [1].
A medida do arco a = 30° é mostrada na figura 3, para seno e cosseno. 
O valor das relações trigonométricas, em função do arco a, é recíproco 
ao valor da projeção da reta (raio de valor 1), no eixo seno e no eixo 
cosseno. O valor da tangente de a é o valor dado pelo cruzamento do 
prolongamento da reta (raio) com o eixo da tangente, mostrado pela 
figura 3.
Figura 3.
Na figura 4, são mostradas a cotangente, cossecante e secante para um 
ângulo de 30º.
Figura 4
Relações trigonométricas
6 Ebook - EADUM
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Considerando um arco AB, figura 5, cuja medida é um número real, x, 
denominamos cosseno do arco AB o valor da abscissa do ponto B.
F(x)=cos2x
 
Figura 5.
cos2x=(OP) ̅
A função cosseno pode ser crescente e decrescente. Esta propriedade 
pode ser determinada pela análise do sinal da função. Utilizando uma 
circunferência trigonométrica, figura 6, pode-se fazer as seguintes 
observações:
 Figura 6.
• o maior valor para cosseno será 1, isso ocorre quando temos um 
ângulo 0° ou arco nulo. A medida de cosseno será de O até A.
• o menor valor de cosseno será 0, isso ocorre quando temos um arco 
ou ângulo de 90°, sendo igual a medida de O até B. Observe que o 
eixo de tamanho AO projeta qualquer medida no eixo OB.
• caminhando no sentido anti-horário, partindo de A, nota-se que 
o valor de cos (x) parte de um máximo, com valor de 1, até uma 
valor mínimo. Assim, neste primeiro quadrante, cosseno tem valor 
positivo, entretanto decrescente.
Função Cosseno
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• quando partimos de B para C, 90° para 180°, cosseno continua a 
diminuir, de 0 para -1. Portanto, ainda é decrescente. No segundo 
quadrante, os valores de cosseno são negativos.
• partindo de C para D, 180° para 270°, os valores de cosseno voltam 
a crescer, de -1 para 0, portanto a função é crescente para o terceiro 
quadrante, mesmo com sinal negativo.
• no 4º e último quadrante, caminhando de D para A, 270° para 360° 
(0°), a função assume valores positivos e é uma função crescente, 
pois cosseno vai de 0 até 1.
Gráfico da função cosseno
Para a construção da função cosseno, vamos utilizar radiano de 
cosseno, como segue na tabela, gráfico, figura 1.2.1 (ao utilizar 
uma calculadora científica, é importante notar em qual sistema 
trigonométrico ela está operando). O gráfico da função cosseno é 
chamado de cossenóide.
x Cos(x)
0 1
π/2 0
π -1
3 π/2 0
2 π 1
 
Figura 1.2.1.
Observe que de 0 até π temos uma volta completa, ou seja, um 
período. Esse período corresponde a uma volta na circunferência 
trigonométrica.
 
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3
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Considerando um arco AB, figura 7, cuja medida é um número real, x, 
denominamos seno do arco AB o valor da abscissa do ponto B.
F(x) = sen x
Figura 7.
sen x = OP 
A função seno pode ser crescente ou decrescente, figura 8; ela é 
crescente no primeiro e quarto quadrante. No trecho AB, a função é 
crescente, vai de 0 a 1. No segundo quadrante, trecho BC, a função 
vai de 1 a 0, portanto é decrescente. A função vai de 0 a -1 no terceiro 
quadrante, assim decrescente. Contudo, no quarto quadrante, a função 
é crescente novamente, indo de -1 até 0.
 Figura 8.
Gráfico da função seno
Para a construção da função seno, vamos utilizar radiano de seno, 
figura 1.3.1 (a), e x, em ângulo, figura 1.3.1(b), como segue nas tabelas. 
Este gráfico recebe o nome de senóide. 
Função Seno
__
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X Sen(x)
0 0
π/2 1
Π 0
3 π/2 -1
2 π 0
 
Figura 1.3.1 (a).
X° Cos(x)
0 0
90 1
180 0
270 -1
360 0
Figura 1.3.1 (b).
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Considerando um arco AB, figura 9, cuja medida é um número real x, 
temos tan x = sin x cos x , com x diferente de 0.
F(x) = tan x
Figura 9.
O valor da tangente e arco AB é a medida do seguimento AP, a reta 
tangente tem o mesmo sentido do eixo da ordenada (y) neste caso Sen.
Gráfico da função tangente
O gráfico da função tangente é mostrado pela figura 1.4.1. Ele pode 
ser representado por radianos e por ângulos, e recebe o nome de 
tangetóide.
Como a tangente pode ser representada pela razão
tan x = sin x cos x
logo notamos que não existe tangente de 90° (π/2) e 270° (3 π/2), 
dados expostos na tabela abaixo. 
x Sem(x) / Cos(x)
0 0/1 = 0
π/2 1/0 = ∄ nos R
π 0/-1 = 0
3 π/2 -1/0 = ∄ nos R
2 π 0/1 = 0
 
Função Tangente 
Ebook - EAD 11 UM
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Figura 1.4.1.
12 Ebook - EADUM
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Construa o gráfico da função:
a) y=2 sin 3 x
X 2Sen(3x)
0 0
π/2 -2
Π 0
3 π/2 2
2 π 0
 
Figura 10. Gráfico da função a) em radiano.
D=R
Im= [-2, 2]
Período = π 
Em graus:
x 2Sen(3x)
0 2*sem(3*0)=0
30 2*sem(3*30)=2
60 2*sem(3*60)=0
90 2*sem(3*90)=-2
120 2*sem(3*120)=0
150 2*sem(3*150)=2
180 2*sem(3*180)=0
210 2*sem(3*210)=-2
240 2*sem(3*240)=0
270 2*sem(3*270)=2
300 2*sem(3*300)=0
330 2*sem(3*330)=-2
360 2*sem(3*360)=0
Gráfico e aplicação das funções seno, cosseno e tangente 
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Figura 11. Gráfico da função a) em graus.
b) y = 1 2 cos 2 x
Em graus:
x 0,5Cos(2x)
0 2*sem(3*0)=0,5
45 2*sem(3*30)=
90 2*sem(3*60)=-0,5
135 2*sem(3*90)=0
180 2*sem(3*120)=0,5
225 2*sem(3*150)=0
270 2*sem(3*180)=-0,5
315 2*sem(3*210)=0
360 2*sem(3*240)=0,5
Figura 12. (Função b) em graus.
D=R
Im = [-0.5, 0.5]
Período = 180° = π
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c) y = 2 tan 2x 
Figura 13. (Função c).
Im = ]-∞,∞[
Período = 90° = π/2
d) y = 0.5 tan 2x
Figura 14. (Gráfico da função d).
Ebook - EAD 15 UM
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e) y = 0.25 tan 2x
Figura 15. (Gráfico da função e).
f) y=0.25tan 4x
Figura 16. (Gráfico da função f).
16 Ebook - EADUM
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Um resumo das funções trigonométricas
Função seno
• f(x) = sin x 
• O domínio da função seno é dado pelos números reais, pois x pode 
assumir qualquer valor real (D = R).
• No caso da função elementar, a imagem associada a f(x) tem máximo 
e mínimo; neste caso, são 1 e -1, portanto o conjunto imagem é 
definido como: Im = [-1,1].
• O período é determinado pelo intervalo que corresponde a uma volta 
completa na circunferência trigonométrica, para a função elementar 
f(x) = sin x caracteriza-se pelo intervalo de 0 a 2π.
Função cosseno
• f(x) = cos x
• Como x assume qualquer valor real, o domínio da função é D = R.
• Para a função elementar de cosseno, a imagem possui limites que 
são 1 e -1, assim Im = [-1, 1].
• O período é análogo ao período da função seno, no caso de funções 
elementares. 
Função tangente
• f(x) = tan x
• Por meio da definição da tangente, sabemos que ela não existe 
quando cos x = 0, logo o domínio da função tangente é dado pelos 
números reais, exceto números em que cosseno é igual a zero.
• O conjunto imagem é: Im = ] - ∞,∞[.
• Um período da função elementar da tangente corresponde a π, em 
graus, 180°.
Ebook - EAD 17 UM
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HUGHES, Hallett. Cálculo - A Uma e a Várias Variáveis. 5. ed. LTC. v. 2. http://online.minhabiblioteca.com.br.
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: Funções, Limite, Derivação e Integração. 5. ed. São Paulo: 
Makron Books, 2007.
WEIR, M. D.; HASS, J.; GIORDANO, F. R. Cálculo. George B. Thomas.11. ed. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 
2009-2010. v. 1.
Figuras
Figura 01, pág 03, Guias. Disponível em: http://ads.tt/B4PM. Acesso em: 04 de jul. 2013.
Referências
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