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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
AlfaCon Concursos Públicos
Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com 
fins comerciais ou não, em qualquer meio de comunicação, inclusive na Internet, sem autorização do AlfaCon Concursos Públicos.
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ÍNDICE
Distribuições Discretas de Probabilidade (Continuação) ������������������������������������������������������������������������������2
Distribuição Hipergeométrica �����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������5
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Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com 
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Distribuições Discretas de Probabilidade (Continuação)
 → Exemplo 05: Uma urna contém bolas vermelhas, azuis, amarelas e pretas� O número de bolas 
pretas é duas vezes o número de bolas azuis, o número de bolas amarelas é cinco vezes o número 
de bolas vermelhas e o número de bolas azuis é duas vezes o número de bolas amarelas� Se as bolas 
diferem apenas na cor, ao se retirar ao acaso três bolas da urna, com reposição, qual a probabilida-
de de exatamente duas bolas serem pretas?
a) 100/729.
b) 100/243.
c) 10/27.
d) 115/243.
e) 25/81.
 → Solução:
Vamos inicialmente fazer uma relação entre as quantidades de bolas contidas na urna: verme-
lhas, azuis, amarelas e pretas�
Considere que:
 ˃ Nº de bolas vermelhas = x
Desse modo, teremos:
 ˃ Nº de bolas amarelas = 5x
 ˃ Nº de bolas azuis = 2�(5x) = 10x
 ˃ Nº de bolas pretas = 2�(10x) = 20x
E o total de bolas contidas na urna é igual à soma:
x + 5x + 10x + 20x = 36x
Daqui a pouco usaremos esses resultados�
Essa questão atende aos requisitos da Distribuição Binomial, conforme se verifica a seguir:
1) Ela tratará de um experimento que se repetirá n vezes:
Três bolas da urna serão retiradas com reposição, logo n=3�
2) Este experimento só admite dois resultados: sucesso e fracasso�
Temos dois resultados:
• sucesso = bola preta
• fracasso = bola não preta (qualquer outra bola)
3) A cada repetição do experimento, as probabilidades de sucesso p e de fracasso q se mantêm cons-
tantes�
Como as retiradas são realizadas com reposição, então a probabilidade de sucesso e de fracasso 
se mantém constante�
Como a questão requer a probabilidade de exatamente 2 bolas serem pretas entre as 3 bolas re-
tiradas da urna, podemos fazer o resultado “bola preta” como sucesso e qualquer outra bola como 
fracasso� Assim, temos os seguintes dados da Binomial:
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Número de repetições: n = 3;
Número de sucessos (resultados “bola preta”): S = 2;
Número de fracassos (resultados “bola que não é preta”): F = 1
Probabilidade de sucesso: p = (nº de bolas pretas)/(total) = 20x/36x = 5/9
Probabilidade de fracasso: q = 1 – 5/9 = 4/9
Vamos lançar esses dados na fórmula da Binomial:
Resolvendo, temos:
 → Resposta: Alternativa B.
 → Exemplo 06: Em um experimento binomial com três provas, a probabilidade de ocorrerem dois 
sucessos é doze vezes a probabilidade de ocorrerem três sucessos� Desse modo, as probabilidades 
de sucesso e fracasso são, em percentuais, respectivamente, iguais a:
a) 20 % e 80 %
b) 80 % e 20 %
c) 60 % e 40 %
d) 30 % e 70 %
e) 25 % e 75 %
 → Solução:
Trata-se de um experimento binomial com n=3�
A probabilidade de ocorrerem dois sucessos é doze vezes a probabilidade de ocorrerem três 
sucessos� Assim:
Vamos aplicar a fórmula da Binomial nas duas probabilidades acima:
Portanto, probabilidade de sucesso é 20% e a de fracasso, 80%�
 → Resposta: Alternativa A.
 → Exemplo 07: Sabe-se que:
I. X é uma variável aleatória com distribuição binomial com média 2p e variância (2p-2p2).
II. Y é uma variável aleatória com distribuição binomial com média 5p e variância (5p-5p2).
III. A probabilidade de X ser inferior a 2 é igual a 15/16.
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Nessas condições, a probabilidade de Y ser superior a 3 é igual a
a) 3/1.024
b) 1/64
c) 5/512
d) 15/1.024
e) 7/512
 → Solução:
Para uma variável aleatória binomial, temos que:
 ˃ média: µ = n�p
 ˃ variância: Var = n�p�(1-p)
Segundo o enunciado, para a variável X, temos:
µ(x) = 2p e Var(x) = 2p – 2p2 = 2�p�(1-p)
Comparando esses dados com a média e a variância da Binomial, conclui-se que n=2 para a 
variável X� Assim, X pode assumir somente os valores: 0, 1 ou 2�
Segundo o enunciado, para a variável Y, temos:
µ(x) = 5p e Var(x) = 5p – 5p2 = 5�p�(1-p)
Comparando esses dados com a média e a variância da Binomial, conclui-se que n=5 para a 
variável Y� Assim, Y pode assumir somente os valores: 0, 1, 2, 3, 4 ou 5�
A probabilidade de X ser inferior a 2 é igual a 15/16, ou seja:
P(X < 2) = 15/16
Uma maneira mais rápida de resolver é pelo evento negação� A negação de “X<2” é “X=2”, pois X 
pode assumir apenas os valores 0, 1 ou 2� Desse modo, temos que:
P(X=2) = 1 – 15/16 = 1/16
Agora, apresentamos a fórmula da Binomial para encontrar o valor de p� Para P(X=2), usaremos 
n=2, S=2 e F=0�
Logo, temos a seguinte igualdade: p2 = 1/16, daí p=1/4� Consequentemente, q=3/4�
Passemos ao cálculo da probabilidade de Y ser superior a 3: P(Y>3)� Esta probabilidade inclui os 
seguintes valores: Y=4 e Y=5� Ou seja, P(Y>3) = P(Y=4) + P(Y=5)�
Portanto,
 → Resposta: Alternativa B.
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Distribuição Hipergeométrica
Quando a retirada de itens é feita sem reposição, a probabilidade de sucesso é modificada à 
medida que os itens são retirados, desta forma não podemos aplicar a probabilidade Binomial� A dis-
tribuição hipergeométrica é a distribuição discreta de probabilidade apropriada quando existirem 
retiradas sem reposição�
Fórmula para determinar a probabilidade hipergeométrica:
Em que:
N = quantidade total de elementos�
n = número de sorteios (ou retiradas aleatórias)�
S = quantidade desejada de repetição do elemento especificado nos n sorteios�
m = número de ocorrências do elemento especificado na totalidade�
Não utilizaremos essa fórmula da probabilidade hipergeométrica, pois a consideramos desne-
cessária� Observe o método de solução que utilizaremos nos dois próximos exemplos� Caso queira, 
você pode fazer uso da fórmula acima�
 → Exemplo 08: Uma turma de uma escola de primeiro grau tem 30 alunos, dos quais 20 são meninas 
e 10 são meninos� Ao se escolher ao acaso três alunos da turma, sem reposição, qual a probabilida-
de de exatamente 2 dos 3 alunos escolhidos serem meninas?
a) 1/2
b) 12/27
c) 45/91
d) 95/203
e) 2/3
 → Solução:
Esta questão atende a apenas dois requisitos da Binomial:
1) Ela tratará de um experimento que se repetirá n vezes:
Três alunos da turma serão escolhidos, logo n=3.
2) Este experimento só admite dois resultados: sucesso e fracasso�
Temos dois resultados: menino ou menina�
Como as retiradas são realizadas sem reposição, então não podemos utilizar a fórmula da Binomial�
Como são atendidos os dois requisitos iniciais da Binomial e as retiradas são sem reposição, 
dizemos que a questão é de probabilidadehipergeométrica� Essa probabilidade é obtida pela razão 
entre o número de resultados favoráveis e o número de resultados possíveis, ambos normalmente 
calculados com a ajuda da Análise Combinatória�
A turma tem 30 alunos, e 3 alunos da turma serão selecionados sem reposição� O número de re-
sultados possíveis é dado pela Combinação de 30 alunos, tomados 3 a 3:
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O número de resultados favoráveis depende da probabilidade solicitada na questão: “A probabili-
dade de exatamente 2 dos 3 alunos escolhidos serem meninas”� Faremos a seguinte Combinação: das 
20 meninas selecionaremos 2 (C20,2) e dos 10 meninos selecionaremos 1 (C10,1)�
O total de resultados favoráveis é dado pelo produto: (C20,2)x(C10,1) = 190x10 = 1900�
Concluindo, a probabilidade final é:
 → Resposta: Alternativa D.
	Distribuições Discretas de Probabilidade (Continuação)
	Distribuição Hipergeométrica