Distribuição Normal e Probabilidade

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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
AlfaCon Concursos Públicos
Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com 
fins comerciais ou não, em qualquer meio de comunicação, inclusive na Internet, sem autorização do AlfaCon Concursos Públicos.
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ÍNDICE
Distribuições Contínuas de Probabilidade ������������������������������������������������������������������������������������������������������2
Introdução ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������2
Distribuição Normal ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������2
Como Reconhecer a Questão de Distribuição Normal? ������������������������������������������������������������������������������������������2
Características da Curva Normal: ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������3
Distribuição Normal Padronizada ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������4
Tabela 1 ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������5
Tabela 2 ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������6
Tabela 3 ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������7
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Distribuições Contínuas de Probabilidade
Introdução
As distribuições de probabilidades são ditas “contínuas” quando a variável aleatória associada 
ao evento pode assumir qualquer valor dentro de certo intervalo� Como exemplos de variáveis alea-
tórias contínuas, citamos: peso de uma peça; altura de um aluno; tempo de duração de uma música; 
área de uma quadra de vôlei; volume de água em um copo etc�
Existem muitas distribuições de probabilidades contínuas, porém veremos neste tópico somente 
a Distribuição Normal� Há outras distribuições que só serão vistas nas próximas aulas, no momento 
em que o assunto a que elas estão vinculadas for apresentado�
Distribuição Normal
A mais importante distribuição contínua de probabilidade é a distribuição normal (ou curva 
normal), também conhecida como distribuição de Gauss (ou curva de Gauss)�
Muitas das variáveis analisadas nas pesquisas socioeconômicas correspondem à distribuição 
normal ou dela se aproximam�
Exemplos de distribuições normais: pesos de jogadores de futebol, estatura de crianças da 2ª série 
do 1º grau etc�
A distribuição normal pode ser cobrada dentro de outros assuntos da Estatística (Intervalo de 
Confiança, Testes de Hipóteses, etc�) ou simplesmente em uma questão de probabilidade, como 
descrito a seguir�
Como Reconhecer a Questão de Distribuição Normal?
 ˃ Ela perguntará por uma probabilidade�
 ˃ Esta probabilidade estará relacionada a um intervalo e dirá respeito a uma variável contínua�
 → Exemplos:
 ˃ Qual a probabilidade de que uma pessoa pese entre 45 kg e 58 kg?
 ˃ Qual a probabilidade de que uma pessoa pese acima de 72 kg? (Intervalo: de 72 kg até mais infinito)�
 ˃ Qual a probabilidade de que uma pessoa gaste, para ler um jornal, entre 32 minutos e 43 minutos?
 ˃ Qual a probabilidade de que uma pessoa gaste menos de 25 minutos para ler um jornal? (Intervalo: 
de menos infinito até 25 minutos)�
Esta probabilidade não será calculada por uma fórmula, e sim pela área verificada sob uma curva: 
a curva Normal ou de Gauss� Esta curva é construída pela seguinte fórmula:
( )
2
2
.2
2
.
..2
1)( σ
µ
σπ
−
−
=
x
exf
Não é preciso decorar esta fórmula!
 ˃ Ela serve apenas para sabermos que haverá infinitas curvas normais, cada uma delas definidas 
pela média (µ) e pela variância (σ2) do conjunto! Ou seja, média e variância são os parâmetros 
de uma distribuição normal�
 ˃ Assim, se uma variável X tem distribuição normal, diremos que X segue uma distribuição 
normal com média µ e variância σ2, simbolicamente:
X ~ N(µ, σ2)
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Características da Curva Normal:
 ˃ A Curva Normal tem forma de sino�
 ˃ É simétrica (média = mediana = moda)�
 ˃ É unimodal�
 ˃ É classificada como Mesocúrtica�
 ˃ Prolonga-se de – ∞ a +∞�
 ˃ Ela fica especificada pela sua média (µ) e pelo seu desvio padrão (σ)�
No desenho a seguir, são apresentadas duas curvas normais, designadas por A e B�
A curva normal B tem média maior do que a da curva normal A: µA > µB, pois µB está à direita de µA�
A curva normal A tem desvio padrão maior do que o da curva normal B: σA > σB, pois a curva A é 
mais larga (maior espalhamento) do que a curva B�
 → A curva normal apresenta a seguinte propriedade:
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Isso significa que se uma variável tem distribuição normal, cerca de 68,3% de seus valores cairão 
no intervalo de um desvio padrão (1σ) a contar de cada lado da média (µ ); cerca de 95,5% no inter-
valo de dois desvios padrões (2σ) a contar da média; e cerca de 99,7% no intervalo de três desvios 
padrões (3σ) a contar da média�
Os valores acima podem ser calculados a partir da tabela padronizada da curva Normal, que 
será vista mais adiante, mas convém que memorizemos estes valores, pois já foi exigido em questões 
de concursos passados o conhecimento deles�
 → Representação da Probabilidade na curva normal:
P(X=60 kg) = zero (em qualquer variável contínua, a probabilidade no ponto é sempre zero)
P(X ≥ 70 kg) = P(X > 70 kg) = 50% (metade da curva)
P(X > 60 kg) = corresponde à área sob a curva que está à direita de x=60� É preciso efetuar uma 
transformação e depois consultar a tabela da curva normal padrão�
P(X > 90 kg) = corresponde à área sob a curva que está à direita de x=90� É preciso efetuar uma 
transformação e depois consultar a tabela da curva normal padrão�
P(60 ≤ X ≤ 90) = P(60 < X < 90) = corresponde à área sob a curva que fica entre x=60 e x=90� É 
preciso efetuar uma transformação e depois consultar a tabela da curva normal padrão�
Distribuição Normal Padronizada
Se são infinitas as curvas normais, precisaríamos de infinitas tabelas para nos auxiliar no cálculo 
da área sob a curva!
Mas só existe uma tabela: a da CURVA NORMAL PADRONIZADA!
 ˃ Esta Curva Normal Padronizada apresenta: µ=0 e σ=1�
A variável normal padronizada será chamada de Z.
 ˃ Com a tabela da curva Z, encontraremos a área desejada pela probabilidade definida na questão�
 ˃ Qualquer distribuição normal particular (X) pode ser transformada na variável normal padro-
nizada (Z), da seguinte forma:
σ
µ−
=
XZ
O valor de Z obtido é chamado de Escore Padronizado�
 ˃ Fazendo essa transformação, encontraremos na tabela a área sob a curva normal padronizada, e 
que corresponderá à probabilidade que estamos procurando!
 ˃ Em outras palavras: haverá uma única tabela para descobrirmos probabilidadesde toda e 
qualquer variável contínua que tenha distribuição normal!
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Vejamos um exemplo de transformação da variável X em Z: (Considere µ=70 e σ=8)
 → P(X > 90 kg) = ?
Z = 
P(X > 90 kg) = P(Z > 2,5) = agora é o momento de consultar a tabela normal padronizada�
 → P(X > 60 kg) = ?
Z = 
O z é negativo porque o valor X=60 kg está abaixo da média (70 kg)�
P(X > 60 kg) = P(Z > – 1,25) = agora é o momento de consultar a tabela normal padronizada�
 → P(X ≥ 70 kg) = ?
Z = 
P(X ≥ 70 kg) = P(Z ≥ 0) = 50% = 0,5
Na prova, a tabela normal padronizada pode vir de várias formas� Vejamos alguns exemplos de 
tabelas retiradas de algumas provas de concurso�
Tabela 1
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 → Como se lê a tabela acima?
Convém observar, no desenho da curva normal, que está acima da tabela, que a parte em destaque 
(pintada) está à direita de z� Logo, os valores no miolo da tabela fornecem a área à direita de z� Em 
termos de probabilidade, a tabela fornece a probabilidade P(Z > z)�
 ˃ Vejamos um exemplo.
Qual a área (probabilidade) correspondente na tabela ao z = 1,23? Na primeira coluna, procuraremos 
o valor 1,2 que corresponde à parte inteira e à primeira casa decimal de 1,23� No cabeçalho da tabela, 
devemos procurar a segunda casa decimal de 1,23, no caso, o 0,03 (poderia vir só o algarismo 3)� Agora 
deve-se fazer o cruzamento da linha onde está o 1,2 com a coluna onde está o 0,03� Feito isso, encontra-se 
o valor 0,1093� Isso significa que P(Z > 1,23) = 0,1093�
Tabela 2
O gráfico da curva normal que está acima da tabela mostra a parte em destaque (pintada) entre 0 
e z� Isso significa que no miolo da tabela encontram-se as probabilidades P(0 < Z < z)�
 ˃ Vejamos um exemplo.
Qual a área (probabilidade) correspondente na tabela ao z = 1,05? Na primeira coluna, procura-
remos o valor 1,0 que corresponde à parte inteira e à primeira casa decimal de 1,05� No cabeçalho 
da tabela procuraremos a segunda casa decimal de 1,05, no caso o algarismo 5� Agora realizamos o 
cruzamento da linha onde está o 1,0 com a coluna onde está o algarismo 5� Feito isso, encontra-se o 
valor 0,3531� Isso significa que P(0 < Z < 1,05) = 0,3531�
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Tabela 3
A tabela abaixo dá os valores de P(0 < Z < z) quando Z tem distribuição normal padrão para 
valores selecionados de z� Por exemplo, P(0 < Z < 1,56) = 0,4406�
Conforme citado acima, no miolo da tabela temos os valores P(0 < Z < z)� E o enunciado dá como 
exemplo a probabilidade P(0 < Z < 1,56) = 0,4406� Vamos conferir abaixo, traçando o cruzamento da linha 
do 1,5 (parte inteira e primeira casa decimal de 1,56) com a coluna do 06 (segunda casa decimal de 1,56)�
Confirmamos que P(0 < Z < 1,56) = 0,4406� Entendida a leitura da tabela, podemos calcular 
outras probabilidades�
 → Exemplo 01: (Prefeitura de Natal – Auditor do Tesouro Municipal 2008 ESAF) Se x é uma v� 
a� – variável aleatória com função densidade de probabilidade f(x), caracterizada pelo modelo 
normal, podemos afirmar que:
a) o desvio padrão é igual a 1 (um).
b) a média tem valor 0 (zero).
c) a função de distribuição acumulada f(x) é igual a 1, para todos os valores acima de b.
d) os parâmetros média, moda e mediana são iguais.
e) a variância tem o valor do quadrado da média.
 → Solução:
A Distribuição Normal apresenta as seguintes características:
 ˃ A Curva Normal tem forma de sino�
 ˃ É simétrica (média = mediana = moda)�
 ˃ É unimodal�
 ˃ É classificada como Mesocúrtica�
 ˃ Prolonga-se de – a +∞�
 ˃ Ela fica especificada pela sua média (µ) e seu desvio padrão (σ)�
A Distribuição Normal Padrão apresenta as mesmas características acima, mas com valor fixo 
para a média (µ=0) e para o desvio padrão (σ=1)�
O enunciado da questão trata da Distribuição Normal, e não da Normal Padrão� Desse modo, a 
resposta correta é a alternativa D�
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 → Exemplo 02: Em um exame final de Matemática, a média foi 72 e o desvio padrão 15� Determinar 
o escore padronizado dos estudantes que obtiveram graus:
I - 60
II - 93
III - 72
Também determinar os graus correspondentes aos escores padronizados:
IV - -1
V - 1,6�
 → Solução:
1º) Para X=60:
Z = (é negativo, pois o valor 60 é menor que a média�)
2º) Para X=93:
Z = (é positivo, pois o valor 93 é maior que a média�)
3º) Para X=72:
Z = (é nulo, pois o valor 72 é igual ao valor da média�)
Agora temos que encontrar o valor de X correspondente ao valor de Z (escore padronizado) que 
foi fornecido:
4º) Para Z= – 1:
Z = 
5º) Para Z= 1,6:
Z = 
	Distribuições Contínuas de Probabilidade
	Introdução
	Distribuição Normal
	Como Reconhecer a Questão de Distribuição Normal?
	Características da Curva Normal:
	Distribuição Normal Padronizada
	Tabela 1
	Tabela 2
	Tabela 3