APOSTILA FÍSICA 1

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FÍSICA – MECÂNICA 
 
 AUTORIA – PROF. MARCELO CORREIA E-mail: marcelo.correia.fisica@bol.com.br 1 
 
Nesta parte faremos uma introdução ao estudo da FÍSICA e iniciaremos a discussão da MECÂNICA – parte da Física que estuda os movimentos. Constata-se 
que em todas as provas de vestibulares é dada uma grande ênfase a Mecânica, portanto é muito importante o entendimento detalhado desta parte da Física e 
além do mais a Mecânica constituirá uma base indispensável para o entendimento de outros ramos da Física. Sendo assim, arregace as mangas e mergulhe 
nos estudos, pois o grande segredo para passar no vestibular é: estudar, estudar, ... 
O professor de Física, MARCELO CORREIA. 
 
FÍSICA 
� O que é Física? 
Imagine que você está no universo, rodeado de acontecimentos, claro. 
Quando destacamos algum acontecimento com o objetivo de estudá-lo o 
consideramos um fenômeno. Assim, podemos dizer que Física é a ciência que 
estuda os fenômenos da natureza. 
 
RAMIFICAÇÕES DA FÍSICA 
 De uma forma bem simplificada podemos destacar as seguintes 
ramificações da Física: 
1. Mecânica: Estuda os fenômenos relativos a movimento: 
1.1. Cinemática: Parte da Mecânica que estuda os movimentos sem se 
preocupar com as causas que provocam estes movimentos; 
1.1.1. Cinemática Escalar: Estuda os movimentos sem preocupar-
se com suas causas considerando grandezas escalares. 
1.1.2. Cinemática Vetorial: Estuda os movimentos sem preocupar-
se com suas causas considerando grandezas vetoriais 
envolvendo direção e sentido. 
1.2. Dinâmica: Parta da Mecânica que estuda os movimentos 
preocupando-se com as causas que os provocam; 
1.3. Estática: Estuda o equilíbrio dos corpos: 
1.3.1. Estática do Ponto Material: Estuda o equilíbrio do ponto 
Material; 
1.3.2. Estática do Corpo Extenso: Estuda o equilíbrio do corpo 
extenso; 
1.3.3. Estática dos Fluidos, Fluidostática ou Hidrostática: Estuda 
os fluidos em equilíbrio. 
2. Termologia: Estuda os fenômenos relativos a temperatura e calor: 
2.1. Termometria 
2.2. Dilatação Térmica 
2.3. Calorimetria 
2.4. Estudo dos Gases 
2.5. Termodinâmica 
3. Óptica Geométrica ou Ótica Geométrica 
4. Ondulatória: 
4.1. Ondas 
4.2. Acústica 
5. Elétrica 
5.1. Eletricidade 
5.1.1. Eletrostática 
5.1.2. Eletrodinâmica 
5.2. Eletromagnetismo 
6. Física Moderna 
6.1. Relatividade 
6.2. Mecânica Quântica 
6.3. Física Nuclear 
 
GRANDEZAS FÍSICAS 
 Denomina-se GRANDEZA FÍSICA tudo o que pode variar 
quantitativamente. 
 As grandezas físicas podem ser classificadas em dois grupos: 
1. Grandezas Escalares e 
2. Grandezas Vetoriais 
� Grandezas Escalares: As grandezas escalares são aquelas que são 
caracterizadas por um número real acompanhado de uma unidade de 
medida. 
� Grandezas Vetoriais; São aquelas que para serem caracterizadas 
necessitam, além do número real precedido de uma unidade de medida, de 
uma orientação. 
 
AS GRANDEZAS FUNDAMENTAIS 
 As grandezas fundamentais e suas respectivas unidas são sete, estas 
são estabelecidas pelo SI (Sistema Internacional de Unidades). Veja na tabela 
seguir: 
GRANDEZA UNIDADE SÍMBOLO da Unidade 
Comprimento metro m 
Massa quilograma kg 
Tempo segundo s 
Intensidade de corrente elétrica ampère A 
Temperatura termodinâmica kelvin K 
Quantidade de matéria mol mol 
Intensidade luminosa candela cd 
 Observações: 
Na Mecânica, o que iremos estudar em breve, o SI é denominado 
MKS, que corresponde às iniciais dos símbolos das três unidades fundamentais 
usadas em Mecânica que é: comprimento, massa e tempo. 
Todas as demais grandezas que aparecem em mecânica são 
derivadas das fundamentais. 
Lógico que cada grandeza tem, além se sua unidade fundamental, as 
unidades que são os múltiplos e sub-múltiplos das fundamentais, por exemplo, a 
unidade fundamental da grandeza tempo é o segundo, porém pode aparecer: 
hora, dia, minuto, século, milênio, entre outras. 
 
POTÊNCIA DE 10 E NOTAÇÃO CIENTÍFICA 
 Em Física, o valor de muitas grandezas às vezes pode ser muito 
grande ou muito pequeno. 
 Para expressar o valor numérico destas grandezas físicas que 
aparecem com valores muito grandes ou muito pequenos podemos fazer uso da 
potência de 10. 
Uma forma muito importante de representar o valor de uma grandeza 
física é a notação científica que nada mais é do que uma potência de 10 
especial, com veremos a seguir: 
1. Potência de 10: Potência de 10 é um número escrito em forma de produto 
(multiplicação) em que um dos fatores é um número real e o outro fator é 
uma potência cuja base é o número 10, veja os exemplos: 
 34x1025 (número muito grande) 
 25x10–36 (número muito pequeno) 
 
 
da Universidade de Pernambuco 
 
Pré- Vestibular 
 INTRODUÇÃO A FÍSICA, CINEMÁTICA ESCALAR 
E CINEMÁTICA VETORIAL. 
AUTORIA 
MARCELO CORREIA 
 
FÍSICA – MECÂNICA 
 
 AUTORIA – PROF. MARCELO CORREIA E-mail: marcelo.correia.fisica@bol.com.br 2 
2. Notação científica: Notação científica é um número escrito em forma 
de produto onde um dos fatores é um número real com valor absoluto maior 
ou igual a 1 e menor do que 10 e uma potência cuja base é o número 10. 
Mostrando matematicamente temos: 
 
n10a ⋅ 
{ }10a1R / a e Zn :Onde <≤∈∈ 
 
REGRAS PARA TRABALHAR COM POTÊNCIAS DE 10 E 
NOTAÇÃO CIENTÍFICA 
� 1º Caso: O número é muito maior que um: 
Veja o exemplo: 
 132000000 = 1,32⋅⋅⋅⋅108 
 
 
 
 
 Neste processo você observa que a vírgula correu 8 casas da direita 
para a esquerda, assim podemos formar a seguinte regra básica: 
QUANDO A VÍRGULA É DESLOCADA DA DIREITA PARA ESQUERDA 
SOMAMOS UMA UNIDADE NO EXPOENTE DA POTÊNCIA DE 10 PARA 
CADA CASA “PULADA” PELA VÍRCULA 
 Com a regra anterior podemos transformar números muito grandes em 
potências de 10 ou notação científica. 
 
� 2º Caso: O número é muito menor que um: 
Veja o exemplo: 
 0,00000132 = 1,32⋅⋅⋅⋅10–6 
 
 
 
 
 Neste processo você observa que a vírgula correu 6 casas da 
esquerda para a direita, assim podemos formar a seguinte regra básica: 
QUANDO A VÍRGULA É DESLOCADA DA ESQUERDA PARA DIREITA 
SUBTRAÍMOS UMA UNIDADE DO EXPOENTE DA POTÊNCIA DE 10 PARA 
CADA CASA “PULADA” PELA VÍRGULA. 
 Com a regra anterior podemos transformar números muito pequenos 
em potências de 10 ou notação científica. 
 Observe que as regras podem ser aplicadas para transformar números 
em potências de 10 e em notação científica. Porém, também para fazer o inverso 
transformar notações científicas e potências de 10 em números decimais, assim 
como alterar o valor do expoente da potência de 10 com o propósito de torná-lo 
conveniente. Você verá, futuramente, que usaremos muito este artifício. 
 
ORDEM DE GRANDEZA 
 A ordem de grandeza é definida como sendo a potência de 10 mais 
próxima o valor da grandeza. Com exemplo consideremos o valor 35000, neste 
caso a ordem de grandeza de 35000 é a potência de 10 mais próxima de 35000. 
Observando que: 103 = 1000, 104 = 10000, 105 = 100000 podemos reconhecer 
que destas potências de 10 a que mais se aproxima de 35000 é 104. Você pode 
se perguntar: porque não pode ser 105 = 100000. 
 Neste caso observe que 35000 está entre 104 e 105, porém está mais 
próximo de 104 do que de 10. 
 Para deixar claro consideremos o valor 56000, neste caso a ordem de 
grandeza será 105. Observe que 56000 está, também, entre 104 e 105, porém 
está mais próximo de 105. 
 Felizmente temos uma regra prática para encontrar a ordem de 
grandeza de um determinado valor. A regra é: 
1. Escrever o número em notação científica, isto é, na forma: n10a ⋅ , 
{ }10a1R / a e Zn :onde <≤∈∈ ; 
2. A ordem de grandeza 




≥
<
=
+ 5,5 se 10
5,5 se 10
a
a
1n
n
 
Como exemplo vamos encontrar a ordem de grandeza dos valores: 
132000000 e 732000000. 
132000000 
1. Escrever o número em notação científica: 
132000000 = 1,32�108 
2. Observar se |a| < 5 ou |a| ≥ 5,5: 
No nosso caso |a| = 1,32 < 5,5 
Assim a ordem de grandeza é 10n = 108 
732000000 
1. Escrever o número em notação científica: 
732000000 = 7,32� 108 
2. Observar se |a| < 5 ou |a| ≥ 5,5: 
No nosso caso |a| = 7,32 > 5,5 
Assim a ordem de grandeza é 10n+1 = 108+1=109 
 
OS PREFIXOS 
Visando facilitar a notação das grandezas e a transformação de uma 
unidade em outra é conveniente utilizar os prefixos que representam as potências 
de dez. Para transformar unidades proceda conforme abaixo: 
� Para converter de unidades que tenham prefixos para unidades que 
não tenha prefixo é só substituir o prefixo pelo seu fator multiplicativo. 
� Para converter de unidades que não tenha prefixo para uma unidade 
com um determinado prefixo é só utilizar o que aprendemos sobre 
potência de dez para fazer aparecer a potência de dez que o prefixo vale 
(fazer aparecer o fator multiplicativo do prefixo que queremos aplicar) e 
substituir o fator multiplicativo pelo prefixo. 
� Para converter de unidades que tenha prefixo para uma unidade com 
um outro determinado prefixo é só converter para uma unidade sem 
prefixo e em seguida converter para a unidade com o prefixo desejado. 
A tabela seguinte mostra os prefixos com seus nomes, símbolos e 
fatores multiplicativos: 
NOME SÍMBOLO FATOR NOME SÍMBOLO FATOR 
exa E 1018 atto a 10–18 
peta P 1015 fento f 10–15 
tera T 1012 pico p 10–12 
giga G 109 namo n 10–9 
mega M 106 micro µµµµ 10–6 
quilo k 103 mili m 10–3 
hecto h 102 centi c 10–2 
deca da 10 deci d 10–1 
Nota: Em destaque os mais usados. 
 
Hora de... Brincar! 
1. Transformar cada número na forma decimal em notação científica: 
I. 1200000000 II. 5,65 
III. 300000000 IV. 59800⋅1020 
V. 254000000000 VI. 0,0000598⋅1029 
VII. 988580000,000 VIII. 1600000⋅10–13 
IX. 98,52 X. – 1600000⋅10–13 
XI. 63,2125000⋅1025 XII. 0,000000016⋅10–27 
XIII. 0,00000023 XIV. – 0,000000016⋅10–27 
XV. 0,251⋅10–25 XVI. 6,63� 10–34 
XVII. 0,251⋅1025 XVIII. 0,5 
XIX. 0,0000000000667 XX. 10 
2. Transforme os resultados obtidos na questão 1 (que é em notação 
científica) para a forma decimal em todos os itens. 
Observe que há 
8 dígitos. 
Observe que o 
expoente é 
igual a 8. 
Observe que há 
6 dígitos. 
Observe que o 
expoente é igual 
a –6. 
FÍSICA – MECÂNICA 
 
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3. A velocidade da luz é igual aproximadamente a 3⋅⋅⋅⋅108m/s. Qual o valor 
desta velocidade na forma decimal: 
(a) 300000m/s 
(b) 30m/s 
(c) 300m/s 
(d) 300000000m/s 
(e) n.d.a. 
4. Sabemos que na eletrosfera de um átomo existem elétrons que se movem 
rapidamente. Sabemos também que estes elétrons têm carga elétrica negativa. 
No SI a unidade de Carga elétrica é o Coulomb, cujo símbolo é: “C”. Milikan, 
pesquisador, conseguiu provar que a carga do elétron, também chama de 
carga elementar é igual a: e = –1,6⋅⋅⋅⋅10–19C. Assim, podemos dizer que a carga 
elementar do elétron vale: 
(a) – 1,6C 
(b) 1,6C 
(c) 0,00000000000000000016C 
(d) – 0,0000000000000000000016C 
(e) – 0,00000000000000000016C 
5. A massa do nosso planeta, Terra, é 5,98⋅⋅⋅⋅1024 kg. Esta massa é equivalente 
a: 
(a) 5 980 000 000 000 000 000 000 000 kg 
(b) meio quilograma 
(c) 598 kg 
(d) 5980 kg 
(e) 5 980 000 000 000 000 000 kg 
6. A Lei de Gravitação Universal aplicada para calcular a força de atração 
entre dois corpos, foi desenvolvido por Isaac Newton e tem como expressão: 
2
21
r
mm
GF
⋅⋅= , onde: F é a força, m1 e m2 são as massas dos corpos 
envolvidos, r a distância que separa os corpos e G uma constante chamada de 
constante de gravitação universal. Sabendo que G = 6,67⋅⋅⋅⋅10–11 Nm2/kg2, 
podemos dizer que esta constante vale em Nm2/kg2: 
(a) 6,6700000000000 (b) 0,0000000000667 
(c) 6,67000 (d) 667 (e) 0,000667 
7. Com relação à questão anterior podemos dizer que a ordem de grandeza 
da constante de gravitação universal é: 
(a) 10–11 (b) 10–10 (c) 10–12 (d) 10 (e) 6,67 
8. Qual a ordem de grandeza, em kg, da massa do próton e do elétron, 
respectivamente, sabendo que a massa do próton vale 1832 vezes a massa 
do elétron e a massa do elétron é igual a 9,11� 10–31kg. 
(a) 10–27 e 10–30 (b) 10–26 e 10–32 (c) 10–25 e 10–31 
(d) 10–27 e 10–31 (e) 1,67 e 9,11 
9. Encontre a ordem de grandeza de todos itens da questão 1. 
10. Efetue as operações pertinentes nas expressões com o objetivo de 
expressar o resultado em notação científica e após efetuar as operações 
encontre a ordem de grandeza do resultado. 
I. 
( )210
1919
9
1051,
106,106,
100,
−
−−
⋅
⋅⋅⋅⋅⋅
0
119 
II. 
( )210
2731
11
1051,
1067,1011,
1067,
−
−−
−
⋅
⋅⋅⋅⋅⋅
0
196 
III. 
( )28
2224
11
1082,
1036,1098,
1067,
⋅
⋅⋅⋅⋅⋅ −
3
756 
IV. 
( ) ( ) 





⋅
⋅⋅⋅−
⋅
⋅⋅⋅⋅⋅ −
28
2224
211
3024
11
1082,
1036,1098,
105,
1099,1098,
1067,
3
75
1
156 
V. 
( )[ ] ( )
( )[ ] 2333 27
21
12
0983221
102100,
100,4
100,2
109,2100,10903,5
−
−
−
−
⋅−+⋅






⋅
⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅
27-
2-
 
11. Em cada caso a seguir transforme as unidades de comprimento para metro, 
usando a notação dos prefixos. 
I. 200cm II. 5Ǻ 
III. 4,67km IV. 6�102µm 
V. 3�1012fm VI. 800mm 
VII. 6dm VIII. 5,7�1015nm 
IX. 2cm X. 0,00056Mm 
Nota: Ǻ é o símbolo da unidade de comprimento angström. 1Ǻ = 10–10m 
12. Em cada caso a seguir transforme as unidades de comprimento para cm, 
usando a notação dos prefixos. 
I. 200m II. 5Ǻ 
III. 4,67km IV. 6�102µm 
V. 3�1012fm VI. 800mm 
VII. 6dm VIII. 5,7�1015nm 
IX. 2cm X. 0,00056Mm 
13. Em cada caso a seguir transforme as unidades de massa para quilograma, 
usando a notação dos prefixos. 
I. 200cg II. 5g 
III. 4,67kg IV. 6�102µg 
V. 3�1012fg VI. 800mg 
VII. 6dg VIII. 5,7�1015ng 
IX. 2cg X. 0,00056Mg 
14. Em cada caso a seguir transforme as unidades de volume para m3, usando 
a notação dos prefixos. 
I. 200cm3 II. 5 l (litros) 
III. 4,67km3 IV. 6�102µm3 
V. 3�1012fm3 VI. 800mm3 
VII. 6dm3 VIII. 5,7�1015nm3 
IX. 2cm3 X. 0,00056Mm3 
Nota: l (litro) é o nome especial dado ao dm3, isto é, 1l = 1dm3 
15. Em cada caso a seguir transforme as unidades de volume para litros, 
usando a notação dos prefixos. 
I. 200cm3 II. 5m3 
III. 4,67km3 IV. 6�102µm3 
V. 3�1012fm3 VI. 800mm3 
VII. 6dm3 VIII. 5,7�1015nm3 
IX. 2cm3 X. 0,00056Mm3 
16. Em cada caso a seguir transforme as unidades de área para m2, usando a 
notação dos prefixos. 
I. 200cm2 II. 5hm2 
III. 4,67km2 IV. 6�102µm2 
V. 3�1012fm2 VI. 800mm2 
VII. 6dm2 VIII. 5,7�1015nm2 
IX. 2cm2 X. 0,00056Mm2 
17. Em cada caso a seguir transforme as unidades de área para mm2, usando a 
notação dos prefixos. 
I. 200cm2 II. 5hm2 
III. 4,67km2 IV. 6�102µm2 
V. 3�1012fm2 VI. 800mm2 
VII. 6dm2 VIII. 5,7�1015nm2 
IX. 2cm2 X. 0,00056Mm2 
FÍSICA – MECÂNICA 
 
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v
r
θθθθ a
r
horizontal 
VETORES – ALGEBRA VETORIAL 
 Vetor é um ente matemático que tem finalidade de materializar uma 
grandeza vetorial, lembre grandeza vetorial é aquela que para ser definida 
necessita de um valor numérico, uma unidade, uma direção e um sentido. 
 Vetor é um segmento de reta orientado, isto é, dotado de uma direção 
e um sentido. Veja abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na figura anterior chamamos atenção para os pontos A e B: 
� O ponto A é a origem do vetor e 
� O ponto B é a extremidade do vetor. 
Observe que o vetor é representado geometricamente por uma flecha, 
onde: 
� A DIREÇÃO do vetor é dada pela reta que contém o vetor; 
� O SENTIDO do vetor é dado pelo apontar da flecha e 
� O MÓDULO ou INTENSIDADE do vetor é dado pelo comprimento do 
segmento de reta orientado que o representa o vetor. 
No caso do vetor da figura anterior à reta “r” é quem nos dá a direção 
do vetor o apontar de sua flecha(para nordeste!) é quem nos dá o sentido e o 
comprimento da flecha nos dá seu módulo. 
 
Observe também que: 
� Uma letra que representa um vetor carrega sobre si uma flecha 
que indica que esta está sendo representante de um vetor. No nosso caso a 
letra é o v
r
, no entanto podemos representar o vetor não com uma única letra 
mas com as letras que representam sua origem e sua extremidade, para o 
nosso vetor acima esta representação ficaria: AB . No nosso caso, que 
trabalharemos com Física, a forma de representar o vetor pelas letras que 
representam sua origem e extremidade é pouco usada, sendo assim nos 
voltaremos sempre para representar os vetores por uma única letra. 
� O módulo de um vetor é representado pela letra que representa o 
vetor sem a flecha sobre a letra ou pela letra com a flecha sobre a letra e as 
barras de módulo. No caso do nosso vetor acima o módulo do vetor v
r
é 
representado por: vv =
r
 
� Observe e jamais se esqueça que um vetor é 3 em 1, isto é, um 
vetor nos dá um módulo, uma direção e um sentido. 
 
OPERAÇÕES COM VETORES 
 Destacamos como operações entre vetores a: 
� Adição de vetores; 
� Subtração de vetores; 
� Produto de um vetor por um Escalar (nº Real); 
� Produto Escalar (produto entre dois vetores que resulta num 
escalar); 
� Produto Vetorial (produto entre dois vetores que resulta num 
outro vetor). 
 
ADIÇÃO ENTRE VETORES 
Método da Poligonal 
 Considere os vetores v
r
, r
r
 e a
r
abaixo: 
 
 
 
 
Devemos encontrar o vetor soma, S
r
, logo sabemos que: arvS
rrrr ++= . 
Usar o método da poligonal consiste em: 
1. Redesenhar todos os vetores conservando-se suas características de 
maneira que a origem do posterior conhecido com a extremidade do 
anterior desenhado; 
2. Desenhamos o vetor soma de 
maneira que este terá origem na 
origem do primeiro vetor 
desenhado no item 1 e 
extremidade na extremidade do 
último vetor desenhado no item 1. 
Aplicando esta regra aos vetores 
dados, teremos a figura ao lado: 
Nesta operação observe que: 
� A ordem dos vetores parcela não vai alterar o vetor Soma; 
� Se supormos que os vetores v
r
, r
r
 e a
r
 têm módulos respectivamente 
iguais a 3, 2 e 5 vamos observar que o vetor soma arvS
rrrr ++= terá 
módulo diferente (neste caso – se os vetores tivessem mesma direção e 
mesmo sentido o resultado seria 10) de (3+2+5=10). Isto ocorre porque quando 
somamos vetores estamos somando, além de números (módulos), direção e 
sentido; 
� A regra é válida para qualquer quantidade de vetores que desejarmos 
somar, porém não é prática para muitas situações. Veja o nosso exemplo 
acima, para encontrar o módulo do vetor soma você deve encontra 
geometricamente o comprimento do vetor soma S
r
; 
� O método da poligonal é muito eficaz para somar vetores que tenham a 
mesma direção. 
 
Regra do Paralelogramo 
 Considere os vetores v
r
 e a
r
abaixo: 
 
 
 
 
 
 
Devemos encontrar o vetor soma, S
r
, logo sabemos que: avS
rrr += . Usar o 
método da regra do paralelogramo consiste em: 
1. Redesenhar os vetores conservando-se suas características de modo que 
suas origens sejam coincidentes; 
2. Traçar uma linha auxiliar (tracejada) que é paralela a um dos vetores e 
passa pela origem do outro; 
3. Repetir o item 2 para o outro vetor (terminado isto se obtém o desenho de 
um paralelogramo); 
4. Desenhar o vetor soma que tem 
origem na origem coincidente dos 
vetores desenhados no item 1 e 
extremidade no vértice oposto 
(este vértice é a intercessão das 
retas auxiliares desenhadas nos 
itens 2 e 3); 
 Aplicando a regra para os 
vetores considerados obtemos a figura 
ao lado: 
Da figura anterior podemos observar que o módulo S do vetor soma, S
r
, é 
dado pela expressão a seguir, que caracteriza a regra do paralelogramo: 
cos θav2avS 222 ⋅⋅⋅++= , porém se o ângulo, θ, for 
igual a 90º = rad
2
π
a expressão acima se resume ao Teorema de Pitágoras: 
222 avS += , neste caso a figura formada pela regra do 
paralelogramo é um retângulo. 
B 
A 
v
r
 
r 
Um vetor tem: 
módulo, direção e 
sentido. 
v
r
 r
r
 a
r
 
v
r
 
r
r
 
a
r
S
r
 
S
r
 v
r
 
a
r
 
θθθθ 
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Nesta operação observe que: 
� A ordem dos vetores parcela não vai alterar o vetor Soma; 
� A regra é válida para somarmos pares de vetores, isto é, com a regra do 
paralelogramo só podemos somar dois vetores, porém se tivermos mais de dois 
vetores para somarmos podemos fazer isto por etapas; 
� A regra do paralelogramo é muito eficaz para somar vetores que 
tenham as direções distintas. 
 
SUBTRAÇÃO ENTRE VETORES 
 As técnicas utilizadas para se efetuar a subtração entre vetores são as 
mesmas que utilizamos e, já apresentamos, para resolver a adição. No entanto é 
necessário observar um detalhe. O detalhe é: o vetor oposto. 
 Dado um vetor v
r
chamamos de vetor oposto, representando-o por: 
v- r , o vetor que: 
� tem mesma intensidade (módulo) de v
r
; 
� tem mesma direção de v
r
 e 
� tem sentido oposto ao de v
r
. 
Por exemplo considere o vetor v
r
 a seguir: 
 
 
 
 
 
Já que sabemos como encontrar o oposto de um vetor, podemos 
voltar a falar sobre a subtração de vetores. 
Subtrair dois vetores é nada mais que somar o primeiro 
com o oposto do segundo. 
Como exemplo considere os vetores da figura seguinte. 
 
 
 
 
 
 
 
Nosso objetivo é encontrar o vetor diferença D
r
 de modo que avD
rrr −= . 
Para isto vamos aplicar a regra do paralelogramo, porém antes devemos 
perceber que a diferença, avD
rrr −= , é equivalente a )a(vD rr
r
−+= , 
onde ( a-
r
) é o vetor oposto do vetor a
r
. Assim percebemos que efetuarmos 
a subtração avD
rrr −= é na verdade somarmos o vetor v
r
com o oposto do 
vetor a
r
. Agora, aplicando a regra do paralelogramo temos: 
 
 
 
 
 
 
Observe que a expressão para calcular o módulo do vetor diferença 
definida pela regra do paralelogramo fica: 
cos θav2avD 222 ⋅⋅⋅−+= . A troca do sinal ocorre 
por conta do ângulo que é dado, é muito importante você comparar as 
expressões da soma e diferença, faça isto, AGORA. 
 
MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UM VETOR 
 Se multiplicarmos um vetor v
r
 por um número real k obteremos um 
novo vetor p
r
tal que: 
� Intensidade: p = k⋅⋅⋅⋅v ; 
� Direção: A mesma direção do v
r
; 
� Sentido: 



<
>
v 0,k 
v 0,k 
r
r
de ao opostoSe
de mesmo oSe
 
 
PRODUTO ESCALAR ENTRE DOIS VETORES 
 O produto escalar entre dois vetores é definido como sendo o produto 
do módulo de um dos vetores pelo valor da componente do segundo vetor na 
direção do primeiro. Isto é, observamos que o produto escalar é multiplicarmos: 
� O módulo de um dos vetores 
� Pelo valor da projeção do segundo vetor sobre o primeiro. 
No produto escalar, observe que multiplicamos dois escalares, que 
são: o módulo do primeiro vetor e o valor da componente do segundo vetor sobre 
o primeiro. Sendo assim, o produto escalar entre dois vetores origina um escalar. 
Considerando os vetores v
r
e a
r
, denotamos o produto escalar 
entre eles por av
rr • , onde lê-se: v escalar a. 
Para ilustrar o produto escalar consideremos os vetores da figura 
seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
 Para encontrar o produto escalar consideremos que o primeiro vetor é 
a
r
e o segundo v
r
, assim devemos encontrar a componente de do segundo 
(no caso v
r
) sobre o primeiro (no caso a
r
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Da definição de produto escalar entre dois vetores podemos escrever 
que: 
ava av ⋅=•
rr
 
 Da figura anterior observamos que a componente v
r
sobre a
r
, Va , 
pode ser obtida do triângulo em destaque como: 
Va = v� cosθθθθ 
 Assim, temos para o produto escalar: 
θcosva av ⋅⋅=• rr 
 Concluímos observando que o produto escalar entre dois vetores é o 
escalar definido como sendo o produto entre os módulos dos vetores e o co-seno 
do ânguloformado entre eles. 
 No produto escalar a ordem dos vetores não altera o valor do produto, 
isto é: ( vaav
rrrr •=• ) 
Fique atento, grandezas importantes são definidas como produto 
escalar entre dois vetores, tais como: trabalho, fluxo de campo elétrico e fluxo de 
campo magnético. 
 É importante ressaltar que existe, ainda, outro tipo de produto entre 
dois vetores chamado de produto vetorial. No produto vetorial quando 
multiplicamos dois vetores damos origem a um terceiro vetor, deixaremos para 
discutir este produto mais à frente. 
 
v
r
 v- r O vetor oposto do vetor vr é o vetor 
que tem sentido oposto a v
r
 
 
θθθθ a
r
 
horizontal 
a-
r
D
r
 
v
r
 
a
r
 
θθθθ 
v
r
θθθθ a
r
horizontal 
av
r
 
v
r
 
a
r
 
θθθθ 
· 
Componente de 
v
r
sobre a
r
 
FÍSICA – MECÂNICA 
 
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DECOMPOSIÇÃO DE VETORES NO SISTEMA DE REFERÊNCIA 
RETANGULAR ORTOGONAL 
 Consideremos o vetor v
r
,na figura abaixo, que pretendemos 
encontrar suas componentes segundo um sistema de referência ortogonal 
(sistema de coordenadas cartesianas). 
 
 
 
 
 
 
 
Para tanto procedemos da maneira seguinte: 
� Colocamos um sistema de 
coordenadas cartesianas de 
maneira que a sua origem 
conhecida com a origem do vetor 
v
r
(que se deseja decompor), 
neste caso temos: 
 
 
 
 
 
 
� Baixamos duas 
perpendiculares aos eixos 
coordenados passando pela 
extremidade do vetor v
r
, neste 
caso temos: 
 
 
 
Desta forma observamos que fica definido os vetores xv
r
 e yv
r
 que 
são as componentes do vetor v
r
. 
Aplicando as relações trigonométricas no triângulo retângulo podemos 
chegar facilmente nas seguintes expressões: 
cosθvv x ⋅= , senθvv y ⋅= , 
y
x
v
v
tg θ = 
 Aplicando o que conhecemos sobre adição de vetores podemos 
chegar nas seguintes expressões: 
yx vvv
rrr += 2y
2
x
2 vvv += 
 
VERSORES 
 Versor é um vetor unitário, isto é, um vetor que tem módulo igual a 
uma unidade. Dado um vetor v
r
podemos encontrar o vetor unitário na direção 
do vetor v
r
 que denotamos por v̂ (v chapéu) pela expressão: 
v
v
v r
r
=ˆ . 
 Em especial podemos destacar três versores de grande importância. 
Estes versores são associados aos eixos coordenados do sistema retangular de 
referência, um para cada eixo, assim temos: 
� Eixo x ���� Representado por: x i i ˆˆ ouou
r
 
� Eixo y ���� Representado por: y j j ˆˆ ouou
r
 
� Eixo z ���� Representado por: z k k ˆˆ ouou
r
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Evidentemente se estivermos usando um sistema coordenado no 
plano, isto é, com dois eixos apenas, x e y, basta usarmos os versores destes 
eixos. 
 
APLICANDO OS VERSORES DOS EIXOS COORDENADOS 
PARA REPRESENTAR VETORES 
 Podemos usar os versores dos eixos coordenados para representar 
vetores. Consideremos um vetor v
r
, no espaço, onde precisaremos dos três 
eixos pra representá-lo. Assim temos: 
k v jvivv zyx ˆˆˆ ⋅+⋅+⋅=
r
 
onde: Vx , Vy e Vz são as componentes do vetor v
r
 . 
 Se o vetor estiver no plano x – y o que é mais comum no nosso caso 
termos que Vz = 0 (zero), assim temos: 
jvivv yx ˆˆ ⋅+⋅=
r
 
 Nota: 
 Para efetuar soma e subtração com os vetores escritos nesta forma 
basta efetuar as operações normalmente, como na álgebra “ordinária” tratando os 
versores como variáveis e sendo assim efetuamos as operações entre os 
versores que são semelhantes. 
Para efetuar o produto escalar entre dois vetores: 
jvivv yx ˆˆ ⋅+⋅=
r
 e 
jaiaa yx ˆˆ ⋅+⋅=
r
 
 basta observar que: 
( ) ( )jaiajvivav yxyx ˆˆˆˆ ⋅+⋅•⋅+⋅=• rr 
yyxx avavav ⋅+⋅=•
rr
 
 
 
PRODUTO VETORIAL ENTRE DOIS VETORES 
 O produto vetorial entre dois vetores v
r
e a
r
, denotado por: 
av
rr × (lê-se v vetorial a) nos dá um terceiro vetor que chamaremos de 
P
r
, cujo módulo é dado por: 
θsenavP ⋅⋅= 
onde θ é o ângulo formado entre os vetores v
r
e a
r
. 
 Para encontrar a direção e o sentido do vetor P
r
(produto vetorial 
av
rr × ) aplicamos uma regra chamada: regra da mão esquerda que 
consiste em: 
� Dispor os dedos da mão esquerda da seguinte forma: 
 
v
r
 
θθθθ 
horizontal 
θθθθ 
v
r
 
y 
x 
yv
r
 
xv
r
 
θθθθ 
v
r
 
y 
x 
i ˆ
 
k ˆ
 
y ĵ
z 
x 
0 
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� O dedo médio aponta no sentido e direção do primeiro vetor, no nosso 
caso o vetor v
r
; 
� O dedo indicador aponta no sentido e direção do segundo vetor, no 
nosso caso a
r
ç 
� O dedo polegar apontará no sentido e direção do vetor P
r
. 
Para calcular o produto vetorial entre dois vetores com os mesmos 
escritos em termos dos versores dos eixos coordenados observamos que 
podemos aplicar o determinante seguinte: 
zyx
zyx
aaa
vvv
kji
avP
ˆˆˆ
=×=
rrr
 
NOTAS: 
� Para calcular o determinante do produto vetorial não é conveniente 
usar a regra de sarrus, mas sim através dos cofatores da primeira 
linha (dos versores); 
� No produto vetorial a ordem dos vetores altera o produto. Na verdade 
temos que: ( )vaav rrrr ×−=× . 
 
Hora de... Brincar! 
18. Dados os vetores a
r
 e b
r
 da figura a seguir, encontre o vetor soma: 
baS
rrr
+= sabendo que: a = 4 e b = 3. 
 
 
19. Dados os vetores a
r
 e b
r
 da figura a seguir, encontre o vetor soma: 
baS
rrr
+= sabendo que: a = 4 e b = 3. 
 
 
 
20. Dados os vetores a
r
 e b
r
 da figura a seguir, encontre o vetor soma: 
baS
rrr
+= sabendo que: a = 4 e b = 3. 
 
 
 
21. Dados os vetores a
r
 e b
r
 da figura a seguir, encontre o vetor soma: 
baS
rrr
+= sabendo que: a = 4 e b = 3. 
 
 
 
22. Dados os vetores a
r
 e b
r
 da figura a seguir, encontre o vetor soma: 
baS
rrr
+= sabendo que: a = 4 e b = 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
23. Dados os vetores a
r
 e b
r
 da figura a seguir, encontre o vetor diferença: 
baD
rrr
−= sabendo que: a = 4 e b = 3. 
 
 
24. Dados os vetores a
r
 e b
r
 da figura a seguir, encontre o vetor diferença: 
baD
rrr
−= sabendo que: a = 4 e b = 3. 
 
 
 
25. Dados os vetores a
r
 e b
r
 da figura a seguir, encontre o vetor diferença: 
baD
rrr
−= sabendo que: a = 4 e b = 3. 
 
 
 
26. Dados os vetores a
r
 e b
r
 da figura a seguir, encontre o vetor diferença: 
baD
rrr
−= sabendo que: a = 4 e b = 3. 
 
 
 
27. Dados os vetores a
r
 e b
r
 da figura a seguir, encontre o vetor diferença: 
baD
rrr
−= sabendo que: a = 4 e b = 3. 
 
 
 
 
 
 
 
28. Dados os vetores a
r
 e b
r
 da figura a seguir, encontre o vetor diferença: 
baD
rrr
−= sabendo que: a = 4 e b = 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
29. Dois vetores a
r
 e b
r
 formam entre si um ângulo de 60º. Sabendo que o 
módulo do vetor a
r
 vale 1 tendo direção horizontal e sentido para direita e 
o módulo de b
r
 vale 2 com direção inclinada para direita e sentido 
apontando para nordeste encontre baS
rrr
+= . 
avP
rrr
×= a
r
 
v
r
 
a
r
b
r
a
r
b
r
a
r
b
r
a
r
b
r
a
r
b
r
a
rb
r
a
r
b
r
a
r
b
r
a
r
b
r
a
r
b
r
a
r
b
r
FÍSICA – MECÂNICA 
 
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30. Dois vetores a
r
 e b
r
 formam entre si um ângulo de 120º. Sabendo que o 
módulo do vetor a
r
 vale 5 tendo direção horizontal e sentido para esquerda 
e o módulo de b
r
 vale 3 com direção inclinada para direita e sentido 
apontando para nordeste encontre baS
rrr
+= . 
Dado: cos 120º = – cos 60º. 
31. Dois vetores a
r
 e b
r
 formam entre si um ângulo de 60º. Sabendo que o 
módulo do vetor a
r
 vale 1 tendo direção horizontal e sentido para direita e 
o módulo de b
r
 vale 2 com direção inclinada para direita e sentido 
apontando para nordeste encontrebaD
rrr
−= . 
32. Dois vetores a
r
 e b
r
 formam entre si um ângulo de 120º. Sabendo que o 
módulo do vetor a
r
 vale 5 tendo direção horizontal e sentido para esquerda 
e o módulo de b
r
 vale 3 com direção inclinada para direita e sentido 
apontando para nordeste encontre baD
rrr
−= . 
Dado: cos 120º = – cos 60º. 
33. Considere um vetor v
r
que tem módulo igual a 5, forma um ângulo de 30º 
com a horizontal, tem direção inclinada para direita e aponta para nordeste. 
Neste caso: 
I. Coloque um sistema retangular xy com o eixo x na horizontal 
orientado para direita e com a origem coincidente com a origem 
do vetor e decomponha o vetor neste sistema; 
II. Escreva o vetor em termos dos versores dos eixos x e y. 
34. Considere um vetor v
r
que tem módulo igual a 10, forma um ângulo de 
60º com a horizontal, tem direção inclinada para direita e aponta para 
nordeste. Neste caso: 
I. Coloque um sistema retangular xy com o eixo x na horizontal 
orientado para direita e com a origem coincidente com a origem 
do vetor e decomponha o vetor neste sistema; 
II. Escreva o vetor em termos dos versores dos eixos x e y. 
35. Considere um vetor v
r
que tem módulo igual a 5, forma um ângulo de 60º 
com a horizontal, tem direção inclinada para direita e aponta para sudoeste. 
Neste caso: 
I. Coloque um sistema retangular xy com o eixo x na horizontal 
orientado para direita e com a origem coincidente com a origem 
do vetor e decomponha o vetor neste sistema; 
II. Escreva o vetor em termos dos versores dos eixos x e y. 
36. Considere um sistema retangular xy com o eixo x horizontal orientado para 
direita e um vetor b
r
que tem módulo igual a 150, formando um ângulo de 
240º com o eixo x medido a partir do lado positivo do eixo x no sentido anti-
horário. Neste caso: 
Dado: sen 240º = – sen 60º e cos 240º = – cos 60º 
I. Coloque o vetor com a origem coincidente com a origem do 
sistema de coordenadas e decomponha o vetor; 
II. Escreva o vetor em termos dos versores dos eixos x e y. 
37. Considere um sistema retangular xy com o eixo x formando um ângulo de 
45º com a horizontal orientado para nordeste e um vetor b
r
que tem 
módulo igual a 150, formando um ângulo de 60º com o eixo x medido a 
partir do lado positivo do eixo x no sentido anti-horário. Neste caso: 
I. Coloque o vetor com a origem coincidente com a origem do 
sistema de coordenadas e decomponha o vetor; 
II. Escreva o vetor em termos dos versores dos eixos x e y. 
38. Considere um sistema retangular xy com o eixo x formando um ângulo de 
45º com a horizontal orientado para sudoeste e um vetor b
r
que tem 
módulo igual a 100, formando um ângulo de 240º com o eixo x medido a 
partir do lado positivo do eixo x no sentido anti-horário. Neste caso: 
Dado: sen 240º = – sen 60º e cos 240º = – cos 60º 
I. Coloque o vetor com a origem coincidente com a origem do 
sistema de coordenadas e decomponha o vetor; 
II. Escreva o vetor em termos dos versores dos eixos x e y. 
39. Considere que um vetor tem componente para o eixo x igual a –30 e a 
componente do eixo y igual a 40. 
I. Calcule o módulo do vetor; 
II. Calcule o ângulo que o vetor forma com o sentido positivo do eixo 
x; 
III. Faça um desenho com o sistema xy usual e represente o vetor; 
IV. Escreva o vetor em termos dos versores dos eixos coordenados. 
40. Considere o vetor da figura seguinte que tem módulo igual a 15 unidades: 
I. Determine suas componentes x e y; 
II. Escreva o vetor em termos 
dos versores dos eixos 
coordenados; 
III. Faça uma rotação no eixo 
xy de 60º e refaça dos 
itens I e II. 
 
 
41. Considere o ponteiro dos minutos de um relógio de parede. Imagine o 
relógio na parede, pronto para ver as horas. Sabendo que este ponteiro tem 
10cm de comprimento coloque um sistema de coordenadas xy com o eixo x 
positivo orientado horizontalmente para direita e com sua origem 
coincidindo com a origem do relógio. Nestas condições trate o ponteiro 
como um vetor e encontre as componentes x e y do ponteiro e escreva em 
termos dos versores dos eixos coordenados quando o relógio: 
I. 17h 05min; 
II. 5h 10min; 
III. 23h 25min; 
IV. 9h 30min; 
V. 4h 35min; 
VI. 11h 40min; 
VII. 6h 45min; 
VIII. 8h 50min; 
IX. 9h 55min; 
X. 3h 00min. 
42. Dados os vetores j4i3v ˆˆ ⋅+⋅=
r
 e j8i6f ˆˆ ⋅+⋅=
r
: 
I. Represente os vetores num mesmo sistema de coordenadas xy; 
II. Encontre módulo dos vetores; 
III. Encontre o vetor: fvS
rrr
+= e represente-o no mesmo 
sistema de coordenadas usado no item I; 
IV. Encontre o vetor: fvD1
rrr
−= e represente-o no mesmo 
sistema de coordenadas usado no item I; 
V. Encontre o vetor: vfD 2
rrr
−= e represente-o no mesmo 
sistema de coordenadas usado no item I. 
VI. Encontre o módulo de todos os vetores calculados nos itens de III 
até V. 
43. Considere um vetor r
r
 que tem módulo igual 2,5 e aponta para o norte. 
Calcule o módulo a direção e o sentido dos vetores: 
I. 2� r
r
 
II. –2� r
r
 
III. 4� r
r
 
IV. r
r
⋅5
1
 
V. – r
r
 
VI. 8� r
r
 
VII. –2,5 r
r
 
VIII. –0,5 r
r
 
IX. r
r
⋅− 5
1
 
X. 0,2� r
r
 
44. Um vetor r
r
 tem módulo igual a 10 e outro vetor v
r
 tem módulo igual a 6 
e fazem entre si um ângulo de 60º. Calcule: 
I. O produto escalar entre os vetores r
r
 e v
r
; 
II. O módulo do produto vetorial entre os vetores r
r
 e v
r
. 
30º 
r
r
 
y 
x 
FÍSICA – MECÂNICA 
 
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45. Dois vetores, r
r
 e v
r
, estão contidos num plano xy. Seus módulos são 6 
e 9, respectivamente, e eles fazem ângulo de 60º e 240º com o sentido 
positivo do eixo x medido no sentido anti-horário, respectivamente. 
Encontre: 
I. O produto escalar entre os vetores, r
r
 e v
r
; 
II. O produto vetorial entre os vetores r
r
 e v
r
(módulo, direção e 
sentido). 
46. Dados os vetores j4i3v ˆˆ ⋅+⋅=
r
, j8i6f ˆˆ ⋅+⋅=
r
 e 
j8i2c ˆˆ ⋅−⋅=
r
: 
I. Encontre o vetor: cfvS
rrrr
++= ; 
II. Encontre o vetor: cfvD
rrrr
−−= ; 
III. Encontre o vetor: cfvM
rrrr
−+= ; 
IV. Encontre o vetor: cfvN
rrrr
+−= ; 
V. Encontre o vetor: cfvQ
rrrr
+⋅−⋅= 42 ; 
VI. Encontre o vetor: ( )cf5vR rrrr −⋅+−= ; 
VII. Encontre produto escalar: fv
rr
• ; 
VIII. Encontre produto escalar: fc
rr
• ; 
IX. Encontre produto escalar: cv
rr
• ; 
X. Encontre produto escalar: vc
rr
• ; 
XI. Encontre o vetor: cfD
rrr
×= ; 
XII. Encontre o vetor: fcD
rrr
×= ; 
XIII. Encontre o vetor: cvD
rrr
×= ; 
XIV. Encontre o vetor: vfD
rrr
×= ; 
XV. Encontre o vetor: ( ) ( ) ccfvcfD rrrrrrr ⋅•+××= ; 
47. Um vetor R
r
 cujo módulo é 8, é somado a um vetor S
r
localizado sobre o 
eixo dos x. A soma desses vetores é um terceiro vetor situado sobre o eixo 
dos y e cujo módulo é o dobro do módulo de R
r
. Qual é o módulo do vetor 
R
r
? 
48. Se o vetor R
r
 é somado ao vetor S
r
, o resultado é ji6 ˆˆ +⋅ . Se R
r
 é 
subtraído de S
r
, o resultado é ji4- ˆ7ˆ ⋅+⋅ . Qual é o módulo do vetor 
S
r
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCEITOS BÁSICOS 
 Estes conceitos básicos não servirão apenas para o estudo de uma 
parte da Física em particular, mas sim para toda a Física. Portanto será muito 
importante guardá-los bem, lembre que uma boa casa tem uma boa base, 
construa sua “boa base” em Física! 
1. Referencial: O referencial é o local de onde efetuamos nossas 
observações e de onde amarramos as nossas medições. 
2. Ponto Material, Partícula ou Corpo Puntiforme: É um corpo que podemos 
desprezar suas dimensões na análise de um determinado fenômeno. 
3. Corpo Extenso: É um corpo que não podemos desprezar suas dimensões 
na análise de um particular fenômeno. 
 
MECÂNICA 
CINEMÁTICA 
 A cinemática é a parte da mecânica que estuda os movimentos sem 
se preocupar com as causas que provocam estes movimentos. Podemos dividir a 
cinemática em duas: 
� Cinemática Escalar e 
� Cinemática VetorialCINEMÁTICA ESCALAR 
 A cinemática escalar é aquela que estuda os movimentos sem se 
preocupar com as causas que os provocam e sem considerar profundamente os 
conceitos de direção e sentido sendo assim é aplicada em problemas 
unidimensionais. 
Durante o estudo de toda mecânica se fará referência com grande 
freqüência a expressão móvel. O móvel é o foco das atenções num fenômeno 
relativo a movimento, é o objeto que voltamos a nossa atenção a fim de estudar o 
movimento descrito pelo mesmo. O móvel pode ser uma partícula ou corpo 
extenso dependendo do contexto do fenômeno vivido pelo mesmo. 
 
TRAJETÓRIA 
Trajetória é o caminho deixado pelo móvel, isto é, é o caminho 
percorrido pelo móvel em seu movimento. A trajetória é constituída por um 
conjunto de infinitas posições e depende do referencial adotado. Podemos 
classificar as trajetórias quanto a sua forma geométrica como: 
1. Trajetória Retilínea: É uma trajetória deixada pelo móvel que tem a forma 
de uma linha reta. 
2. Trajetória Curvilínea: É uma trajetória deixada pelo móvel que tem a forma 
de uma linha curva. 
2.1. Trajetória Circular: É uma trajetória curvilínea que tem a forma de 
uma circunferência. 
2.2. Trajetória Elíptica: É uma trajetória curvilínea que tem a forma de 
uma elipse. 
2.3. Trajetória Parabólica: É uma trajetória curvilínea que tem a forma 
de uma parábola. 
 
GRANDEZAS FÍSICAS 
ENVOLVIDAS NO ESTUDO DA CINEMÁTICA 
 
POSIÇÃO ESCALAR ou ESPAÇO ESCALAR (S) 
Uma trajetória pode ser orientada e cotada em relação a um 
determinado referencial. Por meio da cotação da trajetória podemos determinar a 
posição em que um móvel se encontra num determinado instante. Assim 
podemos dizer que: posição é o local em que o móvel se encontra num 
determinado instante. 
DESLOCAMENTO ESCALAR ou 
VARIAÇÃO DE POSIÇÃO ESCALAR (∆∆∆∆S) 
Deslocamento ou Variação de Posição é quanto o móvel varia de 
posição num determinado intervalo de tempo em relação a um determinado 
referencial. A variação de posição ∆∆∆∆S é dada por: 0SS ∆S −= , onde: ∆∆∆∆S 
é a variação da posição, S é a posição final e S0 é a posição inicial do móvel. 
FÍSICA – MECÂNICA 
 
 AUTORIA – PROF. MARCELO CORREIA E-mail: marcelo.correia.fisica@bol.com.br 10 
� Distância Percorrida (d): É quanto um móvel percorre em sua 
trajetória em um determinado intervalo de tempo em relação a um 
determinado referencial. 
A unidade no SI para posição, deslocamento e distância 
percorrida é o metro (m). No entanto, podemos usar qualquer unidade de 
comprimento para expressar uma posição, deslocamento ou distância percorrida. 
Das unidades que podemos usar para as grandezas citadas a mais empregada 
em cinemática, que não seja o metro, é o quilômetro (km). 
 
INSTANTE (t) 
 É um exato momento. Podemos usar o instante para medir o exato 
momento que ocorre um evento. 
 
INTERVALO DE TEMPO (∆∆∆∆t): 
É quanto tempo passou para que ocorra um determinado fenômeno 
que desejamos analisar. O intervalo de tempo é dado por: 0t t∆t −= , 
onde: ∆∆∆∆t é o intervalo de tempo, t é o instante final e t0 é o instante inicial. 
 
VELOCIDADE ESCALAR 
 A velocidade escalar é uma grandeza física definida para dar um 
caráter quantitativo a rapidez com que o um movimento acontece, assim a 
velocidade nos mostra como a posição do móvel está variando a medida que o 
tempo passa. É muito importante observar que a medida da velocidade depende 
do referencial. Podemos considerar: 
1. Velocidade Escalar Média (vm): é definida por:
∆t
∆S
vm = , onde: “∆∆∆∆S” 
é o deslocamento ocorrido no intervalo de tempo “∆∆∆∆t”. A unidade de 
velocidade no SI é o m/s (metro por segundo) porém qualquer unidade de 
comprimento por unidade de tempo caracteriza a unidade de uma 
velocidade. As unidades de velocidade mais importantes fora a do SI são o 
km/h (quilometro por hora) e km/s (quilometro por segundo). 
2. Velocidade Escalar Instantânea (v) ou (vinst): é definida por: 
 
∆t
∆S
limv
0∆t
inst →
= , onde lê-se: limite de ∆∆∆∆S dividido por ∆∆∆∆t quando ∆∆∆∆t 
tende para 0(zero). 
Observações sobre velocidade: 
� As velocidades escalar média e escalar instantânea são distintas. A 
velocidade média oferece uma média da taxa de variação da posição em 
relação ao tempo medida num intervalo de tempo relativamente grande 
enquanto que a velocidade instantânea é a velocidade de um determinado 
instante, isto é, é a taxa de variação da posição em relação ao tempo medida 
num intervalo de tempo muito pequeno, ou melhor, medida num intervalo de 
tempo infinitesimal, o mais próximo de zero possível. 
� Para transformar as unidades de velocidade de km/h para m/s e m/s 
por km/h que são as transformações mais usuais use o dispositivo prático 
seguinte: 
 
 
 
 
 
Traduzindo o quadro anteriror temos que: 
Para tranformar de km/h para m/s dividimos por 3,6 
Para fransformar de m/s para km/h multiplicamos por 3,6 
 
MOVIMENTO E REPOUSO 
Diz-se que um corpo está em movimento em relação a um 
determinado referencial se sua posição variar no decorrer do tempo com relação 
a este referencial (isto quer dizer que sua velocidade deve ser diferente de zero 
com relação a este referencial) e diz-se que um corpo está em repouso em 
relação a um determinado referencial se sua posição não variar no decorrer do 
tempo com relação a este referencial (isto quer dizer que sua velocidade deve ser 
igual a zero com relação a este referencial). 
MOVIMENTO PROGRESSIVO E MOVIMENTO RETROGRADO 
Um movimento é progressivo quando o móvel move-se no mesmo 
sentido da orientação da trajetória (neste caso sua velocidade é positiva, v > 0) e 
um movimento é retrogrado quando o móvel move-se no sentido contrário ao da 
orientação da trajetória (neste caso sua velocidade é negativa, v < 0). Veja os 
exemplos na aula. 
 
ACELERAÇÃO ESCALAR 
 A aceleração é a grandeza física que nos mostra como a velocidade 
de um determinado móvel está variando (aumentando ou diminuindo ou nem uma 
coisa nem outra) em relação a um determinado referencial com relação ao 
tempo. 
 Assim como ocorreu com a velocidade (que mostra como a posição 
está variando em relação a um determinado referencial com relação ao tempo) a 
aceleração escalar pode ser considerada como: 
1. Aceleração Escalar Média (am): É definida por:
t
v
am
∆
∆= , onde: 
“∆∆∆∆v” é a variação de velocidade ocorrida no intervalo de tempo “∆∆∆∆t”. A 
unidade de aceleração no SI é o m/s2 (metro por segundo ao quadrado), 
porém qualquer unidade de comprimento por unidade de tempo ao 
quadrado é unidade de uma aceleração. 
1. Aceleração Escalar Instantânea (a) ou (ainst): é definida por: 
 
t
v
lima
0t
inst
∆
∆
∆ →
= , onde lê-se: limite de ∆∆∆∆v dividido por ∆∆∆∆t quando ∆∆∆∆t 
tende para 0(zero). 
Observações sobre aceleração: 
� As acelerações escalar média e escalar instantânea são distintas. A 
aceleração média oferece uma média da taxa de variação da velocidade em 
relação ao tempo medida num intervalo de tempo relativamente grande enquanto 
que a aceleração instantânea é a aceleração de um determinado instante, isto é, 
é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo medida num intervalo de 
tempo muito pequeno, ou melhor, medida num intervalo de tempo infinitesimal, o 
mais próximo de zero possível. 
 
MOVIMENTO ACELERADO E RETARDADO 
 Diz-se que um movimento é acelerado quando o módulo de sua 
velocidade CRESCE no decorrer do tempo e diz-se que um movimento é 
retardado quando o módulo de sua velocidade DECRESCE no decorrer do 
tempo. 
 Para verificar se o movimento é acelerado ou retardado observamos o 
sinal de sua velocidade e aceleração, veja o quadro: 
MOVIMENTO SINAL DA VELOCIDADE 
SINAL DA 
ACELERAÇÃO 
+ + 
Acelerado 
– – 
+ – 
Retardado 
– + 
 Observe que: 
� O movimento é acelerado quando os sinais da velocidade e aceleração são 
iguais e, retardado quando os sinais da velocidade e aceleração são contrários; 
� O movimento aceleradoé aquele em que o móvel está “indo cada vez mais 
rápido” e o movimento retardado é aquele em que o móvel está “indo cada vez 
mais lento”; 
� O movimento ser acelerado ou retardado não depende unicamente do sinal 
da aceleração. Só analisando os sinais da aceleração e velocidade em conjunto 
podemos determina. 
km/h m/s 
 
X 3,6 
÷ 3,6 
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Hora de... Brincar! 
49. (F. M. SANTOS - SP) Consideremos um ponto na superfície da Lua. Este 
ponto está: 
(a) descrevendo um movimento circular 
(b) parado 
(c) descrevendo uma trajetória elíptica 
(d) descrevendo uma trajetória parabólica 
(e) sua trajetória depende do referencial 
50. (FM Jundiaí–SP) A velocidade escalar média de um carro é de 90km/h. 
Essa velocidade e quivale a: 
(a) 20m/s (b) 25m/s (c) 36m/s (d) 120m/s (e) 180m/s 
51. A velocidade escalar de um avião é de 100m/s. Qual a velcoidade de 
mesmo avião expressa em km/h? 
(a) 360 (b) 0,1 (c) 360000 (d) 3,6 (e) 36 
52. A velocidade da luz vale 300 000km/s. Quando vale a velocidade da luz 
em: 
I. m/s 
II. km/h 
III. km/min 
IV. m/h 
V. m/min 
VI. cm/h 
VII. cm/s 
VIII. Mm/s 
IX. cm/min 
X. km/ano 
53. (F. E. SANTOS – SP) Você num automóvel faz um determinado percurso 
em 2 horas, desenvolvendo uma velocidade escalar média de 75 km/h. Se 
fizesse o mesmo percurso a uma velocidade escalar média de 100 km/h, 
quanto tempo ganharia? 
(a) 30min (b) ¼ h (c) 45min (d) 1/3 h (e) 1,5min 
54. (FATEC – SP) Um veículo percorre 100m de uma trajetória retilínea com 
velocidade média de 25m/s, e 300m seguintes com velocidade igual a 
50m/s. A velocidade média durante o trajeto todo, em m/s, é de: 
(a) 37,5 (b) 40 (c) 53,3 (d) 75 (e) n.d.a. 
55. Um móvel percorre o segmento de reta AC com velocidade C
 constante onde AB é diferente de BC. Se T1 e T2 são os tempos gastos nos 
percursos AB e BC, é verdadeira a seguinte relação: 
(a) AB/T1 = BC/T2 
(b) AB/BC = T2/T1 
(c) AB/BC = (T2/T1)2 
(d) AC = AB/T1 + BC/T2 
(e) AC = (AB + BC) T2T1 
56. O quociente entre velocidade e aceleração é uma grandeza que pode ser 
medida em: 
(a) cm/s2 (b) cm/s3 (c) cm2/s3 (d) s (e) s–1 
57. Sendo a distância de São Paulo à faculdade 20 km, e considerando a 
velocidade máxima permitida de 80 km/h, o mínimo que se deve gastar na 
viagem em trânsito completamente livre: 
(a) 1 h (b) 20 min (c) 30 min (d) 15 min (e) n.d.a. 
58. A trajetória de um ponto material: 
(a) Depende do referencial adotado 
(b) Independe do referencial adotado, podendo ser retilínea, curvilínea, etc. 
(c) É sempre parabólica 
(d) É sempre retilínea 
(e) n.d.a 
59. Assinale a alternativa verdadeira: 
(a) Uma pulga é certamente um ponto material. 
(b) Um atleta fazendo ginástica pode ser considerado um ponto material. 
(c) Um carro viajando de Recife para Caruaru é certamente um corpo extenso. 
(d) Um carro fazendo manobras para estacionar em uma garagem não pode 
ser considerado corpo puntiforme. 
(e) A Terra não é certamente uma partícula. 
60. Assinale a alternativa correta: 
(a) A Terra é um corpo em repouso. 
(b) Uma pessoa sentada num banco de jardim está em repouso. 
(c) Se um corpo estiver em repouso em relação a um dado referencial, então 
estará em movimento em relação a qualquer outro referencial. 
(d) Os conceitos de repouso e movimento não dependem do referencial 
adotado. 
(e) Um corpo pode estar em movimento em relação a um referencial e em 
repouso em relação a outro referencial. 
61. (ESPM–SP) Uma estrela está a uma distância de 4,5�109 km da Terra. 
Sabendo-se que a velocidade da luz é 300.000 km/s, qual o tempo gasto 
pela luz da estrela para atingir a Terra? 
62. Certa pessoa viajava em um automóvel cujo velocímetro não funcionava. 
Desejando saber qual a velocidade escalar média do automóvel e sabendo 
que os postes da rede elétrica dispostos à margem da estrada distam 60m 
um do outro, a pessoa começou a marcar o tempo no instante em que 
passou em frente de um certo poste (chamemos a este de 1º poste) e 
constatou que transcorreram 45,6 s até o instante em que passou diante do 
20º poste. Determine a velocidade escalar média do automóvel, em km/h, 
constatada no intervalo de tempo durante o qual se deslocou do 1º ao 20º 
poste. 
63. (Unesp–SP) Num Caminhão tanque em movimento, uma torneira mal 
fechada goteja à razão de 2 gotas por segundo. Determine a velocidade 
do caminhão, em m/s, sabendo que a distância entre marcas sucessivas 
deixadas pelas gotas no asfalto é de 2,5m. 
64. Uma patrulha rodoviária mede o tempo que cada veículo leva para percorrer 
um trecho de 400m da estrada. Um automóvel percorre a primeira metade 
do trecho com velocidade média de 140km/h. Sendo de 80km/h a 
velocidade máxima permitida, qual deve ser a maior velocidade média do 
automóvel na segunda metade do trecho para evitar ser multado? 
65. Em 10min, certo móvel percorre 12km. Nos 15min seguintes, o mesmo 
móvel percorre 20km e, nos 5min que se seguem, percorre 4km. Sua 
velocidade escalar média em m/s, supondo constante o sentido do 
movimento, é: 
(a) 1,2 (b) 10 (c) 17 (d) 18 (e) 20 
66. Sejam A e C dois pontos de uma reta e B o ponto médio de AC. Um 
homem percorre AB com velocidade escalar média de 4,0m/s e BC com 
velocidade escalar média de 6,0m/s. A velocidade escalar média do homem 
entre A e C, em m/s, é de: 
(a) 5,0 (b) 4,8 (c) 2,0 (d) 10 (e) 4,6 
67. Em 0,5h, certo móvel percorre 20km. Nos 15min seguintes, o mesmo 
móvel percorre 10km e, nos 5min que se seguem, pára para abastecer e 
nos 5min seguintes percorre 3km. Sua velocidade escalar média em m/s, 
supondo constante o sentido do movimento, é: 
(a) 5 (b) 10 (c) 15 (d) 20 (e) 25 
68. Um jato, em manobra anti-radar, voa, horizontalmente, a 35m acima do 
solo. De repente, o avião está diante de uma leve inclinação de 4,3º no 
terreno, um obstáculo difícil de detectar. Quanto tempo, em segundos, o 
piloto tem para fazer a correção da aeronave, de modo a evitar a colisão 
como o solo? Sabe-se que a velocidade média da aeronave é de 
1.296km/h. 
Dados: sen 4,3º = tan 4,3º = 0,075 e cos 4,3º = 1 
 
 
 
 
A B C 
FÍSICA – MECÂNICA 
 
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69. (UFPA) Acada minuto uma menina anotou a velocidade escalar indicada 
pelo velocímetro no carro do pai. O resultado foi 15km/h, 31km/h, 39km/h. 
Pode-se afirmar corretamente que a aceleração escalar média do carro é: 
(a) 8km/h por segundo. 
(b) 8km/h2 por segundo. 
(c) 8km/h por minuto. 
(d) 19km/h por minuto. 
(e) 27km/h por minuto. 
70. (Cesgranrio–RJ) Um fabricante de automóvel anuncia que determinado 
modelo atinge 80km/h em 8s (a partir do repouso). Isso supõe uma 
aceleração escalar média, em m/s2, próxima de: 
(a) 0,1 (b) 3 (c) 10 (d) 23 (e) 64 
71. (Cescem–SP) Um certo tipo de foguete, partindo do repouso, atinge a 
velocidade de 12km/s após 36s. Qual a sua aceleração escalar média, em 
km/s2, nesse intervalo de tempo? 
(a) Zero (b) 3 (c) 2 (d) ½ (e) 1/3 
72. (EE Santos–SP) A velocidade escalar de um automóvel aumenta de 
36km/h para 108km/h em 10s. A aceleração escalar média vale em m/s2: 
(a) 0,6 (b) 1 (c) 1,67 (d) 6 (e) 16,7 
73. (Unisinos–SR) Quando um condutor aumenta a velocidade de seu 
automóvel de 60km/h para 78km/h em 10s, ele está comunicando ao carro 
uma aceleração escalar média, em m/s2, de: 
(a) 18 (b) 0,2 (c) 5 (d) 1,8 (e) 0,5 
74. (UFSCSP) Um carro movendo-se no sentido positivo do eixo x, com 
velocidade de 100km/h, freia de modo que após 1,0min sua velocidade 
passa a ser 40km/h. A aceleração escalar média do carro será, em 
km/min2: 
(a) –1,0 (b) 1,0 (c) –10 (d) – 0,66 (e) 0,66 
 
MOVIMENTO UNIFORME (M.U.) 
 
 
 
 
 
 
Movimento uniforme (M.U.) é aquele em que o móvel desloca-se com 
velocidadeescalar diferente de zero e constante no decorrer do tempo em 
relação a um determinado referencial, isto é, enquanto o tempo passa a 
velocidade não se altera sendo esta velocidade diferente de zero. 
Função Horária do M. U. 
 
 
 
 
 
 
A função horária do M.U. é uma função do polinomial do 1º grau em 
que S = f(t), isto é, em que a posição é uma função do tempo. 
 A função horária do M.U. é: 
tvS S 0 ⋅+= 
Nesta função temos: S é a posição final (num instante t); 
 S0 é a posição inicial (no instante t0 = 0); 
 v é a velocidade escalar (constante e ≠ 0); 
 t é o instante considerado. 
Gráficos do M.U. 
 Podemos considerar dois gráficos importantes no movimento uniforme. 
� O gráfico da velocidade em função do tempo v x t e 
� O gráfico da posição em função do tempo S x t. 
Passaremos a estudar cada um: 
Gráfico v x t 
 Sabemos que no M.U. a velocidade é constante, isto é, v(t) = v. 
Matematicamente falando temos que a velocidade é definida por uma função 
constante e da Matemática sabemos que uma função constante nos dá como 
gráfico uma reta paralela ao eixo das abscissas, porém em nosso caso a 
abscissa (que em Matemática é chamada de x) é o tempo t. 
 Trançando o gráfico generalizado podemos observar dois casos: 
Caso 1: A velocidade é v > 0, isto é, o movimento é progressivo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso 2: A velocidade é v < 0, isto é, o movimento é retrogrado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico S x t 
 Observando a função, FUNÇÃO! Função horária do M.U. é: S(t) = S0 + 
v⋅⋅⋅⋅t, podemos observar facilmente que a posição S é uma função do tempo t 
semelhante a função polinomial do 1º grau: f(x) = y = b + a⋅⋅⋅⋅x, observe 
que nesta y é uma função de x assim como na função horária do M.U. S é uma 
função de t. 
 Do esto de funções sabemos que uma função polinomial do primeiro 
grau nos dá como gráfico uma reta inclinada para a direita ou para a esquerda, 
assim a função horária do M.U. , como é polinômial do 1º grau, também nos dará 
como gráfico uma reta inclinada para a direita ou esquerda. 
 Determinar se a inclinação é para a direita ou para esquerda é muito 
facil. Para tanto você deve saber que: 
� Se o movimento for progressivo (v > 0) a inclinação da reta 
será para a direita. 
� Se o movimento for retrogrado (v < 0) a inclinação da reta 
será para a esquerda. 
 Traçando o gráfico genérico abaixo podemos observar os dois casos: 
Caso 1: O movimento é progressivo S > 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A vaca faz? 
MU...MU...MU... 
 0 
 v 
t 
 v 
 v 
 t 
 –v 
 0 
S 
t 
S0 
0 
Instante em que o 
móvel passa pela 
origem dos espaços. Posição 
Inicial. 
S = 
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Caso 2: O movimento é retrogrado S < 0: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTA: 
� No gráfico v x t a área limitada pelo gráfico e o eixo dos tempos é 
numericamente igual ao deslocamento efetuado pelo móvel no intervalo de tempo 
considerado. Veja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hora de... Brincar! 
75. A função horária de um móvel, em unidades do SI, é: S = – 5 + 2� t. 
I. Determine o espaço inicial; 
II. Determine a velocidade escalar do móvel; 
III. Classifique o movimento é progressivo ou retrogrado; 
IV. Determine a velocidade do móvel no instante t = 15s; 
V. Qual a posição do móvel no instante t = 2s? 
VI. Qual a posição do móvel no instante t = 15s? 
VII. Em que instante o móvel passa pela origem dos espaços? 
VIII. O que se pode dizer sobre a trajetória do móvel? 
76. A função horária de um móvel, em unidades do SI, é: S = 5 –+ 2� t. 
I. Determine o espaço inicial; 
II. Determine a velocidade escalar do móvel; 
III. Classifique o movimento é progressivo ou retrogrado; 
IV. Determine a velocidade do móvel no instante t = 15s; 
V. Qual a posição do móvel no instante t = 2s? 
VI. Qual a posição do móvel no instante t = 15s? 
VII. Em que instante o móvel passa pela origem dos espaços? 
VIII. O que se pode dizer sobre a trajetória do móvel? 
77. Se um movimento acontece de forma que a velocidade escalar média é 
igual a velocidade escalar instantânea em qualquer instante considerado, 
teremos então que o movimento é: 
(a) Uniforme (b) MRU (c) Acelerado 
(d) Retardado (e) Necessariamente progressivo 
78. Um móvel desloca-se numa trajetória retilínea com velocidade escalar 
constante. Considerando que v representa o valor da velocidade, S 
representa a posição e t representa o tempo, das equações abaixo, a que 
descreve um possível movimento desse móvel é: 
(a) v = 6� t (b) S = 3 + 2� t2 (c) v = 10 + t2 
(d) S = 2� t (e) S = t3 
79. Um corpo puntiforme possui velocidade escalar constante com módulo igual 
a 72km/h. Considere que a trajetória do corpo puntiforme é o eixo 
coordenado x e que o mesmo desloca-se no sentido contrário a orientação 
do eixo. No instante inicial do movimento, esse corpo puntiforme encontra-
se na posição 560km na trajetória. Determine o instante em que o móvel 
passa pela origem do sistema de referência xy. 
80. (FUVEST–SP) Uma pessoa caminha com passadas iguais de 80cm com 
velocidade constante de 2m/s. 
I. Quantos metros essa pessoa caminha em 60s? 
II. Quantos passos ela dá por segundo? 
III. Quantos passos ela dá se percorrer 3km? 
IV. Quantos passos ela dá se caminhar 2h? 
81. Dois móveis A e B percorrem a mesma trajetória e seus espaços são 
medidos a partir da mesma origem, sobre a trajetória. Sendo SA = 15 + 10� t 
e SB = 5 + 5� t, para posição em metros e o tempo em segundos, depois de 
quanto tempo, em segundos, a distância entre os móveis é de 20m? 
(a) 2 (b) 1 (c) 5 (d) 10 (e) 12 
82. (FIRA Alfenas–MG) Para passar uma ponte de 100m de comprimento, um 
trem de 200m, a 60km/h, leva quanto tempo, em segundos? 
(a) 12 (b) 6 (c) 18 (d) 10 (e) 8 
83. (FUVEST–SP) Um automóvel que se desloca com uma velocidade escalar 
constante de 72km/h ultrapassa outro que se desloca com uma velocidade 
escalar constante de 54km/h numa mesma estrada reta. O primeiro 
encontra-se 200m atrás do segundo no instante t = 0. O primeiro estará ao 
lado do segundo no instante, em segundos: 
(a) 10 (b) 20 (c) 30 (d) 40 (e) 50 
84. (CESCEM–SP) A distância entre dois automóveis é 225km. Se eles andam 
um ao encontro do outro com 60km/h e 90km/h, ao fim de quantas horas se 
encontrarão? 
(a) 1h (b) 1h 15min (c) 1h 30min 
(d) 1h 50min (e) 2h 30min 
85. (FLM–PR) Dois móveis A e B percorrem um trecho de estrada retilínea 
representado pelo eixo orientado. As posições no instante inicial (t = 0) e os 
sentidos dos movimentos estão indicados na figura. 
 
 
 
 
 
O instante do encontro é: 
(a) 10min (b) 20min (c) 30min (d) 40min (e) 50min 
86. (FUVEST–SP) Numa estrada, andando de caminhão com velocidade 
constante, você leva 4 segundos para ultrapassar um outro caminhão cuja 
velocidade é também constante. Sendo de 10m o comprimento de cada 
caminhão, a diferença entre a sua velocidade e a do caminhão que você 
ultrapassa é, aproximadamente, igual a: 
(a) 0,2m/s (b) 0,4m/s (c) 2,5m/s (d) 5,0m/s (e) 10m/s 
87. (PUC–SP) Para pesquisar a profundidade do oceano numa certa região, 
usa-se um sonar instalado num barco em repouso. O intervalo de tempo 
decorrido entre a emissão do sinal e a resposta ao barco (eco) é de 1s. 
Supondo a velocidade de propagação do som na água 1500m/s, a 
profundidade do oceano na região considerada é de: 
(a) 25m (b) 50m (c) 100m (d) 750m (e) 1500m 
88. (Mackenzie–SP) Um caçador dá um tiro e ouve o eco 6,00s depois. A 
velocidade de propagação do som no ar é de 340m/s. A que distância do 
alvo se encontra o alvo? 
(a) 6m (b) 340m (c) 1000m (d) 1020m (e) 1200m 
89. Um individuo bate as mãos ritmicamente em frente de uma parede e ouve o 
eco das palmadas. Quando a freqüência for de 100 palmas por minuto ele 
deixará de ouvir o eco das palmas, pois este chegará aos seus ouvidos no 
S 
t 
S00 
Instante em que o 
móvel passa pela 
origem dos espaços. 
Posição 
Inicial. 
A=∆∆∆∆S 
0 
v 
t 
v 
t t0 
A área (A) é numericamente igual ao deslocamento 
(∆∆∆∆S) efetuado pelo móvel do instante t0 ao instante t 
30km 70km S 
|vA| = 24km/h 
A 
0km 
|vB| = 10m/s 
B 
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mesmo instante em que ele bate as mãos. Sendo a velocidade do som igual 
a 300m/s, a distância do individuo à parede é de aproximadamente: 
(a) 45m (b) 90m (c) 180m (d) 250m (e) 500m 
90. (FATEC–SP) O referencial é 0xy cartesiano. Antônio percorre 0x com 
velocidade va = 2,0m/s; Benedito percorre 0y com velocidade vb = 1,5m/s. 
Os dois passam juntos pela origem na data zero. Na data t = 10s, a 
distância entre Antônio e Benedito é: 
(a) 25m (b) 35m (c) 5,0m (d) 17,5m (e) 15m 
91. (FATEC–SP) Duas esferas A e B encontram-se em repouso sobre uma 
superfície horizontal. Elas são lançadas, simultaneamente, descrevendo 
trajetórias ilustradas na figura, e atingem, ao mesmo tempo, o ponto P. 
Sabendo-se que as esferas se movimentam com velocidades constantes e 
que a velocidade da esfera A é 2,0m/s, pode-se afirmar que a velocidade 
da esfera B é igual a: 
(a) 1,0m/s 
(b) 
7
10
m/s 
(c) 4,0m/s 
(d) 
5
7
m/s 
(e) 2,8m/s 
92. (UFRS) Um projétil, com velocidade de 300m/s, é disparado em direção ao 
centro de um navio que se move a uma velocidade constante de 10m/s em 
direção perpendicular à trajetória do projétil. Se o impacto ocorrer a 20m do 
centro do navio, a que distância deste foi feito o disparo? 
(a) 150m (b) 300m (c) 600m (d) 3000m (e) 6000m 
93. (FATEC–SP) A luz propaga-se no vácuo com velocidade próxima de 
c = 3,0� 108 m/s. O percurso da luz no vácuo, em um ano, é chamado de 
ano-luz. Um ano-luz é próximo de: 
(a) 1011m (b) 1013m (c) 1016m (d) 108m (e) 1020m 
94. (CICE – RJ) a figura ao lado, as curvas I, II e III representam os gráficos 
(distância X tempo) dos móveis I, II e III, respectivamente. Baseado nestes 
gráficos, indique qual ou quais dos três móveis tinha velocidade zero no 
instante zero da observação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) I (b) II (c) III (d) I e II (e) nenhum 
95. (F. M. SANTA CASA – SP) O gráfico ao lado representa a posição de um 
móvel dada pelo espaço s em função do tempo. A velocidade média no 
intervalo de 0 a 7 s é igual a: 
(a) 20 m/s 
(b) 2,0ms 
(c) 23m/s 
(d) 6,6m/s 
(e) zero 
 
 
 
 
 
(F. M. SANTA CASA – SP) A explicação seguinte refere-se às questões de 
número 96 a 98. 
O gráfico do espaço S de um 
móvel em função do tempo a 
partir de uma origem O, sobre 
uma reta, é o seguinte: 
 
 
 
 
96. A velocidade média, em m/s, do móvel, entre 0 s e 30 s é: 
(a) Nula (b) 1 (c) –1/3 (d) 1/3 (e) 3/2 
97. O móvel tem velocidade escalar negativa entre: 
(a) 20 e30s (b) 10 e 20s (c) 10 e 40s (d) 0 e 10s (e) nunca 
98. O móvel tem aceleração escalar nula: 
(a) Nunca 
(b) Só entre 10 e 20 s 
(c) Em todo percurso representado no gráfico 
(d) Só entre 0 e 10 s 
(e) Nenhuma das afirmativas anteriores é correta 
99. (UFJF–MG) Num laboratório de Física, um 
pesquisador observou os movimentos de 
duas partículas e representou a variação da 
posição de cada uma delas no tempo de 
acordo com o gráfico abaixo. 
A partir do gráfico, pode-se afirma que: 
(a) A partícula A está subindo e a partícula 
B está descendo. 
(b) As duas partículas estão se deslocando no mesmo sentido com velocidades 
iguais. 
(c) A partícula B é mais lenta que a partícula A e tem sentido oposto a esta. 
(d) A partícula A é mais rápida que a partícula B e se desloca no mesmo 
sentido desta. 
(e) A partícula B é mais rápida que a partícula A e tem sentido oposto a esta. 
100. (Unifor–CE) Dois 
móveis, A e B, percorrem a 
mesma trajetória retilínea. A 
figura representa as posições, 
dadas em metros, em função 
do tempo, dado em 
segundos, desses dois 
móveis. 
Qual a distância entre A 
e B no instante t = 5s? 
101. (FUVEST–SP) Um automóvel faz uma viagem em 6h e sua velocidade 
escalar varia em função do tempo aproximadamente como mostra o gráfico 
a seguir. 
A velocidade escalar média do automóvel na viagem é: 
(a) 35km/h 
(b) 40km/h 
(c) 45km/h 
(d) 48km/h 
(e) 50km/h 
 
 
 
 
 
 
A 
A 
B 
B 
D C 
P 
CD = 8,0m 
DP = 6,0m 
� 
 0 10 20 30 40 50 60 70 80 
t 
40 
30 
20 
10 
d 
 I 
 III II 
 0 3 5 6 7 t(s) 
 
40 
30 
S(m) 
 0 10 20 30 50 
t (s) 
 S(m) 
 40 
 40 
30 
20 
10 
–20 
 0 1 2 3 4 5 6 
 S(m) A 
B 
t(s) 
2 
1 
3 
 5 
 4 
 0 1 2 3 4 5 6 
 V(km/h) 
60 
30 
t(h) 
0 
 S 
A 
B 
t 
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MOVIMENTO VARIADO 
 Movimento variado é aquele em que o móvel desloca-se com a sua 
velocidade variando no decorrer do tempo em relação a um determinado 
referencial. 
 
MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO (MUV) 
 Movimento Uniformemente variado é aquele que o móvel varia a sua 
velocidade no decorrer do tempo uniformemente, isto é, para intervalos de 
tempos iguais tempos variações de velocidades iguais. O fato de a velocidade 
variar uniformemente nos permitir identificar o M.U.V como sendo aquele 
movimento em que o móvel desloca-se com a sua aceleração permanecendo 
constante no decorrer do tempo e diferente de zero. 
 
Funções Horárias do M.U.V. 
 Diferentemente do M.U o M.U.V. tem duas funções horárias e mais 
uma equação, estas são: 
� Função Horária da Velocidade; 
� Função Horária da Posição e 
� Equação de Torricelli 
Função Horária da Velocidade 
ta v v 0 ⋅+= 
 
Função Horária dos Espaços ou da Posição 
2
2
1 tat v S S 00 ⋅⋅+⋅+= 
 
Equação de Torricelli 
∆Sa2 v v 202 ⋅⋅+= 
 
 Nas expressões acima temos: 
� v ���� velocidade final � S ���� posição final 
� v0 ���� velocidade inicial � S0 ���� posição inicial 
� a ���� aceleração � ∆S ���� deslocamento 
� t ���� tempo 
 
 
 
Gráficos do M.U.V. 
 Podemos considerar três gráficos importantes no movimento 
uniformemente variado. 
� O gráfico da aceleração em função do tempo a x t; 
� O gráfico da velocidade em função do tempo v x t e 
� O gráfico da posição em função do tempo S x t. 
Passaremos a estudar cada um: 
 
Gráfico a x t 
 Sabemos que no M.U.V. a aceleração é constante, isto é, a(t) = a. 
Matematicamente falando temos que a aceleração define uma função constante 
e da Matemática sabemos que uma função constante nos dá como gráfico uma 
reta paralela ao eixo das abscissas, porém em nosso caso a abscissa (que em 
Matemática é o x) é o tempo t. 
 Trançando o gráfico generalizado podemos observar dois casos: 
Caso 1: A aceleração é a > 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso 2: A aceleração é a < 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico v x t 
 Observando a função, FUNÇÃO! Função horária da velocidade do 
M.U.V. é: v(t) = v0 + a⋅⋅⋅⋅t (função polinomial do 1º grau), podemos observar 
facilmente que a posição v é uma função do tempo t e ainda se recorremos ao 
estudo de funções em Matemática podemos observar a semelhança desta função 
com a função polinomial do 1º grau f(x) = b + a⋅⋅⋅⋅x, observe que nesta f é uma 
função de x assim como na função horária do M.U.V. v é uma função de t. 
 Da Matemática sabemos que uma função polinomial do 1º grau nos dá 
como gráfico uma reta inclinada para a direita ou para a esquerda, assim a 
função horária do M.U.V. , como é polinômial do 1º grau, também nos dará como 
gráfico uma reta inclinada para a direita ou esquerda. 
 Determinar se a inclinação é para a direita ou para esquerda é muito 
facil. Para tanto você deve saber que: 
� Se a aceleração é positiva(a > 0) a inclinação da reta será 
para a direita. 
� Se a aceleração é negativa (v < 0) a inclinação da reta será 
para a esquerda. 
 Traçando o gráfico genérico abaixo podemos observar os dois casos: 
Caso 1: A aceleração é positiva a > 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso 2: A aceleração é negativa a < 0: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTA: 
� Lembre que no gráfico vxt a área limitada pelo gráfico e o eixo dos 
tempos é numericamente igual ao deslocamento efetuado no intervalo de tempo 
considerado . Esta regra continua valendo do caso agora do M.U.V. 
 a 
 t 
–a 
 0 
v 
t 
v0 
0 
Instante em que o 
móvel muda de 
sentido. Velocidade 
Inicial. 
v 
t 
v0 
0 
Instante em que o 
móvel muda de 
sentido. 
Veloc. 
Inicial. 
 0 
 a 
t 
 a 
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Gráfico S x t 
 Observando a função, FUNÇÃO! Função horária dos espaços do 
M.U.V. que é: 200 ta
2
1
tv S S ⋅⋅+⋅+= , podemos observar facilmente que 
a posição S é uma função do tempo t e ainda se recorremos ao estudo de 
funções em Matemática podemos observar a semelhança desta função com a 
função polinomial do 2º grau f(x) = y = c + bx + a⋅⋅⋅⋅x2 (função polinomial do 2º 
grau), observe que nesta yf é uma função de x assim como na função horária do 
M.U.V. S é uma função de t. 
 Da Matemática sabemos que uma função polinomial do 2º grau nos dá 
como gráfico uma parábola com concavidade voltada para a cima ou para a 
baixo, assim a função horária do M.U.V. , como é polinômial do 2º grau, também 
nos dará como gráfico uma parábola com concavidade voltada para cima ou para 
baixo. 
 Determinar se a concavidade é voltada para cima ou para baixo é 
muito facil. Para tanto você deve saber que: 
� Se a aceleração for positiva (a > 0) a concavidade será 
voltada para a cima. 
� Se a aceleração for negativa (a < 0) a concavidade será 
voltada para baixo. 
 Traçando o gráfico genérico abaixo podemos observar os dois casos: 
Caso 1: A aceleração é positiva a > 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso 2: A aceleração é negativa a < 0: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MOVIMENTOS VERTICAIS NO VÁCUO 
 Os movimentos verticais no vácuo são: 
� Queda Livre no vácuo; 
� Lançamento vertical para baixo no vácuo; 
� Lançamento vertical para cima no vácuo. 
Todos os movimentos verticais no vácuo são MUV, cuja aceleração é 
a aceleração da gravidade, que nas proximidades do planeta pode ser 
considerada constante. 
 
QUEDA LIVRE 
 O movimento de queda livre é o movimento efetuado por todo corpo 
que é abandonado nas proximidades da superfície de algum planeta. No nosso 
caso voltaremos a atenção para corpos abandonados nas proximidades da 
superfície da Terra desprezando os efeitos provocados pela resistência do ar, 
porém os princípios podem ser estendidos para outros. 
 Quando um corpo é abandonado nas proximidades da superfície 
terrestre descreve um M.U.V. (Movimento Uniformemente Variado). Isto ocorre 
por que todo corpo nas proximidades da superfície terrestre está sujeita a ação 
de uma força gravitacional que tende a puxar o corpo para o centro da Terra, isto 
é, a Terra atrai todos os corpos em suas proximidades para o seu centro com a 
força gravitacional que chamamos de Peso e a estudaremos detalhadamente 
mais adiante. A força peso, a que nos referimos anteriormente, pode ser 
considerada constante nas proximidades da superfície terrestre o que acarreta o 
a aparição de uma aceleração constante (característica do M.U.V) que 
chamamos de: aceleração da gravidade e a representamos por "g". 
Sabemos que nas proximidades da superfície terrestre a aceleração 
da gravidade vale aproximadamente g = 9,8m/s2, porém para efeito de cálculos 
em geral se adota g = 10m/s2. 
Equações do Movimento de Queda Livre 
Para resolver os problemas que envolvem queda livre você poderá 
utilizar as expressões do MUV, porém podemos escrever estas expressões para 
este caso especial do movimento de queda livre nos dando mais agilidade na 
solução dos problemas. 
Fazendo as modificações as expressões do MUV para o movimento 
de queda livre elas ficarão da seguinte forma: 
2tg
2
1
h ⋅⋅= 
tgv ⋅= 
hg2v2 ∆⋅⋅= 
 
 Observe que as equações são moldadas para uma trajetória orientada 
para baixo, portanto a origem da trajetória (posição igual a zero) está do ponto de 
onde a partícula foi abandonada, isto quer dizer que você com estas expressões 
medirá altura de cima para baixo. 
 
LANÇAMENTO VERTICAL PARA BAIXO 
 Este tipo de movimento difere do movimento de queda livre pelo fato 
de haver uma velocidade inicial, isto pelo fato de o corpo ser lançado e não 
abandonado. Para este tipo de movimento podemos usar as seguintes 
expressões, que vêm das expressões do MUV: 
2
0 tg2
1
tvh ⋅⋅+⋅= 
tgvv 0 ⋅+= 
hg2vv 20
2 ∆⋅⋅+= 
 
Instante em que o 
móvel passa pela 
origem dos espaços. 
S 
t 
S0 
0 
Instante em que o móvel 
passa pela origem dos 
espaços. 
Ponto que caracteriza o instante e posição que o 
móvel muda de sentido 
Instante em que o 
móvel passa pela 
origem dos espaços. 
S 
t 
S0 
0 
Instante em que o 
móvel passa pela 
origem dos espaços. 
Ponto que caracteriza o instante e posição 
que o móvel muda de sentido 
 V0 = 0 
g
r
 
h 
A trajetória é 
orientada para 
baixo. 
 V 
V0 ≠≠≠≠ 0 
g
r
 
h 
A trajetória é 
orientada para 
baixo. 
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Observe que as equações são moldadas para uma trajetória orientada 
para baixo, portanto com estas expressões você medirá altura de cima para 
baixo. 
 
 
LANÇAMENTO VERTICAL PARA CIMA 
 No lançamento vertical para cima o corpo é lançado para cima com 
uma certa velocidade inicial e os problemas podem ser resolvidos pelas 
expressões seguintes: 
2
00 tg2
1
tvhh ⋅⋅−⋅+= 
tgvv 0 ⋅−= 
hg2vv 20
2 ∆⋅⋅−= 
 
 
 
 
 Além destas expressões já apresentas para o lançamento vertical para 
cima podemos considerar mais duas que facilitará muito a resolução de 
problemas. Estas são: 
para calcular a altura máxima 
(medida a partir do ponto de lançamento da partícula) 
2g
v
h
2
0
máx = 
 
para calcular o tempo de subida 
g
v
t 0s = 
 
Observe que as equações são moldadas para uma trajetória orientada 
para cima, portanto com estas expressões você medirá altura de baixo para cima. 
Observe ainda que durante a subida a velocidade da partícula é 
positiva (movimento progressivo) e durante a descida a velocidade da partícula é 
negativa (movimento retrogrado). 
 
OBSERVAÇÕES GERAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESUMO 
 Neste ponto é pertinente lembrarmos de maneira resumida o que 
vimos até então na cinemática escalar. 











⋅⋅+=
⋅++=
⋅+=
+
=
≠





⋅+=
=
≠









==
==
=
=
)Torricelli de (eq. 
posição) da horária (função 
)velocidade da horária (função 
média) e(velocidad 
constante e 0a
posição) da horária (função 
nula) o(aceleraçã 0 a
constante e 0v
 
 :média aceleração
 :média velocidade
 :tempo de intervalo
 :todeslocamen
 
∆Sa2vv
2
tavSS
tavv
2
vvv
M.U.V
t vSS
M.U
t-t
v-v
∆t
∆va
t-t
S-S
∆t
∆Sv
t-t∆t
S-S∆S
básico
2
0
2
2
00
0
0
m
0
0
0
m
0
0
m
0
0
 
 
MUV especiais: QL ���� Queda Livre; LVB���� Lançamento vertical para baixo 
LVC���� Lançamento vertical para cima. 















==
=
⋅⋅−=
⋅⋅−⋅+=
⋅−=







⋅⋅+=
⋅⋅+⋅+=
⋅+=







⋅⋅=
⋅⋅=
⋅=
subida) e queda de (tempo 
máxima) (altura 
i)(Torricell
cima)p/ baixo (posição.
e)(velocidad
i)(Torricell
baixo)p/ cima (posição.
e)(velocidad
i)(Torricell
baixop/ cima Medida (posição.