Apostila Maquinas Elétricas

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Prof. Nelson SADOWSKI, Dr.
Máquinas Elétricas - (Transitório, Regime
Permanente e Acionamento)
Florianópolis
2012
Sumário
Lista de Figuras
Lista de Tabelas
1 Introdução p. 13
1.1 Equações de tensão e torque da máquina elétrica básica . . . . . . . . . p. 13
1.2 Equações da máquina básica de dois enrolamentos . . . . . . . . . . . . p. 16
1.3 Equação do movimento mecânico da máquina
elétrica básica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 18
1.4 Estudo da dinâmica de um eletroimã: um
exemplo de aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 19
2 Teoria das Máquinas de Corrente Contínua p. 24
2.1 Máquina de corrente contínua elementar . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 24
2.2 Equações de tensão e torque em variáveis da
máquina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 28
2.3 Tipos básicos de máquinas de corrente contínua . . . . . . . . . . . . . p. 30
2.3.1 Gerador cc com excitação independente . . . . . . . . . . . . . . p. 31
2.3.2 Máquina cc conectada em shunt ou derivação . . . . . . . . . . p. 31
2.3.3 Máquina cc conectada em série . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 35
2.3.4 Máquina cc conectada composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 37
2.4 Caracterísiticas dinâmicas do motor shunt
alimentado a partir de uma fonte de tensão
constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 39
2.4.1 Desempenho dinâmico durante a partida . . . . . . . . . . . . . p. 39
2.4.2 Desempenho dinâmico durante mudanças bruscas no
torque de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 43
3 Teoria de Eixos de Referência p. 47
3.1 Equações de transformação - mudança de
variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 47
3.1.1 Equações de Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 49
3.2 Transformação de variáveis do circuito
estacionário para o circuito de referência
arbitrário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 49
3.2.1 Elementos Resistivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 49
3.2.2 Elementos Indutivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 50
3.2.2.1 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 51
3.2.3 Elementos Capacitivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 53
3.3 Anexo: Transformação de um conjunto de
variáveis balanceadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 53
3.4 Anexo: Relações fasoriais balanceadas em regime permanente . . . . . p. 54
4 Teoria das máquinas de indução simétricas p. 57
4.1 Equações de tensão em variáveis da máquina . . . . . . . . . . . . . . . p. 57
4.2 Equações de torque em variáveis da máquina . . . . . . . . . . . . . . . p. 60
4.3 Equações de transformação para circuitos do rotor . . . . . . . . . . . . p. 62
4.4 Equações de tensão em um sistema de
referências arbitrário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 63
4.5 Equação do torque em variáveis do sistema de
referência arbitrário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 66
4.6 Análise da operação em regime permanente . . . . . . . . . . . . . . . . p. 66
4.7 Obtenção experimental dos parâmetros do
motor de indução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 71
4.8 Características de partida. Exemplos de
simulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 74
4.9 Comportamento dinâmico durante bruscas
mudanças no torque de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 78
4.10 Comportamento dinâmico durante curto-circuito trifásico nos terminais
da máquina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 78
5 Teoria das máquinas síncronas p. 83
5.1 Equações de tensão em variáveis da máquina . . . . . . . . . . . . . . . p. 83
5.2 Equações de torque em variáveis da máquina . . . . . . . . . . . . . . . p. 88
5.3 Equações de tensão do estator em variáveis de um eixo de referência
arbitrário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 89
5.4 Equações de tensão em variáveis em um eixo fixo no rotor - equações de
Park . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 90
5.5 Equações de torque em variáveis referidas ao eixo de referência . . . . . p. 94
5.6 Análise da operação em regime permanente . . . . . . . . . . . . . . . . p. 94
5.7 Comportamento dinâmico durante uma variação brusca no torque de
entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 99
5.8 Comportamento dinâmico durante curto-circuito trifásico nos terminais
da máquina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 102
6 Teoria das máquinas de indução bifásicas p. 105
6.1 Equações de tensão e torque em variáveis da
máquina para máquinas de indução bifásicas não simétricas . . . . . . . p. 105
6.2 Equações de tensão e torque em variáveis de um sistema de referência
estacionário para
máquinas de indução bifásicas não simétricas . . . . . . . . . . . . . . . p. 107
6.3 Máquinas de indução monofásica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 113
6.3.1 Enrolamento de estator monofásico . . . . . . . . . . . . . . . . p. 113
6.3.2 Motor de indução Split-phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 114
6.3.2.1 Motor de indução com capacitor de partida . . . . . . p. 114
6.3.2.2 Motor de indução com capacitor de partida e capacitor
de regime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 116
7 Controle vetorial dos motores de indução trifásicos p. 118
7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 118
7.2 Métodos de controle vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 119
7.3 Método indireto de contole vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 123
8 Máquinas à imãs permanentes p. 133
8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 133
8.2 Princípios do motor BLDC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 134
8.3 Sistema de acionamento do motor BLDC . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 138
8.3.1 O motor BLDC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 139
8.3.2 O conversor eletrônico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 139
8.3.3 Sensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 140
8.3.4 O controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 142
8.3.5 Exemplo de curvas de simulação de funcionamento . . . . . . . p. 144
8.4 Máquinas síncronas à imãs permanentes . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 146
8.4.1 Equações de tensão e torque em varáveis da máquina . . . . . . p. 147
8.4.2 Equações de tensão e torque em variáveis de um sistema de refe-
rência girando à velocidade do rotor . . . . . . . . . . . . . . . . p. 149
8.4.3 Enfraquecimento de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 150
8.4.4 O sistema de controle do MSIP . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 154
8.4.4.1 O motor síncrono à imãs permanentes (MSIP) . . . . . p. 154
8.4.4.2 O conversor eletrônico . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 155
8.4.4.3 Sensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 155
8.4.4.4 O controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 157
Apêndice A -- Identidades trigonométricas para sistemas trifásicos p. 160
Anexo A -- Conceitos básicos para análise de máquinas elétricas p. 163
A.1 Circuitos acoplados magneticamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 163
A.1.1 Circuitos acoplados com dispersão - sistema magnético linear . . p. 165
A.2 Exemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 168
A.3 Circuito magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 170
A.4 Equações diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 170
A.4.1 Método de Euler . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 171
A.4.1.1 Exemplo - Circuito R-L . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 171
A.4.1.2 Exemplo - Circuito Mecânico rotativo . . . . . . . . . p. 173
A.4.2 Método de Runge-Kutta de 4a ordem . . . . . . . . . . . . . . . p. 174
Lista de Figuras
1 Solenóides com diferentes armaduras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 13
2 Solenóide com armadura rotativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 15
3 Representação esquemática da máquina básica de dois enrolamentos. . p. 16
4 Transdutores eletromecânicos rotacionais e translacionais. . . . . . . . . p. 19
5 Eletroimã. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 20
6 Resposta dinâmica do eletroimã à aplicação de uma tensão contínua aos
terminais da bobina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 23
7 Máquina de corrente contínua elementar de dois polos. . . . . . . . . . p. 25
8 Comutação da máquina c.c. elementar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 26
9 Máquina cc com circuitos paralelos na armadura. . . . . . . . . . . . . p. 27
10 Máquina cc idealizada com enrolamento do rotor uniformemente distri-
buído. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 29
11 Circuito equivalente de uma máquina cc . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 30
12 Circuito equivalente para um gerador cc com excitação independente. . p. 31
13 Circuito equivalente para uma máquina cc ligada em derivação. . . . . p. 32
14 Características de operação em regime permanente de uma máquina c.c.
conectada em shunt com tensão terminal constante. . . . . . . . . . . . p. 33
15 Características de operação em regime permanente de gerador c.c. shunt. p. 33
16 Curva de magnetização de um gerador c.c. independentemente excitado. p. 35
17 Influência da resistência de campo sobre a tensão de um gerador c.c.
auto-excitado (If = −Ia). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 35
18 Circuito equivalente para uma máquina cc série. . . . . . . . . . . . . . p. 36
19 Característica torque-velocidade para uma máquina c.c. série (regime
permante). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 37
20 Circuito equivalente de uma máquina cc composta. . . . . . . . . . . . p. 38
21 Motor shunt com "starter" automático. . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 41
22 Caracterísiticas de partida do motor d.c. shunt de 5 hp N = 4. . . . . . p. 44
23 Caracterísiticas de partida do motor d.c. shunt de 5 hp N = 3. . . . . . p. 44
24 Desempenho dinâmico de um motor cc shunt após uma brusca redução
no torque de carga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 45
25 Desempenho dinâmico de um motor cc shunt após uma brusca redução
de 50% no torque de carga (potência 200 hp). . . . . . . . . . . . . . . p. 46
26 Transformação de variáveis (representação trigonométrica). . . . . . . . p. 48
27 Enrolamento estatórico de uma máquina de indução simétrica ou de uma
máquina de rotor liso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 51
28 Circuitos elétricos equivalentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 52
29 Máquina de indução de 2 polos, trifásica, conectada em estrela. . . . . . p. 58
30 Transformação para circuitos rotativos por relações trigonométricas. . . p. 63
31 Circuitos equivalentes para um sistema de referências arbitrário para um
motor de indução trifásico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 65
32 Circuito equivalente para operação em regime permanente de uma má-
quina de indução simétrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 68
33 Característica torque-velocidade de uma máquina de indução com rotor
curto-circuitado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 70
34 Característica torque-velocidade de uma máquina de indução com rotor
curto-circuitado para vários valores de resistência do rotor. . . . . . . . p. 71
35 Característica torque-velocidade durante a partida - motor de indução 3
hp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 75
36 Característica torque-velocidade durante a partida - motor de indução
50 hp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 75
37 Característica torque-velocidade durante a partida - motor de indução
500 hp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 76
38 Característica torque-velocidade durante a partida - motor de indução
2250 hp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 76
39 Variáveis da máquina durante a partida do motor de indução de 3 hp. . p. 77
40 Variáveis da máquina durante a partida do motor de indução de 2250 hp. p. 77
41 Comportamento dinâmico de um motor de indução de 3 hp durante mu-
danças na carga mecânica (0 a 11,87 N.m a 0). . . . . . . . . . . . . . . p. 79
42 Comportamento dinâmico de um motor de indução de 2250 hp durante
mudanças na carga mecânica (0 a 8.9 kN.m a 0). . . . . . . . . . . . . . p. 80
43 Torque vs. velocidade para a máquina de indução de 2250 hp para mu-
danças no torque de carga mostrados na Figura 42. . . . . . . . . . . . p. 81
44 Comparação das curvas torque vs. velocidade à partir do regime perma-
nente e à partir de simulação dinâmica - máquina de indução de 2250
hp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 81
45 Desempenho dinâmico de um motor de indução de 3 hp durante um
curto-circuito trifásico nos terminais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 82
46 Desempenho dinâmico de um motor de indução de 2250 hp durante um
curto-circuito trifásico nos terminais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 82
47 Máquina síncrona trifásica de polos salientes. . . . . . . . . . . . . . . . p. 84
48 Circuito equivalente de uma máquina síncrona trifásica com eixo de re-
ferência fixo no rotor - Equações de Park. . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 92
49 Comportamento dinâmico de um gerador hidro após aumento no torque
de entrada na forma de degrau, de zero até o valor nominal. . . . . . . p. 101
50 Comportamento dinâmico de um gerador a vapor (turbo alternador) após
aumento no torque de entrada na forma de degrau, de zero até 50% do
valor nominal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 102
51 Comportamento dinâmico de um gerador hidro após curto-circuito trifá-
sico nos terminais da máquina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 103
52 Comportamento dinâmico de um gerador vapor após curto-circuito tri-
fásico nos terminais da máquina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 104
53 Máquina síncrona trifásica de polos salientes. . . . . . . . . . . . . . . . p. 105
54 Circuitos equivalentes para uma máquina de indução bifásica não simétrica.p. 111
55 Partida da máquina de indução monofásica com capacitor de partida. . p. 116
56 Partida da máquina de indução monofásica com capacitor de partida e
capacitor de regime. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 117
57 Limites do controle V/f = constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 119
58 Analogia entre o motor c.c. e o motor de indução com controle vetorial. p. 120
59 Diagramas fasoriais em controle vetorial direto (em termos de valores de
pico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 121
60 Implementação do controle vetorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 122
61 Dois tipos de controle vetorial de motores de indução. . . . . . . . . . . p. 123
62 Diagrama fasorial para controle vetorial indireto. . . . . . . . . . . . . p. 124
63 Modelo da máquina com controle desacoplado. . . . . . . . . . . . . . . p. 127
64 Servoacionamento de posição com controle vetorial indireto. . . . . . . p. 128
65 A estrutura de um "encoder". . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 129
66 Diagrama de blocos para estender a operação na região de enfraqueci-mento de campo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 129
67 Diagrama de blocos para o inversor controlado em tensão. . . . . . . . p. 130
68 Diagrama de blocos para simulação do motor de indução com controle
vetorial com o software Matlab. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 131
69 Diagrama de blocos do "Estimator" da Figura 68. . . . . . . . . . . . . p. 132
70 Forças eletromotrizes senoidais dos MSIP. . . . . . . . . . . . . . . . . p. 133
71 Forças eletromotrizes trapezoidais dos motores BLDC. . . . . . . . . . p. 134
72 Princípio do "controle de corrente a seis níveis". . . . . . . . . . . . . . p. 136
73 Sequência de chaveamento e fasores de fmm para operação trifásica em
onda completa de um motor BLDC com enrolamentos em Y sem neutro. p. 137
74 Forças eletromotrizes de fase e entre fases trapezoidais e correntes retan-
gulares de um motor BLDC (formas ideias). . . . . . . . . . . . . . . . p. 137
75 Operação "à seis níveis" ou "em onda completa" de um motor conectado
em Y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 138
76 Sistema de acionamento de um motor BLDC . . . . . . . . . . . . . . . p. 138
77 Um motor BLDC com 12 ranhuras no estator e um rotor de 4 polos. . . p. 139
78 Circulação das correntes quando o interruptor T1 está ligado e desligado. p. 140
79 Sensor Hall. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 141
80 Disposição de sensores de posição por efeito Hall com motores de dife-
rentes números de polos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 142
81 Disposição de sensores Hall para máquinas trifásicas. . . . . . . . . . . p. 143
82 Interface entre circuitos integrados Hall e um microprocessador. . . . . p. 143
83 Diagrama de blocos do sistema de controle de um motor BLDC. . . . . p. 144
84 Conexão em Y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 145
85 Curvas simuladas em função do tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 146
86 Motor síncrono a imãs permanentes de 2 polos. . . . . . . . . . . . . . p. 147
87 Cacacterística torque eletromagnético em função da velocidade. . . . . p. 151
88 Região de operação possível, expressa no plano das correntes d− q, para
três velocidades do rotor(ωr =1, 1,2 e 1,5 pu). . . . . . . . . . . . . . . p. 153
89 Sistema de controle de um MSIP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 154
90 MSIP de 4 polos e 24 ranhuras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 155
91 Tipos de rotores de MSIP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 156
92 Circulação de corrente através de três interruptores. . . . . . . . . . . . p. 156
93 Tensões de saída do resolver e posição do rotor. . . . . . . . . . . . . . p. 157
94 Diagrama de blocos do sistema de controle de velocidade de um MSIP. p. 158
95 Controlador no sistema de referência d− q. . . . . . . . . . . . . . . . . p. 158
96 Diagrama de blocos para simulação no software Matlab. . . . . . . . . . p. 159
97 Circuitos acoplasdos magneticamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 163
98 Circuito equivalente com o enrolamento 1 selecionado como referência. . p. 168
99 Curva B ×H típica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 170
100 Circuito R-L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 171
101 Corrente calculada para um circuito R-L . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 172
102 Sistema mecânico rotativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 173
103 Curvas de torque, posição angular e velocidade. . . . . . . . . . . . . . p. 176
Lista de Tabelas
1 Dados do exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 22
2 Testes máquina de indução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 71
3 Parâmetros das máquinas de indução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 74
4 Gerador Hidro-Turbinado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 99
5 Turbo-alternador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 100
13
1 Introdução
1.1 Equações de tensão e torque da máquina elétrica
básica
A máquina elétrica mais simples consiste do eletroímã mostrado na Figura 1, onde a
armadura é suposta livre para mover-se sob a atração da bobina excitada. As equações
de tensão e torque deste eletroímã podem ser obtidas considerando inicialmente o caso
mais simples, mostrado na Figura 1(a), onde a posição da armadura é fixa.
,R L
v
i
(a)Solenóide com arma-
dura fixa
( ),R L L x=
x F
v
A
i
(b)Solenóide com armadura capaz de mover-se linearmente
Figura 1: Solenóides com diferentes armaduras.
Neste caso a tensão v e a corrente i instantâneas estão relacionadas pela equação,
v = Ri+ L
di
dt
(1.1)
onde R(ohms) é a resistência e L (Henry) é o coeficiente de indutância própria da bobina.
L é aqui considerado constante devido ao fato de que a armadura é fixa e desprezando os
efeitos de saturação do núcleo magnético.
Obtém-se a potência instantânea multiplicando-se a equação acima pela corrente, ou
seja:
vi = Ri2 + Li
di
dt
(1.2)
14
Como L é constante mostra-se que:
d
dt
(
1
2
Li2
)
= L
d
dt
(
1
2
i2
)
= Li
di
dt
(1.3)
De forma que a equação da potência pode ser escrita:
vi = Ri2 +
d
dt
(
1
2
Li2
)
(1.4)
O primeiro membro da Equação (1.4) representa a taxa segundo a qual a energia
é suprida pela fonte. O primeiro e o segundo termos do segundo membro representam,
respectivamente, a taxa segundo a qual a energia é dissipada sob a forma de calor e a taxa
segundo a qual a energia é armazenada no campo magnético. Como não há movimento
mecânico esta única equação é suficiente para descrever o desempenho do sistema.
Passando agora ao sistema da Figura 1(b), verifica-se por testes que a indutância é
uma função da posição da armadura A. Desta forma, se a armadura mover-se enquanto
uma corrente estiver circulando na bobina, a indutância é uma função do tempo. Em
vista destas considerações, a equação de tensão agora se escreve:
v = Ri+
d
dt
(Li) (1.5)
ou ainda:
v = Ri+ L
di
dt
+ i
dL
dt
(1.6)
A equação da potência agora se escreve:
vi = Ri2 + Li
di
dt
+ i2
dL
dt
(1.7)
Num dado instante quando o valor da indutância própria da bobina for L e a corrente
for i a energia armazenada no campo magnético da bobina será dado por (1
2
)Li2, como
antes, mas visto que L é agora uma função do tempo, segue que:
d
dt
(
1
2
Li2
)
= Li
di
dt
+
1
2
i2
dL
dt
(1.8)
A equação da potência pode ser escrita então:
vi = Ri2 +
d
dt
(
1
2
Li2
)
+
1
2
i2
dL
dt
(1.9)
15
Os três primeiros termos desta equação são idênticos aos anteriores e tem o mesmo
significado físico. O termo adicional só pode representar a potência mecânica, ou seja, a
taxa segundo a qual a energia elétrica é convertida em energia mecânica para produzir o
movimento da armadura A do eletroímã.
Se F (Newtons) representa a força mecânica exercida sobre a armadura e se x (metros)
for a distância entre um ponto fixo na armadura e um ponto fixo no enrolamento, como
mostra a Figura 1(b), a velocidade da armadura é dada por dx/dt e a potência mecânica
por F (dx/dt), ou seja:
F
dx
dt
=
1
2
i2
dL
dt
(1.10)
F
dx
dt
=
1
2
i2
dL
dx
dx
dt
(1.11)
uma vez que a variação de L com o tempo decorre de sua variação com a posição. A
equação da força então é:
F =
1
2
i2
dL
dx
(1.12)
Observa-se que, apesar de ter-se considerado uma corrente variável e uma armadura
móvel, a forma final da expressão da força é independente de qualquer uma destas va-
riações. O fato de a corrente aparecer ao quadrado indica que a direção da força não
depende do sinal da corrente, mas sim do sinal da derivada da indutância em relação à
posição.
T
v
A
i
q
Figura 2: Solenóide com armadura rotativa.
As deduções feitas até aqui podem ser estendidas para o caso de uma máquina ele-
16
mentar rotativa, como a da Figura 2. Para esta máquina as equações de tensão e potência
permanecem as mesmas, mas a equaçãode potência mecânica passa a ser igual ao pro-
duto do torque T (Newtons.metro) pela velocidade angular dθ/dt (radianos por segundo).
Assim:
T
dθ
dt
=
1
2
i2
dL
dt
(1.13)
=
1
2
i2
dL
dθ
dθ
dt
(1.14)
De forma que a expressão do torque torna-se:
T =
1
2
i2
dL
dθ
(1.15)
Com isto completa-se a obtenção das equações de tensão e torque para a máquina
elétrica básica mais simples.
1.2 Equações da máquina básica de dois enrolamentos
Infelizmente a máquina básica mais simples vista na Seção 1.1 não é suficientemente
geral. São necessários, pelo menos, dois enrolamentos para cobrir-se o fenômeno funda-
mental restante, isto é, o acoplamento mútuo magnético.
A máquina básica de dois enrolamentos é mostrada esquematicamente na Figura 3.
θ é o ângulo entre eixos fixos na bobina móvel do rotor e na bobina fixa do estator,
respectivamente.
T
A
q
F
Figura 3: Representação esquemática da máquina básica de dois enrolamentos.
17
Têm-se, agora, duas equações de tensão:
v1 = R1i1 +
d
dt
(L1i1) +
d
dt
(M12i2) (1.16)
v2 = R2i2 +
d
dt
(L2i2) +
d
dt
(M21i1) (1.17)
Nas Equações (1.16) e (1.17) L1 e L2 são os coeficientes de indutância própria dos
dois enrolamentos enquanto que M12 e M21 são os coeficientes de indutância mútua entre
eles. Quando se escreve estas equações convenciona-se associar o primeiro índice com a
tensão e o segundo com a corrente.
Para obter-se a equação de torque segue-se um procedimento similar ao adotado an-
teriormente. Desenvolvendo-se, inicialmente, os diferenciais dos produtos na equação de
tensão, tem-se:
v1 = R1i1 + L1
di1
dt
+ i1
dL1
dt
+M12
di2
dt
+ i2
dM12
dt
(1.18)
v2 = R2i2 + L2
di2
dt
+ i2
dL2
dt
+M21
di1
dt
+ i1
dM21
dt
(1.19)
Multiplicando-se a primeira equação por i1, a segunda por i2 e somando o resultado
tem-se a potência instantânea total:
v1i1 + v2i2 = R1i1
2 +R2i2
2 + L1i1
di1
dt
+ i1
2dL1
dt
+ L2i2
di2
dt
+ i2
2dL2
dt
+ M12i1
di2
dt
+ i1i2
dM12
dt
+M21i2
di1
dt
+ i1i2
dM21
dt
(1.20)
Pode-se demonstrar que M12 = M21 = M . Logo a Eq. (1.20) passa ser escrita da
forma:
v1i1 + v2i2 = R1i1
2 +R2i2
2 + L1i1
di1
dt
+ i1
2dL1
dt
+ L2i2
di2
dt
+ i2
2dL2
dt
+ Mi1
di2
dt
+ 2i1i2
dM
dt
+Mi2
di1
dt
(1.21)
É necessário, como anteriormente, considerar inicialmente o caso especial em que o
rotor é fixo em uma dada posição de modo que L1, M e L2 sejam constantes e que suas
derivadas em relação ao tempo sejam nulas. Assim a Eq. (1.21) passa ser escrita:
v1i1 + v2i2 = R1i1
2 +R2i2
2 + L1i1
di1
dt
+ L2i2
di2
dt
+Mi1
di2
dt
+Mi2
di1
dt
= R1i1
2 +R2i2
2 +
d
dt
(
1
2
L1i1
2 +
1
2
L2i2
2 +Mi1i2
)
(1.22)
18
A quantidade entre parênteses representa a energia magnética armazenada total.
Quando L1, L2 e M são variáveis, o valor da derivada é:
d
dt
(
1
2
L1i1
2 +
1
2
L2i2
2 +Mi1i2
)
= L1i1
di1
dt
+
1
2
i1
2dL1
dt
+ L2i2
di2
dt
+
1
2
i2
2dL2
dt
+ Mi1
di2
dt
+ i1i2
dM
dt
+Mi2
di1
dt
(1.23)
de forma que a equação de potência (1.21) pode ser reescrita:
v1i1 + v2i2 = R1i1
2 +R2i2
2 +
d
dt
(
1
2
L1i1
2 +
1
2
L2i2
2 +Mi1i2
)
+
1
2
i1
2dL1
dt
+
1
2
i2
2dL2
dt
+ i1i2
dM
dt
(1.24)
Os termos desta equação podem, agora, ser consideradas em grupos, tendo o mesmo
significado que no caso de um só enrolamento. O torque total é obtido como antes subs-
tituindo t por θ no último grupo:
T =
1
2
i1
2dL1
dθ
+
1
2
i2
2dL2
dθ
+ i1i2
dM
dθ
(1.25)
Com isto completa-se o estabelecimento das equações de tensão e torque para a má-
quina elétrica básica. Para formar o conjunto completo de equações necessárias para
descrever o comportamento dinâmico de uma máquina elétrica básica falta estabelecer
apenas a equação diferencial referente ao sistema mecânico.
1.3 Equação do movimento mecânico da máquina
elétrica básica
Até este ponto trata-se exclusivamente com a força ou o torque mecânico produzido
eletricamente. É necessário estudar-se também as reações do processo de conversão de
energia elétrica em mecânica sobre o sistema elétrico.
Considera-se os sistemas eletromecânicos mostrados esquematicamente na Figura 4.
Na Figura 4(a) o rotor gira sob a influência dos torques que agem sobre ele, o modelo
translacional equivalente é mostrado na Figura 4(b), no qual uma massa M desloca-se
na direção x. Tudo que será dito a seguir sobre o sistema rotacional também aplica-se
ao sistema translacional, bastando substituir o torque T pela força f , o deslocamento
angular θ pelo deslocamento linear x e o momento de inércia J pela massa M .
19
emT
q
F
mT
2i + -2e
1i
+
-
1e
(a)Rotacional
2i + -2e 1i + -1e
x
M
mecfemf
(b)Translacional
Figura 4: Transdutores eletromecânicos rotacionais e translacionais.
Na Figura 4(a) os torques são (1) o torque eletromagnético Tem agindo na direção
positiva de θ, (2) o torque mecânico Tmec operando à rotação e (3) o torque de inércia
Jdθ2/dt2, onde J é o momento de inércia do rotor. A equação de balanço dos torques é:
Tem = J
dθ2
dt2
+ TMec (1.26)
As direções de referência são mostradas na Figura 4(a). Valores positivos correspon-
dem a uma aceleração motora. Nesta equação o torque mecânico inclui atrito e ventilação,
carga mecânica, molas e torques mecânicos aplicados.
1.4 Estudo da dinâmica de um eletroimã: um
exemplo de aplicação
A Figura 5 mostra a secção transversal de um eletroímã cilíndrico no qual o êmbolo
cilíndrico de massaM (kg) move-se verticalmente guiado por anéis de bronze de espessura
t e diâmetro d. A permeabilidade do bronze é a mesma do vácuo que vale 4π × 10−7
unidades MKS. O êmbolo é suportado por uma mola cuja elastância é ks (newtons/m).
O comprimento da mola não distendida é l0. Uma força mecânica de carga ft é aplicada
ao êmbolo pelo sistema mecânico a ele conectado. Supõe-se que a força de atrito seja
linearmente proporcional à velocidade e que o coeficiente de fricção é b (newton.s/m).
A bobina tem N espiras e uma resistência r (ohms). A tensão terminal aplicada aos
terminais da bobina é vt e a corrente é i, os efeitos da dispersão do fluxo magnético e da
relutância do ferro serão desprezados.
As equações da tensão terminal e da força eletromagnética são, respectivamente, a
20
d
j
´´
´ ´
´
´
´´
´ ´
´
´
´´
´ ´
´
´
g g g
g g g
g g g
g g g
g g g
g g g
bobina
mola
1l
a
h
a
0l
t
tf
x
Figura 5: Eletroimã.
(1.1) e a (1.12). É necessário, inicialmente expressar a indutância da bobina em função
da posição do êmbolo x.
A relutância do circuito magnético corresponde àquela dos dois anéis guias em série,
com o fluxo atravessando-os radialmente, como mostram as linhas tracejadas na Figura 5.
Como t << d, a densidade de fluxo nos anéis guias é praticamente constante em relação
à distância radial. Em uma região onde a densidade de fluxo é constante a relutância é
dada pela razão entre comprimento do caminho do fluxo na direção do campo e a área
perpendicular ao campo dividida pela permeabilidade magnética do meio. A relutância
do entreferro superior é:
<1 =
t
µ0πdx
(1.27)
Na qual se considera que o campo concentra-se na área entre o extremo superior
do êmbolo e extremo inferior do anel guia superior. Da mesma forma a relutância do
entreferro inferior é:
<2 =
t
µ0πda
(1.28)
A relutância total é:
< = <1 + <2 =
t
µ0πd
(
1
a
+
1
x
)
=
t
µ0πda
(a+ x)
x
(1.29)
A correspondente permeância é:
P =
1
<
=
µ0πda
t
x
(a+ x)
(1.30)
21
A indutância da bobina expressa-se, em função de x, como segue:
L = N2P =
µ0πdaN
2
t
x
(a+ x)
(1.31)
Onde:
L′ =
µ0πdaN
2
t
(1.32)
Da Equação (1.12) obtém-se a força eletromagnética que age na direção positiva de
x.
fem =
1
2
i2
dL
dx
=
1
2
L′
ai2
(a+ x)2
(1.33)
A força eletromotriz induzida na bobina é dada por:
fem =
d
dt
(Li) = L
di
dt
+ i
dL
dx
dx
dt
(1.34)
fem = L′
x
(a+ x)
di
dt
+ L′
ai
(a+ x)2
dx
dt
(1.35)
Substituindo a força eletromagnética na equação diferencial do movimento do sistema
mecânico, tem-se:
− ft +
1
2
L′
ai2
(a+ x)2
= M
dx2
dt2
+ b
dx
dt
− ks (l1 − x) +Mg (1.36)A equação de tensão para o sistema elétrico é:
vt = ri+ e = ri+ L
′ x
(a+ x)
di
dt
+ L′
ai
(a+ x)2
dx
dt
(1.37)
As equações acima são válidas desde que a extremidade superior do êmbolo esteja
dentro do anel guia superior, ou seja: 0,1a < x < 0,9a.
A integração das Equações (1.36) e (1.37) será feita numericamente utilizando o mé-
todo Runge-Kutta de quarta ordem. Para tanto é interessante reescreve-las isolando no
primeiro membro o termo em derivada. A equação de oscilação de segunda ordem é redu-
zida a duas equações diferenciais de primeira ordem, definindo-se a variável velocidade de
deslocamento mecânico ω. Assim, o sistema de equações diferenciais de primeira ordem
22
escreve-se como segue:
dω
dt
=
1
2
L′
M
ai2
(a+ x)2
− b
M
ω − g + ks
M
(l1 − x)−
ft
M
di
dt
=
vt
L′
(a+ x)
x
− ri
L′
(a+ x)
x
− i
x
a
(a+ x)
ω
dx
dt
= ω
(1.38)
Sejam os seguintes dados referentes ao eletroímã da Figura 5:
Tabela 1: Dados do exemplo
a = 0,02 [m] b = 0
[
N× S
m
]
h = 0,06 [m] d = 0,02 [m]
t = 0,0005 [m] ft = 0 [N]
vt = 20 [Vcc] N = 1000 [Espiras]
R = 100 [Ω] M = 0,05 [kg]
ks = 625
[
N
m
]
g = 9,81
[
m
s2
]
Sendo que em t = 0, tem-se i = 0 e x = 2,5 mm. A partir destas condições iniciais
determina-se o comprimento l1:
9,81M + ft = ks (l1 − x (0)) (1.39)
l1 = x (0) +
(9,81M + ft)
ks
(1.40)
A Figura 6 mostra o resultado da simulação de uma tensão contínua de 20 V ao
terminais da bobina do eletroímã incialmente em repouso e desexcitado.
Observa-se nesta figura que a corrente apresenta inicialmente um crescimento rápido
enquanto que o êmbolo move-se lentamente. Posteriormente, com o aumento da velocidade
de deslocamento este passa a influir na evolução da corrente.
Este exemplo mostra como se pode estudar a dinâmica dos dispositivos eletromagné-
ticos e eletromecânicos.
23
0 0,05 0,1 0,15
0
0.05
0.1
0.15
0.2
C
or
re
nt
e 
[A
]
Tempo [s]
0 0,05 0,1 0,15
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x 10-3
D
es
lo
ca
m
en
to
 [m
]
Tempo [s]
Figura 6: Resposta dinâmica do eletroimã à aplicação de uma tensão contínua aos termi-
nais da bobina.
24
2 Teoria das Máquinas de Corrente
Contínua
2.1 Máquina de corrente contínua elementar
Seja a máquina de corrente contínua elementar mostrada na Figura 7.
A máquina elementar de dois polos está equipada com um enrolamento de campo nos
polos do estator, um enrolamento de armadura (a − a′) e um comutador. O comutador
é feito de dois segmentos semi-circulares de cobre montados no eixo, na extremidade do
rotor e isolados um do outro bem como do ferro do rotor. Cada terminal da bobina do
rotor é conectada à um segmento de cobre. Escovas de carvão estacionárias deslizam sobre
os segmentos de cobre. As equações de tensão para os enrolamentos de campo do rotor
são:
vf = rf if + λ̇f (2.1)
va = raia + λ̇a (2.2)
onde rf e ra são as resistências dos enrolamentos de campo e da armadura e o superscrito
"˙" indica derivação temporatal (d/dt). Algumas vezes a queda de tensão devida às
escovas deslizando no comutador pode ser considerada no valor de ra. As equações de
enlace de fluxo podem ser expressas como:
λf = Lff if + Lfaia (2.3)
λa = Laf if + Laaia (2.4)
A indutância mútua entre os circuitos de campo e armadura podem ser aproximadas
como uma função senoidal de θc e expressas como:
Laf = Lfa = −L cos θc (2.5)
25
f '2
f1
f2
f '1
Eixo f
f1
f2
f '2
+
-
vf
f '1
+
-
va
+
-
va
a
qC
a'
Isolação
Anel de
cobre
Escova
ia
Figura 7: Máquina de corrente contínua elementar de dois polos.
onde L é uma constante. A medida que o rotor se movimenta, a ação do comutador é
chavear os terminais estacionários do rotor. Para a configuração apresentada na Figura 7,
este chaveamento ou comutação ocorre em θc = 0,π,2π,.... Nos instantes de chaveamento,
cada escova está em contato com ambos os segmentos de cobre, enquanto que o enrola-
mento do rotor está em curto-circuito. Obviamente, é desejável comutar (curto-circuitar)
o enrolamento do rotor no instante em que a tensão induzida seja mínima. A forma de
onda da tensão induzida no enrolamento da armadura em aberto, durante operação à velo-
cidade constante com uma corrente de campo constante, pode ser determinada fazendo-se
ia = 0 e if igual à uma constante. Substituindo-se (2.4) e (2.5) em (2.2) determina-se a
expressão abaixo para a tensão do enrolamento a− a′ em aberto, com if constante:
va = ifL sin θc
dθc
dt
(2.6)
26
Portanto, a tensão à circuito aberto da armadura é nula em θc = 0,π,2π,..., que são as
posições do rotor durante a comutação. A comutação é ilustrada na Figura 8. As tensões
em circuito aberto correspondem às posições do rotor θca,θcb(θcb = 0) e θcc são indicadas.
É importante observar que durante uma volta do rotor a direção positiva de ia é entrando
em a e saindo em a′ para 0 < θc < π. Para π < θc < 2π, a corrente positiva é entrando
em a′ e saindo em a.
f '2
f1
f2
f '1
+
-
va
a
qca
a'
f '2
f1
f2
f '1
+
-
va
a
q =0cb
a'
f '2
f1
f2
f '1
+
-
va
a
qcc 
a'
ia ia
ia
qcc qcb
qca
va
Figura 8: Comutação da máquina c.c. elementar.
É óbvio que a máquina mostrada na Figura 7 não é uma máquina prática. Embora
ela possa operar como gerador suprindo uma carga resistiva, devido ao curto-circuito dos
enrolamentos da armadura em cada comutação, ela não poderia operar eficazmente como
motor alimentada a partir de uma fonte de tensão. Uma máquina cc prática, com o rotor
equipado com um enrolamento a e um enrolamento A, é esquematizada na Figura 9. Na
posição do rotor ilustrada, os enrolamentos a4 − a′4 e A4 − A′4 estão sendo comutados.
A escova inferior curto-circuita o enrolamento a4 − a′4 enquanto que a escova superior
27
curto-circuita o enrolamento A4 − A′4. A Figura 9 ilustra o instante em que a corrente
(suposta com direção positiva) entra nos terminais a1, A1; a2, A2; ...; e sai nos terminais
a′1, A′1; a′2, A′2; ... . É interessante seguir o caminho da corrente através um dos caminhos
paralelos de uma escova à outra.
Para a posição angular mostrada na Figura 9, corrente positiva entra pela escova
superior e flui entrando no rotor via a1 e volta por a′1; entra em a2 e volta por a′2; entra
em a3 e volta por a′3 e sai pela escova inferior. Um caminho paralelo existe através de
A3−A′3, A2−A′2 e A1−A′1. A tensão do circuito aberto de armadura é mostrada também
na Figura 9, no entanto, as formas de onda requerem explicação adicional.
f '2
f1
f2
f '1
Eixo f
+
-
va
a1
Sentido de 
rotação
ia
A1
A2
A3
A4
A2’
A3’
A4’
a2
a3
a4
A1’ a1’
a2’
a3’
a4’
A1’-A1
a ’4-a4
a ’3-a3
a ’2-a2
a ’1-a1
A4’-A4
A3’-A3
A2’-A4
A1’-A1
va
Posição do rotor
mostrada acima
Figura 9: Máquina cc com circuitos paralelos na armadura.
A medida que o rotor avança no sentido anti-horário o segmento conectado a a1 e
A4 move-se para fora da escova superior. A escova superior então passa somente sobre
o segmento conectando A3 e A′4. Ao mesmo tempo que a escova inferior está passando
sobre o segmento conectando a4 e a′3. Com o rotor assim posicionado a corrente circula
para dentro de A′4 e a′4 e para fora (saindo) de A4 e a4. Em outras palavras, a corrente
28
entra nos terminais das bobinas na "metade superior" do rotor e sai nos terminais das
bobinas na "metade inferior" do rotor.
Seguindo novamente o fluxo da corrente através dos caminhos paralelos dos enrola-
mentos da armadura. A corrente agora circula através da escova superior entrando em A′4
saindo em A4, entrando em a1 saindo em a′1, entrando em a2 saindo em a′2, entrando em
a3 saindo em a′3 e fluindo pela escova inferior. O caminho paralelo é A3 − A′3, A2 − A′2,
A1−A′1 e a′4−a4 para a escova inferior. Pode-se agora entender a razão pela qual a tensão
em circuito aberto é da forma mostrada na Figura 9. Em particular, a tensão induzida
nas bobinas é mostrada para o primeiro caminho paralelo descrito acima. Nota-se que a
tensão induzida nas bobinas existe, ou aparece, somente se a bobina faz parte do caminho
paraleloconsiderado.
Claramente, a tensão induzida na bobina a4−a4′ não está presente se o rotor avança no
sentido anti-horário a partir da posição mostrada na Figura 9. Viu-se que ela é substituída
pela bobina A4 − A4′. Similarmente a3 − a′3 fica substituída por A′3 − A3, etc. À medida
que o rotor avança.
Na Figura 9 os enrolamentos paralelos são somente quatro. Usualmente o número
de enrolamentos no rotor é bem maior do que quatro e a tensão a circuito aberto da
armadura aproxima-se de uma constante, e neste caso, os enrolamentos do rotor podem
ser representados por um enrolamento uniformemente distribuído, como mostrado na
Figura 10.
Portanto, o enrolamento do rotor é considerado como lâminas de corrente, as quais
são fixas no espaço devido à ação do comutador e as quais estabelecem um eixo magnético
posicionado ortogonalmente ao eixo magnético do eixo do campo. As escovas são mos-
tradas posicionadas na lâmina de corrente com o objetivo de representar a comutação. O
pequeno deslocamento angular denotado por 2γ designa a região de comutação onde os
enrolamentos são curto-circuitados. No entanto, a comutação não pode ser visualizada na
Figura 10. Deve-se referir a Figura 9 para ilustrar a comutação.
2.2 Equações de tensão e torque em variáveis da
máquina
Os enrolamentos da armadura rodam em um campo magnético estabelecido pela cor-
rente que flui no enrolamento de campo. As tensões aparecem nestes enrolamentos devido
à esta rotação (Figura 9). No entanto, devido à ação do comutador, os enrolamentos da
29
f '2
f1
f2
f '1
Eixo f
+
-
vf
+
va
+
-
va
ia
Eixo a
Eixo magnético
do enrolamento de
armadura equivalente 
Bobinas 
curto-circuitadas 
2g
Sentido de rotação
Nf
rf ra
iaif
-
Figura 10: Máquina cc idealizada com enrolamento do rotor uniformemente distribuído.
armadura aparecem como um enrolamento estacionário com o seu eixo magnético ortogo-
nal ao eixo magnético do enrolamento de campo. Consequentemente, não existem tensões
induzidas em um enrolamento devido à variações temporais da corrente fluindo no outro
enrolamento (ação de transformador). Pode-se escrever as equações de tensão para os
enrolamentos de campo e de armadura:[
vf
va
]
=
[
rf + L̇FF 0
ωrLAF ra + L̇aa
][
if
ia
]
(2.7)
onde LFF e LAA são as indutâncias próprias dos enrolamentos de campo e de armadura,
respectivamente. A velocidade do rotor é denotada por ωr e LAF é a indutância mútua en-
tre os enrolamentos de campo e de armadura. As equações acima podem ser representadas
pelo circuito equivalente da Figura 11.
30
+
-
vf
+
vaLFF
rf ra
IaIf
-
LAA
LAF w If f
+
-
Figura 11: Circuito equivalente de uma máquina cc
A indutância LAF pode ser dada por:
LAF =
NaNf
<
(2.8)
onde Na e Nf são os ampères espira equivalentes dos enrolamentos de armadura e de
campo e < é a relutância.
O torque de uma máquina cc como a mostrada na Figura 9 é dada por:
Te = LAF if ia (2.9)
O torque e a velocidade do rotor são relacionados por:
Te = J
dωr
dt
+Bmωr + TL (2.10)
onde J é a inércia do rotor mais a da carga mecânica acoplada. As unidades de J são
[kg.m2]. A constante Bm é um coeficiente de amortecimento associado com o sistema
mecânico rotacional da máquina e da carga mecânica. A unidade de Bm é [N.m.s] e ele é
geralmente pequeno e muitas vezes desprezado.
2.3 Tipos básicos de máquinas de corrente contínua
Os enrolamentos de campo e armadura podem ser conectados de diversas maneiras
para formar os tipos básicos de máquinas de corrente contínua, como o gerador c.c inde-
pendentemente excitado, o gerador shunt (ou derivação), o gerador série e as máquinas
c.c compostas. Os circuitos equivalentes para cada uma destas máquinas são dados nesta
seção.
31
2.3.1 Gerador cc com excitação independente
A configuração dos enrolamentos para um gerador c.c. excitado independentemente
é mostrada na Figura 12.
-
vf
+
vaLFF
rf ra
Ia
-
LAA
LAF w If f
+
-
+
rfx
If
Figura 12: Circuito equivalente para um gerador cc com excitação independente.
Neste caso, o campo é alimentado à partir de uma fonte externa de corrente contínua,
denotada por vf na Figura 12.
Uma resistência rfx é conectada em série com o enrolamento de campo. Esta resistên-
cia externa representa um reostato de campo. Ele é normalmente utilizado para ajustar
a corrente de campo, que por sua vez ajusta a tensão terminal do gerador. É óbvio que
a velocidade do gerador ωr é imposta pela máquina primária. Em operação em regime
permanente, a velocidade é constante e a taxa de variação no tempo das correntes de
campo e de armadura é zero. Portanto, as equações de tensão em regime permanente são:
Vf = RfIf (2.11)
Va = raIa + ωrLAF If (2.12)
onde Rf = rfx + rf e letras maiúsculas são usadas para denotar tensões e correntes em
regime permanente. É evidente que, se a corrente de campo If for mantida constante e
a velocidade do rotor ωr é fixa pela máquina primária, a tensão de armadura, ou tensão
terminal, diminui à medida que a corrente de armadura aumenta devido à queda de tensões
na resistência do enrolamento da armadura (Ia é negativa para operação em gerador).
2.3.2 Máquina cc conectada em shunt ou derivação
A Figura 13 mostra o esquema para este tipo de ligação.
Uma vez que o enrolamento de campo é conectado entre os terminais da armadura,
este arranjo dos enrolamentos é conhecido como máquina shunt. Em regime permanente
32
-
vf
+
vaLFF
rf ra
Ia
-
LAA
LAF w If f
+
-
+
rfx
If It
Figura 13: Circuito equivalente para uma máquina cc ligada em derivação.
tem-se:
Va = RfIf (2.13)
Isolando-se If de (2.13) e substituindo em (2.12) obtém-se a expressão da corrente de
armadura Ia:
Ia =
Va
ra
(
1− ωrLAF
Rf
)
(2.14)
Substituindo If e Ia em (2.9) obtêm-se o torque eletromagnético em regime perma-
nente para este tipo de máquina de corrente contínua:
Te =
LAFVa
2
raRf
(
1− ωrLAF
Rf
)
(2.15)
Quando a máquina shunt é alimentada a partir de uma fonte de tensão constante as
características de operação em regime permanente são mostradas na Figura 14.
Na condição parada (ωr = 0), a corrente em regime permanente da armadura Ia é
limitada apenas pela resistência da armadura. Então, uma corrente elevada pode aparecer
durante o período de partida da máquina quando estiver operando como motor. Para
evitar altas correntes de partida, inserem-se resistências no circuito de armadura e elas
são diminuídas (manual ou automaticamente) até zero à medida que a máquina acelera
à velocidade normal de operação. Uma outra característica da máquina shunt é que sua
velocidade não varia muito com a carga.
Quando uma máquina shunt está operando como gerador isolado ela é chamada ge-
rador auto-excitado uma vez que o campo é suprido pela tensão gerada pela armadura.
Durante a operação do gerador a corrente é de direção oposta à mostrada na Figura 13.
33
a a
f a
V V
R r
+
2
AF a
a f
L V
r R
a
f
V
R
f
AF
R
L
fw
tI
eT
Figura 14: Características de operação em regime permanente de uma máquina c.c. co-
nectada em shunt com tensão terminal constante.
Tipicamente, características de operação em regime permanente da tensão de armadura
Va versus a corrente terminal It = Ia + If são mostradas na Figura 15.
Corrente 
nominal
w= constanter
Tensão 
nominal
tI
aV
Figura 15: Características de operação em regime permanente de gerador c.c. shunt.
34
O reostato de campo rfx é regulado de maneira à obter-se tensão nominal à corrente
nominal. Em operação gerador (Te e Ia negativos), supõe-se que a máquina primária
mantém a velocidade do gerador constante, independentemente da carga elétrica suprida
pelo gerador. Da equação (2.14) verifica-se que, se os terminais da armadura de um
gerador c.c. auto-excitado forem curto-circuitados enquanto o rotor estiver girando, a
corrente de armadura Ia será nula. Na prática, no entanto, isto não ocorre devido ao efeito
de "imã permanente" do ferro dos polos do estator. Na verdade, este fluxo remanente
pode produzir uma correntede curto-circuito elevada e que depende das características
magnéticas do ferro e dos parâmetros da máquina.
Uma tensão terminal não pode ser estabelecida no caso de um gerador auto-excitado
sem o fluxo remanente dando origem à uma tensão de armadura uma vez que o rotor
é posto à girar. Seja a curva de magnetização de um gerador c.c. independentemente
excitado mostrada na Figura 16. Esta curva é uma gráfico da tensão à circuito aberto da
armadura versus a corrente de campo para uma dada velocidade e em regime permanente.
A linha tracejada na Figura 16 ilustra a relação linear entre a tensão de armadura em
aberto, em regime permanente, e a corrente de campo. Suponha-se que a máquina esteja
girando a uma velocidade constante, com o circuito de campo aberto. Neste modo de
operação, a tensão terminal à circuito aberto é determinada pelo fluxo remanente e pela
velocidade do rotor. Se agora o enrolamento de campo é conectado aos terminais da
armadura e se esta conexão é feita de maneira que a corrente de campo, (resultante da
tensão residual que aparece inicialmente no terminais da armadura), produza um fluxo
que "ajude" o fluxo residual, a tensão de armadura vai aumentar.
Este processo de "crescimento" de fluxo vai continuar até que a curva da tensão de
campo (tensão terminal) encontre a curva da tensão gerada. A inclinação da linha tra-
cejada (tensão de campo ou tensão terminal versus corrente de campo) é a resistência
total do campo Rf . Para uma dada velocidade do rotor o "crescimento"do gerador auto-
excitado é dependente do sentido do fluxo do campo em relação ao do fluxo residual e
também depende do valor da resistência de campo. A relação entre a tensão terminal
em regime permanente com It = 0 (If = −Ia) e a corrente de campo de um gerador
auto-excitado é mostrada na Figura 17.
Na Figura 17 Rf2 > Rf1. Uma resistência total Rf1 levará à uma tensão terminal
na faixa de operação normal, no entanto, a tensão terminal não crescerá para uma valor
normal se a resistência total do campo for muito grande. Por exemplo, se a resistência
total do campo é Rf2 a tensão terminal não passará de um valor relativamente pequeno.
35
If
Va
Inclinação L wAF r
w=constanter
Figura 16: Curva de magnetização de um gerador c.c. independentemente excitado.
If
Va Rf2
w=constanter
Rf1
Figura 17: Influência da resistência de campo sobre a tensão de um gerador c.c. auto-
excitado (If = −Ia).
2.3.3 Máquina cc conectada em série
Quando o campo é conectado em série com o circuito de armadura como mostrado
na Figura 18 a máquina é chamada máquina cc conectada em série ou máquina série.
É conveniente adicionar o subscrito s para denotar grandezas associadas com o campo
série. É importante mencionar a diferença física entre o enrolamento de campo de uma
máquina shunt e o de uma máquina série. Se o enrolamento for shunt, ele é formado por
36
um grande número de espiras de fios finos o que faz com que a resistência do enrolamento
de campo seja elevada. No entanto, uma vez que o enrolamento série está em série com a
armadura, ele é projetado de maneira à minimizar a queda de tensão sobre ele. Portanto,
o enrolamento é feito com um número baixo de espiras, apresentando baixa resistência.
-
vf
+
vtLFFs
rfs ra
Ia
-
LAA
LAF w If fs
+
-
+
If
+
va
-
Figura 18: Circuito equivalente para uma máquina cc série.
Embora as máquinas série não sejam muito utilizadas, um campo série é muitas vezes
usado conjuntamente com um campo shunt para formar uma máquina c.c. conectada
composta que é, por sua vez, muito usada. No caso da máquina série (Figura 18).
vt = vfs + va (2.16)
ia = ifs (2.17)
onde vfs e ifs denotam a tensão e corrente associada com o campo série. O subscrito s
é adicionado para evitar confusão com o campo shunt quando ambos campos são usados
em uma máquina composta.
Em regime permanente a equação de tensão para máquina c.c. série fica:
Vt = (ra + rfs + ωrLAFs) Ia (2.18)
Logo a equação de torque (2.9) pode ser escrita da seguinte maneira:
Te = LAFsIa
2 (2.19)
Te =
LAFsVt
2
(ra + rfs + ωrLAFs)
2 (2.20)
A característica torque-velocidade para uma máquina c.c. série típica é mostrada na
Figura 19.
37
2
t AFs
2
a fs
V L
(r r )+
Te
wr
Figura 19: Característica torque-velocidade para uma máquina c.c. série (regime per-
mante).
O torque máximo é alto, uma vez que ele é proporcional ao quadrado da corrente
de armadura, para um circuito magnético linear. No entanto, a saturação do sistema
magnético devido à altas correntes de armadura faz com que, na prática, o torque não
seja tão elevado.
Em altas velocidades o torque diminui menos rapidamente com o aumento da velo-
cidade. Na verdade, se o torque de carga é pequeno o motor série acelera à velocidades
suficientemente grandes para danificar a máquina. Em virtude disto, o motor série é usado
em aplicações tais como motores de tração para trens, ônibus ou em esteiras rolantes onde
alto torque de partida é necessário e um torque de carga apreciável existe em condições
normais de operação.
2.3.4 Máquina cc conectada composta
Uma máquina cc conectada composta ou máquina cc composta, a qual é equipada
com ambos enrolamentos shunt e série, é mostrada na Figura 20.
Na maioria das máquinas compostas, o campo de derivação domina as características
de operação e o campo série, formado por um número baixo de espiras de baixa resis-
tência, tem uma influência secundária na operação. Ele pode ser conectado de maneira
a aumentar ou diminuir o fluxo produzido pelo campo shunt. Se a máquina composta
deve ser usada como gerador o campo série é conectado de maneira à "ajudar"o campo
38
-
vfs
+
vt
LFFs
rfs
ra
Ia
-
LAA
LAF w If f ± L w IAFs f fs
+
-
+
If
+
va
-
-
vf LFF
rf
+
If
rfx
It
A
B
Figura 20: Circuito equivalente de uma máquina cc composta.
shunt (composta aditiva - "cumulative compounding"). Dependendo da intensidade do
campo série, este tipo de conexão pode produzir características de tensão terminal ver-
sus corrente de carga "planas", onde uma tensão terminal aproximadamente constante
é obtida desde à vazio, até plena carga. Neste caso a máquina é dita composta-plana
("flat-compounded"). Uma máquina sobre-composta ("over-compounded") ocorre quando
a intensidade do campo série faz com que a tensão terminal à plena carga seja maior do
que à vazio. O significado de sub-composta ("under-compounded") é evidente. No caso de
motores c.c. compostos, o campo série é frequentemente conectado de maneira que o fluxo
se oponha ao fluxo produzido pelo campo shunt (composta substrativa ou "differentially
compounding"). Este tipo de conexão pode permitir uma velocidade aproximadamente
constante desde à vazio até plena carga.
As equações de tensão para uma máquina c.c. composta podem serem escritas
[
vf
vt
]
=
[
Rf + L̇FF ±L̇Fs 0
ωrLAF ± L̇Fs ±ωrLAFs + rfs + L̇FFs ra + L̇AA
]
if
ifs
ia
 (2.21)
onde LFs é a indutância mútua entre os campos shunt e série. Os sinais mais e menos são
usados de maneira que uma conexão aditiva ou subtrativa possa ser considerada.
O campo shunt pode ser conectado antes do campo série (derivação longa) ou atrás do
campo série (derivação curta) como mostrada por A e B, respectivamente, na Figura 20.
39
A conexão em derivação longa é comumente usada. Neste caso:
vt = vf (2.22)
vt = vfs + va (2.23)
it = if + ifs (2.24)
onde:
ifs = ia (2.25)
Em regime permanente, a equação da tensão terminal para a máquina composta
derivação longa é:
Vt =
(
ra + rfs ± ωrLAFs
1− ωrLAF/Rf
)
Ia (2.26)
Utilizando (2.9) para os dois enrolamentos de campo tem-se:
Te = LAF IfIa ± LAFsIfsIa (2.27)
Substituindo (2.26) em (2.27):
Te =
LAFVt
2 (1− ωrLAF/RF )
RF (ra + rfs ± ωrLAFs)
±
LAFsVt
2
(
1− ωrLAF/Rf
)2
(ra + rfs ± ωrLAFs)2
(2.28)
2.4 Caracterísiticas dinâmicas do motor shunt
alimentado a partir de uma fonte de tensão
constante
O motor shunt é largamente utilizado e, portanto, é um candidato apropriado para
ilustrar o desempenhodinâmico de uma máquina cc típica. Dois modos de operação
dinâmica são de interesse: partida e mudanças no torque de carga com a máquina sendo
alimentada por uma fonte de tensão constante.
2.4.1 Desempenho dinâmico durante a partida
Foi salientado anteriormente que há uma corrente de armadura elevada quando se
tem a tensão nominal aplicada aos terminais da armadura com a máquina parada. Com
a máquina parada a fem de rotação é zero e a corrente de armadura é limitada apenas
pela queda de tensão sobre a resistência e indutância da armadura. Portanto, exceto
40
para pequenos motores, é necessário limitar a corrente de partida a um valor aceitável,
geralmente da ordem de duas vezes a corrente nominal. Isso pode ser feito controlando o
conversor ac-dc se ele for usado para obter a tensão c.c. de armadura. Outra maneira é a
inserção de resistências em série com o circuito de armadura durante a partida, no caso do
motor ser alimentado a partir de uma fonte de tensão constante. Interessa-se pelo último
método de partida. A resistência externa de partida pode ser "retirada"manualmente
ou automaticamente. O reostato de partida manual consiste geralmente de um braço de
contato munido de uma mola, o qual é movido sobre contatos de resistências de maneira
a diminuir a resistência externa à medida que a máquina acelera. O braço é mantido na
posição fechada por um eletroímã que é conectado em série com o enrolamento de campo
de maneira que a tensão aplicada ao circuito de armadura seja removida no caso em que
o circuito de campo se abra acidentalmente.
No caso de "starters" automáticos, a resistência de partida é geralmente desconectada
curto-circuitando-se sucessivamente segmentos desta resistência. Existem vários tipos de
"starters" automáticos, os quais diferem basicamente no método para determinar o tempo
de no qual se realiza os curto-circuitos dos segmentos. Os tempos de retardo são deter-
minados de maneira que a máxima corrente do estator permissível não seja ultrapassada
com a maior carga esperada. Isto, naturalmente, causará um tempo de partida desneces-
sariamente longo para cargas leves. Relés controlados pela força eletromotriz de rotação
são muitas vezes utilizados ao invés de relés empregando retardo temporal. Neste caso, o
tempo em que os segmentos de resistores são curto-circuitados é determinado pela magni-
tude da tensão de armadura. Relés controlando o nível de corrente também são comuns.
Neste caso, os segmentos do resistor são curto-circuitados quando a corrente de armadura
diminui a um valor pré-determinado. É claro que o curto-circuito sucessivo dos segmentos
do resistor ocorrerá somente se a corrente diminuir a este valor pré-determinado. Então,
a sequência é interrompida se o limite inferior de corrente não for alcançado devido à
aplicação de uma tensão muito baixa ou devido à conexão de uma carga excessiva.
O diagrama de um "starter" automático é mostrado na Figura 21. A resistência
de partida é escolhida de maneira à limitar a corrente de partida à um valor seguro.
Se o "starter" opera no princípio de limitação da corrente, a resistência permanece em
série com o circuito de armadura até que a velocidade aumente de maneira que a fem
de rotação tenha reduzido a corrente de armadura até o valor escolhido como limite.
Neste momento, um segmento da resistência de partida é curto-circuitado e a corrente
de armadura novamente cresce, rapidamente. A resistência que permanece em série com
o circuito de armadura após o curto-circuito deve ser suficiente para novamente limitar
41
a corrente. Este processo é repetido até que a máquina tenha alcançado sua velocidade
normal de operação.
-
vf
+
vt
LFF
rf
RN
Ia -
LAA
LAF w If f
+
-
+
rfx
If
R2 R1
ra
RT(N+1)
RTN
RT3
RT2
RT1
...
...
2 1N
Figura 21: Motor shunt com "starter" automático.
À despeito da máquina estar em estado dinâmico durante o período de aceleração, o
valor da resistência a ser curto-circuitada em cada estágio é determinado das equações
que descrevem o desempenho da máquina em regime permanente. Em particular, se IaMx
é o valor máximo permitido da corrente de armadura durante a partida, tem-se então
para ωr = 0:
RT1 =
Vt
IaMx
(2.29)
onde RT1 é a resistência total do circuito de armadura necessária para limitar a corrente
IaMx e Vt é a tensão de armadura mais a queda de tensão sobre o reostato de partida,
como mostrado na Figura 21. Supõe-se que a corrente de campo está em seu valor de
regime permanente dado pela tensão aplicada ao circuito de campo (Vt) e a resistência
total do circuito de campo. À medida que a velocidade do rotor aumenta, a corrente de
armadura é dada por:
Ia =
Vt − LAF Ifωr
RT1
(2.30)
Imediatamente antes do curto-circuito do segmento:
IaMI =
Vt − LAF Ifωr
RT1
(2.31)
Imediatamente após a retirada do primeiro segmento:
IaMx =
Vt − LAF Ifωr
RT2
(2.32)
42
onde RT2 é a resistência total da armadura após o curto-circuito do primeiro segmento
(Figura 21). As equações acima podem ser escritas.
IaMx =
RT1
RT2
IaMI (2.33)
ou
IaMx
IaMI
=
RT1
RT2
(2.34)
O processo de chaveamento é repetido N vezes até que finalmente RT (N+1) = ra. Este
processo repetitivo pode ser descrito por:(
IaMx
IaMI
)N
=
RT1
ra
(2.35)
onde N é o número de vezes que o curto-circuito dos segmentos ocorre. Então:
N =
ln (RT1/ra)
ln (IaMx/IaMI)
(2.36)
Com o propósito de ilustração, considere-se uma máquina c.c. com os seguintes pa-
râmetros:
Rf = 240 Ω
LFF = 120 H
LAF = 1,8 H
ra = 0,6 Ω
LAA = 0,012 H
Trata-se de um motor cc shunt de 5 hp, 240 V. A inércia da máquina e da carga
acoplada é de 1 kg.m2. Obviamente Rf = rfx + rf . A corrente de armadura nominal é de
16,2 A e a velocidade nominal do rotor é 1220 RPM.
Para começar os cálculos seleciona-se IaMx como sendo o dobro da corrente nominal
e IaMI como sendo a corrente nominal. Então à partir de (2.29) tem-se RT1 = 7,41 Ω.
Da equação (2.36), com RT1 = 7,41 Ω, ra = 0,6 Ω e IaMx = 2IaMI , obtém-se N = 3,63.
Nós temos duas escolhas:
(a) N = 4 onde IaMx será menor que duas vezes a corrente nominal.
(b) N = 3 onde IaMx será maior que duas vezes a corrente nominal.
43
Sejam os dois casos possíveis:
(a) N = 4, RT1 = 7,80 Ω, IaMx = 30,8 A
(b) N = 3, RT1 = 6,64 Ω, IaMx = 36,1 A
Para N = 4, os valores de resistências são R1 = 3,70 Ω, R2 = 1,94 Ω, R3 = 1,02 Ω
e R4 = 0,54 Ω Para N = 3, os valores de resistências são R1 = 3,66 Ω, R2 = 1,64 Ω, e
R3 = 0,74 Ω .
As características de partida para o motor c.c. shunt de 5hp são mostradas na Fi-
gura 22 e Figura 23. para N = 4 e N = 3 respectivamente. O torque de carga foi escolhido
como sendo proporcional à velocidade do rotor, isto é:
TL = BLωr (2.37)
E BL foi suposto igual a 0,2287 N.m.s/rad de maneira que o torque de carga nominal
(292 N.m) ocorra à velocidade nominal (127,7 rad/s) o coeficiente de amortecimento Bm
associado com o sistema mecânico é desprezado equação (2.10).
Os resultados apresentados na Figura 22 e Figura 23 são a resposta dinâmica após
a aplicação de 240 V aos enrolamentos de armadura e campo. É interessante observar
que a corrente de armadura atinge IaMx somente no início. À medida que a máquina
acelera, devido à indutância de armadura e à inércia do sistema mecânico, a dinâmica do
sistema reduz a corrente de armadura à um valor menor do que IaMx. Deve-se lembrar
que o número de segmentos e seus valores foram determinados à partir de equações em
regime permanente. Possuindo a dinâmica dos sistemas elétricos e mecânicos é possível
reduzir o número de segmentos do resistor determinado à partir das equações de regime
permanente, sem que IaMx seja excedida ou excedida em um pequeno percentual. No
entanto, esta determinação pode ser feita apenas utilizando um processo iterativo de
cálculo em dinâmica onde os valores dos segmentos de resistência mudam enquanto que
a resistência RT1 permanece constante ou reduzindo-a de algum percentual.
2.4.2 Desempenho dinâmico durante mudanças bruscas no
torque de carga
O desempenhodinâmico do motor cc shunt de 5 hp durante um degrau de decréscimo
no torque de carga é mostrado na Figura 24. Inicialmente o motor está operando em
44
0
0.5
1
0
20
40
0
20
40
60
0
100
200
I [A]a
I [A]f
T [N.m]e
w [rad/s]r
1s
Figura 22: Caracterísiticas de partida do motor d.c. shunt de 5 hp N = 4.
I [A]a
I [A]f
T [N.m]e
w [rad/s]r
1s0
0.5
1
0
20
40
0
20
40
60
0
100
200
Figura 23: Caracterísiticas de partida do motor d.c. shunt de 5 hp N = 3.
regime permanente com torque de carga nominal (29,2 N.m) aplicado ao eixo do rotor.
O torque de carga é então repentinamente diminuído para 50% do valor nominal. O
rotor acelera e se restabelecem as condições de operação em regime permanente nas novas
condições de carga.
A corrente de armadura (ia) e a velocidade do rotor (ωr) são apresentadas. É claro
que, como a corrente de campo é mantida constante o torque eletromagnético (Te) é
idêntico à corrente de armadura, diferindo apenas por uma constante de multiplicação.
É importante notar a pequena mudança na velocidade do rotor para uma mudança no
torque de carga de 50%. Em plena carga a velocidade do rotor é de 127,7 rad/s e na
condição de 50% da carga ela é de 130,4 rad/s. Isto representa aproximadamente 2% de
variação na velocidade do rotor para 50% de variação na carga.
45
0
10
20
100
150
1s
I [A]a
w [rad/s]r
125
Decréscimo de 50% 
do torque em relação
ao torque nominal
Figura 24: Desempenho dinâmico de um motor cc shunt após uma brusca redução no
torque de carga.
As características de operação e a resposta dinâmica de um motor c.c. shunt de
potência maior podem ser ilustrados usando uma máquina de 200 hp com os seguintes
parâmetros:
P = 200 hp
Vn = 50 V
ωr = 600 RPM
Rf = 12 Ω
LFF = 9 H
LAF = 0,18 H
ra = 0,012 Ω
LAA = 0,00035 H
A inércia total do rotor e da carga é de 30 kg.m2. Os resultados de simulação são
apresentados na Figura 25.
Novamente pode-se observar pequena variação na velocidade (aproximadamente 5%)
para uma variação importante na carga.
46
300
400
500
600
700
61
62
63
64
65
66
I [A]a
w [rad/s]r
0,2 s
Decréscimo de 50% 
do torque em relação
ao torque nominal
Figura 25: Desempenho dinâmico de um motor cc shunt após uma brusca redução de 50%
no torque de carga (potência 200 hp).
47
3 Teoria de Eixos de Referência
No caso de máquinas síncronas e assíncronas, as equações de tensão envolvem indu-
tâncias que são função da posição ou velocidade.
Neste caso, uma mudança conveniente de variáveis pode ser empregada para facilitar
o tratamento do problema.
3.1 Equações de transformação - mudança de
variáveis
fqd0s = Ksfabcs (3.1)
onde
fqd0s
T =
[
fqs fds f0s
]
(3.2)
fabcs
T =
[
fas fbs fcs
]
(3.3)
Ks =
2
3

cos (θ) cos
(
θ − 2
3
π
)
cos
(
θ + 2
3
π
)
sen (θ) sen
(
θ − 2
3
π
)
sen
(
θ + 2
3
π
)
1
2
1
2
1
2
 (3.4)
θ =
∫ t
0
ω (ζ) dζ + θ (0) (3.5)
onde ζ é simplesmente uma variável de integração. Demonstra-se que a inversa da trans-
formação vale:
K−1s =

cos (θ) sen (θ) 1
cos
(
θ − 2
3
π
)
sen
(
θ − 2
3
π
)
1
cos
(
θ + 2
3
π
)
sen
(
θ + 2
3
π
)
1
 (3.6)
Nas equações acima, f representa tensões ou correntes ou enlaces de fluxo ou ainda
48
cargas elétricas. O superescrito T denota o transposto da matriz. O subscrito s indica
variáveis, parâmetros e transformações associadas com circuitos estacionários.
Apesar que a transformação para um sistema de referências arbitrário é uma mudança
de variáveis, não necessitando de conotação física. É interessante visualizar a transforma-
ção sob a forma de relações trigonométricas entre variáveis como mostrado na Figura 26.
asf
csf
bsf
qsf
dsf
q
w
Figura 26: Transformação de variáveis (representação trigonométrica).
As equações da transformação podem ser vistas como se as variáveis fds e fqs são
variáveis direcionadas segundo eixos ortogonais entre si e rodando à uma velocidade ω.
As variáveis fas, fbs e fcs são variáveis situadas ao longo de eixos estacionários e defasados
de 120◦.
Multiplicando-se a primeira linha de (3.4) por fas, fbs, fcs obtém-se fqs. Analogamente
obtém-se fds multiplicando-se a segunda linha de (3.4) por fas, fbs, fcs. As variáveis f0s não
aparecem na representação trigonométrica da Figura 26. Na verdade elas se relacionam
somente aritmeticamente com as variáveis a, b e c, independentemente de θ.
Esta transformação é particularmente conveniente para ser aplicada às máquinas de
corrente alternada (ac), onde a direção de fas, fbs , fcs podem ser vistas como as direções
dos eixos magnéticos dos enrolamentos do estator. Oportunamente, veremos que as dire-
ções de fds e fqs podem ser consideradas como os eixos magnéticos de "novos"enrolamentos
criados pela mudança de variáveis.
49
3.1.1 Equações de Potência
A potência instantânea total pode ser expressa, em variáveis abc como:
Pabcs = vasias + vbsibs + vcsics (3.7)
A potência total expressa em variáveis qd0 deve ser igual à potência total expressa
em variáveis abc.
Pqd0s = Pabcs = v
T
abcsiabcs = {K−1s vqd0s}T{K−1s iqd0s}
= vTqd0s{K−1s }T{K−1s }iqd0s
=
3
2
(vqsiqs + vdsids + 2v0si0s) (3.8)
O fator 3/2 aparece devido à escolha da constante usada na transformação.
3.2 Transformação de variáveis do circuito
estacionário para o circuito de referência
arbitrário
3.2.1 Elementos Resistivos
Em um circuito trifásico resistivo tem-se:
vabcs = rsiabcs (3.9)
Usando-se (3.1) pode-se escrever:
K−1s vqd0s = rsK
−1
s iqd0s (3.10)
vqd0s = KsrsK
−1
s iqd0s (3.11)
Em todos os estatores os enrolamentos das fases das máquinas síncronas e assíncronas
são projetadas para terem as mesmas resistências. Isto significa que a matriz [r] é uma
matriz diagonal e então:
KsrsK
−1
s = rs (3.12)
e
vqd0s = rsiqd0s (3.13)
50
3.2.2 Elementos Indutivos
Para um circuito trifásico indutivo, tem-se:
vabcs = λ̇abcs (3.14)
Onde o superscrito ˙ significa d/dt. Usando (3.1) obtém-se:
K−1s vqd0s =
d
dt
{
Ks
−1λqd0s
}
= K̇s
−1
λqd0s + K
−1
s λ̇qd0s (3.15)
vqd0s = KsK̇s
−1
λqd0s + KsKs
−1︸ ︷︷ ︸
Matriz Identidade [I]
λ̇qd0s (3.16)
vqd0s = KsK̇s
−1
λqd0s + λ̇qd0s (3.17)
A matriz K̇s
−1
pode ser deduzida e vale:
K̇s
−1
= ω

−sen θ cos θ 0
−sen (θ − 2π/3) cos (θ − 2π/3) 0
−sen (θ + 2π/3) cos (θ + 2π/3) 0
 (3.18)
O produto KsK̇s
−1
pode ser escrito como:
KsK̇s
−1
= ω

0 1 0
−1 0 0
0 0 0
 (3.19)
A forma final da equação (3.17) ficará:
vqd0s = ωλdqs︸ ︷︷ ︸
Termo que depende
da velocidade
(tensões de velocidade)
+ λ̇qd0s︸ ︷︷ ︸
Termo que depende
da derivada do fluxo
(ou da indutância)
(3.20)
O termo λ dqs vale: 
λds
−λqs
0
 (3.21)
51
3.2.2.1 Exemplo
A Figura 27 mostra o enrolamento estatórico de uma máquina de indução simétrica
ou de uma máquina síncrona de rotor liso.
ias
vas
ibs
vbs
ics
vcs
MM
M
rs
Lsrs
Ls
Ls
rs
Figura 27: Enrolamento estatórico de uma máquina de indução simétrica ou de uma
máquina de rotor liso.
Neste caso:
Ls = Lls + Lms (3.22)
M = −1
2
Lms (3.23)
No entanto, isto não descreve completamente a máquina uma vez que os enrolamentos
do rotor não estão presentes.
Matrizes correspondentes:
rs =

rs 0 0
0 rs 0
0 0 rs
 (3.24)
Ls =

Ls M M
M Ls M
M M Ls
 (3.25)
Tensões:
va1 = vasR + vasl
vb1 = vbsR + vbsl
vc1 = vcsR + vcsl
(3.26)
vqd0s = KsrsK
−1
s iqd0s + ωλdqs + λ̇qd0s (3.27)
52
vq = rsiqs + ωλds +
d
dt
λqs (3.28)
vds = rsids − ωλds +
d
dt
λds (3.29)
v0s = rsi0s +
d
dt
λ0s (3.30)
λqd0s = KsLsKs
−1iqd0s
Por analogia com o exemplo anterior,
(3.31)
λ qd0s =

Ls −M 0 0
0 Ls −M 0
0 0 Ls + 2M


iq
id
i0
 (3.32)
Os circuitos elétricos equivalentes são mostrados na Figura 28.
vqs
wldsrs
iqs
sL M-
(a)Somente q
vds
wlqsrs
ids
sL M-
(b)Somente d
v0s
rs
i0s
2sL M+
(c)Somente 0
Figura 28: Circuitos elétricos equivalentes.
Para um sistema linear, os enlaces de fluxo podem ser expressos por:
λabcs = Lsiabcs (3.33)
53
Usando-se (3.1) pode-se reescreveu (3.33) como:
λqd0s= KsLsK
−1
s iqd0s (3.34)
Dependendo da máquina elétrica a matriz Ls pode não ser diagonal e também não
simétrica (por exemplo no caso de uma máquina síncrona de polos salientes). Para con-
servar a generalidade, mantém-se então o desenvolvimento da equação (3.34) até este
ponto.
3.2.3 Elementos Capacitivos
Em um circuito trifásico capacitivo, tem-se:
iabcs = q̇abcs (3.35)
Substituindo-se (3.1), resulta:
K−1s iqd0s =
d
dt
{K−1s qqd0s} = K̇s
−1
qqd0s + K
−1
s q̇qd0s (3.36)
iqd0s = KsK̇s
−1
qqd0s + KsKs
−1︸ ︷︷ ︸
[I]
q̇qd0s (3.37)
Substituindo-se (3.19) na equação acima fica-se:
iqd0s = ωqqd0s︸ ︷︷ ︸
Termo que depende
da velocidade
(correntes de velocidade)
+ q̇dqs︸︷︷︸
Termo que depende
da derivada
da carga
(3.38)
O termo qdqs vale: 
qds
−qqs
0
 (3.39)
3.3 Anexo: Transformação de um conjunto de
variáveis balanceadas
Embora as equações de transformação sejam válidas independentemente da forma de
onda das variáveis, é interessante considerar as características da transformação quando
um sistema trifásico é simétrico e as tensões e correntes formam um conjunto trifásico
54
balanceado de sequência abc como dado pelas equações (3.40) à (3.43). Um conjunto
trifásico é geralmente definido como um conjunto de grandezas senoidais de mesma am-
plitude defasadas de 120◦. Uma vez que a soma deste conjunto é zero, as variáveis 0 são
nulas.
fas =
√
2fs cos (θef ) (3.40)
fbs =
√
2fs cos (θef − 2π/3) (3.41)
fcs =
√
2fs cos (θef + 2π/3) (3.42)
onde fs, no caso mais geral, pode ser uma função do tempo e:
θef =
∫ t
0
ωe (ζ) dζ + θef (0) (3.43)
Substituindo (3.40) à (3.42) na transformação para o sistema de referência arbitrário
(3.4) obtém-se:
fqs =
√
2fs cos (θef − θ) (3.44)
fds = −
√
2fssen (θef − θ) (3.45)
f0s = 0 (3.46)
Com as variáveis trifásicas dadas em (3.40) à (3.42), as variáveis nos eixos q e d formam
um conjunto bifásico balanceado em todos os sistemas de referência exceto quando ω = ωe,
isto é, no sistema de referência girando à velocidade síncrona, onde elas são constantes:
e
fqs =
√
2fs cos [θef (0)− θe (0)] (3.47)
e
fds = −
√
2fssen [θef (0)− θe (0)] (3.48)
3.4 Anexo: Relações fasoriais balanceadas em regime
permanente
Para condições balanceadas em regime permanente ωe é constante e as equações (3.40)
à (3.42) podem ser escritas:
Fas =
√
2Fs cos [ωet+ θef (0)] = <e
[√
2Fse
jθef (0)ejωet
]
(3.49)
Fbs =
√
2Fs cos [ωet+ θef (0)− 2π/3] = <e
[√
2Fse
[jθef (0)−2π/3]ejωet
]
(3.50)
55
Fcs =
√
2Fs cos [ωet+ θef (0) + 2π/3] = <e
[√
2Fse
[jθef (0)+2π/3]ejωet
]
(3.51)
As letras maiúsculas são usadas aqui para denotar grandezas em regime permanente.
Se a velocidade do eixo de referência arbitrário é uma constante não especificada, pode-se
expressar as equações (3.44) e (3.45) da seguinte maneira:
Fqs =
√
2Fs cos[(ωe − ω)t+ θef (0)− θ(0)]
= <e[
√
2Fse
j[θef (0)−θ(0)]ej(ωe−ω)t] (3.52)
Fds =
√
2Fs sen[(ωe − ω)t+ θef (0)− θ(0)]
= <e[j
√
2Fse
j[θef (0)−θ(0)]ej(ωe−ω)t] (3.53)
Da equação (3.49), o fasor que representa as variáveis as é:
F̃as = Fse
jθef (0) (3.54)
Se ω 6= ωe, então Fqs e Fds são grandezas senoidais, e de (3.52) e (3.53):
F̃qs = Fse
j[θef (0)−θ(0)] (3.55)
F̃ds = jFse
j[θef (0)−θ(0)] = jF̃qs (3.56)
Nós temos a liberdade de perder escolher θ(0), escolhendo θ(0) = 0,tem-se:
F̃as = F̃qs (3.57)
Então, para os eixos de referência assíncronos (ω 6= ωe) e com θ(0) = 0, o fasor que
representa as variáveis as é igual ao fasor que representa as variáveis qs. Em condições de
regime permanente balanceadas, o fasor que representa as variáveis de uma fase precisa
somente ser rodado para representar as variáveis nas outras fases.
No eixo de referência síncrono ω = ωe e θ = θe e se continuar usando letras maiúsculas
para denotar variáveis constantes em regime permanente, pode-se reescrever (3.52) e (3.53)
da seguinte forma:
e
Fqs =
√
2Fs cos [θef (0)− θe (0)] (3.58)
e
Fds = −
√
2Fssen [θef (0)− θe (0)] (3.59)
56
Se supormos θe(0) = 0, tem-se:
e
Fqs =
√
2Fs cos [θef (0)] (3.60)
e
Fds = −
√
2Fssen [θef (0)] (3.61)
Então:
√
2F̃as =
e
Fqs−j
e
Fds (3.62)
F̃as é um fasor que representa grandeza senoidal; no entanto
e
Fqs e
e
Fds não são fasores.
57
4 Teoria das máquinas de indução
simétricas
A máquina de indução é usada em uma larga variedade de aplicações na conversão
de energia eletromecânica. É sem dúvida a mais empregada na indústria. No início desta
parte, técnicas clássicas são utilizadas para estabelecer equações de tensão e torque para
uma máquina de indução simétrica, expressões essas em termos de variáveis da máquina.
Após, a transformação para um sistema de referência arbitrário, como visto no Capítulo 3
é modificada para acomodar também circuitos girantes. Após este trabalho de base,
as equações da máquina serão escritas no eixo de referência arbitrário, diretamente sem
passar pelas substituições trigonométricas complicadas, isto é, os resultados finais serão
diretamente mostrados. Ao leitor que desejar verificar as passagens matemáticas deseja-se
boa sorte.
4.1 Equações de tensão em variáveis da máquina
A disposição dos enrolamentos para uma máquina de indução trifásica de dois polos
e conectada em estrela é mostrada na Figura 29.
Os enrolamentos estatóricos são idênticos e distribuídos senoidalmente, estando dis-
postos a 120◦ um dos outros. Os enrolamentos do estator possuem Ns espiras e resistência
rs. Na análise, considera-se os enrolamentos do rotor como sendo três enrolamentos idên-
ticos, distribuídos senoidalmente, defasados de 120◦, com Nr espiras, possuindo resistência
rr. A direção positiva dos eixos de cada enrolamento é mostrada na Figura 29.
As equações de tensão em variáveis da máquina podem ser expressas por:
vabcs = rsiabcs + λ̇abcs (4.1)
vabcr = rriabcr + λ̇abcr (4.2)
58
as¢
as
bs
bs¢ cs¢
cs
ar¢
ar
br
br¢
cr
cr¢
dsf
eixo as
eixo ar
eixo bs
eixo br
eixo cs
eixo cr
(a)
ias
vcs
vas
ics
vbs rs
Nsrs
Ns
Ls
rs
ibs
vcr
vbr
var
rr
Nr
rr
Nr
Lr
rr
iar
icr
ibr
(b)
Figura 29: Máquina de indução de 2 polos, trifásica, conectada em estrela.
Nas equações (4.1) e (4.2) o subscrito s denota variáveis e parâmetros associados com
circuitos do estator, e o subscrito r denota variáveis e parâmetros associados com circuitos
do rotor. Ambos rs e rr são matrizes diagonais com termos não nulos e iguais. Para um
sistema magnético linear, os enlaces de fluxo podem ser expressos por:[
λabcs
λabcr
]
=
[
Ls Lsr
Lsr
T Lr
]
=
[
iabcs
iabcr
]
(4.3)
As indutâncias dos enrolamentos são como a seguir:
Ls =

Lls + Lms −12Lms −
1
2
Lms
−1
2
Lms Lls + Lms −12Lms
−1
2
Lms −12Lms Lls + Lms
 (4.4)
Lr =

Llr + Lmr −12Lmr −
1
2
Lmr
−1
2
Lmr Llr + Lmr −12Lmr
−1
2
Lmr −12Lmr Llr + Lmr
 (4.5)
Lsr =

cos θr cos
(
θr +
2π
3
)
cos
(
θr − 2π3
)
cos
(
θr − 2π3
)
cos θr cos
(
θr +
2π
3
)
cos
(
θr +
2π
3
)
cos
(
θr − 2π3
)
cos θr
 (4.6)
onde, nas equações (4.4), (4.5) e (4.6):
Lls
∆
= indutância de dispersão dos enrolamentos do estator (cabeça bobina);
59
Lms =
(
Ns
2
)2 πµ0rl
g
∆
= indutância de magnetização dos enrolamentos do estator (r é o raio
médio do entreferro de espessura g e l é o comprimento axial do entreferro);
Llr
∆
= indutância de dispersão dos enrolamentos do rotor;
Lmr =
(
Nr
2
)2 πµ0rl
g
∆
= indutância de magnetização dos enrolamentos do rotor;
Lsr =
(
Ns
2
) (
Nr
2
)
πµ0rl
g
∆
= amplitude das indutâncias mútuas entre os enrolamentos do
estator e do rotor.
Para exprimir as equações de tensão em variáveis da máquina é conveniente referir
todas as variáveis do rotor para os enrolamentos do estator por intermédio de relações de
espiras:
i′abcr =
Nr
Ns
iabcr (4.7)
v′abcr =
Nr
Ns
vabcr (4.8)
λ′abcr =
Ns
Nr
λabcr (4.9)
A partir das definições de Lms e Lsr pode-se escrever:
Lms =
Ns
Nr
Lsr (4.10)
Vamos definir:
L′sr
∆
=
Ns
Nr
Lsr (4.11)
Usando-se então (4.6) e (4.10), tem-se:
L′sr = Lms

cos θr cos
(
θr +
2π
3
)
cos
(
θr − 2π3
)
cos
(
θr − 2π3)
cos θr cos
(
θr +
2π
3
)
cos
(
θr +
2π
3
)
cos
(
θr − 2π3
)
cos θr
 (4.12)
Verifica-se igualmente das definições de Lmr e Lms que:
Lmr =
(
Nr
Ns
)2
Lms (4.13)
Se definirmos:
L′r
∆
=
(
Ns
Nr
)2
Lr (4.14)
60
e se usarmos (4.13) e (4.14) em (4.5) teremos:
L′r =

Llr
′ + Lms −12Lms −
1
2
Lms
−1
2
Lms Llr
′ + Lms −12Lms
−1
2
Lms −12Lms Llr
′ + Lms
 (4.15)
onde
Llr
′ =
(
Ns
Nr
)2
Llr (4.16)
As equações de enlace de fluxo podem agora serem escritas:[
λabcs
λ′abcr
]
=
[
Ls L
′
sr
L′sr
T L′r
][
iabcs
i′abcr
]
(4.17)
As equações de tensão expressas em termos das variáveis da máquina e referidas aos
enrolamentos do estator podem agora serem escritas:[
vabcs
v′abcr
]
=
[
rs + L̇s L̇
′
sr
L̇′
T
sr r
′
r + L̇
′
r
][
iabcs
i′abcr
]
(4.18)
onde
r′r =
(
Ns
Nr
)2
rr (4.19)
4.2 Equações de torque em variáveis da máquina
A energia armazenada é a soma das indutâncias próprias de cada enrolamento multi-
plicada pela metade do quadrado de suas correntes e todas as indutâncias mútuas vezes
as correntes nos dois enrolamentos acoplados pelas indutâncias mútuas.
Então, a energia armazenada no campo de acoplamento pode ser escrita.
Wf =
1
2
(iabcs)
T (Ls − Lls[I])iabcs + (iabcs)TL′sri′abcr
+
1
2
(i′abcr)
T (L′r − L′lr[I])i′abcr (4.20)
onde [I] é a matriz identidade. É claro que a energia armazenada nas indutâncias de
dispersão Lls e L′lr não entra na energia armazenada no campo de acoplamento.
A variação de energia em um sistema rotacional com uma entrada mecânica pode ser
61
escrita como:
dWm = −Tedθrm (4.21)
onde:
Te é o torque eletromagnético positivo para funcionamento do motor;
θrm é o ângulo de deslocamento do rotor.
Os enlaces de fluxo, correntes, a energia Wf e a coenergia magnética Wc são todas
expressas em função do ângulo elétrico θr. Sabe-se que:
θr =
P
2
θrm (4.22)
onde P é o número de polos da máquina. Pode-se então reescrever (4.21) com (4.22) e
tem-se:
dWm = −Te
(
2
P
)
dθr (4.23)
O torque eletromagnético pode ser facilmente determinado à partir da coenergia mag-
nética. Em um meio linear (o que é suposto neste estudo), a energia elétrica é igual à
coenergia magnética:
Wf = Wc (4.24)
Tem-se então como expressão para o torque:
Te = −
(
P
2
)
dWc
dθr
(4.25)
ou
Te = −
(
P
2
)
iabcs
T ∂
∂θr
L′sri
′
abcr (4.26)
Em forma expandida, (4.26) fica, após transformação trigonométrica:
Te = −
(
P
2
)
Lms
{[
ias
(
iar
′ − 1
2
ibr
′ − 1
2
icr
′
)
+ ibs
(
ibr
′ − 1
2
iar
′ − 1
2
icr
′
)
+ics
(
icr
′ − 1
2
ibr
′ − 1
2
iar
′
)]
senθr +
√
3
2
[ias (ibr
′ − icr ′) + ibs (icr ′ − iar ′)
+ics (iar
′ − ibr ′)] cos θr} (4.27)
O torque e a velocidade são relacionados pela equação de oscilação:
Te = J
(
2
P
)
ω̇r +Tl (4.28)
62
onde J ∆= inércia do rotor e se for o caso mais a inércia da carga eventualmente conectada
[kg ·m2].
4.3 Equações de transformação para circuitos do rotor
No Capítulo 3 o circuito de eixo de referência arbitrário foi introduzido e aplicado
à circuitos estacionários. No caso do motor de indução é também desejável transformar
as variáveis associadas aos enrolamentos do rotor, ao eixo de referência arbitrário. Uma
mudança de variáveis dos circuitos do rotor para a referência arbitrária é:
f ′qd0r = Krf
′
abcr (4.29)
onde
f ′qd0r
T
=
[
fqr
′ fdr
′ f0r
′
]
(4.30)
f ′abcr
T
=
[
far
′ fbr
′ fcr
′
]
(4.31)
Kr =
2
3

cos β cos
(
β − 2π
3
)
cos
(
β + 2π
3
)
senβ sen
(
β − 2π
3
)
sen
(
β + 2π
3
)
1
2
1
2
1
2
 (4.32)
β = θ − θr (4.33)
O ângulo θ foi definido anteriormente (eq. (3.5)) e θr é definido abaixo:
θr =
∫ t
0
ωr (ζ) dζ + θr (0) (4.34)
onde ζ é uma variável de integração, simplesmente.
A inversa de Kr é:
K−1r =

cos β senβ 1
cos
(
β − 2π
3
)
sen
(
β − 2π
3
)
1
cos
(
β + 2π
3
)
sen
(
β + 2π
3
)
1
 (4.35)
O subscrito r indica variáveis, parâmetros e transformações associadas com circuitos
63
rotativos.
É claro que a transformação acima é análoga à apresentada no Capítulo 3 para cir-
cuitos estacionários, com β no lugar de θ. A transformação é ilustrada na Figura 30.
asf
crf ¢
brf ¢
qrf ¢
drf ¢
q
w
arf ¢
rw
b
rq
Figura 30: Transformação para circuitos rotativos por relações trigonométricas.
4.4 Equações de tensão em um sistema de
referências arbitrário
Utilizando-se as informações do Capítulo 3, pode-se escrever as equações de tensão
em um sistema de referência arbitrário:
vqd0s = rsiqd0s + ωλdqs + λ̇qd0s (4.36)
v′qd0r = r
′
ri
′
qd0r + (ω − ωr)λ′dqr + λ̇′qd0r (4.37)
onde:
λdqs
T =
[
λds −λqs 0
]
(4.38)
λ′dqr
T =
[
λ′dr −λ′qr 0
]
(4.39)
Para escrever na forma final as equações de tensão acima, resta determinar as equações
de enlace de fluxo. Para isto utiliza-se as Equações (3.1) e (4.29) na Eq. (4.17), o que
64
leva a: [
λqd0s
λ′qd0r
]
=
[
KsLsKs
−1 KsL
′
srKr
−1
KrL
′
sr
TKs
−1 KrL
′
rKr
−1
][
iqd0s
i′qd0r
]
(4.40)
onde Ls é definido em (4.4), L′sr em (4.12) e L′r em (4.15). Pode-se mostrar que:
(a)
KsLsKs
−1 =

Lls +M 0 0
0 Lls +M 0
0 0 Lls
 (4.41)
onde M =
3
2
Lms
(b)
KrL
′
rKr
−1 =

Llr
′ +M 0 0
0 L′lr +M 0
0 0 Llr
′
 (4.42)
(c)
KsL
′
srKr
−1 = KrL
′
sr
T
Ks
−1 =

M 0 0
0 M 0
0 0 0
 (4.43)
As equações de tensão podem ser escritas em forma expandida. Das equações (4.35)
e (4.36) tem-se:
vqs = rsiqs + ωλds + λ̇qs (4.44)
vds = rsids − ωλqs + λ̇ds (4.45)
v0s = rsi0s + λ̇0s (4.46)
v′qr = r
′
ri
′
qr + (ω − ωr)λ′dr + λ̇′qr (4.47)
v′dr = r
′
ri
′
dr − (ω − ωr)λ′qr + λ̇′dr (4.48)
v′0r = r
′
ri
′
0r + λ̇
′
0r (4.49)
Substituindo (4.40), (4.42) e (4.43) em (4.39) obtém-se as equações de enlace de fluxo.
Na forma expandida, tem-se:
λqs = Llsiqs +M(iqs + i
′
qr) (4.50)
λds = Llsids +M(ids + i
′
dr) (4.51)
65
λ0s = Llsi0s (4.52)
λ′qr = L
′
lri
′
qr +M(iqs + i
′
qr) (4.53)
λ′dr = L
′
lri
′
dr +M(ids + i
′
dr) (4.54)
λ′0r = L
′
lri
′
0r (4.55)
As equações de tensão e enlace de fluxo podem ser representados pelos circuitos equi-
valentes da Figura 31.
rr¢rL¢
MLvqs
sL
wldsrs
(w-w )lr dr’
iqs
qrv¢
qri¢
(a)
rr¢rL¢
MLvds
sL
wlqsrs
(w-w )lr qr’
iqs dri¢
drv¢
(b)
lsLv0s
rs
i0s
lrL¢
rr¢
0rv¢
0ri¢
(c)
Figura 31: Circuitos equivalentes para um sistema de referências arbitrário para um motor
de indução trifásico.
Uma vez que os parâmetros das máquinas são geralmente dados em ohms ou em "por
unidade"(pu), é conveniente expressar as equações de tensão e enlace de fluxo em termos
de reatâncias ao invés de indutâncias. As Equações (4.44) à (4.48) tornam-se então:
vqs = rsiqs +
ω
ωb
ψds +
d
dt
1
ωb
ψqs (4.56)
vds = rsids −
ω
ωb
ψqs +
d
dt
1
ωb
ψds (4.57)
v0s = rsi0s +
d
dt
1
ωb
ψ0s (4.58)
66
v′qr = r
′
ri
′
qr +
(
ω − ωr
ωb
)
ψ′dr +
d
dt
1
ωb
ψ′qr (4.59)
v′dr = r
′
ri
′
dr −
(
ω − ωr
ωb
)
ψ′qr +
d
dt
1
ωb
ψ′dr (4.60)
v′0r = r
′
ri
′
0r +
d
dt
1
ωb
ψ′0r (4.61)
onde ωb é a velocidade angular elétrica com a qual as reatâncias indutivas foram calculadas
ou determinadas. As equações de enlace de fluxo podem ser escritas agora como:
ψqs = Xlsiqs +XM(iqs + i
′
qr) (4.62)
ψds = Xlsids +XM(ids + i
′
dr) (4.63)
ψ0s = Xlsi0s (4.64)
ψ′qr = X
′
lri
′
qr +XM(iqs + i
′
qr) (4.65)
ψ′dr = X
′
lri
′
dr +XM(ids + i
′
dr) (4.66)
ψ′0r = X
′
lri
′
0r (4.67)
4.5 Equação do torque em variáveis do sistema de
referência arbitrário
A expressão do torque eletromagnético em termos das variáveis do sistema de refe-
rência arbitrário pode ser obtida pela substituição das equações de transformação em
(4.26).
Te =
(
P
2
){
Ks
−1iqd0s
}T ∂
∂θr
L′srK
−1
r i
′
qd0r (4.68)
Desta expressão, a equação do torque em termos de corrente é:
Te =
(
3
2
)(
P
2
)
M (iqsidr
′ − idsiqr ′) (4.69)
4.6 Análise da operação em regime permanente
Para condições balanceadas as grandezas 0 do estator e do rotor são nulas, e à partir do
que foi visto na Seção 3.3 e Seção 3.4, sabe-se que para condições balanceadas em regime
permanente as variáveis nos eixos d e q são senoidais em todosos eixos de referência
exceto para o eixo de referência girando à velocidade síncrona onde estas grandezas são
67
constantes. Então, um método para obter-se as equações de tensão em regime permanente
em condições balanceadas é baseado no fato de que, como foi visto na Seção 3.3 e Seção 3.4:
F̃ds = jF̃qs (4.70)
e que com θ(0) = 0
F̃qs = F̃as (4.71)
Uma vez que a máquina de indução é um dispositivo simétrico, as equações (4.70) e
(4.71) também se aplicam às correntes do estator e aos enlaces de fluxo. Analogamente,
as variáveis do rotor em regime permanente são relacionadas por:
F̃ ′dr = jF̃
′
qr (4.72)
e selecionando-se θ(0) = 0 e θr(0) = 0, fica-se com:
F̃ ′qr = F̃
′
ar (4.73)
Nas equações (4.56) e (4.59), nas condições de regime permanente balanceado e com
variações senoidais, as derivadas d/dt pode ser substituídas por j(ωe−ω), e tem-se então:
Ṽqs = rsĨqs +
ω
ωb
ψ̃ds + j
(
ωe − ω
ωb
)
ψ̃qs (4.74)
Ṽ ′qr = r
′
rĨ
′
qr +
(
ω − ωr
ωb
)
ψ̃′dr + j
(
ωe − ω
ωb
)
ψ̃′qr (4.75)
Substituindo-se (4.70) e (4.72) nas equações (4.74) e (4.75) tem-se:
Ṽqs = rsĨqs + j
ωe
ωb
ψ̃qs (4.76)
Ṽ ′qr = r
′
rĨ
′
qr + j
(
ωe − ωr
ωb
)
ψ̃′qr (4.77)
As bem conhecidas equações fasoriais de tensão em regime permanente, válidas para
qualquer eixo de referência assíncrono, são obtidas substituindo-se a forma fasorial de
(4.62) e (4.65) para ψ̃qs e ψ̃′qr„ respectivamente, na (4.76) e (4.77), e empregando (4.71) e
(4.72) para substituir as variáveis com subscrito qs e qr por variáveis as e ar.
Ṽas =
(
rs + j
ωe
ωb
Xls
)
Ĩas + j
ωe
ωb
XM(Ĩas + Ĩ
′
ar) (4.78)
68
Ṽ ′ar
s
=
(
r′r
s
+ j
ωe
ωb
X ′lr
)
Ĩ ′ar + j
ωe
ωb
XM(Ĩas + Ĩ
′
as) (4.79)
onde o escorregamento s é definido como:
s =
ωe − ωr
ωe
(4.80)
As equações (4.78) e (4.78) podem ser representadas pelo circuito da Figura 32.
sr
e
ls
b
j Xw
w
asV%
rr
s
¢e
lr
b
j Xw
w
¢
arV
s
¢%
arI¢%asI%
e
M
b
j Xw
w
Figura 32: Circuito equivalente para operação em regime permanente de uma máquina
de indução simétrica.
Embora ωe/ωb geralmente não é incluido nas equações de tensão em regime perma-
nente, isto faz com que as equações (4.78) e (4.79) sejam válidas para quaisquer frequên-
cias da tensão aplicada (mesmo quando a frequência ωb com a qual as reatâncias foram
determinadas for diferente das frequência da tensão aplicada ao circuito equivalente).
O torque eletromagnético em regime permanente pode ser expresso em termos das
correntes na forma fasorial escrevendo-se o torque em termos de correntes no eixo de
referência síncrono. Após utiliza-se as equações abaixo obtidas nos anexos do Capítulo 3:
√
2F̃as =
e
F qs − j
e
F ds (4.81)
√
2F̃ar
′ =
e
F qr
′ − j
e
F dr
′ (4.82)
O torque eletromagnético ficará então:
Te = 3
(
P
2
)(
XM
ωb
)
<e[jĨ∗asĨ ′ar] (4.83)
onde Ĩ∗as é o conjugado de Ĩas.
A característica torque-velocidade ou torque-escorregamento em condições de regime
permanente balanceado de uma máquina de induções merece discussão. A grande maioria
69
das máquinas de indução em operação nos dias atuais são excitadas somente no estator,
sendo que os enrolamentos do rotor são curto-circuitados. Além disto, a grande maioria
das máquinas de indução possuem rotor do tipo gaiola de esquilo. Nestas condições Ṽ ′ar é
zero e tem-se:
Ĩ ′ar = −
j(ωe/ωb)XM
r′r/s+ j(ωe/ωb)X
′
rr
Ĩas (4.84)
onde
X ′rr
∆
= (X ′lr +XM) (4.85)
Substituindo-se (4.84) em (4.83) tem-se:
Te =
3
(
P
2
)(
ωe
ωb
)(
X2M
ωb
)(rr′
s
) ∣∣∣Ĩas∣∣∣2(
r′r
s
)2
+
(
ωe
ωb
)2
X ′rr
2
(4.86)
A impedância de entrada do circuito equivalente da Figura 32 com Ṽ ′ar igual a zero,
é:
Z =
rsrr
′
s
+
(
ωe
ωb
)2 (
XM
2 −XssXrr ′
)
+ j
ωe
ωb
(
rr
′
s
Xss + rsXrr
′
)
rr
′
s
+ j
ωe
ωb
Xrr
′
(4.87)
onde
Xss
∆
= Xls +XM (4.88)
Sabe-se que ∣∣∣Ĩas∣∣∣ =
∣∣∣Ṽas∣∣∣
|Z|
(4.89)
A equação do torque para uma máquina de indução com o rotor em gaiola ou curto-
circuitado pode ser escrita como:
Te =
3
(
P
2
)
ωe
ωb
(
XM
2
ωb
)
rr
′s
∣∣∣Ṽas∣∣∣2[
rsrr ′ + s
(
ωe
ωb
)2 (
XM
2 −XssXrr ′
)]2
+
(
ωe
ωb
)2(
rr ′Xss + srsXrr
′)2 (4.90)
A característica torque-velocidade ou torque-escorregamento típica de máquinas de
indução com o rotor em curto-circuito é mostrada na Figura 33 onde ωe = ωb.
Uma expressão para o escorregamento para torque máximo pode ser obtida derivando-
se (4.90) em relação ao escorregamento e igualando o resultado à zero. Desta maneira
70
obtém-se:
sm = r
′
rG (4.91)
onde
G = ±

(
ωe
ωb
)−2
rs
2 +Xss
2
(
XM
2 −XssXrr ′
)2(ωe
ωb
)2
+ rs2X ′rr
2

1
2
(4.92)
-1 -0.8 -0,6 -0.20.4 0.2 0,4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 1.8 n /nm sinc
Te
M
o
to
r
G
e
ra
d
o
r
Figura 33: Característica torque-velocidade de uma máquina de indução com rotor curto-
circuitado.
Dois valores de escorregamento em torque máximo são obtidos, um em operação
motor e outro em operação gerador. É importante observar que o escorregamento a
torque máximo é diretamente proporcional a r′r. Consequentemente, se todos os outros
parâmetros da máquina forem mantidos constantes, a velocidade na qual o máximo torque
em regime permanente ocorrer pode ser variada inserindo-se resistências externas ao rotor.
Este método é muitas vezes usado na partida de grandes motores os quais apresentam
rotor bobinado com anéis deslizantes. Neste caso, resistências externas balanceadas são
inseridas de maneira que o máximo torque ocorra na partida. À medida que a máquina
acelera, as resistências externas são reduzidas até zero. Por outro lado, máquinas de
indução bifásicas usadas como servomotores são projetadas com enrolamentos rotóricos
de resistências elevada. Estes dispositivos são usados em equipamentos de posicionamento,
sendo que o rotor é geralmente estacionário e gira somente quando um sinal de erro faz com
que a tensão aplicada não seja nula. Consequentemente, torque máximo deve ser obtido
na situação de rotor parado ou próximo desta situação de maneira à obter-se resposta
rápida do sistema de posicionamento.
71
Se (4.91) for substituída em (4.90), o torque máximo é expresso por:
Te(max) =
3
(
P
2
)(
ωe
ωb
)(
XM
2
ωb
)
G
∣∣∣Ṽas∣∣∣2[
rs +G
(
ωe
ωb
)2 (
XM
2 −XssXrr ′
)]2
+
(
ωe
ωb
)2
(Xss +GrsXrr
′)
2
(4.93)
A Equação (4.93) é independente de r′r. Então, o torque máximo permanece constante
se r′r é variada. A Figura 34 ilustra o efeito de variação de r′r(r′r3 > r′r2 e r′r2 > r′r1).
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
0
Original Rrotor
3 x Rrotor
6 x Rrotot
T
e
M
ot
or
G
er
ad
or
m
sin c
w
w
Figura 34: Característica torque-velocidade de uma máquina de indução com rotor curto-
circuitado para vários valores de resistência do rotor.
4.7 Obtenção experimental dos parâmetros do
motor de indução
Os parâmetros do circuito equivalente da Figura 32 podem ser calculados usando
teoria de campos eletromagnéticos ou podem ser determinados à partir de ensaios.
Os ensaios geralmente efetuados são um teste corrente contínua, um teste à vazio ou
sem carga e um teste de rotor bloqueado. Como exemplo, sejam os dados à seguir obtidos
para uma máquina de indução trifásica de 5 hp, 4 polos, 220 volts e 60 Hz. Todos os
valores de tensão e corrente ac são expressos em valores eficazes na Tabela 2.
Tabela 2: Testes máquina de indução
Teste c.c. Teste à vazio Teste à rotor travado
Vdc = 13,8V Vnl = 220V Vbr = 23,5V
Idc = 13,0V Inl = 3,86A Ibr = 12,9A
Pnl = 200W Pbr = 469W
f = 60Hz f = 15Hz
72
Durante o teste c.c. uma tensão c.c. é aplicada entre dois terminais enquanto a
máquina está parada. Então:
rs =
1
2
Vdc
Idc
=
13,8
2× 13
= 0,531 Ω (4.94)
O teste à vazio, que é análogo ao teste de circuito aberto do transformador, é feito
aplicando-se tensões trifásicas balanceadas de 60Hz ao enrolamentos do estator, sem carga
mecânica na máquina. A potência de entrada durante este teste é a soma das perdas
ôhmicas no estator, as perdas no núcleo (ou ferro) devido à histerese e correntes induzidas,
e perdas rotacionais devidas ao atrito e ventilação. As perdas ôhmicasno estator são (Inl
é uma corrente de fase)
PĨ2rs = 3I
2
nlrs
= 3× (3,86)2 × 0,531 = 23,7 W (4.95)
Então, as perdas de potência devido ao atrito e ventilação e perdas no núcleo (em
perdas no ferro) são:
PfWe = Pnl − PĨ2rs
= 200− 23,7 = 176,3 W (4.96)
No circuito equivalente da Figura 32 estas perdas não são consideradas. Elas são
geralmente pequenas e na maioria dos casos um pequeno erro é introduzido se elas forem
desprezadas. Elas podem ser levadas em conta colocando um resistor "shunt"em paralelo
com a reatância de magnetização XM ou então aplicando uma pequena carga mecânica
(torque) ao eixo da máquina.
Nota-se do teste à vazio que o fator de potência é muito pequeno uma vez que a
potência aparente é (Vnl é uma tensão de linha).
|Snl| =
√
3VnlInl
=
√
3× 220× 3,86 = 1470,9 VA (4.97)
Portanto, a impedância à vazio é altamente indutiva e seu valor é suposto ser a soma
da reatância de dispersão do estator e da reatância de magnetização uma vez que a
velocidade do rotor é muito próxima da síncrona e neste caso r′r/s é muito maior do que
73
XM . Então:
Xls +XM ≈
Vnl√
3Inl
≈ 220√
3× 3,86
≈ 32,9 Ω (4.98)
Durante o teste de rotor bloqueado, que é análogo ao teste de curto-circuito do trans-
formador, o rotor é bloqueado externamente de alguma maneira e tensões trifásicas ba-
lanceadas são aplicadas ao estator. A frequência das tensões aplicadas é algumas vezes
menor do que a nominal de maneira a obter-se um valor representativo de r′r uma vez que,
durante operação normal, a frequência das correntes do rotor é baixa e as resistências do
rotor de algumas máquinas de indução variam consideravelmente com a frequência. A
rotor parado a impedância r′r + jX ′lr é muito menor em valor do que XM de maneira que
a corrente que circula na reatância de magnetização pode ser desprezada. Portanto:
Pbr = 3I
2
br(rs + r
′
r) (4.99)
Da qual tem-se:
r′r =
Pbr
3I2br
− rs
=
469
3× (12,9)2
− 0,531 = 0,408 Ω (4.100)
O rotor da impedância de entrada na condição de rotor parado é
|Zbr| =
Vbr√
3Ibr
=
23,5√
3× 12,9
= 1,052 Ω (4.101)
Então ∣∣∣∣(rs + r′r) + j 1560(Xls +X ′lr)
∣∣∣∣ = 1,052 Ω (4.102)
Da qual [
15
60
(Xls +X
′
lr)
]2
= (1,052)2 − (rs + r′r)2
= 1,0522 − (0,531 + 0,408)2 = 0,225 Ω (4.103)
74
Então
Xls +X
′
lr = 1,9 Ω (4.104)
Geralmente Xls e X ′lr são supostas iguais, no entanto, em alguns tipos de máquinas
de indução uma relação é sugerida 1.
Vamos supor Xls = X ′lr. Então, para ωb = 377 rad/s (frequência de 60 Hz), os
parâmetros são:
rs = 0,531 Ω
Xls = 0,95 Ω
XM = 31,95 Ω
r′r = 0,408 Ω
X ′lr = 0,95 Ω
4.8 Características de partida. Exemplos de
simulação
É interessante observar as variáveis de algumas máquinas de indução durante a par-
tida. Com este propósito, as equações diferenciais que descrevem a máquina de indução
foram simuladas em um computador. Os parâmetros das diferentes máquinas são dados
na Tabela 3.
Tabela 3: Parâmetros das máquinas de indução
Machine Rating Tn In(abc) rs Xls XM X ′lr r
′
r J
hp volts rpm N.m amps ohms ohms ohms ohms ohms kg.m2
3 220 1710 11,9 5,8 0,435 0,754 26,13 0,754 0,816 0,089
50 460 1705 198 46,8 0,087 0,302 13,08 0,302 0,228 1,662
500 2300 1773 1980 93,6 0,262 1,206 54,02 1,206 0,187 11,06
2250 2300 1786 8900 42,1 0,029 0,226 13,4 0,226 0,022 63,87
Cada máquina trifásica possui quatro polos e frequência nominal de 60 Hz. As tensões
na Tabela 3 são tensões de linha eficazes. A velocidade é a nominal.
As características torque versus velocidade durante a partida são mostradas para cada
máquina nas Figuras 35, 36, 37 e 38.
Em cada caso, a máquina é partida através da aplicação das tensões balanceadas
nominais aos respectivos enrolamentos estatóricos.
1"IEEE Standard Test Procedure for Polyphase Induction Motors and Generators", IEEE Standard
112-1978, IEEE, Inc, New York, N.Y.
75
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800
-40
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
To
rq
ue
E
le
tro
m
ag
né
tic
o
(N
×
m
)
Rotação (r/min)
Figura 35: Característica torque-velocidade durante a partida - motor de indução 3 hp.
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800
-500
0
500
1000
1500
To
rq
ue
E
le
tro
m
ag
né
tic
o
(N
×
m
)
Rotação (r/min)
Figura 36: Característica torque-velocidade durante a partida - motor de indução 50 hp.
As correntes na máquina, o torque e a velocidade para as máquinas de 3 hp e de 2250
hp durante a partida são mostradas nas Figuras 39 e 40.
Na partida, a impedância de entrada da máquina de indução é essencialmente a re-
sistência e a reatância de dispersão do estator em série com a resistência e a reatância de
dispersão do rotor. Consequentemente, com a aplicação da tensão nominal, a corrente de
partida é grande, em alguns casos de ordem de 10 vezes o valor nominal. Por este motivo,
na prática um compensador (transformador) é geralmente usado para partir máquinas de
grande potência com tensão reduzida até que a máquina tenha atingido 60% a 80% da
velocidade síncrona, quando então a tensão plena é aplicada.
76
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
-4000
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
To
rq
ue
E
le
tro
m
ag
né
tic
o
(N
×
m
)
Rotação (r/min)
Figura 37: Característica torque-velocidade durante a partida - motor de indução 500 hp.
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
-3
-2
-1
0
1
2
3
x 10
4
To
rq
ue
E
le
tro
m
ag
né
tic
o
(N
×
m
)
Rotação (r/min)
Figura 38: Característica torque-velocidade durante a partida - motor de indução 2250
hp.
As máquinas de 3 e 50 hp são máquinas de "escorregamento alto", isto é, o torque
nominal é desenvolvido em velocidades consideravelmente menores do que a velocidade
síncrona. Por outro lado, as máquinas de 500 e 2250 hp são máquinas de "escorregamento
baixo". Esta características podem ser observadas nas Figuras 35, 36, 37 e 38.
Uma outra característica à ser comentada ocorre com as máquinas de 500 hp e 2250
hp. Em particular, a velocidade do rotor ultrapassa a velocidade síncrona e o torque e
a velocidade instantânea apresentam oscilações amortecidas em torno do ponto final de
operação. Esta característica é particularmente evidente nas máquinas maiores. No caso
77
-100
0
100
-100
0
100
-100
0
100
-100
0
100
-100
0
100
-100
0
100
0
100
0
900
1800
0.1s
i [A]as
i [A]bs
i [A]cs
i [A]ar
i [A]br
i [A]cr
T [N.m]e
N[rpm]
Figura 39: Variáveis da máquina durante a partida do motor de indução de 3 hp.
6
0
6
i [kA]as
i [kA]bs
i [kA]cs
i [kA]ar
i [kA]br
i [kA]cr
T [N.m]e
N[rpm]
-6
0
6
-6
0
6
-6
0
6
-6
0
6
-6
0
6
-30
0
30
0
900
1800
31.10
1s
Figura 40: Variáveis da máquina durante a partida do motor de indução de 2250 hp.
das máquinas de 3 e 50 hp a velocidade do rotor é mais amortecida.
78
4.9 Comportamento dinâmico durante bruscas
mudanças no torque de carga
Os comportamentos dinâmicos dos motores de indução de 3 hp e 2250 hp durante
degraus de mudança no torque de carga são mostrados nas Figuras 41 e 42, respectiva-
mente. Inicialmente cada máquina está operando à velocidade síncrona. O torque de
carga é inicialmente aumentado de zero até um valor próximo do nominal e deixa-se a
máquina estabelecer-se no novo ponto de operação. Em seguida, o torque de carga é
abruptamente reduzido à zero e a máquina restabelece-se na sua condição de operação
original.
As variáveis da máquina de 3 hp estabelecem-se em cada nova condição de operação
de uma maneira bem amortecida. Para máquinas de pequeno porte as características
torque × velocidade obtidas do regime permanente são muito próximas das obtidas em
regimes dinâmicos. Portanto, o comportamento dinâmico das máquinas de indução de
pequeno porte (ou da maioria delas), durante mudanças normais no torque de carga pode
ser estudado utilizando-se equações de regime permanente.
O comportamento dinâmico de uma máquina de 2250 hp durante mudanças no torque
de carga é fortemente influenciada pelos transitórios elétricos do rotor, e fortes oscilaçõesaparecem em torno do novo ponto de operação. No melhor dos casos, a característica
torque × velocidade pode-se aproximar pela "média" desta resposta dinâmica; ela não
pode representar completamente a dinâmica durante mudanças na carga para máquinas
grandes. Isto pode ser inicialmente visto pela Figura 43, para a máquina de 2250 hp. A
característica torque-velocidade obtida a partir do regime permanente seria provavelmente
uma linha reta entre os dois pontos de operação. Isto pode ser visto também nas curvas
da Figura 44.
4.10 Comportamento dinâmico durante curto-circuito
trifásico nos terminais da máquina
O comportamento dinâmico das máquinas de indução de 3 hp e 2250 hp é mostrado
respectivamente nas Figuras 45 e 46, após um curto-circuito trifásico nos terminais da
máquina. Inicialmente, cada motor está operando essencialmente nas condições nominais.
A falta trifásica é simulada fazendo-se vas = vbs = vcs = 0, no instante em que vas passa
por zero antes de assumir um valor positivo. Após doze ciclos as tensões das fontes são
79
-20
0
20
i [A]as
i [A]bs
i [A]cs
i [A]ar
i [A]br
i [A]cr
T [N.m]e
N[rpm]
-20
0
20
-20
0
20
-10
0
10
-10
0
10
-10
0
10
0
5
10
1700
1750
1800
0.5 s
T varia de zeroL
para 11.87 N.m
T varia de L
para zero
11.87 N.m 
Figura 41: Comportamento dinâmico de um motor de indução de 3 hp durante mudanças
na carga mecânica (0 a 11,87 N.m a 0).
reaplicadas.
O degrau à zero das tensões terminais dá origem à "degraus" decaindo nas correntes
do estator e do rotor. Este "degraus" transitórios nas correntes do estator aparecem nos
circuitos do rotor como oscilações amortecidas de cerca de 60 Hz (uma vez que a velocidade
do rotor é pouco menor do que a síncrona) as quais são superpostas aos transitórios dos
circuitos do rotor aparecem como oscilações amortecidas nas correntes do estator à uma
frequência correspondente à velocidade do rotor. No caso da máquina de 3 hp ambos os
transitórios, do rotor e do estator, são altamente amortecidas e já estão "passados" antes
que a tensão é reaplicada. Com todas as correntes nulas, o torque eletromagnético é,
naturalmente, zero; portanto o torque de carga (que não é nulo) descacelera a máquina.
No caso da máquina de 2250 hp, que possui uma relação entre a reatância de dispersão
e a resistência maior tanto para o rotor como para o estator, do que na máquina de 3
hp, os transitórios no estator e rotor são ainda presentes quando a falta é retirada e as
80
0
800
800
0
800
800
0
800
800
0
800
800
0
800
800
0
800
800
10
31.10
0
1800
1850
1750
T varia de zeroL
para N.m38.9.10
3T varia de 8.9.10L
para zero
 N.m 
0.5s
i [A]as
i [A]bs
i [A]cs
i [A]ar
i [A]br
i [A]cr
T [N.m]e
N[rpm]
Figura 42: Comportamento dinâmico de um motor de indução de 2250 hp durante mu-
danças na carga mecânica (0 a 8.9 kN.m a 0).
tensões são reaplicadas. Portanto, Te possui um valor médio.
Quando a tensão é reaplicada os "degraus" ocorrem novamente nas corentes do esta-
tor.
As oscilações amortecidas nos circuitos do rotor e estator são bem visíveis na Figura 46.
81
-4000
8900
10000
0
4000
1780 18201800
To
rq
ue
 [N
.m
]
Velocidade [rpm]
Figura 43: Torque vs. velocidade para a máquina de indução de 2250 hp para mudanças
no torque de carga mostrados na Figura 42.
900
1800-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x 104
2.5
Torque em regime 
permanente Torque em 
simulação dinâmica
To
rq
ue
 [N
.m
]
Velocidade [rpm]
Figura 44: Comparação das curvas torque vs. velocidade à partir do regime permanente
e à partir de simulação dinâmica - máquina de indução de 2250 hp.
82
I
(A
)
as
100
-100
0
I
(A
)
bs
100
-100
0
I
(A
)
cs
100
-100
0
I
(A
)
ar
100
-100
0
I
(A
)
br
100
-100
0
I
(A
)
cr
100
-100
0
T
(N
.m
)
e
65
-65
0
w
(r
pm
)
m
2000
0
1000
0.2 s
Falta trifásica aplicada
Falta trifásica eliminada t(s)
Figura 45: Desempenho dinâmico de um motor de indução de 3 hp durante um curto-
circuito trifásico nos terminais.
I
(k
A
)
as
10
-10
0
I
(k
A
)
bs
10
-10
0
I
(k
A
)
cs
10
-10
0
I
(k
A
)
ar
10
-10
0
I
(k
A
)
br
10
-10
0
I
(k
A
)
cr
10
-10
0
T
(k
N
.m
)
e
50
-50
0
w
(r
pm
)
m
2000
0
1000
Falta trifásica aplicada
Falta trifásica eliminada t(s)0,2 s
Figura 46: Desempenho dinâmico de um motor de indução de 2250 hp durante um curto-
circuito trifásico nos terminais.
83
5 Teoria das máquinas síncronas
A máquina síncrona é o principal meio para converter energia mecânica para elétrica.
Os comportamentos elétrico e mecânico da maioria das máquinas síncronas pode ser
analisado à partir das equações que descrevem a máquina síncrona trifásica de polos
salientes.
O rotor de uma máquina síncrona é equipado com um enrolamento de campo e um
ou mais enrolamentos amortecedores. Além disto, o rotor de uma máquina síncrona de
polos salientes é magneticamente assimétrico. Devido à estas assimetrias no rotor uma
mudança de variáveis para as variáveis do rotor não apresenta vantagens. No entanto,
uma mudança de variáveis é interessante para as variáveis do estator. Em muitos casos,
talvez a maioria deles, as variáveis do estator são transformadas para um eixo fixo no
rotor (equações de Park).
5.1 Equações de tensão em variáveis da máquina
Uma máquina síncrona de polos salientes trifásica, de dois polos, com os enrolamentos
do estator conectados em estrela é mostrada na Figura 47.
Os enrolamentos do estator são idênticos e distribuídos senoidalmente, defasados de
120◦, com Ns espiras equivalentes e resistência rs. O rotor é equipado com um enrola-
mento de campo e três enrolamentos amortecedores. O enrolamento de campo (chamado
fd) tem Nfd espiras de resistência rfd. Um enrolamento amortecedor está no mesmo eixo
magnético do enrolamento de campo. Este enrolamento, chamado kd, tem Nkd espiras de
resistência rkd. O eixo magnético do segundo e terceiro enrolamento amortecedor, enrola-
mentos kq1 e kq2, tem Nkq1 e Nkq2 espiras equivalentes, respectivamente, com resistências
rkq1 e rkq2. Supõe-se que todos os enrolamentos do rotor são senoidalmente distribuí-
dos. As correntes positivas são, por convenção, saindo dos terminais para representar
ação de gerador. Portanto, com a direção positiva dos eixos magnéticos suposta como na
84
wr
Eixo as
Eixo bs
kd
as
kq1'
kq2
as’
qr
Eixo cs
kq1
Eixo q
Eixo d
bs cs
-
v kq2
N kq2
r kq2
+
I sq2
-
v kq1
N kq1
r kq1+
I sq1
-
vkd
Nkd
rkd
+
Ikd
-
vfd
Nfd
rfd
+
Ifd
Ns
rs
Ns
Ns
rs
rs
kq2'
cs’ bs’
vas
vbs
vcs +
+
+
Ias
Ics
Ibs
fd
kd’
fd’
Figura 47: Máquina síncrona trifásica de polos salientes.
Figura 47, enlace de "fluxo negativo" resulta da circulação de correntes positivas.
Na Figura 47, os eixos magnéticos dos enrolamentos do estator são notados por as,bs
e cs. Esta notação também foi usada para os enrolamentos do estator da máquina de
indução. O eixo q na Figura 47 é o eixo magnético dos enrolamentos kq1 e kq2 enquanto
o eixo d é o eixo magnético dos enrolamentos fd e kd.
Embora os enrolamentos amortecedores sejam mostrados com a possibilidade para
aplicar uma tensão eles são, na realidade, enrolamentos curto-circuitados os quais apre-
sentam os caminhos para as correntes induzidas no rotor. Estas correntes podem circular
em enrolamentos do tipo gaiola similares à gaiola de esquilo dos motores de indução ou no
próprio ferro do rotor. Em máquinas de polos salientes a superfície do rotor é laminada e
as correntes circulando nos enrolamentos amortecedores estão confinados na gaiola. Em
máquinas de alta velocidade, de dois ou quatro polos, o rotor é cilíndrico e é feito de ferro
maciço com um enrolamento tipo gaiola "embebido" na superfície do rotor. Neste caso,
as correntes podem circular ou no enrolamento de gaiola ou no ferro maciço.
85
O desempenho de praticamente todos os tipos de máquina síncronas podem ser ade-
quadamente descrito com pequenas modificações das equações que descrevem a máquina
mostrada naFigura 47. Por exemplo, o comportamento de geradores hidro de baixa ve-
locidade, que são sempre máquinas de polos salientes, é geralmente simulado com apenas
um enrolamento amortecedor equivalente no eixo q. Portanto, o desempenho deste tipo de
máquina pode ser descrita a partir das equações que descrevem a máquina da Figura 47,
eliminando-se todos os termos que correspondem à um dos enrolamentos kq. A máquina
de relutância, que não possui enrolamento de campo e geralmente somente um enrola-
mento amortecedor no eixo q, pode ser descrita pela eliminação dos termos envolvendo o
enrolamento fd e um dos enrolamentos kq. Em rotores de ferro maciço, as características
magnéticas dos eixos d e q são idênticas, ou muito parecidas, e portanto as indutâncias
associadas com os dois eixos são essencialmente as mesmas. Por outro lado, em muitos
casos é necessário incluir todos os três enrolamentos amortecedores de maneira à repre-
sentar adequadamente as características transitórias das variáveis do estator e o torque
eletromagnético de máquinas de rotor maciço1.
Uma vez que a máquina síncrona é geralmente operada como gerador é conveniente
assumir que a direção positiva para as correntes do estator é fluindo para fora dos terminais
de tensão em variáveis da máquina podem ser expressas na forma matricial como:
vabcs = −rsiabcs +
d
dt
λabcs (5.1)
vqdr = −rriqdr +
d
dt
λqdr (5.2)
onde
fTabcs =
[
fas fbs fcs
]
(5.3)
fTqdr =
[
fkq1 fkq2 ffd fkd
]
(5.4)
Nas equações acima os subscritos r e s denotam variáveis associadas com os enrola-
mentos do rotor e do estator, respectivamente. As matrizes rs e rr são matrizes diagonais
com termos como abaixo:
rs = diag
[
rs rs rs
]
(5.5)
rr = diag
[
rkq1 rkq2 rfd rkd
]
(5.6)
1D.R. Brown, P.C.Krause, "Modeling of Transient Electrical Torques in Solid Iron Rotor Turboge-
nerators", IEEE Trans. Power Apparatus and Systems, Vol. 98, Setembro/Outubro 1979, pp. 1502 -
1508.
86
Na Figura 47 os eixos as, bs e cs são positivos na direção dos enlaces de fluxo nega-
tivos relativos à posição assumida como positiva das correntes do estator. Neste caso, as
equações de enlace de fluxo tornam-se:[
λabcs
λqdr
]
=
[
Ls Lsr
Lsr
T Lr
]
=
[
−iabcs
iqdr
]
(5.7)
Pode-se mostrar que Ls:
Ls =

Lls + LA − LB cos (2θr) −
1
2
LA − LB cos
[
2
(
θr −
π
3
)]
−
1
2
LA − LB cos
[
2
(
θr +
π
3
)]
−
1
2
LA − LB cos
[
2
(
θr −
π
3
)]
Lls + LA − LB cos
[
2
(
θr −
2π
3
)]
−
1
2
LA − LB cos [2 (θr + π)]
−
1
2
LA − LB cos
[
2
(
θr +
2π
3
)]
−
1
2
LA − LB cos [2 (θr + π)] Lls + LA − LB cos
[
2
(
θr +
2π
3
)]
 (5.8)
Igualmente, pode-se mostrar que Lsr e Lr valem:
Lsr =

Lskq1 cos (θr) Lskq2 cos (θr) Lsfdsen (θr) Lskdsen (θr)
Lskq1 cos
(
θr − 2π3
)
Lskq2 cos
(
θr − 2π3
)
Lsfdsen
(
θr − 2π3
)
Lskdsen
(
θr − 2π3
)
Lskq1 cos
(
θr +
2π
3
)
Lskq2 cos
(
θr +
2π
3
)
Lsfdsen
(
θr +
2π
3
)
Lskdsen
(
θr +
2π
3
)
 (5.9)
Lr =

Llkq1 + Lmkq1 Lkq1 kq2 0 0
Lkq1 kq2 Llkq2 + Lmkq2 0 0
0 0 Llfd + Lmfd Lfdkd
0 0 Lfdkd Llkd + Lmkd
 (5.10)
Em (5.8) LA > LB e LB é zero para máquina de rotor cilíndrico. Em (5.8) e (5.10), as
indutâncias de dispersão são denotadas com o subescrito l. Os subscritos skq1, skq2, sfd
e skd em (5.9) denotam indutâncias mútuas entre os elementos do estator e rotor.
As indutâncias de magnetização são definidas como:
Lmq
∆
=
3
2
(LA − LB) (5.11)
Lmd
∆
=
3
2
(LA + LB) (5.12)
Pode-se demonstrar também que:
Lskq1 =
(
Nkq1
Ns
)(
2
3
)
Lmq (5.13)
Lskq2 =
(
Nkq2
Ns
)(
2
3
)
Lmq (5.14)
Lsfd =
(
Nfd
Ns
)(
2
3
)
Lmd (5.15)
Lskd =
(
Nkd
Ns
)(
2
3
)
Lmd (5.16)
87
Lmkq1 =
(
Nkq1
Ns
)2(
2
3
)
Lmq (5.17)
Lmkq2 =
(
Nkq2
Ns
)2(
2
3
)
Lmq (5.18)
Lmfd =
(
Nfd
Ns
)2(
2
3
)
Lmd (5.19)
Lmkd =
(
Nkd
Ns
)2(
2
3
)
Lmd (5.20)
Lkq1kq2 =
(
Nkq2
Nkq1
)
Lmkq1 =
(
Nkq2
Nkq1
)
Lmkq2 (5.21)
Lfdkd =
(
Nkd
Nfd
)
Lmfd =
(
Nfd
Nnkd
)
Lmkd (5.22)
É conveniente incorporar as seguintes variáveis para referir variáveis dos enrolamentos
do rotor para o estator:
i′j =
(
2
3
)(
Nj
Ns
)
ij (5.23)
v′j =
(
Ns
Nj
)
vj (5.24)
λ′j =
(
Ns
Nj
)
λj (5.25)
onde j pode ser kq1, kq2, fd ou kd.
Os enlaces de fluxo podem ser escritos agora como:[
λabcs
λqdr
]
=
[
Ls L
′
sr
2
3
L′sr
T L′r
][
−iabcs
i′qdr
]
(5.26)
onde Ls é definida por (5.8) e:
L′sr =

Lmq cos (θr) Lmq cos (θr) Lmd sen (θr) Lmd sen (θr)
Lmq cos
(
θr − 2π3
)
Lmq cos
(
θr − 2π3
)
Lmd sen
(
θr − 2π3
)
Lmd sen
(
θr − 2π3
)
Lmq cos
(
θr +
2π
3
)
Lmq cos
(
θr +
2π
3
)
Lmd sen
(
θr +
2π
3
)
Lmd sen
(
θr +
2π
3
)
 (5.27)
L′r
∆
=

Llkq1
′ + Lmq Lmq 0 0
Lmq Llkq2
′ + Lmq 0 0
0 0 Llfd
′ + Lmd Lmd
0 0 Lmd Llkd
′ + Lmd
 (5.28)
As equações de tensão expressas em termos de variáveis da máquina e referidas aos
88
enrolamentos do estator são:[
vabcs
v′qdr
]
=
[
rs +
d
dt
Ls
d
dt
L′sr
2
3
d
dt
L′sr
T r′r +
d
dt
L′r
][
−iabcs
i′qdr
]
(5.29)
Em (5.28) e (5.29):
r′j =
(
3
2
)(
Ns
Nj
)2
rj (5.30)
L′ls =
(
3
2
)(
Ns
Nj
)2
Llj (5.31)
onde, novamente, j pode ser kq1, kq2, fd ou kd.
As equações equações de tensão dadas em (5.29) são válidas para direção positiva das
correntes impostas saindo dos terminais do estator. Se a direção positiva das correntes
do estator é invertida, fazendo-se análise para funcionamento motor, a única modificação
à fazer em (5.29) é uma mudança do sinal de iabcs.
5.2 Equações de torque em variáveis da máquina
Analogamente à máquina de indução, a energia armazenada no campo de acoplamento
de uma máquina síncrona pode ser expressa por:
Wf =
1
2
(iabcs)
T (Ls − Lls [I]) iabcs − (iabcs)TL′sri′qdr+
1
2
(
3
2
)
(i′qdr)
T (L′r − L′lr [I]) i′qdr
(5.32)
onde [I] é a matriz identidade e
L′lr = diag
[
L′lkq1 L
′
lkq1 L
′
lfd L
′
lkd
]
(5.33)
É claro que a energia armazenada nas indutâncias de dispersão não entra na energia
estocada no campo de acoplamento.
A variação de energia em um sistema rotacional com uma entrada mecânica pode ser
descrita como:
dWm = −Tedθrm
onde Te é o torque eletromagnético positivo para funcionamento motor e θrm é o ângulo
de deslocamento do rotor.
89
Sabe-se que:
θr =
P
2
θrm (5.34)
onde P é o número de polos da máquina. Pode-se reescrever (5.34) como:
dWm = −Te
(
2
P
)
dθr (5.35)
Em um sistema linear Wf = Wc onde Wc é a coenergia magnética. A expressão do
torque fica então:
Te = −
(
P
2
)
dWc
dθr
(5.36)
ou
Te =
(
P
2
){
−1
2
(iabcs)
T ∂
∂θr
(Ls − Lls[I])iabcs + (iabcs)T
∂
∂θr
L′sri
′
qdr
}
(5.37)
O torque e a velocidade do rotor são relacionados por:
Te = −J
(
2
P
)
dωr
dt
+ Ti (5.38)
onde J é a inércia dada em (kg · m2) ou (Joule · s2). O torque de entrada Ti é positivo
para um torque de entrada positivo no eixo da máquina.
5.3 Equações de tensão do estator em variáveis de um
eixo de referência arbitrário
As equações de tensão dos enrolamentos do estator de uma máquina síncrona podem
ser expressas no eixo de referência arbitrário. Em particular, utilizando-se os resultados
apresentados no Capítulo 3, as equações de tensão para os enrolamentos do estator podem
ser escritas no eixo de referência arbitrário como:
vqd0s = −rsiqd0s + ωλdqs +
d
dt
λqd0s (5.39)
λTdqs =
[
λds −λqs 0
]
(5.40)
Em (5.39) supõe-se que a resistência de cada fase é igual; se isto não for o caso, deve-se
substituir o primeiro termo do lado direito da (5.39) pela expressão (3.11).
Os enrolamentos do rotor de uma máquina síncrona são diferentes uns dos outros.
portanto, a mudança de variáveis vista na Seção 4.3 não apresenta vantagens. Portanto,
90
as variáveis do rotor não serão transformadas:
v′qdr
r = r′ri
′
qdr
r
+
d
dt
λ′qdr
r (5.41)
Para um sistema magnético linear, as equações de enlace de fluxo podem ser escritas
de (5.26) com a transformação das variáveis do estator para o eixo de referência arbitrário
incorporadas: [
λqd0s
λ′qdr
r
]
=
[
KsLsKs
−1 KsL
′
sr
2
3
L′sr
TKs
−1 L′r
][
−iqd0s
i′qdr
r
]
(5.42)Pode-se mostrar que todos os termos da matriz de indutâncias de (5.42) são senoidais,
exceto L′r. Por exemplo, utilizando-se algumas relações trigonométricas:
KsL
′
sr =

Lmq cos (θ − θr) Lmq cos (θ − θr) −Lmd sen (θ − θr) −Lmd sen (θ − θr)
Lmq sen (θ − θr) Lmq sen (θ − θr) Lmd cos (θ − θr) Lmd cos (θ − θr)
0 0 0 0
 (5.43)
Se ω = ωr, todos os termos de (5.43) são constantes. De maneira análoga, pode-se verificar
que KsLsKs−1 e 23L
′
sr
TKs
−1 são matrizes constantes se ω = ωr. Portanto, as indutâncias
variáveis no tempo são eliminadas das equações de tensão se o eixo de referência é fixo no
rotor. Então, no caso da máquina síncrona escolhe-se o eixo de referência no rotor.
5.4 Equações de tensão em variáveis em um eixo fixo
no rotor - equações de Park
R. H. Park 2 foi o primeiro a incorporar uma mudança de variáveis na análise de
máquinas síncronas. Ele transforma as variáveis do estator para um eixo de referência no
rotor o que elimina indutância variáveis no tempo nas equações de tensão. As equações de
Park são obtidas de (5.39) e (5.41), fazendo-se a velocidade do eixo de referência arbitrária
igual à velocidade do rotor (ω = ωr). Portanto:
vrqd0s = −rsirqd0s + ωrλrdqs +
d
dt
λrqd0s (5.44)
v′rqdr = r
′
ri
′r
qdr +
d
dt
λ′rqdr (5.45)
onde:
(λrdqs)
T =
[
λrds −λrqs 0
]
(5.46)
2R. H. Park, "Two-Reactin Theory of Synchronous Machines - Generalized Method of Analysis - Part
I ", AIEE Trans-, vol. 48, julho 1929, pp. 716 - 727.
91
Para um sistema magneticamente linear, os enlaces de fluxo podem ser expressos no
eixo de referência fixo no rotor fazendo-se θ = θr, e neste caso Ks é chamada Krs. Então,[
λrqd0s
λ′rqd0s
]
=
[
KrsLs(Ks
r)
−1
KrsL
′
sr
2
3
(L′sr)
T (Krs)
−1 L′r
][
−irqd0s
i′rqdr
]
(5.47)
Usando-se identidades trigonométricas, pode-se mostrar que:
KrsLs(K
r
s)
−1 =

Lls + Lmq 0 0
0 Lls + Lmd 0
0 0 Lls
 (5.48)
KrsL
′
sr =

Lmq Lmq 0 0
0 0 Lmd Lmd
0 0 0 0
 (5.49)
2
3
L′sr
T
(Krs)
−1 =

Lmq 0 0
Lmq 0 0
0 Lmd 0
0 Lmd 0
 (5.50)
As equações de tensão na forma expandida podem ser escritas à partir de (5.44) e
(5.45):
vrqs = −rsirqs + ωrλrds +
d
dt
λrqs (5.51)
vrds = −rsirds − ωrλrqs +
d
dt
λrds (5.52)
v0s = −rsi0s +
d
dt
λ0s (5.53)
v′rkq1 = r
′
kq1i
′r
kq1 +
d
dt
λ′rkq1 (5.54)
v′rkq2 = r
′
kq2i
′r
kq2 +
d
dt
λ′rkq2 (5.55)
v′rfd = r
′
fdi
′r
fd +
d
dt
λ′rfd (5.56)
v′rkd = r
′
kdi
′r
kd +
d
dt
λ′rkd (5.57)
Susbstituindo (5.48), (5.49) e (5.50) em (5.47) tem-se as expressões para os enlaces
de fluxo. Em forma expandida tem-se:
λrqs = −Llsirqs + Lmq(−irqr + i′rkq1 + i′rkq2) (5.58)
92
λrds = −Llsirds + Lmd(−irds + i′rkd + i′rfd) (5.59)
λ0s = −Llsi0s (5.60)
λ′rkq1 = L
′
lkq1i
′r
kq1 + Lmq(−irqs + i′rkq1 + i′rkq2) (5.61)
λ′rkq2 = L
′
lkq2i
′r
kq2 + Lmq(−irqs + i′rkq1 + i′rkq2) (5.62)
λ′rfd = L
′
lfdi
′r
fd + Lmd(−irds + i′rfd + i′rkd) (5.63)
λ′rkd = L
′
lkdi
′r
kd + Lmd(−irds + i′rfd + i′rkd) (5.64)
À partir das equações de tensão e de enlace de fluxo tem-se os circuitos equivalentes
mostrados na Figura 48.
L’lkq2
Lls
Lmd
rs
r’kq1v qs
r
+
+
I’ kq1
r
I’qs
+ -
l ds ’ wr
L’lkq1
r’kq2
I’ kq2
r
-
-
-
+
v’ kq1
r
rv’ kq2
L’lkd
Lls
Lmd
rs
r’fdv qs
r
+
+
I’ fd
r
I’qs
+-
l qs ’ wr
L’lfd
r’kd
I’ kd
r
-
-
-
+
v’ fd
r
v’ kd
r
-
v0s Lls
rs
+
I0s
Figura 48: Circuito equivalente de uma máquina síncrona trifásica com eixo de referência
fixo no rotor - Equações de Park.
Analogamente ao efetuado para a máquina de indução, é algumas vezes conveniente
expressar as equações de tensão e de enlace de fluxo em termos de reatâncias ao invés de
93
indutâncias. Então as equações (5.51) a (5.57) podem ser escritas por:
vrqs = −rsirqs +
ωr
ωb
ψrds +
d
dt
1
ωb
ψrqs (5.65)
vrds = −rsirds +
ωr
ωb
ψrqs +
d
dt
1
ωb
ψrds (5.66)
v0s = −rsi0s +
d
dt
1
ωb
ψ0s (5.67)
v′rkq1 = r
′
kq1i
′r
kq1 +
d
dt
1
ωb
ψ′rkq1 (5.68)
v′rkq2 = r
′
kq2i
′r
kq2 +
d
dt
1
ωb
ψ′rkq2 (5.69)
v′rfd = r
′
fdi
′r
fd +
d
dt
1
ωb
ψ′rfd (5.70)
v′rkd = r
′
kdi
′r
kd +
d
dt
1
ωb
ψ′rkd (5.71)
onde ωb é a velocidade angular elétrica usada para calcular as reatâncias indutivas. Os
enlaces de fluxo por segundo são:
ψrqs = −Xlsirqs +Xmq(−irqs + i′rkq1 + i′rkq2) (5.72)
ψrds = −Xlsirds +Xmd(−irds + i′rfd + i′rkd) (5.73)
ψ0s = −Xlsi0s (5.74)
ψ′rkq1 = X
′
lkq1i
′r
kq1 +Xmq(−irqs + i′rkq1 + i′rkq2) (5.75)
ψ′rkq2 = X
′
lkq2i
′r
kq2 +Xmq(−irqs + i′rkq1 + i′rkq2) (5.76)
ψ′rfd = X
′
lfdi
′r
fd +Xmd(−irds + i′rfd + i′rkd) (5.77)
ψ′rkd = X
′
lkdi
′r
kd +Xmd(−irds + i′rfd + i′rkd) (5.78)
Em muitas aplicações, especialmente em sistema de alimentação com frequências va-
riáveis, a máquina síncrona é operada como motor. Quando analiza-se operação motor,
escreve-se as equações com a direção positiva das correntes do estator entrando nos termi-
nais estatóricos. As equações acima são modificadas, neste caso, simplesmente mudando-
se o sinal de i′qs, irds e i0s em todas as equações de tensão e de enlace de fluxo.
94
5.5 Equações de torque em variáveis referidas ao eixo
de referência
A expressão do torque eletromagnético em termos das variáveis do eixo de referência
fixo no rotor pode ser obtida substituindo-se a equação de transformação (5.37):
Te =
(
P
2
)
((Krs)
−1irqd0s)
T
{
−1
2
∂
∂θr
(Ls − Lls[I])(Krs)−1iqd0s +
∂
∂θr
L′sri
′r
qdr
}
(5.79)
Após um trabalho considerável a equação acima se reduz a:
Te =
(
3
2
)(
P
2
)
[Lmd(−irds + i′rfd + i′rkd)irqs − Lmq(−irqs + i′rkq1 + i′rkq2)irds] (5.80)
Que é equivalente à:
Te =
(
3
2
)(
P
2
)
(λrdsi
r
qs − λrqsirds) (5.81)
Ou então em termos de enlace de fluxo por segundo e correntes:
Te =
(
3
2
)(
P
2
)(
1
ωb
)
(ψrdsi
r
qs − ψrqsirds) (5.82)
5.6 Análise da operação em regime permanente
Para condições balanceadas as quantidades 0 são nulas. Para condições de regime
permanente balanceado a velocidade angular elétrica do rotor é constante e igual a ωe
enquanto que a velocidade angular elétrica do eixo de referência do rotor é a velocidade
angular elétrica do eixo de referência síncrono. Nestas condições de operação os enro-
lamentos do rotor não vem variações de enlace de fluxo, uma vez que não há correntes
circulando nos enrolamentos amortecedores curto-circuitados. Então, com ωr = ωe e as
derivadas temporais dos enlaces de fluxo desprezadas„ as versões em regime permanente
das equações (5.65), (5.66) e (5.70) são:
V rqs = −rsIrqs −
ωe
ωb
XdI
r
ds +
ωe
ωb
XmdI
′r
fd (5.83)
V rds = −rsIrds +
ωe
ωb
XqI
r
qs (5.84)
V ′rfd = rfdI
′r
fd (5.85)
95
onde
Xq
∆
= Xls +Xmq (5.86)
Xd
∆
= Xls +Xmd (5.87)
A divisão de ωe por ωb é novamente incluída para permitir análise quando a frequência
de operação é diferente da nominal. Lembra-se que todas as reatâncias usadas neste texto
são calculadas usando frequência nominal ωb. Letras maiúsculas indicam grandezas de
regime permanente.
As equações (3.44) e (3.45) exprimem as variáveis instantâneas no eixo de referência
arbitrário para condições balanceadas. No eixo de referência no rotor estas expressões
tornam-se:
f rqs =
√
2fs cos(θef − θr) (5.88)
f rds = −
√
2fs sen(θef − θr) (5.89)
Para condições balaceadas em regime permanente, as expressões (5.88) e (5.89) podem
ser escritas como:
F rqs = <e[
√
2Fse
j(θef−θr)] (5.90)
F rds = <e[j
√
2Fse
j(θef−θr)] (5.91)
Na teoria clássica de máquinas síncronas utiliza-se o ângulo δ (também chamado de
ângulo do rotor). O ângulo δ do rotor é o deslocamento do rotor referenciado ao máximo
valor positivo da componente fundamental da tensão terminal da fase a. Isto pode ser
escrito como:
δ = θr − θev =
∫ t
0
[ωr (ζ)− ωe (ζ)] dζ + θr (0)− θev (0) (5.92)
onde ωr é a velocidade angular elétrica do rotor e ωe é a velocidade angular elétrica das
tensões terminais (velocidade síncrona).
Portanto, se multiplicarmos as equações (5.90) e (5.91) por ejθev(1−1) e uma vez que
θef e θev são ambos funções de ωe as equações acima podem ser escritas como:
F rqs = <e[
√
2Fse
j(θef (0)−θev(0))e−jδ](5.93)
F rds = <e[j
√
2Fse
j(θef (0)−θev(0))e−jδ] (5.94)
96
É importante observar que:
F̃as = Fse
j[θef (0)−θev(0)] (5.95)
é um fasor que representa as variáveis as referenciadas à posição em tempo igual à zero
de θev que nós iremos escolher de maneira que vas ocorra em t = 0.
De (5.93) e (5.94) tem-se:
F rqs =
√
2Fs cos[θef (0)− θev(0)− δ] (5.96)
F rds = −
√
2Fs sen[θef (0)− θev(0)− δ] (5.97)
e tem-se então:
√
2F̃ase
−jδ = F rqs − jF rds (5.98)
Então para a tensão:
√
2Ṽase
−jδ = V rqs − jV rds (5.99)
Substituindo-se então (5.83) e (5.84) em (5.99) tem-se:
√
2Ṽase
−jδ = −rsIrqs −
ωe
ωb
XdI
r
ds +
ωe
ωb
XmdI
′r
fd + j(rsI
r
ds −
ωe
ωb
XqI
r
qs) (5.100)
Se
(
ωe
ωb
)
XqI
r
ds é somado e subtraído do lado direito de (5.100) e se lembramos que:
j
√
2Ĩase
−jδ = Irds + jI
r
qs (5.101)
onde (5.100) pode ser escrita como:
Ṽas = −
(
rs + j
ωe
ωb
Xq
)
Ĩas +
1√
2
[
−ωe
ωb
(Xd −Xq)Irds +
ωe
ωb
XmdI
′r
fd
]
ejδ (5.102)
o último termo do lado direito da equação (5.102) é definido como:
Ẽa =
1√
2
[
−
(
ωe
ωb
)
(Xd −Xq)Irds +
(
ωe
ωb
)
XmdI
′r
fd
]
ejδ (5.103)
que é geralmente conhecida como tensão de excitação. Então (5.102) pode ser escrita
como:
Ṽas = −
(
rs + j
(
ωe
ωb
)
Xq
)
Ĩas + Ẽa (5.104)
97
As equações (5.103) e (5.104) são para o caso em que as direções positivas das correntes
do estator são saindo da máquina, convenientes para o caso gerador. A razão ωe/ωb é
incluída, como no caso da análise da máquina assíncrona, de maneira a que as equações
sejam válidas para análise em regime permanente balanceado à frequências diferentes da
nominal.
Quando a direção positiva da corrente do estator é suposta entrando na máquina,
conveniente para ação motor, então:
Ṽas =
(
rs + j
(
ωe
ωb
)
Xq
)
Ĩas + Ẽa (5.105)
onde
Ẽa =
1√
2
[
ωe
ωb
(Xd −Xq)Irds +
ωe
ωb
XmdI
′r
fd
]
ejδ (5.106)
Se as correntes Irqs e Irds forem isoladas das equações (5.83) e (5.84) e forem substi-
tuídas na equação do torque (5.80) a expressão do torque eletromagnético para regime
permanente balanceado pode ser escrita:
Te = −
(
3
2
)(
P
2
)(
1
ωb
)
×
{
rsXmdI
′r
fd
rs2 + (ωe/ωb)XqXd
(
Vqs
r − ωe
ωb
XmdI
′r
fd −
ωe
ωb
Xd
rs
V rds
)
+
Xd −Xq[
rs2 + (ωe/ωb)
2
XqXd
]2 [rsωeωbXq
(
V rqs −
ωe
ωb
XmdI
′r
fd
)
+
[
rs
2 −
(
ωe
ωb
)2
XqXd
]
V rds
(
V rqs −
ωe
ωb
XmdI
′r
fd
)
− rs
ωe
ωb
Xd(V
r
ds)
2
]} (5.107)
onde P é o número de polos e ωb é a velocidade angular base usada para o cálculo das
reatâncias e ωe corresponde à frequência de operação.
Para condições de operação balanceadas as tensões de estator podem ser expressas na
forma dada pelas equações (3.40) a (3.44) da Seção 3.3. Então:
vas =
√
2vs cos(θev) (5.108)
vbs =
√
2vs cos
(
θev −
2π
3
)
(5.109)
vcs =
√
2vs cos
(
θev +
2π
3
)
(5.110)
onde
θev =
∫ t
0
ωe(ζ)dζ + θev(0) (5.111)
onde ζ é uma variável de integração. Estas tensões podem ser expressas no eixo de
98
referência do rotor, substituindo-se θ por θr nas equações (3.44) e (3.45) dos anexos do
Capítulo 3:
vrqs =
√
2vs cos(θev − θr) (5.112)
vrds = −
√
2vs sen(θev − θr) (5.113)
Se o ângulo do rotor de (5.92) é substituído em (5.112) e (5.113) obtem-se:
vrqs =
√
2vs cos δ (5.114)
vrds =
√
2vs sen δ (5.115)
As únicas restrições em (5.114) e (5.115) são que as tensões formam um conjunto ba-
lanceado. Estas equações são válidas para equações transitórias e de regime permanente,
isto é, vs e s podem ambos serem funções do tempo, com θev(0) geralmente posto ou
escolhido igual a zero.
O torque dado em (5.107) é para condição de regime permanente balanceado. Neste
modo de operação (5.114) e (5.115) são constantes uma vez que vs e δ são ambos cons-
tantes. Antes de continuar, vamos definir:
e′xfd
∆
= v′rfd
Xmd
r′fd
(5.116)
que, com a equação (5.70) pode ser escrita como:
e′xfd
∆
= v′rfd
Xmd
r′fd
=
Xmd
r′fd
(r′fdi
′r
fd +
d
dt
1
ωb
ψ′rfd) (5.117)
A expressão acima pode ser posta na forma abaixo, para condições de operação em
regime permanente balanceado:
E ′rxfd = XmdI
′r
fd (5.118)
Se a equação acima e as versões em regime permanente de (5.114) e (5.115) forem
substituídas na expressão (5.107) e se a resistência rs for desprezada o torque pode ser
escrito como:
Te =
(
3
2
)(
P
2
)(
1
ωb
)Exfd′r√2Vs(
ωe
ωb
)
Xd
senδ +
(
1
2
)(
ωe
ωb
)−2(
1
Xq
− 1
Xd
)(√
2Vs
)2
sen2δ
 (5.119)
O fato de desprezar-se rs é justificado se rs for pequena em comparação com as reatâncias
da máquina. Em sistemas de alimentação à frequência variável, em baixas frequências,
a expressão (5.107) deve ser usada no lugar de (5.119), pois já não poderá ser possível
99
desprezar-se a resistência frente às reatâncias.
Embora (5.119) seja válida somente para operação em regime permanente balanceado
e se a resistência do estator é pequena frente às reatâncias de magnetização (Xmq eXmd) da
máquina, ela permite uma descrição quantitativa da natureza do torque eletromagnético
de uma máquina síncrona em regime permanente. O primeiro termo do lado direito de
(5.119) é devido à interação do sistema magnético produzido pelas correntes que circulam
nos enrolamentos do estator e o sistema magnético produzido pela corrente que circula no
enrolamento de campo. O segundo termo é devido à saliência do rotor. Esta componente
é comumente conhecida como torque de relutância. O torque predominante é o torque
devido à interação das correntes do estator e do campo.
5.7 Comportamento dinâmico durante uma variação brusca
no torque de entrada
É interessante observar o comportamento dinâmico de uma máquina síncrona durante
uma mudança brusca no torque de entrada. Para este fim, as equações diferenciais que
descrevem a máquina síncrona foram programadas em um computador e um estudo foi
feito. Duas grandes máquinas são consideradas, uma máquina geradora hidro-turbina de
baixa velocidade e uma máquina geradora turbinada à vapor de alta-velocidade (turbo-
gerador). Dados das duas máquinas são apresentados na Tabela 4 e Tabela 5.
Tabela 4: Gerador Hidro-Turbinado
Potência 325 MVA
Tensão fase-fase 20 kV
Fator de potência 0,85
Número de polos 64
Velocidade 112,5 rpm
Inércia do gerador mais turbina 35,1× 106J.s2
Parâmetros: rs = 0,00234Ω
Xls = 0,1478Ω
Xq = 0,5911Ω
Xd = 1,0467Ω
r′fd = 0,0005Ω
X ′lfd = 0,2523Ω
r′kq2 = 0,01675Ω
X ′lkq2 = 0,01267Ω
r′kd = 0,01736Ω
X ′lkd = 0,1970Ω
100
Tabela 5: Turbo-alternador
Potência 835 MVA
Tensão fase-fase 26 kV
Fator de potência 0,85
Número de polos 2
Velocidade 3600 rpm
Inércia do gerador mais turbina 0,0658× 106J.s2
Parâmetros: rs = 0,00243Ω
Xls = 0,1538Ω
Xq = 1,457Ω
r′kq1 = 0,00144Ω
X ′kq1 = 0,6578Ω
Xd = 1,457Ω
r′fd = 0,00075Ω
X ′lfd = 0,1145Ω
r′kq2 = 0,00681Ω
X ′lkq2 = 0,07602Ω
r′kd = 0,01080Ω
X ′lkd = 0,06577Ω
As curvas da Figura 49 ilustram o comportamento dinâmico do gerador hidro-turbinado
após uma mudança na firma de degrau no torque de entrada de zero à 27,6×106 Nm (nomi-
nal). O comportamento dinâmico da máquina turbinada a vapor é mostrada na Figura 50.
Neste caso a mudança no torque de entrada foi de um degrau de zero a 1,11×106 Nm (50%
do nominal). Nas Figuras 49 e 50 as seguintes variáveis são plotadas: i′as, vrqs, irqs, vrds,
irds, irfd, Te, ω e δ; onde ωr está em radianos elétricos por segundo e δ em graus elétricos.
Em cada estudo, supõe-se que a máquina está conectada à um barramento cuja tensão e
frequência permanecem constantes, iguais aos valores nominais, independentemente das
correntes do estator. Isto é conhecido como um barramento infinito, uma vez que suas
características não variam com a potência fornecida ou consumida por uma máquina co-
nectada a ele. Embora um barramento infinito não passa ser realizado na prática, suas
características podem ser aproximadamente obtidas se a capacidade de fornecer potência
do sistema, no ponto onde a máquina está conectada, é muito maior.
Inicialmente cada máquina está operando com torque de entrada nulo com a exci-
tação fixa no valor que dá tensão terminal de circuito aberto àvelocidade síncrona. É
interessante observar as curvas de Te, ωr e δ após o degrau no torque de entrada. Em
partículas consideremos a resposta do gerador hidro (Figura 49). A velocidade do rotor
começa a aumentar imediatamente após o degrau no torque de entrada. A velocidade do
rotor aumenta até que o torque acelerante do rotor seja nulo. Como pode ser visto na
101
V
(k
V
)
ds
20
0
10
t(s)0 1 2 3 4 5 6
I
(k
A
)
as
50
-50
0
V
(k
V
)
qs
20
0
10
I
(k
A
)
qs
20
0
10
I
(k
A
)
ds
20
0
10
I
(k
A
)
fd
25
15
20
T
(M
N
.m
)
e
50
0
25
w
(r
ad
/s
)
r
380
376
378
(
ra
d)
40
0
20
Figura 49: Comportamento dinâmico de um gerador hidro após aumento no torque de
entrada na forma de degrau, de zero até o valor nominal.
Figura 49, a velocidade aumenta para aproximadamente 390 rad. elet/segundo onde Te
é igual a Ti uma vez que a variação de ωr é zero (dWr/dt = 0) e portanto o torque de
inércia é zero.
Embora o torque acelerante é zero neste instante, o rotor está rodando além da velo-
cidade síncrona e portanto δ e Te continuarão a aumentar. O aumento de Te, o qual é um
aumento na potência de saída da máquina, causa a desaceleração do rotor para abaixo da
velocidade síncrona. No entanto, quando a velocidade síncrona é alcançada o valor de δ
tornou-se maior que o necessário, para satisfazer o torque de entrada. Portanto, o rotor
continua a desacelerar para abaixo da velocidade síncrona e consequentemente δ começa a
diminuir o que por sua vez diminui Te. Oscilações amortecidas nas variáveis da máquina
continuam existindo e um novo ponto de operação em regime permanente é finalmente
obtido.
No caso do gerador hidro-turbinado as oscilações nas variáveis da máquina subexistem
em torno de dois ou três segundos e a máquina estabele-se no novo ponto de regime
102
V
(k
V
)
ds
21,2
0
I
(k
A
)
as
13,1
-13,1
0
V
(k
V
)
qs
21,2
0
I
(k
A
)
qs
13,1
0
I
(k
A
)
ds 13,1
0
I
(k
A
)
fd
26,2
0
T
(M
N
.m
)
e
2,22
0
w
(r
ad
/s
)
r
1,01 wb
(
gr
au
s) 60
20
0
0,99 wb
wb
13,1
40
Degrau de carga (T) l
de 0 para 1.11 N.m 
t(s)1 s
Figura 50: Comportamento dinâmico de um gerador a vapor (turbo alternador) após
aumento no torque de entrada na forma de degrau, de zero até 50% do valor nominal.
permanente em torno de oito ou dez segundos. No caso do gerador à vapor a oscilações
são mais rápidas mas o novo ponto de operação em regime permanente é conseguido mais
lentamente.
5.8 Comportamento dinâmico durante curto-circuito tri-
fásico nos terminais da máquina
As curvas da Figura 51 ilustram o comportamento dinâmico do gerador hidro durante e
após um curto-circuito trifásico nos terminais da máquina. O comportamento dinâmico do
gerador vapor é mostrado na Figura 52. Os parâmetros das máquinas são as apresentadas
na Seção 5.7.
Em cada caso a máquina é inicialmente conectada à um barramento infinito fornecendo
potência nominal a fator de potência nominal. O torque de entrada é suposto constante
103
V
(k
V
)
ds
20
-20
0
I
(k
A
)
as
100
-100
0
V
(k
V
)
qs
20
-20
0
I
(k
A
)
qs
100
100
0
I
(k
A
)
ds
200
200
10
I
(k
A
)
fd
100
0
50
T
(G
N
.m
)
e
0,2
-0,2
0
w
(r
ad
/s
)
r
390
370
380
(
ra
d)
100
0
50
t(s)0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
Figura 51: Comportamento dinâmico de um gerador hidro após curto-circuito trifásico
nos terminais da máquina.
e a excitação de campo também é suposta constante. Com as máquinas operando nestas
condições de regime permanente, uma falta trifásica é simulada fazendo-se vas, vbs e
vcs iguais à zero, nos instantes em que vas passa por zero e começaria a ser positiva.
Uma vez que a tensão terminal é nula durante o curto-circuito trifásico, a máquina não
fornece potência ao sistema. Portanto, todo o torque de entrada, com excessão das perdas
ôhmicas, acelera o rotor.
Quando a falta é retirada, as tensões são reaplicadas à máquina e níveis DC amorte-
cidas ocorrem nas correntes e no torque eletromagnético.
104
Falta eliminada
Falta trifásica
t(s)
V
(k
V
)
ds
21,2
0
I
(k
A
)
as
131
-131
0
V
(k
V
)
qs
21,2
-21,2
0
I
(k
A
)
qs
131
-131
0
I
(k
A
)
ds
131
0
I
(k
A
)
fd
262
0
T
(M
N
.m
)
e
11.1
-11.1
0
w
(r
ad
/s
)
r
1,02 wb
(
gr
au
s) 200
100
0
0,98 wb
wb
0,3 s
Figura 52: Comportamento dinâmico de um gerador vapor após curto-circuito trifásico
nos terminais da máquina.
105
6 Teoria das máquinas de indução
bifásicas
6.1 Equações de tensão e torque em variáveis da
máquina para máquinas de indução bifásicas não
simétricas
Uma máquina de indução bifásica de dois polos não simétrica é mostrada na Figura 53.
Os enrolamentos de estator são enrolamentos não idênticos distribuídos senoidalmente
arranjados em quadratura.
rr
as¢
as
ar¢
ar
eixo as
eixo ar
eixo bseixo br
bs
bs¢
br¢
br
asv
asi s
N
sr
sN
bsv
bsi
rN
ariarv
brv
rr
rN
bri
Figura 53: Máquina síncrona trifásica de polos salientes.
106
Supõe-se que o enrolamento as tenha Ns espiras equivalentes com resistência rs. O en-
rolamento bs tem Ns espiras equivalentes com resistência rs. Os enrolamentos de rotor se-
rão considerados como dois enrolamentos idênticos senoidalmente distribuídos arranjados
em quadratura. Cada enrolamento do rotor tem Nr espiras equivalentes com resistência
rr. As equações de tensão expressas em variáveis da máquina podem ser escritas.
vabs = rsiabs +
d
dt
λabs (6.1)
vabr = rriabr +
d
dt
λabr (6.2)
onde
(fabs)
T =
[
fas fbs
]
(6.3)
(fabr)
T =
[
far fbr
]
(6.4)
rs = diag
[
rs rs
]
A matriz de resistências rr é diagonal com elementos não nulos e iguais. Os enlaces
de fluxo podem ser expressos como:[
λabs
λabr
]
=
[
Ls Lsr
Lsr
T Lr
][
iabs
iabr
]
(6.5)
onde
Ls =
[
Lls + Lms 0
0 Lls + Lms
]
(6.6)
Lr =
[
Llr + Lmr 0
0 Llr + Lmr
]
(6.7)
Lsr =
[
Lsr cos θr −Lsr sen θr
Lsr sen θr Lsr cos θr
]
(6.8)
Em (6.6), Lls e Lms (Lls e Lms) são, respectivamente, as indutâncias de dispersão e
de magnetização do enrolamento as (enrolamento bs). No caso de enrolamentos idênticos
no rotor, Llr e Lmr são as indutâncias de dispersão e magnetização, respectivamente. Em
(6.8), Lsr(Lsr) é a amplitude da indutância mútua entre o enrolamento as (enrolamento
bs) e os enrolamentos do rotor. O deslocamento angular do rotor é definido na Figura 53. É
óbvio que as equações acima podem também serem usadas para uma máquina de indução
bifásica simétrica.
107
A expressão do torque eletromagnético pode ser obtida de (4.25):
Te =
(
P
2
)
iTabr
∂
∂θr
LTsriabs (6.9)
Sob forma expandida, (6.9) que é positiva para ação motora torna-se:
Te =
(
P
2
)
{Lsrias(−iar sen θr − ibr cos θr) + Lsribs(iar cos θr − ibr sen θr)} (6.10)
O torque e a velocidade do rotor são relacionados por:
Te = J
(
2
P
)
dωr
dt
+ TL (6.11)
onde:
J é a inércia do rotor e da carga conectada ao motor [kg.m2];
TL é o torque da carga [N.m].
6.2 Equações de tensão e torque em variáveis de um
sistema de referência estacionário para
máquinas de indução bifásicas não simétricas
Uma mudança ou transformação de variáveis bifásicas de elementos de um circuito
estacionário para uma referência arbitrária é dada por:
fqds = K2sfabs (6.12)
onde:
fTads =
[
fqs fds
]
(6.13)
fTabs =
[
fbs fbs
]
(6.14)
K2s =
[
cos θ senθ
senθ − cos θ
]
(6.15)
θ =
∫ t
0
ω(ζ)dζ + θ(0) (6.16)
onde ζ é simplesmente uma variável de integração. A matriz de transformação e sua
108
inversa são iguais, isto é:
K2s = K2s
−1 (6.17)
Uma mudança de variáveis que permite transformar variáveis bifásicas do circuito do
rotor para o eixo de referência arbitrário é:
fqdr = K2rfabr (6.18)
onde
fTqdr =
[
fqr fdr
]
(6.19)
fTabr =
[
far fbr
]
(6.20)
K2r = K2r
−1 =
[
cos β senβ
senβ − cos β
]
(6.21)
β = θ − θr (6.22)
O ângulo θ é definido em (6.16), o deslocamento angular θr é por sua vez:
θr =
∫ t
0
ωr(ζ)dζ + θr(0) (6.23)
onde ζ é meramente uma variável de integração.
Uma vez que os enrolamentos de estator de uma máquina de indução bifásicanão
simétrica não são idênticos é necessário transformar todas as variáveis da máquina para
o sistema de referência estacionário de maneira a obter-se equações de tensão com parâ-
metros constantes. As equações de tensão em termos de variáveis do eixo de referência
estacionário (ω = 0) tornam-se com θ(0) é igual a zero.
vsqds = rsi
s
qds +
d
dt
λsqds (6.24)
vsqdr = rri
s
qdr − ωrλsqdr +
d
dt
λsqdr (6.25)
onde
(λsqdr)
T =
[
λsdr −λsqr
]
(6.26)
Substituindo as equações de transformação nas equações de enlace de fluxo conduzem
a: [
λsqds
λsqdr
]
=
[
Ks2sLsK2s
−1 Ks2sLsrK
s
2r
−1
Ks2rL
T
srK
s
2s
−1 Ks2rLrK2r
s−1
]
=
[
isqds
isqdr
]
(6.27)
109
onde Ls, Lr e Lsr são definidas anteriormente e Ks2s para o sistema de referência estacio-
nário é:
Ks2s =
[
1 0
0 −1
]
(6.28)
Tem-se então:
Ks2sLsK2s
−1 = Ls (6.29)
Ks2rLrK2r
−1 = Lr (6.30)
Ks2sLsrK2r
−1 = Ks2rL
T
srK2s
−1 =
[
Lsr 0
0 Lsr
]
(6.31)
Sob forma expandida:
vsqs = rsi
s
qs +
d
dt
λsqs (6.32)
vsds = rsi
s
ds +
d
dt
λsds (6.33)
vsqr = rri
s
qr − ωrλsdr +
d
dt
λsqr (6.34)
vsdr = rri
s
dr − ωrλsqr +
d
dt
λsdr (6.35)
onde:
λsqs = Lsi
s
qs + Lsri
s
qr (6.36)
λsds = Lsi
s
ds + Lsri
s
dr (6.37)
λsqr = Lri
s
qr + Lsri
s
qs (6.38)
λsdr = Lri
s
dr + Lsri
s
ds (6.39)
onde:
Ls = Lls + Lms
Ls = Lls + Lms
Lr = Llr + Lmr
As indutâncias Lsr e Lsr são definidos por (6.8).
Quando desenvolvem-se circuitos equivalentes de máquinas elétricas costuma-se referir
as variáveis do rotor para o estator através de uma relação entre o número de espiras.
Os enrolamentos estatóricos de um motor de indução bifásico não simétrico não têm o
mesmo número de espiras. É conveniente referir as variáveis do eixo q ao enrolamento as
110
com Ns espiras e as variáveis do eixo d ao enrolamento bs com Ns espiras. Este tipo de
referenciação é mais facilmente efetuado após efetuar-se uma mudança de variáveis para
o sistema de referência estacionário com θ(0) feito igual a zero. Se todas as variáveis do
eixo q são referidas ao enrolamento com Ns espiras (enrolamento as) e todas as variáveis
do eixo d para o enrolamento com Ns espiras (enrolamento bs) as equações de tensão
tornam-se
vsqs = rsi
s
qs +
d
dt
λsqs (6.40)
vsds = rsi
s
ds +
d
dt
λsds (6.41)
v′sqr = r
′
ri
′s
qr −
Ns
Ns
ωrλ
′s
dr +
d
dt
λ′sqr (6.42)
v′sdr = r
′
Ri
′s
dr −
Ns
Ns
ωrλ
′s
qr +
d
dt
λ′sdr (6.43)
onde:
λsqs = Llsi
s
qs + Lms(i
s
qs + i
′s
qr) (6.44)
λsds = Llsi
s
ds + Lms(i
s
ds + i
′s
dr) (6.45)
λ′sqr = L
′
lri
′s
qr + Lms(i
s
qs + i
′s
qr) (6.46)
λ′sdr = L
′
lRi
′s
dr + Lms(i
s
ds + i
′s
dr) (6.47)
Nas quais
v′sqr =
Ns
Nr
vsqr (6.48)
i′sqr =
Nr
Ns
isqr (6.49)
v′sdr =
Ns
Nr
vsdr (6.50)
i′sdr =
Nr
Ns
isdr (6.51)
r′r =
(
Ns
Nr
)2
rr (6.52)
L′lr =
(
Ns
Nr
)2
Llr (6.53)
r′R =
(
Ns
Nr
)2
rr (6.54)
L′lr =
(
Ns
Nr
)2
Llr (6.55)
111
Lms =
Ns
Nr
Lsr (6.56)
Lms =
Ns
Nr
Lsr (6.57)
As equações acima estão representadas pelos circuitos equivalentes mostrados na Fi-
gura 54.
rr¢lrL¢
msL
lsL
s
drv¢
s
dri¢
s
dsv¢
s
r
s
r
qr
N
N
w l¢
sr
s
dsi
(a)
rr¢lrL¢
msL
lsL
s
qrv¢
s
qri¢
s
qsv¢
s
r
s
r
dr
N
N
w l¢
sr¢
s
qsi
(b)
Figura 54: Circuitos equivalentes para uma máquina de indução bifásica não simétrica.
É muitas vezes conveniente expressar as equações de tensão e enlace de fluxo em
termos de reatâncias ao invés de indutâncias. Então, (6.40) a (6.47) são escritas como
vsqs = rsi
s
qs +
d
dt
1
ωb
ψsqs (6.58)
vsds = rsi
s
ds +
d
dt
1
ωb
ψsds (6.59)
v′sqr = r
′
ri
′s
qr −
Ns
Ns
ωr
ωb
ψ′sdr +
d
dt
ψ′sqr (6.60)
v′sdr = r
′
Ri
′s
dr −
Ns
Ns
ωr
ωb
ψ′sqr +
d
dt
ψ′sdr (6.61)
onde ωb é a velocidade angular usada para calcular as reatâncias indutivas. As equações
de enlace de fluxo são agora escritas em termos de enlaces de fluxo por segundo. Então:
ψsqs = Xlsi
s
qs +Xms(i
s
qs + i
′s
qr) (6.62)
ψsds = Xlsi
s
ds +Xms(i
s
ds + i
′s
dr) (6.63)
112
ψ′sqr = Xlri
′s
qr +Xms(i
s
qs + i
′s
qr) (6.64)
ψ′sdr = XlRi
′s
dr +Xms(i
s
ds + i
′s
dr) (6.65)
As equações podem também serem escritas sob forma matricial como:

vsqs
vsds
vqr
′s
vdr
′s
 =

rs +
d
dt
(
1
ωb
)
Xss 0
d
dt
Xms 0
0 rs +
d
dt
(
1
ωb
)
Xss 0
d
dt
(
1
ωb
)
Xms
d
dt
Xms − 1n
(
ωr
ωb
)
Xms rr
′ + d
dt
(
1
ωb
)
Xrr
′ − 1
n
(
ωr
ωb
)
XRR
′
n
(
ωr
ωb
)
Xms
d
dt
(
1
ωb
)
Xms n
(
ωr
ωb
)
Xrr
′ rR
′ + d
dt
(
1
ωb
)
XRR
′


iqs
s
ids
s
iqr
′s
idr
′s
 (6.66)
Para compactar a notação Ns/Ns foi substituída por n e:
Xss = Xls +Xms (6.67)
Xss = Xls +Xms (6.68)
X ′rr = X
′
lr +Xms (6.69)
X ′RR = X
′
lR +Xms (6.70)
O torque eletromagnético instantâneo pode ser expresso em termos das variáveis do
sistema de referência com:
Te =
P
2
(Lsri
s
qsi
s
dr − Lsrisdsisqr) (6.71)
Em termos de variáveis do sistema de referência referidas, a expressão do torque
eletromagnético torna-se:
Te =
P
2
(
Ns
Ns
λ′sqri
′s
dr −
Ns
Ns
λ′sdri
′s
qr
)
(6.72)
Desprezando-se a saturação, as indutâncias podem ser expressas em termos de espiras
e relutância. Portanto, pode-se mostrar que:
Lsr
Ns
=
Lsr
Ns
(6.73)
Lms
Ns
2 =
Lms
Ns
2 (6.74)
Segue que (6.72) pode também ser escrita como
Te =
(
P
2
)(
Ns
Ns
)(
Xms
ωb
)
(isqsi
′s
dr − isdsi′sqr) (6.75)
113
6.3 Máquinas de indução monofásica
A máquina de indução bifásica não simétrica é projetada para aplicações monofásicas.
Existem vários tipos de máquinas de indução monofásicas: a "split-phase", capacitor de
partida, capacitor de partida e de regime são as mais comuns. As equações dadas neste
capítulo podem ser utilizadas para descrever o comportamento de todas estas máquinas.
A máquina de indução bifásica não simétrica usada para demonstrar o comportamento
dos diferentes tipos de máquinas monofásicas é um motor de 4 polos, 1/2 hp, 110 volts,
60 Hz com os seguintes parâmetros expressos em ohms:
rs = 2,02 Xms = 66,8 r
′
r = 4,12
Xls = 2,79 X
′
lr = 2.12
rs = 7,14 Xms = 92,9 r
′
R = 5,74
Xls = 3,22 x
′
lR = 2,95
A inércia total é J = 1,46 × 10−2kgm2 e Ns/Ns = 1,18. Embora serão considerados
outros modos de operação, ela é projetada para operar como máquina com capacitor de
partida e capacitor de regime. A impedância do capacitor de partida a 60 Hz é 3−j14,5Ω;
o capacitor de regime é 9− j172Ω.
6.3.1 Enrolamento de estator monofásico
A máquina de indução com somente um enrolamento de estator energizado não de-
senvolve um torque médio à velocidade nula do rotor. Isto não é difícil de compreender.
Com uma tensão senoidal aplicada à somente um enrolamento de estator, a FMM de
entreferro pulsa à frequência da fonte. Esta FMM pulsante pode ser entendida como ori-
ginada de duas FMM iguais rodando em direções opostas. Quando o rotor está parado
as torques devidos à interação das correntes induzidas com estas duas FMM são iguais
e opostas. Embora esta máquina passa desenvolver um torque médio, uma vez que tenha
partido, a rodar em uma direção, ela não pode partir sem algum meio auxiliar.
Um torque de partida é desenvolvido se ambos os enrolamentos de estator são conecta-
dos à mesma fonte monofásica e se os enrolamentos de estator, que estão espacialmente em
quadratura, não são simétricos. Com os enrolamentos de estator não simétricos a corrente
em um enrolamento de estator estará defasada em relação à corrente no outro enrolamento
dando origem à componentes de correntes do estator que estão em quadratura no tempo.
Isto resulta em um torque médio. Consequentemente, ambos os enrolamentos do estator
114
são usados durante a partida e então, no caso de motores "split-phase"ou com capacitor
de partida, um dos enrolamentos é desconectado da fonte quando a máquina atinge 60%
a 80% da velocidade síncrona. Portanto, o modo de operação normal de muitas máquinas
de indução monofásicas envolve somente um enrolamento de estator. O enrolamento de
estator que permanece conectado à fonte é geralmente chamado enrolamento principal,
o enrolamento que é usado somentepara a partida no caso de motores "split-phase"ou
máquinas com capacitor de partida é conhecido como enrolamento auxiliar. Vamos cha-
mar o enrolamento as ou qs como enrolamento principal e o enrolamento bs ou ds como
enrolamento auxiliar.
As equações que permitem a simulação dinâmica destes dispositivos são as equações
(6.58) a (6.59). É necessário eliminar as equações relativas ao enrolamento ds quando o
enrolamento auxiliar é desconectado ao mesmo tempo que faz-se Ns igual a Ns (n = 1).
6.3.2 Motor de indução Split-phase
O motor de indução split-phase é equipado com enrolamentos de estator não simétri-
cos. A partida desta máquina é feita com ambos os enrolamentos energizados a partir de
uma fonte monofásica comum. Uma vez que o rotor tenha atingido 60 a 80% da velocidade
síncrona o enrolamento auxiliar (bs) é desconectado da fonte por uma chave centrífuga.
6.3.2.1 Motor de indução com capacitor de partida
Neste caso um capacitor com resistência rc e reatânciaXc é inserido com o enrolamento
de partida, aqui chamado de enrolamento bs. As equações de tensão tornam-se então:
vabs = rsiabs +
d
dt
λabs + vcabs (6.76)
vabr = rriabr
d
dt
λabr (6.77)
iabs = C
d
dt
vcabs (6.78)
onde: [
λabs
λabr
]
=
[
Ls Lsr
Lsr
T Lr
][
iabs
iabr
]
(6.79)
vcabs =
[
vca
vcb
]
(6.80)
115
onde:
vc é a tensão no capacitor C [V].
Supõe-se aqui que podem haver capacitores nos dois enrolamentos.
Transcreve-se novamente a matriz de transformação:
Ks2s =
[
1 0
0 −1
]
e que Ks2s
−1 =
[
1 0
0 −1
]
Os termos novos estão associados às equações (6.76) e (6.78), vamos analizá-los:
(a) Ks2s
−1vsqds = rsK
s
2s
−1isqds +
d
dt
{Ks2s−1λsqds}+ Ks2s−1vcsqds
vsqds = K
s
2srsK
s
2s
−1isqds + K
s
2s
d
dt
{Ks2s−1λsqds}+ Ks2sKs2s−1vcsqds
(a) Ks2s
−1isqds = C
d
dt
{Ks2s−1vcsqds}
isqds = K
s
2sC
 ddtKs2s−1︸ ︷︷ ︸
0
vc
s
qds + K
s
2s
−1 d
dt
vc
s
qds

isqds = K
s
2sCK
s
2s
−1 d
dt
vc
s
qds
A matriz C pode ser posta da seguinte maneira:
C =
[
Ca 0
0 Cb
]
Portanto, tem-se simplesmente que:
isqs = Ca
d
dt
vc
s
qs
isds = Cb
d
dt
vc
s
ds
Nesse caso, só se tem capacitor no enrolamento b e então vcqs = 0. Então retirar-se
esta equação.
Adotando ainda que Xc = 1ωbc logo, C =
1
ωbXc
, tem-se as seguintes equações:
116
vsqs = rsi
s
qs +
1
ωb
d
dt
[Xlsi
s
qs +Xms(i
s
qs + i
′s
qr)]
vsds = rsi
s
ds +
1
ωb
d
dt
[Xlsi
s
ds +Xms(i
s
ds + i
′s
dr)] + vcds
v′sqr = r
′
ri
′s
qr −
Ns
Ns
ωr
ωb
[X ′lRi
′s
dr +Xms(i
s
ds + i
′s
dr)] +
1
ωb
d
dt
[X ′lri
′s
qr +Xms(isqs+i′sqr)]
v′sdr = r
′
Ri
′s
dr +
Ns
Ns
ωr
ωb
[X ′lri
′s
qr +Xms(i
s
qs + i
′s
qr)] +
1
ωb
d
dt
[X ′lRi
′s
dr +Xms(isqs+i′sqr)]
isds = Cb
d
dt
vc
s
ds =
1
ωbXc
d
dt
vcdss
e o torque eletromagnético é descrito pela equação (6.75)
1,51,00,50
1000
1800
0
6
12
-100
0
100
-10
0
10
-20
0
20
(
)
N
.m
eT
(r
p
m
)
(
)
V
cv
(
)
A
bi
(
)
A
ai
t(s)
Figura 55: Partida da máquina de indução monofásica com capacitor de partida.
Na Figura 55 estão apresentadas as curvas da partida do motor de indução monofásico.
O enrolamento auxiliar (enrolamento bs) é desconectado quando o rotor atinge 75% da
velocidade síncrona.
6.3.2.2 Motor de indução com capacitor de partida e capacitor de regime
Neste caso o enrolamento de partida, ou auxiliar, não é desconectado após a par-
tida. Em vez disto, o valor do capacitor série é mudado. Em outras palavras, existem
dois valores de capacitância; uma para a partida e uma para a operação normal. Estes
117
dois valores são obtidos usando-se dois capacitores conectados em paralelo sendo que um
dos caminhos paralelos é posto em circuito aberto quando o rotor atinge 60 a 80% da
velocidade síncrona. Um exemplo de simulação é mostrado na Figura 56.
1,51,00,50
1000
1800
0
6
12
-200
0
200
-10
0
10
-20
0
20
rp
m
(
)
N
m
eT
(
)
V
cv
(
)
A
bi
(
)
A
ai
Figura 56: Partida da máquina de indução monofásica com capacitor de partida e capa-
citor de regime.
118
7 Controle vetorial dos motores de
indução trifásicos
7.1 Introdução
A preferência pelo motor de indução nas aplicações industriais deve-se principalmente
à sua robustez e simplicidade de construção. Até há alguns anos o motor de indução podia
ser conectado diretamente à rede elétrica (portanto não-controlado) ou controlado através
do método escalar V/f = cte, o que implica em manter, em regime permanente, o fluxo de
entreferro ψm constante. Manter o fluxo de entreferro constante implica em ter-se máxima
sensibilidade no torque à corrente estatórica o que é similar ao princípio de geração de
torque nas máquinas de corrente contínua. Os métodos escalares onde controla-se somente
a magnitude de uma variável, em contraste com métodos vetoriais onde a magnitude e
a fase de uma variável vetorial são controladas, têm sérias deficiências no que se refere à
eficiência, confiabilidade e interferência eletromagnética. Com o método não-controlado,
obviamente, nem mesmo um controle de velocidade pode ser implementado.
O método V/f = cte permite variações de velocidade mas não permite controle em
tempo real. Em outras palavras, a resposta do sistema é satisfatória apenas em regime
permanente e não durante condições transitórias. Isto resulta em corrente excessiva e
sobre-aquecimento, o que faz com que o acionamento tenha que ser sobredimensionado.
Em termos de implementação, supõe-se que a tensão aplicada ao motor seja senoidal
e que a queda de tensão na resistência do estator seja desprezível. Assim, em regime
permanente, a tensão nos terminais da máquina é dada por:
Vs = n
d
dt
ψm
se ψm = ψm,max senωet teremos Vs:
Vs = nωeψm,max cosωet
119
ou seja, extraindo o valor máximo da última equação
ψm,max =
1
n
Vs
ωe
=
1
n2π
Vs
f
(7.1)
Na implementação prática Vs e f são os valores nominais da máquina. No entanto,
quando a frequência e a tensão são baixas, a queda da tensão sobre a resistência estatórica
não pode mais ser desprezada. Por outro lado, para frequências maiores que a nominal,
para evitar o rompimento da isolação, o princípio V/f = cte não pode ser implementado.
Assim, realísticamente, os limites deste tipo de controle são os mostrados na Figura 57.
Vnominal
Vmin
fmin fnominal
Vs
f
Figura 57: Limites do controle V/f = constante.
Com o advento do controle vetorial, os motores de indução passaram a ser opera-
dos de maneira similar aos motores de corrente contínua com excitação independente.
O chamado "método indireto de controle vetorial" para o controle de máquinas de cor-
rente alternada está se tornando um padrão industrial para se obter alta performance na
operação dinâmica de motores.
7.2 Métodos de controle vetorial
Nos métodos de controle escalar a tensão e a frequência são as variáveis de controle
básicas do motor de indução. Tanto o torque com o fluxo de entreferro são funções da
tensão e da frequência. E é precisamente o efeito deste acoplamento o responsável pela
lenta resposta do motor de indução. Se, por exemplo, o torque é aumentado pelo aumento
da frequência (isto é, pelo aumento do escorregamento), o fluxo tenderá à diminuir. Isto
120
no entanto pode ser compensando por um aumento da tensão através de uma malha de
controle de fluxo que é, classicamente, lenta. A diminuição transitória do fluxo reduz a
sensibilidade do torque com o escorregamento e portanto aumenta o tempo de resposta.
A limitação acima pode ser vencida aplicando o "método de controle vetorial" que
é também chamado "método de controle orientado ao campo" (do inglês "FOC- Field
Oriented Control". Este método de controle é aplicável tanto às máquinas assíncronas
como às máquinas síncronas. No método de controle vetorial, uma máquina de corrente
alternada é controlada como uma máquina de corrente contínua independentemente ex-
citada. Esta analogia é mostrada na Figura 58. Em uma máquina c.c., o torque é dado
por:
Te = LAF if ia = k
′
tif ia (7.2)
onde ia é a corrente de armadura e if é a corrente de campo. Em umamáquina
c.c., as variáveis de controle ia e if podem ser consideradas como ortogonais ou "ve-
tores"desacoplados. Em operação normal, a corrente de campo é ajustada de maneira
a manter-se o fluxo de campo nominal e o torque é modificado através da corrente de
armadura.
If+
-
Is
Componente do 
torque
Componente do 
campo
Conversor e 
controle MI
Componente do 
torque
Componente do 
campo
'
e t g s t s fT =K I =K I Iy
(a)
(b)
Eixos girando em 
velocidade síncrona
µ e ' e e
me t qs t qs qsT =K i =K i iy
*e
dsi
*e
qsi
Figura 58: Analogia entre o motor c.c. e o motor de indução com controle vetorial.
Esta maneira de controlar pode ser extendida ao motor de indução quando a operação
da máquina é considerada num sistema de referência rodando à velocidade síncrona onde
121
as variáveis senoidais aparecem como quantidades c.c. (constantes). Na Figura 58 o motor
de indução com o inversor e controle é mostrado com duas entradas de controle:
e
ids∗ e
e
iqs∗. As correntes
e
ids e
e
iqs são, respectivamente as componentes segundo o eixo direto e
em quadratura da corrente do estator, ambas no eixo de referência girando à velocidade
síncrona. Em controle vetorial,
e
ids é análoga à corrente de campo if e
e
iqs é análoga à
corrente de armadura ia de uma máquina c.c. Portanto, o torque pode ser escrito como:
Te = kt|
̂̃
ψm|
e
iqs = k
′
t
e
iqs
e
ids (7.3)
q
'q
±¶
my
°µ
sI
°µ'
sI
°µ
gV
°µ
sV
ew
eEixo q
eEixo d
Corrente no 
estator
°µe
ds si I cos q=
°µe
qs si I senq=
°µ' e ' '
qs si I senq=
Tensão no 
estator
Tensão no 
entreferro
q
'q
°µ
sI
°µ'
sI
°µ
gV
°µ
sV
ew
eEixo q
eEixo d
°µe
ds si I cos q= °µe
qs si I senq=
±¶'
my
°µ' e ' '
ds si I cos q=
Aumento da compenete de campoAumento da compenete de torque
±¶
my
Figura 59: Diagramas fasoriais em controle vetorial direto (em termos de valores de pico.
O conceito básico de como
e
ids e
e
iqs podem ser estabelecidas como vetores de controle
no método de controle vetorial é exposto na Figura 59 com a ajuda de diagramas fasoriais
em um sistema de referência
e
d−
e
q girando à velocidade síncrona. Por simplificação, a
indutância de dispersão do rotor é desprezada. O diagrama fasorial é desenhado com a
tensão de entreferro ̂̃V g alinhada com o eixo eq. A corrente de estator ̂̃Is está atrasada
da tensão Vg de (90 − θ)◦, i.e.,
e
iqs =
̂̃
Issenθ está em fase com
̂̃
V g e
e
ids = Is cos θ está em
quadratura com ̂̃V g. A corrente eiqs é a componente ativa ou de torque da corrente do
estator e a potência ativa correspondente através do entreferro é ̂̃V g eiqs. A corrente eids é
a componente reativa ou de campo da corrente de estator e é responsável pelo estabeleci-
mento do fluxo de entreferro ̂̃ψm. A potência reativa através do entreferro correspondente
é Te = kt|
̂̃
ψm|
e
iqs = k
′
t
e
iqs
e
ids, onde
e
ids e
e
iqs são mostrados na Figura 59. A equação de
122
torque é, portanto, idêntica a de uma máquina c.c. As variáveis
e
ids e
e
iqs são mutuamente
desacopladas e podem ser independentemente variadas. Para operação normal, como é o
caso das máquinas c.c., a corrente
e
ids permanece constante e o torque é variado através
de
e
iqs. Correspondentemente, a posição angular de
̂̃
Is desloca-se para
̂̃
I
′
s, como mostrado.
Os fundamentos da implementação do controle vetorial com o modelo da máquina
podem ser entendidos com a ajuda da Figura 60. O inversor é omitido nesta figura e
assume-se que ele gere formas ideais das correntes ia, ib e ic, de acordo com as correspon-
dentes formas de ondas das referências geradas pelo controlador. O modelo da máquina é
mostrado à direita. As correntes nas fases ia, ib, ic são convertidas nas correspondentes isqs
e isds (estacionárias) através de uma transformação trifásica/bifásica. Elas são então con-
vertidas para um sistema de referência girando à velocidade síncrona através dos vetores
unitários cosωet e senωet, antes de serem aplicados ao modelo da máquina. O controlador
efetua dois estágios de transformação inversa de modo que os parâmetros de controle ids∗
e iqs∗ correspondem as variáveis da máquina
e
ids e
e
iqs. Os vetores unitários asseguram o
alinhamento de
e
ids com
̂̃
ψm e
e
iqs com
̂̃
V g. É importante notar que a transformação e sua
inversa não incorporam nenhuma dinâmica e, deste modo, a resposta é instantânea.
e ed -q
para
s sd -q
s sd -q
para
a-b-c
a-b-c
para
s sd -q
s sd -q
para
e ed -q
Modelo de 
máquina
e ed -q
cos w te sen w te cos w te sen w te
*
dsi
*
qsi s*qsi
s*
dsi
s
qsi
s
dsi dsi
qsi
Terminais da
máquina
TransformaçãoTransformação
inversa
MáquinaControle
*
ai
*
bi
*
ci
ai
bi
ci
Conversor{
Figura 60: Implementação do controle vetorial.
Deve-se mencionar que, adicionalmente à uma resposta transitória rápida em virtude
do controle desacoplado de pode ser projetado para operação em quatro-quadrantes. O
motor de indução controlado vetorialmente pode ser usado para aplicações de alto desem-
penho (por exemplo, servo acionamentos, etc...)onde tradicionalmente motores c.c. têm
sido usados.
123
Existem essencialmente dois métodos de controle vetorial. Um chamado "método
direto"e o outro "método indireto"e eles diferem essencialmente pela maneira como os
vetores unitários cosωet e senωet são gerados. Lembre-se que são estes vetores que devem
alinhar o enlace de fluxo do rotor com o eixo d. É claro, portanto que deve-se determinar
a posição do fluxo rotórico. O método direto ilustrado na Figura 61(a) determina a
posição do fluxo do rotor através de medições utilizando sensores de ângulo de campo.
O método indireto ilustrado na Figura 61(b) por sua vez mede a posição do rotor e
utiliza o escorregamento para calcular o ângulo do fluxo do rotor em relação ao eixo do
rotor. Do ponto de vista prático, a implementação do método direto é difícil para não
dizer impossível em alguns casos. Assim será considerado doravante somente o método
indireto.
Controlador 
de orientação 
de campo
Inversor
*
eT
*
qdri
qdri
Compensador 
de fluxo
MI
SF
Sensor de 
fluxo
qdmi
Motor de 
indução
abcsi
(a)Direct flux sensing method
Controlador 
de orientação 
de campo
Inversor
*
eT
*
qdri
qdri
Cálculo de 
fluxo
MI
SV
Sensor de 
velocidade
Motor de 
indução
abcsi
fw
(b)Indirect flux sensing method
Figura 61: Dois tipos de controle vetorial de motores de indução.
7.3 Método indireto de contole vetorial
A Figura 62 mostra o princípio do controle vetorial indireto através de um diagrama
fasorial. Os eixos ds − qs são fixos no estator, enquanto que os eixos de − qe giram à
velocidade síncrona ωe, como ilustrado. Em qualquer instante, o eixo qe encontra-se a
uma posição angular θe em relação ao eixo qs. O ângulo θe é dado pela soma da posição
angular do rotor θr e da posição angular do escorregamento θse, onde θe = ωet, θr = ωrt
124
e θse = ωset. O enlace de fluxo do rotor
̂̃
ψr, que é a soma do enlace de fluxo de entreferrỗ
ψm e do enlace de dispersão, está alinhado com o eixo de como mostrado.
°µ
sI
Eixo elétrico
sq
eq
Eixo mecânico
slq
dsi
qsi
±¶
dr ry y=
eq
ed
sd
q
ew
ew
rq
eq
Figura 62: Diagrama fasorial para controle vetorial indireto.
Assim para um controle desacoplado, a componente de fluxo ieds e a componente de
torque ieqs da corrente do estator devem estar alinhadas com os eixos de e qe, respectiva-
mente.
Pode-se escrever as seguintes equações para os eixos síncronos de e qe:
d
dt
ψ′eqr +R
′
ri
′e
qr + (ωe − ωr)ψ′edr = 0 (7.4)
d
dt
ψ′edr +R
′
ri
′e
dr + (ωe − ωr)ψ′eqr = 0 (7.5)
onde as tensões veqr = 0 e v′edr = 0 no caso de um motor com os enrolamentos do rotor
curto-circuitados.
Os enlaces de fluxo do rotor foram também definidos anteriormente no Capítulo 4.
ψ′eqr = L
′
lri
′e
qr + Lm(i
e
qs + i
′e
qr) = L
′
ri
′e
qr + Lmi
e
qs (7.6)
ψ′edr = L
′
lri
′e
dr + Lm(i
e
ds + i
′e
dr) = L
′
ri
′e
dr + Lmi
e
ds (7.7)
onde Lm = M definida anteriormente também.
125
A partir das equações (7.6) e (7.7):
i′eqr =1
L′r
ψ′eqr −
Lm
L′r
ieqs (7.8)
i′edr =
1
L′r
ψ′edr −
Lm
L′r
ieds (7.9)
Substituindo-se as correntes i′eqr e i′edr nas equações (7.4) e (7.5) tem-se:
dψ′eqr +
R′r
L′r
ψ′eqr −
Lm
L′r
R′riqs + ωseψ
′e
dr = 0 (7.10)
dψ′edr +
R′r
L′r
ψ′edr −
Lm
L′r
R′rids − ωseψ′eqr = 0 (7.11)
onde ωse = ωe − ωr
Para controle desacoplado é desejado que:
ψ′eqr =
d
dt
ψ′eqr = 0 (7.12)
ψ′edr =
̂̃
ψr = constante (7.13)
e, em regime permanente
d
dt
ψ′edr = 0 (7.14)
A relação (7.12) advém de que, com controle desacoplado, o enlace de fluxo de rotor
estará alinhado com o eixo direto tornando, por consequência ψ′eqr, a componente segundo
o eixo em quadratura, nula.
Substituindo-se (7.12) e (7.13) em (7.10) e (7.11) resulta:
ωse =
Lm̂̃
ψr
(
R′r
L′r
)
ieqs (7.15)
L′r
R′r
d
dt
̂̃
ψr +
̂̃
ψr = Lmi
e
ds (7.16)
Sendo que esta última equação fica, em regime permanente, como segue
̂̃
ψr = Lmi
e
ds (7.17)
A equação do torque em função do enlace de fluxo no rotor e a corrente no estator
pode ser derivada como segue. Vamos partir dos enlaces de fluxo ψqs e ψds apresentados
126
no Capítulo 4:
ψqs = Llsiqs + Lm(iqs + i
′
qr) (7.18)
ψds = Llsids + Lm(ids + i
′
dr) (7.19)
onde a indutância magnetizanteM foi reescrita como Lm. Escrevendo (7.18) e (7.19) num
sistema de referência girando à velocidade síncrona e definindo a indutância do estator
Ls como:
Ls
∆
= Lls + Lm
pode-se reescrever as equações (7.18) e (7.19) como segue
ψeqs = (Lls + Lm)i
e
qs + Lmi
′e
qr = Lsi
e
qs + Lmi
′e
qr (7.20)
ψeds = (Lls + Lm)i
e
ds + Lmi
′e
dr = Lsi
e
ds + Lmi
′e
dr (7.21)
Substituindo-se as duas últimas igualdades nas equações de enlace de fluxo (7.6) e
(7.7) fica-se com
ψeqs =
[
Ls −
L2m
L′r
]
ieqs +
Lm
L′r
ψ′eqr (7.22)
ψeds =
[
Ls −
L2m
L′r
]
ieds +
Lm
L′r
ψ′edr (7.23)
Vamos relembrar a equação do torque eletromagnético vista no Capítulo 4 escrita em
termos de variáveis num sistema de referência síncrono.
Te =
3
2
(
P
2
)
Lm(i
e
qsi
′e
dr − iedsi′eqr) (7.24)
onde novamente Lm denota aqui, ao invés de M , a indutância magnetizante. Se as
correntes i′eqr e i′edr forem isoladas de (7.20) e (7.21) e substituídas em (7.24), pode-se
reescrever a equação do torque eletromagnético como abaixo:
Te =
3
2
(
P
2
)
(ieqsψ
e
ds − iedsψeqs) (7.25)
Com (7.22) e (7.23) na equação acima a equação de Te ficará escrita somente em
termos de enlaces de fluxo do rotor
Te =
3
2
(
P
2
)
(ieqsψ
′e
dr − iedsψ′eqr)
Lm
L′r
(7.26)
Colocando-se na Equação (7.26) as restrições para que haja controle desacoplado, isto
127
é, ψ′eqr = 0 e ψ′edr =
̂̃
ψ
′
r, teremos a expressão do torque reescrita
Te =
3
2
(
P
2
)
Lm
L′r
ieqs
̂̃
ψr (7.27)
A equação acima, conjuntamente com a equação mecânica(
2
P
)
J
d
dt
ωr = Te − TL (7.28)
descreve o modelo da máquina em controle desacoplado como mostrado na Figura 63.
Supõe-se aqui que o inversor seja controlado em corrente e que os atrasos entre o comando e
as correntes de resposta sejam desprezíveis. O torque Te responde de maneira instântanea
com a corrente ieqs mas terá uma resposta atrasada devido à ieds. A analogia do modelo
com uma máquina c.c. independentemente excitada é evidente.
3
2 2
m
r
LP
L
æ ö÷ç ÷ç ÷çè ø
e
dsi m
r
r
L
L s 1
R
+
x
LT
m
r
r
L
L s 1
R
+
2
P 1
J s
+
-e
T
rw
±¶
ry
e
qsi
Figura 63: Modelo da máquina com controle desacoplado.
Para a implementação do controle vetorial indireto, é necessário utilizar as equações
(7.15) e (7.16). A Figura 64 mostra um sistema de servoacionamento de posição utilizando
o método indireto de controle vetorial. A componente de fluxo da corrente ie∗ds para obter-
se o fluxo de rotor desejado ̂̃ψr é determinado a partir da Equação (7.16) e é mantida
constante aqui. A componente de torque da corrente ie∗qs é obtida da malha de controle
da velocidade. O valor "setado" de velocidade de escorregamento ω∗se é relacionado à
velocidade ie∗qs através da Equação (7.15). Os vetores de ângulo de escorregamento são θ∗se
e cos θ∗se, que determinam o posicionamento do eixo elétrico com relação ao eixo mecânico
do rotor, são gerados a partir do sinal de ω∗se. Os vetores de posição do rotor cos θr e senθr
são obtidos de um "encoder"e são somados com os vetores escorregamento para obter-se
cos θe e senθe como segue:
cos θ∗e = cos(θr + θ
∗
se) = cos θr cos θ
∗
se − sen θr sen θ∗se (7.29)
sen θ∗e = sen(θr + θ
∗
se) = sen θr cos θ
∗
se + cos θr sen θ
∗
se (7.30)
128
±¶
*
'
3
4
ee m
qs
r
r
T LP i
Ly
=
s*
qsi
s*
dsi
+
-
G1 +
-
G2
Modificador 
de 
coordenadas
Conversor 
2 para 3 
fases
PWM
C.C.I.
*
ai
*
bi
*
ci
ai
bi
ci
MI
Motor de 
indução
Gerador 
sen/cos
S
Encoder 
de posição 
angular
Sensores de 
velocidade
 e posição
*
sl sl dtq w= ò
¶
'
m r
'
r r
L R
L y
*
rw
*
rq
rq r
w
* e
qsi
* e
dsi
±
eq
*cos ± eq
*sen
rqcos
rqsenslq
*cos
*
slw
slq
*sen
* *s
a qsi i=
( )e r sl r sl r slq q q q q q q= + = -* * * *cos cos cos cos sen sen
( )e r sl r sl r slq q q q q q q= + = +* * * *sen sen sen cos sen cos
s s
b ds qsi i i= - -
* * *3 1
2 2
s s
c ds qsi i i= -
* * *3 1
2 2
* e
qsi*eT ÷ r
m
L
P L
'4
3
±¶
ry
s e e
ds ds e qs ei i iq q= -
* * * * *cos sen
s e e
qs ds e qs ei i iq q= -
* * * * *sen cos
Figura 64: Servoacionamento de posição com controle vetorial indireto.
Outra possibilidade é adicionar-se os sinais de velocidade de escorregamento e do rotor
e depois calcular-se cos θe e sen θe.
Para determinação da posição do rotor pode-se utilizar "encoders" ou "resolvers". A
Figura 65 mostra a estrutura de um encoder ótico. Ele consiste de uma fonte de luz, um
disco com ranhuras radiais e sensores fotoelétricos. O disco gira junto com o rotor. Os
dois fotosensores detectam a luz que passa através das ranhuras do disco. Quando a luz
está ofuscada, a lógica "0" é gerada pelos sensores. Quando a luz atravessa as ranhuras,
a lógica "1" é produzida. Estes sinais lógicos são mostrados nesta mesma figura. Através
da contagem do número de pulsos, pode-se calcular a velocidade do motor. A direção de
rotação pode ser determinada detectando-se qual dos dois sinais, A ou B, é o primeiro.
A estrutura do servoacionamento mostrada na Figura 64 pode ser modificada para
incorporar-se controle na região de enfraquecimento de campo. O diagrama de blocos
de um controlador para permitir a operação na região de enfraquecimento de campo
é mostrado na Figura 66. Abaixo da velocidade bax, a máquina opera a fluxo |̂̃ψr| e
portanto a operação é idêntica à mostrada na Figura 64. Acima da velocidade base |̂̃ψr|
é enfraquecido de maneira a ser inversamente proporcional à velocidade de maneira que
o acionamento continua sob modo de controle vetorial. Note que o fluxo é controlado em
129
w
FotorreceptorFotoemissor
A
B
A
B
Figura 65: A estrutura de um "encoder".
malha aberta resolvendo-se a Equação (7.16).
±¶
em r
qs se
r
r
L R i
L
w
y
æ ö÷ç ÷ =ç ÷ç ÷çè ø
'
* *
'
*
±¶
ee m
qs
rr
T LP i
Ly
= *'
3
4
* e
qsi*eT ÷ r
m
L
P L
'4
3
±¶*
ry
+
-
G2
*
rw
rw
*
sew÷ mL
±¶
'
*r
r'
r
L
R
y
±¶
er
qs
r
r
R i
Ly
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
'
*
'
*
1
d
dt
+
-
+
-
+
+
±¶r
r
r
L d
R dt
y
'
*
'
mL
1
±¶ ±¶ er
r r m ds
r
L d L i
R dt
y y+ =
'
* *
'
* e
dsid
dt
rw
Enfraquecimento 
de campo
±¶* 1
r
r
ky
w
=
±¶*
ry
Figura 66: Diagrama de blocos para estender a operação na região de enfraquecimento
de campo.
Com controle vetorial indireto, o sistema de acionamento pode operar nos quatro
quadrantes e a velocidade pode ser controlada desde zero até o seu valor pleno. Um
sinal da posição do rotor é absolutamente necessária com este método. O controlador
é dependente dos parâmetros da máquina e, idealmente, os parâmetros do controlador
deveriam "seguir" os parâmetros da máquina o que na prática é extremamente difícil de
se obter. O parâmetro dominante é a resistência do rotor, parâmetro este que tem sido
estimado em tempo real por diferentes métodos, resultando no entanto somente em um
130
sucesso limitado parao método ideal de controle desacoplado.
Neste texto, até o presente, o controle instantâneo da corrente nas fases usado no
inversor. No entanto, eset tipo de controle pode ser problemático, sobretudo na operação
com velocidades altas. Os problemas podem, no entanto, serem resolvidos utilizando-se
um controle em tensão do inversor, como mostra a Figura 67.
'
' 2
1
KK
s
+
*
bv
* e
qsv
*
av
*
cv
2
1
KK
s
+
* e
qsv+
-
+
-
* e
qsi
* e
dsi
eqcos esen q
e
qsi
e
dsi
ai cibi
Transformador 
de fase e 
modificador de 
coordenadas
Transformador 
de fase e 
modificador de 
coordenadas
Figura 67: Diagrama de blocos para o inversor controlado em tensão.
As correntes nas fases da máquina são convertidas para o sistema de referência girando
à velocidade síncrona para que os comandos ve∗ds e ve∗qs passam ser gerados por intermédio
de compensadora PI, como mostra a Figura 67. Estas tensões são então convertidas em
tensões instantâneas de fase no sistema de referência estacionário.
O diagrama de blocos para a simulação do motor de indução acionado por um conver-
sor controlado vetorialmente é mostrado na Figura 68 . O inversor neste caso é controla-
doem tensão e o esquema MATLAB corresponde à combinações dos esquemas de blocos
mostrados nas Figura 64 e Figura 67. Na Figura 68, os ângulos θ∗e são calculados de uma
maneira ligeiramente diferente daquela mostrada na Figura 64 em que as Equações (7.29)
e (7.30) são empregadas. No caso da Figura 68 o ângulo θ∗e é obtido no bloco denominado
"Estimator" e cujo diagrama funcional é apresentado na Figura 69.
onde é calculado o ângulo θ∗e (além de Te e
̂̃
ψr) a partir de i∗dse e i∗qse obtidas das correntes
medidas na máquina e da velocidade do rotor medida.
Finalmente, verifica-se ainda diagrama de blocos da simulação no Matlab apresentado
na Figura 68 que é utilizada uma transformação direta do sistema de referência síncrono
para o sistema trifásico nas tensões, contrariamente ao mostrado na Figura 64 onde existe
131
-
+
iqs
-
+
wmec
wmec_ref
+
+
kdi
kpi
s
1
isd0
isd_ref
+
+
kdi
kpi
s
1
d
q
*
dsv
*
qsv
*
abcv
dq->abc
1
SVPWM
ideal
bv
cv
av
da _estq
bi
ci
ai
wmec
bi
ci
ai
daq
isdq
Modelo do
motor
abc->dq
eqJ
1
Inércia
+
- s
1
Torque 
de carga
Tem
wmec
p
2
s
1
isd
isq
+
+
kdi
kpi
s
1
+++
Figura 68: Diagrama de blocos para simulação do motor de indução com controle vetorial
com o software Matlab.
a passagem intermediária pelo sistema de referência estacionário.
132
m
'
r
'
r
L
L1 s
R
+
* e
dsi
'
r
'
r
L
R
÷
+
- mL
´m
r
LP
L'
3
2 2
P
2
s
1 * eqsi
rmw
°µ
ry
°µ
ry
*
eq
eT
*
ew
°µ
ry
°µ
'
* em r
sl qs'
rr
L R i
L
w
y
=
°µ
'
r
r'
r
R
L
y * em qsL i
Figura 69: Diagrama de blocos do "Estimator" da Figura 68.
133
8 Máquinas à imãs permanentes
8.1 Introdução
Motores à imãs permanentes são motores síncronos que possuem ímãs permanentes no
rotor e enrolamento polifásicos (geralmente trifásicos) de armadura localizados no estator.
Como o campo é fornecido pelos imãs permanentes, este tipo de máquina tem maior
eficiência que motores de indução. As vantagens dos motores à imãs permanentes com o
rápido decréscimo do custo dos imãs foram os responsáveis pelo seu longo uso em vários
acionamentos à velocidade variável, como, por exemplo: atuadores robóticos, acionamento
de discos de computador, eletrodomésticos, aplicações automotivas e condicionamento de
ar.
Em geral motores à ímãs permanentes são classificados em dois tipos: O primeiro deles
é chamado motor síncrono à ímãs permanentes (MSIP). Esses motores possuem uma força
eletromotriz com forma senoidal, como mostra a Figura 70 e devem ser alimentados com
tensões e correntes senoidais.
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
Posição do rotor (graus)
Fo
rç
a 
co
nt
ra
-e
le
tr
om
ot
riz
 (
V
)
 
 
A
B
C
Figura 70: Forças eletromotrizes senoidais dos MSIP.
134
O controle eletrônico dos MSIP utiliza uma realimentação da posição do rotor e um
"modulação à largura de pulso"(pulse width modulation - PWM) para alimentar o motor
com correntes ou tensões sinosoidais. Deste modo é possível produzir um torque constante
com muito pouca ondulação.
O segundo tipo de motor à ímãs permanentes tem forças eletromotrizes trapezoidais e
é conhecido como motor brushless DC - BLDC ou motor de corrente contínua sem escovas.
A força eletromotriz de um motor brushless BLDC é mostrada na Figura 71.
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
Posição do rotor (graus)
Fo
rç
a 
co
nt
ra
-e
le
tr
om
ot
riz
 (
V
)
 
 
A
B
C
Figura 71: Forças eletromotrizes trapezoidais dos motores BLDC.
O sistema de acionamento dos motores BLDC é baseado na realimentação da posição
do rotor, que, neste caso, não é contínua como para os MSIP, mas é obtida a pontos fixos,
tipicamente a cada 60 graus elétricos para a comutaçãodas correntes nas fases. O motor
BLDC requer que correntes com forma de onda retangular sejam fornecidas à máquina.
Alternativamente, a tensão pode ser aplicada ao motor cada 120◦, com limitador para
manter as correntes dentro da capacidade do motor.
Devido ao fato das correntes nas fases serem excitadas em sincronismo com a parte
constante das forças eletromotrizes, um torque constante é gerado.
8.2 Princípios do motor BLDC
As equações de tensão do motor BLDC podem ser expressas como a seguir:
va = ria + L
dia
dt
+M
dib
dt
+M
dic
dt
+ ea (8.1)
vb = rib + L
dib
dt
+M
dia
dt
+M
dic
dt
+ eb (8.2)
135
vc = ric + L
dic
dt
+M
dia
dt
+M
dib
dt
+ ec (8.3)
onde va, vb e vc são as tensões nas fases, ia, ib e ic são as correntes nos enrolamentos
da máquina, ea, eb e ec são as forças eletromotrizes, r é a resistência de cada um dos
enrolamentos, L é a indutância própria de cada fase (inclui a dispersão e a magnetizante)
e M é a indutância mútua.
O torque eletromagnético pode ser escrito, por sua vez, a partir da potência
Te =
(eaia + ebib + ecic)
ωrm
(8.4)
onde ωrm é a velocidade mecânica do rotor o modelo torna-se completo adicionando-se a
equação mecânica abaixo:
J
d
dt
ωrm = Te − TL (8.5)
Verifica-se da equação (8.4) que o torque eletromagnético de um motor BLDC está
relacionado com o produto entre as forças eletromotrizes e as correntes. As forças ele-
tromotrizes em cada fase possuem forma trapezoidal e estão defasadas de 120◦ elétricos
entre si no caso de uma máquina trifásica. Um pulso retangular de corrente é aplicado
em cada fase de modo que as correntes coincidam com a crista da forma de onda da força
eletromotriz e assim o motor desenvolva um torque constante. Esta estratégia, conhecida
como "controle de corrente a seis níveis" é ilustrado na Figura 72.
onde T1 a T6 são os sinais de "gate", ea, eb e ec são as forças eletromotrizes, ia, ib, e ic são
as correntes nas três fases do motor.
A amplitude de cada força eletromotriz é proporcional à velocidade do rotor e é dada
por:
E = kϕωrm (8.6)
onde k é uma constante que depende do número de espiras em cada fase, ϕ é o fluxo
devido aos imãs permanentes e ωrm é a velocidade mecânica de rotação. Pode-se verificar
na Figura 72 que, durante qualquer intervalo de 120◦, a potência instantânea é a soma
das contribuições de duas fases em série e é dada por:
P = ωrmTe = 2EI (8.7)
onde Te é o torque eletromagnético e I é a amplitude da corrente de fase. Com a equação
136
Ea
Ia
Eb
Ib
Ec
Ic
T1
T2
T3
T4
T5
T6
Torque
Comutadores eletrônicos (T a T ) ligados1 6
t
Figura 72: Princípio do "controle de corrente a seis níveis".
(8.5) a igualdade (8.7) ficará:
Te =
2EI
ωrm
= 2kϕI (8.8)
Em virtude do torque eletromagnético ser proporcional à amplitude da corrente de
fase, o controle do torque do motor BLDC é feito essencialmente através do controle da
corrente de fase.
O princípio do acionamento "a seis níveis" ou em "onda completa" pode também ser
explicado com a ajuda da Figura 73. Uma tensão contínua (saídado retificador) é aplicada
entre dois enrolamento. Na sequência indicada (1, 2, ..., 6) as correntes que circulam
na máquina são iAB, iAC , iBC , iBA, iCA, iCB, ... gerando as forças magnetomotrizes
igualmente mostradas nesta figura e que giram no sentido anti-horário. Para esta operação
são necessário dois interruptores estáticos por fase como mostra a Figura 76. O nome
"onda completa" decorre do fato da comutação ocorrer tanto para valores positivos quanto
para valores negativos da f.e.m. A potência e o torque são sempre positivos porque
os valores negativos da f.e.m. quando multiplicados por correntes negativas produzem
torques positivos, como mostra a Figura 74. O período de condução das corrente de linha
é de 60ž e valores positivos e negativos da f.e.m são utilizados.
Em operação trapezoidal a f.e.m. entre fases (valor de pico) ocorre durante todo o
período de condução, isto é, 60◦, conforme mostras as Figuras 74 e 75. Por exemplo, a
corrente iAB circula durante os 60◦ e em que a f.e.m. eAB está no seu valor máximo, já
137
FAB
A
FAC
FBC
FBA FCA
FCB
-C
B
-A
C
-B
2 514
6
3
A
B C
Rotação
 anti-horária
12
3
4 5
6
Figura 73: Sequência de chaveamento e fasores de fmm para operação trifásica em onda
completa de um motor BLDC com enrolamentos em Y sem neutro.
efCA=e -efC fA
efA
efB
30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450
efC
efBC=e -efB fCefAB=e -efA fB
iAB iBC iCA
iA iB iC
C
o
rr
e
n
te
s
f.
e
.m
. 
e
n
tr
e
 f
a
se
s
f.
e
.m
. 
p
o
r 
fa
se
graus elétricos
Figura 74: Forças eletromotrizes de fase e entre fases trapezoidais e correntes retangulares
de um motor BLDC (formas ideias).
138
a corrente circulando nos enrolamentos B e C (iBC) existe quando a tensão entre estas
mesmas fases eBC está em seu valor máximo positivo. Esta mesma corrente com valor
negativo (−iBC) circula quando a tensão se encontra com valor máximo, porém com sinal
negativo.
0 60 120 180 240 300 360
Graus elétricos
( b )
( c )
( a )
Chaveamento dos tiristores ou IGBT`s
i A
 t d
ef
Figura 75: Operação "à seis níveis" ou "em onda completa" de um motor conectado em
Y.
8.3 Sistema de acionamento do motor BLDC
A Figura 76 mostra o sistema de acionamento de um motor BLDC que é composto
pelo motor, um conversor estático, sensores e um controlador.
Motor
BLDC
T2
T5
T6
T3
T4
T1
Ld
Vs
D1 D3
D2D4
C
corrente
Sinais dos
sensores hall
CONTROLE
Para disparo de T1-T6
Figura 76: Sistema de acionamento de um motor BLDC
139
8.3.1 O motor BLDC
Motores BLDC são predominantemente máquinas com ímãs superficiais com largos
arcos polares. Os enrolamentos do estator são geralmente do tipo concentrado que produ-
zem uma distribuição de fluxo no entreferro de forma retangular. É importante salientar
que o projeto de um BLDC é baseado no patamar de cada meio-ciclo da forma de onda da
f.e.m. Para se obter um torque constante, a f.e.m. deve ser mais larga que 120◦ elétricos.
Um motor BLDC com 12 ranhuras no estator e 4 polos é mostrado na Figura 77.
A+C-
B+
A
-
C
+
B+
A+ C-
B+
A
-
C
+
B-
Ímãs
Núcleo
Enrolamento
de armadura
Rotor
Figura 77: Um motor BLDC com 12 ranhuras no estator e um rotor de 4 polos.
8.3.2 O conversor eletrônico
Como mostrado na Figura 76, o conversor eletrônico para o acionamento do motor
BLDC é constituído de duas partes: um retificador e um inversor trifásico em ponte
completa. O retificador é geralmente um retificador do tipo "onda completa" de diodos a
menos que um retificador chaveado seja utilizado para possibilitar regeneração de energia.
O inversor é geralmente responsável pela comutação eletrônica e regulação da cor-
rente. Para o controle da corrente a seis níveis, se os enrolamentos do motor fossem
conectados em Y sem neutro, somente duas das três correntes de fase circulam através do
inversor, em série. Isto resulta em que a amplitude da corrente no "link DC" seja igual
a das correntes nas fases. Sempre existirão somente dois interruptores, um superior e um
inferior, que conduzirão em qualquer instante de tempo. Controladores de corrente PWM
são tipicamente usados para regular as correntes na máquina de maneira a se conseguir
140
as referências retangulares de corrente mostradas na Figura 72. Por exemplo, durante
um intervalo de 60◦ quando os interruptores T1 e T6 estão ativos, as fases A e B estarão
conduzindo. O interruptor inferior T6 estará sempre funcionando enquanto que o inter-
ruptor superior T1 é ligado e desligado usando um controlador de corrente por histerese
com frequências de chaveamento variável ou então um controlador PI com frequência de
chaveamento fixa. Quando T1 e T6 estiverem conduzindo, a corrente cresce no caminho
mostrado pela linha pontilhada na Figura 78(a). Quando o interruptor T1 é desligado,
a corrente decai através do diodo D4 e do interruptor T6 como mostra a linha tracejada
na Figura 78(b). No próximo intervalo, o interruptor T2 estará ligado e o T1 é agora
ligado/desligado enquanto as fases A e C estarão conduzindo. Durante o intervalo de
comutação a corrente na fase B diminui rapidamente através do diodo de roda-livre D3
até que ela se anule e a corrente na fase C cresça.
A partir da análise acima, cada um dos interruptores superiores é sempre ligada/desligada
para um intervalo de 120◦ e a chave inferior correspondente é sempre ligada por intervalo.
Os diodos de roda livre fornecem os caminhos necessários para que as correntes circulem
quando os interruptores são desligados e durante os intervalos de comutação.
T2
T5
T6
T3
T4
T1
C
ar cL aE
br cL bE
cr cL cE
D5D3D1
D2D6D4
(a)
T2
T5
T6
T3
T4
T1
C
br cL bE
cr cL cE
D5D3D1
D2D6D4
ar cL aE
(b)
Figura 78: Circulação das correntes quando o interruptor T1 está ligado e desligado.
8.3.3 Sensores
Existem dois tipos de sensores para o sistema de acionamento de motores BLDC: um
sensor de corrente e um sensor de posição. Como a amplitude da corrente do "link DC"é
sempre igual à corrente na fase do motor quando controle de corrente à seis níveis é usado,
141
o que é medido é a corrente no "link DC", ao invés da corrente nas fases. Para isto, um
resistor "shunt" é colocado em série com o inversor (ver Figura 76) para servir como
sensor de corrente. Sensores de posição por efeito Hall tipicamente são utilizados para
fornecerem a informação de posição necessária para sincronizar a excitação do estator
com a posição do rotor de modo que um torque constante seja produzido. Os sensores
por efeito Hall detectam a mudança no campo magnético e os imãs do rotor são usado
como "triggers" para o sensor Hall. Este método é extremamente simples, relativamente
barato e bastante eficaz na maioria das aplicações. Um elemento ou sensor Hall, quando
colocado em um campo magnético estacionário e alimentado com uma corrente contínua
gera uma tensão. A polaridade desta tensão depende se a "pastilha" está passando um
polo norte ou um polo sul. Assim ela serve de detector de fluxo como mostra a Figura 79.
Para o algoritmo de controle da corrente à seis níveis, a posição do rotor precisa
ser detectada em somente seis pontos discretos em cada ciclo elétrico. Quando sensores
Hall são utilizados como sensores de posição em motores BLDC, todos os componentes
necessários são fabricados em um circuito integrado num arranjo como o mostrado na
Figura 8.3.3.
-
+
i
i
Ten
são
 de 
Saíd
a
(a)Princípio de operação.
Vcc
Amp Driver
saída
SaídaSensor
Hall
(b)Diagrama de blocos de um circuito in-
tegrado Hall.
Figura 79: Sensor Hall.
Quando circuitos integrados são usados para acionar um motor BLDC eles podem ser
dispostos em intervalos de 120◦ ou a 60◦ um do outro, como mostrado nas Figuras 80 e
81. A Figura 82 mostra um exemplo de conexão de um sensor de posição por efeito Hall
à uma porta I/O. Os três terminais de saída são diretamente conectados à uma porta de
entrada de um microprocessador.
Mais recentemente, motores BLDC sem sensores de posição têm se tornadopopulares.
142
Existem três razões principais para que eles sejam eliminados:
• Limites de temperatura dos sensores Hall.
• Em motores de potência inferior a 1 W o consumo de energia pelos sensores de
posição podem reduzir substancialmente a eficiência do motor.
• Em aplicações compactas pode não ser possível acomodar sensores de posição.
N
S
Elementos
Hall
N
N
S
S
N
S
S
S
S
N
N
N
2 2p = 2 4p = 2 8p =
(a)Sensores posicionados a 120◦.
N
S
N
N
S
S
N
S
S
S
S
N
N
N
2 2p = 2 4p = 2 8p =
(b)Sensores posicionados a 60◦ uns dos outros.
Figura 80: Disposição de sensores de posição por efeito Hall com motores de diferentes
números de polos.
Várias técnicas de sensoriamento indireto da posição do rotor têm sido propostas para
a comutação das fases em motores BLDC, a maioria delas sendo baseada na detecção
da força eletromotriz em um enrolamento desexcitado de uma das fases. Em um motor
trifásico com as fases ligadas em Y somente dois enrolamentos estão energizados ao mesmo
tempo. Controladores sem sensores de posição medem a força eletromotriz do enrolamento
desernegizado para determinar o ponto de comutação. O problema com as técnicas sem
sensores é a perda da informação acerca da posição quando o rotor está parado.
8.3.4 O controlador
O controlador de um sistema de acionamento de um motor BLDC lê a corrente e a
realimentação da posição, implementa o algoritmo de controle de torque ou velocidade e
143
N
S
N
S
N
(a)Sensores a 120◦.
V
HB
SN
V
HB V H
C
VHA
SN
-V
HC
60°
60°
120°120°
120°
V H
C
VHA (b)
(b)Sensores posicionados a 60◦.
0 120 240 Graus 
elétricos
VHA
VHB
VHC
-VHC baix
alto
baixo
alto
baixo
alto
baixo
alto
Corrente
IA
IB
IC
(c)Sinais dos sensores e correntes nas fases.
Figura 81: Disposição de sensores Hall para máquinas trifásicas.
H1
H3
H2
5V
0V
CPU Porta I/0
Vcc
(a)Sensores à 120◦.
H2
H1
H3
5V
0V
(b)Sensores posicionados
a 60◦uns dos outros.
Figura 82: Interface entre circuitos integrados Hall e um microprocessador.
144
finalmente gera os sinais de gatilho, como mostra a Figura 83. Controladores analógicos
ou DSP ("Digital Signal Processor") podem ser utilizados. No caso da Figura 83 um DSP
é utilizado (TMS320LF2407 de fabricação Texas Instruments).
Motor
BLDC
Sinais dos
sensores hall
Circuito de
disparo
Fonte de 
tensão
Gerador PWM Drive HallEstado dos sensores Hall
Integrador
Referência de 
velocidade
Controlador de
velocidade PI
Controlador de 
corrente PI
-
+
-
+
-
RetificadorValternada
r e
fI
f
bI
f
bw
re
fw
TMS320LF2407
Figura 83: Diagrama de blocos do sistema de controle de um motor BLDC.
8.3.5 Exemplo de curvas de simulação de funcionamento
Retomando as equações (8.1), (8.2) e (8.3) e reescrevendo-as sob forma matricial
obtém-se:
vas
vbs
vcs
 =

r 0 0
0 r 0
0 0 r


ias
ibs
ics
+

L M M
M L M
M M L
 ddt

ias
ibs
ics
+

eas
ebs
ecs
 (8.9)
De forma compacta, a igualdade acima pode ser reescrita como abaixo:
vabcs = rsiabcs + Ls
d
dt
iabcs + eabcs (8.10)
Como o estator é conectado Y somente duas das três correntes do estator são li-
nearmente independentes. A relação entre o vetor i∗abcs das duas correntes linearmente
independentes escreve-se:
iabcs = Fi
∗
abs (8.11)
145
onde
F =

1 0
0 1
−1 1
 e i∗abs =
[
ias
ibs
]
Por outro lado, a relação entre as tensões de linha (tensões entre fases) vLabcs e as
tensões nas fases vabcs pode ser colocada na forma a seguir, com a ajuda da Figura 84.
bsv
csv
asv
-
+
+
+
casv
absv
bcsv
Figura 84: Conexão em Y.
FTvabcs = −kvLabcs (8.12)
onde
[k] = −
[
0 0 1
1 0 1
]
e vabcsL =

vabs
vbcs
vcas
 =

vas − vbs
vbs − vcs
vcs − vas

Escrevendo-se a (8.10) em termos do vetor das correntes linearmente independentes
i∗abs tem-se, com o auxílio de (8.11)
vabcs = rsFi
∗
abs + LsF
d
dt
i∗abs + eabcs (8.13)
que quando pré-multiplicada por FT e com a substituição de (8.12) resulta em:
− kvLabcs = FT rsFi∗abs + FTLsF
d
dt
i∗absF
Teabcs (8.14)
Nota-se que as tensões agora são as tensões entre fases vLabcs que são aplicadas; A
corrente ics pode ser obtida fazendo-se ics = −ias − ibs. Exemplos de simulação do
146
funcionamento do acionamento são mostrados na Figura 85 onde observa-se as ondulações
nas formas de onda da corrente e do torque, típicas deste tipo de acionamento de motores
BLDC.
5
4
3
2
1
0,0025 0,005 0,0075 0,01 t[s]
i A]a[
(a)Corrente na fase a.
10
8
6
2
0,0025 0,005 0,0075 0,01
T N.m]d [
4
t[s]
(b)Torque eletromagnético.
Figura 85: Curvas simuladas em função do tempo.
8.4 Máquinas síncronas à imãs permanentes
Como já havia sido colocado anteriormente, o motor síncrono a imãs permanentes
(MSIP) é uma máquina à imãs permanentes que possui uma força eletromotriz senoidal.
Comparado a um motor BLDC, o motor síncrono à imãs tem menor ondulação de torque
porque estas ondulações que estão associadas com as comutações de corrente não ocorreu.
Uma máquina bem projetada combinada com uma boa técnica de controle podem levar
a um nível bastante reduzido de ondulação de torque (menos de 2% do torque nominal
da máquina), o que é bastante atrativo para aplicações de alta performance como em
máquinas ferramentas e servo aplicações.
147
8.4.1 Equações de tensão e torque em varáveis da máquina
Um motor síncrono a imãs permanentes de 2 pólos é mostrado na Figura 86.
wr
Eixo as
Eixo bs
as’
as
qr
Eixo cs
Eixo q
Eixo d
bs’ cs’
Ns
rs
Ns
Ns
rs
rs
cs bs
vas
vbs
vcs
+
+
+
Ias
Ics
Ibs
n
1
Sensor
2 3
Sensor Sensor
Figura 86: Motor síncrono a imãs permanentes de 2 polos.
O motor em questão tem 3 fases do estator ligadas em Y e um rotor com imãs
permanentes. Os enrolamentos do estator são idênticos e estão defasados de 120◦, cada um
deles possuindo Ns espiras e resistência rs. Nesta análise vamos supor que os enrolamentos
sejam senoidalmente distribuídos.
As equações de tensão em variáveis da máquina são:
vabcs = rsiabcs +
d
dt
λabcs (8.15)
onde:
vTabcs =
[
vas vbs vcs
]
(8.16)
rs = diag
[
rs rs rs
]
148
Os enlaces de fluxo podem ser escritos como
λabcs = Lsiabcs + λ
′
m (8.17)
onde, por sua vez, Ls é definida pela Equação (5.8) e o vetor λ′m vale
λ′m = λ
′
m

senθr
sen (θr − 2π/3)
sen (θr + 2π/3)
 (8.18)
onde:
λ′m é a amplitude dos enlaces de fluxo estabelecidos pelo imã permanente e vistos dos
enrolamentos das fases do estator.
Em outras palavras a amplitude de d
dt
λ′m será a amplitude da tensão induzida a
circuito-aberto em cada uma das três fases do estator. Enrolamentos amortecedores são
desprezados porque os imãs permanentes (exceto metálicos) são pouco condutores.
Vamos também supor que as tensões induzidas nos enrolamentos do estator sejam
senoidais. A expressão do torque eletromagnético pode ser derivada da Equação (5.37).
Se esta última for expandida teremos:
Te =
(
P
2
){
−(Lmd − Lmq)
3
[(
ias
2 − 1
2
ibs
2 − 1
2
ics
2 − iasibs − iasics + 2ibsics
)
sen2θr+
+
√
3
2
(
ibs
2 + ics
2 − 2iasibs + 2iasics
)
cos 2θr
]
− Lmq (ikq1′ + ikq2′)
[(
ias −
1
2
ibs−
−1
2
ics
)
senθr −
√
3
2
(ibs − ics) cos θr
]
+ Lmd (ifd
′ + ikd
′)
[(
ias −
1
2
ibs −
1
2
ics
)
cos θr+
+
√
3
2
(ibs − ics) senθr
]}
(8.19)
Como dito anteriormente, enrolamentos amortecedores serão desprezados e vamos
aqui adotar que λ′m = Lmdi′fd. Assim (8.19) ficará, na convenção motor.
Te =
(
P
2
){ (Lmd−Lmq)
3
[(
ias
2 − 1
2
ibs
2 − 1
2
ics
2 − iasibs − iasics + 2ibsics
)
sen2θr+
+
√
3
2
(
ibs
2 + ics
2 − 2iasibs + 2iasics
)
cos 2θr
]
− λm′
[(
ias − 12ibs− −
1
2
ics
)
cos θr+
+
√
3
2
(ibs − ics) senθr
]} (8.20)
Nas equações acima Lmq e Lmd foram previamente definidos em (5.11) e (5.12), res-
149
pectivamente. O torque e a velocidade podem ser relacionados por:
Te = J
(
2
P
)
d
dt
ωr +Bm
(
2
P
)
ωr + TL (8.21)
onde J [kg.m2] é a inércia do rotor e da carga associada.
8.4.2 Equações de tensão e torqueem variáveis de um sistema de
referência girando à velocidade do rotor
As equações de tensão num sistema de referência fixo no rotor podem ser escritas di-
retamente a partir de (5.44) adotando-se a convenção motor (correntes positivas entrando
no motor).
vqd0s = rsi
r
qd0s + ωrλ
r
qds +
d
dt
λrqd0s (8.22)
(λrdqs)
T =
[
λds
r −λqsr 0
]
vrqd0s =

Lls + Lmq 0 0
0 Lls + Lmd 0
0 0 Lls


iqs
r
ids
r
i0s
r
+ λm′r

0
1
0
 (8.23)
Por razões de consistência com nossas notações previamente utilizadas foi adicionado
o superescrito r à λ′m. Sob forma expandida teremos
vrqs = rsi
r
qs + ωrλ
r
ds +
d
dt
λrqs (8.24)
vrds = rsi
r
ds + ωrλ
r
qs +
d
dt
λrds (8.25)
vr0s = rsi0s +
d
dt
λr0s (8.26)
onde:
λrqs = Lqi
r
qs (8.27)
λrds = Ldi
r
ds + λ
′r
m (8.28)
λr0s = Llsi0s (8.29)
onde Lq = Lls + Lmq e Ld = Lls + Lmd.
Por outro lado, a expressão do torque eletromagnético pode ser escrita a partir da
150
igualdade (5.81) que é relembrada abaixo:
Te =
(
3
2
)(
P
2
)
(λrdsi
r
qs − λrqsirds) (8.30)
Substituindo-se (8.27), (8.28) e (8.29) em (8.30) obtém-se:
Te =
(
3
2
)(
P
2
)
[λ′rmi
r
qs + (Ld − Lq)irqsirds] (8.31)
Da Equação (8.31) pode-se ver que o torque está relacionado somente às correntes de
eixos direto e quadratura.
Em máquinas onde os imãs são colados no rotor externamente Ld = Lq e o segundo
termo do torque é nulo. Já em máquinas que apresentam os imãs permanentes no rotor
inseridos (internos) a relutância segundo o eixo direto (direção do fluxo dos imãs) é maior
do que a relutância segundo o eixo em quadratura. Isto faz com que Ld < Lq e conse-
quentemente a segundo parcela do torque é negativa se a corrente irds é diferente de zero.
Em virtude disto, em operações abaixo da velocidade base quando técnicas de enfraque-
cimento de campo não são empregadas a corrente irds é forçada a ser nula e assim o torque
é proporcional somente à corrente irqs. Assim, a ideia é controlar a corrente de eixo em
quadratura irqs para regular o torque utilizando-se as equações no sistema de referência
fixo no rotor.
8.4.3 Enfraquecimento de campo
A Figura 87 mostra a característica torque-velocidade típica para um MSIP, salien-
tando os diferentes modos de funcionamento da máquina. Para velocidades menores do
que a velocidade base ωbase, o motor opera na região de torque constante. A região de
operação com potência constante está situada acima da velocidade base e é também cha-
mada de região de enfraquecimento de campo. Para operações acima da velocidade ωbase
a força eletromotriz devido aos imãs permanentes pode chegar muito próxima à tensão do
inversor diminuindo consequentemente a corrente na máquina e o torque eletromagnético.
Como visto anteriormente, no caso de máquinas de indução, a componente geradora
do fluxo é reduzida para assim diminuir a força eletromotriz e possibilitar a operação
acima da velocidade base, mesmo que com isto haja redução no torque da máquina. No
acionamento de MSIP, o impacto da força eletromotriz pode ser reduzido adicionando-se
uma componente de corrente desmagnetizante, isto é, id < 0. Este procedimento permite
151
Região de torque 
constante
Região de potência constante 
ou de enfraquecimento de 
campo
Potência
Torque
basew sw
[ . ]eT N m
Figura 87: Cacacterística torque eletromagnético em função da velocidade.
operação acima da velocidade base, embora o torque eletromagnético, também neste caso,
seja reduzido devido à componente desmagnetizante da corrente.
As propriedades de operação acima da velocidade base, isto é, operação com "enfra-
quecimento de campo", é comumente descrita em termos de limitação no plano d− q da
corrente. Para entendermos isto, vamos relembrar que o fasor corrente se relaciona com
os componentes d e q em regime permanente balanceado por (veja Capítulo 3).
√
2Ĩas = Iqs − jIds (8.32)
Ĩas = Iase
jθei(0) (8.33)
sendo, por sua vez, Ias o valor eficaz da corrente e θei(0) a sua fase. Pré multiplicando-se
(8.33) por
√
2 tem-se:
√
2Ĩase
jθei(0) (8.34)
O coeficiente
√
2Ias é o valor de pico da corrente e então, como no Capítulo 7 sobre o
acionamento do motor de indução, costuma-se escrever
√
2Ĩas como
̂̃
Ias, isto é, um fasor
em termos de valor de pico. Assim a Equação (8.32) é reescrita como a seguir:
̂̃
Ias = Iqs − jIds (8.35)
O módulo de ̂̃Ias é
|̂̃Ias| = √I2qs + I2ds (8.36)
152
e a limitação da corrente no plano d−q quando se está operando com enfraquecimento de
campo acima citada é escrita como, onde utiliza-se o superescrito r (sistema de referência
no rotor). √
Irqs
2 + Irds
2 ≤ |̂̃Ias|m (8.37)
onde |̂̃Ias|m é o limite imposto pela corrente máxima no inversor ou por restrições térmicas
do MSIP.
De maneira similar, a tensão é limitada por:√
V rqs
2 + V rds
2 ≤ | ̂̃V as|m (8.38)
| ̂̃V as|m é a tensão máxima que o inversor pode fornecer. Esta tensão máxima pode ser
obtida a partir da tensão do "link DC"do inversor Vdc por |
̂̃
V as|m = Vdc/
√
3.
A maneira como a equação (8.38) limita a corrente disponível pode ser encontrada
substituindo-se as versões em regime permanente das tensões vrqs e vrds apresentadas an-
teriormente (equações (8.24) e (8.25)):
V rqs = rsI
r
qs + ωrλ
r
ds = rsI
r
qs + ωr(LdI
r
ds + λ
′r
m) (8.39)
V rds = rsI
r
ds − ωrλrqs = rsIrds − ωrLqIrqs (8.40)
Desprezando-se as quedas de tensão rsIrqs e rsIrds e substituindo-se (8.39) e (8.40) em
(8.38) fica-se com:  | ̂̃V as|m
ωr
2 = (LqIrqs)2 + (LdIrds + λ′rm)2 (8.41)
que, quando multiplicada por (1/Ld)2 resulta em:(
Irds +
λ′rm
Ld
)2
+
(
Lq
Ld
Irqs
)2
=
 | ̂̃V as|m
ωrLd
 (8.42)
que descreve uma elipse (ou um círculo no caso de um MSIP sem saliência) no plano d−q,
com seu centro em id = −λ
′r
m
Ld
e elipticidade Lq/Ld.
Assim, a corrente não é limitada somente pelo círculo
√
Irds
2 + Irqs
2 ≤ |̂̃Ias|m, mas
também pela elipse - limite da tensão. Com o aumento da velocidade, a elipse - limite da
tensão tende ao seu centro. A elipse - limite da tensão é mostrada na Figura 88 para três
153
velocidades diferentes do rotor: ωr =1, 1,2 e 1,5 pu. Os efeitos da resistência do estator
e da saturação de Lq são também mostrados bem como o círculo - limite da corrente
(equação (8.37)).
i [p.u.]q
i [p.u.]d0,5 10-0,5-1
-1
-0,5
0
0,5
1
wr
wr
Limite da tensão desconsiderando 
elementos resistivos e saturação.
Limite da tensão considerando 
elementos resistivos.
Limite da tensão considerando 
saturação em Lq
Círculo limite da corrente
Figura 88: Região de operação possível, expressa no plano das correntes d− q, para três
velocidades do rotor(ωr =1, 1,2 e 1,5 pu).
Na figura Figura 88 as linhas cheias indicam a elipse - limite da tensão dada pela
Equação (8.42). Linhas tracejadas incluem a queda de tensão na resistência e linha com
traço-ponto consideram o efeito da saturação em Lq. O círculo - limite da corrente também
é mostrado.
Os esquemas de controle vetorial para operação na região de enfraquecimento de
campo podem ser divididos em duas categorias. Na primeira categoria a corrente Irds é
limitada, dependendo da velocidade, pela seguinte relação:
Irds ≤ −
λ′rm
Ld
+
1
Ld
√√√√ | ̂̃V as|m
ω2r
− Lrqs2Irqs2 (8.43)
que é obtida isolando-se Irds na Equação (8.42), como é mostrado a seguir.√(
Irds +
λ′rm
Ld
)2
=
(
| ̂̃V as|m
ωrLd
)2
−
(
Lq
Ld
Irqs
)2
=√
1
L2d
(
| ̂̃V as|m
ω2r
− L2qIrqs2
)
= 1
Ld
√
| ̂̃V as|m
ω2r
− L2qIrqs2
154
e, finalmente
Irds = −
λ′rr
Ld
+ 1
Ld
√
| ̂̃V as|m
ω2r
− L2qIrqs2
A segunda categoria de esquemas de controle vetorial para operação na região de
enfraquecimento de campo é baseada em um controle em malha fechada da tensão, que
gera correntes de referência que mantenham a amplitude da tensão dentro do limite fi-
xado pelo inversor. Esta técnica pode ser aplicada à acionamentos de máquinas de imãs
permanente, mas pode também ser utilizada no acionamento de motores de indução.
É, finalmente, importante colocar que a implementação do enfraquecimento de campo
requer estudos docircuito magnético para que a corrente Irds aplicada não venha a des-
magnetizar os imãs permanentes.
8.4.4 O sistema de controle do MSIP
A Figura 89 mostra um sistema de acionamento de um MSIP, que parece similar ao
de um motor BLDC e consiste de um motor, um conversor eletrônico, sensores e de um
controlador. As diferentes partes do sistema serão agora analisadas.
MSIP
T2
T5
T6
T3
T4
T1
Ld
Vs
D1 D3
D2D4
C
ias
Resolver
CONTROLE
Para disparo de T -T1 6
q
ibs
Figura 89: Sistema de controle de um MSIP.
8.4.4.1 O motor síncrono à imãs permanentes (MSIP)
No projeto de um MSIP procura-se obter forças eletromotrizes senoidais. Contrari-
amente ao motor BLDC, que precisa de enrolamentos concentrados para produzir forças
eletromotrizes trapezoidais, os enrolamentos estatóricos dos MSIP são distribuídos no
maior número possível de ranhuras por polo de maneira a se ter uma distribuição apro-
ximadamente senoidal. Para se reduzir as oscilações de torque, utilizam-se técnicas como
inclinação de ranhura, e enrolamentos fracionários. Já o projeto do rotor dos MSIP é
mais flexível que o dos motores BLDC onde geralmente utilizam-se imãs permanentes
155
na superfície do rotor. Além dos rotores não salientes os rotores com concentração de
fluxo são utilizados porque ele oferecem vantagens e se adaptam durante operações de
enfraquecimento de campo. Um MSIP com ranhuras no estator e quatro polos no rotor é
mostrado na Figura 90. Os três tipos de rotores, com imãs superficiais, imãs enterrados
e com concentração de fluxo são apresentados na Figura 91.
-A-A
-A-A
C
C
C
C
-B A
AA
A-C
-B-B
-B
-A
-A
-A
-A
-C
-C
-C
B
B
BB
C
C
C
C
-B
-B-B
-BA
AA
A-C
-C
-C
-C
B
B
B B
Figura 90: MSIP de 4 polos e 24 ranhuras.
8.4.4.2 O conversor eletrônico
Tecnologia similar a da utilizada no conversor do motor BLDC é empregada no con-
versor do sistema de acionamento do MSIP. O conversor é o convencional de dois estágios
com um capacitor no "link DC" entre um retificador e um inversor trifásico de onda
completa. O retificador pode ser de onda completa a diodos ou ser de interruptores de
potência.
Devido à natureza senoidal do MSIP, algoritmos de controle escalares (V/f = cte)
e vetoriais empregados em outros motores de corrente alternada podem também serem
utilizados no sistema de controle do MSIP. Se os enrolamentos do motor são conectados
em Y sem neutro, corrente trifásicas podem fluir através do inversor. Em relação aos
interruptores do inversor, três deles, um superior e dois inferiores em três pernas diferentes
conduzem ao mesmo tempo como mostra a Figura 92. Controle de corrente via PWM é
utilizado para regular a corrente na máquina. Diferentemente do motor BLDC, aqui três
interruptores conduzem ao mesmo tempo.
8.4.4.3 Sensores
Existem dois tipos de sensores no sistema de acionamento de MSIP: sensores de cor-
rente, que medem as correntes nas fases e o sensor de posição utilizado para determinar
156
R1
R2
R3
apolos
Ls
L0
Fluxo q
Eixo d
Eixo q
Fluxo d
(a)Imãs superficiais.
R1
R2
R3
Ls
L0
Fluxo d
Fluxo q
Eixo d
Eixo q
apolos
(b)Imãs enterrados.
R2
R3hs
L0
Fluxo d
Fluxo q
Eixo d
Eixo q
Ls
b
g
(c)Com concentração de fluxo.
Figura 91: Tipos de rotores de MSIP.
T2
T5
T6
T3
T4
T1
C
ar cL aE
br cL bE
cr cL cE
D5D3D1
D2D6D4
Figura 92: Circulação de corrente através de três interruptores.
157
a posição e a velocidade do rotor. Para a medição das correntes em geral utilizam-se
resistores em série com os interruptores. Já para o sensoriamento da posição utilizam-se
"encoders" ou "resolvers". A posição do rotor é necessária para sincronizar a excitação
dos enrolamentos estatóricos do MSIP com a velocidade e a posição do rotor.
O princípio de funcionamento dos "encoders"foi apresentado préviamente na Seção 7.3
(ver Figura 65).
Já o resolver é um transformador rotativo. Sua saída são dois sinais, um dele uma
função senoidal do ângulo de rotação e o outro uma função cossenoidal de θr. O ân-
gulo θr pode então ser calculado a partir do quociente entre estes dois sinais (θr =
arctan[Usenθr/U cos θr]). Esta operação pode ser feita através de um conversor resol-
ver/digital, que fornece também, além da posição, a velocidade (por exemplo o circuito
integrado AD2580). As formas de onda das saídas do resolver (tensões induzidas nos
seus dois enrolamentos defasados de 90◦) e a posição do rotor (após passar pelo conversor
resolver/digital) são mostradas na Figura 93.
sen(q)
cos(q)
Posição
do rotor
V [V]
10
0
5
5
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t(s)
Figura 93: Tensões de saída do resolver e posição do rotor.
8.4.4.4 O controlador
Para a implementação do controle vetorial são modernamente utilizados DSP’s ("Digi-
tal Signal Processors"). A Figura 94 mostra o diagrama de blocos do sistema de controle
de um MSIP. Os blocos no interior do polígono em traço pontilhado correspondem às
funções efetuadas pelo DSP. No caso mostrado irds é forçado a ser nulo para a operação
a torque constante, isto é, não está sendo utilizado o enfraquecimento de campo. Já na
158
Figura 95 mostra com maiores detalhes com vrds e vrqs são calculados. Por último, um
diagrama para simulação no MATLAB é apresentado na Figura 96.
PM
SM
Invesor
PWM
Gerador
PWM
d-q
a-b-c
PI
PI
d-q
a-b-c
PI Calculador
de velocidadeCalculador
de corrente
+-
+
-
+---
+--
vas
vbs
vcs
sa
sb
sc
ias
ibs
iqsr
idsr
vdsr
vqsr
wr
wref
*i qsr
*i dsr
*T ec
'
4
3
e
r
m
T
P l
Software
q
Figura 94: Diagrama de blocos do sistema de controle de velocidade de um MSIP.
( )
( )'
r
q qsr r r r
qs s qs r d ds m
d L i
v r i L i
dt
w l= + + +
i
p
kk
s
+
PMInvesor
PWM
d-q
a-b-c
d-q
a-b-c
+
+
ias
ibs
wm
*
av
*
bv
*
cv
*
ai
*
bi
*
ci
ids
iqs
s
*
dsv
*
qsvi
p
kk
s
+ ++
qm
qm
+
-
+
-
( )m s ds dfL iw l+
m s qsL iw-
*
sdi
*
sqi
Sensor de
posição
( ) 'r rd dsr r r m
ds s ds r q qs
d L i dv r i L i
dt dt
l
w= + + +
0=
Figura 95: Controlador no sistema de referência d− q.
159
-
+
iqs
-
+
wmec
wmec_ref
+
+
kdi
kpi
s
1
isd0
isd_ref
+
+
kdi
kpi
s
1
d
q
*
dsv
*
qsv
*
abcv
dq->abc
1
SVPWM
ideal
bv
cv
av
da _estq
bi
ci
ai
wmec
bi
ci
ai
daq
isdq
Modelo do
motor
abc->dq
eqJ
1
Inércia
+
- s
1
Torque 
de carga
Tem
wmec
p
2
s
1
isd
isq
+
+
kdi
kpi
s
1
+++
Figura 96: Diagrama de blocos para simulação no software Matlab.
160
APÊNDICE A -- Identidades trigonométricas
para sistemas trifásicos
Resolvendo problemas que envolvem sistemas trifásicos, o engenheiro encontra um
elevado número de funções trigonométricas envolvendo os ângulos ± 120◦. Algumas destas
relações são listadas aqui para economizar tempo e esforço. O símbolo (◦) será omitido
dos ângulos ± 120◦.
sen(θ ± 120) = −1
2
sen θ ±
√
3
2
cos θ (A.1)
cos(θ ± 120) = −1
2
cos θ ±
√
3
2
sen θ (A.2)
sen2(θ ± 120) = 1
4
sen2 θ +
3
4
cos2 θ ±
√
3
2
sen θ cos θ
=
1
2
+
1
4
cos 2θ ±
√
3
4
sen 2θ (A.3)
cos2(θ ± 120) = 1
4
cos2 θ +
3
4
sen2 θ ±
√
3
2
sen θ cos θ
=
1
2
− 1
4
cos 2θ ±
√
3
4
sen 2θ (A.4)
sen θ sen(θ ± 120) = −1
2
sen2 θ ±
√
3
2
sen θ cos θ
= −1
4
+
1
4
cos 2θ ±
√
3
4
sen 2θ (A.5)
cos θ cos(θ ± 120) = −1
2
cos2 θ ±
√
3
2
sen θ cos θ
= −1
4
− 1
4
cos 2θ ±
√
3
4
sen 2θ (A.6)
161
sen θ cos(θ ± 120) = −1
2
sen cos θ ±
√
3
2
sen2 θ
= −1
4
sen 2θ ±
√
3
4
cos 2θ ±
√
3
4
(A.7)
cos θ sen(θ ± 120) = −1
2
sen θ cos θ ±
√
3
2
cos2 θ
= −1
4
sen 2θ ±
√
3
4
cos 2θ ±
√
3
4
(A.8)
sen(θ + 120) cos(θ + 120) = −1
2
sen θ cos θ −
√
3
4
cos2 θ +
√
3
4
sen2 θ
= −1
4
sen 2θ −
√
3
4
cos 2θ (A.9)
sen(θ + 120) cos(θ − 120) = sen θ cos θ −
√
3
4
=
1
2
sen 2θ −
√
3
4
(A.10)
sen(θ − 120) cos(θ + 120) = sen θ cos θ +
√
3
4
=
1
2
sen 2θ +
√
3
4
(A.11)
sen(θ − 120) cos(θ − 120) = −1
2
sen θ cos θ +
√
3
4
cos2 θ −
√
3
4
sen2 θ
= −1
4
sen 2θ +
√
3
4
cos 2θ (A.12)
sen(θ + 120) sen(θ − 120) = 1
4
sen2 θ − 3
4
cos2 θ = −1
4
− 1
2
cos 2θ (A.13)cos(θ + 120) cos(θ − 120) = 1
4
cos2 θ − 3
4
sen2 θ = −1
4
+
1
2
cos 2θ (A.14)
sen(2θ ± 120) = −1
2
sen 2θ ±
√
3
2
cos 2θ (A.15)
cos(2θ ± 120) = −1
2
cos 2θ ±
√
3
2
sen 2θ (A.16)
sen θ + sen(θ − 120) + sen(θ + 120) = 0 (A.17)
cos θ + cos(θ − 120) + cos(θ + 120) = 0 (A.18)
sen2 θ + sen2(θ − 120) + sen2(θ + 120) = 3
2
(A.19)
cos2 θ + cos2(θ − 120) + cos2(θ + 120) = 3
2
(A.20)
sen θ cos θ + sen(θ − 120) cos(θ − 120) + sen(θ + 120) cos(θ + 120) = 0 (A.21)
162
Complementando algumas identidades comuns são listadas:
sen2 θ + cos2 θ = 1 (A.22)
sen θ cos θ =
1
2
sen 2θ (A.23)
cos2 θ − sen2 θ = cos 2θ (A.24)
cos2 θ =
(1 + cos 2θ)
2
(A.25)
sen2 θ =
(1− cos 2θ)
2
(A.26)
163
ANEXO A -- Conceitos básicos para análise de
máquinas elétricas
A.1 Circuitos acoplados magneticamente
Circuitos elétricos acoplados magneticamente são pontos centrais na operação de
transformadores e máquinas elétricas. No caso de transformadores, circuitos estacionários
são magneticamente acoplados com o propósito de mudar níveis de tensão e de corrente.
No caso de máquinas elétricas, circuitos em movimento relativo são magneticamente aco-
plados com o propósito de transferir energia entre os sistemas elétrico e mecânico. Uma
vez que circuitos magneticamente acoplados têm um papel tão importante na transmissão
e conversão de potência, é importante as equações que descrevem seu comportamento e
expressar estas equações em uma forma conveniente para análise. Isto pode ser feito come-
çando com dois circuitos elétricos estacionários acoplados magneticamente como mostrado
na Figura 97.
1v
1i
1lF
2v
2i
2lF
1mF 1mF
1N 1 N2N
Figura 97: Circuitos acoplasdos magneticamente.
Os dois enrolamentos são formados por N1 e N2 espiras respectivamente e são enro-
lados em um núcleo comum feito de material ferromagnético.
164
Geralmente o fluxo produzido por cada enrolamento pode ser separado em duas com-
ponentes. Uma componente de dispersão denotada com o subscrito l e uma componente
de magnetização denotada com o subscrito m. Cada uma destas componentes é mostrada
por uma linha tracejada com a direção positiva determinada pela aplicação da regra da
mão direita.
O enlace de fluxo em cada bobina pode ser expresso por:
Φ1 = Φl1 + Φm1 + Φm2 (A.1)
Φ2 = Φl2 + Φm2 + Φm1 (A.2)
O fluxo de dispersão Φl1 é produzido pela corrente circulando no enrolamento 1 e
enlaça somente as espiras do enrolamento 1. Da mesma maneira, o fluxo de dispersão
Φl2 é produzido pela corrente circulando no enrolamento 2. O fluxo de magnetização, ou
melhor, magnetizante Φm1 é produzido pela corrente fluindo no enrolamento 1 e enlaça
todas as espiras dos enrolamentos 1 e 2. Similarmente, o fluxo magnetizante Φm2 é
produzido pela corrente circulando no enrolamento 2 e também enlaça tdoas as espiras
dos enrolamentos 1 e 2. Com a direção positiva para as correntes e a maneira como os
enrolamentos estão bobinados, o fluxo magnetizante produzido por corrente positiva em
um enrolamento se adiciona ao fluxo magnetizante produzido por corrente positiva no
outro enrolamento.
Antes de continuar é apropriado salientar-se que isto trata-se de uma idealização do
sistema magnético mostrado na figura. É claro que, todo o fluxo pode não enlaçar todas
as espiras que o produzem. Da mesma forma, nem todo o fluxo magnetizante de um
enrolamento pode enlaçar todas as espiras do outro enrolamento. Para levar em conta
isto o número de espiras é considerado como um número equivalente. No nosso caso,
este fato não nos é muito importante uma vez que as indutâncias do circuito elétrico são
geralmente determinadas por ensaio.
As equações de tensão podem ser expressas sob a forma matricial seguinte.
v = ri +
d
dt
λ (A.3)
onde r = diag
[
r1 r2
]
e λT =
[
λ1 λ2
]
.
As resistências r1 e r2 e os enlaces de fluxo λ1 e λ2 estão relacionados aos enrolamentos
1 e 2, respectivamente. Uma vez que supormos que Φ1 enlaça o número equivalente de
165
espiras do enrolamento 1 e Φ2 enlaça o número de espiras do enrolamento 2, os enlaces
de fluxo podem ser expressos por:
λ1 = N1Φ1 (A.4)
λ2 = N2Φ2 (A.5)
onde Φ1 e Φ2 são dados por (A.1) e (A.2).
A.1.1 Circuitos acoplados com dispersão - sistema magnético li-
near
Se a saturação é desprezada o sistema é linear e os fluxos podem ser expressos por:
Φl1 =
N1i1
<l1
(A.6)
Φm1 =
N1i1
<m
(A.7)
Φl2 =
N2i2
<l2
(A.8)
Φm2 =
N2i2
<m
(A.9)
onde <l1 e <l2 são as relutâncias dos caminhos de dispersão e <m é a relutância do caminho
dos fluxos de magnetização. O produto Ni é a força magnetomotriz. A relutância dos
caminhos de dispersão é difícil de expressar e impossível de medir. Na verdade ela é
determinada aproximadamente a partir de dados de projeto. A relutância do caminho
magnetizante pode ser calculada com precisão suficiente a partir da relação:
< = l
µA
(A.10)
onde l é o comprimento do caminho do fluxo de magnetização e A é a área da secção.
Substituindo-se (A.6) a (A.9) em (A.1) e (A.2) conduz à:
Φ1 =
N1i1
<l1
+
N1i1
<m
+
N2i2
<m
(A.11)
Φ2 =
N2i2
<l2
+
N2i2
<m
+
N1i1
<m
(A.12)
Substituindo-se (A.11) e (A.12) em (A.4) e (A.5) tem-se:
λ1 =
N21 i1
<l1
+
N21 i1
<m
+
N1N2i2
<m
(A.13)
166
λ2 =
N22 i2
<l2
+
N22 i2
<m
+
N2N1i1
<m
(A.14)
Vamos definir:
L11
∆
=
N21
<l1
+
N21
<m
= Ll1 + Lm1 (A.15)
L22
∆
=
N22
<l2
+
N22
<m
= Ll2 + Lm2 (A.16)
onde:
Ll1
∆
= indutância de dispersão do enrolamento 1.
Ll2
∆
= indutância de dispersão do enrolamento 2.
Lm2
∆
= indutância de magnetização do enrolamento 2.
Lm1
∆
= indutância de magnetização do enrolamento 1.
Das equações (A.15) e e (A.16), a relação entre Lm1 e Lm2 pode ser escrita por:
Lm2
N2
2 =
Lm1
N1
2 (A.17)
As indutâncias mútuas são definidas a partir dos terceiros termos de (A.13) e (A.14)
L12
∆
=
N1N2
<m
(A.18)
L21
∆
=
N2N1
<m
(A.19)
Obviamente L12 = L21. As indutâncias mútuas podem ser relacionadas as indutâncias
de magnetizantes:
L12 =
N2
N1
Lm1 =
N1
N2
Lm2 (A.20)
Os enlaces de fluxo podem agora serem escritos:
λ = Li (A.21)
onde
L =
[
L11 L12
L21 L22
]
=
 Ll1 + Lm1 N2N1Lm1N1
N2
Lmn Ll2 + Lm2
 (A.22)
Embora as equações de tensão com a matriz de indutâncias L incorporada possa ser
usada para análises, é usual fazer-se uma mudança de variáveis que permita obter-se o
167
circuito equivalente T de dois enrolamentos magneticamente acoplados. Vamos exprimir
os enlaces de fluxo de (A.21) como:
λ1 = Ll1i1 + Lm1
(
i1 +
N2
N1
i2
)
(A.23)
λ2 = Ll2i2 + Lm2
(
N1
N2
i1 + i2
)
(A.24)
Tem-se agora duas possibilidades. Pode-se achar uma variável para N2
N1
i2 ou para N1N2 i1.
Tomemos a primeira opção:
i′2 =
N2
N1
i2 ou N1i
′
2 = N2i2 (A.25)
onde i′2 fluindo no enrolamento 1, produz a mesma f.m.m que i2 circulando no enrolamento
2. Isto é chamado referir corrente no enrolamento 2 para o enrolamento 1. Isto implica
que o enrolamento 1 torna-se o enrolamento de referência.
Relembremos a equação (A.25)
i′2 =
N2
N1
i2 (A.26)
A potência deve permanecer invariante durante esta substituição. Então:
v′2 =
N1
N2
v2 (A.27)
Os enlaces de fluxo podem também ser escritos analogamente, uma vez que suas
unidades são volts.segundos:
λ′2 =
N1
N2
λ2 (A.28)
Substituindo-se (A.25) em (A.23) e (A.24) e ainda multiplicando-se (A.24) por N1
N2
para obter λ′2, e se além disto substituir-se
(
N2
2
N1
2
)
Lm1 por Lm2 em (A.23), tem-se:
λ1 = Ll1i1 + Lm1(i1 + i
′
2) (A.29)
λ′2 = L
′
l2i
′
2 + Lm1(i1 + i
′
2) (A.30)
onde
λ′2 =
(
N1
N2
)2
Ll2 (A.31)
168
A equação de tensão fica:
v1 = r1i1 +
d
dt
λ1 (A.32)
v′2 = r
′
2i
′
2 +
d
dt
λ′2 (A.33)
As equações de tensão acima podem ser descritas a partir do circuito equivalente T
mostrado na Figura 98.
2r2lL
1mL
1lL
2v¢
2i¢
1v
1r
1i
Figura 98: Circuito equivalente com o enrolamento 1 selecionado como referência.
A.2 Exemplo 1
É interessante ilustrar o método de obtenção de um circuito equivalente T a partir de
testes de circuito aberto e de curto circuito. Suponho que quando o enrolamento 2 de um
transformador com2 enrolamentos mostrado na Figura 97 está em aberto e a potência de
entrada no enrolamento 1 é de 12 W com um tensão aplicada de 110 V eficazes a 60 Hz e a
corrente é 1 A eficaz. Quando o enrolamento 2 é curto-circuitado a corrente que circula no
enrolamento 1 é de 1 A enquanto a tensão aplicada é de 30 V, 60 Hz. A potência durante
este teste é de 22 W. Se supor-se que Ll1 = Ll2 um circuito T equivalente pode ser obtido
(aproximadamente) a partir destas medidas com o enrolamento 1 como o enrolamento de
referência.
A potência pode ser escrita como:
P1 = |Ṽ1||Ĩ1| cosφ (A.34)
onde Ṽ e Ĩ são fasores e φ é o ângulo entre Ṽ1 e Ĩ1 (ângulo de fator de deslocamento).
Para o teste de circuito aberto tem-se:
φ = arccos
(
P1
|Ṽ1||Ĩ1|
)
(A.35)
φ = arccos
12
110× 1
(A.36)
169
φ = 83,7◦ (A.37)
Com Ṽ1 como o fasor de referência e supondo que o circuito seja indutivo (de fato o
é) onde Ĩ1 está atrasado de Ṽ1
Z̃ =
Ṽ1
Ĩ1
=
1106 0◦
16 − 83,7◦
(A.38)
Z̃ = 12 + j109,3Ω (A.39)
Se as perdas por histerese (perdas no núcleo) são desprezadas, o que na realidade
pressupõe um sistema magnético linear, então rl = 12 Ω. Pode-se também determinar a
partir do cálculo acima que Xl1 +Xm1 = 109,3 Ω.
Para o ensaio de curto-circuito supõe-se que i1 = −i′2 uma vez que construtivamente
Xm1 >> |r′2 + jX ′l2|. Então, tem-se:
φ = arccos
22
30× 1
(A.40)
φ = 42,8◦ (A.41)
Neste caso a impedância de entrada é (r1+r′2)+j(Xl1+X ′l2). Isto pode ser determinado
como segue:
Z̃ =
306 0◦
16 − 42,8◦
= 22 + j20,4 Ω (A.42)
Uma vez que r′2 = 10Ω (dado que r1 foi previamente determinada) e, uma vez que
supõe-se que Xl1 = X ′l2, ambas são 10,2 Ω. Portanto Xm1 = 109,3 − 10,2 = 99,1 Ω.
Finalmente
r1 = 12 Ω
Lm1 = 262,9 mH
Ll1 = 27,1 mH
L′l2 = 27,1 mH
r′2 = 10 Ω
170
A.3 Circuito magnético
Embora a análise de transformadores e máquinas elétricas seja muitas vezes efetuada
supondo um circuito magnético linear, por razões econômicas na prática projeta-se estes
dispositivos de maneira que ocorra a saturação e então ocorre o aquecimento do material
magnético devido as perdas por histerese. As características de magnetização dos mate-
riais empregados são dadas sob a forma de curvas B ×H, como mostrada na Figura 99.
Se supõe-se que o fluxo magnético é uniformemente distribuído ao longo do núcleo então
B é proporcional a φ e H é proporcional à f.m.m. Então um gráfico de φ por i possui a
mesma forma que a curva B ×H.
Uma vez que a saturação faz com que os coeficientes das equações diferenciais que
descrevem o dispositivo eletromagnético sejam funções das correntes nos enrolamentos.
Neste caso, uma análise transitória é difícil de ser efetuada sem o uso de um computador.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
H, A/m
B,
W
b/
m
2
Figura 99: Curva B ×H típica.
A.4 Equações diferenciais
As equações diferenciais surgem na prática da ciência e da tecnologia quando são
construídos modelos matemáticos que envolvem derivadas ou diferenciais.
A ordem de uma equação diferencial ordinária é a mesma da derivada de maior ordem
que se apresenta na equação.
Uma equação diferencial ordinária de ordem "n" pode sempre ser reduzida a um sis-
171
tema de "n" equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, que devem ser resolvidas
simultâneamente para se obter a solução da equação original.
A solução numérica de uma equação diferencial ordinária é sempre obtida para valo-
res de "x" dentro de um intervalo (a,b) de integração, tomando-se um número "m" de
subintervalos de comprimento x+1 − x = h, não necessariamente iguais.
Apresentar-se-á, a seguir, alguns métodos numéricos para a resolução de equações
diferenciais.
A.4.1 Método de Euler
Seja uma função
y = f(x) (A.43)
Utilizando-se uma expansão em série de Taylor, podemos escrever:
ym+1 = ym + hy
′
m +
h2
2
y′′m +
h3
6
y′′′m +
h4
24
y′′′′m + ... (A.44)
onde m + 1 é o passo de cálculo atual e os superescritos ’,”,” ’,” ”, indicam a ordem das
derivadas.
Se forem abandonados os termos que possuem h com expoente maior do que 1, teremos
a fórmula de Euler, isto é:
ym+1 = ym + hy
′
m (A.45)
A.4.1.1 Exemplo - Circuito R-L
Seja o circuito R−L conforme Figura 100, alimentado a partir de uma fonte de tensão
de forma qualquer v. Determinar a corrente elétrica.
L1v
R
1i
Figura 100: Circuito R-L.
172
Pela lei de Kirchoff, teremos:
v = Ri+ L
d
dt
i (A.46)
onde supomos que a indutância L não seja função do tempo. Neste exemplo temos:
y = i (A.47)
y′ =
d
dt
i =
1
L
[v −Ri] (A.48)
h = dt = ∆t
∆
= passo de cálculo no tempo.
e a Equação (A.45) escreve-se, em particular:
im+1 = im +
1
L
[v −Rim]∆t (A.49)
A corrente elétrica pode então ser avaliada pela soma dada acima dentro de um
intervalo de tempo (a,b). Neste caso, por uma questão de simplicidade, adotamos o
"comprimento"de integração ou passo de cálculo constante e igual à ∆t.
Admitamos, por exemplo R = 1 Ω, L = 1 mH, ∆t = 0,1 ms e que o sinal de tensão
seja um degrau aplicado em t = 0 segundos. Vamos supor ainda que o valor inicial da
corrente seja nulo.
0 1 2 3 4 5 6 7
x 10
-3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tempo [s]
C
or
re
nt
e 
[A
]
Figura 101: Corrente calculada para um circuito R-L
Como pode ser visto na Figura 101, o método de Euler é simples e fornece soluções
173
boas sobretudo se o intervalo de integração [a,b] não é muito grande e se o passo h é
pequeno. Vejamos a seguir mais alguns exemplos de integração numérica na resolução de
equações diferenciais.
A.4.1.2 Exemplo - Circuito Mecânico rotativo
Determinar a posição angular θr para o sistema mecânico rotativo mostrado na Fi-
gura 102. Suponha a inércia J da parte móvel como sendo 0,0001 kgm2 e que dois torques
estejam agindo no eixo à partir do início da simulação: um torque motor agindo no sen-
tido anti-horário e um torque de carga, agindo no sentido horário. Suponhamos que o
torque motor (Tm) seja um degrau de torque de 1 Nm e que o torque de carga (TL) seja
um torque proporcional à velocidade, isto é, TL = Bωr com B = 0,01 Nms/rad. Vamos
escolher, para esta simulação, um passo de integração h = ∆t = 1× 10−3 segundos.
rw
J
mT
LT
Figura 102: Sistema mecânico rotativo.
A equação diferencial associada é deduzida da lei de Newton que diz que o somatório
dos torques que agem é igual à massa vezes a aceleração angular, isto é:∑
T = J
d2
dt2
θr (A.50)
No exemplo em questão, estamos admitindo a existência de apenas dois torques: o
torque motor (Tm) e o torque de carga (TL) agindo em sentidos opostos. Neste caso,
podemos reescrever (A.50) como:
Tm − TL = J
d2
dt2
θr (A.51)
No entanto, a equação acima não é diretamente "tratável"pelos métodos de integração,
visto não ser de primeira ordem. Por outra lado, como dito anteriormente, é possível
reduzir a ordem da equação introduzindo uma variável e equação suplementar. No nosso
174
caso, podemos definir a velocidade angular ωr:
d
dt
θr = ωr (A.52)
e teremos assim:
Tm − TL = J
d
dt
ωr (A.53)
ωr =
d
dt
ωr (A.54)
Aplicando-se o esquema de Euler, podemos avaliar a velocidade o deslocamento an-
gular:
ωrm+1 = ωrm +
1
J
[Tm − TL]∆t (A.55)
θrm+1 = θrm + ωrm+1∆t (A.56)
Substituindo-se os valores numéricos dados anteriormente e assumindo como condições
iniciais velocidade e deslocamento nulo, pode-se simular o problema em questão.
As curvas do torque motor imposto, do torque de carga, da velocidade e da posição
angular ao longo do tempo são mostradas na Figura 103.
A.4.2 Método de Runge-Kutta de 4a ordem
Os métodos de Runge-Kutta são métodos de passos simples, não iterativos.
Todas as fórmulas de Runge-Kutta destinadas à resolução de y′ = f(x,y), exprimem
yi+1 em termos de yi e da f(x,y) calculada em um ou mais pontos da região em que se
encontram yi e yi + 1. A dedução dessas fórmulas envolve a utilização da série de Taylor,
sendo que a ordem de truncamento da série de Taylor determina a ordem da fórmula de
Runge-Kutta correspondente.
Dada a equação diferencialy′ = f(x,y), pode-se usar o método de Runge-Kutta de 3ł
ordem que é composto das fórmulas:
k1 = hf(xi,yi)
k2 = h f
(
xi +
h
2
, yi +
k1
2
)
k3 = h f(xi + h,yi + 2k2 − k1)
yi+1 = y1 +
1
6
(k1 + 4k2 + k3
175
h é o passo de cálculo (intervalo de integração).
Pode-se também usar o método de Runge-Kutta de 4ł ordem, mais preciso, que é
composto das fórmulas:
k1 = h f(xi,yi)
k2 = h f
(
xi +
h
2
, yi +
k1
2
)
k3 = h f
(
xi +
h
2
,yi +
k2
2
)
k4 = h f(xi + h,yi + k3)
yi+1 = yi +
1
6
(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)
Quando se usa um método de Runge-Kutta, cada fórmula do método é usada uma
vez a cada passo.
176
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
D
es
lo
ca
m
en
to
 A
ng
ul
ar
 [r
ad
]
Tempo [s]
0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Ve
lo
ci
da
de
 A
ng
ul
ar
 [r
ad
/s
]
Tempo [s]
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
To
rq
ue
 d
e 
ca
rg
a 
[N
m
]
Tempo [s]
Figura 103: Curvas de torque, posição angular e velocidade.
	Lista de Figuras
	Lista de Tabelas
	Introdução
	Equações de tensão e torque da máquina elétrica básica
	Equações da máquina básica de dois enrolamentos
	Equação do movimento mecânico da máquina elétrica básica
	Estudo da dinâmica de um eletroimã: um exemplo de aplicação
	Teoria das Máquinas de Corrente Contínua
	Máquina de corrente contínua elementar
	Equações de tensão e torque em variáveis da máquina
	Tipos básicos de máquinas de corrente contínua
	Gerador cc com excitação independente
	Máquina cc conectada em shunt ou derivação
	Máquina cc conectada em série
	Máquina cc conectada composta
	Caracterísiticas dinâmicas do motor shunt alimentado a partir de uma fonte de tensão constante
	Desempenho dinâmico durante a partida
	Desempenho dinâmico durante mudanças bruscas no torque de carga
	Teoria de Eixos de Referência
	Equações de transformação - mudança de variáveis
	Equações de Potência
	Transformação de variáveis do circuito estacionário para o circuito de referência arbitrário
	Elementos Resistivos
	Elementos Indutivos
	Exemplo
	Elementos Capacitivos
	Anexo: Transformação de um conjunto de variáveis balanceadas
	Anexo: Relações fasoriais balanceadas em regime permanente
	Teoria das máquinas de indução simétricas
	Equações de tensão em variáveis da máquina
	Equações de torque em variáveis da máquina
	Equações de transformação para circuitos do rotor
	Equações de tensão em um sistema de referências arbitrário
	Equação do torque em variáveis do sistema de referência arbitrário
	Análise da operação em regime permanente
	Obtenção experimental dos parâmetros do motor de indução
	Características de partida. Exemplos de simulação
	Comportamento dinâmico durante bruscas mudanças no torque de carga
	Comportamento dinâmico durante curto-circuito trifásico nos terminais da máquina
	Teoria das máquinas síncronas
	Equações de tensão em variáveis da máquina
	Equações de torque em variáveis da máquina
	Equações de tensão do estator em variáveis de um eixo de referência arbitrário
	Equações de tensão em variáveis em um eixo fixo no rotor - equações de Park
	Equações de torque em variáveis referidas ao eixo de referência
	Análise da operação em regime permanente
	Comportamento dinâmico durante uma variação brusca no torque de entrada
	Comportamento dinâmico durante curto-circuito trifásico nos terminais da máquina
	Teoria das máquinas de indução bifásicas
	Equações de tensão e torque em variáveis da máquina para máquinas de indução bifásicas não simétricas
	Equações de tensão e torque em variáveis de um sistema de referência estacionário para máquinas de indução bifásicas não simétricas
	Máquinas de indução monofásica
	Enrolamento de estator monofásico
	Motor de indução Split-phase
	Motor de indução com capacitor de partida
	Motor de indução com capacitor de partida e capacitor de regime
	Controle vetorial dos motores de indução trifásicos
	Introdução
	Métodos de controle vetorial
	Método indireto de contole vetorial
	Máquinas à imãs permanentes
	Introdução
	Princípios do motor BLDC
	Sistema de acionamento do motor BLDC
	O motor BLDC
	O conversor eletrônico
	Sensores
	O controlador
	Exemplo de curvas de simulação de funcionamento
	Máquinas síncronas à imãs permanentes
	Equações de tensão e torque em varáveis da máquina
	Equações de tensão e torque em variáveis de um sistema de referência girando à velocidade do rotor
	Enfraquecimento de campo
	O sistema de controle do MSIP
	O motor síncrono à imãs permanentes (MSIP)
	O conversor eletrônico
	Sensores
	O controlador
	Apêndice A – Identidades trigonométricas para sistemas trifásicos
	Anexo A – Conceitos básicos para análise de máquinas elétricas
	Circuitos acoplados magneticamente
	Circuitos acoplados com dispersão - sistema magnético linear
	Exemplo 1
	Circuito magnético
	Equações diferenciais
	Método de Euler
	Exemplo - Circuito R-L
	Exemplo - Circuito Mecânico rotativo
	Método de Runge-Kutta de 4ª ordem