Lista 1 - Equacoes_Funcoes_Limites

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Grupo de Cálculo RQ 0501 Rev. 14 
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 ( ) Prova ( ) Prova Semestral 
 (x) Exercícios ( ) Segunda Chamada 
 ( ) Prova Modular ( ) Prova de Recuperação 
 ( ) Prática de Laboratório 
 ( ) Exame Final/Exame de Certificação 
 ( ) Aproveitamento Extraordinário de Estudos 
Nota: 
 
 
 
 
Disciplina: Cálculo Diferencial - Lista 1-Revisão, Funções e Limites Turma: 
Professor (a): Data: / / 
 
Aluno (a): 
EQUAÇÕES E SISTEMAS 
Objetivo geral 
 
Propiciar uma revisão de equações e sistemas básicos para que reconheça as diferentes notações 
dos números reais e interprete suas operações, saber selecionar e utilizar procedimentos de 
cálculo, para a posterior resolução de funções. 
 
Objetivos Específicos 
Espera-se com esse conteúdo que o aluno: 
• Perceber e diferenciar equações do 1º e 2º grau e sistemas de equações; 
• Saiba resolver equações do 1º e 2º grau e sistemas de equações. 
 
 
EQUAÇÕES DO 1º GRAU. 
 
Exemplos: 
 
a) 
b) 
 
 
c) 
 
d) 
 
 
 
e) 
f) 
1. Resolva as equações: 
a) b) c) 
d) e) f) 
g) h) i) 
j) k) l) 
124 =+x
1613 =+x
20)1(2)3(5 =-×-+× xx
)4(3)3(25 -×-=+×- xxx
3
12
2
14 +-
=
- xx
4
18
63
xxx
-=+
32 =+x 14 =+ x 322 =x
1013 =+x 27513 -=- x 15
2
=
x
101
3
2
=+
x 5
3
4
2
5
=+
x
3
45)1(3 =-+× x
1
2
12
3
5
2
7
=÷
ø
ö
ç
è
æ +×+ x
3
2
15
4
=
+x 5
2
3
3
2
=-
xx
 
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m) n) o) 
 
 
Gabarito: 
 
a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 
k) l) m) n) o) 
 
 
EQUAÇÕES DO 2º GRAU. 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
 
g) 
 
h) 
 
i) 
 
2. Determine as raízes das equações: 
 
a) b) c) 
d) e) f) 
g) h) i) 
j) k) l) 
m) n) o) 
p) q) r) 
)2(6
53
2
-×=- xxx
4
3
5
21
10
5 xxx -
=
-
+
- 0;
4
12
10
¹=- xx
01 3- 16 03 8 30
2
27
15
22
9
10 1-
06 6-
83
180 21-
2
45
042 =-x
0103 2 =- xx
01522 =-+ xx
0)3()2( =+×- xx
1)3( 2 =+x
0;
2
643 ¹+=- x
x
x
x
32;
3
5
2
12
-¹-¹
+
+
=
+
+ yey
y
y
y
y
10;12
1
¹¹=
-
+
-
xex
x
x
x
x
22;
2
11
4
3
2 ¹-¹-
=+
-
+ xex
xx
x
092 =-x 062 2 =+ xx 0273 2 =+- xx
xx 1294 2 =+ 22 2953 xxxx +--=+ 0)2()1( =-×+ xx
040)3( =-+× xx 1)5( 2 =+x 0)42( 2 =-x
x
xx -=+ 81 5;
5
13 ¹
-
-=- x
x
x ( ) ( ) 301037 =+-×- xxx
2
2
23
7 xxx =+
2
1
4
3
+=÷
ø
ö
ç
è
æ -× xxx 10;12
1
¹¹=
-
+
-
xex
x
x
x
x
0;
2
643 ¹+=- x
x
x
x
2;2
4
3
2
3
2 ±¹=-
-
+
x
xx
x 21;
23
3
1
3
2 2
¹¹
+-
=
-
-
-
xex
xxxx
x
 
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Gabarito: 
a) b) c) d) e) f) g) h) i) 
j) k) l) m) n) vazio o) p) q) r) 
 
 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES. 
 
Exemplos: 
 
 
 
a) 
 
b) c) 
3. Encontre as soluções para os sistemas: 
 
a) b) c) 
d) e) f) 
g) h) i) 
j) k) l) 
m) n) o) 
 
 
Gabarito: 
 
a) b) c) d) e) f) g) h) 
 i) j) k) l) m) n) o) 
 
3± 0,3-
3
1,2
2
3 3- 2,1- 5,8- 4,6 -- 2
2,4- 4 3± 0,
8
3
- 31±- 4,0 - 5,1 3,1
î
í
ì
-=-
=+
22
8
yx
yx
î
í
ì
=+
=-
1632
2125
yx
yx
ïî
ï
í
ì
+=+
=+
133
7
2
xyx
yx
î
í
ì
=-
=+
1
3
yx
yx
î
í
ì
=-
=+
1123
12
yx
yx
î
í
ì
-=+
=-
25
72
yx
yx
î
í
ì
=+
=-
543
627
yx
yx
î
í
ì
=+
+=+
4
52)1(4
yx
yx
ïî
ï
í
ì
=-
=
4253
2
yx
yx
ïî
ï
í
ì
=+
-=+
234
3
1
2
yx
xy
ïî
ï
í
ì
=-
=+
yx
yx
2429
5
32
ïî
ï
í
ì
=-
=+
02
4
5
2
yx
yx
ï
ï
î
ïï
í
ì
=-
=+
2
3
3
10
32
xyx
yx
î
í
ì
-+=+
=+-
yxx
yx
28)1(3
734
î
í
ì
-=+-
=+
754
1042
yx
yx
( )
( )ïïî
ïï
í
ì
=+
=-
02
2
1
62
4
3
sr
sr
ïî
ï
í
ì
-=
+
-
-
=+
3
10
96
2
1443
yxyx
yx
ï
ï
î
ïï
í
ì
=
+
-
+
=-
1
9
3
6
43
4
4
bcbc
cb
( )1,2 ( )1,3 - ( )1,3 - ÷
ø
ö
ç
è
æ
2
1,1 ÷
ø
ö
ç
è
æ
2
5,
2
3 ( )12,6 -- ÷
ø
ö
ç
è
æ -
15
14,
5
6
( )6,6 ÷
ø
ö
ç
è
æ 1,
2
1 ( )1,6 ÷
ø
ö
ç
è
æ
7
17,
14
1 ( )1,3 ( )2,4 - ( )2,2 ( )4,3 -
 
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FUNÇÕES 
Objetivo geral 
 
Propiciar o aprendizado dos conceitos e na análise do comportamento de funções, para a posterior 
fundamentação do conceito de limites e derivadas. 
 
Objetivos Específicos 
Espera-se com esse conteúdo que o aluno: 
• Perceber e compreender o comportamento de fenômenos diversos, descritos por funções, 
observando a proporção das variações em cada um dos casos; 
• Descrever fenômenos do cotidiano profissional através de funções matemáticas. 
 
Conteúdo: 
Funções e gráficos de funções elementares, Domínio e Imagem, Raízes, de funções, Modelamento 
matemático de problemas práticos. 
 
Considerações Gerais 
Muitas vezes nos deparamos com situações que envolvem uma relação entre grandezas. Assim, o 
valor a ser pago na conta da luz de sua casa depende do consumo medido no período; o tempo de 
uma viajem de automóvel entre duas cidades depende da velocidade média desenvolvida no 
trajeto; o valor do rendimento de uma aplicação financeira depende da taxa de juros e do tempo 
da aplicação. 
Quando uma indústria lança um produto no mercado, para fixar o preço desse produto ela tem 
que levar em conta os custos para a produção e distribuição, que dependem de diversos fatores, 
entre eles as despesas com energia, aluguel de prédio, manutenção das máquinas, custos das 
matérias-primas envolvidas, salários e encargos dos funcionários. Como esses custos podem 
variar a indústria ter que estar “equacionando” essas variáveis para compor o preço do seu 
produto. 
Podemos utilizar a linguagem matemática para representar essas relações de dependência entre 
duas ou mais grandezas. Faremos isso nesta unidade, estudando Funções. 
Para dar início ao estudo de função é necessário o conhecimento de equações, pois todo o 
desenvolvimento algébrico de uma função é resolvido através de equações. 
 
 
 
 
1. Esboce o gráfico. 
a) b) c) 
d) e) f) 
g) h) i) 
j) k) l) 
xxf 3)( = xxg -=)( 1)( +-= xxh
12)( += xxf 32)( +-= xxg 3)( =xg
2)( -=xf
3
5
3
1)( += xxh xxf
2
1)( -=
î
í
ì
>
£
=
2,3
2,
)(
xse
xsex
xg
î
í
ì
->+-
-£
=
1,1
1,2
)(
xsex
xsex
xf 13)( --= xxf
 
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m) n) o) 
 
2. Determine qual a função geradora de cada um dos gráficos a seguir: 
 
 a) b) c)d) e) f) 
 
 
 
î
í
ì
>-
£+
=
1,2
1,2
)(
xsex
xsex
xf 3
2
)( +-= xxf xxf 32)( +-=
 
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*3. Escreva uma equação para a função do primeiro grau f satisfazendo as condições dadas. Represente 
as funções graficamente. 
 
a) 
b) sabendo que a função intercepta o eixo das ordenadas em y = 6 e admite (- 2) como raiz da função. 
c) sabendo que a função admite 3 como raiz e . 
OBS.: Justifique com suas palavras passo-a-passo a resolução e dê uma aplicação do dia-a-dia 
para uma função do primeiro grau. 
 
4. Dada a função , determine: 
a) Uma outra função do 1º grau que tenha a mesma inclinação e passe pelo eixo das ordenadas, 10 
unidades a menos; 
b) Uma outra função do 1º grau que tenha a mesma inclinação e passe pela origem. 
 
5. Determine em graus a inclinação em relação ao eixo das abscissas das funções: 
a) b) c ) 
 
6. O salário de um vendedor é composto de uma parte fixa no valor de R$ 800,00, mais uma parte variável 
de 12% sobre o valor de suas vendas no mês. Caso ele consiga vender R$ 450 000,00, calcule o valor de 
seu salário. 
 
*7. Determine: 
a) A equação de reta que passa pelos pontos (0, 1) e (5, 0). 
b) A equação da reta com declividade igual a 3 passando pelo ponto (0, 17). 
c) o ponto em comum para as duas retas (a) e (b). 
OBS.: Justifique com suas palavras passo-a-passo a resolução de cada item. 
 
8. Seja ,uma função afim. Sabendo que f (-1) = 4 e f(2) = 7, o valor de f(8) é igual a: 
a) 3 b) 13 c) 23 d) 33 e) 15 
9. A função f é definida por . Sabendo que f(-1) = 3 e que f(1) = 1, o valor de f(3) é igual a: 
a) -3 b) -1 c) 0 d) 2 e) 5 
 
10. Com relação à função dada, determine as raízes (caso existam), o maior ou o menor valor, esboce o 
gráfico e determine a imagem da função 
a) b) c) 
d) e) f) 
g) h) i) 
j) k) l) 
 
4)2(1)5( =-=- fef
8)1( =f
nnC 1530)( +=
xy 25-= xy 63-= 45 += xy
baxxf +=)(
baxxf +=)(
23)( 2 +-= xxxf 4)( 2 -= xxf 44)( 2 +-= xxxf
22)( 2 ++= xxxf 32)( 2 += xxf xxxf 32)( 2 -=
232)( 2 -+-= xxxf 23)( 2 -= xxf 33)( 2 -+-= xxxf
1)( 2 +-= xxf 1)( 2 ++= xxxf 32)( 2 +--= xxxf
 
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11. Qual a função geradora de cada um dos gráficos a seguir? 
 
 
 
 
 
 
 
 
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12. Transforme a função em uma nova função deslocando: 
a) três unidades para cima; 
b) uma unidade para baixo e a concavidade inversa. 
 
*13. Uma chapa metálica deve ter as dimensões descritas abaixo. 
 
 
Considerando que a parte superior da chapa, é formada pelas funções do segundo grau (domínio ), 
constante (domínio ) e do primeiro grau (domínio ), pede-se: 
 
a) Qual a lei função que descreve a peça no domínio ? 
b) Qual a lei função que descreve a peça no domínio ? 
c) Qual a lei função que descreve a peça no domínio ? 
OBS.: Justifique com suas palavras passo-a-passo a resolução e dê uma aplicação do dia-a-dia 
para as funções que aparecem na figura ou uma que tenha todas estas funções. 
 
*14. O componente mecânico (flange) a seguir será construído (usinado) em um torno CNC. 
 
O gráfico abaixo foi obtido a partir das medidas do componente (em cm). 
 
 
22)( xxf =
]5,0[
[8,5] ]12,8[
]5,0[
[8,5]
]12,8[
 
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Sabendo que o trecho I é modelado por uma função quadrática, o trecho II por uma função linear e o 
trecho III por uma função constante, pede-se: 
a) Qual a função que descreve a trajetória do carrinho no trecho I? 
b) Qual a função que descreve a trajetória do carrinho no trecho II? 
c) Qual a função que descreve a trajetória do carrinho no trecho III? 
OBS.: Justifique com suas palavras passo-a-passo a resolução. 
15. Esboce o gráfico da função , determine o domínio, imagem, crescimento ou 
decrescimento e a assíntota. 
 
*16. Esboce o gráfico da função , determine o domínio, imagem, crescimento ou 
decrescimento e a assíntota. 
OBS.: Justifique com suas palavras passo-a-passo a resolução, dê uma aplicação do dia-a-dia para 
uma função do exponencial, explique por que a função cresceu ou decresceu e o que é assíntota. 
 
*17. Esboce o gráfico da função , determine o domínio, imagem, crescimento ou 
decrescimento e a assíntota. 
OBS.: Justifique com suas palavras passo-a-passo a resolução, explique por que a função cresceu 
ou decresceu e o que é assíntota. 
18. Determine uma fórmula para a função exponencial , cujo gráfico é demonstrado na figura. 
a) b) 
 
x
y
-
÷
ø
ö
ç
è
æ+=
2
1.21
xy )2.(32 -=
xy )2.(42 +=
caby x += .
 
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 c) d) 
 
 
19. Determine o período e imagem e faça o gráfico de um período completo das funções a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
20. Suponha que o custo total de fabricação de q unidades de certa mercadoria sejam dada pela função 
C(q) = q³ - 30q² + 500q + 200 . 
)cos(3)() xxfa -= ÷
ø
ö
ç
è
æ-=
3
)() xsenxff
÷
ø
ö
ç
è
æ=
2
cos)() xxfb ( ) 132)() -+= pxsenxfg
)3cos(1)() xxfc += ÷
ø
ö
ç
è
æ +=
6
2)() pxsenxfh
÷
ø
ö
ç
è
æ -=
4
cos)() pxxfd ÷
ø
ö
ç
è
æ --=
3
221)() pxsenxfi
1
3
3cos2)() -÷
ø
ö
ç
è
æ +=
pxxfe ÷
ø
ö
ç
è
æ ++=
43
23)() pxsenxfj
 
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a) Calcule o custo de fabricação de 10 unidades. 
 
b) Calcule o custo de fabricação da 10ª unidade da mercadoria. 
 
*21. O comprimento de uma barra de metal varia com a temperatura T de acordo com a equação 
L(T) = 100 + 0, 001.T , sendo T em graus Celsius (º C) e L em centímetros(cm). 
Com base na informação acima, responda: 
a) Qual é o comprimento dessa barra a 10º C 
b) A que temperatura o comprimento é de 100, 01 cm? 
OBS.: Justifique com suas palavras passo-a-passo a resolução, explique por que a função cresce 
ou decresce e acrescente (invente) um item c) para o problema. 
 
*22. Uma clínica de fisioterapia cobra R$ 50, 00 de matrícula e mais R$ 10, 00 por sessão de fisioterapia. 
Qual a expressão que representa a quantia y (em reais) a ser paga por um paciente que fez x sessão de 
fisioterapia? 
a) y = (50 +10)x b) y =10x + 50 c) y = 50x +10 d) y = x10 + 50 e) y = 50x -10 
OBS.: Justifique com suas palavras passo-a-passo como chegou na função e como você 
conseguiu saber que tipo de função é, ainda explique se a função cresce ou decresce e porquê. 
 
23. Pesquisas desenvolvidas por matemáticos e indústrias de calçados determinaram que existe uma 
função, relacionado o número do calçado e o tamanho do pé da pessoa. A função tem a seguinteexpressão matemática (onde N representa o número do calçado e p o tamanho do pé). 
a) De acordo com a função, qual seria o número do calçado de uma pessoa cujo pé mede 24 cm 
(aproximadamente)? 
b) Ainda pela fórmula, qual o tamanho do pé (aproximadamente) de uma pessoa que calça 42? 
 
24. Os analistas de uma fábrica de calçados verificaram que quando produzem 600 pares de chinelos por 
mês, o custo total de produção é de R$ 5.600,00, e quando produzem 900 pares por mês, o custo mensal 
é de R$ 7.400,00. Eles também sabem que a função que relaciona o custo total de produção e o número 
de pares produzidos, pode ser modelada como uma função afim. 
4
285 +
=
pN
 
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a) Obtenha a expressão matemática da função que 
relaciona esse custo mensal (C) com o número de 
pares produzidos (x). 
b) Se a capacidade máxima da fábrica é de 1.200 
pares por mês, qual o custo máximo possível mensal 
para essa produção? 
c) Qual o custo unitário por par de sandália, na 
produção de 1.000 pares? 
 
*25. Por mês, certa família tem uma renda de r reais, e o total de seus gastos mensais é dado pela função 
g(r) = 0,7r + 100. Num mês em que os gastos atingiram R$ 3.600,00, pode-se estimar que a renda dessa 
família foi de: 
a) R$ 4.000, 00 b) R$ 5.000, 00 c) R$ 5.500, 00 d) R$ 6.000, 00 e) R$ 6.500, 00 
OBS.: Justifique com suas palavras passo-a-passo a resolução, ainda explique se a função cresce 
ou decresce e porquê. 
 
*26. A temperatura, em graus centígrados, no 
interior de uma câmara, é dada pela função 
f ( t ) = t 2 - 7t + A , onde t é medido em minutos e 
A é constante. Se, no instante t = 0, a temperatura 
é de 10º C, o tempo gasto pra que a temperatura 
seja mínima, em minutos, é: 
 
a) 3, 5 b) 4, 0 c) 4, 5 d) 6, 5 e) 7, 5 
OBS.: Justifique com suas palavras passo-a-passo a resolução, ainda responda qual é o ponto de 
máximo ou mínimo, o intercepto em y e a concavidade. 
 
27. Para um indivíduo sadio em repouso, o número N de batimentos cardíacos por minuto varia em função 
da temperatura ambiente t (em graus Celsius), segundo a função N (t) = 0, 1t 2 - 4t + 90 . Nessas 
condições, em qual temperatura o número de batimentos cardíacos por minuto é mínimo? 
a) 31º C b) 12, 4º C c) 20º C d) 25º C e) 22º C 
 
*28. Uma bola é lançada ao ar. Suponha que sua altura h, em metros, t segundos após o lançamento, seja 
. Determine: 
a) o instante que a bola atinge a altura máxima; 
b) a altura máxima atingida pela bola; 
c) quantos segundos depois do lançamento ela toca o solo; 
d) o gráfico da altura em função do tempo. 
OBS.: Faça a representação da situação problema em um gráfico explicando com suas palavras 
passo-a-passo a resolução e além disso use um software para ilustrar a situação problema. 
 
642 ++-= tth
 
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29. Sabe-se que o lucro total de uma empresa é dado pela fórmula L=R-C, em que L é o lucro total, R é a 
receita total e C é o custo total da produção. Numa empresa que produziu x unidades, verificou-se que 
e . 
a) Esboce no mesmo plano cartesiano os gráficos de receita e custo indicando os pontos de intercepto 
b) Qual deve ser a produção x para que o lucro da empresa seja máximo? 
c) Esboce o gráfico da função lucro. 
 
30. Numa certa cultura existem 1000 bactérias em determinado instante. Após 10 minutos, existem 4000. 
Quantas bactérias existirão em 1 hora, sabendo que elas aumentam através da fórmula , em 
que P é o número de bactérias, t é o tempo em horas e k é a taxa de crescimento? 
 
31. A produção de uma peça numa empresa é expressa pela função, onde y é o 
número de peças e d o número de dias. A produção de 87 peças será alcançada em quantos dias? 
 
32. A expressão fornece o número P de milhares de habitantes de uma cidade, em função 
do tempo t, em anos. Se em 1990 essa cidade tinha 300.000 habitantes, quantos habitantes, 
aproximadamente, ela possuía no ano 2000? 
 
*33. Um corpo com temperatura de 200 ºC é exposto ao ar e após 30 segundos sua temperatura atinge 
120ºC. Sabendo que seu resfriamento obedece a função: Onde: T: temperatura, t: tempo, c, 
k: constantes e Ta = 20ºC. 
a) Determinar a temperatura após 1 hora. 
b) Determinar o tempo necessário para atingir 40ºC. 
OBS.: Justifique com suas palavras passo-a-passo a resolução, faça desenhos para ilustrar a 
situação problema (tipo em quadrinhos), esboce o gráfico da situação problema e responda o que é 
o “c”, o “k” e o “Ta” e qual é a assíntota? 
 
*34. A pressão atmosférica (P) em polegadas de mercúrio (1 polegada = 25,4 mm), é dada por: P(h) = 
30 x 10-0,09h onde, h é a altura em milhas (1 milha = 1609 metros), acima do nível do mar. 
 Calcule: 
a) A pressão atmosférica 3 km acima do nível do mar; 
b) Com erro inferior a 0,1 milhas determinem a altura de uma montanha sabendo que no cume a 
pressão atmosférica é de 505 mm de mercúrio. 
OBS.: Justifique com suas palavras passo-a-passo a resolução, faça desenhos para ilustrar a 
situação problema (tipo em quadrinhos), esboce o gráfico da situação problema e responda o que é 
o “c”, o “k” e o “Ta” e qual é a assíntota? E ainda explique como converter as unidades. 
 
35. De um modo geral, a população, ou seja, o numero de bactérias, mosquitos, dentre outros, existentes 
num instante t é dado por uma lei exponencial do tipo P = P0 ekt, onde k é uma constante positiva, 
chamada constante de proporcionalidade, e P0 é a população inicial (população no instante t = 0). 
Suponhamos então uma situação concreta em que o número P de mosquitos é dado pela expressão: P = 
26000)( xxxR -= xxxC 2000)( 2 -=
ktePP ×= 0
dey 2,0100100 --=
tktP 05,02.)( =
TaecT kt += .
 
Grupo de Cálculo RQ 0501 Rev. 14 
Página 14 de 32 
P0 e 0,01t , onde o tempo t é expresso em dias. Determine a população inicial P0, sabendo que depois de 30 
dias a população é de 400 000 mosquitos. 
 
36. O capital acumulado a prazo ao fim de n anos, quando capitalizado de forma continua, pode ser 
calculada através da função C = C0 etn , em que C0 representa a quantia depositada e t a taxa de juro 
anual (na forma decimal). Supondo C0 = 10 000 euros e t = 8%, determinar: 
a) A quantia acumulada ao fim de um, de dois e de oito anos e meio. 
b) Aproximadamente ao fim de quanto tempo duplica o capital? 
 
37. A quantidade, em gramas, de substância radioativa de uma amostra decresce segundo a fórmula Q(t) 
= Q0 e –0,0001t, em que t representa o número de anos. Ao fim de 5 000 anos restavam 3 gramas de 
substância radioativa na amostra. Quantas gramas existiam inicialmente? 
38. O resfriamento de uma bola de metal é gerado pela função , em que: 
® c e k são constantes; 
® t indica o tempo (em minutos); 
® 20 é a temperatura do ar (em °C); 
® T(t) indica a temperatura (em °C) no instante t. 
Sabendo que a temperatura da bola inicialmente era de 100°C e passados 20 minutos a sua temperatura 
era de 60°C, calcule: 
a) Qual a temperatura da bola de metal quando o tempo for de 15 minutos? 
b) Qual o tempo necessário para que a bola de metal tenha a temperatura de 40°C? 
 
*39. Em certa cidade litorânea, a altura da maré (em metro), em função do tempo , é dada pela função 
, na qual o tempo é medido em hora, a partir da meia-noite. Analise as sentenças 
abaixo assinalando (V) paraas afirmações verdadeiras e (F) para as falsas. 
a) ( ) A amplitude é igual a . 
b) ( ) A imagem da função é . 
c) ( ) O período da maré é igual a 6. 
 
d) ( ) Às 6 horas da manhã e à meia-noite a altura da maré é 2,5 metros. 
 
OBS.: Justifique com suas palavras passo-a-passo a resolução explicando cada afirmação, faça 
desenhos para ilustrar a situação problema (tipo em quadrinhos), esboce o gráfico da situação 
problema e, responda: o que é o “2”, o “1/2” e o “∏/3” na função dada? 
 
*40. Quando uma onda senoidal se propaga em uma corda, sua fonte realiza, na vertical, um movimento 
harmônico simples e tem sua posição , em função do tempo , dada pela lei , em 
que é a amplitude, é a fase inicial e é a pulsação do movimento. Sabendo que uma onda se 
propaga de acordo com a equação . Analise as sentenças abaixo assinalando ( V ) 
para as afirmações verdadeiras e ( F ) para as falsas. 
20.)( += ktectT
h t
( ) ÷
ø
ö
ç
è
æ ××+= tth
3
cos
2
12 p
2
1
úû
ù
êë
é
2
5,
2
3
y t ( ) ( )tAty wa +×= cos
A a w
( ) ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ +×= tty
4
2cos3 p
 
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a) ( ) A amplitude é igual a 3. 
b) ( ) A fase inicial é igual a . 
c) ( ) A pulsação da onda é igual a 2. 
d) ( ) A posição da vertical da onda é 2, para o tempo decorrido de . 
OBS.: Justifique com suas palavras passo-a-passo a resolução explicando cada afirmação, faça 
desenhos para ilustrar a situação problema (tipo em quadrinhos), esboce o gráfico da situação 
problema e, responda: o que é o “A”, o “alpha” e o “ꙍ” na função dada? 
 
41. Suponha que o horário do pôr do sol na cidade de Curitiba, durante o ano de 2009, possa ser descrito 
pela função sendo o tempo dado em dias e o dia 1º de janeiro. Com 
base nessas informações, considere as seguintes afirmativas: 
I. O período da função acima é . 
II. Foi no mês de abril o dia em que o pôr do sol ocorreu mais cedo. 
III. O horário em que o pôr do sol ocorreu mais cedo foi 17h30. 
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente a afirmativa III é verdadeira. 
b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. 
c) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. 
d) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. 
e) Somente as afirmativas I, II e III são verdadeiras. 
 
42. As marés são fenômenos periódicos que podem ser descritos, simplificadamente, pela função seno. 
Suponhamos que, para uma determinada maré, a altura h, medida em metros, acima do nível médio, seja 
dada, aproximadamente, pela fórmula , em que t é o tempo medido em horas. 
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 
a) O valor mínimo atingido pela maré baixa é 8m. 
b) O momento do dia em que ocorre a maré baixa é às 12h. 
c) O período de variação da altura da maré é de 24h. 
d) O período do dia em que um navio de 10m de calado (altura necessária de água para que o navio 
flutue livremente) pode permanecer nesta região é entre 2 e 10horas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
4
p
2
3p
( ) ÷
ø
ö
ç
è
æ×-= tsentf
365
23,18,18 p t 0=t
p2
( ) ÷
ø
ö
ç
è
æ×+= tsenth
12
48 p
 
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1. a) b) c) 
 
 
 
 d) e) f) 
 
 
 g) h) i) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
j) k) 
 
 
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l) m) 
 
 
 
 
n) o) 
 
 
 
 
2. 
 a) b) c) 
d) e) f) 
3. 
14)( += xxf 2
4
3)( -= xxf 3)( +-= xxf
42)( +-= xxf 2
3
2)( +-= xxf 3)( -= xxf
7
18
7
5)() += xxfa 73)() += xxfb
 
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4. a) b) 
 
 
5. a) – 63,43º. b) - 80,53º c) 78,69º 
 
 
6. O salário do vendedor será de R$ 54 800,00. 
 
7. a) b) c) 
 
8. Alternativa b 9. Alternativa b 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. 
a) b) c) 
124)() +-= xxfc
nnC .1520)( += nnC .15)( =
1
5
1
+-= xy 173 += xy )2,5(-
 
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d) e) f) 
 
 
 
 
 
 
g) h) i) 
 
 
j) k) l) 
 
 
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11. a) b) c) 
 d) e) f) 
 
 
12. 
 
13. 
 
14. 
 
 
 
 
15. 16. 
 
 
 
17. 
22 += xy xxy 32 2 +-= 232 --= xxy
23
2
1 2 ++= xxy 122 2 ++-= xxy xxy 53 2 +=
32) 2 += xya 12) 2 --= xyb
6
15
34
30
16) 2 ++-= xxya 4) =yb 4) -= xyc
4) 2 += xya 11
2
3) +-= xyb 2) =yc
1.
}1/{Im 
=
>Î==
yemAssCrescente
yRyRD
2.
}2/{Im 
=
<Î==
yemAsseDecrescent
yRyRD
2.
}2/{Im 
=
>Î==
yemAssCrescente
yRyRD
 
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Página 21 de 32 
 
 
18. a) b) c) d) 
 
 
19. 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) d) 
( ) 22.323)(
x
x
xf == 22.3)( +-= xxg 13.2)( += xxf 22.3)( -= xxf
 
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e) f) 
 
 
 
 
 
g) h) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i) j) 
 
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20. a) 3200 b) R$ 201,00 
 
21. a) 100,01cm b) 10ºC 
 
22. Alternativa b 23. a) 37 unidades b) 28 cm 
 
24. a) b) c) R$ 8,00 
 
25. Alternativa b 26. Alternativa a 27. Alternativa c 
 
28. a) 2 segundos 
 b) 10 m 
 c) aproximadamente 5 segundos 
 d) gráfico 
 
29. a) gráfico 
 b) 2000 unidades 
 c) gráfico 
 
30. 4.096.000 31. 10,2 dias 32. 424.264 habitantes 
 
33. a)T = 20ºC b) t @ 112 segundos 
 
34. a) 20,38 polegadas b) 2 milhas. 
 
35. P0 = 296 327 mosquitos. 
 
36. a) C(1) = 10 833 ; C(2) = 11 735 ; C(8,5) = 19 739. b) 8,664 anos aproximadamente. 
 
37. 4,946 gramas aproximadamente. 
 
38. a) T=67,57°C b) t = 40 min. 
 
20006)( += xxC 9200)1200( =C
 
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39. a. ( V ) b. ( V ) c. ( V ) d. ( V ) 
 
40. a. ( V ) b. ( F ) c. ( V ) d. ( F ) 
 
41. d) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. 42. C e D 
 
 
Limites e Continuidade 
 
Objetivo Geral 
 
Propiciar o aprendizado dos conceitos de limite, para a posterior fundamentação do conceito de derivadas 
e integrais. 
 
 
Objetivos Específicos 
 
Após o desenvolvimento deste capítulo o aluno deverá: 
 
• Interpretar e calcular geometricamente o limite de uma função; 
• Interpretar e calcular algebricamente o limite de funções simples; 
• Determinar se a função é contínua ou descontínua num ponto. 
 
 
Conteúdo: 
 
Noção intuitiva. Definição. Propriedades. Limites laterais. Limites no infinito e limites infinitos. Limites 
fundamentais . Continuidade de funções. 
 
 
Considerações Gerais 
 
A ideia básica do cálculo é o conceito de limite, usado tanto para definir derivada como para definir 
integral. 
Entendemos que um estudo muito rigoroso da teoria dos limites, pelas dificuldades que encerra, foge 
completamente do objetivo do curso. Por outro lado o uso, como uma ferramenta, desta linguagem é 
bastante intuitiva, e podemos utilizá-la sem a necessidade de aprofundar esta teoria com os alunos. 
Acreditamos que a ideia intuitiva de simultaneidade de tendências, que o conceito de limite encerra, faz 
parte da bagagem científica que o aluno traz consigo. 
Iniciamos o estudo intuitivo dos limites através de uma análise gráfica, pois assim fica bem visível para o 
aluno o que queremos dizer com a expressão “o que acontece com a função quando x tende a determinado 
valor (tanto à esquerda como à direita). Insistimos nisto para, posteriormente, conceituarmos a derivada 
através da ideia de limite. 
Depois, trabalhamos as propriedades operatórias e desenvolvemos alguns exercícios somente para que os 
alunos possam entender como se calcula um limite algebricamente. Os exercícios são simples, pois o nosso 
objetivo é usar o limite somente para conceituar derivada e ter uma ideia do comportamento de uma 
função num ponto ou no infinito. 
Citamos os limites fundamentais somente para que eles tenham conhecimento de que estes limites existem, 
pois, como já dissemos, não é nosso objetivo aprofundar esta teoria. 
No que diz respeito à continuidade de funções, consideramos importante que o aluno tenha, pelo menos, 
uma noção intuitiva do que vem a ser uma função contínua. 
Exercícios 
 
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1) Analisando o gráfico da função f(x), calcule os limites: 
 
 
 
 
 
2) Analisando o gráfico da função f(x) : 
 
Intuitivamente, encontre se existir: 
a) b) c) 
 d) e) f) 
 
 
 
 
3) Seja f(x) a função definida pelo gráfico: 
=
-®
)(lim
2
xf
x
=
+®
)(lim
2
xf
x
=
®
)(lim
2
xf
x
=
¥-®
)(lim xf
x
=
®
)(lim
1
xf
x
=
®
)(lim
4
xf
x
a) b) 
c) d) 
e) 
 
f) 
g) h) 
i) 
 
j) 
 
=
--®
)(lim
2
xf
x 2
lim ( )
x
f x
+®-
=
=
-®
)(lim
2
xf
x
=- )1(f
=
¥®
)(lim xf
x
=
¥-®
)(lim xf
x
=
®
)(lim
0
xf
x
=)2(f
=
®
)(lim
3
xf
x
=
-®
)(lim
1
xf
x
 
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Página 26 de 32 
 
Intuitivamente, encontre se existir: 
a) b) c) 
d) e) f) 
 
 
4) Seja f(x) a função definida pelo gráfico: 
 
Intuitivamente, encontre se existir: 
 
 
 
 
*5) Seja f(x) a função definida pelo gráfico: 
 
 Intuitivamente, encontre se existir: 
 
 
 
 
OBS.: Justifique com suas palavras como chegar nas respostas, 
utilizando o gráfico. 
 
6) Seja f(x) a função definida pelo gráfico: 
 Intuitivamente, encontre se existir: 
 
 
=
-®
)(lim
3
xf
x
=
+®
)(lim
3
xf
x
=
®
)(lim
3
xf
x
=
-¥®
)(lim xf
x
=
+¥®
)(lim xf
x
=
®
)(lim
4
xf
x
22 2
0
) lim ( ) ) lim ( ) ) lim ( )
) lim ( ) ) lim ( ) ) lim ( )
xx x
x x x
a f x b f x c f x
d f x e f x f f x
+ - ®-®- ®-
®+¥ ®-¥ ®
= = =
= = =
00 0
2
) lim ( ) ) lim ( ) ) lim ( )
) lim ( ) ) lim ( ) ) lim ( )
xx x
x x x
a f x b f x c f x
d f x e f x f f x
+ - ®® ®
®+¥ ®-¥ ®
= = =
= = =
22 2
1
) lim ( ) ) lim ( ) ) lim ( )
) lim ( ) ) lim ( ) ) lim ( )
xx x
x x x
a f x b f x c f x
d f x e f x f f x
+ - ®® ®
®+¥ ®-¥ ®
= = =
= = =1 
 
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7) Seja f(x) a função definida pelo gráfico: 
 
Intuitivamente, encontre se existir: 
 
 
 
 
 
8) Seja f(x) a função definida pelo gráfico: 
 
 Intuitivamente, encontre se existir: 
 
 
 
 
 
9) Seja . Calcule: 
 
a) = b) = c) = 
 d) = e) = f) = 
 
 
10) Seja . Calcule: 
 
a) = b) = c) = 
 
11 1
) lim ( ) ) lim ( ) ) lim ( )
) lim ( ) ) lim ( )
xx x
x x
a f x b f x c f x
d f x e f x
+ - ®® ®
®+¥ ®-¥
= = =
= =
22 2
) lim ( ) ) lim ( ) ) lim ( )
) lim ( ) ) lim ( )
xx x
x x
a f x b f x c f x
d f x e f x
+ - ®® ®
®+¥ ®-¥
= = =
= =
î
í
ì
>
£-
=
3 x se 7,-3x
3 x se ,1
)(
x
xf
)(lim
–3
xf
x®
)(lim
3
xf
x +®
)(lim
3
xf
x®
)(lim
–5
xf
x®
)(lim
5
xf
x +®
)(lim
5
xf
x®
4)( -= xxf
)(lim
4
xf
x +®
)(lim
–4
xf
x®
)(lim
4
xf
x®
 
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Página 28 de 32 
*11) Seja . Calcule: 
 
a) = b) = c) = d) = 
 
 
e) = f) = g) = h) = 
OBS.: Justifique com suas palavras passo-a-passo como chegar nas respostas utilizando o gráfico. 
 
12) Calcular os limites usando as propriedades: 
 a) = b) = c) = 
d) = *e) = f) = 
g) = h) = i) 
 j) k) l) 
*m) n) o) 
p) q) *r) 
 
*s) t) 
 
u) v) 
 
w) * x) 
 
y) z) 
 
*aa) bb) 
ï
ï
ï
î
ïï
ï
í
ì
>
=
<£
<
=
1x se x,-2
1x se 2,
1x0 se ,x
0x se ,1
)( 2
x
xf
)(lim
–1
xf
x®
)(lim
1
xf
x®
)(lim
0
xf
x +®
)(lim
–0
xf
x®
)(lim
0
xf
x®
)(lim
2
xf
x +®
)(lim
–2
xf
x®
)(lim
2
xf
x®
)273( lim 2
3
+-
®
xx
x 13
4 lim
2 -
+
® x
x
x 2
3 lim
2 +
+
® t
t
t
1
1 lim
2
1 -
-
® x
x
x 2
65 lim
2
2 -
+-
® t
tt
t 3
9 lim
2
3 +
-
-® x
x
x
100
 lim x
x +¥® xx
1 lim
+¥® 25 25
5lim
x
x
x -
-
®
xx
x
x -® 2
3
0 2
lim
2
8lim
3
2 -
-
® x
x
x 1
34lim 3
2
1 -
+-
® x
xx
x
2
33lim 23
23
1 +-
--+
-® xx
xxx
x 584
463lim 23
23
1 -+-
-+-
® xxx
xxx
x 34
23lim 4
3
1 +-
+-
® xx
xx
x
x
xx
x
121lim
2
0
---
® x
xx
x
--+
®
11lim
0 1
12lim
1 -
+-
® x
xx
x
232
4lim
2
2 --+
-
® xx
x
x 23
3333lim 2
221 +-
-+-+-
® xx
xxxx
x
=---+¥® )1235(lim
23 xxxx =-+--¥® )122(lim
245 xxxx
=-+--¥® )123(lim
24 xxx =+++¥® )853(lim
24 xxx
=-+--¥® )235(lim
3 xxx =-
+
¥-® 1
12lim 2
2
x
x
x
=
-+-
++-
¥-® 359
1253lim 23
23
xxx
xxx
x =+
+-
¥+® 24
23
7
54lim
xx
xxx
x
 
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cc) dd) 
OBS.: Justifique com suas palavras passo-a-passo como chegar nas respostas utilizando o gráfico 
de cada função (esboce na mão e em um software) para cada item. 
Exercícios Complementares de Aplicação 
 
*1) O gerente de uma empresa determina que meses após começar a fabricação de um novo 
produto o número de unidades fabricadas deve ser milhares, onde . Qual será a 
produção máxima em longo prazo (ou seja, para ). 
 
a) 16 000 unidades 
b) 8 000 unidades 
c) 2 000 unidades 
d) 5 000 unidades 
e) 4 000 unidades 
OBS.: Justifique com suas palavras passo-a-passo como chegar na resposta utilizando o 
gráfico da situação problema (esboce na mão e em um software) 
 
2) Um cano rompido em uma plataforma petrolífera da Petrobrás produz uma mancha de óleo 
circular que tem metros de espessura a uma distância de metros do local de vazamento. A 
turbulência torna difícil medir diretamente a espessura da mancha no local do vazamento , 
mas para observa-se que . Supondo que a distribuição de óleo seja contínua, 
qual é a espessura estimada no local do vazamento (ou seja, para )? 
 
a) 0,5 m. b) 0,250 m. c) 0,375 m. d) 0,125 m. e) 0,3 m. 
 
*3) Os cientistas P. F. Verhulst, R. Pearl e L. J. Reed, contrariando a teoria de Malthus de que as 
populações crescem em progressão geométrica, propuseram uma lei de crescimento populacional 
cujo gráfico tem o seguinte aspecto: 
 
Para Pearl e Reed as condições físicas determinavam um limite superior L para a população de 
uma região ou país e, utilizando os censos norte-americanos de 1790 a 1910, obtiveram a lei 
experimental: 
 
onde P é a população norte-americana em milhões de habitantes, t anos após 1790. 
=
++
+-
¥-® 2086
73lim 45
45
xx
xxx
x
5 2
3 2
4 12 5lim
4 2x
x x x
x x®-¥
+ +
=
+ +
t
P 2
2
)12(
516)(
+
+
=
t
tttP
¥®t
y x
)0( =x
0>x
xxx
xxy
4
)3(5,0
23
2
++
+
=
0®x
tx
P
-+
=
03,1 32,67 1
274,197
 
Grupo de Cálculo RQ 0501 Rev. 14 
Página 30 de 32 
Calcule o limite da função P, quando t à +¥. 
 
a) 160 584 000 habitantes 
b) 67 320 000 habitantes 
c) 293 039 000 habitantes 
d) 197 274 000 habitantes 
e) 97 058 000 habitantes 
OBS.: Justifique com suas palavras passo-a-passo como chegar na resposta utilizando o 
gráfico da situação problema (esboce na mão e em um software) 
 
4) Considere uma lente delgada convergente de distância focal f (nas lentes convergentes, f > 0). E seja 
“e” o eixo principal dessa lente: 
 
Seja P um objeto situado em “e”, e P´ a imagem correspondente. As abscissas p de P e p´de P´, 
tomadas em relação ao centro óptico O da lente, se relacionam através da equação de Gauss: 
 
Dessa equação tiramos que: . 
E se construirmos o gráfico de p´ em função de p, obteremos: 
 
Observando o gráfico acima, calcular: 
a) = b) = c) = 
 
 d) = e) = f) = 
fpp
111
=
¢
+
fp
fpp
-
=¢
p
P
¢
¥-® 
lim
 f
lim
P
p
®
¢ p
fP
¢
® - 
lim
p
fP
¢
+® 
lim p
P
¢
® f2 
lim p
P
¢
¥+® 
lim
 
Grupo de Cálculo RQ 0501 Rev. 14 
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5) A população de uma colônia de bactérias varia segundo a função definida por: , 
onde P(t) é dada em bilhões e t em dias. Descreva o que acontece com a população no decorrer do 
tempo. Verifique a sua conclusão achando 
a) 12 b) 60 c) 15 d) 12,5 e) 21,6 
 
*6) A população de uma determinada espécie animal em um zoológico varia através da seguinte lei: 
, onde N(t) é o número de animais e t é o tempo em semanas. Descreva o que 
acontece com a população no decorrer do tempo. Verifique a sua conclusão achando 
a) 20,5 b) 19 c) 95 d) 23,75 e) 21 
OBS.: Justifique com suas palavras passo-a-passo como chegar na resposta utilizando o 
gráfico da situação problema (esboce na mão e em um software) 
 
GABARITO 
 
 
 
1) a) ∞ b) 2 c) não existe d) 1 e) 2 f) 1 g) 2 h) 1 i) 0 j) 1 
 
2) a) 1,5 b) 0 c) não existe d) ∞ e) 0 f) - 2 
 
3) a) - 1 b) 3 c) não existe d) - 1 e) 3 f) 3 
 
4) a) 0 b) 0 c) 0 d) ∞ e) ∞ f) 2 
5) a) 0 b) 0 c) 0 d) ∞ e) - ∞ f) 4 
6) a) 5 b) 5 c) 5 d) - ∞ e) ∞ f) 2 
 
7) a) ∞ b) 1/2 c) não existe d) 1/2 e) - ∞ 
 
8) a) 0 b) 0 c) 0 d) + ∞ e) - ∞ 
 
9) a) 2 b) 2 c) 2 d) 8 e) 8 f) 8 
 
10) a) 0 b) 0 c) 0 
te
tP
-+
=
75
60)(
).(lim tP
t +¥®
4/45
95)( te
tN
--
=
).(lim tN
t +¥®
 
Grupo de Cálculo RQ 0501 Rev. 14 
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11) a) 1 b) 1 c) 0 d) - ∞ e) não existe f) 0 g) 0 h) 0 
 
12) a) 8 b) 6/5 c) 5/4 d) 2 e) – 1 f) – 6 g) ∞ 
h) 0 i) 1/10 j) 0 k) 12 l) -2/3 m) - 4/5 n) 1 
o) 1/2 p) -1 q) 1 r) s) -8 t) 3 u)+ 
v) - w) - x)+ y) + z) 2 aa) bb) 0 
cc) dd) 
 
 
 
 
 
 
Exercícios Complementares de Aplicação. 
 
1) e 
2) c 
3) d 
4) a) f b) não existe c) - ∞ d) ∞ e) 2f f) f 
5) a 
6) b 
 
 
 
 
 
4/2 ¥
¥ ¥ ¥ ¥ 3
1
2
1 ¥