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Universidade Estácio de Sá – Campus Niterói Curso de Engenharia Elétrica Transmissão de Energia Elétrica II 1.5 Componentes Simétricas Professor: Ms. Alessandro da Silva Longa 03 de abril de 2019 1 1.5.1 Introdução 2 • Nesta seção, será apreesntada a teoria de componentes simétricas e suas aplicações em sistemas elétricos de potência. Partimos do teorema fundamental das componentes simétricas e demonstramos a existência e unicidade de uma sequência direta, uma inversa e uma nula, que representam uma dad seuência de fasores de um sistema trifásico. • Aplicaremos, então, as componentes simétricas em sistemas trifásicos, procurando interpretar o significado de cada componente e verificar relações entre as componentes simétricas das grandezas de fase e de linha. • Estudaremos também a aplicação de componentes simétricas para a resolução de circuitos trifásicos, analisando as leis de Kirchhoff, o cálculo de potências em componentes e as transformações de impedâncias da rede em impedâncias sequenciais. • Para tanto, verificaremos a representação de vários elementos por suas impedâncias sequenciais, quais sejam, linhas de transmissão, transformadores, geradores e cargas equilibradas. Veremos que, mesmo com sistemas trifásicos simétricos e equilibrados, teremos vantagens significativas decorrentes da aplicação das componentes simétricas. Universidade Estácio de Sá – Campus Niterói Curso de Engenharia Elétrica Transmissão de Energia Elétrica II 1.5.1 Teorema Fundamental 3 • Dada uma sequência Va qualquer, vamos demonstrar a existência e a unicidade de uma sequência direta, uma inversa e uma nula que, somadas, reproduzem a sequência dada. Em outras palavras, vamos ver que uma sequência qualquer pode ser decomposta nestas três sequências e que essa decomposição é única. As três sequências são designadas por componentes simétricas da sequência dada. Pelo quanto foi definido, devemos ter: • Vamos relembrar o operador α: Universidade Estácio de Sá – Campus Niterói Curso de Engenharia Elétrica Transmissão de Energia Elétrica II ••• ••• ••• ••• • • • 2 2 10 21 2 0 210 2 2 2 10 11 1 1 1 VVV VVV VVV VVV V V V V C B A A ••• ••• ••• ••• • • • 2 2 10 21 2 0 210 2 2 2 10 11 1 1 1 VVV VVV VVV VVV V V V V C B A A 1.5.1 Teorema Fundamental 4 • Portanto, temos: • Sequência de fase zero • Sequência de fase direta • Sequência de fase inversa • Porém, temos que: Universidade Estácio de Sá – Campus Niterói Curso de Engenharia Elétrica Transmissão de Energia Elétrica II • • • • • • ••• ••• ••• 2 1 0 2 1 0 2 2 2 2 10 21 2 0 210 1 1 111 V V V T V V V VVV VVV VVV 1.5.1 Teorema Fundamental 5 • A matriz T é dada pela formação abaixo e é designada po matriz de transformação de componentes simétricas, logo: • Assim, podemos desmembrar as sequências em: • Ou seja, existe uma única sequência Va = Vo + V1 + V2. Quando a sequência Va é dada, para demonstrarmos a existência de Vo, V1 e V2 será suficiente demonstrar que a matriz T é não singular, isto é, que existe matriz T^-1. Invertendo a matriz T, temos: Universidade Estácio de Sá – Campus Niterói Curso de Engenharia Elétrica Transmissão de Energia Elétrica II 2 2 1 1 111 T • • • • • • • • • 2 1 0 2 1 0 2 2 1 1 111 V V V T V V V V V V C B A • 1 1 1 00 VV • 211 1 VV • 2 22 1 VV 2 21 1 1 111 3 1 T 1.5.1 Teorema Fundamental 6 • Em seguida, multiplicando nossa equação por T^-1: • Obtemos: Universidade Estácio de Sá – Campus Niterói Curso de Engenharia Elétrica Transmissão de Energia Elétrica II • • • • • • • • • 2 1 0 1 2 1 0 2 211 1 1 111 V V V TT V V V T V V V T C B A • • • • • • 2 1 0 1 V V V I V V V T C B A • • • • • • 2 1 0 1 V V V V V V T C B A • • • • • • 2 1 0 2 2 1 1 111 3 1 V V V V V V C B A ••• ••• ••• • • • 3 3 3 2 2 2 1 0 CBA CBA CBA VVV VVV VVV V V V 1.5.1 Teorema Fundamental 7 • Portanto, das equações abaixo, notamos que, dada uma sequência Va, existem (e são únicas) as sequências Vo, V1 e V2, tais que Va = Vo + V1 + V2. • Da análise da equação da direita, notamos também que, para a obtenção do fasor Vo, é suficiente tomar um terço do fasor correspondente à soma dos três fasores dados. Para o cálculo de V1, tomamos um terço da soma do promeiro fasor da sequência dada com o segundo rodado de 120º e com o terceiro rodado de 240º (ou -120º). Analogamente, V2 é dado por um terço da soma do primeiro com o segundo rodado de 240º e o terceiro rodado de 120º. • Vamos fazer um exemplo. Universidade Estácio de Sá – Campus Niterói Curso de Engenharia Elétrica Transmissão de Energia Elétrica II ••• ••• ••• • • • 3 3 3 2 2 2 1 0 CBA CBA CBA VVV VVV VVV V V V • • • • • • • • • 2 1 0 2 1 0 2 2 1 1 111 V V V T V V V V V V C B A 1.5.1 Teorema Fundamental 8 • Dada a sequência abaixo, decomponha analitica e graficamente em suas componentes simétricas: • Resolução analítica: Universidade Estácio de Sá – Campus Niterói Curso de Engenharia Elétrica Transmissão de Energia Elétrica II • • • º90380 º90380 º0120 C B A A V V V V ••• ••• ••• • • • • • • 3 3 3 1 1 111 3 1 2 2 2 2 2 1 0 CBA CBA CBA C B A VVV VVV VVV V V V V V V • • • º210380º210380º0120 º30380º30380º0120 º90380º90380º0120 3 1 2 1 0 V V V 1.5.1 Teorema Fundamental 9 • Dada a sequência abaixo, decomponha analitica e graficamente em suas componentes simétricas: • Resolução analítica: • Onde: Universidade Estácio de Sá – Campus Niterói Curso de Engenharia Elétrica Transmissão de Energia Elétrica II • • • º210380º210380º0120 º30380º30380º0120 º90380º90380º0120 3 1 2 1 0 V V V º040º90380º90380º0120 3 1 0 • V º0260º30380º30380º01203 1 1 • V º180180º210380º210380º0120 3 1 2 • V ••• • • • 2 2 2 10 11 1 1 1 º90380 º90380 º0120 VVV V V V C B A • • • 2 2 1 º180180 1 º0260 1 1 1 º040 º90380 º90380 º0120 C B A V V V 1.5.1 Teorema Fundamental 10 • Dada a sequência abaixo, decomponha analitica e graficamente em suas componentes simétricas: • Resolução gráfica: • A parte A da figura abaixo representa a sequência dada. • A parte B determina Vo. Para a determinação de Vo, tomamos 1/3 da soma VA + VB + VC. • A parte C determina V1. Para a determinação de V1, tomamos 1/3 da soma de VA, com αVB e α²VC. • A parte D determina V2. Para a determinação de V2, tomamos 1/3 da soma de VA, com α²VB e αVC. Universidade Estácio de Sá – Campus Niterói Curso de Engenharia Elétrica Transmissão de Energia Elétrica II 1.5.1 Teorema Fundamental 11 • Vamos ver outro exemplo: dadas as componentes simétricas abaixo, determine a sequência Va analítica e graficamente. Universidade Estácio de Sá – Campus Niterói Curso de Engenharia Elétrica Transmissão de Energia Elétrica II • • • C B A A V V V V ••• ••• ••• • • • • • • 3 3 3 1 1 111 3 1 2 2 2 2 2 1 0 CBA CBA CBA C B A VVV VVV VVV V V V V V V • • • • • • • • • 2 1 0 2 1 0 2 2 1 1 111 V V V T V V V V V V C B A • • • • • • • • • 2 1 0 2 1 0 2 2 1 1 111 V V V T V V V V V V C B A • • • º60100 º0220 º30100 2 1 0 V V V • • • º60100 º0220 º30100 1 1 111 2 2 C B A V V V 1.5.1 Teorema Fundamental 12 • Vamos ver outro exemplo: dadas as componentes simétricas abaixo, determine a sequência Va analítica e graficamente. Universidade Estácio de Sá – Campus Niterói Curso de Engenharia Elétrica Transmissão de Energia Elétrica II • • • º60100 º0220 º30100 1 1 111 2 2 C B A V V V • • • º180100º120220º30100 º60100º120220º30100 º60100º0220º30100 C B A V V V • • • j j j V V V V C B A A 5,2404,123 9,536,26 6,366,356 º180100º120220º30100 º60100º120220º30100 º60100º0220º30100 • • • º1,1173,270 º7,631,60 º9,55,358 C B A A V V V V 1.5.1 Teorema Fundamental 13 • Vamos ver outro exemplo: dadas as componentes simétricas abaixo, determine a sequência Va analítica e graficamente. Resolução gráfica: Universidade Estácio de Sá – Campus Niterói Curso de Engenharia Elétrica Transmissão de Energia Elétrica II 1.5.1 Teorema Fundamental 14 • Vamos ver outro exemplo: dadas as componentes simétricas abaixo, determine a sequência Va analítica e graficamente. Resolução gráfica: Universidade Estácio de Sá – Campus Niterói Curso de Engenharia Elétrica Transmissão de Energia Elétrica II 1.5.2 Conversão Polar-Retangular 15 • Retangular para Polar • Polar para Retangular Universidade Estácio de Sá – Campus Niterói Curso de Engenharia Elétrica Transmissão de Energia Elétrica II 22 YXZ X Y tg 1 cos ZX sin ZY 1.5.2 Conversão Polar-Retangular 16 • Exemplo: converta os números complexos a seguir de retangular a polar e de polar a retangular: Universidade Estácio de Sá – Campus Niterói Curso de Engenharia Elétrica Transmissão de Energia Elétrica II 22 YXZ X Y tg 1 43 jC 543 22 Z º13,53 3 41 tg º13,535C 1.5.2 Conversão Polar-Retangular 17 • Exemplo: converta os números complexos a seguir de retangular a polar e de polar a retangular: Universidade Estácio de Sá – Campus Niterói Curso de Engenharia Elétrica Transmissão de Energia Elétrica II 07,707,7 jC º4510C cos ZX sin ZY 07,7º45cos10 X 07,7º45sin10 Y 1.5.3 Sistemas Trifásicos 18 • Então, vimos que um sistema pode ser decomposto em componentes simétricas. Passando do ferramental, qual a utilidade do método das componentes simétricas? • Quando temos circuitos elétricos balanceados, podemos resolver as tensões e correntes utilizando as leis de Kirchhoff. Porém, nos casos em que o sistema está desbalanceado, este procedimento torna-se muito trabalhoso. • O método das componentes simétricas foi apresentado pelo Dr. Fortescue, em 1918, em artigo publicado no American institute of Electrical Engineers, com o título “Método de Componentes Simétricos aplicado à solução de Circuitos Polifásicos”. • Apesar do método ser aplicável a qualquer sistema polifásico, focaremos apenas nos sistemas trifásicos. • De acordo com o teorema de Fortescue, três fasores desequilibrados de um sistema podem ser substituídos por três sistemas equilibrados de fasores. Conforme vimos os cálculos, os três conjuntos equilibrados são: • Componentes de sequência positiva: consiste de 3 fasores iguais em módulo, defasados de 120º, e tendo a mesma sequência que os fasores originais. • Componentes de sequência negativa: consistindo de 3 fasores iguais em módulo, defasados de 120º, e tendo a sequência da fase oposta a dos fasores originais. • Componentes de sequência zero: constituído de 3 fasores iguais em módulo com defasagem de 0º entre si. Universidade Estácio de Sá – Campus Niterói Curso de Engenharia Elétrica Transmissão de Energia Elétrica II 1.5.3 Sistemas Trifásicos 19 • Dessa forma, se um sistema tem sequência de fases abc, as sequências de fase dos componentes de sequencia positiva e negativas serão, respectivamente abc e acb. • Vamos ver um exemplo: considere três fasores originais de tensão Va, Vb e Vc, que serão decompostos nos três conjuntos que seguem: a soma gráfica dos 3 sistemas será: Universidade Estácio de Sá – Campus Niterói Curso de Engenharia Elétrica Transmissão de Energia Elétrica II 210 210 210 CCCC BBBB AAAA VVVV VVVV VVVV • • • 22 1 2 1 00 AB AB AB VaV VaV VV 2 2 2 11 00 AC AC AC VaV VaV VV 1.5.3 Sistemas Trifásicos 20 • Logo, podemos reescrever: • É exatamente a mesma expressão que encontramos nos slides anteriores. A única diferença é a nomenclarura de Vao, Va1 e Va2 para V0, V1 e V2. Universidade Estácio de Sá – Campus Niterói Curso de Engenharia Elétrica Transmissão de Energia Elétrica II 210 210 210 CCCC BBBB AAAA VVVV VVVV VVVV • • • 22 1 2 1 00 AB AB AB VaV VaV VV 2 2 2 11 00 AC AC AC VaV VaV VV 2 2 10 21 2 0 210 AAAC AAAB AAAA VaaVVV aVVaVV VVVV • • • ••• ••• ••• ••• • • • 2 2 10 21 2 0 210 2 2 2 10 11 1 1 1 VVV VVV VVV VVV V V V C B A • • • • • • 2 1 0 2 2 1 1 111 V V V V V V C B A ••• ••• ••• • • • 3 3 3 2 2 2 1 0 CBA CBA CBA VVV VVV VVV V V V 1.5.3 Sistemas Trifásicos 21 • Percebam que estamos falando de sistemas equilibrados. Porém, o que aconteceria se um circuito trifásico equilibrado fosse modelado em componentes simétricas? Vamos ver: • Seja o sistema abaixo: • A equação acima mostra que, em circuitos trifásicos equilibrados, não há componente de sequência zero. • As equações valem também para corrente e podem ser resolvi as gráfica ou analiticamente. • Em um sistema trifásico com condutor neutro, In = Ia + Ib + Ic. Assim, Ia0 = 1/3 In. • Quando não há retorno, In é nula. Nestas condições, as correntes de sequência zero não existirão. Assim sendo, em uma carga ligada em ∆, não há corrente de sequência zero. Universidade Estácio de Sá – Campus Niterói Curso de Engenharia Elétrica Transmissão de Energia Elétrica II • • • º240380 º120120 º0120 C B A A V V V V ••• ••• ••• • • • 3 3 3 2 2 2 1 0 CBA CBA CBA VVV VVV VVV V V V 3 0 ••• • CBA VVV V 3 º240380º120120º0120 0 • V 0 3 92.1036092.103600120 0 • jjj V 1.5.3 Sistemas Trifásicos 22 • Vamos fazer um exemplo: Um condutor de uma linha trifásica está aberto. A corrente que flui para uma carga ligada em ∆ pela linha a é de 10A. Tomando a corrente na linha a com o referência e a linha c aberta, determine os componentes simétricos das correntes de linha. Solução: Universidade Estácio de Sá – Campus Niterói Curso de Engenharia Elétrica Transmissão de Energia Elétrica II A III I cbaa 0 3 0º18010º010 3 0 0;º18010;º010 cba IAIAI A IaaII I cbaa º3074,5 3 0º30010º010 3 2 1 A aIIaI I cbaa º3074,5 3 0º42010º010 3 2 2 22 1 2 1 00 AB AB AB IaI IaI II 2 2 2 11 00 AC AC AC IaI IaI II AIaI AIaI II AB AB AB º15078,5 º15078,5 0 22 1 2 1 00 AIaI AIaI II AC AC AC º9078,5 º9078,5 0 22 1 2 1 00 Comentários: • Embora Ic = 0 , os componentes Ic1 e Ic2 têm valores definidos, mas Ic1 + Ic2 = 0. • A soma das componentes de A deve dar 10/_0º [A] e de B, 10/_18ºo [A]. 1.5.3 Sistemas Trifásicos 23 • Vamos fazer um exemplo: Um condutor de uma linha trifásica está aberto. A corrente que flui para uma carga ligada em ∆ pela linha a é de 10A. Tomando a corrente na linha a com o referência e a linha c aberta, determine os componentes simétricos das correntes de linha. Solução: Universidade Estácio de Sá – Campus Niterói Curso de Engenharia Elétrica Transmissão de Energia Elétrica II A III I cbaa 0 3 01010 3 0 0;10;10 cba IAIAI Aj jIaaII I cbaa 87.25 3 067.8510 3 2 1 Aj jaIIaI I cbaa 87,25 3 067.8510 3 2 2 22 1 2 1 00 AB AB AB IaI IaI II 2 2 2 11 00 AC AC AC IaI IaI II AjIaI AjIaI II AB AB AB 87.25 87.25 0 22 1 2 1 00 AjIaI AjIaI II AC AC AC 78,5 78,5 0 22 1 2 1 00 Comentários: • Embora Ic = 0 , os componentes Ic1 e Ic2 têm valores definidos, mas Ic1 + Ic2 = 0. • A soma das componentes de A deve dar 10/_0º [A] e de B, 10/_18ºo [A]. 1.5.3 Sistemas Trifásicos 24 • Vamos fazer um outro exemplo: dadas as tensões abaixo, determine as componentes simétricas. Solução: Universidade Estácio de Sá – Campus Niterói Curso de Engenharia Elétrica Transmissão de Energia Elétrica II V VVV V cbaa º4,4760,6 3 º14515º6030º3010 3 0 VVVVVV cba º14515º6030º3010 V aaVaaVV V cbaa º456,17 3 º14515º6030º3010 3 22 1 A aaaVVaV V cbaa º2,15625,8 3 º14515º6030º3010 3 22 2 22 1 2 1 00 AB AB AB VaV VaV VV 2 2 2 11 00 AC AC AC VaV VaV VV AVaV AVaV VV AB AB AB º2,3678,5 º756,17 º4,476,5 22 1 2 1 00 AVaV AVaV VV AC AC AC º2,27678,5 º1656,17 º4,4760,5 22 1 2 1 00
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