Lista 5 de Cálculo 3

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Lista 5: Integrais de superf́ıcie
Questão 1 Determine o rotacional e o divervente dos seguintes campos:
(a) F (x, y, z) = xyz~i− x2y~k.
(b) F (x, y, z) = x2yz~i+ xy2z~j + xyz2~k.
(c) xyez~i+ yzex~k
(d) F (x, y, z) = exysenz~j + ytg−1(x/z)~k
Questão 2 Seja f uma função escalar e F um campo vetorial, diga se cada uma
das expressões abaixo fazem sentido em caso negativo explique o porquê. Em caso
afirmativo diga se é um campo vetorial ou escalar.
(a) rot(f).
(b) div(F ).
(c) grad(F ).
(d) div(grad(f)).
(e) (gradf) × (div(F ))
(f) rot(grad(f)).
(g) grad(div(F )).
(h) grad(div(f)).
Questão 3 Determine se o campo vetorial F é conservativo ou não, em caso
afirmativo determine um potêncial para F .
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(a) F (x, y, z) = y2z3~i+ 2xyz3~j + 3xy2z2~k.
(b) F (x, y, z) = xyz2~i+ x2yz2~j + x2y2z~k.
(c) F (x, y, z) = 3xy2z2~i+ 2x2yz3~j + 3x2y2z2~k.
(d) F (x, y, z) =~i+ senz~j + ycosz~k
Questão 4 Existe um campo vetorial G em R3 tal que rotG = (xseny, cosy, z−xy)
? Explique.
Questão 5 Existe um campo vetorial G em R3 tal que rotG = (xyz,−y2z, yz2) ?
Explique.
Questão 6 Mostre que qualquer campo vetorial da forma F (x, y, z) = f(x)~i +
g(y)~j + h(z)~k onde f , g e h são diferenciáveis, é irrotacional.
Questão 7 Mostre que qualquer campo vetorial da forma F (x, y, z) = f(y, z)~i +
g(x, z)~j + h(x, y)~k é incompresśıvel.
Questão 8 Calcule as seguintes integrais de superf́ıcie:
(a)
∫ ∫
S
(x + y + z)dS onde S é o paralelogramo com equações paramétricas
x = u+ v, y = u− v e z = 1 + 2u+ v e 0 ≤ u ≤ 2 e 0 ≤ v ≤ 1.
(b)
∫ ∫
S
xyzdS onde S é o cone de equações paramétricas x = ucosv, y = usenv
z = u, com 0 ≤ u ≤ 1 e 0 ≤ v ≤ π/2.
(c)
∫ ∫
S
x2 + y2dS, onde S é a superf́ıcie de equação vetorial r(u, v) = (2uv, u2 −
v2, u2 + v2) onde u2 + v2 ≤ 1.
(d)
∫ ∫
S
xdS onde S é a região triangular de vértices (1, 0, 0), (0,−2, 0) e 0, 0, 4.
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(e)
∫ ∫
S
ydS, onde S é a parte do parabolóide y = x2 + z2 que está dentro do
cilindro x2 + z2 = 4.
(f)
∫ ∫
S
y2dS onde S é a parte da esfera x2 + y2 + z2 = 4 que está dentro do
cilindro x2 + y2 = 1 e acima do plano xy.
Questão 9 Calcule as seguintes integrais de superf́ıcie dos campos vetoriais:
(a) F (x, y, z) = zexy~i − 3zexy~j + xu~k, onde S é o paralelogramo com equações
paramétricas x = u+ v, y = u− v, z = 1 + 2u = v, 0 ≤ u ≤ 2 e 0 ≤ v ≤ 1.
(b) F (x, y, z) = z~i + y~j + x~k, onde S é o helicóide r(u, v) = (ucosv, usemv, v),
0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ π.
(c) F (x, y, z) = −x~i− y~j+ z3~k, onde S é a parte do cone z =
√
x2 + y2 que está
entre os planos z = 1 e z = 3
(d) F (x, y, z) = x~i − z~j + y~k, onde S é a esfera x2 + y2 + z2 = 4 no primeiro
octante.
(e)
∫ ∫
S
ydS, onde S é a parte do parabolóide y = x2 + z2 que está dentro do
cilindro x2 + z2 = 4.
(f)
∫ ∫
S
y2dS onde S é a parte da esfera x2 + y2 + z2 = 4 que está dentro do
cilindro x2 + y2 = 1 e acima do plano xy.