Lista 6 de Cálculo 3

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Lista 6: Teorema de Stokes e de Gauss
Questão 1 Use o teorema de Stokes para calcular
∫ ∫
S
rotF · dS
(a) F (x, y, z) = 2ycosz~i+ezsenz~j+xey~k, onde S é o hemisfério x2 +y2 +z2 = 9,
z ≥ 0 de orientação ascendente.
(b) F (x, y, z) = x2z2~i+ y2z2~j + xyz~k.
(c) F (x, y, z) = xyz~i+ xy~j + x2yz~k, onde S é formado pelo topo e pelos quatro
lados (mas não pelo fundo) do cubo de vértices (±1,±1,±1), com orientação
para fora.
Questão 2 Use o teorema de Stokes para calcular
∫
γ
F · dγ em cada um dos casos,
em que γ tem orientação antihorário quando visto de cima.
(a) F (x, y, z) = (x+y2)~i+(y+z2)~j+(z+x2)~k, onde γ é o triângulo com vértices
(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1).
(b) F (x, y, z) =~i + (x + yz)~j + (xy −
√
z)~k onde γ é o limite da parte do plano
3x+ 2y + z = 1 no primeiro octante.
(c) F (x, y, z) = xy~i+ 2z~j + 3y~k, γ é a curva da interseção do plano x+ z = 5 e
o ciĺındro x2 + y2 = 9.
Questão 3 Seja γ uma curva fechada simples suave que se situa no plano x+y+z =
1, mostre que a integral de linha
∫
γ
zdx + −2xdy + 3ydz depende apenas da área
da região englobada por γ e não da forma de γ ou de sua posição no plano.
Questão 4 Calcule
∫
γ
(y + senx)dx + (z2 + cosy)dy + +x3dz, onde γ é a curva
γ(t) = (sent, cost, sen(2t)), 0 ≤ t ≤ 2π.(Dica: Observe que γ está na superf́ıcie
z = 2xy).
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Questão 5 Se S é uma esfera e F satisfaz as hipóteses do teorema de Stokes,
mostre que
∫ ∫
S
rodF · dS = 0.
Questão 6 Use o teorema do divergente para calcular a integral de superf́ıcie∫ ∫
S
D · dS, nos seguintes casos:
(a) F (x, y, z) = xyez~i+ xy2z3~j − yez~k, onde S é a superf́ıcie da caixa delimitada
pelos planos coordenados e pelos planos x = 3, y = 2 e z = 1.
(b) F (x, y, z) = 3xy2~i + xez~j + z3~k, onde S é a superf́ıcie do sólido delimitado
pelo ciĺındro y2 + z2 = 1 e pelos planos x = −1 e x = 2.
(c) F (x, y, z) = (x3 + y3)~i+ (y3 + z3)~j + (z3 + x3)~k, e S é a esfera com centro na
origem e raio 2.
(d) F (x, y, z) = (cosz + xy2)~i+ xe−z~j + (seny + x2z)~k, onde S é a superf́ıcie do
sólido delimitado pelo parabolóide z = x2 + y2 e o plano z = 4.
Questão 7 Use o teorema do divergente para calcular
∫ ∫
S
(2x+ 2y+ 2z)dS, onde
S é a esfera x2 + y2 + z2 = 1.