Secao 16 9 - O Teorema do Divergente

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LISTA DE CÁLCULO III – CÁLCULO VETORIAL
Seção 16.9 - O Teorema do Divergente.
1–4 Verifique que o Teorema do Divergente é verdadeiro para o campo vetorial F na
região E.
1. F(x, y, z) = 3xi +xyj + 2xzk, E é o cubo limitado pelos planos x = 0, x = 1, y = 0,
y = 1, z = 0 e z = 1.
2. F(x, y, z) = x2i +xyj + zk, E é o sólido delimitado pelo paraboloide z = 4−x2− y2
e pelo plano xy.
3. F(x, y, z) = xyi + yzj + xzk, E é o cilindro x2 + y2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1.
4. F(x, y, z) = xi + yj + zk, E é a bola unitária x2 + y2 + z2 ≤ 1.
5 – 15 Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superf́ıcie
∫∫
S
F dS, ou
seja, calcule o fluxo de F através de S.
5. F(x, y, z) = ex sin yi + ex cos yj + yz2k, S é a superf́ıcie da caixa delimitada pelos
planos x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0 e z = 2.
6. F(x, y, z) = x2z3i+2xyz3j+xz4k, S é a superf́ıcie da caixa de vértices (±1,±2,±3).
7. F(x, y, z) = 3xy2i + xezj + z3k, S é a superf́ıcie do sólido delimitado pelo cilindro
y2 + z2 = 1 e pelos planos x = −1 e x = 2.
8. F(x, y, z) = x3yi − x2y2j − x2yzk, S é a superf́ıcie do sólido delimitado pelo hiper-
boloide x2 + y2 − z2 = 1 e pelos planos z = −2 e z = 2.
9. F(x, y, z) = xy sin zi + cos (xz)j + y cos zk, S é o elipsoide x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1
10. F(x, y, z) = x2yi +xy2j + 2xyzk, S é a superf́ıcie do tetraedro limitado pelos planos
x = 0, y = 0 e z = 0 e x+ 2y + z = 2.
11. F(x, y, z) = (cos z+xy2)i+xe−zj+(sin z+x2z)k, S é a superf́ıcie do sólido limitado
pelo paraboloide z = x2 + y2 e pelo plano z = 4.
12. F(x, y, z) = x4i − x3z2j + 4xy2zk, S é a superf́ıcie do sólido limitado pelo cilindro
x2 + y2 = 1 e pelos planos z = x+ 2 e z = 0.
13. F(x, y, z) = 4x3zi + 4y3zj + 3z4k, S é a esfera com centro na origem e raio R.
14. F = r/|r|, onde r = xi + yj + zk, S consiste no hemisfério z =
√
1− x2 − y2 e do
disco x2 + y2 ≤ 1 no plano xy.
15. F(x, y, z) = ey tan zi+y
√
3− x2j+x sin yk, S é a superf́ıcie do sólido que está acima
do plano xy e abaixo da superf́ıcie z = 2− x4 − y4, −1 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 1.
17. Use o Teorema do Divergente para calcular
∫∫
S
F dS, onde F(x, y, z) = xz2i +
(y3/3 + tan z)j + (x2z + y2)k e S é a metade de cima da esfera x2 + y2 + z2 = 1.
18. Seja F(x, y, z) = z tan−1 (y2)i + z3 ln (x2 + 1)j + zk. Determine o fluxo de F através
da parte do paraboloide x2 + y2 + z = 2 que está acima do plano z = 1 e está
orientado para baixo.
1
RESPOSTAS – SEÇÃO 16.9 – O TEOREMA DO DIVERGENTE
5. 2
6. 0
7. 9π/2
8. 0
9. 0
10. 2/5
11. 32π
12. 2π/3
13. 0
14. 2π
15. (341
√
2)/60 + (81/20)(arcsin (1/
√
3))
17. 13π/20
18. 3π/2
2