Secao 16 8 - O Teorema de Stokes

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LISTA DE CÁLCULO III – CÁLCULO VETORIAL
Seção 16.8 - O Teorema de Stokes.
1. Dados um hemisfério H e uma parte P de um paraboloide, suponha que F seja
um campo vetorial em R3 cujas componentes tenham derivadas parciais cont́ınuas.
Explique por que
∫∫
H
rot F dS =
∫∫
P
rot F dS.
Figura 1: H Figura 2: P
2 – 6 Use o Teorema de Stokes para calcular
∫∫
S
rot F dS.
2. F(x, y, z) = 2y cos zi + ex sin zj + xeyk, S é o hemisfério x2 + y2 + z2 = 9, z ≥ 0,
orientado para cima.
3. F(x, y, z) = x2z2yi + y2z2j + xyzk, S é a parte do paraboloide z = x2 + y2 que está
dentro do cilindro x2 + y2 = 4 orientado para cima.
4. F(x, y, z) = x2y3zi + sin (xyz)j + xyzk, S é a parte do cone y2 = x2 + z2 que está
entre os planos y = 0 e y = 3, orientado no sentido positivo do eixo y.
5. F(x, y, z) = xyzi + xyj + x2yzk, S é formado pelo topo e pelos quatro lados (mas
não pelo fundo) do cubo com vértices (±1,±1,±1), com orientação para fora.
6. F(x, y, z) = exy cos zi + x2zj + xyk, S é o hemisfério x =
√
1 − y2 − z2 orientada a
direção positiva do eixo x.
7 – 10 Use o Teorema de Stokes para calcular
∫
C
F dr. Em cada caso, C é orientada no
sentido anti–horário quando visto de cima.
7. F(x, y, z) = (x+ y2)i + (y + z2)j + (z + x2)k, C é o triângulo com vértices (1, 0, 0),
(0, 1, 0) e (0, 0, 1).
8. F(x, y, z) = e−xi + exj + ezk, C é a fronteira da parte do plano 2x+ y + 2z = 2 no
primeiro octante.
9. F(x, y, z) = yzi + 2xzj + exyk, C é a circunferência x2 + y2 = 16, z = 5.
10. F(x, y, z) = xyi + 2zj + 3yk, C é a curva de intersecção do plano x + z = 5 e do
cilindro x2 + y2 = 9.
1
11. Use o Teorema de Stokes para calcular
∫
C
F dr, onde F(x, y, z) = x2zi+xy2j+z2k
e C é a curva de intersecção do plano x+ y + z = 1 com o cilindro x2 + y2 = 9 com
orientação no sentido anti–horário quando visto de cima.
12. Use o Teorema de Stokes para calcular
∫
C
F dr, onde F(x, y, z) = x2yi+x3/3j+xyk
e C é a curva de intersecção do paraboloide hiperbólico z = y2 − x2 com o cilindro
x2 + y2 = 1 com orientação no sentido anti–horário quando visto de cima.
17. Uma part́ıcula se move ao longo de um segmento de reta da origem aos pontos
(1, 0, 0), (1, 2, 1), (0, 2, 1) e de volta para a origem sob a influência do campo de
forças F(x, y, z) = z2i + 2xyj + 4y2k. Encontre o trabalho feito.
RESPOSTAS – SEÇÃO 16.8 – O TEOREMA DE STOKES
1. Mesma curva C, que limita as superf́ıcies.
2. −18π
3. 0
4. −2187π/4
5. 0
6. 0
7. −1
8. 2e− 4
9. 80π
10. 45π
11. 81π/2
12. π
17. 3
2