REVISÃO AP1 MATEMÁTICA FINANCEIRA

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2019/II REVISÃO PARA AP1: CONCEITOS E PROBLEMAS (UA1 até UA7) 
 MARCIA REBELLO DA SILVA. Todos os direitos reservados 
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REVISÃO PARA AP1: CONCEITOS E PROBLEMAS (UA1 até UA7) 
 
REVISÃO DOS CONCEITOS 
 
UA1: JURO SIMPLES – PARTE I 
1- OBJETIVO DA MATEMÁTICA FINANCEIRA: estudar o dinheiro ao longo do tempo, sendo o 
objetivo básico fazer análises financeiras que envolvem o estudo simultâneo do dinheiro no tempo, isto 
é, fazer comparações dos vários fluxos de entradas e saídas de dinheiros de caixa verificados em vários 
momentos, portanto, estudar a equivalência dos "valores datados". 
 
2- DIAGRAMA DO CAPITAL NO TEMPO: por permitir melhor visualização do que ocorre com o 
capital é de grande utilidade para as operações da matemática financeira, uma vez que os problemas 
financeiros por dependerem basicamente do fluxo de caixa (entradas e saídas de dinheiro ao longo do 
tempo). 
 
 
3- CONCEITO DE JURO: 
 - Juro: diferença absoluta entre o valor futuro e o valor presente. 
 - Juro: remuneração a qualquer título do capital utilizado durante certo período de tempo sob o 
ponto de vista do investidor, isto é, a renda do capital investido. 
 
 - Juro: rendimento do capital, remuneração do capital, ganho sobre o capital ou “aluguel“ do 
capital. 
 
4- CONCEITO DE CAPITAL OU PRINCIPAL 
 - Capital: pode ser definido como a quantia que se tem ou que se recebe no início do prazo. 
 
Tempo 
Entradas de Caixa 
 (+) 
Saídas de Caixa 
(−) 
0 1 2 3 4 5 
(+) (+) 
(−) 
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5- CONCEITO DE MONTANTE: 
 Montante: resultado que se obtém da aplicação de um capital, ou seja, é quanto se paga pelo 
empréstimo do capital ou quanto se recebe no final do prazo. 
 
 Montante: valor de resgate (recebido), valor final, quantia, valor capitalizado. 
 
6- CONCEITO DO PRAZO: 
 Prazo: é o espaço de tempo pelo qual o capital ficou aplicado ou emprestado. 
 
7- CONCEITO DE TAXA DE JURO: 
 Taxa de Juro: coeficiente que determina os juros, portanto, é o elemento fundamental para a 
transposição e análise de valores datados. 
 
7.1- CONCEITO DE TAXA JURO UNITÁRIA: 
 Taxa de Juro Unitária: taxa que se refere-se a uma unidade do capital. Reflete o rendimento 
de cada unidade de capital em certo período de tempo. 
 
 Taxa Unitária de Juro: é a forma que deve ser usada nas fórmulas de matemática financeira 
(cálculo de juros, capital, montante, período e prestações). 
 
7.2- CONCEITO DE TAXA JURO PERCENTUAL: 
 Taxa de Juro Percentual: refere a cem unidades de capital, isto é, o valor dos juros para 
cada centésima parte do capital. 
 
NOTA 1: Para transformar a taxa percentual em unitária basta dividir a notação da 
porcentagem por 100. 
 
NOTA 2: Para transformar a taxa unitária em percentual basta multiplicar por 100 e 
acrescentar o “%” (zero barra zero), e não ./. (ponto barra ponto). 
 
8- CÁLCULO DO JURO OU RENDIMENTO: 
Regime de juros simples somente o principal produz juros durante o período de tempo da transação. 
 
Juro ou Rendimento (remuneração do capital) que um capital produz são constantes e proporcionais 
ao capital aplicado, na razão da taxa de juros. 
 
 
 
Onde: Unidades das Variáveis 
 J : Juros ou Rendimento [$] 
J = P x i x n 
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 P : Principal ou Capital [$] 
 i : Taxa de Juros Unitária ou Rentabilidade Unitária [1/T] 
 n : Períodos de Tempo da Transação [T] 
Sendo: 
$  Unidades Monetárias (U.M.) 
T  Tempo (anos; semestres; quadrimestres; trimestres; bimestres; meses; dias) 
 
9- CÁLCULO DO MONTANTE: 
 
 Montante: é o capital acrescido dos Juros: 
 
No regime de juros simples somente o principal produz juros durante o período de tempo da transação: 
 J = P x i x n 
Então: 
S = P + P x i x n 
Colocando “P” em evidência, teremos a seguinte fórmula: 
Onde: Unidade da Variável 
 S : Montante, ou Valor de Resgate, ou Valor de Vencimento: [$] 
E: 
 (1 + i n): Fator de Acumulação a Juros Simples; ou Valor Acumulado de $ 1 (Juros Simples). 
 
10- CÁLCULO DO CAPITAL OU PRINCIPAL: 
 
 Capital ou Principal no regime de capitalização simples pode ser calculado a partir das 
seguintes fórmulas gerais: 
 
 
 
11- CÁLCULO DO PRAZO: 
 Prazo no regime de capitalização simples pode ser calculado a partir das seguintes fórmulas 
gerais: 
 
 
12- CÁLCULO DA TAXA DE JURO: 
 Taxa de Juro no regime de capitalização simples pode ser calculado a partir das seguintes 
fórmulas gerais: 
 J = P x i x n S = P [1 + (i x n)] 
S = P + J 
S = P [1 + (i x n)] 
S = P [1 + (i x n)] J = P x i x n S = P + J 
S = P [1 + (i x n)] J = P x i x n 
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13- HOMOGENEIDADE ENTRE TAXA E TEMPO: 
Nos cálculos financeiros, devemos estar atentos para o fato de que a taxa de juros e o tempo sejam 
considerados na mesma unidade de tempo expressa pelo período financeiro, isto é, se a taxa de juros 
for ao ano, o tempo deverá ser em anos; ou se o tempo é expresso em meses a taxa de juros terá quer 
ser em meses. 
 
Mas por hipótese se isto não ocorrer, podemos transformar o tempo ou a taxa para podermos obter a 
homogeneidade entre as unidades de tempo. 
 
LEMBRETE: 
 1ano = 2 sem. = 3 quad. = 4 trim. = 6 bim. = 12 meses 
 1 ano civil = 365 dias 
 1 ano comercial = 360 dias  1 mês = 30 dias 
 
 
 
 
UA2: JURO SIMPLES - PARTE II 
1- CONSIDERAÇÃOES SOBRE TAXA DE JURO: 
1.1- TAXAS PROPORCIONAIS: Duas taxas são proporcionais se houver igualdade de quociente das 
taxas com o quociente dos respectivos períodos. 
 
1.2-TAXAS EQUIVALENTES: Duas taxas são ditas equivalentes se aplicadas ao mesmo capital pelo 
mesmo período de tempo, ambas as taxas produzirem o mesmo montante, ou o mesmo juro. 
 
NOTA: 
 No Regime de Capitalização Simples as Taxas Proporcionais são igualmente Equivalentes, e 
vice-versa. 
 
1.3- TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA DE JUROS 
Taxa Nominal: taxa de juros contratada numa operação financeira; 
 
Taxa Efetiva: taxa de rendimento que a operação financeira proporciona efetivamente. 
 
 
2- VALORES: NOMINAL, ATUAL, E FUTURO DE UM COMPROMISSO FINANCEIRO 
2.1- VALOR NOMINAL: corresponde o valor de um compromisso na data de vencimento, isto é, o valor 
que assume esse compromisso em sua data de vencimento e será representado pela letra “N”. O Valor 
Nominal é igual ao Montante (S). 
 
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2.2- VALOR ATUAL OU VALOR DESCONTADO: corresponde ao valor que um compromisso tem em 
uma data anterior a data de seu vencimento e será representadoe será representado pela letra “V”. 
 
2.3- VALOR FUTURO: valor em qualquer data posterior a que está sendo considerada no momento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (1 + i n)  Fator de Acumulação ou Valor Acumulado de $ 1 (Juros Simples) a Juros 
Simples. 
 
 (1 + i n)−1 ou 1 ÷ (1 + i n)  A Taxa de Juros é Fator de Valor Atual (Fator de Valor 
Descontado) ou Valor Atual (Valor Descontado) de $ 1 a 
Juros Simples. 
Onde: 
P 
V N = S 
0 Data Vencim. Data Atual 
P → S  Fator = 1 + (i1 x n1) 
S → P  Fator = 1 . 
 1 + (i1 x n1) 
 
i1: Taxa de Juros Simples do Emprétimo 
N → V  Fator = . 1 . 
 1 + (i2 x n2) 
V → N  Fator = 1 + (i2 x n2) 
n2: Prazo antecipação da dívida 
n1: Prazo do Emprétimo 
i2: Taxa de Juros Simples (Operação de 
 Desconto) 
DESCONTO = D = N − V 
S = P [1 + (i x n)] 
N = P [1 + (i1 x n1) 
N = V [1 + (i2 x n2) 
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 P : Capital ou Principal 
 N : Valor Nominal de um Compromisso na Data de Vencimento 
 i1 : Taxa de Juros Simples do Empréstimo 
 n1 : Prazo do Empréstimo 
 V : Valor Atual ou Valor Descontado 
 D : Desconto ou Valor do Desconto 
 i2 : Taxa de Juros Simples na Operação de Desconto 
 n2 : Prazo de Antecipação da Dívida 
Notas: 
 1 - Quando a data posterior for a data de vencimento do compromisso financeiro, então, 
teremos o valor nominal do compromisso financeiro. 
 
 2 - O Valor Futuro só será igual ao montante quando a data futura for a data de vencimento 
do compromisso financeiro. 
 
 
Lembrete: 
1) O valor de uma dívida é o valor na data de vencimento (Montante = Valor Nominal). 
 
Não podemos calcular “V” (valor descontado) a partir de “P” (capital) com a taxa 
nominal do empréstimo ou vice-versa. 
 
2) Para calcular quanto pagou de juros, então, precisamos calcular o Valor Atual (ou 
descontado) a partir do Montante (ou Nominal). 
 
Juros que pagou: valor que pagou quatro meses antes da data de vencimento (V) 
menos a quantia que pegou emprestado (P). 
 
3) Quanto pagaria de juros: Valor na Data de Vencimento (S = N) menos o Capital 
(Valor pegou emprestado “P”). 
 
4) Taxa de Empréstimo “(i1)” incide sobre o capital, sendo o montante calculado a partir 
da fórmula seguinte: 
 
 N = S = P [1 + (i1 x n1)] 
 
 5) Taxa usada na operação de desconto (“i1 - Taxa de Juros”), incide sobre o Valor Atual 
 N = V [1 + (i2 x n2)] 
 
S = P [1 + (i x n)] 
S = P [1 + (i x n)] 
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UA3: DESCONTO SIMPLES - PARTE I 
1- INTRODUÇÃO 
Desconto: abatimento na prestação de um serviço seja em decorrência da compra de grandes 
quantidades, seja devido a condições especiais de pagamento ou de promoções; nestes casos o 
desconto é uma operação comercial. 
 
Desconto também pode ser associado a uma operação financeira neste caso, é realizado com título de 
crédito. Quando é associado a uma operação financeira é o abatimento no valor declarado de um título 
de crédito devido antecipação do resgate. 
 
2- CONCEITOS 
2.1- VALOR NOMINAL: é o Valor de ‟Face” de um título de crédito ou compromisso com vencimento 
para uma data futura – data de vencimento (valor futuro determinado). Representamos o valor nominal 
pela letra N. 
 
2.2- VALOR ATUAL OU VALOR DESCONTADO: é o valor que um compromisso ou um título de crédito 
tem em uma data que antecede ao seu vencimento, ou seja, é o valor nominal descontado. 
Representamos o valor atual pela letra V. 
 
2.3- DESCONTO: é o valor que se deduz do compromisso ou do título de crédito pela antecipação do 
seu vencimento, isto é, a diferença entre o valor nominal e o seu valor atual (descontado). Adotamos a 
notação D. 
 
 
Onde: 
D: Desconto ou Valor do Desconto ou Juros do Título de Crédito. 
N: Valor Nominal ou Valor de Face ou Valor de Emissão. 
V: Valor Atual Racional ou Valor Descontado ou Valor Líquido Recebido 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D = N – V 
P 
J = N − P 
N V 
D = N – V 
Desconto ou Juros do Título 
 Juros 
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3- CLASSIFICAÇÃO DO DESCONTO 
Teremos o Desconto Racional e o Desconto Comercial conforme o tipo de taxa com que for 
calculado. Em ambos os casos, dependendo do regime de capitalização que vier a ser adotado no 
cálculo do desconto, teremos: Desconto Racional Simples; Desconto Racional Composto; Desconto 
Comercial Simples; e o Desconto Comercial Composto. 
 
NOTA: Nas operações de mercado, realizadas pelas instituições financeiras, são usados apenas o 
Desconto Comercial Simples e o Desconto Racional Composto. 
 
3.1- DESCONTO RACIONAL OU “POR DENTRO” OU REAL OU VERDADEIRO OU A TAXA DE JURO: 
Desconto que se obtém pelo cálculo do juro simples sobre o valor atual, do título que é quitado "n" 
períodos antes de seu vencimento. 
 
Neste tipo de desconto temos as mesmas relações desenvolvidas no estudo de juros simples, mudando 
apenas a notação. 
 
 
Onde: 
Dr: Desconto Racional ou Valor do Desconto Racional ou Juros do Título de Crédito. 
Vr: Valor Atual Racional ou Valor Descontado Racional ou Valor Líquido Recebido. 
n: Prazo (Diferença entre Data de Vencimento e Data de Resgate) 
i: Taxa de Desconto Racional ou Taxa de Juros 
 
 
 
Valor Descontado: diferença entre o valor nominal e o desconto, portanto, V = N – D 
O Desconto por ser Racional, então, o Valor Descontado Racional será: Vr = N – Dr 
Por outro lado: Dr = Vr x i x n 
Então: Vr = N – Vr x i x n 
N = Vr + Vr x i x n 
Colocando Vr em evidência: 
 
Como: Vr = N . 
 1 + (i x n) 
Então: Dr = N – Vr  Dr = N –. N . 
 1 + (i x n) 
 
 
Dr = Vr x i x n 
D = N – V 
N = Vr [1 +(i x n)] 
Dr = N x i x n 
 1 + (i x n) 
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3.2- DESCONTO COMERCIAL OU “POR FORA”: 
Desconto que se obtém pelo cálculo do juro simples sobre o valor nominal do título que seja quitado 
"n" períodos antes do seu vencimento. 
 
 
 
Onde: 
 Dc: Desconto Comercial, ou Valor do Desconto Comercial, ou Juros do Título de Crédito 
 
 Vc: Valor Atual Comercial, ou Valor Descontado Comercial, ou Valor Líquido Comercial 
Recebido 
 
 N: Valor Nominal ou Valor de Face, ou Valor de Emissão (Valor na Data de Vencimento) 
 
 n: Prazo (antes do vencimento que foi descontado o título de crédito) 
 
 i : Taxa de Desconto Simples Comercial ou Taxa deDesconto Simples “Por Fora” 
 
 
NOTA: 
 Em regime de capitalização simples, isto é, quando se trata de desconto simples, se não 
estiver explícito no problema se o desconto é comercial (ou “por fora”) ou se o desconto é 
racional (ou “por Dentro”; ou Real; ou Verdadeiro; ou a Taxa de Juro) será sempre desconto 
comercial, pois é o que mais acontece na prática. 
 
NOTA: 
 O desconto comercial por ser o mais utilizado pelos bancos para o cálculo da 
remuneração do capital, no regime de capitalização simples, muitos autores denominam 
também de desconto bancário. 
 
 
 
 
UA4: DESCONTO SIMPLES - PARTE II 
1- TAXA IMPLÍCITA OU EFETIVA DE JUROS DO DESCONTO COMERCIAL 
Desconto Racional ou Real ou Verdadeiro (ou a Taxa de Juro), como o próprio nome diz, do ponto 
de vista teórico, resulta da consideração da teoria da matemática financeira e não, como nos casos do 
desconto comercial, de convenções. 
 
Dc = N x i x n D = N – V Vc = N [1 – (i x n)] 
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Conforme foi introduzido na unidade anterior, o desconto comercial ao ser apurado sobre o valor 
nominal do título, admite implicitamente uma taxa de juros superior aquela declarada para a operação. 
 
Taxa Implícita ou Taxa Efetiva de Juro: taxa de juros que aplicada sobre o valor descontado 
comercial gera no período considerado um montante igual ao valor nominal. 
 
 
N = Vc + Vc x ief x n 
N – Vc = Vc x ief x n 
Como: Dc = N – Vc 
Então: 
 
N = (Vc) [1 + (ief x n)] 
 Vc = N . 
 1 + (ief x n) 
E: Dc = N – Vc 
Então: Dc = N –. N . 
 1 + (ief x n) 
Logo:
 
 
 
Onde: 
 Dc : Desconto Comercial ou Valor do Desconto Comercial ou Juros Comercial. 
 Vc : Valor Atual Comercial ou Valor Descontado Comercial ou Valor Líquido Recebido 
Comercial. 
 
 N : Valor Nominal ou Valor de Face, ou Valor de Emissão. 
 n : Prazo (Diferença entre Data de Vencimento e Data de Resgate). 
 ief : Taxa Efetiva de Juros ou Taxa Implícita de Juros. 
NOTA: No Desconto Racional a taxa de desconto é a própria taxa efetiva. 
 
2- RELAÇÃO ENTRE TAXA DE JUROS EFETIVA E TAXA DE DESCONTO COMERCIAL 
 
Taxa efetiva ou Taxa implícita de juro: aquela que conduz, pelo desconto racional, ao mesmo valor 
calculado pelo desconto comercial, portanto, os dois descontos são iguais. Dr = Dc 
 
 
N = Vc [1 + (ief x n)] 
 
Dc = . N x ief x n 
 1 + (ief x n) 
Dc = Vc x ief x n 
ief = i . 
 1 – (i x n) 
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Onde: 
 ief
 
: taxa de juros efetiva 
 i : taxa de desconto comercial 
 n : número de períodos antes do vencimento 
 
3- EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
O Capital (1) será igual ao Capital (2) em uma data e a uma determinada taxa de juros, se os 
respectivos Valores Atuais forem iguais. 
 
 
 
 
As equivalências podem ser com Desconto Comercial ou Desconto Racional. 
Aplicação: 
A aplicação da equivalência de capitais pode ser na substituição de um ou mais títulos de crédito, por 
outro ou outros, com datas de vencimentos diferentes. 
 
Equivalência entre Grupos de Capitais: V1
 
+ V2
 
+ … + Vn
 
= V1'
 
+ V2'
 
+ … + Vn'
 
 
 
 
 
 
UA5: JURO COMPOSTO - PARTE I 
1- INTRODUÇÃO 
 
Regime de Capitalização Composto, ou simplesmente, dos juros compostos, caracteriza-se pela 
incidência da taxa de juros sobre o montante acumulado do período anterior. Ocorre a incidência dos 
juros sobre juros, com crescimento exponencial do valor futuro no tempo. 
 
Regime de Capitalização Simples: somente o capital inicial rende juros, que é diretamente 
proporcional à taxa e o tempo; 
 
Regime de Capitalização Composto: os juros são acrescentados ao capital no final de cada período 
de capitalização (juros) e depois disso rendem juros. 
 
 
2- MONTANTE 
Montante de um principal "P", colocado a render juros à taxa "i" de juros compostos durante "n" 
períodos de capitalização, é a soma desse principal com os juros que lhe são devidos no fim do prazo 
de aplicação. 
 
 P1 = P2 se somente se V1 = V2 
 
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Seja o capital (ou principal) "P" no começo do primeiro período de juros e "i" a taxa de juros por 
período de capitalização, o valor acumulado em cada período nada mais é do o valor acumulado do 
período anterior, portanto os valores acumulados nos finais dos períodos sucessivos de juros são: 
 
 (1 + i) (1 + i) (1 + i) 
 J J J 
 
 
 
 
Final do 1o. período: 
P1 = P + J 
P1 = P + P x i 
Colocando P em evidência teremos: 
 P1 = P (1 + i) 
Final do 2o. período: 
 P2 = P1 + J 
 P2 = P1 + P1 x i = P1 (1 + i) 
 P2 = P (1 + i) (1 + i) 
P2 = P (1 + i)2 
Final do 3o. período: 
P3 = P2 (1 + i) = P1 (1 + i) (1 + i) 
P3 = P (1 + i) (1 + i) (1 + i) 
P3 = P (1 + i)3 
Valores sucessivos acumulados para a mesma taxa “i”: 
 
Onde: 
S : Montante; ou Valor Acumulado; ou Valor Futuro 
P : Principal; ou Capital; ou Valor Descontado; ou Valor Atual 
(1 + i)n : Fator de Acumulação a Juros Compostos; ou Valor Acumulado de $ 1. 
i : Taxa Efetiva de Juros (Taxa por Período de Capitalização). 
n : Número de Períodos de Capitalização. 
 
S = P (1 + i)n 
0 2 31 
Tempo
P 
S = P (1 + i) S1 = P1 (1 + i) 
P1 P2 
S = P1 S1 = P2 S2 = P3 
P3 
S2 = P2 (1 + i) 
n = Prazo ÷ Período de Capitalização 
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NOTA: 
 Se não estiver explícito no problema o regime de capitalização (simples ou composto), então, 
será o que acontece na prática que é o regime de capitalização composto. 
 
3- CONSIDERAÇÕES SOBRE TAXAS DE JUROS 
3.1- TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA DE JURO 
Os conceitos de taxa nominal e de taxa efetiva de juros no regime de juros compostos são os mesmos 
que os do sistema de juros simples. 
 
Taxa Nominal: é a taxa declarada por convenção. 
 
Taxa Efetiva: é a taxa de rendimento que a operação financeira proporciona efetivamente, portanto, é 
a taxa que é usada nos cálculos financeiros. 
 
Taxa Efetiva: é a taxa em que a unidade de referência de seu tempo coincide com a unidade de 
tempo dos períodos de capitalização, isto é, é a taxa por período de juro (ou período de 
capitalização). 
 
NOTA: 
 Por convenção a Taxa Efetiva será sempre proporcional a Taxa Nominal. 
 
 
3.2- TAXAS PROPORCIONAIS E TAXAS EQUIVALENTES 
No regime de juros compostos os conceitos para taxas proporcionais e taxas equivalentes são os 
mesmos de juros simples, porém, no regime de juros compostos as taxas proporcionais não são 
equivalentes (e vice-versa), pois produzem montantes diferentes para capitais iguais em prazos iguais. 
 
 Duas taxasreferentes a períodos distintos de capitalização são equivalentes quando no 
final do mesmos prazo pela aplicação de um mesmo capital inicial produzirem o mesmo 
montante ou o mesmo juro. 
 
 
 
Substituindo o S1 por: P1 (1 + i1)n1 e o S2 por P2 (1 + i2)n2 teremos: 
P1 (1 + i1)n1 = P2 (1 + i2)n2 
Como: 
 
 
Então: 
P (1 + i1)n1 = P (1 + i2)n2 
S = P (1 + i)n S1 = S2 
P1 = P2 
 
Prazo1 = Prazo2 P1 = P2 
 
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Dividindo a equação por P, obteremos: 
Onde: 
 n1 = Prazo ÷ Período de capitalização de i1 
n2 = Prazo ÷ Período de capitalização de i2 
NOTA: 
 Para calcularmos os valores de n1 e n2, temos que escolher o prazo para podermos 
calcular quantas vezes as taxas i1 e i2 (taxa equivalente) incidirão dentro do prazo e estes 
prazos tem que ser iguais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4- CÁLCULO DO JURO OU RENDIMENTO
 
Juro ou Rendimento pode ser obtido através da seguinte fórmula: 
 
 
 
5- CÁLCULO DO CAPITAL OU DO PRINCIPAL 
 
O Principal ou o Capital pode ser obtido através da fórmula do Montante ou da fórmula do Juro. 
 
Montante: 
 
Juro: 
 
Onde: 
J : Juro; ou Rendimento 
(1 + i)− n : Fator de Valor Atual ou Fator de Valor Descontado (Reg. Juro Composto) 
 
 (1 + i1)n1 = (1 + i2)n2 
ATENÇÃO: 
1- Usar sempre Taxa Proporcional quando quer mudar a unidade de referência de 
tempo, isto é, a Taxa Nominal. (Taxa Proporcional não muda a capitalização). 
 
2- Usar sempre Taxa Equivalente quando desejar mudar o Período de 
Capitalização. 
 
3- A Equivalência entre as Taxas somente pode ser feita através de Taxas Efetivas. 
 
S = P (1 + i)n J = P [(1 + i)n – 1] 
J = P [(1 + i)n – 1] 
S = P (1 + i)n P = S ÷ (1 + i)n P = S x (1 + i)−n 
P = J ÷ [(1 + i)n – 1] P = J x [(1 + i)−n – 1] 
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UA6: JURO COMPOSTO - PARTE II 
21 PERÍODOS FRACIONÁRIOS DE CAPITALIZAÇÃO 
Quando efetuamos cálculos através de juros compostos o número de períodos de capitalização não for 
inteiro, são admitidas duas alternativas: convenção linear e convenção exponencial. 
 
1.1- Convenção Linear 
 
Juros Compostos são usados para o número inteiro de períodos, e os juros simples para a parte 
fracionária de períodos. 
 
 Parte Inteira → (1 + i1)n1 
 (1 + i)n (1 + i1)n1 (1 + i2 x n2) 
 Parte Fracionária → (1 + i2 x n2) 
 
 
 
 
 
 
1.2- CONVENÇÃO EXPONENCIAL 
Juros Compostos são usados tanto para parte inteira de períodos quanto para a parte fracionária de 
períodos de capitalização. 
 
2- CÁLCULO DA TAXA DE JURO 
Taxa de Juro pode ser obtida através das seguintes fórmulas: 
 
 
3- CÁLCULO DO PRAZO 
 Prazo = n x Período de Capitalização 
Sendo o número de períodos "n" podendo ser obtido das seguintes fórmulas: 
 
 
 
Nota: 
 Usar Logaritmo Decimal ou Logaritmo Neperiano para obtenção do valor de “n”. 
 
 
 
S = P (1 + i)n S = P [(1 + i1)n1 (1 + i2 x n2)] 
J = P {[(1 + i1)n1 (1 + i2 n2)] – 1} J = P [(1 + i)n – 1] 
J = P [(1 + i)n – 1] S = P (1 + i)n 
S = P (1 + i)n J = P [(1 + i)n – 1] 
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UA7: 1- EQUAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA DE VALORES DATADOS 
1- INTRODUÇÃO 
A Matemática Financeira tem como objetivo básico estudar o dinheiro ao longo do tempo, através de 
comparações dos vários fluxos de entradas e saídas de dinheiros de caixa verificados em vários 
momentos, portanto, nada mais do que um estudo da Equivalência de Valores Datados. 
 
2- DEFINIÇÃO 
A uma dada taxa de juros compostos "i", $ X devidos em uma determinada data será equivalente a $ Y 
devidos "n" períodos mais tarde, se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Porém duas Propriedades da Equivalência de Valores Datados são importantes: 
 
3- PROPRIEDADES DA EQUIVALÊNCIA DE VALORES DATADOS 
 Se $ X for equivalente a $ Y, a uma determinada taxa de juros compostos, e se $ Y for 
equivalente a $ Z, então $ X será sempre equivalente a $ Z. (propriedade transitiva). 
 
  Se dois grupos de pagamentos são equivalentes em uma data de vencimento, então serão 
equivalentes em qualquer data de vencimento. 
 
NOTA: Estas propriedades só são válidas para Regimes de Juros Compostos porque é uma 
função exponencial. 
 Data 
 Anterior 
Data 
Dada 
 Data 
Posterior 
Z = ($ X) (1 +i)−n 
 Y = ($ X) (1 +i)n 
 $ X 
n períodos 
n períodos 
 
Valores Datados Equivalentes a um Dado Valor Datado de $ X: 
 
Y = (X) (1 + i)n 
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Passos para elaboração de uma Equação de Equivalência de Valores Datados 
 
1º Passo: Fazer um bom diagrama de tempo, colocando os valores datados, do primeiro conjunto de 
pagamentos (ou recebimentos) de um lado da linha de tempo, e os valores datados do 
segundo conjunto de pagamentos (ou recebimentos) do outro lado da linha de tempo. 
 
2º Passo: Escolher uma data que será de referência de referência ou avaliação, denominada Data de 
Referência ou Data de Avaliação ou Data Focal, e transferir todos os valores datados 
para esta Data de Referência que foi escolhida, utilizando a taxa de juros especificada. 
 
3º Passo: Escrever a Equação de Equivalência de Valores Datados nesta Data. 
 
4º Passo: Resolver a Equação de Equivalência de Valores Datados, usando os métodos algébricos 
adequados. 
 
NOTAS: 
1- Valores somente podem ser comparados se estiverem referenciados na mesma data. 
 
2- Operações algébricas só podem ser executadas com valores referenciados na mesma 
data. 
 
 3- Data Focal ou Data de Referência ou Data de Avaliação é a data a qual se 
compara valores referidos a datas diferentes. 
 
 4- A comparação de valores datados não depende da Data Focal em regime de 
capitalização composto, portanto, pode ser escolhida de modo arbitrário. 
 
 
 
 
 
 
 Exercícios de Revisão para AP1 - UA1 até UA7 (2019/II) 
 
 LEMBRETE: Não será obrigatório nas avaliações (AD´s e AP´s): 
 - Fazer os Diagramas de Tempo, porém, auxiliam e muito na elaboração da Equação de 
Equivalência de Valores Datados; 
 
 - Escrever as fórmulas usadas nas resolução das questões. 
 
FORMULÁRIO que será fornecido junto com as questões nas avaliações AD´s e AP´s. 
Para um melhor desempenho nas avaliações AP´s aconselhamos ao fazer os exercícios da lista 
de revisão a seguir consultando somente o formulário e realizar as contas com a calculadora 
que irão realizar as AP´s. 
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FORMULÁRIOLEMBRETE: Arredondamentos no mínimo duas casas decimais. 
 
1) Se um investimento está pagando por uma aplicação de quarenta dias uma taxa de juros de 80%, 
nestas mesmas condições, qual seria a taxa de juros por cem dias 
 
2) Uma nota promissória foi descontada meio ano antes do vencimento sendo que a taxa de desconto 
simples comercial foi 12% a.q. Calcular a taxa de juros efetiva bimestral cobrada? 
 
3) Aplicou-se dois capitais diferentes, um por sete trimestres a taxa de juros de 4% a.m, outro capital foi 
25% inferior por dois semestres e meio a taxa de juros 9% a.t. Se os capitais somaram $ 35.600, qual 
será o valor total acumulado no final do prazo, se o regime para as aplicações foi de capitalização 
simples? 
 
4) Achar o montante, sabendo-se que o principal foi $ 10.200; o prazo de três anos e meio; e a taxa de 
30% a.a.; e se for usado: (a) convenção linear, e (b) convenção exponencial. 
 
 
S = P + J J = P x i x n S = P [1 + (i x n)] D = N − V 
 
N = Vr [1 + (i x n)] Dr = Vr x i x n Dr = N x i x n Dc = N x i x n 
 1 + (i x n) 
Vc = N [1 − (i x n)] Dc = Vc x ief x n N = Vc [1 + (ief x n)] Dc = N x ief x n. 
 1 + ief x n 
ief = . i S = P (1 + i)n J = P [(1 + i)n − 1] 
 1 – (i x n) 
 
S = R [(1 + i)n − 1] = R (sn┐i) S = R [(1 + i)n − 1] (1 + i) = R (sn┐i ) (1 + i) 
 i i 
A = R [1 − (1 + i)− n] = R (an┐i) A = R [1 − (1 + i)− n] (1 + i) = R (an┐i) (1 + i) 
 i i 
A = R A = R (1 + i) 
 i i 
C
n
 = . In − 1 Cac = . In − 1 
 I
n−1 I0 
 
C
ac 
= [(1 + C1) (1 + C2)…(1 + Cn)] − 1 (1 + i) = (1 + r) (1 + θ) 
 
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5) Uma nota promissória de valor de emissão igual a $ 22.000 foi descontada a uma taxa de desconto 
simples “por dentro” igual a 4% a.m. Se o valor descontado foi $ 17.000; quanto tempo antes do 
vencimento foi descontada a nota promissória? 
 
6) Investiu-se $ 60.000 pelo prazo de dois anos a uma taxa de juros simples de 4% a.m. Se foi pago 
Imposto de Renda e se a rentabilidade efetiva do investimento foi 2,5% a.m, de quanto foi a alíquota do 
IR? 
 
7) Um lojista deve $ 7.900; e $ 25.200 que vencem daqui a vinte meses e dois anos respectivamente. 
Não podendo saldá-los nos prazos de vencimento acima, deseja reformá-lo de modo a fazer três 
pagamentos iguais. Se os pagamentos vencerem respectivamente no 1º; 2º e 3º quadrimestre e se o 
dinheiro valer 1,5% a.m. capitalizado quadrimestralmente, qual será o valor de cada pagamento? 
 
8) Dois capitais diferentes foram aplicados, sob regime de juros simples; o primeiro capital a uma taxa 
de 3% a.t, por dois anos; e o segundo capital a uma taxa de 36% a.a., por oito semestres. Sabendo-se que 
o rendimento do segundo capital foi inferior ao rendimento do primeiro capital em $ 5.000 e os dois 
rendimentos totalizaram $ 9.000, calcule o montante total 
 
9) Foi aplicado $ 13.500 pelo prazo de dois anos e meio a uma taxa de juros de 3% a.m. capitalizado 
trimestralmente. Calcular o montante. 
 
10) Uma nota promissória de $ 14.700 foi descontada em um banco a taxa de desconto simples de 36% 
a.a. Se o valor descontado foi $ 11.200, quantos dias antes do vencimento foi descontada a nota 
promissória? 
 
11) Máquinas industriais estão sendo vendidas à vista por $ 147.300; e a prazo por $ 152.600, sendo que 
uma entrada de 15% do preço à vista, e o saldo um quadrimestre após a compra. Calcular a taxa efetiva 
de juros simples mensal. 
 
12) Um estudante aplicou $ 13.000 em uma poupança e após certo tempo ele recebeu de juros $ 
18.554,41. Se a taxa de juros paga foi de 18% a.s., por quantos meses ficou o dinheiro aplicado? 
 
13) Uma duplicata foi descontada a uma taxa de desconto simples ‘por fora” de 18% a.t. Se a taxa 
efetiva foi 16% a.b. e o valor do desconto foi $ 4.620, qual o valor de emissão da duplicata? 
 
14) Uma revendedora de produtos de limpeza deseja substituir duas letras de câmbio, uma de valor de 
face de $ 10.300, com vencimento para quatro meses; e a outra de valor de face de $ 22.500 com 
vencimento para um ano; por uma letra de valor de face de $ 38.400 e vencimento para um ano e meio. 
Se o desconto for simples “por fora”, qual deverá ser a taxa de desconto? 
 
15) Investiu-se inicialmente em uma poupança $ 55.200, depois foram feitas duas retiradas uma de $ 
13.700 no 6º mês e a outra $ 24.900 no 15º mês. Calcular o saldo no final do segundo ano para uma 
taxa de juros de 3,5% a.t. 
 
16) Se foi aplicado $ 7.300 pelo prazo de sete trimestres em um fundo e se o valor de resgate foi $ 
12.111,06; qual foi a taxa de juros ao ano acumulada trimestralmente? 
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17) Um varejista aplicou $ 25.000 em uma poupança cuja rentabilidade foi 18% a.s. Decorridos dois 
anos, ele retirou toda quantia e aplicou 80% do rendimento em um fundo por um ano que pagou 2% a.m. 
Para um regime de capitalização simples, quanto o varejista resgatou no fundo? 
 
18) Uma firma pegou um empréstimo por dois anos e meio a uma taxa de juros simples de 3% a.m. Se 
foi pago 26.800 dez meses antes da data de vencimento a uma taxa de juros simples de 7% a.b. quanto 
foi pago de juros? 
 
19) Se o principal for $ 17.000; o prazo quatro anos; para os dois primeiros anos a taxa de juros 
compostos de 3% a.q; e para os anos seguintes uma taxa de juros compostos de 2,5% a.m; quanto será o 
juro, se o regime for de capitalização composto? 
 
20) Um título de crédito de valor de nominal de $ 24.700; está sendo descontada a taxa de desconto 
simples real de 9% a.t. Se o valor atual for $ 19.800, quantos meses antes da data de vencimento está 
sendo descontado o título de crédito? 
 
21) Dois capitais iguais foram aplicados em regime de capitalização composto. Se o total dos capitais foi 
$ 18.000, a taxa de juros do 1º capital 18% a.m. capitalizado mensalmente e o prazo treze bimestres, e 
do 2º capital a taxa de juros 14% a.q. e o prazo dois anos, qual será o rendimento total? 
 
22) Qual o valor de emissão de uma duplicata que sofreu um desconto simples comercial no valor de $ 
4.500, descontada 2,5 bimestres antes do vencimento, a uma taxa efetiva de juros simples 63% a.s? 
 
23) A fim de constituir uma poupança, um Pedro faz quatro depósitos bimestrais de $ 2.400 em uma 
instituição financeira que paga 2,5% a. m. capitalizado bimestralmente. Qual será o saldo após o último 
depósito? 
 
24) Em uma revendedora de autopeças são concedidos descontos de 15% no preço das mercadorias para 
vendas à vista. Esta mesma revendedora cobra 30% de juros simples para as vendas com prazo de 
pagamento em um trimestre. Calcular a taxa efetiva semestral. 
 
25) Se um principal for $ 17.400 o montante $ 73.200 e a taxa de juros for 4,5% a.t. capitalizado 
anualmente, por quantos trimestres ficou aplicado o principal? 
 
26) Uma duplicata de valor de emissão igual a $ 9.000 foi descontada cento cinquenta dias antes da data 
de vencimento, sendo os juros no valor de $ 1.125. Calcular a taxa de desconto simples aomês. 
 
27) Um empresário deve duas duplicatas: uma de $ 10.500 e a outra de $ 25.700, vencíveis 
respectivamente, em um trimestre e um ano. Desejando renegociar suas dívidas, o empresário propõe e o 
credor aceita substituir esse esquema de pagamento por outro equivalente, constituído por duas 
duplicatas sendo a primeira 30% superior a segunda e vencendo respectivamente, em um dez meses, e 
um ano e meio. Determinar o valor da duplicata que vence em dez meses, sabendo-se que a taxa de juros 
simples negociada foi de 42% a.s. 
 
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28) Um tomador de empréstimo pagou por um empréstimo de $ 53.600 de quinze meses uma taxa de 
6% a.t. de juros simples. Se os juros foram pagos antecipadamente, qual foi taxa efetiva semestral 
cobrada no empréstimo? 
 
29) O preço à vista de carro é $$ 95.000 e a prazo tem que dar uma entrada e mais três prestações 
trimestrais de $ 23.500, sendo a primeira prestação três meses após a compra e a taxa de juros cobrada 
no financiamento 6% a.t. Calcule o valor da entrada. 
 
30) Foi feito um empréstimo de $ 35.700 à uma taxa de juros simples de 48% a.a., comprometendo-se a 
quitá-lo em duas vezes: (2/5) do empréstimo três trimestres após o empréstimo; e o restante decorridos 
mais dois semestres e meio. Calcular o montante da dívida. 
 
31) Se o juro for $ 58.300, o montante $ 78.000 e o prazo vinte bimestres, qual foi a taxa de juro ao 
bimestre capitalizado mensalmente? 
 
32) Aplicou-se em uma poupança $ 33.000 pelo prazo de dois anos e meios e taxa de juros simples de 
10% a.b. Calcular a rentabilidade efetiva semestral da aplicação se foi pago uma alíquota de 25% de 
Imposto de Renda no resgate. 
 
33) Sabendo-se que o principal é $ 17.000, o prazo de aplicação trinta meses e a taxa de juros de 3% 
a.m. capitalizados trimestralmente, calcular o montante. 
 
34) Se o valor de resgate for $ 120.700, o juro $ 16.200 e a taxa de juros 2,5% a.m., por quantos 
bimestres ficou aplicado o capital? 
 
35) Foi depositado inicialmente em um determinado investimento $ 85.000; depois deste mesmo 
investimento foram feitas duas retiradas, sendo a primeira no início do décimo mês e a segunda no final 
do trigésimo mês. Se o valor da primeira retirada foi 30% inferior ao valor da segunda retirada; e ainda 
restar um saldo de $ 13.000 no terceiro ano; qual foi o valor de cada retirada se a taxa de juros for 5% 
a.m. para os dois primeiros anos, e 7% a.m. para o ano restante? 
 
 
 
 SOLUÇÃO 
 
1) i40 dias = 80% i100 dias = ? 
Solução: 
 Como não está explícito o regime de capitalização (simples ou composto), então, será o que 
acontece mais na prática que é o regime de capitalização composto. (UA5) 
 
Como se trata de um problema de juros compostos e que a capitalização da taxa dada (taxa efetiva “i”) é 
de quarenta em quarenta dias e o problema quer saber qual seria a taxa de cem em cem dias 
(capitalização de cem em cem dias), portanto, tem que fazer a equivalência entre as duas taxas. 
 
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LEMBRETE: Somente taxa equivalente que muda a capitalização. Taxa proporcional não muda 
a capitalização. 
 
Duas Taxas são Equivalentes quando: 
 
 
Resultando em: 
 
(1 + i40dias)n1 = ( 1 + i100dias)n2 
Escolhendo o prazo igual a 100 dias teremos: 
(1 + i40dias)(100 ÷ 40) = ( 1 + i100dias)(100 ÷ 100) 
1,802,5 
 
= ( 1 + i100dias)1 
1,802,5 − 1 = i100dias 
i100dias = 3,3469 = 334,69% 
Resposta: 3,3469 ou 334,69% 
 
2) n = 0,5 ano → n = 0,5 ano x (6 bim./1 ano) = 3 bim. 
 i = 12% a.q. → i = 12%/quad x (1 quad/4 meses) (2 meses/1bim) = 6% a.b. 
 ief = ? (a.b.) 
Desconto simples comercial, conforme enunciado. (UA4) 
 
Solução: 
 
ief = (0,06) ÷ [1 – (0,06 x 3)] 
 ief = 0,0732 = 7,32% 
Resposta: 0,0732 ou 7,32% 
 
3) P1 = ? 
 i1 = 4% a.m. n1 = 7 trim x (3 meses/1 trim) = 21 meses 
P2 = P1 − 0,25 P1 = 0,75 P1 
i2 = 9% a.t. n2 = 2,5 sem x (2 trim/1 sem) = 5 trim 
P1 + P2 = $ 35.600 ST
 
= S1
 
+ S2 = ? 
Regime para as aplicações foi de capitalização simples, conforme enunciado. (UA1) 
Solução : 
 
ief = i . 
 1 – (i x n) 
S = P [1 + (i x n)] 
S1 = S2 
S = P (1 + i)n 
P1 = P2 
 
 (1 + i1)n1 = (1 + i2)n2 
Prazo1 = Prazo2 
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 ST
 
= S1
 
+ S2 = P1 x [1 + (i1 x n1)] + P2 x [1 + (i2 x n2)] 
ST
 
= P1 x [1+ (0,04 x 21)] + P2 x [1+ (0,09 x 5)] 
Como: P2 = 0,75 P1 e P1 + P2 = 35.600 
Teremos: 
P1 + 0,75 P1 = 35.600 → 1,75 P1 = 35.600 
P1 = 35.600 ÷ 1,75 = 20.342,86 
P2 = 0,75 P1 = 0,75 x 20.342,86 = 15.257,15 
Substituindo em: 
ST
 
= P1 x [1+ (0,04 x 21)] + P2 x [1+ (0,09 x 5)] 
Teremos: 
 ST
 
= 20.342,86 [1+ (0,04 x 21)] + 15.257,15 [1+ (0,09 x 5)] 
ST
 
= $ 59.553,73 
Resposta: $ 59.553,73 
 
4) P = $ 10.200 i = 30% a.a. prazo = 3,5 anos 
 S = ? 
Solução: 
 Como não está explícito o regime de capitalização (simples ou composto), então, será o que 
acontece mais na prática que é o regime de capitalização composto. 
 
(a) Convenção Linear ou Juros Simples para a Parte Fracionária de Períodos de Capitalização. 
- Os juros compostos são usados para o número inteiro de períodos, e os juros simples para a 
parte fracionária de períodos. (UA6) 
 
 
 
 Parte Inteira → (1 + i1)n1 
 (1 + i)n (1 + i1)n1 x (1 + i2 x n2) 
 Parte Fracionária → (1 + i2 x n2) 
 
 
 
 
Taxa nominal = 30% a.a. → Taxa efetiva “i” = 30% a.a. 
n1 = 3 anos n2 = 0,5 ano 
S = P (1 + i)n S = P x [(1 + i1)n1 x (1 + i2 x n2)] 
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S = 10.200 x (1,30)3 x [1 + (0,30 x 0,5)] 
 S = $ 25.770,81 
 
(b) Convenção Exponencial ou Juros Compostos para a Parte Fracionária de Períodos de 
Capitalização. 
 
- Os juros compostos são usados tanto para parte inteira de períodos quanto para a parte 
fracionária de períodos de capitalização. (UA6) 
 
 
 
S = 10.200 x (1,30)3,5 
S = $ 25.550,65 
Resposta: (a) $ 25.770,81 (b) $ 25.550,65 
 
5) N = $ 22.000 → Valor de Emissão => Valor de Face ou Valor Nominal 
i = 4% a.m 
Valor Descontado => Valor Atual ou Valor Recebido ou Valor de Resgate, “ V”. 
Vr = $ 17.000 
n = ? 
Solução: 
 O problema é de uma operação de desconto simples racional uma vez que o desconto é 
desconto simples “por dentro”. 
 
Nota: 
 Desconto Simples Racional ou “Por Dentro” ou Real; ou Verdadeiro, ou a Taxa de Juros 
 Solução 1: 
 22.000 = 17.000 x [1 + (0,04 x n)] 
 [(22.000 ÷ 17.000) – 1] ÷ 0,04 =n 
 n = 7,35 meses ≈ 7,4 meses 
 
 
Solução 2: 
22.000 − 17.000 = 17.000 x 0,04 x n 
(22.000 − 17.000) ÷ (17.000 x 0,04) = n 
n = 7,35 meses ≈ 7,4 meses 
Resposta: 7,4 meses 
N = Vr [1 + (i x n)] 
Dr = Vr x i x n Dr = N – Vr 
S = P (1 + i)n 
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6) P = Pnom = Pefet. = $ 60.000 
prazo = 2 anos = 2 x 12 meses = 24 meses 
inom. = 4% a.m. iefet. = 2,5% a.m. 
 Aliquota de IR = X = ? 
Solução: 
 Problema de investimento em regime de capitalização simples que paga IR. (UA2) 
 Alíquota do Imposto de Renda (IR) incide no Juro (Rendimento) 
IR = alíq. IR x Jnom 
Cálculo do Juro: 
Jnom. = Pnom x inom x n = 60.000 x 0,04 x 24 
Jnom. = 57.600 
 Jefet. = Pefet. x i efet. x n 
Jefet. = Jnom – IR => Jefet. = 57.600 – IR 
Então: 
Pefet. x i efet. x n = 57.600 – IR 
Mas: 
IR = X x 57.600 => IR = 57.600 X 
Logo: 
Pefet. x i efet. x n = 57.600 – IR 
Será: 
60.000 x 0,025 x 24 = 57.600 – 57.600 X 
[57.600 – (60.000 x 0,025 x 24)] ÷ 57.600 = X 
X = 0,375 ou X = 37,50% 
Resposta: 0,375 ou 37,50% 
 
7) Antigas Obrigações 1ª: $ 7.900 Vencimento: 20 meses 
 
 (Antigos Pagamentos) 2ª: $ 25.200 Vencimento: 2 anos 
 
 
 1ª: X = ? Vencimento: 1º. quad. 
 Novas Obrigações 
 (Novos Pagamentos) 2ª: X = ? Vencimento: 2º. quad. 
 
 3ª: X = ? Vencimento: 3º. quad. 
J = P x i x n 
J = P x i x n 
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Taxa: 1,5% a.m. capit. quadrimestralmente 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema é de capitalização composto (juros compostos) porque está explicito na taxa 
informando que é capitalizada quadrimestralmente, onde a taxa nominal (taxa declarada) é ao mês mas é 
capitalizado quadrimestralmente, isto é, os juros incide de quatro em quatro meses. (UA5) 
 
 Taxa Nominal = 1,5% a.m. 
Taxa Efetiva “i” = 1,5% x 4 = 6% a.q. capitalizado quadrim. = 6% a.q. 
Como a taxa efetiva é ao quadrimestre, e os vencimentos das novas obrigações estão em meses, 
passaremos os vencimentos em meses para quadrimestres, pois se mantivermos os vencimentos em 
meses teremos que mudar a taxa efetiva ao quadrim. para uma taxa efetiva ao mês, mas terá que ser por 
taxa equivalente e não taxa proporcional, uma vez que, taxa proporcional não muda a capitalização. 
 
 1ª: $ 7.900 → Vencimento: 20 meses => 20 ÷ 4 = 5 quad. 
2ª: $ 25.200 → Vencimento: 2 anos => 2 x 3 = 6 quad. 
Somatório das Antigas Obrigações tem que ser igual ao somatório das Novas Obrigações na mesma 
Data de Referência (Data Focal), que pode ser qualquer data, uma vez que o problema é regime de 
capitalização composto. (UA7) 
 
Escolhendo a Data Focal no 3º quadrimestre. 
7.900 x (1,06)(DF − 5) + 25.200 x (1,06)(DF − 6) = X (1,6)(DF − 1) + X (1,06)(DF − 2) + X (1,06)(DF − 3) 
7.900 x (1,06)(3 − 5) + 25.200 x (1,06)(3 − 6) = X (1,06)(3 − 1) + X (1,06)(3 − 2) + X (1,06)(3 − 3) 
Equação de Valor na Data Focal = 3 quad. 
 
28.189,38 = 3,18 X 
28.189,38 ÷ 3,18 = X 
X = $ 8.864,58 
Resposta: $ 8.864,58 
 
 
7.900 x (1,06)− 2 + 25.200 x (1,06)− 3 = X (1,06)2 + X (1,06) + X 
NOTAS: 
1- Valores somente podem ser comparados se estiverem referenciados na mesma 
data. 
 
2- Operações algébricas apenas podem ser executadas com valores referenciados 
na mesma data. 
 
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LEMBRETE: 
Em Regime de Capitalização Composto a Equação de Equivalência de Valores Datados 
não depende da Data Focal (Data de Referência), portanto, pode escolher qualquer data como 
data de referência. 
 
8) P1 n1 = 2 anos i1 = 3% a.t. 
P2 n2 = 8 sem. i2 = 36% a.a. 
Rendimento = Juro J2 = J1 − $ 5.000 J1 + J2 = $ 9.000 
ST = S1 + S2
 
= ? 
Solução: 
O problema é de capitalização simples (Juro Simples), pois, está explícito: sob o regime de 
juros simples. (UA1) 
 
 
J1 = P1 x i1 x n1 
J1 = P1 x 0,03/trim x 2 anos x (4 trim./1 ano) 
 J2 = P2 x i2 x n2 
 
 J2 = P2 x 0,36/ano x 8 sem. x (1 ano/2 sem) 
Sendo que: 
J2 = J1 − 5.000 1ª Equação 
J1 + J2 = 9.000 2ª Equação 
Como é um sistema com duas equações e duas variáveis será resolvido pelo método da substituição 
(Sistemas de Equações com duas Variáveis: Método da Substituição e Método da Adição) – Revisão 
Geral de Matemática, 2018/II, pág. 17 à 21): 
 
Método de Substituição: 
O valor do J2 na 1ª. equação (J1 − 5.000) substitui na 2ª. Equação. 
 
J1 + J1 − 5.000 = 9.000 
2 J1 = 14.000 => J1 = 14.000 ÷ 2 = 7.000 
J2
 
= J1 − 5.000 => J2
 
= 7.000 − 5.000 = 2.000 
Voltando as Equações: 
J1 = P1 x 0,03 x 2 x 4 J2 = P2 x 0,36 x 8 ÷ 2 
7.000 = P1 x 0,03 x 2 x 4 2.000
 
= P2 x 0,36 x 8 ÷ 2 
P1 = 7.000 ÷ (0,03 x 2 x 4) P2 = 2.000 ÷ 0,36 ÷ 8 x 2 
P1 = $ 29.166,67 P2 = $ 1.388,89 
Solução 1: 
J = P x i x n 
S = P + J 
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Como: 
ST = S1 + S2
 
= = P1 + P2 + J1 + J2 = P1 + P2 + JT 
ST = 29.166,67 + 1.388,89 + 9.000 
ST = $ 39.555,56 
Resposta: $ 39.555,56 
Solução 2: 
Como: 
S1 = P1 (1 + i1 x n1) S2 = P2 (1 + i2 x n2) 
S1 = P1 x (1 + 0,03 x 2 x 4) S2 = P2 x (1 + 0,36 x 8 ÷ 2) 
S1 = 29.166,67 x (1 + 0,03 x 2 x 4) S2 = 1.388,89 x (1 + 0,36 x 8 ÷ 2) 
S1 = 36.166,67 S2 = 3.388,89 
ST = 36.166,67 + 3.388,89 
ST = $ 39.555,56 
Resposta: $ 39.555,56 
 
9) P = $ 13.500 Taxa nominal = 3% a.m. prazo = 2,5 anos S = ? 
Solução: 
Trata-se de um problema de regime de capitalização composto (juros compostos) porque 
está explícito na taxa: capitalizado trimestralmente. 
 
A Taxa Efetiva de juros “i” será: 3% x 3 meses => i = 9% a.t. 
 mês 1 trim. 
O Número de Períodos de Capitalizações Trimestrais “n” será: 
 
 
 
 n = 2,5 anos ÷ 1 trim. = 2,5 x 4 trim. ÷ 1 trim. = 10 
Em 2,5 anos teremos dez capitalizações trimestrais. 
Como a incógnita do problema é o Montante (Valor acumulado no final do prazo = Capital + Juros) 
em regime de capitalização composto, então, usaremos a seguinte fórmula: 
 
 
S = 13.500 x (1,09)10 
S = P (1 + i)n 
S = P (1 + i x n) 
n = Prazo ÷ Período de Capitalização2019/II REVISÃO PARA AP1: CONCEITOS E PROBLEMAS (UA1 até UA7) 
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S = $ 31.959,41 
 
 
 
 
 
Solução 2: Trabalhando com capitalização anual – terá que mudar a capitalização trimestral 
para a anual usando taxa equivalente. 
 
Taxas Equivalentes: Duas taxas referentes a períodos distintos de capitalização são equivalentes 
quando no final do mesmos prazo pela aplicação de um mesmo capital inicial produzirem o 
mesmo montante ou o mesmo juro. 
 
 
 
 
 
Escolhendo o prazo igual a um ano: (1 + it)4 = (1 + ia)1 
ia = (1,09)4 − 1 
O Número de Períodos de Capitalizações Anuais “n” será: 
 
 
 
n = 2,5 anos ÷ 1 ano = 2,5 
Como: 
 
S = 13.500 x (1 + ia)2,5 
Substituindo na equação o ia por (1,09)4 − 1 
Obteremos: 
S = 13.500 x [1 + (1,09)4 − 1]2,5 
S = 13.500 x [(1,09)(4 x 2,5) 
S = 13.500 x (1,09)10 = $ 31.959,41 
Resposta: $ 31.959,41 
 
10) N = $ 14.700 i = 36% a.a. Vc = $ 11.200 n = ? (dias) 
Solução: Trata-se de um problema de desconto simples - explícito 
S = P (1 + i)n 
S = P (1 + i)n S1 = S2 
 (1 + i1)n1 = (1 + i2)n2 
Prazo1 = Prazo2 P1 = P2 
 
NOTA: 
Se usar o período de capitalização diferente da trimestral, a conversão da taxa (taxa 
efetiva de juros) terá que ser por taxa equivalente e não taxa proporcional, porque taxa 
proporcional não muda a capitalização. 
 
n = Prazo ÷ Período de Capitalização 
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 Como não está explícito se o desconto simples é racional ou comercial, então, em regime de 
capitalização simples (desconto simples) será sempre o que mais ocorre na prática nas operações 
financeiras que é o desconto simples comercial. (UA3) 
 
Solução 1: 
 11.200 = 14.700 x [1 − (0,36 x n ÷ 360)] 
[1 – (11.200 ÷ 14.700)] x 360 ÷ 0,36 = n 
 n = 238 dias 
Solução 2: 
 14.700 − 11.200 = 14.700 x 0,36 x n ÷ 360 
(14.700 − 11.200) ÷ 14.700 ÷ 0,36 x 360 = n 
n = 238,10 dias ≈ 238 dias 
Resposta: 238 
Nota: Para conversão de unidades de ano para dias é o Ano Comercial que tem 360 dias. 
 
11) Preço à Vista = $ 147.300 Prazo = $ 152.600 
 Entrada = 0,15 x 147.300 = $ 22.095 Saldo = Prestação → n = 1 quad. 
 iefet. = ? (a.m.) 
Solução: 
Problema de capitalização simples no qual pede a taxa efetiva de juros simples. (UA2) 
Relembrando: 
 - Para o pagamento de um determinado produto ou serviço existem duas opções: 
 Pagar à Vista ou Pagar a Prazo. 
Pagamento a Prazo: é o soma das prestações, sendo que a primeira prestação no ato da compra é 
chamada de entrada, portanto, o pagamento a prazo nada mais que a entrada mais o somatório das 
prestações. 
Pagamento a Prazo = Entrada + Prestações. 
Entrada: um pagamento que ocorre no ato da compra. 
Valor Financiado: é o valor sobre o qual será pago os Juros, portanto, quanto maior o valor da entrada 
menor o juro que terá que ser pago. 
 
 Valor Financiado = Preço à Vista – Entrada 
Preço à Vista: é o Preço com Desconto 
 
Vc = N [1 – (i x n)] 
Dc = N x i x n Dc = N – Vc 
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O problema quer saber qual a taxa efetiva e não taxa nominal. 
As taxas efetivas são com os valores efetivos, portanto, com o capital efetivo, com o juro efetivo ou 
com o montante efetivo. 
 
Com: Preço a Prazo = Entrada + Prestação (= Saldo) 
152.600 = 22.095 + Saldo 
Saldo = 152.600 − 22.095 = 130.505 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Valor Financiado = 147.300 − 22.095 = Pefet = $125.205 
 
$ 147.300 
$ 22.095 
$ 130.505 
1 Quad. 0 
 Preço a Prazo se equivale ao Preço à Vista 
 Preço a Prazo = Entrada + Prestações 
 Preço à Vista = Preço com Desconto 
 
NOTAS: 
 Valores somente podem ser comparados se estiverem referenciados na mesma 
data. 
 
Operações algébricas apenas podem ser executadas com valores referenciados 
na mesma data. 
 
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Como: 
 
Jefet = Pefet x iefet x n 
130.505 − 125.205 = 125.205 x iefet x 1 x 4 
(130.505 − 125.205) ÷ 125.205 ÷ 4 = iefet 
i = 0,0106 a.m. = 1,06% a.m. 
Resposta: 1,06% 
 
12) P = $ 13.000 J = $ 18.554,41 n = ? (meses) 
Taxa = 18% a.s. 
Solução: 
  Como não está explícito o regime de capitalização (simples ou composto), então, será sempre 
o que acontece mais na prática que é o regime de capitalização composto. 
 
Taxa = 18% a.s. (é a taxa nominal: taxa declarada). Como não está explícito qual é a 
capitalização, então, é 18% a.s. capitalizado semestralmente (a capitalização é ao semestre porque a 
taxa declarada é ao semestre) => neste problema a taxa nominal é também a taxa efetiva (i) (UA5) 
 
Solução 1: Trabalhando com capitalização semestral e fórmula dos Juros 
 Como o problema é de capitalização composto usaremos a seguinte fórmula: 
 
 
18.554,41 = 13.000 x [(1,18)n − 1] 
Nota: O desenvolvimento não pode ser feito através das teclas financeiras de uma calculadora 
somente por teclas científicas inclusive HP-12C (operações algébricas). (UA6) 
$ 125.205 
$ 130.505 
1 Quadrim. 0 
J = P x i x n 
J = P [(1 + i)n – 1] 
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18.554,41 + 1 = (1,18)n 
 13.000 
 2,4273 = (1,18)n (Se arredondar tem que ser no mínimo duas casas: 2,4273 ≈ 2,43) 
Ln 2,43 = n x Ln 1,18 
n = Ln 2,43 ÷ Ln 1,18 
n = 5,36 (períodos semestrais) 
 
 
 
5,36 = Prazo ÷ Período de Capitalização 
5,36 = Prazo ÷ 1 semestre = Prazo ÷ 6 meses 
Prazo = 5,36 x 6 meses = 32,16 ≈ 32 
Solução 2: Trabalhando com capitalização semestral e fórmula do Montante 
 Como o problema é de capitalização composto usaremos as seguintes fórmulas: 
 
 
13.000 + 18.554,41 = 13.000 x (1,18)n 
31.554,41 ÷ 13.000 = (1,18)n 
2,4273 = (1,18)n (Trabalhar no mínimo com duas casas decimais: 2,4273 ≈ 2,43) 
Ln 2,43 ÷ Ln 1,18 = n 
n = 5,36 
Prazo = 5,36 x 6 = 32,16 ≈ 32 
Solução 3: Trabalhando com capitalização mensal 
Teremos que mudar a capitalização semestral para a capitalização mensal que terá que ser por taxas 
equivalentes, porque o regime é de capitalização composto. 
 
Taxas Equivalentes: 
 
 
 
(1 + is)1 = (1 + im)6 
1,18 = (1 + im)6 
im = (1,18)1/6 − 1 = 0,0280 
S = P + J S = P (1 + i)n 
S1 = S2 S = (P) (1 + i)n P1 = P2 
 
 (1 + i1)n1 = (1 + i2)n2 
Prazo1 = Prazo2 
n = Prazo ÷ Período de Capitalização 
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Usando as seguintes fórmulas: 
13.000 +18.554,41 = 13.000 (1 + im)n 
31.554,41 = (1 + 0,0280)n 
 13.000 
2,43 = (1,0280)n 
Ln 2,43 = n x Ln 1,028 
n = 32,15 períodos mensais ≈ 32 
Prazo = 32 
Resposta: 32 
 
13) N = ? Dc = $ 4.620 i = 18% a.t. = 6% a.m. ief = 16% a.b. = 8% a.m. 
Solução: Trata-se de uma operação de desconto simples comercial de um título de crédito porque 
está explícito que é desconto simples “por fora”, 
 
Solução 1: Solução 2: 
4.620 = N x 0,06 x n 
N = 77.000 ÷ n 4.620 = N x 0,08 x n . 
 1 + (0,08 x n) 
 N = 4.620 x [1 + (0,08 x n)] ÷ (0,08 x n) 
Como não foi dado o valor de n, então, para calcular o valor de N, teremos que calcular o valor de n 
Cálculo do n: 
 
 0,08 = 0,06 . 
 1 – (0,06 x n) 
 0,08 – 0,0048 x n = 0,06 
n = 0,02 ÷ 0,0048 ≈ 4,1667 meses 
Voltando a equação: 
Solução 1: N = 77.000 ÷ n 
N = 77.000 ÷ 4,1667 = 18.479,85 
 
Solução 2: N = 4.620 x [1 + (0,08 x n)] ÷ (0,08 x n) 
 
Dc = N x i x n 
 
ief = i . 
 1 – (i x n) 
Dc = N x ief x n 
 1 + (ief x n) 
S = P + J S = P (1 + i)n 
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N = 18.479,89 
Resposta (Sol. 1): $18.479,85 Resposta (Sol. 2): $18.479,89 
Nota: A diferença entre a resposta da Solução 1 da Solução 2 é devido ao arredondamento no 
valor do tempo de antecipação. 
 
14) N1 = $ 10.300 n1 = 4 meses. 
 N3 = $ 38.400 
 N2 = $ 22.500 n2 = 1 ano = 12 meses n3 = 1,5 ano = 18 meses 
 i = ? 
Solução: 
 O problema é a substituição de dois títulos de crédito por um outro título de crédito no regime 
de capitalização simples, então, usar a equivalência de capitais. (UA4) 
 
LEMBRETE: Aplicação da equivalência de capitais por se tratar de substituição de um ou mais 
títulos de crédito, por outro ou outros, com datas de vencimentos diferentes. 
 
Desconto simples “por fora” => Desconto simples comercial 
 
 
 N1
 
(1 − i n1) + N2
 
(1 − i n2) = N3
 
(1 − i n3) 
10.300 x [1 − (i x 4)] + 22.500 x [1 − (i x 12)] = 38.400 x [1 − (i x 18)] 
Dividindo a equação por 1.000 fica: 
 10,3 x [1 − (i x 4)] + 22,5 x [1 − (i x 12)] = 38,4 x [1 − (i x 18)] 
10,3 − 41,2 i + 22,5 − 270 i = 38,4 − 691,2 i 
10,3 + 22,5 − 38,4 = (− 691,2 + 41,2 + 270) i 
 − 5,6 = − 380 i 
 i = − 5,6 ÷ − 380 
i = 0,0147 = 1,47% a.m. 
Resposta: 0,0147 ou 1,47% a.m. 
 
15) Dep. Inicial = $ 55.200 
 Taxa nominal = 3,5% a.t. → i = 3,5% a.t. 
 1ª. Ret = $ 13.700 (6o. mês = 2º. trim) 
2ª. Ret = $ 24.900 (15º. mês = 5º. trim.) 
 Saldo: 2º. ano = X = ? (2º. ano = 8º. trim.) 
Vc = N [1 – (i x n)] 
 
P1 + P2 = P3 + P4 se V1 + V2 = V3 + V4 
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Solução: 
 Como não está explícito no problema se é capitalização composto ou simples, portanto, é 
composto. 
 
Lembrete: 
1- Valores somente podem ser comparados se estiverem referenciados na mesma data. 
2- Operações algébricas apenas podem ser executadas com valores referenciados na 
mesma data. 
 
 Data Focal = Oitavo Trimestre → UA7 
∑ Dep.(DF = 8) − ∑ Ret.(DF = 8) = Saldo(DF = 8) 
 55.200 x (1,035)(8 − 0) − 13.700 x (1,035)(8 − 2) − 24.900 x (1,035)(8 − 5) = X (1,035)(8 − 8) 
Eq. de Valor na Data Focal = 8 trimestres 
 
 
 X = $28.239,99 
Resposta: $28.239,99 
 
16) P = $ 7.300 
Taxa = ? (a.a. acumulada trimestralmente) 
prazo = 7 trim 
S = $ 12.111,06 
Solução: Taxa é acumulada => Regime de Capitalização Composto 
 
 
Solução 1: Trabalhando com capitalização trimestral. 
 
 
n = 7 trim. ÷ 1 trim. = 7 
12.111,06 = 7.300 x (1 + i)7 
Nota: O desenvolvimento não pode ser feito através das teclas financeiras de uma HP-12, tem 
que ser por álgebra, e todos operações efetuadas tem que ser evidenciadas. (UA6) 
 
12.111,06 ÷ 7.300 = (1 + i)7 (Arredondamento: no mínimo duas casas decimais) 
 (1,66)1/7 − 1 = i 
i = 0,0751 a.t. = 7,51% a.t. = 7,51% a.t. acumulada trimestralmente 
55.200 x (1,035)8 − 13.700 x (1,035)6 − 24.900 x (1,035)3 = X 
 
S = P (1 + i)n 
n = Prazo ÷ Período de Capitalização 
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Mas o problema quer a Taxa ao ano acumulada trimestralmente, portanto, teremos que fazer taxa 
proporcional, uma vez que não muda a capitalização. 
 
Taxa = 7,51% x 4 trim. = 0.3004 a.a. acum. trimestralm. = 30,04% a.a. acum. trimestral. 
 trim. 1 ano 
Resposta: 0,3004 ou 30,04% 
 
Solução 2: Trabalhando com capitalização anual. 
 
 
n = 7 trim. ÷ 1 ano = 7 trim. ÷ 4 trim. = 7/4 
12.111,06 = 7.300 x (1 + i)7/4 
(12.111,06 ÷ 7.300) 4/7 − 1 = i 
i = 0,3355 = 33,55% (a.a. acumulada anualmente) 
Mas o problema quer a taxa a.a. acumulada trimestralmente, então, em 1º lugar, temos que mudar a 
capitalização da taxa de anual para trimestral e terá que ser que se por taxas equivalentes. 
 
Taxas Equivalentes: Duas taxas referentes a períodos distintos de capitalização são equivalentes 
quando no final do mesmos prazo pela aplicação de um mesmo capital inicial produzirem o 
mesmo montante ou o mesmo juro. 
 
Taxas Equivalentes: 
 
 
 
(1 + ia)1 = (1 + it)4 
 1,3355 = (1 + it)4 
 it = (1,3355)1/4 − 1 
it = 0,0750 = 7,50% (a.t. acumulada trimestralmente) 
Em 2º. lugar achar a taxa proporcional para passar de a.t. acum. trim. para a.a. acum. trim. 
Taxa = 7,50% x 4 trim. = 0.30 a.a. acum. trimestralm. = 30% a.a. acum. trimestral. 
 trim. 1 ano 
Resposta: 0,30 ou 30% 
Nota: A diferença é devido ao arredondamento no valor da taxa (a.a. acumulada anualmente) 
 
17) P1 = $ 25.000 i1 = 18% a.s. n1 = 2 anos. 
 P2 = 80% do J1 i2 = 2% a.m. n2 = 1 ano. Sfundo = ? 
n = Prazo ÷ Período de Capitalização 
S1 = S2 S = (P) (1 + i)n P1 = P2 
 
 (1 + i1)n1 = (1 + i2)n2 
Prazo1 = Prazo2 
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Solução: 
Trata-se de um problema de juros simples, uma vez que, o regime é de capitalização simples 
segundo o enunciado. (UA1) 
 
 
 
J1 = 25.000 x 0,18 x 2 x 2 = 18.000 
 P2
 
= 80% x J1 = 0,80 x 18.000 = 14.400 
 
 
Sfundo = 14.400 x [ 1 + ( 0,02 x 1 x 12)] 
Sfundo= $ 17.856 
Resposta: $ 17.856 
 
18) P i1 = 3% a.m. n1 = 2,5 anos. 
 V = $ 26.800 i2 = 7% a.b. n2 = 10 meses. J = ? 
Revisão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
S = P + J 
S = P [1 + (i x n)] 
P 
V N = S 
0 Data Vencim. Data Atual 
P → S  Fator = 1 + (i1 x n1) 
S → P  Fator = 1 . 
 1 + (i1 x n1) 
 
i1: Taxa de Juros Simples do Empréstimo 
N → V  Fator = . 1 . 
 1 + (i2 x n2) 
V → N  Fator = 1 + (i2 x n2) 
n2: Prazo antecipação da dívida 
n1: Prazo do Empréstimo 
i2: Taxa de Juros Simples (Operação de 
 Desconto) 
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Valor Nominal: corresponde o valor recebido por um compromisso na data de vencimento, isto é, o 
valor que assume esse compromisso em sua data de vencimento e será representado pela letra “N”. O 
Valor Nominal é igual ao Montante (S). 
 
Valor Atual ou Valor Descontado: corresponde ao valor que um compromisso tem em uma data 
anterior a data de seu vencimento e será representado e será representado pela letra “V”. 
 
Valor Futuro de um Compromisso Financeiro: é o valor em qualquer data posterior a que está sendo 
considerada no momento. 
 
Solução: 
1) Traçar o Diagrama de Tempo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Calcular o Valor Nominal a partir do Valor Atual. 
 Desconto foi à Taxa de Juros: “i2” 
 
 
N = S = V [1 + (i2 x n2)] 
N = 26.800 x [1 + (0,07 x 10 ÷ 2)] = $ 36.180 
3) Calcular o Principal a partir do Valor Nominal: 
 Desconto foi à Taxa de Juros: “i2” 
 
→ N = S = P [1 + (i1 x n1)] 
P 
V = $ 26.800 
 S = N 
0 Data Venc. Data Atual 
i2 = 7% a.b, 
n1 = 2,5 anos 
i1 = 3% a.m. 
n2 = 10 meses 
J = ? 
Taxa de Juros 
S = P [1 + (i x n)] 
S = P [1 + (i x n)] 
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 36.180 = P x [1 + (0,03 x 2,5 x 12)] 
P = $ 19.042,11 
4) Calcular os Juros pago: 
J = Valor Atual (V: Valor pago) – Valor Empréstimo 
J = 26.800 − 19.042,11 
J = $ 7.757,89 
Resposta: $ 7.578,95 
 
19) P = $ 17.000 prazo = 4 anos J = ? 
Solução 1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
S = 17.000 x (1,03)(2 x 3) x (1,025)(2 x 12) 
S = 17.000 x (1,03)6 x (1,025)24 
S = $ 36.715,13 
 
 
J = 36.715,13 − 17.000 
J = $ 19.715,13 
Solução 2: 
 
J = 17.000 x [(1,03)6 x (1,025)24 − 1] 
J = $ 19.715,13 
Resposta: $ 19.715,13 
$ 17.000 
2 anos 2 anos 
 
i = 3% a.q. i = 2,5% a.m. S 
0 
n = 2 x 3 = 6 quad. n = 2 x 12 = 24 meses 
S = P + J 
J = P [(1 + i)n – 1] 
S = P (1 + i)n 
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20) N = $ 24.700 Vr = $ 19.800 i = 9% a.t. n = ? (meses) 
Desconto Simples Real → Desconto Simples Racional (UA3) 
Solução 1: 
 
24.700 = 19.800 x [1 + (0,09 ÷ 3 x n] 
(24.700 ÷ 19.800 – 1) ÷ 0,09 x 3 = n 
N ≈ 8,25 meses 
 
Solução 2: 
 
24.700 – 19.800 = 19.800 x 0,09 ÷ 3 x n 
(24.700 – 19.800) ÷ (19.800 x 0,09) x 3 = n 
n ≈ 8,25 meses 
Resposta: ≈ 8,25 meses 
 
21) PT = P1 + P2 = $ 18.000 
P1 = P2 = 18.000 ÷ 2 = $ 9.000 
Prazo1 = 13 bim. n1 = 13 x 2 = 26 i1 = 18% ÷ 6 = 3% a.m. 
P2 = $ 9.000 i2 = 10% a.q. 
Prazo2 = 2 anos n2 = 2 x 3 = 6 
Rendimento Total = Juro Total = J1 + J2 = JT = ? 
Solução: Regime de Juros Compostos 
 
 
JT = 9.000 x [(1,03)26 − 1] + 9.000 x [(1,10)6 − 1] 
JT = $ 17.353,37 
Resposta: $ 17.353,37 
 
 
22) Dc = $ 4.500 n = 2,5 bim. ief = 63% a.s. N = ? 
Solução: 
Dc = Vc x ief x n 
4.500 = Vc x 0,63 x 2,5 ÷ 3 
Vc = 4.500 x 3 ÷ 0,63 ÷ 2,5 
Vc = $ 8.571,43 
N = Vr [1 + (i x n)] 
Dr = Vr x i x n Dr = N – Vr 
J = P [(1 + i)n – 1] 
Dr = Vr x i x n 
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 4.500 = N − 8.571,43 
 N = $ 13.071,43 
Resposta: $ 13.071,43 
 
23) 4 depósitos bimestrais de $ 2.400 i = 2,5% x 2 = 5% a.t. Saldo = ? 
Solução: Data Focal = Quatro bim. 
∑ Dep.(DF = 4) − ∑ Ret.(DF = 4) = Saldo(DF = 4) 
∑ Dep.(DF = 4) = 2.400 x (1,05)3 + 2.400 x (1,05)2 + 2.400 x (1,05) + 2.400 
∑ Ret.(DF = 4) = 0 
Saldo(DF = 4) = X 
Equação de Valor na Data Focal = 4 bim. 
 
 X = $ 10.344,30 
Resposta: $ 10.344,30 
 
24) Preço = X Preço à Vista = X – 0,15 X = 0,85 X 
Preço a prazo = 30% acréscimo (JS) n = 1 trim. 
Preço a prazo = X + 0,30 X = 1,30 X ief = ? (a.s.) 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Jefet. = P efet. x i efet. x n 
1,30 X – 0,85 X = 0,85 X x i x 1 ÷ 2 
(1,30 X – 0,85 X) ÷ 0,85 X x 2 = i 
i = 0, 10588 = 105,88% 
J = P x i x n 
 Preço a Prazo se equivale ao Preço à Vista 
 Preço a Prazo = Entrada + Prestações 
 Preço à Vista = Preço com Desconto 
 
D = N − V 
2.400 x (1,05)3 + 2.400 x (1,05)2 + 2.400 x (1,05) + 2.400 = X 
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Resposta: 105,88% 
 
25) P = $ 17.400 S = $ 73.200 i = 4,5% x 4 = 18% a.a. 
Prazo = ? (trim) 
Solução: 
 (UA6) 
73.200 = 17.400 x (1,18)n 
73.200 ÷ 17.400 = (1,18)n 
4,21 = (1,18)n 
Ln 4,21 = n x Ln 1,18 
n = Ln 4,21 ÷ Ln 1,18 = 8,7 (períodos de capitalizações anuais) 
Prazo = 8,7 x 4 = 34,8 trim. 
Resposta: ≈ 35 
 
26) N = $ 9.000 n = 150 dias Juros = Desconto = $ 1.125 
i = ? (a.m.) 
Desconto Comercial (regime de capitalização simples quando não está explícito se o 
desconto é racional ou comercial será sempre o comercial). (UA3) 
 
Solução: 
 
 1.125 = 9.000 x i x 150 ÷ 30 
1.125 ÷ 9.000 ÷ 150 x 30 = i 
i = 0,025 = 2,5% 
Resposta: 0,025 ou 2,5% 
 
27) N1
 
= $ 10.500 n1
 
= 1 trim. = 0,5 sem. 
N2 = $ 25.700 n2
 
= 1 ano = 2 sem. 
N3
 
= ? = 1,3 N4 n3
 
= 10 meses. = (10 ÷ 6) sem. 
N4
 
 n4
 
= 1,5 ano = 3 sem. 
i = 42% a.s 
Solução: 
 Desconto a Taxa de Juros Simples => Desconto Racional Simples 
 P1
 
+ P2 = P3 + P4 se V1 + V2 = V3
 
+ V4 (UA4) 
Vr = N ÷ [(1 + (i x n)] N = Vr [1 + (i x n)] 
S = P (1 + i)n 
Dc = N x i x n Dr = Vr x i n 
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