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Aula 6 Análise de Circuitos elétricos

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ANÁLISE DE CIRCUITOS 
ELÉTRICOS 
AULA 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Priscila Ertmann Bolzan 
 
 
CONVERSA INICIAL 
Hoje começaremos os estudos sobre potência de circuitos em corrente 
alternada. 
Nesta aula, estudaremos potências ativa, reativa e aparente, além de 
potência complexa, triângulo de potências, fator de potência e correção do fator 
de potência. Veremos também uma introdução a sistemas polifásicos e 
transformadores, que são equipamentos muito utilizados na conversão de 
valores de tensão para aumentar ou diminuir um valor de tensão alternada. 
Com isso, encerramos a disciplina de Análise de Circuitos Elétricos, mas 
todos os conhecimentos e ferramentas adquiridos aqui serão muito utilizados em 
diversas outras disciplinas do curso. Por isso, é importante que o aluno 
compreenda muito bem esta disciplina. 
TEMA 1 – POTÊNCIA COMPLEXA 
Em circuitos com tensão contínua, a equação para o cálculo de potência 
é dada como mostrado em (1): 
 
𝑃 = 𝑉 ∙ 𝐼 (1) 
Quando o circuito apresenta tensão alternada, a equação de potência 
instantânea é apresentada como vemos em (2): 
 
𝑝(𝑡) = 𝑣(𝑡) ∙ 𝑖(𝑡) (2) 
sendo 𝑣(𝑡) a tensão instantânea e 𝑖(𝑡), a corrente instantânea. Ambas as 
variáveis são descritas em (3): 
 
𝑣(𝑡) = 𝑉𝑝 ∙ cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣) 
𝑖(𝑡) = 𝐼𝑝 ∙ cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖) 
(3) 
sendo 𝑉𝑝 a tensão de pico (máxima) e 𝐼𝑝, a corrente de pico. 𝜃𝑣 e 𝜃𝑖 são os 
ângulos de defasagem de tensão e de corrente, respectivamente. 
Substituindo (3) em (2), obtemos (4): 
 
𝑝(𝑡) = 𝑉𝑝 ∙ cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑣) ∙ 𝐼𝑝 ∙ cos(𝜔𝑡 + 𝜃𝑖) (4) 
Ao calcularmos a potência média, obtemos a equação demonstrada em 
(5): 
 
 
3 
 
𝑃 = 𝑉𝑅𝑀𝑆 ∙ 𝐼𝑅𝑀𝑆∙ 𝑐𝑜𝑠(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖) (5) 
sendo 𝑉𝑅𝑀𝑆 a tensão eficaz e 𝐼𝑅𝑀𝑆, a corrente eficaz. 
Há três tipos de potência: 
1. potência ativa; 
2. potência reativa; 
3. potência aparente. 
Explicaremos cada uma delas na sequência. 
A potência ativa é aquela que é considerada útil no circuito, é a que 
realmente se transforma em trabalho. Ela é representada pela letra 𝑃 e é medida 
em Watts (W). 
A potência reativa é aquela decorrente das reatâncias do circuito 
(representadas por indutores e capacitores). Essa potência oscila entre 
capacitores e indutores em seu processo de carga e descarga. Ela não realiza 
trabalho útil e é constantemente armazenada e devolvida à fonte. A potência 
reativa é representada pela letra 𝑄 e é medida em Volt-Ampere-reativo (VAr). 
A potência aparente é a potência total fornecida ao sistema pela fonte, e 
considera tanto a potência ativa quanto a reativa. A potência aparente é 
representada pela letra 𝑆 e é medida em Volt-Ampere (VA). 
Podemos fazer uma analogia entre as três potências e um copo de chope. 
A parte do chope seria a potência ativa, pois é a parte que realmente será 
consumida/utilizada; a espuma seria a potência reativa, pois faz parte do chope, 
mas não é a parte desejada do todo; e a potência aparente seria o copo como 
um todo, com o chope e a espuma. Como será analisado a seguir, a potência 
aparente não é a soma direta das potências ativa e a reativa, mas para efeitos 
de comparação, a analogia é eficiente. 
A potência ativa de um circuito em corrente alternada pode ser calculada 
conforme demonstrado em (6): 
 
𝑃 = 𝑉𝑅𝑀𝑆 ∙ 𝐼𝑅𝑀𝑆 ∙ cos⁡(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖) (6) 
No caso de cargas apenas resistivas, em que não há defasagem entre a 
tensão e a corrente, a equação para a potência ativa é determinada por (7): 
 
𝑃 = 𝑉𝑅𝑀𝑆 ∙ 𝐼𝑅𝑀𝑆 (7) 
A potência reativa de um circuito é calculada como mostrado em (8): 
 
 
4 
 
𝑄 = 𝑉𝑅𝑀𝑆 ∙ 𝐼𝑅𝑀𝑆 ∙ 𝑠𝑒𝑛⁡(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖) (8) 
A potência reativa pode ser indutiva ou capacitiva, dependendo do circuito 
em questão. Em caso de potência reativa indutiva ela é positiva, e em caso de 
potência reativa capacitiva ela é negativa. 
A potência aparente é calculada como mostrado em (9): 
 
𝑆 = 𝑉𝑅𝑀𝑆 ∙ 𝐼𝑅𝑀𝑆 (9) 
Ou seja, para o cálculo de potência aparente não é levada em conta a 
defasagem entre tensão e corrente, mas apenas o valor eficaz dessas duas 
variáveis. 
1.1 Fator de potência 
A fim de medir quanto de um sistema é potência ativa em relação à 
potência aparente, temos que obter o fator de potência (FP). O cálculo do fator 
de potência é dado por (10): 
 
𝐹𝑃 =
𝑃
𝑆
= cos⁡(𝜃𝑣 − 𝜃𝑖) (10) 
O fator de potência é um número que pode variar de 0 a 1, adimensional, 
sendo que, quanto mais próximo a 1, melhor é o sistema, ou seja, mais da 
potência gerada pela fonte é transformada em trabalho útil. No caso de sistemas 
puramente resistivos, o fator de potência será 1, e no caso de sistemas 
puramente indutivos ou capacitivos, o fator de potência será 0. 
1.2 Potência complexa 
A fim de demonstrar todas as potências de um circuito em uma única 
equação, podemos descrever a potência aparente como uma potência 
complexa, como mostrado em (11): 
 
𝑆 = 𝑃 + 𝑗𝑄 (11) 
em que a potência ativa (𝑃) é a parte real de 𝑆 e a potência reativa (𝑄) é a parte 
complexa de 𝑆. 
 
 
 
5 
1.3 Triângulo de potências 
O triângulo de potências é um gráfico que apresenta as potências ativa 
(𝑃), reativa (𝑄) e aparente (𝑆). Um exemplo da representação do triângulo de 
potências pode ser visto na Figura 1. 
Figura 1 – Triângulo de potências 
 
Fonte: Alexander; Sadiku, 2013. 
A potência reativa pode ser capacitiva (FP adiantado) ou indutiva (FP 
atrasado). De acordo com o tipo de potência reativa, a representação no eixo 𝑦 
é diferente. Na Figura 2, podemos ver a representação desses dois tipos de 
potência reativa no triângulo de potências. 
Figura 2 – Triângulo de potências considerando FP atrasado e adiantado 
 
Fonte: Alexander; Sadiku, 2013. 
 
 
 
6 
Com base no triângulo, chegamos à Equação (12), utilizando Pitágoras: 
 
𝑆2 = 𝑃2 + 𝑄2 (12) 
Assim, sabendo os valores de duas das potências, é possível calcular a 
terceira apenas evidenciando a potência desejada com base em Pitágoras, como 
mostrado em (13): 
 
𝑃 = √𝑆2 − 𝑄2 
𝑄 = √𝑆2 − 𝑃2 
(13) 
Por exemplo: considerando um sistema em que a potência ativa é de 240 
W e a potência aparente é de 300 VA, desejamos calcular a potência reativa, o 
fator de potência e o ângulo de defasagem entre tensão e corrente do circuito. 
Para calcular a potência reativa basta utilizar o Teorema de Pitágoras, 
como já demonstrado em (13). Assim, o cálculo é dado por (14). 
 
𝑄 = √𝑆2 − 𝑃2 
𝑄 = √3002 − 2402 
𝑄 = 180⁡𝑉𝐴𝑟 
(14) 
O fator de potência é dado por (10) e pode ser calculado como mostrado 
em (15): 
 
𝐹𝑃 =
𝑃
𝑆
=
240
300
= 0,8 (15) 
E, para calcular o ângulo de defasagem, podemos fazer como mostrado 
em (16): 
 
𝐹𝑃 = cos(𝜃) = 0,8 
𝜃 = acos(0,8) = 36,9° 
(16) 
Com base nesses valores é possível criar o triângulo de potências, como 
demonstra a Figura 3. 
Figura 3 – Exemplo de triângulo de potências 
 
 
7 
 
Fonte: Ilustração da autora. 
1.4 Somatório de cargas 
Quando desejamos fazer um somatório de diversas cargas – uma 
diferente da outra em relação às potências e ao fator de potência –, devemos 
somar a potência ativa de todas as cargas e somar a potência reativa de todas 
elas. Temos que estar atentos ao sentido da potência reativa, uma vez que a 
potência reativa indutiva é positiva e a potência reativa capacitiva é negativa, ou 
seja, se uma carga tiver potência reativa indutiva igual ao valor da potência 
reativa capacitiva de outra carga, elas se anularão e o circuito terá uma resposta 
apenas resistiva. Após somar todas as potências ativas e todas as potências 
reativas, a potência aparente pode ser calculada com base em (12), como 
mostrado anteriormente. 
Por exemplo: um caso de somatório de cargas é mostrado na Figura 4, 
em que cada uma das cargas possui seus valores como apresentado. 
Figura 4 – Cargas em paralelo 
 
Fonte: Ilustração da autora. 
O triângulo de potências das três cargas é apresentadona Figura 5. 
Figura 5 – Triângulo de potências de cada uma das cargas 
𝑷𝟑 = 𝟔𝟎⁡𝑾 
𝑸𝟑 = −𝟖𝟎⁡𝑽𝑨𝒓 
𝑺𝟑 = 𝟏𝟎𝟎⁡𝑽𝑨 
𝑭𝑷𝟑 = 𝟎, 𝟔 
𝑸 = 𝟏𝟖𝟎⁡𝑽𝑨𝒓 
𝑷 = 𝟐𝟒𝟎⁡𝑾 
𝑷𝟏 = 𝟏𝟎𝟎⁡𝑾 
𝑸𝟏 = 𝟎⁡𝑽𝑨𝒓 
𝑺𝟏 = 𝟏𝟎𝟎⁡𝑽𝑨 
𝑭𝑷𝟏 = 𝟏 
𝑪
𝒂
𝒓
𝒈
𝒂
⁡𝟏
 
𝑪
𝒂
𝒓
𝒈
𝒂
⁡𝟐
 
𝑪
𝒂
𝒓
𝒈
𝒂
⁡𝟑
 
𝑷𝟐 = 𝟒𝟎𝟎⁡𝑾 
𝑸𝟐 = 𝟑𝟎𝟎⁡𝑽𝑨𝒓 
𝑺𝟐 = 𝟓𝟎𝟎⁡𝑽𝑨 
𝑭𝑷𝟐 = 𝟎, 𝟖 
 
 
8 
 
Fonte: Ilustração da autora. 
Para fazer o somatório de cargas, primeiramente podemos somar as 
potências ativas, conforme calculado em (17): 
 
𝑃𝑇 = 𝑃1 + 𝑃2 + 𝑃3 
𝑃𝑇 = 100 + 400 + 60 = 560⁡𝑊 
(17) 
Na sequência, somamos as potências reativas, observando que as 
potências reativas capacitivas devem ser subtraídas, como mostrado em (18): 
 
𝑄𝑇 = 𝑄1 + 𝑄2 + 𝑄3 
𝑄𝑇 = 0 + 300 − 80 = 220⁡𝑉𝐴𝑟 
(18) 
Para calcular o valor da potência aparente, utilizamos as duas primeiras 
já calculadas e fazemos como mostrado em (19): 
 
𝑆𝑇
2 ⁡= 𝑃𝑇
2 + 𝑄𝑇
2 
𝑆𝑇 = √𝑃𝑇
2 + 𝑄𝑇
2 
𝑆𝑇 = √5602 + 2202 = 601,7⁡𝑉𝐴 
(19) 
É bom observarmos que a potência aparente não é uma soma das 
potências aparentes de cada uma das cargas, pois dessa maneira ela seria 700 
VA, o que não está correto. 
O fator de potência total é definido por (20): 
 
𝐹𝑃 =
𝑃𝑇
𝑆𝑇
=
560
601,7
= 0,93 (20) 
𝑷𝟏 = 𝟏𝟎𝟎⁡𝑾 
𝑺𝟏 = 𝟏𝟎𝟎⁡𝑽𝑨 
𝑷𝟐 = 𝟒𝟎𝟎⁡𝑾 
𝑷𝟑 = 𝟔𝟎⁡𝑾 
𝑸
𝟐
=
𝟑
𝟎
𝟎
⁡𝑽
𝑨
𝒓
 
𝑸
𝟑
=
𝟖
𝟎
⁡𝑽
𝑨
𝒓
 
 
 
9 
Para calcular o ângulo de defasagem entre tensão e corrente, podemos 
utilizar a equação do fator de potência aplicando o arco cosseno, como mostrado 
em (21): 
 
𝐹𝑃 = 0,93 = cos⁡(𝜃) 
acos(0,93) = ⁡𝜃 
𝜃 = 21,56° 
(21) 
Dessa maneira, podemos desenhar o circuito e o triângulo de potências 
resultante, como apresenta a Figura 6. 
Figura 6 – Carga resultante e triângulo de potências resultante 
 
Fonte: Ilustração da autora. 
TEMA 2 – CORREÇÃO DO FATOR DE POTÊNCIA 
Muitas vezes, o fator de potência do circuito está abaixo do desejado, o 
que causa problemas para a rede elétrica. Por isso é necessário corrigir o fator 
de potência. Para fazer essa correção não é necessário modificar a potência 
ativa; tem de haver apenas um decréscimo da potência reativa, fazendo com que 
a potência aparente diminua e o fator de potência aumente. 
As empresas pagam multa para a concessionária de energia caso 
apresentem fator de potência abaixo do estipulado. Por isso é importante manter 
um bom fator de potência. Muito da potência consumida em empresas se deve 
ao uso de motores, que apresentam um comportamento indutivo, uma potência 
reativa indutiva; assim, a fim de melhorar o fator de potência, são utilizados 
banco de capacitores para diminuir a potência reativa total do sistema da 
empresa. 
𝑸
𝟐
=
𝟐
𝟐
𝟎
⁡𝑽
𝑨
𝒓
 
𝑷 = 𝟓𝟔𝟎⁡𝑾 
𝑸 = 𝟐𝟐𝟎⁡𝑽𝑨𝒓 
𝑺 = 𝟔𝟎𝟏, 𝟕⁡𝑽𝑨 
𝑭𝑷 = 𝟎, 𝟗𝟑 
𝑷𝟐 = 𝟓𝟔𝟎⁡𝑾 
 
 
10 
Os principais elementos que levam a um baixo fator de potência são 
motores e transformadores que “operam a vazio”, com pouca carga ou 
sobredimensionados. 
Um circuito com e sem a correção do fator de potência é apresentado na 
Figura 7. O triângulo de potência do circuito com e sem a correção do fator de 
potências é apresentado na Figura 8, em que os valores 𝑃, 𝑄1 e 𝑆1 representam 
o triângulo de potências do circuito inicial e 𝑃, 𝑄2 e 𝑆2 representam o circuito 
após a correção do fator de potência. 𝑄𝐶 representa a quantidade de potência 
reativa capacitiva que foi adicionada para diminuir a potência reativa total. 
Figura 7 – (a) Circuito sem a correção do fator de potência (carga original); (b) 
Circuito com a correção de potência (carga mais o capacitor para corrigir o fator 
de potência) 
 
(a) (b) 
Fonte: Alexander; Sadiku, 2013. 
Figura 8 – Triângulo de potências de uma carga antes e depois da correção do 
fator de potências 
 
Fonte: Alexander; Sadiku, 2013. 
 
 
11 
Assim, para saber o valor de potência reativa capacitiva a ser adicionado, 
basta calcularmos a diferença, como mostrado em (22): 
 
𝑄𝐶 = 𝑄1 − 𝑄2 (22) 
Para calcular o que essa potência reativa capacitiva implica em termos de 
valores de capacitância, basta utilizarmos (23): 
 
𝑄𝐶 =
𝑉𝑅𝑀𝑆
2
𝑋𝐶
 
𝐶 =
𝑄𝐶
𝜔 ∙ 𝑉𝑅𝑀𝑆
2 
(23) 
Assim, podemos corrigir o fator de potência e atingir o valor desejado a 
fim de melhorar o sistema como um todo. 
Por exemplo: consideremos um circuito conectado a uma rede elétrica de 
120 V, com frequência de 60 Hz e potência ativa de 4 kW com fator de potência 
atrasado de 0,8. Devemos calcular o banco de capacitores a ser adicionado ao 
circuito para que o fator de potência aumente para 0,95. 
Primeiramente, para calcular o valor da potência aparente, podemos 
utilizar a Equação (15), como mostrado em (24): 
 
𝑆1 =
𝑃1
𝐹𝑃1
=
4000
0,8
= 5000⁡𝑉𝐴 (24) 
Para calcular a potência reativa, podemos usar a Equação (13) como 
vemos em (25): 
 
𝑄1 = √50002 − 40002 = 3000⁡𝑉𝐴𝑟 (25) 
Dessa maneira, obtemos as potências ativa, reativa e aparente do 
sistema. Agora, devemos calcular as potências para o novo sistema, com fator 
de potência de 0,95. Primeiramente é importante lembrar que a potência ativa 
do sistema não é modificada, ou seja, 𝑃2 = 𝑃1 = 4000⁡𝑊. Para calcular a 
potência aparente, usamos a Equação (26): 
 
𝑆2 =
𝑃2
𝐹𝑃2
=
4000
0,95
= 4210,5⁡𝑉𝐴 (26) 
Para calcular a potência reativa, usamos a Equação (27): 
 
𝑄2 = √4210,52 − 40002 = 1314,6⁡𝑉𝐴𝑟 (27) 
 
 
12 
Com o resultado, podemos calcular a diferença de potência reativa entre 
o primeiro e o segundo caso, como em vemos em (28): 
 
𝑄𝐶 = 𝑄1 − 𝑄2 
𝑄𝐶 = 3000 − 1314,6 
𝑄𝐶 = 1685,3⁡𝑉𝐴𝑟 
(28) 
Por fim, para saber o valor do capacitor a ser adicionado, basta utilizarmos 
a Equação (23), como mostrado em (29): 
 
𝐶 =
𝑄𝐶
𝜔 ∙ 𝑉𝑅𝑀𝑆
2 =
1685,3
2 ∙ 𝜋 ∙ 60 ∙ 1202
= 310,5⁡𝜇𝐹 (29) 
TEMA 3 – SISTEMAS POLIFÁSICOS 
Até agora, estudamos apenas circuitos monofásicos, ou seja, com uma 
fase. Além desses circuitos, existem cargas que precisam de mais do que uma 
fase, como os motores elétricos. O tipo mais comum de sistema polifásico são 
os trifásicos, porém, também existem sistemas com 2 fases, 6 fases etc. 
Em um circuito trifásico, as três fases apresentam a mesma amplitude, 
porém são defasadas entre si em 120°. Assim, podemos escrever cada uma 
delas como mostrado em (30): 
 
𝑉𝑎𝑛 = 𝑉𝑚∢0° 
𝑉𝑏𝑛 = 𝑉𝑚∢ − 120° 
𝑉𝑐𝑛 = 𝑉𝑚∢ − 240° ou 𝑉𝑐𝑛 = 𝑉𝑚∢120° 
(30) 
em que 𝑉𝑚 é o valor máximo da forma de onda senoidal e cada uma das tensões 
está referenciada ao neutro do circuito. Um gráfico com as três formas de onda 
juntas pode ser visto na figura 9. 
 
 
 
13 
Figura 9 – Formas de onda de um sistema trifásico 
 
Fonte: Alexander; Sadiku, 2013. 
Diagramas fasoriais das três formas de onda podem ser vistos na Figura 
10(a) para a sequência de fase 𝑎𝑏𝑐, ou sequência positiva, e na Figura 10(b) 
para a sequência 𝑎𝑐𝑏, ou sequência negativa. 
Figura 10 – Diagramas fasoriais de um sistema trifásico com sequência de fases: 
(a) 𝑎𝑏𝑐 e (b) 𝑎𝑐𝑏 
 
(a) (b) 
Fonte: Alexander; Sadiku, 2013. 
Assim, caso seja utilizada a sequência negativa, o valor das tensões não 
será como mostrado em (30), e, sim, como em (31). 
 
 
 
14 
 
 
𝑉𝑎𝑛 = 𝑉𝑚∢0° 
𝑉𝑏𝑛 = 𝑉𝑚∢120° 
𝑉𝑐𝑛 = 𝑉𝑚∢240° ou 𝑉𝑐𝑛 = 𝑉𝑚∢ − 120° 
(31) 
Sistemas trifásicos podem ser conectados de duas maneiras: em uma 
ligação estrela, como mostra a Figura 11(a), ou em uma ligação triângulo, como 
mostra a Figura 11(b). 
Figura 11 – Conexão de sistemas trifásicos em (a) estrela e (b) triângulo 
(a) 
(b) 
Fonte: Alexander; Sadiku, 2013. 
Quanto às conexões entre as fontes e as cargas, elas podem se dar de 
quatro maneiras: 
1. estrela-estrela; 
2. estrela-triângulo; 
3. triângulo-triângulo; 
4. triângulo-estrela. 
Para todos os casos, consideraremos que as cargas são equilibradas,ou 
seja, são todas iguais. Veremos um pouco mais sobre cada uma dessas 
conexões na sequência. 
 
 
15 
3.1 Conexão estrela-estrela 
Um exemplo de fontes conectadas em estrela e cargas também em 
estrela pode ser visto na Figura 12. 
Como podemos perceber, cada carga está diretamente conectada a uma 
fonte, de forma que a tensão 𝑉𝑎𝑛, que é a tensão entre a fase e o neutro, é 
diretamente aplicada na impedância. 
Cada uma das tensões é definida como vemos em (32), e são chamadas 
de tensão de fase, que é aquela que cada fonte apresenta em relação ao neutro. 
 
𝑉𝑎𝑛 = 𝑉𝑚∢0° 
𝑉𝑏𝑛 = 𝑉𝑚∢ − 120° 
𝑉𝑐𝑛 = 𝑉𝑚∢120° 
(32) 
Figura 12 – Conexão estrela-estrela 
 
Fonte: Alexander; Sadiku, 2013. 
É chamada de tensão de linha aquela que ocorre entre uma fase e outra, 
por exemplo, a tensão entre a primeira e a segunda fases. No caso, as três 
tensões de linha para esse circuito são apresentadas em (33): 
 
𝑉𝑎𝑏 = √3 ∙ 𝑉𝑚∢30° 
𝑉𝑏𝑐 = √3 ∙ 𝑉𝑚∢ − 90° 
𝑉𝑐𝑎 = √3 ∙ 𝑉𝑚∢150° 
(33) 
 
 
16 
Assim, de modo geral, desconsiderando o ângulo, podemos considerar 
que a tensão de linha (𝑉𝐿) e a tensão de fase (𝑉𝐹) se relacionam como mostrado 
em (34): 
 
𝑉𝐿 = √3 ∙ 𝑉𝐹 (34) 
A relação entre as tensões pode ser analisada graficamente na Figura 13, 
que é a razão para a tensão de linha ter um valor de √3 vezes superior à tensão 
de fase. 
Figura 13 – Diagrama fasorial com tensões de linha e tensões de fase 
 
Fonte: Alexander; Sadiku, 2013. 
Em relação às correntes, podemos ver que a corrente que circula na fonte 
é a mesma que passa pela carga, de forma que a corrente de linha é a mesma 
corrente de fase para essa conexão. 
3.2 Conexão estrela-triângulo 
Na figura 14, vemos a conexão das fontes em estrela e das cargas em 
triângulo. 
 
 
 
17 
Figura 14 – Conexão estrela-triângulo 
 
Fonte: Alexander; Sadiku, 2013. 
Para esse caso, a tensão aplicada em cada carga é diferente da tensão 
aplicada nas cargas do circuito anterior. Enquanto a tensão aplicada em cada 
carga anteriormente é a tensão de fase, para a conexão estrela-triângulo a 
tensão aplicada a cada carga é a tensão de linha. 
Devido ao fato de a tensão ser maior, a corrente que circula em cada 
carga para este circuito é a corrente de linha, que é dada por (35): 
 
𝐼𝐿 = √3 ∙ 𝐼𝐹∢ − 30° (35) 
3.3 Conexão triângulo-triângulo 
Na Figura 15, vemos uma conexão triângulo-triângulo, ou seja, tanto as 
fontes quanto as cargas estão ligadas em triângulo. 
Figura 15 – Conexão triângulo-triângulo 
 
Fonte: Alexander; Sadiku, 2013. 
 
 
18 
Para essa conexão, a tensão da fonte será a mesma em cada uma das 
cargas, e a corrente será como previamente mostrado em (32). Para esse caso, 
as tensões de linha e de fase são iguais, uma vez que a tensão de cada fonte é 
a própria tensão entre cada uma das fases. 
Para o valor das correntes, assim como no caso da Equação (35), cada 
corrente de linha (representada na figura como 𝐼𝑎) estará defasada em −30° em 
relação à corrente de fase (representada na figura como 𝐼𝐴𝐵) e será √3 vezes 
superior ao mostrado em (36): 
 
𝐼𝐿 = √3 ∙ 𝐼𝐹 (36) 
3.4 Circuito triângulo-estrela 
Na Figura 16, vemos a conexão das fontes em triângulo e a das cargas, 
em estrela. 
Figura 16 – Conexão triângulo-estrela 
 
Fonte: Alexander; Sadiku, 2013. 
Para esse circuito, as tensões de linha e de fase são similares, porém, a 
tensão em cada uma das cargas é determinada pela Equação (37). 
 
𝑉𝑍 =
𝑉𝐹
√3
∢ − 30° (37) 
Ou seja, o valor de tensão aplicado em cada uma das cargas é inferior ao 
valor de tensão de cada uma das fontes. 
Quanto ao valor das correntes, vemos que as correntes de linha são as 
mesmas correntes que circulam na carga. 
 
 
19 
TEMA 4 – TRANSFORMADOR IDEAL 
Os transformadores são equipamentos muito importantes, tanto no 
sistema elétrico de potência quanto nos circuitos eletrônicos. O principal uso de 
transformadores é feito para elevar ou rebaixar o nível de tensão alternada entre 
a sua entrada e a sua saída. Transformadores que aumentam a tensão da 
entrada para a saída são chamados de elevadores de tensão, já os 
transformadores que diminuem o nível de tensão da entrada para a saída são 
chamados de abaixadores de tensão. 
O símbolo de um transformador ideal é apresentado na Figura 17. 
Figura 17 – Transformador ideal: (a) ligações físicas; (b) símbolo do 
transformador 
 
(a) (b) 
Fonte: Alexander; Sadiku, 2013. 
O lado do transformador em que a fonte de alimentação está conectada é 
conhecido como primário, e o lado em que a carga está conectada, secundário. 
Os transformadores podem ser encontrados com características de 
elevadores ou de rebaixadores de tensão, mas também é possível encontrar 
transformadores que não modificam o valor de tensão entre primário e 
secundário. Esses transformadores são utilizados com o intuito de isolar 
eletricamente o primário e o secundário do transformador, protegendo o circuito. 
Assim como todos os outros elementos, os transformadores apresentam 
perdas, mas estas serão desconsideradas na análise dos cálculos a seguir, ou 
seja, analisaremos as equações considerando um transformador ideal. 
Na Figura 18, vemos um circuito com uma fonte de tensão alternada 
aplicada no lado primário do transformador e uma carga conectada no lado 
secundário do transformador. 
 
 
20 
Figura 18 – Circuito com um transformador ideal 
 
Fonte: Alexander; Sadiku, 2013. 
Inicialmente, podemos calcular a tensão do lado primário do 
transformador com base no fluxo magnético 𝜑 que o atravessa quando a tensão 
alternada é aplicada, como mostrado em (38): 
 
𝑣𝑝 = 𝑁𝑝 ∙
𝑑𝜑
𝑑𝑡
 (38) 
em que 𝑁𝑝 é o número de espiras do primário. 
Da mesma maneira, podemos calcular a tensão do secundário (𝑣𝑠) 
conforme demonstrado em (39): 
 
𝑣𝑠 = 𝑁𝑠 ∙
𝑑𝜑
𝑑𝑡
 (39) 
sendo 𝑁𝑠 representante do número de espiras do secundário. Dividindo a 
Equação (39) pela (38), obtemos a Equação (40), que representa a relação de 
espiras ou a relação de transformação do transformador. 
 𝑣𝑠
𝑣𝑝
=
𝑁𝑠
𝑁𝑝
= 𝑛 (40) 
Com base nessa equação, podemos concluir que quanto maior for o 
número de espiras de um dos lados, maior será o valor da tensão desse mesmo 
lado. Por exemplo, se for necessário dobrar o valor da tensão do secundário em 
relação ao valor de tensão do primário, devemos ter o dobro de espiras no 
secundário em relação ao primário. 
Considerando que o transformador é ideal, é importante salientarmos que 
a potência do primário deverá ser a mesma no secundário, utilizando o princípio 
da conservação de energia, como mostrado em (41): 
 
 
21 
 
𝑃𝑝 = 𝑃𝑠 (41) 
Considerando a equação de potência, chegamos à Equação (42): 
 
𝑣𝑝 ∙ 𝑖𝑝 = 𝑣𝑠 ∙ 𝑖𝑠 (42) 
Com base na equação (42) chegamos à Equação (43), que relaciona a 
relação das tensões e correntes do primário e do secundário. 
 𝐼𝑝
𝐼𝑠
=
𝑉𝑠
𝑉𝑝
= 𝑛 (43) 
Podemos concluir que enquanto a tensão aumenta conforme o número de 
espiras aumenta, sendo diretamente proporcionais, a corrente faz o caminho 
contrário, sendo reversamente proporcional ao número de espiras, a fim de 
manter a potência entre os dois lados. 
É muito importante percebermos que um transformador só funciona em 
corrente alternada. Isso se dá devido à Lei de Faraday, que diz que sempre que 
houver variação de fluxo magnético em um circuito, surgirá nele uma força 
eletromotriz induzida, ou seja, sem a variação do fluxo magnético (causado pela 
variação da tensão, isto é, tensão alternada). De outro modo, o secundário não 
apresentará tensão e, portanto, o transformador não funcionará adequadamente. 
Por exemplo: seja um transformador ligado à uma fonte de tensão 
alternada de 220 V no primário, com 5000 espiras no primário, 500 espiras no 
secundário e potência de 100 W. Desejamos saber qual é a tensão no 
secundário e quais são as correntes do primário e dosecundário. 
Para calcular a tensão do secundário, basta utilizarmos a Equação (40), 
como demonstrado em (44): 
 𝑣𝑠
𝑣𝑝
=
𝑁𝑠
𝑁𝑝
 
𝑣𝑠
220
=
500
5000
 
𝑣𝑠 = 22⁡𝑉 
(44) 
Sabendo os valores de tensão, podemos calcular as correntes conforme 
mostrado em (45): 
 
𝑃𝑝 = 𝑉𝑝 ∙ 𝐼𝑝 (45) 
 
 
22 
𝐼𝑝 =
𝑃𝑝
𝑉𝑝
=
100
220
= 0,4545⁡𝐴 
𝐼𝑠 =
𝑃𝑠
𝑉𝑠
=
100
22
= 4,5454⁡𝐴 
Assim, com base em equações simples, conhecemos todas as variáveis 
relativas ao transformador. 
TEMA 5 – INDUTÂNCIA MÚTUA 
Quando uma parte do circuito afeta outra parte do circuito por meio de seu 
campo magnético, podemos dizer que eles estão magneticamente acoplados, 
como é o caso das bobinas de um transformador. 
Sempre que duas bobinas estão próximas, de forma que o campo 
magnético de uma interfere no da outra (gerando tensão), nos referimos à 
interação de ambas como indutância mútua, ou seja, aquela em que a 
capacidade de um indutor ou bobina induz tensão em um outro indutor que esteja 
próximo. 
Um transformador funciona com base no fenômeno de indutância mútua, 
conforme podemos observar na Figura 19. 
Figura 19 – Indutância mútua em um transformador 
 
Fonte: Boylestad, 2012. 
Para calcular a tensão no primário (𝑣𝑝), usamos a lei de Faraday e 
chegamos a (46): 
 
𝑣𝑝 = 𝑁𝑝 ∙
𝑑𝜑𝑝
𝑑𝑡
 (46) 
 
 
23 
Dessa equação, e com base na equação de indutância, temos (47): 
 
𝑣𝑝 = 𝐿𝑝 ∙
𝑑𝑖𝑝
𝑑𝑡
 (47) 
em que 𝐿𝑝 representa a autoindutância do primário. Para o cálculo da tensão no 
secundário, usamos (48). 
 
𝑣𝑠 = 𝑁𝑠 ∙
𝑑𝜑𝑚
𝑑𝑡
 (48) 
em que 𝜑𝑚 é o fluxo magnético do primário que atravessa o secundário (como 
representado graficamente na Figura 19). 
A relação entre o fluxo magnético do primário (𝜑𝑝) e a parte deste fluxo 
que chega até o secundário (𝜑𝑚) é chamada de coeficiente de acoplamento, e é 
dada pela Equação (49): 
 
𝑘 =
𝜑𝑚
𝜑𝑝
 (49) 
A seguir, mostramos três tipos de enrolamentos. Podemos perceber que, 
conforme os enrolamentos são feitos, há influência no coeficiente de 
acoplamento do transformador. As diferenças são dadas tanto pela distância 
entre os enrolamentos quanto pelo material em que eles estão enrolados. 
Na Figura 20, vemos um transformador com núcleo de aço. Devido ao 
material do núcleo ser ferromagnético, quase todo o campo magnético circula 
através do material (coeficiente de acoplamento próximo a 1), possibilitando que 
a segunda bobina seja fortemente afetada pelo campo magnético produzido pela 
primeira bobina. 
Figura 20 – Enrolamento com núcleo de aço 
 
Fonte: Boylestad, 2012. 
 
 
24 
Para enrolamentos sobrepostos, como o que vemos na Figura 21, o 
acoplamento é próximo a 1, uma vez que aproximadamente todo o campo 
magnético produzido pela primeira bobina atravessará a segunda bobina. 
Figura 21 – Enrolamentos sobrepostos: núcleo de um material qualquer 
 
Fonte: Boylestad, 2012. 
Conforme vemos na Figura 22, se os enrolamentos estiverem distantes e 
o material em que eles estiverem não for ferromagnético, então o coeficiente de 
acoplamento será inferior ao dos casos anteriores, ou seja, apena uma parcela 
de fluxo magnético produzido pelo enrolamento primário chegará até o 
enrolamento secundário. 
Figura 22 – Enrolamentos separados: núcleo de ar 
 
Fonte: Boylestad, 2012. 
Com base na equação do coeficiente de acoplamento, a tensão do 
secundário pode ser reescrita como mostrado em (50): 
 
 
25 
 
𝑣𝑠 = 𝑘 ∙ 𝑁𝑠 ∙
𝑑𝜑𝑝
𝑑𝑡
 (50) 
Para calcular a indutância mútua (𝑀) dos enrolamentos, podemos usar 
qualquer uma das duas equações mostradas em (51): 
 
𝑀 = 𝑁𝑠 ∙
𝑑𝜑𝑚
𝑑𝑖𝑝
 
𝑀 = 𝑁𝑝 ∙
𝑑𝜑𝑝
𝑑𝑖𝑠
 
(51) 
Ou, ainda, se reescrevermos a equação com base nas indutâncias, a 
indutância mútua pode ser descrita por (52): 
 
𝑀 = 𝑘 ∙ √𝐿𝑝 ∙ 𝐿𝑠 (52) 
Outra característica de transformadores diz respeito à maneira que os 
enrolamentos foram enrolados. Pela convenção do ponto, temos que se a 
corrente entrar pelo ponto no primário, então ela sairá pelo ponto no secundário. 
A Figura 23 explica como se dá o sentido da corrente (e, portanto, a 
polaridade da tensão) de acordo com a localização do ponto na imagem do 
transformador. 
Figura 23 – Convenção do ponto para transformadores 
 
Fonte: Boylestad, 2012. 
Assim terminam nossos estudos referentes a transformadores e 
indutância mútua. 
FINALIZANDO 
Nesta aula, estudamos tópicos importantes, que são normalmente 
utilizados na análise de circuitos de maior potência. O estudo dos temas desta 
 
 
26 
aula possibilita ao aluno projetar circuitos elétricos ou melhorar aqueles já 
existentes. 
Por meio do correto dimensionamento de um circuito, podemos criar 
equipamentos ou sistemas que visem o melhor aproveitamento de energia sem 
que haja demasiado desperdício. Por meio da análise das potências é possível 
desenvolver ou otimizar circuitos que apresentem um elevado fator de potência, 
por exemplo. 
Depois de estudar os temas de hoje desta disciplina, o aluno será capaz 
de calcular, projetar e analisar circuitos eletrônicos em corrente contínua e 
corrente alternada, podendo usar essas ferramentas em diversas disciplinas 
mais avançadas. 
 
 
 
27 
REFERÊNCIAS 
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M, N. O. Fundamentos de circuitos elétricos. 
5. ed. Porto Alegre: AMGH, 2013. 
BOYLESTAD, R. L. Introdução à análise de circuitos. 12. ed. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2012. 
NILSSON. J. W.; Riedel, S. A. Circuitos elétricos. 10. ed. São Paulo: Pearson 
Education do Brasil, 2015.

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