Lista de exercícios de Cálculo Diferencial e Integral I

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6a Lista de Exercícios de Cálculo Diferencial e Integral I
1. Derive y en função de x nas seguintes equações implícitas:
(a) x2(x− y)2 = x2 − y2
(b) arctan
(y
x
)
= ln
(√
x2 + y2
)
2. Encontre a segunda derivada de y em função de x nas seguintes equações implícitas:
(a) x2 − y2 = 2
(b) y3 − x2 = 4
3. Derive as seguintes funções:
(a) y = xsen x
(b) y = 3
√
x2
1− x
4. Considere a curva dada pela equação y3 + 3y2 = x4 − 3x2.
(a) determine a equação da reta tangente no ponto (−2, 1).
(b) Calcule as abcissas dos pontos sobre a curva com retas horizontais.
5. Dada a curva 2(x2 + y2)2 = 25(x2 − y2).
(a) Obtenha y′
(b) Determine a equação da reta tangente à curva no ponto (3, 1)
6. Obtenha as equações da reta tangente e normal à curva definida implicitamente por
(xy2 + 9)2 = (y + 2)4/3 no ponto (0, 25).
7. Verifique que as retas tangentes à elipse x2−xy+ y2 = 3 nos pontos (1,−1) e (−1, 1)
são paralelas.
8. Derive as seguintes funções: y =
x
√
x2 + 1
(x+ 1)2/3
, y = xx+1, y =
2u2u√
u2 + 1
, y = (1 +
x2)arctanx