Aulas 5 a 12 - Cartas de Controle para Variáveis

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Engenharia da Qualidade II
Aulas 5 a 12
Cartas de Controle para Variáveis
Introdução ao Controle Estatístico do Processo
Prevenção versus Detecção
Detecção (tolera a perda)
Estratégia orientada para fatos passados
Identifica e separa resultados inaceitáveis
somente monitora 
Prevenção (evita a perda)
Estratégia orientada para o futuro
Melhora a qualidade e a produtividade
Monitora, analisa e direciona ações para a correção
Melhoria contínua
Prevenção versus Detecção
		Detecção de defeitos	Prevenção de defeitos
	Objetivo	Foco no produto	Foco no processo
	Ação	Rejeitar / retrabalhar	Melhorar o processo
	Responsáveis	Operadores e/ou inspetores	Responsáveis pelo processo
	Atitude	Culpa	Ajuda / participação
	Custo 	Alto 	Baixo 
Controle do Processo
Modelo do sistema de controle do processo com feedback
Realizar algo / Combinação de recursos
Clientes
Identificação das necessidades de mudanças e expectativas
Pessoal
Equipamento
Materiais
Métodos
Medição
Meio ambiente
Produtos 
ou 
Serviços
Métodos Estatísticos
Entradas
Processo
Resultados
Voz do Processo
Voz do Cliente
Variabilidade dos Processos
Variabilidade dos Processos
Variação das distribuições de probabilidade
Variabilidade dos Processos
Variabilidade do processo
Diferenças existentes entre as unidades produzidas
Intervalo de tempo entre as medições
Exemplo
O diâmetro de um eixo usinado seria suscetível à variação potencial 
da máquina (folga, desgaste do rolamento)
da ferramenta (esforço, taxa de desgaste)
do material (diâmetro, dureza)
do operador (precisão em centralizar, alimentação da peça)
da manutenção (lubrificação, reposição de peças gastas)
do meio ambiente (temperatura, constância do fornecimento elétrico)
do sistema de medição
Variabilidade dos Processos
Variabilidade natural do processo 
Resultado de muitas variações pequenas de diferentes fontes consistentes 
Causas comuns
Padrão aleatório estável e repetitivo ao longo do tempo
Variabilidade dos Processos
Variabilidade casual do processo
Resultado de variações intermitentes e imprevisíveis
Causas especiais
Padrões não aleatórios
Causas Comuns e Especiais de Variação
		Comuns	Especiais
	Definição	Referem-se a muitas fontes de variação que agem de forma consistente no processo	Referem-se a quaisquer fatores causadores de variação que afetam apenas parte do resultado do processo
	Características	Produzem uma distribuição estável e repetitiva ao longo do tempo;
Processo “sob controle estatístico”;
Podem ser controladas;
Reduzir ao máximo;
Respondem por ~ 85% dos problemas;
Ações gerenciais.	São intermitentes e imprevisíveis;
Caracterizadas por padrões não aleatórios;
Podem sinalizar mudanças negativas ou positivas;
Devem ser eliminadas ou incorporadas ao processo;
Respondem por ~ 15% dos problemas;
Ações executadas por pessoas operacionais.
	Exemplos	Vibrações, temperatura, umidade, falhas na sistemática do processo, dentre outras	Variações na matéria-prima, erros de operação, imprecisão no ajuste da máquina, desgaste de ferramentas, dentre outras
Controle e Capabilidade do Processo
Fora de controle
(Presença de causas especiais)
Sob controle
(Causas especiais eliminadas)
TEMPO
Controle e Capabilidade do Processo
LIE
LSE
Sob controle mas não capaz de atender as especificações
(excessiva variação devido a causas comuns)
Sob controle e capaz de atender as especificações
(A variação devido a causas comuns foi reduzida)
TEMPO
Controle e Capabilidade do Processo
Objetivo do sistema de controle do processo
Fazer previsões sobre o estado atual e futuro do processo
Balanceamento entre os riscos de
tomar uma ação quando esta não é necessária (supercontrole)
deixar de tomar uma ação, quando a mesma é necessária (subcontrole)
Controle e Capabilidade do Processo
Os processos devem ser monitorados para verificar a presença de causas especiais, que alteram sua dispersão e/ou sua média
Base para a melhoria contínua
avaliar a capabilidade somente para processos sob controle
Controle e Capabilidade do Processo
Processo sob controle estatístico
Deve fornecer sinal estatístico que indique causas especiais
Evitar sinais falsos quando causas especiais não estão presentes
Contínuo aprendizado
Primeira ação: centralizar o processo
Segunda ação: reduzir a variação proveniente de causas comuns
Capabilidade e Desempenho do Processo
Variações inerentes ao processo
Variações do processo referentes apenas às causas comuns
Variação total do processo
Variações devidas às causas comuns e especiais
Capabilidade do processo
Faixa de variação inerente ao processo, estatisticamente estável
Desempenho do processo
Faixa de variação total do processo
Cartas de Controle para Variáveis
Cartas de Controle
Cartas de Controle
Coleta de dados
Reunir dados e marcá-los em uma carta
Conectar os pontos da amostra no gráfico de controle com segmentos de reta
facilitar visualização de como a sequência de pontos tem evoluído ao longo do tempo
Controle
Calcular os limites preliminares de controle a partir dos dados do processo
Os limites de controle são usados para julgar se ações são necessárias
Identificar causas especiais de variação e agir sobre elas
Análise e Melhoria
Quantificar as causas comuns de variação e tomar ações para reduzi-las
As 3 fases são repetidas para a melhoria contínua do processo
Cartas de Controle
Deming identifica 2 erros cometidos no controle do processo
Erro 1: atribuir uma variação ou um erro a uma causa especial quando a causa pertence ao sistema (causa comum)
Ex: excesso de ajuste ou supercontrole
Erro 2: atribuir uma variação ou um erro ao sistema (causa comum) quando a causa era especial
Ex: nunca tentar encontrar uma causa especial (usar histograma para essa finalidade)
Para identificar a presença de causas especiais, os dados estatísticos da amostra são comparados aos limites de controle do processo
Cartas de Controle
Gráficos de controle usam distribuições amostrais para determinar alterações no processo, portanto, podem ocorrer dois tipos de erros:
Erro tipo I: quando se conclui que o processo está fora de controle com base em uma amostra fora dos limites de controle, quando isso se deve a simples aleatoriedade
Erro tipo II: quando se conclui que o processo está sob controle com base em uma amostra dentro dos limites de controle, quando ocorreu uma alteração no processo 
Cartas de Controle
Esses erros podem ser controlados pela escolha dos limites de controle
Depende dos custos de busca por causas especiais quando não existem versus o custo de não detectar uma mudança no processo
Por exemplo, 3 desvios padrão da média diminui o erro tipo I, por outro lado, diminui a capacidade da carta de identificar pequenas alterações no processo
Regra geral: usar limites mais amplos quando o custo de detectar causas especiais é grande em relação ao custo de não se detectar uma alteração na distribuição do processo
Cartas de Controle
Determinação dos limites de controle
Considere um processo com distribuição normal
Pelo TLC
Distribuição das médias
Distribuição individual
Tomar n amostras
Calcular a média e o desvio padrão
LSC
LIC
Cartas de Controle
Pelo TLC
A média da amostra é uma estimativa da média do processo
Intervalo da distribuição das médias = (1/ ) intervalo do processo
Uma escolha comum é  = 3
O uso dos limites 3-sigma implica que α = 0,0027
a probabilidade de itens fora dos limites de controle é 0,0027
Essa teoria geral de gráficos de controle foi primeiramente proposta por Dr. Walter A. Shewhart
Gráficos de Controle de Shewhart
Cartas de Controle
Cartas de Controle
Atividade 1 
Na fabricação de anéis de pistão de motores automotivos, o diâmetro interno dos anéis é uma característica crítica da qualidade. O diâmetro médio interno do anel no processo é 74 milímetros e sabe-se que o desvio padrão do diâmetro do anel é 0,01 milímetro. Foram retiradas amostras de tamanho 5 para a construção da carta de controle das médias.
Cartas de Controle
Cartas de Controle
Benefícios das cartas de controle
Servir aos operadores para o controlecontínuo de um processo
Ajudar o processo a ter desempenho consistente e previsível
Permitir que o processo alcance
Melhor qualidade
Menor custo por unidade
Maior capacidade efetiva
Fornecer uma linguagem comum para a discussão do desempenho do processo
Distinguir causas especiais de variação das comuns, como um guia para ações locais ou sobre o sistema
Cartas de Controle
Tipos de gráficos de controle
Gráfico de controle para variáveis
Característica da qualidade medida é uma variável aleatória contínua
Exemplos de gráficos de controle: média, mediana, amplitude, desvio padrão
Exemplos de variáveis aleatórias contínuas: diâmetro de um eixo, volume de líquido em uma garrafa de refrigerante, teor de carbono em uma liga metálica, diâmetro de esferas de rolamento
Cartas de Controle
Gráfico de controle para atributos
Característica da qualidade medida é uma variável binária ou variável de contagem
Exemplos de gráficos de controle
Proporções
número de defeituosos
número de defeitos por unidade
Exemplos de variáveis aleatórias contáveis
embalagens danificadas
peças fora da especificação
Cartas de Controle
Exemplos de revisão
Indique se cada uma das seguintes características da qualidade é uma variável aleatória contínua, binária ou de contagem
O número de falhas em uma janela de vidro
O tempo gasto para realizar uma inspeção final de um produto acabado
Se a resistência à ruptura de um parafuso atende a uma especificação
Verdadeiro ou falso
Os gráficos de controle são usados para determinar se causas especiais estão operando
Se nenhuma causa especial está operando, então a maior parte da produção atenderá às especificações
A variabilidade devido a causas comuns não aumenta nem diminui muito em curtos períodos de tempo
A variabilidade dentro dos itens amostrados em um subgrupo racional é devido a causas especiais
Cartas de Controle
Modelo para um gráfico de controle
Considere que a estatística θ de uma amostra mede algum parâmetro importante do processo analisado
A média e o desvio padrão de θ são: 
Considerando a teoria geral de gráficos de controle proposta por Shewhart
 
K representa a distância dos limites de controle à linha central em número de desvios padrão
Normalmente K = 3
Cartas de Controle
Construção de gráficos de controle 
coletar dados amostrais ao longo de um período de tempo
Shewhart usou o conceito de subgrupo racional, que deve
incluir toda a variabilidade do processo devida às causas comuns
excluir a variabilidade devida às causas especiais
Cartas de Controle
Importância dos subgrupos racionais
dificilmente ocorrerá causa especial na formação do subgrupo
os limites de controle representarão fronteiras para toda a variabilidade casual
causas especiais tenderão a gerar pontos que estejam fora dos limites de controle
Tamanho do subgrupo racional
para variáveis: de 3 a 8 amostras e no mínimo 20 subgrupos
para atributos: as amostras devem ser maiores (50 ou mais)
amostras maiores tornarão mais fácil detectar pequenas mudanças no processo
Cartas de Controle para Variáveis
Cartas de controle para variáveis aleatórias contínuas
dispersão 
monitoram a variabilidade dentro da amostra
localização
monitoram a variabilidade entre as amostras
	R	S	
	 
	 
	 
Cartas de Controle para Variáveis - R
Para cada subgrupo de tamanho n, coletado de uma polução , tem-se:
Cartas de Controle para Variáveis - R
Sob suposição de normalidade
“amplitude relativa”: 
Cartas de Controle para Variáveis - R
Carta de controle 
Limites de controle
Onde  é tabelado em função de n 
Cartas de Controle para Variáveis - R
Carta de controle R
Estimadores de µR e σR 
Limites de controle para carta R:
Onde D3 e D4 são tabelados em função de n
	Observações na Amostra, n	Gráfico para Médias			Fatores para LC	Gráfico para Desvios-padrão				Fatores para LC	Gráfico para Amplitudes				
		Fatores para Limites de Controle				Fatores para Limites de Controle					Fatores para Limites de Controle				
		A	A2	A3	C4	B3	B4	B5	B6	d2	d3	D1	D2	D3	D4
	  2	2,121	1,880	2,659	0,7979	0,000	3,267	0,000	2,606	1,128	0,853	0,000	3,686	0,000	3,267
	  3	1,732	1,023	1,954	0,8862	0,000	2,568	0,000	2,276	1,693	0,888	0,000	4,358	0,000	2,574
	  4	1,500	0,729	1,628	0,9213	0,000	2,266	0,000	2,088	2,059	0,880	0,000	4,698	0,000	2,282
	  5	1,342	0,577	1,427	0,9400	0,000	2,089	0,000	1,964	2,326	0,864	0,000	4,918	0,000	2,114
	  6	1,225	0,483	1,287	0,9515	0,030	1,970	0,029	1,874	2,534	0,848	0,000	5,078	0,000	2,004
	  7	1,134	0,419	1,182	0,9594	0,118	1,882	0,113	1,806	2,704	0,833	0,204	5,204	0,076	1,924
	  8	1,061	0,373	1,099	0,9650	0,185	1,815	0,179	1,751	2,847	0,820	0,388	5,306	0,136	1,864
	  9	1,000	0,337	1,032	0,9693	0,239	1,761	0,232	1,707	2,970	0,808	0,547	5,393	0,184	1,816
	10	0,949	0,308	0,975	0,9727	0,284	1,716	0,276	1,669	3,078	0,797	0,687	5,469	0,223	1,777
	11	0,905	0,285	0,927	0,9754	0,321	1,679	0,313	1,637	3,173	0,787	0,811	5,535	0,256	1,744
	12	0,866	0,266	0,886	0,9776	0,354	1,646	0,346	1,610	3,258	0,778	0,922	5,594	0,283	1,717
	13	0,832	0,249	0,850	0,9794	0,382	1,618	0,374	1,585	3,336	0,770	1,025	5,647	0,307	1,693
	14	0,802	0,235	0,817	0,9810	0,406	1,594	0,399	1,563	3,407	0,763	1,118	5,696	0,328	1,672
	15	0,775	0,223	0,789	0,9823	0,428	1,572	0,421	1,544	3,472	0,756	1,203	5,741	0,347	1,653
	16	0,750	0,212	0,763	0,9835	0,448	1,552	0,440	1,526	3,532	0,750	1,282	5,782	0,363	1,637
	17	0,728	0,203	0,739	0,9845	0,466	1,534	0,458	1,511	3,588	0,744	1,356	5,820	0,378	1,622
	18	0,707	0,194	0,718	0,9854	0,482	1,518	0,475	1,496	3,640	0,739	1,424	5,856	0,391	1,608
	19	0,688	0,187	0,698	0,9862	0,497	1,503	0,490	1,483	3,689	0,734	1,487	5,891	0,403	1,597
	20	0,671	0,180	0,680	0,9869	0,510	1,490	0,504	1,470	3,735	0,729	1,549	5,921	0,415	1,585
	21	0,655	0,173	0,663	0,9876	0,523	1,477	0,516	1,459	3,778	0,724	1,605	5,951	0,425	1,575
	22	0,640	0,167	0,647	0,9882	0,534	1,466	0,528	1,448	3,819	0,720	1,659	5,979	0,434	1,566
	23	0,626	0,162	0,633	0,9887	0,545	1,455	0,539	1,438	3,858	0,716	1,710	6,006	0,443	1,557
	24	0,612	0,157	0,619	0,9892	0,555	1,445	0,549	1,429	3,895	0,712	1,759	6,031	0,451	1,548
	25	0,600	0,153	0,606	0,9896	0,565	1,435	0,559	1,420	3,931	0,708	1,806	6,056	0,459	1,541
Cartas de Controle para Variáveis - R
Exercício
O plano de controle de qualidade para uma determinada produção envolve a obtenção de amostras de tamanho 4. Os resultados das últimas 30 amostras podem ser resumidos como a seguir:
				
Calcule os controles de limite 3σ para o gráfico R.
Usando as amplitudes, calcule os controles de limite 3σ para o gráfico .
Cartas de Controle para Variáveis - S
Eficiência da amplitude (R) como um estimador de σ 
decresce com o aumento do tamanho da amostra (n) 
Para n ≥ 10, utilizar S para estimar σ
S2 é um estimador não viciado de σ2: E(S2) = σ2
S é um estimador tendencioso de σ: E(S) ≠ σ
Onde 
Cartas de Controle para Variáveis - S
Se Xi é uma variável aleatória independente com X ~ N(µ,σ2)
Cartas de Controle para Variáveis - S
Carta de controle 
 
Limites de controle
Onde  é tabelado em função de n
Cartas de Controle para Variáveis - S
Carta de controle S
Estimadores de µS e σS 
Limites de controle para carta S:
Onde B3 e B4 são tabelados em função de n
Cartas de Controle para Variáveis - S
Exercício
O plano de controle de qualidade para uma determinada produção envolve a obtenção de amostras de tamanho 4. Os resultados das últimas 30 amostras podem ser resumidos como a seguir:
				
Calcule os controles de limite 3σ para o gráfico S.
Usando os desvios padrões amostrais, calcule os controles de limite 3σ para o gráfico .
Atividade em pares
A espessura, em mm, de discos de metal é medida em amostras de tamanho 5. A tabela a seguir apresenta as médias, amplitudes e desvios padrões para 20 amostras consecutivas
	As médias são 
Calcule os limites de controle 3σ para o gráfico R. A variância está sob controle? Em caso negativo, remova as amostras que estão fora de controle e recalcule 
Com base na amplitude da amostra (R), calcule os limites 3σ para o gráfico . Com base nos limites3σ, a média do processo está sob controle? Em caso negativo, quando ela é detectada pela primeira vez fora de controle?
	Amostra		R	s
	1	2,49	0,12	0,07
	2	2,45	0,17	0,06
	3	2,51	0,13	0,06
	4	2,53	0,25	0,09
	5	2,49	0,11	0,06
	6	2,44	0,11	0,06
	7	2,44	0,12	0,05
	8	2,42	0,18	0,06
	9	2,42	0,08	0,05
	10	2,47	0,06	0,02
	11	2,54	0,19	0,07
	12	2,45	0,09	0,04
	13	2,54	0,21	0,07
	14	2,55	0,10	0,05
	15	2,50	0,25	0,08
	16	2,53	0,11	0,04
	17	2,58	0,16	0,07
	18	2,59	0,09	0,03
	19	2,60	0,12	0,05
	20	2,56	0,14	0,06
Cartas de Controle para Variáveis
Componentes para o projeto dos gráficos de controle
Tamanho da amostra de cada subgrupo racional
Frequência da amostragem
Amplitude dos limites de controle
Cartas de Controle para Variáveis
Considerações econômicas e práticas
Se o custo de se produzir itens não conformes for grande, maior frequência de amostras menores é uma estratégia apropriada
Eficácia das cartas de controle está associada
Probabilidade de detecção de uma condição fora de controle 
Número de subgrupos coletados para detecção de uma condição fora de controle
Cartas de Controle para Variáveis - R
Escolha do tamanho da amostra para carta de controle 
Considere que um processo está sob controle para 
α – probabilidade do ponto cair fora dos limites de controle quando o processo está sob controle 
α – Erro Tipo I
Cartas de Controle para Variáveis - R
Considere que uma mudança na média ocorreu: 
Qual a probabilidade de não se detectar a mudança na primeira amostra após a mudança?
É a probabilidade de que um valor se mantenha nos limites de controle após a mudança
β – Erro Tipo II
Qual a probabilidade de se detectar a mudança na primeira amostra após a mudança? 
Cartas de Controle para Variáveis - R
Considerando uma amostra de tamanho 4 e uma mudança na média de σ, qual a probabilidade de se detectar a mudança na primeira amostra após a mudança na média?
Considerando uma amostra de tamanho 4 e uma mudança na média de 2σ, qual a probabilidade de se detectar a mudança na primeira amostra após a mudança na média?
Cartas de Controle para Variáveis - R
Escolha do tamanho da amostra para carta de controle 
β
Cartas de Controle para Variáveis - R
Escolha do tamanho da amostra para carta de controle R
O gráfico R é usado para controlar a variabilidade medida pelo desvio padrão do processo
Considere uma mudança no desvio padrão de 
Cartas de Controle para Variáveis - R
Exercício 
Considerando uma amostra de tamanho 10 e uma mudança na média de σ, qual a probabilidade de se detectar a mudança na primeira amostra após a mudança na média?
Cartas de Controle para Variáveis - R
Nº de subgrupos coletados para detecção de mudança nos parâmetros do processo
Uma detecção rápida é importante, mesmo que a probabilidade de detecção da mudança na primeira amostra não seja alta
Considere 
amostras independentes
β = probabilidade de não detecção de uma mudança na primeira amostra após a mudança
Cartas de Controle para Variáveis - R
A probabilidade de detecção da mudança na y-ésima amostra após a mudança é
Valor esperado (média) do número de amostras necessárias para detecção [E(Y)=1/p]
Cartas de Controle para Variáveis - R
Considerando uma amostra de tamanho 4 e uma mudança na média de σ, quando se usa um gráfico de controle de 3σ, qual o número esperado de amostras necessário, após a mudança para a detecção de um estado fora de controle?
Assim, em média, sete subgrupos são necessários antes da detecção de uma mudança de ±σ.
Cartas de Controle para Variáveis - R
Exercício 
Considerando uma amostra de tamanho 10 e uma mudança na média de σ, quando se usa um gráfico de controle de 3σ, qual o número esperado de amostras necessário, após a mudança para a detecção de um estado fora de controle?
Cartas de Controle para Variáveis - R
Generalizando,
1 – β  probabilidade de se detectar a mudança (poder da carta de controle) na primeira amostra após a mudança
Diminui com o aumento de k (amplitude dos limites de controle)
Aumenta com o aumento de r (tamanho da mudança)
Aumenta com o aumento de n (tamanho do subgrupo)
Cartas de Controle
Evidências de não aleatoriedade
Pontos fora dos limites de controle
Sequência de 7 pontos consecutivos
em um dos lados da linha central do gráfico
não crescentes ou não decrescentes
Mais de 90% ou menos de 40% dos pontos no terço central da carta
Atividade em pares
A espessura, em mm, de discos de metal é medida em amostras de tamanho 5. A tabela a seguir apresenta as médias, amplitudes e desvios padrões para 20 amostras consecutivas
	As médias são 
Calcule os limites de controle 3σ para o gráfico S. A variância está sob controle? Em caso negativo, remova as amostras que estão fora de controle e recalcule 
Com base no desvio padrão amostral (S), calcule os limites 3σ para o gráfico . Com base nos limites 3σ, a média do processo está sob controle? Em caso negativo, quando ela é detectada pela primeira vez fora de controle?
	Amostra		R	s
	1	2,49	0,12	0,07
	2	2,45	0,17	0,06
	3	2,51	0,13	0,06
	4	2,53	0,25	0,09
	5	2,49	0,11	0,06
	6	2,44	0,11	0,06
	7	2,44	0,12	0,05
	8	2,42	0,18	0,06
	9	2,42	0,08	0,05
	10	2,47	0,06	0,02
	11	2,54	0,19	0,07
	12	2,45	0,09	0,04
	13	2,54	0,21	0,07
	14	2,55	0,10	0,05
	15	2,50	0,25	0,08
	16	2,53	0,11	0,04
	17	2,58	0,16	0,07
	18	2,59	0,09	0,03
	19	2,60	0,12	0,05
	20	2,56	0,14	0,06
Atividade em pares
Um gráfico de controle , com limites de controle 3σ e tamanho de subgrupo n = 4, tem limites de controle LSC = 48,75 e LIC = 40,55.
Estime o desvio padrão do processo.
A resposta do item (a) depende se foi usado para construir o gráfico de controle de ?
Atividade em pares
Um artigo em Quality & Safety in Health Care [“Statistical Process Control as a Tool for Research and Healthcare Improvement” (2003) Vol. 12, pp. 458-464] considerou um número de gráficos de controle em assistência médica. Os dados aproximados a seguir foram usados para construir gráficos para o tempo de resposta (TR, em minutos) para hemogramas completos. O tamanho do subgrupo é n = 3 por turno e o desvio-padrão da média é 21. Construa o gráfico de e comente sobre o controle do processo. Se necessário, suponha que as causas atribuídas podem ser encontradas; elimine os pontos suspeitos e reveja os limites de controle.
Atividade em pares
	t	TR
	1	51
	2	73
	3	28
	4	52
	5	65
	6	49
	7	51
	8	50
	9	25
	10	39
	11	40
	12	30
	13	49
	14	31
Atividade extraclasse
Livro: Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros. Douglas C. Montgomery, George C. Runger ; tradução Verônica Calado.
Capítulo 15
Exercícios da seção 15.3
	Exercício	Sorteio	Aluno
	1 e 14	1	
	2 e 11	2	
	3 e 10	3	
	4 e 9	4	
	5 e 8	5	
	6 e 7	6	
	12 e 7	7	
	13 e 8	8	
	15 e 9	9	
	16 e 10	10