calculo3-aplicação na quimica

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1. Introdução 
 
1.1 Estudo dos gases ideais 
 
Estuda-se Lei dos gases ideais em físico-química com o intuito de 
compreender sistemas químicos a partir de abordagens empíricas e constituir 
um modelo para descrever o comportamento das moléculas do sistema, o qual 
é utilizado para descrever uma teoria. 
A lei dos gases ideais utiliza a equação de estado 𝑃𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 (equação 1) 
para descrever as propriedades de um gás ideal, onde a pressão tende a zero, 
pois em um gás ideal não há ação de forças intermoleculares. 
 
1.2 Funções de duas variáveis 
 
A função f de duas variáveis associa um único número real Z= f(x,y) para 
cada ponto (x,y) de um conjunto D ⊏ IR2.O domínio da função f D ⊂ IR2 → IR, o 
Dom f(x), consiste de todos os pontos (x,y ) ∈ D tal que f(x,y ) está bem 
definida. 
A pressão P, o volume V e a temperatura T de um gás estão relacionados 
pela fórmula dos gases ideais) PV = kT (equação 2), onde k ∈ IR. 
 
2. Domínio 
 
Fixando n ao dividir pelo V, obtendo o volume molar (Vm): 
𝑃𝑉 = 𝑅𝑇 
Função de 3 variáveis: 𝐷𝑓𝑐ℝ 
 
 
3. Derivadas parciais 
 
Para facilitar os cálculos, a equação dos gases ideais: PV = nRT (equação 
1), pode ser reescrita como: PVm = RT (equação 4), onde Vm é a razão entre 
volume e número de mols, desta forma obtém-se três variáveis. 
Com essas três variáveis obtidas, pode-se escrever cada variável como 
função de duas variáveis: 
𝑃(𝑉𝑚, 𝑇) = (𝑅𝑇/𝑉𝑚)equação 3 
𝑉𝑚(𝑃, 𝑇) = (𝑅𝑇/𝑃) equação 4 
𝑇(𝑉𝑚, 𝑃) = (𝑃𝑉𝑚/𝑅)equação 5 
Dessa forma foi calculado a derivada parcial que corresponde a mudança 
de uma função, a qual depende de variáveis independentes. Abaixo apresenta 
a equação da derivada parcial com a mudança da pressão em função da 
temperatura, mantendo o volume molar constante: 
( ) = (
( )
) =  equação 6 
Também se calculou a derivada parcial da mudança da pressão em função 
do volume molar mantendo a temperatura constante: 
( ) = (
( )
) = − 
^
 equação 7 
4. Curvas de nível 
 
Um dos métodos para a visualização de funções de duas variáveis é utilizar 
um mapa de contorno, que é uma família das curvas de nível. Com base na 
definição de curva de nível, usamos o software Combo para obter o gráfico da 
seguinte função PV=nRT, porém para fazer a representação gráfica foi 
necessário a utilizar somente duas variáveis. Conforme os cálculos abaixo: 
𝑃𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 
𝑉 (𝑃, 𝑇, 𝑛) = 𝑉(1, 𝑇, 𝑛) = 𝑉(𝑇, 𝑛) 
𝑉(𝑇, 𝑛) = 𝑛 ∗ 0,08206 ∗ 𝑇 
𝐶 = 𝑛 ∗ 0,08206 ∗ 𝑇 equação 8 
 
Para cada valor de "C" obtém uma curva, e variando esse valor pode-se 
observar o comportamento das curvas e a figura no plano que irá ser formada. 
Aplicando a função C= n*0,08206*T no software obteve-se o seguinte gráfico 
de curva de nível, apresentados nas figuras abaixo: 
Função escrita no software [X* 0.08206*Y] 
 
 
 
Figura 1: Bidimensional da curva de nível. Figura 2: Tridimensional da curva de nível. 
 
 
5. Superfície de nível 
 
Uma superfície de nível é obtida por uma função de três variáveis, no caso 
da lei dos gases ideais, para obter o gráfico manteve-se P = 1 atm e R = 
8,20574587 x 10−5, variando V, n e T. 
Figura 3: Superfície da pressão em função do volume. 
 
 A superfície representa a pressão como função do volume e da 
temperatura absoluta de um gás ideal. 
6. Gráfico da função 
 
A partir de gráficos é possível analisar que quando se aumenta a 
temperatura do sistema, consequentemente a pressão também se aumenta, 
obtendo uma relação de proporcionalidade. 
 
Figura 4: Gráfico de em função da pressão do sistema. 
 
 
Em contrapartida, quando se aumenta o volume do sistema, a pressão 
exercida é diminuída, o que também pode ser observado na construção de 
gráficos. 
 
7. Máximos e mínimos 
 
Foi calculado o máximos e mínimos da função, mantendo T constante, foi 
calculado a derivada e a segunda derivada e obteve-se um gráfico que não 
possui ponto de inflexão apresentado na figura 5. 
𝑃𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 
𝑃 =
𝑛𝑅𝑇
𝑉
 
𝜕𝑃 = 𝜕 
𝑛𝑅𝑇
𝑉
= 𝑛𝑅𝑇 ∗ 𝜕(
1
𝑉
) 
𝜕𝑃
𝜕𝑉
= −
𝑛𝑅𝑇
𝑉
 
𝜕 𝑃
𝜕𝑉
= 
2𝑛𝑅𝑇
𝑉
= 0 
 
Figura 5: Gráfico obtido.