08 - Matematica 2 - 8 ano - 4bim

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133V. 18
Matemática IIMatemática II
Módulo 5
A CirCunferênCiA e o CírCulo
A CirCunferênCiA
 Circunferência é o conjunto de pontos de um plano que estão a uma dada distância constante de um 
ponto fixo do plano chamado centro. Observe:
 Se considerarmos todos os pontos que estão a 2 cm do ponto O, eles vão formar uma curva chamada 
circunferência. A distância de O até um ponto P da circunferência é o raio. 
CírCulo
 Círculo á a reunião de uma circunferência e seu interior. Observe as figuras:
Circunferência Conjunto dos pontos internos à circunferência (interior) Círculo
elementos dA CirCunferênCiA
 Veja alguns elementos da circunferência e do círculo:
• Raio é o segmento que une o centro a qualquer ponto da cir-
cunferência.
• Corda é o segmento cujas extremidades pertencem à circun-
ferência.
• Diâmetro é a corda que passa pelo centro da circunferência.
Importante:
 O diâmetro mede o dobro do raio.
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Posições relAtivAs de umA retA e umA CirCunferênCiA
 Veja as posições relativas de uma reta e uma circunferência:
A reta e é externa à circunferência (não há ponto comum).
A reta t é tangente à circunferência (um ponto comum).
A reta s é secante à circunferência (dois pontos comuns).
Propriedade
 Toda reta Tangente a uma circunferência é per-
pendicular ao raio no ponto de tangência.
Posições relAtivAs de 
duAs CirCunferênCiAs
• Secantes, quando têm dois pontos comuns.
• Tangentes, quando tem um ponto só em 
comum. Circunferências tangentes podem ser:
 Tangentes exteriores: Quando a distância entre 
os centros e igual à soma das medidas dos raios.
 Tangentes interiores: Quando a distância entre os 
centros e igual à diferença das medidas dos raios.
d = r1 – r2
• Externas, quando não tem ponto em comum e 
a distância entre os seus centros é maior que a 
soma das medidas de seus raios;
d > r1 + r2
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Exemplos:
a) 
 Como PA = PB, temos: x = 21 cm
b) 
 Como a = 4 e b = 6 temos: 
 X = 4 + 6
 X = 10
 Em todo quadrilátero circunscrito a uma circun-
ferência as somas das medidas dos lados opos-
tos são iguais.
 Observe:
AB + CD
 AB + CD
= + + +
+ = + + +



= +
a b c d
BC AD b c a d
Logo BC AD:
Exemplo:
 
 13 + x = 17 + 12
 x = 17 + 12 – 13
 x = 16
• Internas, quando não tem ponto em comum e 
a distância entre os seus centros é menor que a 
diferença das medidas de seus raios;
d < r1 – r2
• concêntricas, é aquela em que as circunferên-
cias têm o mesmo centro.
ProPriedAdes imPortAntes
• Propriedade dos segmentos tangentes a uma 
circunferência.
 Os segmentos tangentes traçados de um mesmo 
ponto exterior a uma circunferência são con-
gruentes.
 Observe:
PA PB≅
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exerCíCios de fixAção
1. Uma proposta de logomarca foi observada pela 
empresa YI. A seguir temos :
 Podemos perceber que existem algumas retas 
passando pela circunferência. Dentre elas:
a) Quais são raios?
...........................................................................................................................
b) Se a distância entre o ponto D até o ponto O, for 
de 5 cm, qual será a medida da distância entre o 
ponto E até o ponto C?
...........................................................................................................................
2. Uma empresa decidiu montar várias logomar-
cas usando um círculo e várias retas juntamente 
com o círculo. Abaixo está a ideia de uma delas.
 Quanto a posição que as retas ficaram do círculo, 
as retas s,v e u serão respectivamente:
a) Externa, secante e tangente
b) Externa, tangente e tangente
c) Secante, tangente e tangente
d) Tangente, secante e tangente
e) Externa, Secante e secante
3. Determine a medida do raio e do diâmetro da 
circunferência representada abaixo:
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
4. Uma reta dista 32 cm do centro de um círculo 
que tem 54 cm de diâmetro. Em relação ao cír-
culo, a reta é:
...........................................................................................................................
5. Uma reta dista 10 cm do centro de um círculo 
que tem 20 cm de diâmetro. Em relação ao cír-
culo, a reta é:
...........................................................................................................................
6. Uma reta dista 3 cm do centro de um círculo que 
tem 3,5 cm de raio. Em relação ao círculo, a reta é:
...........................................................................................................................
 
7. Nos exercícios a seguir, dizer a posição relativa 
das seguintes circunferências, considerando: 
 d = distância entre os centros. 
 R = raio do maior. 
 r = raio do menor.
a) d = 16 cm; R = 6 cm; r = 3 cm
...........................................................................................................................
b) d = 10 cm; R = 14 cm; r = 4 cm
...........................................................................................................................
c) d = 24 cm; R = 20 cm; r = 16 cm
...........................................................................................................................
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d) d = 0; R = 9 cm; r = 6 cm
...........................................................................................................................
e) d = 8 cm; R = 22 cm; r = 10 cm
...........................................................................................................................
f) d = 15 cm; R = 8 cm; r = 7 cm
...........................................................................................................................
8. Duas circunferências secantes têm raios 8 cm 
e 9 cm. Entre que valores esta compreendida a 
distância dos centros? 
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
9. Determine o valor de x, sabendo que os segmen-
tos são tangentes à circunferência, em cada item:
a) 
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
b) 
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
10. O ponto D é o ponto de tangência da circunfe-
rência inscrita com o lado BC do triângulo ABC. 
Sabendo que AB = 6 cm, BC = 10 cm e AC = 12 
cm, determine BD. 
......................................................................................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
11. Duas circunferências são tangentes externas. Se 
a distância entre os centros mede 36 cm e um 
raio é o triplo do outro, qual será a diferença 
entre os raios?
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
12. Qual o perímetro do quadrilátero a seguir?
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
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exerCíCios ComplementAres
1. Em relação à circunferência representada na 
figura abaixo, identifique as retas:
a) secantes: .............................................................................
b) tangentes: ...........................................................................
c) externas: ..............................................................................
2. Dê a posição relativa das circunferências:
a C1 e C2 : .................................................................
b) C1 e C3 : .................................................................
c) C2 e C3 : .................................................................
d) C3 e C4 : .................................................................
e) C4 e C5 : .................................................................
3. Calcule o perímetro do triângulo ABC, sabendo 
que R,S e T são pontos de tangência; AR = 7 cm; 
BS = 5 cm e CT = 6 cm. 
4. Em cada item, um quadrilátero está circunscrito 
a uma circunferência. Determine x.
a) 
b) 
5. Determine o perímetro do quadrilátero ABCD, 
circunscritível, da figura.
6. Um quadrilátero ABCD está circunscrito numa cir-
cunferência. Admitindo AB = x + 8, BC = 3x + 2, CD 
= 2x + 5, AD = 2x – 1, calcular o perímetro desse 
quadrilátero.
7. São dadas duas circunferências de raio R = 14 cm 
e r = 8 cm. Sendo d a distância entre os centros 
dessas circunferências, qual o valor de d para que 
essas circunferências sejam tangentes interiores?
8. Sendo r1 e r2 os raios de duas circunferências C1 
e C2, respectivamente, e d a distância entre os 
centros, dê as posições relativas em cada caso.
a) r1 = 2 cm, r2 = 5 cm e d = 10 cm
b) r1 = 5 cm, r2 = 5 cm e d = 8 cm
c) r1 = 3 cm, r2 = 10 cm e d = 4 cm
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9. Na figura seguinte, a circunferência de centro A 
tem 17 cm de raio e a circunferência de centro B 
tem 9 cm de raio. Sabendo que a distância entre 
os centros A e B é 33 cm, determine a medida do 
segmento RS . 
10. As circunferências seguintes são tangentes 
externamente e a distância entre os seus centros 
é 40 cm. Sabendo que o comprimento do raio da 
circunferência maior é expresso por x, o compri-
mento do raio da menor é expresso por y e que 
x – y = 6. Determine as medidas de x e y.
11. Duas circunferências são tangentes internas, com 
uma delas tendo raio 8 cm e a outra medindo 
19cm.
a) Desenhe a figura e calcule qual será a distância 
entre as duas circunferências.
b) Considerando as mesmas circunferências da 
questão, caso as circunferências sejam tangen-
tes externas, qual será a distância entre elas?
12. Qual será o perímetro do triângulo abaixo
HM = 7cm ; EM = 4cm; KE = 11cm
Ângulos no CírCulo
Ângulo Central
 É todo o ângulo que possui o vértice no centro 
do círculo e seus lados são raios. 
 O ângulo central tem por medida o valor do arco 
compreendido entre seus lados.
Ângulo inscrito
 É todo o ângulo que possui o vértice na 
circunferência e seus lados são cordas. 
 O ângulo inscrito tem por medida a metade do 
arco compreendido entre seus lados.
a
AB� �=
2
Exemplos:
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Ângulo excêntrico interno
 É todo o ângulo que possui o vértice no interior 
do círculo e seus lados são segmentos de corda. 
 O ângulo excêntrico interno tem por medida 
a semi soma dos arcos compreendidos entre seus 
lados e seus prolongamentos.
 x
m n� � �= +
2
ou
 CRD
AB CD� � �= +
2
Ângulo excêntrico externo
 É todo o ângulo que possui o vértice no exterior 
do círculo e seus lados são: duas secantes, uma 
secante e uma tangente ou duas tangentes. 
 O ângulo excêntrico externo tem, por medida, a semi 
diferença dos arcos compreendidos entre seus lados.
 x
m n� � �= −
2
ou
 APB
AB CD� � �= −
2
exerCíCios de fixAção
1. Determine o valor de x:
a) 
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
b) 
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
c) 
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
d) 
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
e) 
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................141
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f) 
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
g) 
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
h) 
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
i) 
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
j) 
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
k) 
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
2. (PUC–SP) Na figura, AB é diâmetro da circunferência. 
O menor dos arcos AC mede:
a) 100° c) 140°
b) 120° d) 150°
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3. (UFAL) Na figura, tem-se uma circunferência de 
centro C. Se o ângulo CSQ = 50°, a medida do 
arco PR é:
a) 50° c) 90°
b) 80° d) 100°
4. (UFES) Na figura, a medida de α, em graus, é:
a) 52 c) 56 
b) 54 d) 58
5. (FGV-SP) A medida do ângulo AC inscrito na cir-
cunferência de centro O é:
a) 100° c) 125°
b) 120° d) 135°
6. (UCS–BA) A medida do ângulo x, representado 
na figura, é:
a) 15° c) 25°
b) 20° d) 30°
7. (MARCK–SP) O quadrilátero ABCD da figura é 
inscritível. O valor de x é:
a) 48° c) 52°
b) 50° d) 54° 
8. Considere a circunferência a seguir:
 
a) Qual será o valor do arco IL

 formado a partir do 
ângulo central?
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
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b) Qual será o valor do ângulo α?
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
9. O professor Thiago estava buscando avistar duas 
ilhas no mar com a ajuda de um binóculos. Ao 
avistar as duas, ele começa a girar com um ângulo 
de 35° de uma ilha para a outra. Considerando 
que ele é um centro ao avistar as ilhas, qual será o 
arco compreendido entre as duas ilhas?
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
10. Descubra o valor do ângulo para os arcos dados:
a) 
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
b) 
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
...........................................................................................................................
........................................................................................................................... 
 
 
exerCíCios ComplementAres
1. Calcule o valor de α nas figuras a seguir:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
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g) 
h) 
i) 
2. Duas cordas partem de um mesmo ponto da cir-
cunferência. Calcular o ângulo por elas formado, 
sabendo que subentendem arcos que valem: 
60° e 92°.
3. Duas cordas partem de um mesmo ponto da cir-
cunferência. Calcular o ângulo por elas formado, 
sabendo que uma é o diâmetro e a outra é o lado 
do decágono regular inscrito.
4. Na figura seguinte, você observa um ângulo ins-
crito e o ângulo central correspondente. Nessas 
condições, determine a medida x e a medida de 
cada um dos ângulos dados.
5. Sabendo que a medida do arco RS é 140°, 
determine as medidas a, b, c indicadas na figura 
seguinte:
6. Na figura ao lado, temos um ângulo inscrito e 
um ângulo central. Determine o valor de x e a 
medida de cada ângulo, em graus.
7. Determine as medidas x e y indicadas na figura:
8. Determine a medida x em cada figura:
a) 
b) 
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9. Em cada figura AB , é um diâmetro.Determine a 
medida x.
a) 
b) 
c) 
d) 
10. Uma circunferência foi dividida em quatro 
partes, donde todos eles são consecutivos. Qual 
será o valor do arco do maior ângulo obtido?
treinAndo
1. Observe a figura abaixo e determine:
a) dois segmentos que representam raios
b) dois segmentos que representam cordas
c) dois segmentos que representam diâmetros
d) o ponto que representa o centro da circunferência
2. Duas circunferências possuem raios R = 13cm 
e r = 7cm. Sendo d a distância entre os centros 
dessas circunferências, qual o valor de d para 
que elas sejam tangentes interiores?
3. Determine x nas circunferências a seguir:
a) 
b) 
4. Na figura a seguir, o ângulo AEC mede 80° e o 
arco AC mede 100°. Determine a medida do arco 
BD.
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5. Um arco de uma circunferência mede 120°. 
Determine a medida do ângulo central que 
determina esse arco.
6. Sabendo que o triângulo OSR é isósceles, deter-
mine a medida de x e y na circunferência abaixo:
7. Os raios de dois círculos são representados em 
centímetros por R = 3x + 15 e r = x + 5. Sendo 
a distância entre os centros igual a 24cm, qual 
deverá ser o maior valor inteiro possível de x 
para que as circunferências sejam secantes?
8. Observe a figura a seguir. O raio de cada uma 
das circunferências é igual a 4 cm. Determine a 
altura do retângulo.
9. Determine o perímetro de cada triângulo a 
seguir: 
a)
 
b)
10. Desenhe duas circunferências com as posições 
pedidas abaixo:
a) tangentes interiores
b) secantes
c) interiores
d) exteriores
a) b)
c) d)