2015 Funcao Real de Variavel Real Mat I

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FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
Definição: Uma função é uma regra que associa a cada elemento x de um conjunto A um único elemento y de um conjunto B.
O conjunto A é chamado de domínio da função e o conjunto B que compreende todos os valores assumidos por y = f(x), quando x toma todos os possíveis valores no seu domínio é chamado de imagem ou contradomínio da função.
Um exemplo de função é dado pela relação entre a área de um quadrado e o comprimento do seu lado. Denotando y a área do quadrado e x, comprimento do seu lado, teremos: 
A equação dada define y como função de x. A regra que define a função área pode ser escrita por 
Exemplo: Considere a função f(x) = 2x + 3. Calcule:
a) f(-3)			b) f(x+1)			c) f(a-b)
Solução: a) f(-3) = 2 (-3) + 3 = -6 + 3 = -3			b)f(x + 1) = 2 (x+1) + 3 = 2x + 2 + 3 = 2x + 5		c) f(a-b) = 2(a-b) + 3 = 2a – 2b + 3
Domínio da Função: É o conjunto de valores da variável independente x para os quais a função está definida.
Em muitas aplicações práticas, o domínio da função é ditado pela natureza do problema. Por exemplo, se considerarmos a função y = x2 como uma regra que define a função área de um quadrado, onde x denota o comprimento do seu lado, ela não terá sentido para os números negativos. Neste caso, x assumirá valores não negativos ( x 0).
Determinando o Domínio de Funções Reais de Variável Real
1. Funções Polinomiais: Neste tipo de funções a variável não figura no denominador e não faz parte do radicando.
Exemplos: 1.f(x) = 3x4 – 2x3 + x – 4 	2. f(x) = 		3. F(x) = 
Neste caso, cada função do exemplo está definida para qualquer número real, isto é .
2. Funções Racionais Fracionárias: A variável x figura também no denominador, mas não faz parte do radicando.
Exemplos:
1.f(x) = 
Neste caso, cada função tem sentido para todos os números reais que não anulam o denominador. Se considerarmos a primeira função do exemplo, podemos substituir x por qualquer número real excepto por 1/3, pois este número anula o denominador desta função. 
A condição a impor para estas funções é que o denominador deve ser diferente de zero.
Assim,
1. 
3x - 1 
2. 
3. 
3. Funções Irracionais: A variável figura no radicando.
Exemplos:
Neste caso temos que considerar dois casos: quando o índice do radical é um número par ou um número ímpar.
a) Para índice par
Por exemplo, se tivermos , sendo n par a expressão terá sentido se a0, isto significa que só se extrai raíz de índice par de números positivos e de zero.
Ex: f(x) = 
Se tivermos tem sentido se a > 0. A condição maior ou igual a zero não é válida, pois o radical de dice par está no denominador. Recorde-se que o denominador não pode ser nulo, pois dividir por zero é impossível.
Ex: f(x) = 
 significa que o domínio é o conjunto de números reais menores que -1 e maiores que 3, pois satisfazem a condição .
b) Para índice ímpar
Se tivermos tem sentido para todo número real, isto é . Significa que quando o índice do radical é um número ímpar, o radicando pode ser um número negativo, positivo ou zero.
Ex: f(x) = 
Se tivermos tem sentido se . O radical de índice ímpar figura no denominador, por isso o número a não pode ser nulo.
Ex: f(x) = 
Veja outros exemplos:
Veja que o domínio é constituido por todos os valores de x maiores ou iguais a 2, excepto o número 3, pois -3 não faz parte do intervalo. 
O domínio é o conjunto de números reais maiores que 3, pois satisfazem simultâneamente as condições 
3.
O domínio é o conjunto de números reais menores ou iguais a 2 e maiores que 3, pois satisfazem a condição .
EXERCÍCIOS
Determine o domínio das funções que se seguem:
1.
5. 
Gráfico de Funções
O gráfico de uma função f(x) é o conjunto de todos os pontos (x, y) no plano cartesiano tal que x pertence ao domínio da função e y = f(x).
Monotonia de Funções
Uma função f(x) é monótona se for crescente ou decrescente.
Função Crescente: Uma função f(x) diz-se crescente num intervalo , contido no domínio da função, se e somente se, para todo x1 e x2 que pertencem ao intervalo , sendo x1 < x2 segue que f(x1) < f(x2).
Função Decrescente: Uma função f(x) diz-se crescente num intervalo , contido no domínio da função, se e somente se, para todo x1 e x2 que pertencem ao intervalo , sendo x1 < x2 segue que f(x1) > f(x2).
Paridade de Funções
Quanto à paridade as funções podem ser pares ou ímpares.
Funções Pares: São funções cujos gráficos são simétricas em relação ao eixo das ordenadas. Neste caso, valores simétricos de x possuem a mesma imagem, isto é f(-x) = f(x).
Veja o gráfico da função y = x2.				A partir do gráfico verificamos que o valor da função para x = -2 é igual ao valor da função para x = 2 por isso, o eixo das ordenadas é o eixo de simetria do gráfico.
Do gráfico, f(-2) = f(2) = 4.
Se a função é par, teremos f(-x) = f(x).
Como f(x) = x2, vem:
f(-x) = (-x)2 = x2 = f(x).
 
Funções Ímpares: São funções cujo gráficos são simétricas em relação ao eixo das abcissas. Neste caso, valores simétricos de x possuem imagens simétricas, isto é f(-x) = -f(x).
									A partir do gráfico verificamos que o valor da função para x = -4 é simétrico ao valor da função para x = 4 por isso, o eixo das abcissas é o eixo de simetria do gráfico.
Do gráfico, f(-4) = - f(4) = -2.
Sendo a função é ímpar, teremos f(-x) = -f(x).
Como f(x) = x/2, vem:
f(-x) = (-x)/2 = -x/2= -f(x).
Assíntotas
Definição: Se um ponto (x, y) se desloca continuamente por uma curva y = f(x) de tal forma que pelo menos uma das suas coordenadas tenda a infinito, enquanto a distância entre este ponto e uma recta determinada tenda a zero, esta reta recebe o nome de assíntota da curva.
Existem assíntotas verticais e oblíquas. Um caso particular da assíntota oblíqua é a assíntota horizontal.
Assíntota Vertical: É uma reta paralela ao eixo das ordenadas.
Se existir um número real a tal que , a recta x = a representa a equação da assimptota vertical.
Assimptota Oblíqua: Esta é representada pela equação y = mx + b, onde :
Obs.: Na equação y = mx + b, se m = 0 teremos y = b que é a equação da assimptota horizontal. Esta é paralela ao eixo das abcissas.
Esta também pode ser calculada pelo , se o limite existir.
Exemplo: Observe o gráfico das funções que se seguem:
1. 
 Df: 
							Ao observar o gráfico podemos verificar que as rectas x = -2 e x = 2 representam as equações das assimptotas verticais, pois:
1.
3. 
A recta y = 1 representa a equação da assimptota horizontal, pois:
 Esta também pode ser obtida, determinando o quociente da divisão de x2 por x2-4 (divisão de polinómios).
2. 
 Df: 
Ao observar o gráfico podemos verificar que a recta x = 1 representa a equação da assimptota vertical, pois:
A recta y = x – 1 representa a equação da assimptota oblíqua, pois:
 e 
A assimptota oblíqua também pode ser determinada pelo processo de divisão de polinómios. O quociente dessa divisão dá-nos a equação da assimptota oblíqua.
ALGUNS MODELOS ECONÓMICOS
Numa economia de livre mercado, a demanda de consumo de um certo bem depende do preço unitário desse bem. A equação de demanda expressa a relação entre o preço por unidade e a quantidade demandada. Em geral, a quantidade demandada de um bem decresce a medida que o preço por unidade desse bem cresce. Por isso, o gráfico da equação de demanda (ou curva de demanda) é uma função decrescente. Esta função é definida por p = f(x), onde p denota o preço unitário de um certo bem e x a quantidade demandada. Veja o gráfico a seguir.
x
p
Num mercado competitivo existe também a relação entre o preço por unidade de um bem e sua disponibilidade no mercado. Em geral, um aumento no preço unitário do bem leva o produtor a aumentar a oferta. De modo contrário, uma diminuição no preço unitário geralmente leva a diminuição da oferta. A equação que expressa a relação entre o preço por unidade de um bem e a quantidade oferecida é a equação de oferta. Seu gráfico é uma função crescente e é chamado de curva de oferta. Esta função é definida por p = f(x), onde p é o preço unitário e x a quantidadeem oferta. Veja o gráfico a seguir.
x
p
Sob pura competição, o preço de um bem estabilizar-se-á eventualmente e verificar-se-á que a oferta do bem será igual à demanda pelo mesmo. Se o preço é muito alto, o consumidor não compra, e se o preço é muito baixo, o fornecedor não produz. 
Quando a quantidade produzida é igual à quantidade demandada temos o equilíbrio de mercado. A quantidade produzida num equilíbrio de mercado é chamada de quantidade de equilíbrio, e o preço correspondente é o preço de equilíbrio. Veja o gráfico a seguir.
O ponto P é o ponto de equilíbrio entre a demanda e a oferta.
x
p
P
Existem outros modelos, tais como:
Função custo: C(q) 
Função receita: R(q) = p . q, onde p é o preço unitário e q, a quantidade vendida.
Função custo médio: (q) = Cme= C(q) / q é o custo unitário.
Função lucro: L(q) = R(q) - C(q)
Etc.
EXERCÍCIOS
1. A empresa Apollo fabrica agendas electrónicas a um custo variável de V(x) = 0,000003x3 – 0,03x2 + 200x dólares, onde x denota o nº de unidades fabricadas por mês. O custo fixo mensal da divisão que produz essas agendas é de $100.000. Determine a função C(x) (custo total) da fabricação de x agendas electrónicas. Qual é o custo total da produção de 2000 unidades/mês?
2. 
Reporte-se ao exercício anterior. Suponha que o total arrecadado pela Apollo a partir da venda de x agendas electrónicas é dado pela função R(x) = 0,1x2 + 500x ( 0 x 5000), onde x é medido em dólares.
a) Determine a função lucro.
b) Qual é o lucro quando 1.500 unidades são produzidas e vendidas por mês?
3. 
Espera-se que o nº de lares com televisores digitais cresça de acordo com a função f(t) = 0,1714t2 + 0,6657t + 0,7143 ( 0 t 6), onde t é medido em anos com t = 0 correspondendo ao início do ano 2000 e f(t) é medida em milhões de lares.
a) Quantos lares terão televisores digitais no início do ano 2000?
b) Quantos lares terão televisores digitais no início do ano 2005?
4. Um comerciante de roupas compra ternos e camisetes para revenda e tem um orçamento limitado para compra. A quantidade de ternos é representada por x, a de camisetes por y e a equação que dá a restrição orçamentária é 10x2 + 10y = 1000.
a) Expresse a quantidade de camisetes em função da quantidade de ternos comprados.
b) Esboce o gráfico da função anterior.
c) Se forem comprados 8 ternos, quantas camisetes é possível comprar?
d) Se forem compradas 19 camisetes, quantos ternos é possível comprar?
e) Se não forem compradas camisetes, quantos ternos seriam comprados? E se não forem compradas camisetes quanto ternos seriam comprados? Indique estes pontos no gráfico b).
f) Se forem comprados 7 ternos e 40 camisetes, tal compra ultrapassaria o orçamento? Represente esta possibilidade no gráfico.
5. O valor inicial de um carro é de $20.000, e a cada ano esse valor é depreciado em $1.250.
a) Determine uma expressão que relaciona o valor do carro em função do nº de anos passados, após a compra.
b) Após quanto tempo o carro vale a metade do valor inicial?
c) Esboce o gráfico da função.
6. Um produto, quando comercializado, apresenta as funções custo e receita dadas, respectivamente, por C(q) = 3q + 90 e R(q) = 5q, onde q é a quantidade comercializada que se supõe ser a mesma para o custo e para a receita.
a) Num sistema de eixos, esboce os gráficos das funções dadas. Indique no gráfico o break-even point.
b) Obtenha a função lucro L(q) e represente-a no mesmo sistema. Determine as quantidades para as quais o lucro é positivo, nulo e há prejuízo.
7. Um comerciante compra objectos a um preço unitário de 4,00 Mt, gasta em sua condução diária 60,00 Mt e vende cada unidade a 7,00Mt.
a) Expresse o custo e a receita em função das quantidades (q) compradas e vendidas, respectivamente, supondo que estas são iguais.
b) Esboce, no mesmo sistema de eixos, os gráficos das funções da a), determinando o break-even point. Qual é o significado desse ponto?
c) Esboce, no mesmo sistema, a função lucro, indicando as quantidades para as quais existe lucro, prejuízo e lucro igual a zero.
d) Determine as funções custo médio( Cme) e lucro médio (Lme).
8. 
Para a seguinte equação de demanda , onde p é o preço por unidade em Mt e x representa a quantidade demandada em milhares:
a) Esboce o gráfico.
b) Determine a quantidade demandada quando o preço por unidade é estabelecido em 7Mt.
9. As funções demanda e oferta semanais para uma certa marca de barracas para acampamento são dadas, respectivamente por:
a) p =- 0,1x2 - x +40 e p = 0,1x2 +2x +20 
b) p =60 – 2x2 e p = x2 + 9x+ 30 onde p é medido em Mt e x é medido em centenas. Determine a quantidade e o preço de equilíbrio.
10. O preço da garrafa de vinho varia de acordo com a relação p = -2q + 400, onde q representa a quantidade de garrafas comercializadas.
a) Obtenha a função receita e esboce o gráfico, indicando os principais pontos e o eixo de simetria.
b) Quantas garrafas devem ser comercializadas para que a receita seja máxima? Qual é a receita maxima?
c) Que quantidades proporcionam receita crescente? E receita decrescente?
11. A produção de um funcionário, quando relacionada ao número de horas trabalhadas, leva à função 
P = -2t2 + 24t + 128.
a) Esboce o gráfico da função.
b) Em que momento a produção é máxima? Qual a produção maxima?
c) Em que momento a produção é igual à produção inicial?
d) Em que momento o funcionário não consegue mais produzir?
e) Quais os intervalos de crescimento e de decrescimento da produção?
2
2
)
(
x
x
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-4-3-2-112345
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Þ
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2
3
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3
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x
x
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1
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2
3
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-
+
-
=
-
=
-4-3-2-112345
-2
-1
1
2
3
4
5
6
0
y=f(x)
y
x
(2, 4)
Dominio sao valores de x que pertencem 
Imagem
O contradoninio (conjunto das imagens) sao valores de y 
que pertencem ao intervalo [1/4, 4]
ao intervalo [-2, 2]
]
[
b
a
,
-4-3-2-112345
-2
-1
1
2
3
4
5
6
0
y = f(x)
-2 < 0 entao f(-2) < f(0)
Funcao crescente
x
y
-3-2-1123456
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
y = f(x)
y
0
x
0 < 3 entao f(0) > f(3)
Temos funcao decrescente
-5-4-3-2-11234
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
y = x^2
0
x
y
f(-2) = f(2)
2
x
y
=
-4-3-2-112345
-4
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1
2
3
4
y = x/2
y 
x
0
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f(-4) = -f(4)
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(
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x
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=
¥
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4
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2
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x
x
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