Formulas de sinais e sistemas

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Sinais e Sistemas 
Tipos de Sinais 
• Sinais periódicos: x(t) = x(t + T), para todo t. 
• Sinal par: x(-t) = x(t) ou x[-n] = x[n] 
• Sinal ímpar: -x(t) = x(-t) ou -x[n] = x[-n] 
• Energia do sinal: 𝐸 = ∫ |𝑥(𝑡)|2𝑑𝑡 < ∞
∞
−∞
 ou E = ∑ |x[n]|2∞n=-∞ <∞ 
• Potência do sinal: 𝑃 = lim
𝑇→∞
(
1
2𝑇
) ∫ |𝑥(𝑡)|2
𝑇
−𝑇
𝑑𝑡 < ∞ ou 𝑃 = lim
𝑇→∞
(
1
2𝑁+1
) ∑ |𝑥[𝑛]|2𝑁𝑛=−𝑁 < ∞ 
 
Sinais Básicos 
• Impulso unitário discreto: 𝛿[𝑛] = {
0, 𝑛 ≠ 0
1, 𝑛 = 0
 
• Impulso unitário discreto: 𝑢[𝑛] = {
0, 𝑛 < 0
1, 𝑛 ≥ 0
 
• 𝛿[𝑛] = 𝑢[𝑛] − 𝑢[𝑛 − 1] 
• 𝑢[𝑛] = ∑ 𝛿[𝑛 − 𝑘]∞𝑘=∞ 
• Degrau unitário contínuo: 𝑢(𝑡) = {
0, 𝑡 < 0
1, 𝑡 ≥ 0
 
• Impulso unitário contínuo: ∫ 𝛿(𝑡)𝑑𝑡 = 1 
∞
−∞
 
• Propriedade do impulso: 𝑥(𝑡)𝛿(𝑡) = 𝑥(0)𝛿(𝑡) ou 𝑥[𝑛]𝛿[𝑛] = 𝑥[0] 
• Exponenciais reais: 𝑥(𝑡) = 𝐶𝑒𝛼𝑡 
• Sinais senoidais: 𝑥(𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) 
• Sinais Exponenciais Complexas: 𝐶 = |𝐶|𝑒𝑎𝑡 
• Número complexo: 𝐶 = 𝑟 + 𝑗𝜔 ou 𝐶 = |𝐶|𝑒𝑗𝜃 
• Relação de Euler: 𝑒𝑗𝑏 = 𝑐𝑜𝑠(𝑏) + 𝑗𝑠𝑒𝑛(𝑏) 
 
Operações com sinais 
• Multiplicação por escalar: y(t) = Cx(t) 
• Deslocamento temporal: 𝜑(𝑡 + 𝑇) = 𝑥(𝑡) 
• Deslocamento temporal em atraso: 𝜑(𝑡) = 𝑥(𝑡 − 𝑇), 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑇 > 0 
• Deslocamento temporal em avanço: 𝜑(𝑡) = 𝑥(𝑡 + 𝑇), 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑇 > 0 
• Escalamento temporal – compressão: 𝜑(𝑡) = 𝑥(𝑎𝑡), 𝑎 > 1 
• Escalamento temporal – expansão: 𝜑(𝑡) = 𝑥 (
𝑡
𝑎
) , 𝑎 > 1 
• Reversão temporal: 𝜑(𝑡) = 𝑥(−𝑡) 
 
Propriedade de Sistemas 
• Invariância no tempo: 
o Se 𝑥[𝑛] → 𝑦[𝑛], então 𝑥[𝑛 − 𝑛0] → 𝑦[𝑛 − 𝑛0] 
o Se x(t) → y(t), então 𝑥(𝑡 − 𝑡0) → 𝑦(𝑡 − 𝑡0) 
• Linearidade (Superposição): 
 
 
1 
o Se 𝑥1(𝑡) → 𝑦1(𝑡) 𝑒 𝑥2(𝑡) → 𝑦2(𝑡), 
o Então: 𝑥(𝑡) = 𝑎𝑥1(𝑡) + 𝑏𝑥2(𝑡) → 𝑦(𝑡) = 𝑎𝑦1(𝑡) + 𝑏𝑦2(𝑡) 
• Generalização: ∑ 𝑎𝑘𝑥𝑘(𝑡) → ∑ 𝑎𝑘𝑦𝑘(𝑡)𝑘𝑘 
 
Representação de sinais 
• Sistema Linear Invariante no tempo: 𝑥[𝑛] = ∑ 𝑎𝑘𝑥𝑘[𝑛 − 𝑛𝑘] →𝑘 𝑦[𝑛] = ∑ 𝑎𝑘𝑦𝑘[𝑛 − 𝑛𝑘]𝑘 
• Representação do sinal com impulsos deslocados: 𝑥[𝑛] = ∑ 𝑥[𝑘]𝛿[𝑛 − 𝑘] ∞𝑘=−∞ 
• Resposta ao impulso: 𝑥[𝑛] = ∑ 𝑥[𝑘]𝛿[𝑛 − 𝑘]∞𝑘=−∞ → 𝑦[𝑛] = ∑ 𝑥[𝑘]ℎ[𝑛 − 𝑘]
∞
𝑘=−∞ 
 
Convolução 
• Convolução discreta: 𝑦[𝑛] = 𝑥[𝑛] ∗ ℎ[𝑛] = ∑ 𝑥[𝑘]ℎ[𝑛 − 𝑘] ∞𝑘=−∞ 
• Convolução contínua: 𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡) ∗ ℎ(𝑡) = ∫ 𝑥(𝜏)ℎ(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏
∞
−∞
 
 
Propriedade dos sistemas LIT 
• Comutação: 
o 𝑥(𝑡) ∗ ℎ(𝑡) = ℎ(𝑡) ∗ 𝑥(𝑡) = ∫ ℎ(𝜏)𝑥(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏
+∞
−∞
 
o 𝑥[𝑛] ∗ ℎ[𝑛] = ∑ 𝑥[𝑛]ℎ[𝑛 − 𝑘]∞𝑘=−∞ = ∑ 𝑥[𝑛 − 𝑟]ℎ[𝑟]
∞
𝑟=−∞ = ℎ[𝑛] ∗ 𝑥[𝑛] 
• Distributiva: 
o 𝑥(𝑡) ∗ (ℎ1(𝑡) + ℎ2(𝑡)) = 𝑥(𝑡) ∗ ℎ1(𝑡) + 𝑥(𝑡) ∗ ℎ2(𝑡) 
o 𝑥[𝑛] ∗ (ℎ1[𝑛] + ℎ2[𝑛]) = 𝑥[𝑛] ∗ ℎ1[𝑛] + 𝑥[𝑛] ∗ ℎ2[𝑛] 
• Associativa: 
o 𝑥(𝑡) ∗ (ℎ1(𝑡) ∗ ℎ2(𝑡)) = (𝑥(𝑡) ∗ ℎ1(𝑡)) ∗ ℎ2(𝑡) 
o 𝑥[𝑛] ∗ (ℎ1[𝑛] ∗ ℎ2[𝑛]) = (𝑥[𝑛] ∗ ℎ1[𝑛]) ∗ ℎ2[𝑛] 
• Causalidade: 
o ℎ(𝑡) = 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 < 0 
o ℎ[𝑛] = 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 < 0 
• Estabilidade: 
o ∫ |ℎ(𝑡)|𝑑𝜏
∞
−∞
< ∞ 
o ∑ |ℎ[𝑛]| < ∞∞𝑛=−∞ 
• Operador Identidade: 𝑥(𝑡) = ∫ 𝑥(𝜏)𝛿(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏 
∞
−∞
 
• Operador Deslocamento: 
o 𝑦(𝑡) = ∫ 𝑥(𝜏)𝛿(𝑡 − 𝑡0 − 𝜏)𝑑𝜏
∞
−∞
= ∫ 𝑥(𝜏 − 𝑡0)𝛿(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏
∞
−∞
= 𝑥(𝑡 − 𝑡0) 
 
 
 
 
2 
Série de Fourier 
• Equação de síntese contínua: 𝑥(𝑡) = ∑ 𝑎𝑘𝑒
𝑗𝑘𝜔0𝑡 +∞𝑘=−∞ 
• Equação de analise contínua: 𝑎𝑘 =
1
𝑇
∫ 𝑥(𝑡)𝑒−𝑗𝑘𝜔0𝑡𝑑𝑡 
• Equação de síntese discreta: 𝑥[𝑛] = ∑ 𝑎𝑘𝑒
𝑗𝑘𝜔0𝑛 =𝑘=<𝑁> ∑ 𝑎𝑘𝑒
𝑗𝑘(2𝜋/𝑁)𝑛 𝑘=<𝑁> 
• Equação de analise discreta: 𝑎𝑘 =
1
𝑁
∑ 𝑥[𝑛]𝑒
𝑗𝑘(
2𝜋
𝑁
)𝑛
 𝑛=<𝑁> 
Propriedades da série de Fourier 
• Linearidade: Se 𝑥(𝑡) → 𝑎𝑘 e 𝑦(𝑡) → 𝑏𝑘, 
o Então, 𝑧(𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) + 𝐵𝑦(𝑡) ↔ 𝑐𝑘 = 𝐴𝑎𝑘 + 𝑏𝑘 
• Deslocamento no tempo: Se 𝑥(𝑡) → 𝑎𝑘, 
o Então 𝑥(𝑡 − 𝑡0) → 𝑒
−𝑗𝑘(2𝜋/𝑇)𝑡0𝑎𝑘 
• Reversão temporal: 
o 𝑥(𝑡) → 𝑎𝑘 
o 𝑥(−𝑡) → 𝑎−𝑘 
• Mudança de escala temporal: 𝑥(𝛼𝑡) = ∑ 𝑎𝑘𝑒
𝑗𝑘(𝛼𝜔0)𝑡+∞
𝑘=−∞ 
• Multiplicação: 𝑥(𝑡)𝑦(𝑡) ↔ ℎ𝑘 = ∑ 𝑎𝑙𝑏𝑘−𝑙
∞
𝑙=−∞ 
• Simetria conjugada: 
o 𝑥(𝑡) → 𝑎𝑘 
o 𝑥∗(𝑡) → 𝑎−𝑘
∗ 
Transformada de Fourier 
• Equação de síntese contínua: 𝑥(𝑡) =
1
2𝜋
∫ 𝑋(𝑗𝜔)𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔
+∞
−∞
 
• Equação de analise contínua: 𝑋(𝑗𝜔) = ∫ 𝑥(𝑡)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡
+∞
−∞
 
• Equação de síntese discreta: 𝑥[𝑛] =
1
2𝜋
∫ 𝑋(𝑒𝑗𝜔)𝑒𝑗𝜔𝑛𝑑𝜔 
• Equação de analise discreta: 𝑋(𝑒𝑗𝜔) = ∑ 𝑥[𝑛]𝑒−𝑗𝜔𝑛 +∞𝑛=−∞ 
Propriedades da série de Fourier 
• Linearidade: Se 𝑥(𝑡)
ℱ
↔ 𝑋(𝑗𝜔) e 𝑦(𝑡)
ℱ
↔ 𝑌(𝑗𝜔), 
o Então, 𝑎𝑥(𝑡) + 𝑏𝑦(𝑡)
ℱ
↔ 𝑎𝑋(𝑗𝜔) + 𝑏𝑌(𝑗𝜔) 
• Deslocamento no tempo: ℱ{𝑥(𝑡 − 𝑡0)} = 𝑒
−𝑗𝜔𝑡0𝑋(𝑗𝜔) = |𝑋(𝑗𝜔)|𝑒𝑗[∢𝑋(𝑗𝜔)−𝜔𝑡0] 
• Conjugação e simetria conjugada: 
o ℛℯ[𝑋(𝑗𝜔)] = ℛℯ[𝑋(−𝑗𝜔)] 
o ℐ𝓂[𝑋(𝑗𝜔)] = −ℐ𝓂[𝑋(−𝑗𝜔)] 
• Mudança de escala: ℱ{𝑥(𝛼𝑡)} = {
1
𝛼
∫ 𝑥(𝜏)𝑒
−𝑗(
𝜔
𝛼
)𝜏𝑑𝜏, 𝛼 > 0
+∞
−∞
−
1
𝛼
∫ 𝑥(𝜏)𝑒
−𝑗(
𝜔
𝛼
)𝜏𝑑𝜏, 𝛼 < 0
+∞
−∞
 
• Relação de Parseval: ∫ |𝑥(𝑡)|2𝑑𝑡
+∞
−∞
=
1
2𝜋
∫ |𝐻(𝑗𝜔)|2𝑑𝜔
+∞
−∞
 
• Convolução: 𝑦(𝑡) = ℎ(𝑡) ∗ 𝑥(𝑡)
ℱ
↔ 𝑌(𝑗𝜔) = 𝐻(𝑗𝜔)𝑋(𝑗𝜔) 
 
 
3 
Representação da transformada de Fourier em magnitude e fase 
• Sinal em tempo contínuo: 𝑋(𝑗𝜔) = |𝑋(𝑗𝜔)|𝑒𝑗∢𝑋(𝑗𝜔) 
• Sinal em tempo discreto: 𝑋(𝑗𝜔) = ∫ 𝑥(𝑡)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡
+∞
−∞
 
• Resposta em frequência - magnitude: |𝑌(𝑗𝜔)| = |𝐻(𝑗𝜔)||𝑋(𝑗𝜔)| 
• Resposta em frequência – fase: ∢𝑌(𝑗𝜔) = ∢𝐻(𝑗𝜔) + ∢𝑋(𝑗𝜔) 
 
Sistema Contínuo 
• Equações diferenciais: 𝑏0𝑥(𝑡) + 𝑏1
𝑑𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
+ ⋯ + 𝑏𝑛
𝑑𝑁𝑥(𝑡)
𝑑𝑡𝑁
= 𝑎0𝑦(𝑡) + 𝑎1
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
+ ⋯ + 𝑎𝑀
𝑑𝑀𝑦(𝑡)
𝑑𝑡𝑀
 
• Transformada de Fourier: ∑ 𝑏𝑛(𝑗𝜔)
𝑛𝑋(𝑗𝜔) = ∑ 𝑎𝑚(𝑗𝜔)
𝑚𝑌(𝑗𝜔)𝑀𝑚=0 
𝑁
𝑛=0 
• Relação de Y(jω)/ X(jω): 𝐻(𝑗𝜔) =
𝑌(𝑗𝜔)
𝑋(𝑗𝜔)
= 
∑ 𝑏𝑛(𝑗𝜔)
𝑛𝑁
𝑛=0
∑ 𝑎𝑚(𝑗𝜔)𝑚
𝑀
𝑚=0
 
 
Filtros ideiais 
• Filtro passa-baixa: 𝐻(𝑗𝜔) = {
1, |𝜔| ≤ 𝜔𝑐
0, |𝜔| > 𝜔𝑐
 
• Filtro passa-alta: 𝐻(𝑗𝜔) = {
1, |𝜔| ≥ 𝜔𝑐
0, |𝜔| < 𝜔𝑐
 
• Filtro passa-faixa: 𝐻(𝑗𝜔) = {
1, 𝜔𝑐1 ≤ |𝜔| ≤ 𝜔𝑐2
0, |𝜔| < 𝜔𝑐1 𝑒 |𝜔| > 𝜔𝑐2 
 
• Filtro rejeita-faixa: 𝐻(𝑗𝜔) = {
1, |𝜔| ≤ 𝜔𝑐1 𝑒 |𝜔| ≥ 𝜔𝑐2 
0, 𝜔𝑐1 < |𝜔| < 𝜔𝑐2
 
 
Amostragem 
• Trem de impulsos: 𝑝(𝑡) = ∑ 𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇) +∞−∞ 
• Sinal amostrado: 𝑥𝑝(𝑡) = ∑ 𝑥(𝑛𝑇)𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇)
+∞
−∞ 
• Transformada do sinal amostrado: 𝑋𝑝(𝑗𝜔) =
1
𝑇
∑ 𝑋(𝑗(𝜔 − 𝑘𝜔𝑠))
∞
𝑘=−∞ 
• Taxa de Nyquist: 𝜔𝑠 > 2𝜔𝑀 
• Conversão D/C: 𝑥𝑑[𝑛] = 𝑥𝑐(𝑛𝑇) e 𝑦𝑑[𝑛] = 𝑦𝑐(𝑛𝑇) 
• Frequências continuas e discretas: Ω = 𝜔𝑇 e 𝑋𝑑(𝑒
𝑗Ω) = 𝑋𝑝 (
𝑗Ω
𝑇
) 
• Conversão Xd e Xc: 𝑋𝑑(𝑒
𝑗Ω) =
1
𝑇
∑ 𝑋𝑐 (
𝑗(Ω−2𝜋𝑘)
𝑇
) ∞𝑘=−∞ 
• Conversão C/D - frequência: 𝑌𝑐(𝑗𝜔) = {
𝑇𝑌𝑝(𝑗𝜔), |𝜔| <
𝜔𝑠
2
0, 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜
 e 
• Conversão C/D – tempo: 𝑦𝑐(𝑡) = ∑ 𝑦[𝑛]ℎ𝑟(𝑡 − 𝑛𝑇) = ∑ 𝑦[𝑛]
𝑠𝑒𝑛(𝜋(𝑡−𝑛𝑇)/𝑇)
𝜋(𝑡−𝑛𝑇)/𝑇
∞
𝑛=−∞ 
∞
𝑛=−∞ 
 
 
 
Série de Fourier 
 
 
 
Propriedades das transformadas de Fourier 
 
 
Pares de transformadas