Circuitos elétricos I_Com capa

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Virgílio de Melo Langoni
Márcio Aparecido Arruda
Florisvaldo Cardozo Bomfim Júnior
Revisão técnica
Guilherme Henrique Alves
Circuitos elétricos I
Catalogação elaborada pelo Setor de Referência da Biblioteca Central UNIUBE
 Langoni, Virgílio de Melo. 
L267c Circuitos elétricos I / Virgílio de Melo Langoni, Márcio 
 Aparecido Arruda, Florisvaldo Cardozo Bomfim Júnior. – Uberaba : 
 Universidade de Uberaba, 2017.
 152 p. : il. 
 Programa de Educação a Distância – Universidade de Uberaba.
 Inclui bibliografia. 
 ISBN 
 
 1. Circuitos elétricos. 2. Eletricidade. I. Arruda, Márcio 
 Aparecido. II. Bomfim Júnior, Florisvaldo Cardozo. III. 
 Universidade de Uberaba. Programa de Educação a Distância. IV. 
 Título. 
 CDD 621.3192
© 2017 by Universidade de Uberaba
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser 
reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, eletrônico 
ou mecânico, incluindo fotocópia, gravação ou qualquer outro tipo de sistema de 
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da Universidade de Uberaba.
Universidade de Uberaba
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Pró-Reitor de Educação a Distância
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Coordenação de Graduação a Distância
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Editoração e Arte
Produção de Materiais Didáticos-Uniube
Revisão textual
Stela Maria Queiroz Dias
Diagramação
Douglas Silva Ribeiro
Projeto da capa
Agência Experimental Portfólio
Revisão técnica
Guilherme Henrique Alves
Edição
Universidade de Uberaba
Av. Nenê Sabino, 1801 – Bairro Universitário
Virgílio de Melo Langoni
Mestre e graduado em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal 
de Uberlândia. Professor da Universidade de Uberaba – Uniube. Tem 
experiência na área de Engenharia Elétrica, com ênfase em Circuitos 
Eletrônicos e Inteligência Artificial. 
Márcio Aparecido Arruda
Engenheiro eletricista pela Universidade de Uberaba – Uniube. Professor 
titular nos cursos de Engenharia da Universidade de Uberaba. Tem 
experiência na área de Engenharia Elétrica, com especialidade em 
Sistemas Elétricos de Potência.
Florisvaldo Cardozo Bomfim Júnior
Bacharel em Engenharia da Computação e Engenharia Elétrica, com 
ênfase em Automação Industrial, pela Universidade de Uberaba – 
Uniube. Formação em diferentes cursos na área tecnológica e industrial. 
Professor nos cursos da área de tecnologia na Universidade de Uberaba.
Sobre os autores
Sumário
Apresentação .............................................................................................................. IX
Capítulo 1 Introdução à eletricidade ...................................................... 1
1.1 Sistema Internacional de Medidas, arredondamento e potência de dez .................4
1.1.1 Histórico das unidades de medidas ................................................................5
1.1.2 Sistema Internacional de Medidas – SI ..........................................................7
1.1.3 Algarismos significativos .................................................................................8
1.1.4 Erros ................................................................................................................8
1.1.5 Arredondamento ............................................................................................11
1.1.6 Notação científica ..........................................................................................12
1.1.7 Prefixos do Sistema Internacional ................................................................14
1.2 Corrente e tensão ...................................................................................................15
1.2.1 Condutores e isolantes .................................................................................16
1.2.2 Corrente elétrica ............................................................................................18
1.2.3 Tensão ...........................................................................................................21
1.3 Resistência ..............................................................................................................25
1.3.1 Resistência em condutores ...........................................................................26
1.3.2 Condutância ..................................................................................................27
1.3.3 Aspectos construtivos dos resistores ............................................................27
1.3.4 Coeficiente de temperatura α........................................................................31
Capítulo 2 Lei de Ohm e análise de circuitos elétricos ....................... 35
2.1 Conhecendo a Lei de Ohm .....................................................................................36
2.1.1 Potência e energia ........................................................................................38
2.2 Circuitos em série ...................................................................................................42
2.2.1 Resistência total em um circuito em série ....................................................43
2.2.2 Resistência e potência em um circuito em série ..........................................43
2.2.3 Lei de Kirchhoff para Tensão (LKT) ..............................................................46
2.2.4 Fontes de tensão em série ...........................................................................47
2.2.5 Regras do divisor de tensão .........................................................................48
2.2.6 Resistência interna das fontes de tensão .....................................................49
2.3 Circuitos em paralelo ..............................................................................................51
2.3.1 Elementos em paralelo .................................................................................51
2.3.2 Condutância e resistências totais .................................................................51
2.3.3 Tensão e corrente em circuitos em paralelo .................................................55
2.3.4 Lei de Kirchhoff para a Corrente (LKC) ........................................................55
2.3.5 Regra do divisor de corrente .........................................................................56
2.3.6 Fontes de tensão em paralelo ......................................................................57
2.4 Circuitos em série‑paralelo .....................................................................................59
2.4.1 Resolução de circuito aplicando matriz ........................................................65
Capítulo 3 Métodos e teoremas para análise de circuitos elétricos .... 77
3.1 Métodos de análise dos circuitos elétricos .............................................................79
3.1.1 Conceitos fundamentais................................................................................79
3.1.2 Métodos de análise .......................................................................................81
3.1.3 Circuitos em ponto ........................................................................................85
3.1.4 Conversões Y-∆ e ∆-Y ...................................................................................86
3.2 Teoremas para a análise de circuitos .....................................................................87
3.2.1 Teorema da superposição.............................................................................87
3.2.2 Teorema de Thévenin ...................................................................................88
3.2.3 Teorema de Norton .......................................................................................89
3.2.4 Teorema da máxima transferência de potência ............................................91
3.2.5 Teorema de Millman ......................................................................................92
3.2.6 Teorema da substituição ...............................................................................93
3.2.7 Teorema da reciprocidade.............................................................................93
Capítulo 4 Elementos de circuitos ....................................................... 95
4.1 Resistores ...............................................................................................................97
4.1.1 Resistor linear e invariante ............................................................................99
4.1.2 Resistor linear variável com o tempo ..........................................................100
4.1.3 Resistor não-linear ......................................................................................101
4.2 Fontes independentes ..........................................................................................101
4.2.1 Fonte de tensão ..........................................................................................101
4.2.2 Fonte de corrente ........................................................................................103
4.3 Formas de ondas típicas de excitação .................................................................104
4.3.1 Função constante ........................................................................................104
4.3.2 Função degrau unitário ...............................................................................104
4.3.3 Função pulso ...............................................................................................105
4.3.4 Função rampa unitária ................................................................................106
4.3.5 Função impulso unitário ..............................................................................107
4.3.6 Função senoidal ..........................................................................................107
4.4 Elementos armazenadores de energia ................................................................109
4.4.1 Capacitor .....................................................................................................109
4.4.2 Indutor .........................................................................................................111
4.5 Potência e energia ................................................................................................113
4.5.1 Potência.......................................................................................................113
4.5.2 Energia ........................................................................................................114
Capítulo 5 Associação de elementos de circuitos ..............................119
5.1 Ligação série de fontes de tensão ........................................................................121
5.2 Fontes de corrente em paralelo ............................................................................123
5.3 Ligações série e paralela de resistores ................................................................124
5.3.1 Ligação série de resistores .........................................................................125
5.3.2 Ligação paralela de resistores ....................................................................128
5.4 Ligações série e paralela de capacitores .............................................................131
5.4.1 Capacitores ligados em série ......................................................................131
5.4.2 Capacitores ligados em paralelo .................................................................133
5.5 Ligações série e paralela de indutores .................................................................135
5.5.1 Indutores ligados em série ..........................................................................135
5.5.2 Indutores ligados em paralelo .....................................................................136
Prezado(a) aluno(a).
Este é o livro da disciplina Circuitos elétricos I. Nele, foram reunidos 
cinco capítulos, especialmente produzidos para que você tenha uma 
visão completa do assunto abordado e que é fundamental para a sua 
formação profissional. A seguir, você terá uma síntese do que contém 
cada um dos capítulos.
No primeiro capítulo, “Introdução à eletricidade”, você estudará a 
representação de uma grandeza pelo Sistema Internacional de Medidas 
e também o arredondamento e a representação de um número por 
intermédi9o de notação científica e da utilização de prefixos. Após este 
estudo inicial de grande relevância, você verá os conceitos básicos 
relacionados à eletricidade, tais como corrente e tensão elétrica. 
Finalmente, estudará o conceito de resistência elétrica.
No capítulo 2, intitulado “Lei de Ohm e análise de circuitos elétricos”, você 
terá oportunidade de estudar as três leis básicas utilizadas na análise dos 
circuitos elétricos: a lei de Ohm e as duas leis de Kirchhoff. Em seguida, 
poderá utilizá-las na análise de circuitos elétricos em configurações 
conhecidas como série, paralela e série-paralela (mista). Estudará 
também os conceitos de fonte de tensão e fonte de corrente. 
O capítulo 3 trata dos métodos e teoremas para análise de circuitos 
elétricos. Um circuito elétrico pode conter uma fonte, seja ela de corrente 
ou de tensão, ou ser mais complexo, incluindo mais de uma fonte. 
Neste sentido também, a análise do circuito pode ser mais simples 
Apresentação
X UNIUBE
ou mais complexa. Quando se trata de uma análise mais complexa, é 
recomendável a utilização de técnicas que possam facilitar o trabalho 
de análise dos circuitos elétricos. Este capítulo trata basicamente 
dessas técnicas. São apresentados três métodos utilizados em análise 
de circuitos elétricos que facilitam os cálculos de parâmetros relativos 
aos circuitos em questão: o método de corrente nos ramos, o método 
das malhas e o método dos nós. Mas, além dessas técnicas, há outras 
ferramentas que são utilizadas na resolução de circuitos com uma ou 
mais fontes: os teoremas de análise de circuitos elétricos. Os métodos 
e os teoremas são úteis na resolução de qualquer circuito elétrico. Há 
situações, porém, mais complexas e, nesse caso, temos que utilizar 
outros recursos. É o caso, por exemplo, de quando os resistores em 
um circuito não se apresentam nem em série nem em paralelo, é 
necessário transformar o circuito em outro, de forma a facilitar a análise 
e determinação dos parâmetros de interesse. Este caso será abordado 
por nós, com o objetivo de oferecer-lhe os subsídios necessários para 
a solução de casos complexos como esse, para o caso de você ter de 
enfrentar situações como esta seja na vida acadêmica seja na vida 
profissional.
Em seguida, no capítulo 4, intitulado “Elementos de circuitos”, veremos os 
principais elementos presentes em circuitos elétricos: a fonte, o resistor, o 
capacitor e o indutor e suas principais características básicas, tais como: 
curvas características e equações que relacionam tensão e corrente a 
esses componentes. Outro aspecto que será abordado neste capítulo são 
as formas de onda típicas de excitação que são utilizadas na análise de 
circuitos elétricos. Vamos estudar também a forma de onda senoidal e 
algumas de suas características, que é a principal forma de onda utilizada 
no estudo de sinais alternados. Finalmente, serão vistos conceitossobre 
potência e energia, sendo que o cálculo de energia será estendido aos 
elementos capacitor e indutor, que são elementos armazenadores de 
energia.
 UNIUBE XI
No capítulo 5, abordaremos a associação de elementos de circuitos e 
suas características. O conhecimento sobre como fontes, resistores, 
capacitores e indutores são associados pode facilitar a análise de um 
circuito de aparente complexidade. Você perceberá que a associação 
aqui proposta é entre elementos iguais, ou seja, uma associação de 
resistores ou uma associação de indutores, por exemplo. Uma vez 
compreendido como elementos iguais são associados, incluindo suas 
características, a análise de um circuito formado por dois ou mais tipos 
de elementos ficará mais fácil de compreender. Ainda neste capítulo você 
será levado a estudar duas leis importantes que dizem respeito à análise 
de circuitos: as duas leis de Kirchhoff, para tensões e para correntes, 
respectivamente, já vistas no capítulo 2 e que são utilizadas em todos os 
estudos de associação de elementos.
Esperamos que o conteúdo aqui desenvolvido seja assimilado 
satisfatoriamente por você e que o mesmo possa, de fato, trazer 
subsídios importantes não só para a compreensão de matérias correlatas 
em sua vida acadêmica mas também para um bom desempenho em sua 
futura vida profissional.
Bons estudos!
Márcio Aparecido Arruda
Virgílio de Melo Langoni
Introdução
Introdução à eletricidadeCapítulo
1
Caro(a) aluno(a).
Nos estudos sobre a eletricidade, é de grande importância saber 
trabalhar com números. Constantemente são realizados cálculos 
envolvendo medidas das grandezas de um circuito elétrico. 
Como nem sempre os resultados dos cálculos são números 
exatos, saber como arredondar esses números proporcionará ao 
estudante trabalhar com um valor aproximado causando o menor 
erro possível.
É abordada, neste capítulo, a correta forma de manipulação de 
valores medidos das grandezas elétricas, com ênfase no correto 
arredondamento desses valores. Trata ainda da transformação 
dos valores, expressando‑os em notação de potência de dez e 
ainda sobre o uso dos prefi xos gregos utilizados em substituição 
à potência de dez. Em muitos casos, principalmente quando 
manipulando valores muito grandes ou muito pequenos, torna‑se 
cômodo expressar e manipular esses valores em potência de dez.
Tão importante quanto expressar corretamente uma grandeza, 
é saber atribuir a ela uma unidade correta. Por exemplo, não 
podemos expressar um valor medido de uma determinada massa 
2 UNIUBE
Ao final deste capítulo, você deverá ser capaz de:
• definir Sistema Internacional de Medidas;
• conhecer os diferentes instrumentos de medidas;
• utilizar as diferentes unidades de medidas, em seu dia a dia;
• converter uma unidade de medida em outra correspondente;
Objetivos
em metros. Não faz sentido algum. Assim, apresentamos neste 
capítulo o Sistema Internacional de Medidas, que irá orientá-lo(a) 
quanto ao correto uso das unidades atribuídas às grandezas. Ainda 
com relação ao uso de unidades, é importante observarmos que às 
vezes nos deparamos com uma grandeza expressa em um unidade 
diferente daquela à qual estamos acostumados, por exemplo, um 
comprimento expresso em pés e não em metros. Neste sentido, em 
várias situações será necessário converter uma unidade em outra 
a fim de facilitar os cálculos que envolvem determinada grandeza.
Para que você tenha um bom aproveitamento, é desejável que 
os conceitos relacionados ao arredondamento de valores e o 
correto uso de unidades sejam compreendidos. Ainda, é desejável 
que compreenda a respeito da conversão entre unidades e da 
utilização do Sistema Internacional de Unidades.
Para aprofundar os conceitos e exemplos, sugerimos a leitura de algumas 
seções do livro Introdução à análise de circuitos de autoria de Robert L. 
Boylestad (2004).
INDICAÇÃO DE LEITURA
 UNIUBE 3
1.1 Sistema Internacional de Medidas, arredondamento e potência 
de dez
1.1.1 Histórico das unidades de medidas
1.1.2 Sistema Internacional de Medidas – SI
1.1.3 Algarismos significativos
1.1.4 Erros
1.1.5 Arredondamento
1.1.6 Notação científica
1.1.7 Prefixos do Sistema Internacional
1.2 Corrente e tensão
1.2.1 Condutores e isolantes
1.2.2 Corrente elétrica
1.2.3 Tensão
1.3 Resistência
1.3.1 Resistência em condutores
1.3.2 Condutância
1.3.3 Aspectos construtivos dos resistores
1.3.4 Coeficiente de temperatura α
Esquema
• arredondar um número, considerando os algarismos 
significativos;
• transformar um número utilizando a notação científica 
padronizada;
• aplicar corretamente prefixos gregos em substituição à 
potência de dez;
• compreender o funcionamento de circuitos que operam em 
regime de corrente contínua.
4 UNIUBE
1.1 Sistema Internacional de Medidas, arredondamento e 
potência de dez
O Sistema Internacional de Medidas, conhecido por SI, foi criado com o 
objetivo de estabelecer o uso adequado das unidades de medida para 
que uma grandeza seja expressa e compreendida de forma correta.
Você já usou por várias vezes esse sistema de medidas em diferentes 
situações de seu cotidiano. Já mediu, por exemplo, uma folha para ver 
se era do tamanho ofício; já usou medidas proporcionais, para desenhar 
figuras em quadrinhos; já mediu uma parede de seu quarto, para ver se 
comportava um guarda‑roupa ou um outro móvel.
Nesse sentido, você já sabe que o ato de medir significa avaliar 
ou determinar a medida de algum objeto. Sabe também que, para a 
realização de uma medição, necessitamos de um padrão de comparação 
da mesma espécie da quantidade a ser medida. A esse padrão 
nomeamos unidade de medida.
Você conhece também várias unidades de medida e alguns instrumentos 
utilizados para fazer medição. Sabemos que a medição deve ser 
executada com um instrumento de medida calibrado e uma forma 
padronizada de escrever o valor da medida conforme a sua unidade. 
Veja, a seguir, algumas unidades de medida e alguns instrumentos:
Unidade de medida: metro, quilo, litro, Volt’s etc.
Instrumento de medida: trena, régua, balança, voltímetro, amperímetro etc.
Observe, atentamente, a Figura 1. Nela temos a medição de um objeto 
por meio do instrumento régua. Note que 0,3 cm é uma aproximação; 
para uma medida exata, a régua deveria ser dotada de graduação em 
milímetros.
 UNIUBE 5
Figura 1: Medida e padrão de medida.
Fonte: Márcio Arruda (2008).
10 20 30
Objeto a ser medido
Medida = 23,3 cm
Instrumento: régua graduada de 30 cm.
Padrão de medida = centímetros
1.1.1 Histórico das unidades de medidas
É indispensável ao profissional da área tecnológica conhecer e 
compreender as unidades de medida.
Antigamente, essas unidades de medida eram representadas pelas 
partes do corpo humano. A jarda, por exemplo, era tida como a medida 
de um cinturão masculino da época, que recebia esse nome, e no século 
XII, foi estabelecida como sendo a distância entre o nariz e o polegar do 
braço estendido do rei da Inglaterra, Henrique I.
O símbolo da jarda é yd, do inglês yard. A relação oficial entre jardas e 
metros é de 3600 m para 3937,0113 jardas. Isso significa que cada jarda 
corresponde a aproximadamente 0,91439920429 metros.
IMPORTANTE!
A jarda tem como múltiplos:
• a braça, que equivale a 2 jardas;
• a milha terrestre, que equivale a 1760 jardas;
• a légua terrestre, que equivale a 3 milhas, ou seja, 5280 jardas.
6 UNIUBE
Os submúltiplos da jarda são o pé e a polegada. Uma jarda contém 
36 polegadas ou 3 pés. Temos, ainda, o palmo que é equivalente a 8 
polegadas, ou seja, 1 jarda contém 4,5 palmos (Figura 2).
Observe, com atenção, a Figura 2. Veja a relação feita do corpo humano 
com as unidades de medidas.
Figura 2: Medidas no corpo humano.
Com a necessidade de medidas exatas, novos padrões demedidas 
foram posteriormente estabelecidos. Por exemplo: o metro e o segundo. 
Acompanhe, a seguir, as suas definições:
• metro: comprimento do trajeto percorrido pela luz no vácuo, durante 
o intervalo de tempo de 1 / 299 792 458 de segundo;
• segundo: duração de 9 192 631 770 períodos da radiação 
correspondente à transição entre dois níveis hiperfinos do estado 
fundamental do átomo de Césio 133.
 UNIUBE 7
1.1.2 Sistema Internacional de Medidas – SI
Trata-se de um sistema de unidades coerentes, cujas unidades são 
escolhidas de tal forma que as equações entre valores numéricos ou 
equações correspondentes ou as equações correspondentes entre 
grandezas tenham exatamente a mesma forma. Acompanhe, no Quadro 
1, algumas correspondências.
Quadro 1: Unidades fundamentais
GRANDEZA SÍMBOLO NOME
Comprimento m metro
Massa kg quilograma
Tempo s segundo
Intensidade corrente elétrica A ampere
Temperatura K kelvin
Intensidade luminosa cd candela
 
1.1.2.1 A grafia das medidas
Ao expressar uma medida, não é permitida a utilização de símbolos 
diferentes dos legais e a utilização de ponto após qualquer símbolo, a 
não ser o ponto final de uma sentença.
O valor de uma grandeza deve sempre ser expresso por meio de uma só 
unidade de medida da mesma espécie, exceto as medidas de tempo e 
ângulo, que utilizam hora, minuto e segundos, no caso do tempo e graus, 
minutos e segundos em medidas de ângulo.
A parte inteira é separada de sua parte decimal por meio de uma vírgula, 
para facilitar a leitura e compreensão. O número pode ser dividido em 
grupos de três algarismos, quer à esquerda, quer à direita da vírgula, 
sendo que esses grupos se separam por um espaço correspondente ao 
que seria ocupado por um algarismo.
8 UNIUBE
1.1.2.2 Mudança de unidades
Constantemente nos deparamos com a necessidade de converter uma 
unidade em outra que nos seja mais conveniente. Apesar de, no Brasil, 
a unidade de medida para volume utilizada ser o litro e seus múltiplos, 
encontramos produtos comercializados em galão, por exemplo: galão 
de tintas. Um outro exemplo interessante se refere às dimensões da 
tela de um aparelho de televisão ou computador. Elas são fornecidas 
em polegadas, enquanto a nossa unidade de medida padrão é o metro.
Em instalações elétricas, esse problema é constante, sobretudo em 
ferragens, conexões e bitolas de cabos. Acompanhe, no Quadro 2, 
algumas conversões de unidades.
Quadro 2: Conversão de unidades
SÍMBOLO UNIDADE CONVERSÃO 
PARA
FATOR DE 
MULTIPLICAÇÃO
Bb OU Bbs BARRIL LITROS 158,988
lb/pol2 LIBRA POR 
POLEGADA 
QUADRADA
kgf/cm2 0,0703
lb LIBRA (PESO) kg 0,4536
pé PÉ m 0,3048
pol POLEGADA m 0,0254
 
1.1.3 Algarismos significativos
Algarismos significativos de uma grandeza são aqueles cujos valores 
garantem o resultado prático da medida, de acordo com a precisão e a 
graduação da escala do instrumento utilizado na medição.
1.1.4 Erros
O erro de uma medida é a diferença teórica entre o valor verdadeiro da 
grandeza e o valor que é possível medir com o instrumento utilizado.
 UNIUBE 9
1.1.4.1 Erro absoluto
O erro absoluto é definido como sendo o módulo da diferença entre o 
valor exato e o valor aproximado de um número. Suponha, por exemplo, 
que as massas de dois objetos sejam medidas. A massa do primeiro 
objeto é exatamente igual a 10 kg, mas a medida resultou em 9 kg. Para 
a massa do segundo objeto, o seu valor exato é de 20 kg, contudo, a 
medida resultou em 21 kg. Assim, os erros absolutos são:
1
2
10 9 1
20 21 1
E kg
E kg
= − =
= − =
1
2
1 kg 0,1 10%
10 kg
1 kg 0,02 2%
20
R
R
E ou
E ou
 kg
= =
= =
1.1.4.2 Erro relativo
O erro relativo é definido como sendo a relação entre o erro absoluto e 
o módulo do valor exato do número. Assim, utilizando os erros absolutos 
calculados anteriormente, tem-se:
1
2
10 9 1
20 21 1
E kg
E kg
= − =
= − =
1
2
1 kg 0,1 10%
10 kg
1 kg 0,02 2%
20
R
R
E ou
E ou
 kg
= =
= =
As medidas realizadas dos erros absolutos se mostraram iguais, contudo, 
ao se calcular o erro relativo, pode-se observar que o erro cometido na 
primeira medida foi 5 vezes maior do que o erro cometido na segunda 
medida. Conclui‑se, assim, que o erro relativo produz um resultado com 
informações mais úteis do que o erro absoluto, quando da comparação 
entre erros.
10 UNIUBE
1.1.4.3 Valor verdadeiro
No ponto de vista da teoria de erros, costuma‑se idealizar que toda 
grandeza física possui um valor bem definido, ou exato, que aqui 
chamaremos de valor verdadeiro da grandeza.
Quando se repete a medição de uma grandeza, na maioria das vezes, 
os sucessivos resultados não coincidem. Nesses casos, temos duas 
situações:
• os erros encontrados podem ser sistemáticos, ou seja, o valor 
medido fica fora dos padrões ou faixas de erros apresentados. 
Nesse caso, essas medições devem ser expurgadas do cálculo do 
valor mais provável da medição;
• os erros encontrados podem ser estatísticos, ou seja, os valores 
medidos se encontram dentro de uma faixa aceitável de erro.
1.1.4.4 Valor mais provável e precisão
Na impossibilidade de se conhecer o valor exato de uma grandeza física, 
estamos diante da seguinte questão:
Que valor devemos adotar para tal grandeza?
Consideremos as medidas sucessivas diferentes x1, x2, ..., xn, que são 
obtidas para uma grandeza física e valor médio (média aritmética) dessas 
medidas:
x = 
n
1 ∑
i
ix , (i = 1, 2, 3, ..., n) 
Admitindo‑se que os erros sistemáticos tenham sido eliminados, 
espera-se que, quanto maior o número de medidas obtidas, mais próximo 
estará o valor médio obtido do valor verdadeiro da grandeza.
 UNIUBE 11
Exemplo
Considere as seis medidas apontadas, a seguir, obtidas para a massa de 
um corpo, expressa em gramas: 13,62; 13,63; 13,64; 13,63; 13,60; 13,61.
O valor mais provável da massa do corpo será:
m = (13,62 + 13,63 +13,64 + 13,63 + 13,60 + 13,61) g / 6 = 81,73 g / 6 
= 13,621 g.
Então, com quantos algarismos devemos escrever o resultado acima?
A resposta dependerá do valor obtido para o erro médio absoluto, uma 
vez que este fornece a incerteza do valor mais provável.
Calculando os desvios (diferença entre o valor verdadeiro e o valor 
medido) ∆mi de cada uma das medidas, obtemos: +0,001; –0,009; 
–0,019; –0,009; +0,021; +0,011.
Assim, o erro médio absoluto será: = (0,001 + 0,009 + 0,019 + 0,009 + 
0,021 + 0,011) / 6 = 0,70 g / 6 = 0,01166 g.
A incerteza no valor mais provável da medida se manifesta a partir da 
segunda casa decimal (casa dos centésimos). Portanto, é inútil manter 
algarismos que estão situados além da casa dos centésimos, tanto no 
erro médio como no valor mais provável. O valor final para a massa do 
corpo será escrito como:
m = (13,62 ± 0,01) g
1.1.5 Arredondamento
Por arredondamento entende‑se o ato de desprezar algarismos 
significativos de uma medida excessivamente precisa para a operação 
desejada, adotando-se a seguinte regra:
12 UNIUBE
• se o último algarismo abandonado é menor do que cinco, 
simplesmente desprezam‑se os algarismos excedentes, conservando 
o valor do número arredondado.
• se o último algarismo abandonado é maior ou igual a cinco, 
desprezam‑se os algarismos excedentes, adicionando uma unidade 
à última casa decimal do valor do número arredondado;
Exemplo de arredondamento
Arredondar o número 36,65492 para duas, três e quatro casas após a 
vírgula, considerando os algarismos significativos:
• duas casas: 36,65;
• três casas: 36,655;
• quatro casas: 36,6549.
1.1.6 Notação científica
A notação científica é um artifício utilizado para representar números 
muito grandes ou muito pequenos. É baseado no uso de potências de 
10. Acompanhe os exemplos, a seguir:
Exemplo1
Para escrevermos um número muito grande, como o número de elétrons 
em um Coulomb que é de 6,242 x 1018 elétrons, sem a utilização da 
potência de dez, teríamos que escrever 6. 242 000 000 000 000 000 
elétrons.
Exemplo 2
Assim, para escrevermos um número muito pequeno, a capacitância de 
um capacitor cerâmico de 4,7 x 10–9 Farads, sem a utilização da potência 
de dez, teríamos que escrever: 0,000 000 0047 Farads.
 UNIUBE 13
Nesses casos, a representação dos números, na forma convencional, 
torna‑se difícil em função da quantidade de zeros extremamente alta para 
a velocidade normal de leitura dos números.
Um número escrito em notação científica deve seguir o seguinte modelo: m 
x 10e. O número “m” é denominado mantissa e “e”, a ordem de grandeza. A 
notação científica padronizada é aquela em que a mantissa deve ser maior 
ou igual a 1 e menor que 10. Desse modo, cada número é representado 
de uma única maneira. Assim, para transformar um número qualquer para 
a notação científica padronizada, devemos deslocar a vírgula, obedecendo 
ao princípio de equilíbrio, como 123456,78. Como a notação científica 
padronizada exige que a mantissa esteja entre 1 e 10, o valor adequado 
seria 1,2345678 x 105.
PARADA OBRIGATÓRIA
Acompanhe, passo a passo, o princípio do equilíbrio:
123456,78 x 100
12345,678 x 101
1234,5678 x 102
123,45678 x 103
12,345678 x 104
1,2345678 x 105
Veja outro exemplo com valor menor que 1:
0,000000673
0,000000673 x 100
0,00000673 x 10–1
14 UNIUBE
0,0000673 x 10–2
0,000673 x 10–3
0,00673 x 10–4
0,0673 x 10–5
0,673 x 10–6
6,73 x 10–7
1.1.7 Prefixos do Sistema Internacional
Os prefixos do SI permitem escrever quantidades sem o uso da notação 
científica, de maneira mais simples. Acompanhe, no Quadro 3:
Quadro 3: Prefixos utilizados no Sistema Internacional
10N PREFIXO SÍMBOLO ESCALA
EQUIVALENTE 
DECIMAL
1012 tera T Trilhão 1000 000 000 000
109 giga G Bilhão 1 000 000 000
106 mega M Milhão 1 000 000
103 quilo k Milhar 1 000
102 hecto h Centena 100
101 deca da Dezena 10
100
10–1 deci d Décimo 0,1
10−2 centi c Centésimo 0,01
10−3 mili m Milésimo 0,001
10−6 micro m Milionésimo 0,000 001
10−9 nano n Bilionésimo 0,000 000 001
10−12 pico p Trilionésimo 0,000 000 000 001
 
 UNIUBE 15
Para utilizar esses prefixos, primeiro precisamos “preparar” o número 
para substituição da potência de dez. Preparar o número significa 
colocá-lo em notação científica, não necessariamente padronizada, e 
aplicar o prefixo grego em substituição à potência de dez.
Os prefixos mais utilizados nos estudos de eletricidade são:
• quilo;
• mega;
• giga;
• mili;
• micro;
• nano;
• pico.
Observe que todas as potências de dez dos prefixos citados são múltiplos 
de três. Veja, a seguir, o exemplo de uma aplicação:
4 700 Ω = 4,7 x 103 Ω = 4,7 kΩ.
0,003 amperes = 3 x 10-3 A = 3 mA.
1 000 000 volts = 1 x 106 V = 1 MV.
IMPORTANTE!
Corrente e tensão1.2
Nossa abordagem abrangerá a importância de conhecer os condutores 
e isolantes de corrente e tensão, compreendendo o que é a corrente 
elétrica e as forças que atuam sobre o fluxo dessa corrente.
16 UNIUBE
1.2.1 Condutores e isolantes
Na natureza, há materiais em que o movimento das cargas elétricas 
ocorre com facilidade. Esses materiais são chamados de CONDUTORES. 
Por exemplo: o cobre, o ferro, o alumínio, a prata, entre outros, são 
condutores de corrente elétrica.
Existem também aqueles em que o movimento das cargas elétricas 
é extremamente difícil, em função da sua própria estrutura molecular. 
Esses materiais são chamados de ISOLANTES. Como exemplos temos 
a borracha, a porcelana, o vidro, a madeira seca, entre outros.
1.2.1.1 Materiais condutores
Nos átomos dos materiais CONDUTORES, os elétrons que se movem 
nas camadas mais distantes do núcleo atômico são fracamente atraídos 
pelo núcleo, podendo escapar de um átomo para outro, constituindo-se 
nos ELÉTRONS LIVRES, abundantes nos metais. Acompanhe esse 
movimento na Figura 3, a seguir.
Figura 3: Materiais condutores.
Material condutor = muitos elétrons livres
1.2.1.2 Materiais isolantes
Nos átomos dos materiais ISOLANTES, a forte atração exercida pelo 
núcleo atômico sobre os elétrons das camadas mais externas do átomo 
 UNIUBE 17
não possibilitam a existência dos ELÉTRONS LIVRES. A Figura 4 ilustra 
a referida força.
Figura 4: Materiais isolantes.
Material isolante = poucos elétrons livres
Outro aspecto importante a considerar é que não existem condutores 
perfeitos nem isolantes perfeitos. Isso significa que um isolante pode 
conduzir corrente elétrica em determinadas condições.
Exemplo
A madeira, quando seca, tem propriedade de ser isolante. No entanto, 
úmida funciona como um condutor elétrico.
Na verdade, um isolante pode ser interpretado como um mau condutor de 
eletricidade.
Vale lembrar que os materiais isolantes têm tanta importância na eletricidade 
quanto os condutores. Os condutores é que nos permitem trabalhar com a 
eletricidade de forma segura.
IMPORTANTE!
18 UNIUBE
1.2.2 Corrente elétrica
Todas as substâncias, gasosas, líquidas ou sólidas são constituídas 
de pequenas partículas invisíveis a olho nu. Essas partículas são 
denominadas átomos.
O átomo é composto de três partículas básicas. São elas:
• os prótons;
• os nêutrons;
• os elétrons.
Os prótons e os nêutrons formam o núcleo do átomo. O próton possui 
carga elétrica positiva e o nêutron não possui carga elétrica. As suas 
massas são equivalentes.
O elétron possui uma carga negativa e a sua massa, por ser muito 
pequena, é desprezível.
Em um átomo, o número de elétrons é igual ao número de prótons, 
sendo, portanto, o átomo eletricamente neutro, pois a soma das cargas 
dos elétrons (negativas) com as cargas dos prótons (positivas) é igual 
a zero.
A carga elétrica de um elétron é de 1,6 x 10–19 Coulombs. O Coulomb 
é uma unidade fundamental do Sistema Internacional de unidades (SI) 
utilizada para quantificar a carga elétrica presente em um corpo. Essa 
unidade recebeu este nome em homenagem ao físico francês Charles 
Augustin de Coulomb.
Para que tenhamos uma carga elétrica correspondente a 1C (um 
Coulomb), é necessário somarmos a carga elétrica de 6,242 x 1018 
elétrons.
 UNIUBE 19
Os elétrons, quando presentes em um material considerado bom condutor 
de eletricidade (metais por exemplo), estão em constante movimento 
desordenado ganhando e perdendo energia o tempo todo (Figura 5).
Figura 5: Movimento desordenado de elétrons.
Íon
+
Íon
+
Íon
+
Íon
+
Íon
+
Íon
+
Íon
+
Neste estado, o movimento resultante da agitação dos elétrons livres 
é nulo. Ou seja, na ausência de uma força externa (campo elétrico por 
exemplo), o fluxo de carga líquida em um condutor é nulo em qualquer 
direção.
Quando submetemos as extremidades desse condutor a uma diferença 
de potencial, provocamos nele um deslocamento de elétrons ordenados 
segundo a polaridade dessa diferença de potencial. Observe, com 
atenção, na Figura 6 a seguir:
20 UNIUBE
Figura 6: Corrente elétrica.
15W
12V
BATERIA
Conclusão: esse fluxo ordenado de elétrons chama-se corrente elétrica.
1.2.2.1 Conceito de corrente elétrica
Quando 6,242 x 1018 elétrons (1 Coulomb = 1 C) atravessam, em 1 
segundo, com velocidade uniforme, a seção reta circular de um condutor, 
podemos dizer que este escoamento de carga corresponde a 1 ampere (A).
 
t
QI =
Em que:
I = intensidade de corrente (A)
Q = carga elétrica (C)
t = tempo (s)
O fluxo da corrente elétrica se dá do potencial com excesso de cargas 
negativas (–) em direção ao potencial com falta de cargas elétricas 
negativas (+). Este sentido da corrente (saindo do polo negativo emdireção ao polo positivo) é denominado sentido “real” ou “eletrônico” da 
corrente elétrica.
 UNIUBE 21
Em função de definições anteriores, a comprovação desse fato, segundo 
as literaturas sobre eletricidade, consideram para efeito de estudo que o 
fluxo da corrente se dá do terminal positivo de uma fonte para o terminal 
negativo. Este sentido é denominado de “sentido convencional” da 
corrente elétrica.
André Marie Ampère (1775-1836) introduziu um novo campo de estudos 
em 18 de setembro de 1820. Esse estudo foi denominado eletrodinâmica. 
Tem como objetivo estudar os efeitos causados por cargas elétricas em 
movimento. O instrumento galvanômetro é destinado a medir intensidade de 
corrente elétrica. Em homenagem a André Marie Ampère, foi dado o nome 
de ampere (A) à unidade de medida da corrente elétrica.
SAIBA MAIS
Para conhecer um pouco mais sobre André Marie Ampère e seus trabalhos 
científicos, acesse <http://pt.wikipedia.org/wiki/Andr%C3%A9-Marie_
Amp%C3%A8re>.
PESQUISANDO NA WEB
1.2.3 Tensão
1.2.3.1 Energia potencial
O fluxo ordenado de cargas elétricas é provocado por uma diferença de 
potencial. A energia potencial é a capacidade que um corpo possui para 
realizar um trabalho.
O trabalho é a grandeza cuja variação é igual ao produto escalar de uma 
força pelo vetor deslocamento infinitesimal de seu ponto de aplicação 
[símbolo: W ].
22 UNIUBE
1.2.3.2 Energia potencial gravitacional
Se um corpo de massa m for elevado a uma altura (h) de um metro acima 
de um plano de referência, ao ser liberado, cai sobre este plano e realiza 
determinado trabalho. Se, por sua vez, o mesmo corpo for elevado a 
uma altura de dois metros acima do plano de referência, ao ser liberado 
e cair sobre o plano de referência, o trabalho realizado será o dobro do 
primeiro caso.
Nos dois casos, ao elevarmos o corpo, estamos adicionando a ele uma 
energia potencial gravitacional que é expressa por:
 hgmhFdFW .... ===
Em que, W = Energia potencial expressa em joules, J.
Como nos dois casos, a massa do corpo é a mesma, podemos afirmar, 
então, que o trabalho a ser realizado é uma função da altura:
 hkW '= ou ( )hfW =
Portanto, é possível conhecer o quanto de trabalho gravitacional é 
realizado em função da diferença de altura entre o objeto (corpo) e o 
plano de referência.
1.2.3.3 Energia potencial elétrica
Em uma fonte de energia como, por exemplo, uma bateria, as reações 
químicas internas estabelecem uma diferença de potencial elétrico entre 
os polos positivo e negativo por meio do acúmulo de elétrons em um polo 
(–) e a falta desses no outro polo (+). Existe, portanto, entre os polos da 
bateria, uma energia potencial elétrica. Se ligarmos os dois polos com um 
 UNIUBE 23
material condutor, os elétrons acumulados no polo negativo terão energia 
suficiente para se deslocarem até o polo positivo.
Diante disso, podemos dizer que existe uma diferença de potencial de 1 
volt (V) entre dois pontos se acontece uma troca de energia de 1 joule (J) 
quando se desloca uma carga de 1 Coulomb (C) entre estes dois pontos 
(xy). Portanto é necessário gastar uma energia de 1 J para deslocar 
uma carga elétrica de 1 C entre os pontos xy, se a diferença de energia 
potencial entre os pontos for igual a 1 V.
Você sabia que a unidade de medida da tensão elétrica é o Volt 
(V)?
Essa medida recebeu este nome em homenagem a Alessandro Giuseppe 
Antonio Anastasio Volta – físico alemão, inventor da bateria.
Para conhecer um pouco mais sobre esse físico, acesse:
<http://pt.wikipedia.org/wiki/Alessandro_Volta>.
PESQUISANDO NA WEB
Veja, a seguir, a fórmula:
 
Q
WVxy =
Em que:
W = Trabalho realizado (joule, J);
Q = Carga elétrica (Coulomb, C);
Vxy = Diferença de potencial elétrico (ddp) entre os pontos x e y (Volts, V).
Assim, para uma carga Q constante, temos:
24 UNIUBE
 
 
Q
WVxy = ou 
 WkVxy '= Portanto, 
 )(WfVxy =
Logo, a diferença de potencial entre dois pontos de um circuito é um 
indicador de quanta energia é necessária para deslocar uma carga entre 
estes dois pontos (x e y).
1.2.3.4 Paralelo entre energia potencial gravitacional e energia 
potencial elétrica
Podemos estabelecer um paralelo entre a energia potencial gravitacional 
e a energia elétrica. Acompanhe.
• potencial gravitacional: quanto mais alto (h) estiver o objeto 
(massa) do solo, maior será a energia disponível para provocar a 
queda do objeto ao solo;
 ( )hfW =
• potencial elétrico: quanto mais alta for a diferença de potencial 
fornecida por uma fonte, maior será a quantidade de energia 
disponível para provocar o escoamento de cargas elétricas (corrente 
elétrica) em um circuito.
 )(WfVxy =
1. A determinação de uma diferença de potencial ou de uma tensão envolve 
sempre dois pontos de um sistema. Se modificarmos a escolha de qualquer 
um destes pontos, a diferença de potencial não será mais, em geral, a 
mesma.
IMPORTANTE!
 UNIUBE 25
2. A notação utilizada para tensões de fontes elétricas é igual a E.
3. A notação utilizada para as quedas de tensões é igual a V.
1.2.3.5 Simbologia de fonte de tensão
Observe, com atenção, a Figura 7. O símbolo mostra que o ponto x está 
E volts mais alto que o ponto y. Assim, a diferença de potencial elétrico 
entre x e y é de: E volts. Ou seja:
 EVxy =
E
y x
+–
Figura 7: Simbologia de fonte de tensão.
Fonte: Márcio Arruda (2008).
Resistência1.3
Os elétrons livres, durante o movimento em um condutor, colidem com 
átomos deste condutor, perdendo parte de sua energia cinética sob a 
forma de calor. Essas colisões internas ao condutor que provocam a 
perda de energia são denominadas de resistência do material.
A resistência, então, é a propriedade do material em se opor ou resistir 
ao movimento dos elétrons. A unidade da resistência no SI é ohm (Ω) e é 
representada pela variável R.
PONTO‑CHAVE
26 UNIUBE
1.3.1 Resistência em condutores
A resistência de um condutor de seção reta e uniforme (Figura 8) 
é diretamente proporcional ao seu comprimento e inversamente 
proporcional à área da seção reta. A resistência de um condutor é dada por:
Em que:
ρ = resistividade (Ω.mm² /m);
L = comprimento do condutor (m);
S = área da seção transversal (mm²).
R = ρ L
 S
L
S
Figura 8: Resistência de um condutor.
A resistividade é uma propriedade que depende do tipo do material e os 
metais mais usados para condução de energia elétrica são:
• Prata: utilizada em pastilhas de contato de contatores, relés etc.
Sua resistividade média é 0,016 Ωmm2/m a 20º C.
• Cobre: utilizado na fabricação de fios em geral e equipamentos 
elétricos (chaves, interruptores, tomadas etc.).
Resistividade média do cobre duro é 0,0179 Ωmm2/m a 20º C.
• Alumínio: utilizado na fabricação de condutores para linhas e redes 
por ser mais leve e de custo mais baixo. Os condutores de alumínio 
podem ser de:
• CA – alumínio sem alma de aço;
• CAA – alumínio enrolado sobre um fio ou cabo de aço (alma de aço);
• Sua resistividade média é 0,028 Ωmm2/m a 20º C.
 UNIUBE 27
Comparando os valores de resistividade do cobre e alumínio, pode ser 
verifi cado que o cobre apresenta menor resistividade, consequentemente, 
para uma mesma seção (mm2), os condutores de cobre conduzem mais 
corrente elétrica.
COMPARANDO
1.3.2 Condutância
O inverso da resistência elétrica, ou seja, a facilidade que um determi-
nado material oferece à passagem da corrente elétrica é definido como 
a condutância elétrica, representada pela letra G.
A unidade derivada do SI de condutância é Siemens (S).
Logo, podemos escrever:
1.3.3 Aspectos construtivos dos resistores
Os resistores são usados basicamente para controlar a corrente em 
um circuito elétrico. Os materiais mais utilizadospara a fabricação de 
resistores são o carbono e alguns tipos de ligas como a manganina, o 
constantan e o níquel‑cromo.
Os resistores são construídos, em sua maioria, segundo uma das 
seguintes técnicas: composição, fi o, película. Vejamos:
• Técnica da composição
Os resistores construídos, segundo a técnica da composição, são 
constituídos por um elemento de carvão pulverizado e misturado com 
uma resina aglutinante, uma resina fenólica para proteção do elemento 
resistivo e terminais metálicos para a fi xação.
G =
 
1
R
28 UNIUBE
De acordo com as porcentagens nas misturas de carbono e do 
aglutinante, são obtidos os vários valores de resistências encontrados 
comercialmente. As vantagens que essa técnica apresenta são baixo 
custo final e pequeno volume, porém esses resistores são sujeitos a 
“ruídos” (interferências) por apresentarem partículas de carbono com 
pequena área de contato entre si.
• Técnica de fio
Os resistores de fio são fabricados utilizando fios de materiais de 
resistividade considerada e enrolados sobre um tubo de porcelana. Após 
as fixações dos terminais, o conjunto é recoberto por uma mistura de pó 
de cerâmica com aglutinante.
Os resistores de fio são utilizados para grandes dissipações que, 
obviamente, geram grande quantidade de calor e, portanto, apresentam 
normalmente grandes proporções. São fabricados desde alguns ohms 
a algumas dezenas de quilo-ohms e com potências variáveis desde 5 
W até 50 W.
• Técnica de película
Os resistores de película são fabricados utilizando película de carbono 
ou película metálica. Os resistores de película de carbono ou carbon 
film resistor são constituídos por um cilindro de porcelana sobre o qual é 
aplicada uma fina película de carbono. Para resistências elevadas, faz-se 
um sulco sobre a película de carvão tal que a resistência seja uma faixa 
helicoidal sobre o cilindro de porcelana.
Pode‑se controlar os vários valores de resistência, alternando a 
espessura da película de carbono ou mudando o passo da faixa helicoidal 
sobre o cilindro cerâmico.
 UNIUBE 29
Nos resistores de fio, as características desse componente são impressas 
diretamente no seu próprio corpo. Já em outros resistores, em função 
do seu tamanho, as características são expressas por código de cores 
impressos em seu corpo.
Os códigos de cores impressos nos resistores nos dão as informações 
sobre o valor da resistência em Ohms e a tolerância. A tolerância dos 
resistores indica uma faixa de valores em que o valor real da resistência 
se encontra.
Exemplo 1
Um resistor de 100 Ω e tolerância de 5% pode ter o seu valor real entre 
95 Ω e 105 Ω.
A Tabela 1 traz os códigos de cores utilizados para identificação do valor 
da resistência em um resistor. Leia‑a com muita atenção.
Tabela 1: Tabela de cores dos resistores
COR 1º ALGARISMO 2º ALGARISMO
FATOR 
MULTIPLICATIVO
TOLERÂNCIA
Preto ‑‑ 0 ×10 0 ‑‑
Marrom 1 1 ×101 ± 1%
Vermelho 2 2 ×102 ± 2%
Laranja 3 3 ×103 ‑‑
Amarelo 4 4 ×104 ‑‑
Verde 5 5 ×105 ‑‑
Azul 6 6 ×106 ‑‑
Violeta 7 7 ×107 ‑‑
Cinza 8 8 ×108 ‑‑
Branco 9 9 ×109 ‑‑
Ouro ‑‑ ‑‑ ×10-1 ± 5%
Prata ‑‑ ‑‑ ×10‑2 ± 10%
 
30 UNIUBE
Observação 1: A cor preta não é utilizada como primeiro algarismo.
Observação 2: Normalmente, o 1º algarismo é a cor mais próxima de 
uma das extremidades do resistor.
Exemplo 2
Suponha que um resistor possua a seguinte sequência de cores:
1ª cor = marrom
2ª cor = preta
3ª cor = vermelha
4ª cor = ouro
Qual o valor da resistência desse resistor incluindo sua tolerância?
Resposta
As duas primeiras cores são o 1º e o 2º algarismos, respectivamente. 
Portanto, temos os valores 1 (marrom) e 0 (preto). A terceira cor indica o 
fator multiplicativo, que neste exemplo vale 102. Por fim, temos a quarta 
cor, que é a tolerância; neste caso, 5%. Resumindo, tem-se:
Resistência = 10 × 102 ± 5% = 1000 Ω ± 5% ou 1k Ω ± 5%.
A tolerância, neste caso, indica que se utilizarmos um instrumento 
(ohmímetro) para “ler” o valor desse resistor, devemos encontrar uma 
resistência entre 950 Ω e 1050 Ω.
Um outro fator a ser identificado nos resistores é a potência que ele 
pode dissipar. Essa característica é determinada pelo tamanho físico do 
resistor, ou seja, quanto maior o resistor, maior será a potência de sua 
dissipação.
 UNIUBE 31
Os resistores variáveis são utilizados para variar ou mudar a resistência 
de um circuito. São conhecidos como potenciômetros ou reostatos. À 
medida que o braço deslizante gira, seu ponto de contato com o elemento 
resistivo muda.
1.3.4 Coeficiente de temperatura α
O coeficiente de temperatura da resistência indica a quantidade de 
variação da resistência para uma variação na temperatura. Um valor 
positivo de α indica que R aumenta com a temperatura; um valor negativo 
de α significa que R diminui; e um valor zero para α indica que R é 
constante, isto é, não varia com a temperatura. Os valores típicos de 
α são apresentados na Tabela 2 e o valor final da resistência de um 
material é determinada por:
 ).1.( To ∆+= αρ ρ
Em que:
ρ = resistividade do material, em [Ω.m], à temperatura T;
ρo = resistividade do material, em [Ω.m], à uma temperatura de referência 
To;
ΔT = T – To = variação da temperatura, em [ºC];
α = coeficiente de temperatura do material, em [ºC–1].
Tabela 2: Coeficientes de temperatura
CLASSIFICAÇÃO MATERIAL COEFICIENTE a
METAL
PRATA 0,0038
ALUMÍNIO 0,0039
COBRE 0,004
TUNGSTÊNIO 0,0048
32 UNIUBE
LIGA
CONSTANTÃ VALOR MÉDIO = 0
NÍQUEL -CROMO 0,00017
LATÃO 0,0015
CARBONO GRAFITE −0,0002 A −0,0008
 
Sugerimos a leitura de Introdução à análise de circuitos, referência aos 
estudos de eletricidade. Trata-se do livro de autoria de Robert L. Boylestad 
(2004), fundamental a esses estudos, uma vez que aborda, de forma muito 
clara, os conceitos mais importantes e necessários à compreensão dos 
conteúdos da referida área. A obra é conhecida como a Bíblia dos estudiosos 
da eletricidade.
Sugerimos a leitura das seguintes seções: 2.1, 2.2, 2.3, 2.4 e 2.5. Sugerimos, 
também, a resolução dos seguintes exercícios:
• Seção 2.2: exercícios 8, 9 e 14;
• Seção 2.3: exercícios 18, 19 e 23;
• Seção 2.4: exercícios 26 e 27.
INDICAÇÃO DE LEITURA
Resumo
Neste capítulo abordamos os conceitos básicos relacionados à 
manipulação de números como arredondamento e notação científica. 
Tratamos, ainda, a forma correta de representação de uma grandeza 
com base no Sistema Internacional de Medidas e o uso de prefixos em 
substituição à notação científica.
A segunda e a terceira partes do capítulo tratam de corrente, tensão e 
resistência elétricas. Estas grandezas são de grande importância no 
estudo da eletricidade e são a base para futuros estudos dos circuitos 
elétricos.
 UNIUBE 33
Referências
BOYLESTAD, Robert L. Corrente e tensão. In: ______. Introdução à 
análise de circuitos. 10. ed. São Paulo: Pearson Education, 2004.
CAPUANO, Francisco Gabriel; MARINO, Maria Aparecida Mendes. 
Laboratório de eletricidade e eletrônica. 24. ed. São Paulo: Érica, 2007.
Florisvaldo Cardozo Bomfi m Júnior
Márcio Aparecido Arruda
Introdução
Lei de Ohm e análise 
de circuitos elétricos
Capítulo
2
Neste capítulo, abordamos a aplicação de lei de Ohm, fórmulas 
e tipos de cálculo. Os conceitos que iremos trabalhar constituem 
o requisito básico para a compreensão e a avaliação de circuitos 
elétricos.
Recomendamos que, sempre que possível, organize um grupo de 
estudos para que amplie seu conhecimento.
Para aprofundar os conceitos e exemplos apresentados, sugerimos, ao 
longo do texto, a leitura de alguns capítulos do livro Introdução à análise 
de circuitos, de autoria de Robert L. Boylestad (2004).
INDICAÇÃO DE LEITURA
Ao fi nal deste capítulo, você deverá ser capaz de:• explicar a lei de Ohm;
• avaliar o funcionamento de diferentes circuitos;
• analisar o funcionamento de circuitos em corrente contínua;
• aplicar teoremas coerentes em análise de circuitos de 
corrente contínua;
Objetivos
36 UNIUBE
• diferenciar circuitos em série e circuitos em paralelo;
• simular diferentes circuitos em corrente contínua.
2.1 Conhecendo a Lei de Ohm
2.1.1 Potência e energia
2.2 Circuitos em série
2.2.1 Resistência total em um circuito em série
2.2.2 Resistência e potência em um circuito em série
2.2.3 Lei de Kirchhoff para Tensão (LKT)
2.2.4 Fontes de tensão em série
2.2.5 Regras do divisor de tensão
2.2.6 Resistência interna das fontes de tensão
2.3 Circuitos em paralelo
2.3.1 Elementos em paralelo
2.3.2 Condutância e resistência totais
2.3.3 Tensão e corrente em circuitos em paralelo
2.3.4 Lei de Kirchhoff para a Corrente (LKC)
2.3.5 Regra do divisor de corrente
2.3.6 Fontes de tensão em paralelo
2.4 Circuitos em série‑paralelo
2.4.1 Resolução de circuito aplicando matriz
Esquema
Conhecendo a Lei de Ohm2.1
Observe a relação, a seguir, expressa na equação:
EFEITO = 
OPOSIÇÃO
CAUSA
Para entender essa relação, devemos nos ater aos seguintes aspectos:
1. qualquer processo de conversão de energia pode ser relacionado a 
 UNIUBE 37
esta equação. Em circuitos elétricos, o efeito que nós necessitamos 
estabelecer é o fluxo da carga ou da corrente. A diferença potencial, 
ou seja, a tensão entre dois pontos é a causa (pressão) e a resistência 
é a oposição encontrada;
2. para uma resistência fixa, quanto maior a tensão (ou pressão) aplicada 
aos terminais de um resistor, maior será a corrente;
3. para uma tensão fixa, quanto maior for a resistência, menor será a 
corrente.
Diante do exposto, o que podemos concluir?
Concluímos que a corrente é proporcional à tensão aplicada e 
inversamente proporcional à resistência.
Verifique, com atenção, a Figura 1, a seguir:
Figura 1: Lei de Ohm.
Na qual: I = corrente (amperes, A)
 E = tensão (volts, V)
 R = resistência (ohms, Ω)
O símbolo utilizado para designar a tensão na fonte (bateria) é a letra 
maiúscula E, enquanto a queda de energia potencial sobre o resistor é 
38 UNIUBE
simbolizada por V. A polaridade da queda de tensão (V) sobre o resistor 
é determinada pela polaridade da fonte, porque os terminais da bateria 
são conectados diretamente aos terminais do resistor.
Para um elemento resistivo isolado, a polaridade da queda de tensão 
(V) é indicada em função da direção da corrente. Assim, o sentido da 
corrente convencional no circuito é indicado por meio de uma seta.
Vale destacar que o ponto de entrada da seta em um elemento do circuito 
indica a polaridade positiva. Observe na Figura 2, a seguir:
Figura 2: Polaridade da queda de tensão.
Sugerimos a leitura das seções 4.1 e 4.2 do livro Introdução à análise de 
circuitos de autoria de Robert L. Boylestad (2004). Essa obra é referência 
aos seus estudos de eletricidade, porque ela aborda os conceitos mais 
importantes e necessários à compreensão dos conteúdos da referida 
área. Sugerimos, além da leitura das seções, a resolução dos exercícios 
indicados, a seguir:
• Seção 4.1: exercícios de 1 a 12.
• Seção 4.2: exercícios 14 e 16.
INDICAÇÃO DE LEITURA
2.1.1 Potência e energia
Para Boylestad (2004, p. 64), “a potência é a grandeza que mede quanto 
trabalho pode ser analisado em certo período de tempo”. Há diferentes 
tipos de potência.
 UNIUBE 39
• Potência mecânica
Um sistema apresenta elevada potência mecânica se ele consegue 
realizar muito trabalho em pouco tempo. Assim, potência é a relação 
entre a energia gasta por um sistema e o tempo.
 energiaP
tempo
=
Na qual:
Energia = joules = J
Tempo = segundos = s
Potência = J/s = watt = W
• Potência elétrica
A potência elétrica (P) expressa a quantidade de trabalho realizado em 
um espaço de tempo por um equipamento elétrico. No caso de nossos 
estudos em corrente contínua e com circuitos puramente resistivos, a 
potência elétrica medida em Watts é o produto da corrente elétrica pela 
tensão aplicada ao elemento do circuito, ou seja:
P = V x I
Na qual:
P = Potência elétrica medida em Watts;
V = Tensão, medida em Volts (V);
I = Corrente elétrica, medida em amperes (A).
40 UNIUBE
Da equação, podemos obter, ainda:
Como V = R x I, teremos: P = (R x I) x I, então:
Como I = V / R, teremos: P = V x (V / R), então:
P = V
2
R
Acompanhe o exemplo a seguir:
Qual a potência elétrica de um ferro de passar roupas que, quando 
alimentado por uma tensão de 127 Volts, solicita uma corrente elétrica 
de 7,48 amperes?
P = V x I = 127V x 7,48A = 949,96VA
P ≈ 950 Watts
P = R x I2
Para circuitos puramente resistivos, a potência aparente medida em Volt 
amperes (VA) é igual à potência útil medida em Watts (W).
SAIBA MAIS
• Energia elétrica
A energia elétrica que pagamos mensalmente na conta de energia 
expressa em kWh é o produto da potência elétrica dos equipamentos 
medida em kW, pelo período de sua utilização em hora. Veja a equação:
E = P x T
 UNIUBE 41
Na qual:
E = Energia elétrica consumida (kWh);
P = Potência elétrica (kW);
T = Tempo (horas).
Exemplo
Qual a energia elétrica consumida pelo ferro elétrico (exemplo anterior), 
se este permanecer ligado por 45 minutos?
Resolução:
E = P x T
Potência do equipamento = 950 Watts ou 0,95 kW
Tempo em horas = 45 minutos / 60 minutos = 0,75 horas
E = 0,95 kW x 0,75 horas
E = 0,7125 kWh
Sugerimos a leitura das seções e a resolução dos exercícios indicados a 
seguir do livro Introdução à análise de circuitos, de autoria de Robert L. 
Boylestad (2004).
• Leitura das seções 4.3, 4.4, 4.5 e 4.6;
• Exercícios referentes à seção 4.3 (exercícios 19, 21 e 22);
• Exercícios referentes à seção 4.5 (exercício 41);
• Exercícios referentes à seção 4.6 (exercícios 52, 55 e 57).
INDICAÇÃO DE LEITURA
42 UNIUBE
A leitura dessas seções e a resolução dos exercícios indicados possibilitam a 
você, aluno(a) do curso de Engenharia, aprofundar seus estudos e vivenciar 
as informações teóricas recebidas, em tarefas simples como, por exemplo, 
aquecer uma refeição em um forno de micro‑ondas.
Circuitos em série2.2
Atualmente, dois tipos de corrente elétrica são usados nos 
equipamentos elétricos. São eles: o de corrente contínua (CC) e o de 
corrente alternada (CA).
Abordaremos em nossos estudos somente o primeiro tipo – o de 
corrente contínua.
No circuito, a corrente elétrica só possui um caminho a seguir, desde 
que sai do polo positivo de uma fonte até retornar ao polo negativo desta 
mesma fonte (sentido convencional). Portanto, nos circuitos em série, a 
corrente é a mesma em todos os elementos que compõem este circuito. 
Em outras palavras, a corrente que atravessa o resistor R1 é a mesma 
que atravessa os resistores R2 e R3, e é exatamente aquela fornecida 
pela fonte.
Observando a Figura 3, podemos observar que dois elementos estão 
em série se:
• possuem somente um terminal em comum;
• o ponto comum entre os dois elementos não está conectado a outro 
elemento percorrido por corrente.
 UNIUBE 43
Figura 3: Circuito em série.
Assim, se todos os elementos do circuito estão em série, o circuito é 
chamado circuito em série, e a corrente elétrica é a mesma em todos 
os elementos de um circuito em série.
2.2.1 Resistência total em um circuito em série
A resistência total de um circuito em série é a soma das resistências do 
circuito.
RT = R1 + R2 + R3 + R4 ….+ RN
Essa resistência total (RT) é a resistência “vista” pela fonte.
2.2.2 Resistência e potência em um circuito em série
Uma vez conhecida a resistência total RT, podemos determinar a corrente 
drenada da fonte, utilizandoa lei de Ohm:
E
Rt
Is =
Como a tensão da fonte (E) é fi xa, a intensidade da corrente depende 
somente do valor de Rt.
44 UNIUBE
De posse do valor da corrente elétrica em um circuito série, que é a 
mesma que percorre todos os elementos do circuito, podemos aplicar a 
lei de Ohm para calcular o valor da tensão que fica retida em cada um 
dos elementos do circuito. Verifique, a seguir:
V1 = I x R1;
V2 = I x R2;
V3 = I x R3;
VN = I x RN;
VT = V1 + V2 +V3 +....+VN.
Da mesma forma, podemos calcular a potência dissipada em cada 
resistor. E a potência total fornecida pela fonte será a somatória de todas 
as potências dissipadas em cada resistor do circuito:
P1 = V1 x I;
P2 = V2 x I;
P3 = V3 x I;
PN = VN x I;
PT = P1 + P2 + P3 +…+ PN
Exemplo 1
No circuito em série apresentado na Figura 4, determine a:
a) resistência total do circuito;
 UNIUBE 45
b) corrente fornecida pela fonte;
c) queda de tensão em cada resistor e a tensão total fornecida pela fonte;
d) potência dissipada em cada resistor;
e) potência total fornecida pela fonte.
R3 = 6 ohms
Figura 4: Exemplo de circuito em série 2.
R1 = 10 ohms
IE = 48 V R2 = 8 ohms
Resolução:
a) RT = R1 + R2 + R3 ... RT = 10 Ω + 8 Ω + 6 Ω RT = 24Ω
b) Is = E / RT Is = 48 V / 24 Ω Is = 2 A;
c) Queda de tensão nos resistores:
• VR1 = R1 x Is VR1 = 10 Ω x 2A VR1 = 20 V;
• VR2 = R2 x Is VR2 = 8 Ω x 2A VR2 = 16 V;
• VR3 = R3 x Is VR3 = 6 Ω x 2 A VR3 = 12 V;
• E = VR1 + VR2 + VR3 E = 20 V + 16 V + 12 V E = 48 V.
d) Potência dissipada em cada resistor:
• PR1 = VR1 x I PR1 = 20 V x 2 A PR1 = 40 Watts;
• PR2 = VR2 x I PR2 = 16 V x 2 A PR1 = 32 Watts;
• PR3 = VR3 x I PR3 = 12 V x 2 A PR1 = 24 Watts.
46 UNIUBE
e) PT = PR1 + PR2 + PR3 PT = 40 W + 32 W + 24 W PT = 96 Watts.
2.2.3 Lei de Kirchhoff para Tensão (LKT)
Essa lei aponta que a somatória das quedas de tensão, nos elementos 
de um circuito em série, será igual à tensão fornecida pela fonte. No caso 
de duas ou mais fontes em um único circuito em série, a polaridade delas 
devem ser consideradas. Então, podemos dizer que a soma algébrica 
das elevações e das quedas de potencial em uma malha fechada será 
sempre zero (Figura 5).
Figura 5: Lei de Kirchhoff para Tensão.
R2
R1
E V2
V1
LKT
a b
II
I I
cd
A tensão aplicada a um circuito em série é igual à soma das quedas de 
tensão nos elementos em série: ∑ V elevações = ∑ V quedas.
Para aplicarmos a Lei de Kirchhoff para a Tensão, a soma das elevações 
e quedas de potencial precisa ser feita percorrendo a malha em certo 
sentido que, por convenção, será usado o sentido horário para todas as 
aplicações da LKT.
Um sinal positivo indica uma elevação de potencial (de – para +), e um 
sinal negativo, uma queda de potencial (de + para –).
 UNIUBE 47
No circuito apresentado anteriormente, a corrente percorre o caminho 
abcda, formando uma malha fechada.
Aplicando a lei de Kirchhoff para Tensão (LKT), no exemplo, a seguir, 
teremos:
V1 – V2 + E = 0, portanto: E = V1 + V2
2.2.4 Fontes de tensão em série
As fontes de tensão podem ser conectadas em série para aumentar ou 
diminuir a tensão aplicada a um sistema. Acompanhe, na Figura 6, a 
seguir:
Figura 6: Fontes de tensão em série.
E1 = 1,5V
E2 = 1,5V
E3 = 1,5V
E4 = 1,5V
VR1 = 6V
A tensão resultante é determinada somando-se as tensões das fontes de 
mesma polaridade e subtraindo-se as de polaridades diferentes.
Veja: ET = E2 + E3 – E1
Atenção! A polaridade resultante é aquela para a qual a soma é maior.
48 UNIUBE
2.2.5 Regras do divisor de tensão
A tensão entre os terminais dos elementos resistivos divide‑se na mesma 
proporção que os valores de resistência. O resistor de maior valor captura 
a maior parte da tensão aplicada, enquanto o menor fi ca com a menor 
parte.
A regra dos divisores de tensão nos permite determinar as tensões em 
cada resistor do circuito. Para isso, devemos utilizar:
Vx = RxE
RT
A tensão entre os terminais de um resistor em um circuito em série 
será igual ao valor deste resistor multiplicado pela tensão total aplicada 
aos elementos em série do circuito, dividida pela resistência total dos 
elementos em série.
Exemplo 2
No circuito divisor de tensão, a seguir, determine as quedas de tensão 
em cada resistor, na Figura 7.
100V
R1 = 30 ohms
R2 = 50 ohms
R2 = 20 ohms
Figura 7: Circuito divisor de tensão
 UNIUBE 49
VR1 = (R1 x E) / RT VR1 = (30 Ω x 100 V) / (30 Ω + 50 Ω + 20 Ω) VR1 
= 30 V;
VR2 = (R2 x E) / RT VR1 = (50 Ω x 100 V) / (30 Ω + 50 Ω + 20 Ω) VR1 
= 50 V;
VR3 = (R3 x E) / RT VR1 = (20 Ω x 100 V) / (20 Ω + 50 Ω + 20 Ω) VR1 
= 20 V.
2.2.6 Resistência interna das fontes de tensão
Toda fonte de tensão (gerador, bateria, fontes de laboratório) possui uma 
resistência interna. A fonte de tensão ideal não possui resistência interna 
e a sua tensão de saída será sempre E com carga ou sem carga ligada 
em seus terminais.
A tensão nos terminais de uma fonte de tensão com resistência interna 
é calculada usando a seguinte fórmula:
Vint = IFL x Rint.
Na qual:
V int = queda de tensão interna da fonte de tensão (V);
IFL = corrente de carga (A);
Rint. = resistência interna da fonte (Ω).
Exemplo
No circuito a seguir (Figura 8), determine o valor da tensão nos terminais 
da carga.
50 UNIUBE
Figura 8: Resistência interna das fontes de tensão.
E = 96V RL (Carga)
Rint = 18 ohms 
I(LF) = 50 mA
VL = ?
Vint = FL x Rint V int = 500 × 10–3 × 18 Ω V int = 9 V
Tensão na carga = VL = E – V int VL = 96 V – 9 V VL = 87 V
Com base nos resultados obtidos, o que podemos concluir?
Isso significa que dos 96 Volts fornecidos pela fonte, 9 Volts ficam retidos 
na resistência interna da fonte e são dissipados na forma de calor, ficando 
a carga submetida a uma tensão de 87 Volts.
PARADA OBRIGATÓRIA
Sugerimos a leitura das seções e resoluções dos exercícios do livro 
Introdução à análise de circuitos, de autoria de Robert L. Boylestad 
(2004), conforme indicado a seguir.
• Leitura das seções de 5.1 a 5.9.
• Exercícios referentes à seção 5.2 (exercícios 1, 2 e 3).
• Exercícios referentes à seção 5.3 (exercício 5).
• Exercícios referentes à seção 5.4 (exercícios 9 e 10).
• Exercícios referentes à seção 5.6 (exercício 15).
INDICAÇÃO DE LEITURA
 UNIUBE 51
• Exercícios referentes à seção 5.7 (exercícios 24, 25 e 26).
• Exercícios referentes à seção 5.8 (exercício 35).
Nessa leitura, você encontrará importantes informações sobre a utilização 
correta e segura dos equipamentos utilizados para medição das grandezas 
elétricas, corrente e tensão. Para uma melhor fixação dos conceitos dos 
circuitos em série, faça os exercícios indicados, a fim de compreender 
melhor o conteúdo abordado.
Circuitos em paralelo2.3
2.3.1 Elementos em paralelo
Dois elementos, ramos ou circuitos estão conectados em paralelo quando 
possuem dois pontos em comum. Observe, com atenção, a Figura 9:
Figura 9: Elementos em paralelo.
2.3.2 Condutância e resistência totais
No caso de elementos em paralelo, a condutância total é a soma das 
condutâncias individuais.
GT = + G1 + G2 + G3 +… + GN
À medida que o número de resistores em paralelo aumenta, a corrente 
na entrada do circuito também aumenta, para uma tensão de entrada 
constante. Efeito contrário ao que acontece no caso de resistores em série.
52 UNIUBE
Como G = 1/R, a resistência total do circuito será:
R R R R R
Note que o resultado desta equação nos dá o inverso da resistência total. 
Uma vez executados os cálculos, devemos inverter o resultado para 
obtermos a resistência total.
1. A resistência total de um conjunto de resistores em paralelo é sempre 
menor que a do resistor de menor resistência do conjunto.
Quanto maiorfor a diferença entre o valor de duas resistências em paralelo, 
mais o valor da resistência total se aproxima do valor da menor resistência. 
A equação, a seguir, é utilizada para calcular a resistência total de resistores 
de valores iguais em paralelo.
R R
NN
2. A resistência total referente a dois resistores em paralelo é o produto das 
duas resistências dividido pela sua soma:
R R
R
R
R
R
N
R
Elementos em paralelo podem ser intercambiados sem alterar a resistência 
total ou corrente total.
IMPORTANTE!
 UNIUBE 53
Exemplo 3
Nos circuitos a seguir (Figura 10), calcule a resistência total:
Circuito 1:
100Ω 100Ω 100Ω 100Ω
Figura 10: Resistores em paralelo.
Quando os resistores têm o mesmo valor, utilizamos a seguinte fórmula:
 R R
NN
RT = 100 Ω / 4
RT = 25 Ω
Circuito 2:
Figura 11: Resistores em paralelo.
500Ω 750Ω
Observe a Figura 11. Percebeu que os resistores são de valores 
diferentes? Neste caso, utilizamos a seguinte fórmula:
R R
R
R
R
R
N
R
54 UNIUBE
RT = (500 Ω x 750 Ω) / (500 Ω + 750 Ω)
RT = 300 Ω
Reestruturação da fórmula para 3 resistores em circuito paralelo.
1 1 1 1
Re 1 2 3
1 2 3 1 3 1 2
Re 1 2 3
1 2 3Re
2 3 1 3 1 2
q R R R
R R R R R R
q R R R
R R Rq
R R R R R R
= + +
⋅ + ⋅ + ⋅
=
⋅ ⋅
⋅ ⋅
=
⋅ + ⋅ + ⋅
R
R
R
Exemplo 4
Determine a resistência equivalente do circuito representado na Figura 12.
Figura 12: Circuito paralelo.
20 ohms 10 ohms 5 ohms
1 2 3 20 10 5Re
2 3 1 3 1 2 10 5 20 5 20 10
1 000 1 000Re 2,86
50 100 200 350
R R Rq
R R R R R R
q
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
==
⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅
= → = Ω
+ +
R
R
 UNIUBE 55
2.3.3 Tensão e corrente em circuitos em paralelo
A corrente total fornecida pela fonte é: Is = E / RT. Como a tensão obtida 
entre os terminais de elementos em paralelo são iguais, ou seja, V1 = V2 
= E, as correntes nos ramos serão então: I1 = V1/R1, I2 = V2/R2,......,IN 
= VN/RN (Figura 13).
Figura 13: Tensão e corrente em circuitos paralelos.
E
IS
V1 V2R1 R2
I1 I2
IS
Para circuitos em paralelo com apenas uma fonte, a corrente fornecida 
pela fonte (Is) é igual à soma das correntes em cada um dos ramos do 
circuito. Is = I1 + I2.
2.3.4 Lei de Kirchhoff para a Corrente (KLC)
A Lei de Kirchhoff para a Corrente (LKC) afirma que a soma algébrica das 
correntes que entram em um nó é igual à soma algébrica das correntes 
que saem deste nó. Veja a Figura 14:
Σ I.entram = Σ I.saem
56 UNIUBE
Figura 14: Tensão e corrente em circuitos paralelos.
E
IS
IS
I1 I2
R1 R2
Acompanhe no nó da Figura 13:
Σ I.entram = Is
Σ I.saem = I1 + I2 ou seja: Is = I1 + I2.
2.3.5 Regra do divisor de corrente
A regra do divisor de corrente (RDC) diz que a corrente que entra em um 
conjunto de elementos em paralelos se dividirá entre estes elementos. No 
caso de dois elementos em paralelo com resistências iguais, a corrente 
se dividirá igualmente entre eles. Se os elementos em paralelo tiverem 
resistências diferentes, o elemento de menor resistência será percorrido 
pela maior fração da corrente.
A razão entre os valores de corrente nos dois ramos será inversamente 
proporcional à razão entre as suas resistências (Figura 15).
Figura 15: Divisor de corrente.
 UNIUBE 57
O valor da corrente em cada ramo será:
RT
RxIx = I
Analise a Figura 16 a seguir:
56,25V
Is = 3A I(1)
30 ohms 50 ohms
I(2)
a
b
Figura 16: Divisor de corrente.
No caso particular de dois resistores em paralelo, como o da fi gura 
anterior, utilizamos as seguintes fórmulas:
R2 x I
R1 + R2I1 =
R1 x I
R1 + R2I2 =
I 1 = (50 Ω x 3 A) / (30 Ω + 50 Ω) = 1,87 A;
I 2 = (30Ω x 3 A) / (30 Ω + 50 Ω) = 1,13 A.
2.3.6 Fontes de tensão em paralelo
As fontes de tensão podem ser colocadas em paralelo somente se as 
tensões nos terminais forem idênticas (Figura 17).
58 UNIUBE
A razão para colocarmos fontes de tensão em paralelo é a obtenção de 
uma intensidade de corrente maior (e, como consequência, uma potência 
maior):
A corrente total será:
IS = I1 + I2 +… IN
Figura 17: Fontes de tensão em paralelo.
E E E
I(1) I(2) I(3) Is = I(1) + I(2) + I(3)
Se colocarmos duas baterias de diferentes tensões em paralelo, a bateria 
de maior tensão tende a descarregar rapidamente até o seu valor de 
tensão igualar‑se ao de menor tensão.
As resistências internas relativamente pequenas das fontes de tensão 
são as únicas limitadoras para a corrente entre elas, resultando em uma 
rápida descarga na bateria com maior valor de tensão e um impacto 
destrutivo na fonte de menor tensão.
Sugerimos a leitura das seções e resolução do Capítulo 6 do livro Introdução 
à análise de circuitos, de autoria de Robert L. Boylestad (2004).
• Leitura das seções de 6.1 a 6.10.
• Exercício referente à seção 6.2 (exercício 2).
• Exercícios referentes à seção 6.3 (exercícios 3, 4 e 6).
INDICAÇÃO DE LEITURA
 UNIUBE 59
• Exercícios referentes à seção 6.4 (exercícios 8, 10 e 12).
• Exercícios referentes à seção 6.5 (exercícios 18,19 e 21).
• Exercícios referentes à seção 6.6 (exercícios 22, 24 e 27).
• Exercício referente à seção 6.7 (exercício 28).
Ao fazer o estudo sugerido, observe a influência da resistência interna dos 
equipamentos de medição, especificamente o voltímetro, no resultado das 
medições e as precauções que devem ser tomadas para evitar esses erros.
Circuitos em série-paralelo2.4
De acordo com Boylestad (2004), “Circuitos em série-paralelo são os que 
contêm componentes em série e em paralelo.”
Para determinar a resistência equivalente em um circuito composto 
por uma associação de resistores, calcula‑se inicialmente a resistência 
equivalente das associações em série e, em seguida, parte-se as 
associações em paralelo. Acompanhe na Figura 18:
6 ohms
12V
6 ohms 8 ohms
8 ohms
Figura 18: Circuito em paralelo.
Como exemplo, vamos considerar o circuito representado na Figura 18.
Como determinar a resistência equivalente do circuito?
Em primeiro lugar, reorganizamos o circuito. Veja como isso é feito na 
Figura 19.
60 UNIUBE
6 ohms
6 ohms
8 ohms
8 ohms12V
Figura 19: Circuito em série paralelo 2.
Os dois resistores de 6 Ω em paralelo podem ser simplificados como:
R R
R
R
R
R
N
R
RT = 6 Ω / 2
RT = 3 Ω
Reorganizando o circuito (Figura 20):
3 ohms
8 ohms
8 ohms12V
Figura 20: Circuito em série paralelo reduzido.
 UNIUBE 61
Os resistores de 3 Ω e 8 Ω podem ser simplificados, utilizando-se a 
seguinte fórmula:
R R
R
R
R
R
N
R
RT = (3 Ω x 8 Ω) / (3 Ω + 8 Ω)
RT = 2,18 Ω
Reorganizando o circuito (Figura 21).
Figura 21: Circuito em série paralelo reduzido 2.
2,18 ohms
8 ohms12V
Os resistores agora estão em série. Para obter a resistência total, basta 
somar o valor das duas resistências (Figura 22).
10,18 ohms12V
Figura 22: Resistência equivalente de um circuito em série 
paralelo.
Rt = 2,18 Ω + 8 Ω
Rt = 10,18 Ω
62 UNIUBE
Exemplo 5
Determine as tensões V1, V2, V3 e V4, a corrente fornecida pela fonte e a 
potência dissipada em cada resistor do circuito apresentado na Figura 23.
4 ohms 6 ohms
5 ohms
12V24V
3 ohms
Figura 23: Exemplo de circuito em série paralelo.
Acompanhe os procedimentos!
Redesenhar o circuito, agrupando as fontes que estão em série, assim 
como os resistores (Figura 24).
Req1 = R3 + R4 = 4 Ω + 6 Ω
Req1 = 10 Ω
Req2 = R1 + R2 = 3 Ω + 5 Ω
Req1 = 8 Ω
Eeq = –24 V + 12 V
Eeq = –12 V 
 UNIUBE 63
12V 10 ohms 8 ohms
Is I(1) I(2)
Figura 24: Circuito em série paralelo redução.
R R
R
R
R
R
N
R
RT = (10 Ω X 8 Ω) / (10 Ω + 8 Ω)
RT = 4,44 Ω
Cálculo da corrente total fornecida pela fonte