Unidade 9 - Análise de Correlação E Regressão

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Introdução a unidade de ensino
 Explorando a temática
Unidade 9 - Análise de Correlação E Regressão
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Introdução a unidade de ensino
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Análise de correlação e regressão
Ao analisar um conjunto de dados, podemos ter interesse no relacionamento entre duas variáveis quantitativas. Dessa forma, poderíamos traçar o seguinte questionamento: um
aumento no valor da variável X se relaciona a um aumento na variável Y? Qual seria a magnitude dessa relação? As técnicas de análise de correlação e análise de regressão
podem ser utilizadas para estudos desse tipo.
A relação entre variáveis quantitativas pode ser modelada pela análise de correlação e regressão. Com a evolução da informática nos últimos vinte anos, essas técnicas têm sido
cada vez mais utilizadas no ambiente empresarial.
Nesta unidade, você aprenderá a desenvolver cálculos para correlação e regressão, tanto o passo a passo como utilizando o software Microsoft Excel.
Explorando a temática
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ANÁLISE DE CORRELAÇÃO
Quando temos interesse em investigar o quanto duas variáveis quantitativas estão associadas, podemos utilizar uma medida conhecida como coeficiente de correlação.
 
O coeficiente de correlação mede o grau de intensidade do relacionamento linear entre duas variáveis quantitativas.
Diagrama de dispersão 
Antes de calcular a correlação entre duas variáveis, é bastante útil representar os dados num diagrama de dispersão.
 
Diagrama de dispersão: consiste na representação gráfica de duas variáveis quantitativas no plano cartesiano.
 
A figura a seguir se refere a uma pesquisa com anúncios de vendas de 58 imóveis. As variáveis são: ÁREA DO IMÓVEL (em metros quadrados) e VALOR DO IMÓVEL (em R$
mil).
FIGURA 1 - Área do imóvel x valor do imóvel 
 
 
Fonte: Elaborada pela autora.
No gráfico de dispersão é possível visualizar alguns aspectos relativos ao comportamento conjunto das variáveis, como: direção, forma e força da relação. 
No que se refere à direção, a figura apresenta indícios de que as variáveis (ÁREA e VALOR) estão positivamente relacionadas, ou seja, parece que a direção é ascendente. Há
situações em que as variáveis apresentam associação negativa, por exemplo, o PREÇO e a QUANTIDADE DEMANDADA (para a maioria das mercadorias, quanto maior o
preço, menor a quantidade demandada).
Em relação à forma, podemos verificar que a relação entre as variáveis parece ser linear. Observe a reta que resume a associação. Existem situações em que duas variáveis se
encontram associadas, porém de forma não linear, como na próxima figura.
 
FIGURA 2 - Relação não linear entre as variáveis X e Y 
 
 
Fonte: Elaborada pela autora.
Outro aspecto de grande importância ao observar o diagrama de dispersão é a força da relação. Na FIGURA 1, o VALOR DO IMÓVEL se relaciona à ÁREA, mas a intensidade
da relação não parece tão extrema.
A próxima figura mostra um diagrama de dispersão em que as variáveis apresentam ausência de relação.
FIGURA 3 - Ausência de relação entre as variáveis X e Y 
 
 
Fonte: Elaborada pela autora.
O grau de intensidade da relação linear entre duas variáveis quantitativas é dado pelo coeficiente de correlação de Pearson.
Coeficiente de correlação de Pearson 
O coeficiente de correlação linear de Pearson consiste na medida do grau de intensidade da relação linear entre duas variáveis quantitativas, podendo assumir valores entre -1 e
1. Podemos afirmar que duas variáveis estão positivamente correlacionadas se elas caminham no mesmo sentido, ou seja, quando ocorre um aumento de valor em uma, a
outra também aumenta. Nesse caso, quanto mais próxima de 1, maior a intensidade da associação entre as variáveis. Quando as variáveis caminham em sentidos opostos,
dizemos que elas estão negativamente correlacionadas. Quanto mais próxima de -1, maior a intensidade da associação, porém a relação é inversa.
É importante destacar que o fato de duas variáveis estarem associadas não significa, necessariamente, que exista uma relação de causa e efeito. Por exemplo: geralmente
crianças mais novas apresentam menor peso, entretanto, isso não significa que o envelhecimento causa aumento de peso. É mais provável que a criança aumente o peso pelo
fato de aumentar a altura.
A análise de correlação tem objetivo exploratório servindo como elemento auxiliar na análise da relação entre variáveis. Dessa forma, em muitas ocasiões, o estudo da
correlação é utilizado como um recurso a mais na análise dos dados.
O coeficiente de correlação de Pearson é dado pela fórmula:
 
 
O numerador da fórmula se refere ao somatório do produto dos desvios da variável X e da variável Y em relação às suas respectivas médias. No denominador, encontra-se o
produto dos desvios padrão de cada uma das duas variáveis multiplicado pelo tamanho da amostra menos uma unidade.
Um engenheiro químico está estudando o efeito da temperatura de operação do processo sobre o resultado da produção. O estudo resultou nos seguintes dados:
 
 
Calcule o coeficiente de correlação entre as variáveis.
(Fonte: Adaptado de HINES et al., 2006.)
Solução:
Ao realizar uma análise de correlação é bastante útil construir o diagrama de dispersão para que se tenha uma ideia da associação entre as variáveis:
FIGURA 4 - Resultado do processo (em %) em função da temperatura (em ºC) 
 
 
Fonte: HINES et al., 2006.
A figura apresenta indícios de que as variáveis estão fortemente associadas. Para confirmar essa suspeita, podemos calcular o coeficiente de correlação, conforme a tabela a
seguir:
TABELA 1 - Dados para o cálculo do coeficiente de correlação entre temperatura (X) e resultado (Y) 
 
 
Fonte: Elaborada pela autora.
Aplicando a fórmula, temos:
 
 
O valor + 0,99 obtido pelo coeficiente de correlação confirma que as variáveis estão fortemente associadas, conforme indício dado pelo diagrama de dispersão (FIGURA 4).
O exemplo a seguir se refere a uma situação em que as variáveis apresentam correlação negativa.
 
O quadro a seguir representa o PREÇO (em R$) e a QUANTIDADE DEMANDADA de uma determinada mercadoria.
 
 
Solução
Antes de calcular o coeficiente de correlação, é interessante construir o diagrama de dispersão para ter uma ideia da direção e da forma da associação entre as variáveis.
FIGURA 5- Quantidade x Preço 
 
 
Fonte: Elaborada pela autora.
Para o cálculo do coeficiente de correlação, temos:
TABELA 2- Dados para o cálculo do coeficiente de correlação entre preço (X) e Quantidade (Y) 
 
Preço (x) Quantidade (y) (xi - ) (yi - ) (xi - )(yi - )
10 200 -4,5 50 (-4,5)*(50) = -225
11 171 -3,5 21 (-3,5)*(21) = -73,5
12 168 -2,5 18 (-2,5)*(18) = -45
13 165 -1,5 15 (-1,5)*(15) = -22,5
14 170 -0,5 20 (-0,5)*(20) = -10
15 147 0,5 -3 (0,5)*(-3) = -1,5
16 120 1,5 -30 (1,5)*(-30) = -45
17 130 2,5 -20 (2,5)*(-20) = -50
18 105 3,5 -45 (3,5)*(-45) = -157,5
19 124 4,5 -26 (4,5)*(-26) = -117
Média (x) = 14,5 Média (y) = 150
(xi- )(yi- ) = -747
Desvio padrão(x)=3,0 Desvio padrão(y)=29,6
Fonte: Elaborada pela autora.
 
Portanto, as variáveis apresentam forte correlação negativa, conforme indício do diagrama de dispersão.
Observações importantes sobre o coeficiente de correlação de Pearson:
• o valor da correlação independe da unidade de medida dos dados. Por exemplo, se tivermos interesse em medir a correlação entre ALTURA e PESO de um grupo de pessoas,
tanto faz a ALTURA entrar nos cálculos em centímetros ou em metros;
• a correlação não se aplica a mais de duas variáveis;
• a correlação não faz distinção sobre qual variável se projeta em cada eixo do plano cartesiano. Dessa forma, Cor (X,Y) = Cor (Y,X);
• as variáveis devem ser quantitativas. O coeficiente de correlação linear de Pearson não se aplica a variáveis categóricas;
• a correlação mede o grau de associação linear. Dessa forma, se duas variáveis quantitativas se relacionam de formaquadrática ou exponencial, o coeficiente de correlação
linear não é indicado, uma vez que matematicamente tem a capacidade de captar relações lineares.
Uso da tecnologia para o cálculo do coeficiente de correlação
O cálculo do coeficiente de correlação no Excel é dado pela função:
= CORREL (matriz1; matriz2)
Onde os parâmetros (matriz1 e matriz2) se referem aos dados das duas variáveis. Observe a figura a seguir.
FIGURA 6 - Coeficiente de correlação no Excel 
 
 
Fonte: Elaborada pela autora.
 
Videoaula: Conceitos de análise de correlação
 
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Regressão Linear Simples
A regressão linear simples tem como objetivo estimar uma equação que relacione matematicamente duas variáveis, sendo que uma delas é explicada pela outra. A variável
explicada geralmente é denominada variável resposta ou variável dependente. A variável explicativa é denominada variável explanatória ou variável independente.
A análise de regressão múltipla tem por objetivo estimar uma equação que relacione matematicamente uma variável resposta a duas ou mais variáveis explicativas.
A figura a seguir reapresenta os dados relativos à FIGURA 1 na qual a variável resposta VALOR se correlaciona à ÁREA DO IMÓVEL.
FIGURA 7 - Valor do imóvel x Área do imóvel 
 
 
Fonte: Elaborada pela autora.
Observe que os pontos do diagrama não caem exatamente sobre a reta de regressão, mas a reta é capaz de resumir o padrão geral de comportamento dos dados. Uma das
técnicas mais utilizadas para a obtenção dessa reta é conhecida como método dos mínimos quadrados.
 
Método dos mínimos quadrados: é uma técnica estatística utilizada para resumir um conjunto de variáveis quantitativas numa equação. Ela se baseia na minimização da
distância quadrática de cada ponto em relação à reta.
A equação que representa o modelo de regressão linear simples é
Conceitos de análise de correlação
from EAD ANIMA
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Y_i=ß_0+ß_1·X_i+ε_i
Onde:
Yi = valor da variável dependente na i-ésima tentativa, ou observação;
ß0 = primeiro parâmetro da equação de regressão, o qual indica o intercepto no eixo Y, ou seja, o valor de Y quando X = 0;
ß1 = segundo parâmetro da equação de regressão, chamado coeficiente angular, que indica a inclinação da reta de regressão;
εi = o valor do erro, que significa a diferença entre o valor verdadeiro e o valor previsto pela equação de regressão (ε é a letra grega épsilon). Após a estimação da equação de
regressão, o erro passa a ser denominado resíduo.
Os parâmetros ß0 e ß1 no modelo de regressão linear são estimados pelos valores ß0 e ß1 que se baseiam nos dados amostrais. O "chapéu" sobre as letras indica que foi
feita uma estimativa dos parâmetros do modelo com base em dados obtidos por intermédio de uma amostra. Dessa forma, a equação de regressão linear baseada nos dados da
amostra que é usada para estimar um simples valor da variável dependente, em que o "chapéu" sobre o Y indica que ele é um valor estimado, é:
 
 
A análise de regressão se distingue da correlação por supor uma relação de causalidade entre as variáveis resposta e explanatória. A análise geralmente se baseia numa
referência teórica que justifique uma relação matemática de causalidade.
A estimativa dos parâmetros ß0 e ß1 do modelo se dá a partir das seguintes fórmulas:
 
 
 
Um professor acredita que a NOTA na prova de estatística esteja relacionada ao número de HORAS DE ESTUDO dos alunos. Para tentar convencer os estudantes dessa
relação, o professor resolve fazer uma pesquisa levantando dados de sete estudantes, conforme o quadro a seguir.
TABELA 3- Dados para a estimação da reta de regressão que relaciona nota na prova de estatística (Y) e horas de estudo (X) 
 
Fonte: Elaborada pela autora. 
a) Determine a equação da reta de regressão para os dados da tabela.
b) Use a equação de regressão para estimar a nota de um estudante que tenha dedicado 20 horas de estudo para a prova. 
Solução
a) Podemos incluir mais duas colunas na tabela para facilitar a operacionalização dos cálculos:
TABELA 4 - Cálculos para a estimação da reta de regressão que relaciona nota na prova de estatística (Y) e horas de estudo (X) 
 
Fonte: Elaborada pela autora. 
Na penúltima coluna foram obtidos os valores da variável X ao quadrado. 
Na última coluna os valores de X foram multiplicados pelos valores de Y para cada estudante. Em seguida, foram obtidas as médias de cada variável e, finalmente, o somatório
das duas últimas colunas. Colocando os dados obtidos nas fórmulas, temos:
 
 
A equação estimada foi: 
 
b) Para calcular o valor estimado da nota (Y) com base no número de horas estudadas (X), basta inserir o valor de X na equação. Considerando X = 20, temos:
Portanto, estima-se que um estudante que tenha dedicado 20 horas de estudo obtenha aproximadamente 72 pontos na prova. Observe a seguir o diagrama da
FIGURA 8 - Previsão da NOTA (Y) com base no número de HORAS DE ESTUDO (X) 
 
 
Fonte: Elaborada pela autora.
Interpretação do resultado da regressão 
Além de permitir a previsão de uma variável resposta em função de uma variável explanatória, a análise de regressão também mede a variação de Y quando variamos X. A partir
da equação obtida pelos, podemos afirmar que o aumento de uma unidade na variável X (número de horas estudadas) aumenta, em média, 1,35 unidades na variável Y (pontos
na prova de estatística).
Uso da tecnologia para a estimação da regressão 
Com a evolução da informática, a técnica de regressão múltipla passou a ser cada vez mais utilizada pelas organizações e pelos cientistas, pois os cálculos se tornaram menos
tediosos. No exemplo a seguir, os dados foram rodados no Excel.
Estime a equação de regressão com os dados do terceiro exemplo utilizando o Excel.
Solução
DADOS > ANÁLISE DE DADOS > REGRESSÃO > OK
Regressão linear múltipla Na regressão linear simples, uma variável resposta pode ser explicada por uma variável explanatória. Na FIGURA 9, o valor do imóvel pode ser
previsto com base no tamanho (em metros quadrados). O valor obtido para o R2 foi de 0,45. Isso significa que a variável explanatória X explica 45% da variação na variável Y. No
exemplo em questão, outras variáveis também podem ser utilizadas para explicar melhor a variação de Y (preço do imóvel), por exemplo, a idade do imóvel, o preço do
condomínio, o número de banheiros etc.
Dessa forma, na regressão múltipla, uma variável resposta se relaciona a duas ou mais variáveis explanatórias. O objetivo também é predizer os valores de Y com base nas
variáveis explanatórias.
Na maioria das vezes, uma variável resposta se relaciona a mais de uma variável explanatória. Nessa situação, também podemos utilizar o método dos mínimos quadrados para
obter uma equação que relacione as variáveis. Nesse caso, temos uma regressão múltipla:
Onde:
Yi = variável resposta (variável dependente); ß0 = intercepto (valor assumido por Y quando todas as demais variáveis assumem valor igual a zero); ß1 , ß2, ..., ßk = coeficientes
angulares; k = número de variáveis explanatórias (variáveis independentes).
A estimação da equação de regressão linear múltipla também se dá pelo método dos mínimos quadrados. O objetivo é obter o hiperplano que melhor se ajuste ao conjunto de
dados por meio da minimização dos desvios quadráticos.
Com a evolução da informática, a técnica de regressão múltipla passou a ser cada vez mais utilizada pelas organizações e pelos cientistas, pois os cálculos se tornaram menos
tediosos. No quinto exemplo, o preço do imóvel é estimado com base em duas variáveis: ÁREA DO IMÓVEL e NÚMERO DE QUARTOS. Estime a equação de regressão
relacionando o VALOR DO IMÓVEL às variáveis: ÁREA do apartamento e NÚMERO DE QUARTOS.
 
O artigo trata da regressão linear múltipla aplicada a sintomas depressivos e fatores associados em população idosa no Sul do Brasil.
GAZELLE, F. K. et al. Sintomas depressivos e fatores associadosem população idosa no Sul do Brasil. Revista Saúde Pública. v. 38, n. 3, 2004. p. 365-371. Disponível
em: <https://www.scielosp.org/pdf/rsp/2004.v38n3/365-371/pt>. Acesso em: 23 fev. 2018.
 
Estime a equação de regressão relacionando o VALOR DO IMÓVEL às variáveis: ÁREA do apartamento e NÚMERO DE QUARTOS.
 
https://www.scielosp.org/pdf/rsp/2004.v38n3/365-371/pt
https://www.scielosp.org/pdf/rsp/2004.v38n3/365-371/pt
Solução
DADOS > ANÁLISE DE DADOS > REGRESSÃO > OK
Nos intervalos de entrada e saída, insira o endereço das variáveis explanatória e dependente, respectivamente, assim como foi feito para a regressão simples. Em seguida,
aperte OK.
Após rodar a regressão múltipla, o Excel produz tabelas. Segue a primeira:
TABELA 5 - Estatísticas da regressão múltipla
Fonte: Elaborada pela autora.
Nesse caso, a principal estatística a ser analisada é o R-quadrado. A tabela apresenta valor igual a 0,78. Isso significa que o modelo explica aproximadamente 78% da
variabilidade em Y a partir das duas variáveis explanatórias.
A próxima tabela diz respeito ao teste de significância conjunta do modelo. Para essa situação utilizamos o teste F, que produziu uma estatística igual a 42,5, que implica um
valor p igual a zero. Portanto, rejeitamos a hipótese de que o modelo não se ajusta bem aos dados.
TABELA 6 - Resultados do teste de adequação do modelo de regressão múltipla (teste F)
Fonte: Elaborada pela autora.
A saída da última coluna se refere aos valores p do teste dos coeficientes da regressão. A hipótese nula é de que cada coeficiente é igual a zero, individualmente, versus a
hipótese alternativa de que seja diferente de zero, respectivamente.
TABELA 7 - Coeficientes de regressão e estatísticas de interesse
Fonte: Elaborada pela autora.
A equação estimada é:
Videoaula: Conceitos de regressão linear simples e múltipla
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Os exemplos de análise de regressão utilizados nesta unidade contêm uma variável explicativa, no caso da regressão simples, ou duas variáveis explicativas, no caso da
regressão múltipla. Tais situações ilustram a utilização dos modelos de regressão para situações mais simples. Na verdade, esses modelos podem ser utilizados com um
número bem maior de variáveis explicativas.
Por exemplo, para prever o preço de revenda de um automóvel, o analista de dados pode utilizar diversas variáveis, como: idade, número de quilômetros rodados, presença de
vidros elétricos, presença de ar condicionado, consumo de combustível na estrada, consumo de combustível na cidade, estado de conservação dos pneus, estado de
conservação da pintura etc.
Nesse sentido, os modelos de regressão se mostram muito úteis para a realização de previsões. Outro exemplo: imagine o gestor de uma empresa de varejo de alimentos que
tem que tomar a decisão sobre a quantidade de itens em estoque. Nesse caso, ele não pode estocar muito, pois os produtos podem perder validade, além do custo do espaço
utilizado para guardar as mercadorias. Ao mesmo tempo, estocar uma quantidade insatisfatória pode implicar na falta de produtos para a venda. Nesse caso, é de grande valia a
utilização de modelos de previsão para estimar a quantidade de mercadorias que serão comercializadas num certo espaço de tempo.
Um terceiro exemplo do uso de modelos de regressão se refere à decisão dos bancos sobre conceder ou não um empréstimo para determinado candidato. Para isso, o banco
geralmente levanta diversas variáveis para estimar a probabilidade de o cliente ser ou não um bom pagador.
Nos três exemplos, o analista deve combinar a utilização da teoria com um pouco de experiência no assunto para a escolha das variáveis capazes de explicar melhor o
fenômeno.
Exercícios complementares: 
1. (TJ-RO, 2012) Um analista estudou o pagamento dos valores Y (em R$ mil) das custas processuais em ações trabalhistas. Com base numa amostra aleatória simples de
processos judiciais, ele concluiu que a variável Y se relaciona linearmente com o valor da causa X (em R$ mil), conforme uma reta ajustada pelo método de mínimos quadrados
ordinários na forma Y = 0,1.X + 200. A média populacional e a amostral da variável X foram, respectivamente, iguais a R$ 100 mil e R$ 90 mil. Nesse caso, é correto afirmar que
a estimativa de regressão para a média populacional de Y foi igual a:
a. R$ 210 mil.
b. R$ 211 mil.
c. R$ 208 mil.
d. R$ 209 mil.
Conceitos de regressão linear simples e múltipla
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2. Uma empresa tenta avaliar o quanto a inexperiência se torna a causa de erros no trabalho de seus funcionários. Para isso, ela coleta essa informação de 40 funcionários de
diferentes setores, e os questiona sobre o tempo de empresa (em meses) e mede a quantidade de erros cometidos por ele no mês. Ao relacionar essas duas variáveis (X sendo
a variável tempo de serviço e Y a quantidade de erros) obtêm-se a equação de regressão apresentada abaixo.
Y = 18,2 - 1,5 X
Considerando que todos os parâmetros necessários para validar a reta foram cumpridos, aproximadamente quantos erros comete uma pessoa que trabalha na empresa há 9
meses?
a.18
b. 5
c. 2
d. 14
3. A teoria econômica sugere que existe uma relação positiva entre o consumo (Y) e a renda (X). Os valores estimados de ß1 e ß 2, isto é, o intercepto e a inclinação da reta de
regressão segundo alguns estatísticos são - 231,80 e 0,7194, respectivamente. Sendo assim, se a renda de uma pessoa é R$ 1000,00 qual será o seu consumo mensal
estimado?
a. - 231799,3
b. 719,40
c. 487,6
d. 1000,00
e. 231,80
Respostas: 
1. D
2. B
3. C
 
A presente unidade tratou do tema relação entre duas ou mais variáveis quantitativas. Foi demonstrado que, para o estudo de duas variáveis quantitativas simultaneamente, faz-
se interessante o uso de diagramas de dispersão com o objetivo de inspecionar visualmente se elas apresentam associação. Devemos observar, principalmente, a forma, a
intensidade e a direção da relação entre as variáveis. Além disso, também é importante o cálculo do coeficiente de correlação, que fornece um valor entre 0 e 1, podendo ser
negativo no caso de relacionamento linear inverso entre as variáveis.
Fonte: Adaptado de REITZ, 2012.
Outra técnica bastante interessante para o estudo da relação entre duas variáveis é a regressão simples, muito útil para fazer previsões. Além da regressão simples, a
regressão múltipla também é bastante utilizada, pois na maioria das situações as variáveis previstas são associadas a diversas variáveis explanatórias, tanto quantitativas
quanto categóricas.
Para que o modelo de regressão seja útil, o analista depende do conhecimento da teoria acerca do assunto e de alguma experiência prática capaz de auxiliar na escolha das
melhores variáveis candidatas e explicativas.
A utilização dos modelos de regressão na engenharia é muito importante, uma vez que vários experimentos são delineados na otimização de processos de produção.
FIGURA 9 - Fluxograma / resumo de Correlação e Regressão Linear
Fonte: Elaborada pela autora.
 
O artigo trata de gráficos de controle de regressão aplicado na monitoração de processos:
JACOBI, L. F.; SOUZA, A. M.; PEREIRA, J. E. da S. Gráfico de controle de regressão aplicado na monitoração de processos. Revista Produção, v. 12, n. 1, 2002. Disponível
em: <https://www.scielo.br/pdf/prod/v12n1/v12n1a04>. Acesso em: 23 fev. 2018.
Para estudar mais sobre os modelos de regressão, consulte as seguintes obras:
DOANE, D.; SEWARD, L. Estatística aplicada à administração e à economia. São Paulo: ArtMed, 2010.
FREUND, J.; SIMON, G. Estatística aplicada: economia, administração e contabilidade. 9. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.
LEVINE, D.; BERENSON, M.; STEPHAN, D. Estatística: teoria e aplicações - usando o Microsoft Excel em português. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011.
MONTGOMERY, D.; RUNGER, G. Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros. 3. ed. Rio de Janeiro:LTC, 2009.
MOORE, D. A estatística básica e sua prática. Rio de Janeiro: LTC, 2014.
TRIOLA, M. Introdução à estatística. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008.
Referências 
BRUNI, A. L. Estatística aplicada à gestão empresarial. São Paulo: Atlas, 2007.
BUSSAB, W. de O.; MORETTIN, P. A. Estatística básica. 6. ed. São Paulo: Saraiva, 2010.
CARVALHO, D. H.; COUTO, B. R. G. M. Levantamentos por amostragem ou pesquisas de survey. Relatório técnico DCET, n. 3, 2003.
CRESPO, A. A. Estatística fácil. 17. ed. São Paulo: Saraiva, 1999.
DAFICO, D. de A. Método simples para explicar a resistência à compressão do concreto de alto desempenho. [s/d]. Disponível em: <https://docplayer.com.br/932215-Metodo-
simples-para-explicar-aresistencia-a-compressao-do-concreto-de-alto-desempenho.html>. Acesso em: 14 fev. 2018.
DINIZ, R. S. Estatística. São Paulo: Ânima, 2015
GOVERNO DE BRASÍLIA. Ibram. Bioma Cerrado. 2018. Disponível em: <https://www.ibram.df.gov.br/informacoes/meio-ambiente/biomacerrado.html>. Acesso em: 08 fev. 2018.
HINES, W. W.; MONTGOMERY, D. C.; GOLDSMAN, D. M. Probabilidade e estatística na engenharia. 4. ed. São Paulo: LTC, 2006.
MONTGMOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros. Rio de Janeiro: LTC, 2003.
MONTGOMERY, D.; RUNGER, G. Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009.
QUEBRANDO a banca. Direção: Robert Luketic. EUA: Sony Pictures, 2008. (123 min), son., color., legendado.
RAMOS, R. Estimativa e Estimador. Vamos extrapolar?, 2016. Disponível em: <https://oestatistico.com.br/estimativa-eestimador/>. Acesso em: 09 fev. 2018.
REIDEL, A. et al. Utilização de efluente de frigorífico, tratado com macrófica aquática, no cultivo da tilápia do Nilo. R. Bras. Eng. Agríc. Ambiental, v. 9. (Suplemento). Campina
Grande, PB, 2005.
REITZ, F. J. Estatística básica. Joinville: Unisociesc, 2012.
SILVA, M. N. P. da. Probabilidade na Loteria. Disponível em: https:// mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/probabilidade-naloteria.htm. Acesso em: 08 fev. 2018.
SLACK, N. et. al. Gerenciamento de operações e de processos: princípios e prática de impacto estratégico. Porto Alegre: ARTMED, 2007.
SMITH, J. E. A probabilidade estatística do amor à primeira vista. Rio de Janeiro: Galera Record, 2013.
SOARES, J. F.; SIQUEIRA, A. L. Introdução à Estatística Médica. Belo Horizonte: UFMG, 2002.
TIBONI, C. G. R. Estatística básica: para os cursos de administração, ciências contábeis, tecnológicos e de gestão. São Paulo: Atlas, 2010.
TRIOLA, M. F. Introdução à estatística: atualização da tecnologia. 11. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2013.
WERKEMA, M. C. C.; AGUIAR, S. Planejamento e análise de experimentos: como identificar as principais variáveis influentes em um processo. Belo Horizonte: Fundação
Cristiano Ottoni, Escola de Engenharia da UFMG, 1996.