4 UNIDADE I - Função Trigonométrica

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11. Função Trigonométrica 
Neste tópico, estudaremos as razões trigonométricas. O valor de uma razão trigonométrica está sempre 
associado ao valor de um arco, e a essa relação entre a razão trigonométrica e o arco denominamos de função 
trigonométrica, veremos as funções trigonométricas seno, cosseno e tangente. 
 
11.1. Função Seno 
Seja P a extremidade de um arco no ciclo trigonométrico correspondente ao número real x. Considerando 
a projeção ortogonal de P no eixo vertical, a ordenada yp do ponto P é o seno do arco de medida x. 
 
Logo: 
A função seno é a função f: R → R que associa cada número real x ao numero real yp = sen x, ou seja, f(x) 
= sen x. 
 
 Características da Função Seno 
Por definição, o domínio e o contradomínio da função seno são iguais a R. 
Em seu gráfico, chamado senoide, observamos ainda que a função seno: 
 é periódica, de período (cada ciclo se completa em um intervalo de ) 
 é limitada, pois seus valores estão no intervalo [- 1, 1], seu conjunto imagem é im = [- 1, 1]. 
 é alternadamente crescente e decrescente, ou seja, 
é crescente nos intervalos * 
 
 
+ sen x cresce de 0 a 1 
 *
 
 
 + sen x cresce de - 1 a 0 
é decrescente nos intervalos *
 
 
 + sen x decresce de 1 a 0 
 * 
 
 
+ sen x decresce de 0 a - 1 
 
 é simétrica em relação a origem 
 é uma função ímpar, ou seja, sen (- x) = - sen x 
 é limitada, ou seja, o máximo absoluto é 1 e o mínimo absoluto é – 1. 
 
 
 
 
 
 Gráfico da função seno 
A função seno é positiva para os valores do 1º e 2º quadrantes e é negativa para os valores do 3º e 4º 
quadrantes. Vamos construir o gráfico da função de lei f(x) = sen x com base nos dados de uma tabela de 
valores para x. 
X 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
sen x 
 
Obs.: Observe que para valores de x maiores que ou menores que zero, o seno de x assume os valores 
da 1ª volta. Assim, a função seno é periódica, pois para todo x : sen x = sen (x + ) = sen (x + 4 ) = ... 
= sen (x + ), k Z. A curva obtida no intervalo [0, ] repete-se para x > e x < 0. 
 
Exemplo: 
1) Determinar os valores reais de m para os quais existe x tal que sen x = 3m – 2. 
2) Dadas as funções abaixo, determinar domínio, conjunto imagem, máximos e mínimos, período, os 
intervalos de crescimento e decrescimento e o esboço do gráfico: 
a) f(x) = 2 . sen x 
b) f(x) = sen 2x 
c) f(x) = sen x + 3 
d) f(x) = - sen x 
 
11.2. Função Cosseno 
Seja P a extremidade de um arco no ciclo trigonométrico correspondente ao número real x. Considerando 
a projeção ortogonal de P no eixo horizontal, a abscissa xp do ponto P é o cosseno do arco de medida x. 
 
Logo: 
A função cosseno é a função f: R → R que associa cada número real x ao numero real xp = cos x, ou seja, 
f(x) = cos x. 
 
 Características da Função Cosseno 
Por definição, o domínio e o contradomínio da função cosseno são iguais a R. 
Em seu gráfico, chamado cossenoide, observamos ainda que a função cosseno: 
 é periódica, de período (cada ciclo se completa em um intervalo de ) 
 é limitada, pois seus valores estão no intervalo [- 1, 1], que significa que o seu conjunto imagem é im 
= [- 1, 1]. 
 é alternadamente crescente e decrescente, ou seja, 
é crescente nos intervalos * 
 
 
+ cos x cresce de - 1 a 0 
 *
 
 
 + cos x cresce de 0 a 1 
é decrescente nos intervalos * 
 
 
+ cos x decresce de 1 a 0 
 *
 
 
 + cos x decresce de 0 a - 1 
 
 é simétrica em relação ao eixo vertical y 
 é uma função par, ou seja, cos (- x) = cos x 
 é limitada, ou seja, o máximo absoluto é 1 e o mínimo absoluto é – 1. 
 
 Gráfico da função cosseno 
A função cosseno é positiva para os valores do 1º e 4º quadrantes e é negativa para os valores do 2º e 3º 
quadrantes. 
Vamos construir o gráfico da função dada por f(x) = cos x com base nos dados de uma tabela de valores 
para x. 
X 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
cos x 
 
Obs.: Observe que para valores de x maiores que ou menores que zero, o cosseno de x assume os 
valores da 1ª volta. Assim, a função cosseno é periódica, pois para todo x : cos x = cos (x + ) = cos (x 
+ 4 ) = ... = cos (x + ), k Z. A curva obtida no intervalo [0, ] repete-se para x > e x < 0. 
 
Exemplo: 
1) Determinar os valores reais de m para os quais existe x tal que cos x = 2m + 4. 
2) Dadas as funções abaixo, determinar domínio, conjunto imagem, máximos e mínimos, período, os 
intervalos de crescimento e decrescimento, e o esboço gráfico. 
a) f(x) = 2 . cos x 
b) f(x) = cos 3x 
 
 
 
 
 
11.3. Função Tangente 
Seja P a extremidade de um arco, no ciclo trigonométrico de centro O, correspondente ao número real x. 
Considerando o ponto T intersecção entre a reta ⃡ e a reta tangente à circunferência pelo ponto A(1, 0). 
Sabemos que yt, ordenada do ponto T, é a tangente do arco de medida x. 
 
Logo: 
A função tangente é a função f: R - ,
 
 
 - → R que associa cada número real x (com exceção 
dos valores côngruos a 
 
 
 e 
 
 
) ao numero real yt = tg x, ou seja, f(x) = tg x. 
 
 Características da Função Tangente 
Por definição, o domínio é f: R - ,
 
 
 - e o contradomínio é R. 
Em seu gráfico, chamado tangentoide, observamos ainda que a função tangente: 
 é periódica, de período 
 não é limitada, já que seu conjunto imagem é im = ] - , + ou R 
 é crescente nos intervalos +
 
 
 
 
 
 *, em que 
 é simétrica em relação ao eixo vertical y 
As retas verticais que passam pelos pontos de abscissa 
 
 
 , são denominadas assíntotas da 
curva que representa a função dada por f(x) = tg x, quando um ponto se move ao longo de uma parte extrema 
dessa curva, a distância desse ponto à assíntota se aproxima de zero. 
 
 Gráfico da função tangente 
Vamos construir o gráfico da função dada por f(x) = tg x com base nos dados de uma tabela de valores 
para x. 
x 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
cos x 
 
Obs.: Observe que para valores de x maiores que ou menores que zero, a tangente de x assume os 
valores da 1ª meia-volta. Assim, a função tangente também é periódica, pois para todo x do seu domínio, 
temos: 
tg x = tg (x + ) = tg (x + 2 ) = ... = tg (x + ), k Z. 
A curva obtida no intervalo + 
 
 
 
 
 
*repete-se para x > 
 
 
 e x < - 
 
 
 
 
Exemplo: 
1) Determinar o domínio da função f, tal que ( ) ( 
 
 
)