FUNÇÃO SENO E COSSENO

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Trigonometria: 
Introdução: 
A palavra trigonometria é formada por três radicais gregos: tri(três), gono(ângulos)e 
metron(medida); significando assim "medida dos triângulos". Inicialmente considerada 
como uma extensão da geometria, a trigonometria já era estudada pelos babilônios , 
que a utilizavam para resolver problemas práticos de Astronomia, de Navegação e de 
Agrimensura. Aliás, foram os astrônomos como o grego Hiparco (190 aC – 125 aC), 
considerado o pai da Astronomia e da Trigonometria, que estabeleceu as primeiras 
relações entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo. 
Função Seno 
 
 Gráfico da f(x) = sen x 
Função seno. 
• Definição: 
Chamamos de função seno a função f: ¡ → ¡ que a cada número real x, 
associa o seno desse número: f: ¡ → ¡ , f(x) = sen x 
• Domínio: Como x pode assumir qualquer valor real: D(f) = ¡ 
• Conjunto Imagem: Como seno possui valor máximo e mínimo, que são 
respectivamente 1 e -1, o conjunto imagem se encontra no intervalo entre 
esses valores: Im(f) = [ −1 ; 1 ] 
• Gráfico: Ele sempre se repete no intervalo de 0 a 2π. Esse intervalo é 
denominado senóide. Para construir o gráfico basta escrever os pontos em que 
a função é nula, máxima e mínima no eixo cartesiano. 
• Período: É sempre o comprimento da senóide. No caso da função f(x) = sen x, a 
senóide caracteríza-se pelo intervalo de 0 a 2π, portanto o período é 2π. 
• Sinal da Função: Como seno x é a ordenada do ponto-extremidade do arco: 
 f(x)= sen x é positiva no 1° e 2° quadrantes (ordenada 
 positiva). 
 f(x)= sen x é negativa no 3° e 4° quadrantes (ordenada 
 negativa). 
 
 
Função Cosseno 
 
 Gráfico de f(x) = cos x 
Função cosseno. 
• Definição: 
Chamamos de função cosseno a função f: ¡→ ¡ que a cada número 
real x , associa o cosseno desse número: f: ¡→ ¡, f(x) = cos x. 
• Domínio: Como x pode assumir qualquer valor real: D(f) = ¡ 
• Conjunto Imagem: Como cosseno possui valor máximo e mínimo, que são 
respectivamente 1 e -1, o conjunto imagem se encontra no intervalo entre 
esses valores: Im(f) = [−1 ; 1] 
• Gráfico: Ele sempre se repete no intervalo de 0 a 2π. Esse intervalo é 
denominado cossenóide. Para construir o gráfico basta escrever os pontos em 
que a função é nula, máxima e mínima no eixo cartesiano. 
• Período: É sempre o comprimento da cossenóide. No caso da função f(x) = cos x 
a cosenóide caracteríza-se pelo intervalo de 0 a 2π, portanto o período é 2π. 
• Sinal da Função: Como o cosseno x é a abscissa do ponto-extremidade do arco: 
 f(x) = cos x é positiva no 1° e 4° quadrante (abscissa 
 positiva). 
 f(x) = cos x é negativa no 2° e 3° quadrante (abscissa 
 negativa). 
 
Funções trigonométricas inversas 
Uma função f, de domínio D possui inversa somente se f for bijetora, por este motivo 
nem todas as funções trigonométricas possuem inversas em seus domínios de 
definição, mas podemos tomar subconjuntos desses domínios para gerar novas função 
que possuam inversas. 
Exemplo: A função f(x)=cos(x) não é bijetora em seu domínio de definição que é o 
conjunto dos números reais, pois para um valor de y correspondem infinitos valores de 
x. Por exemplo, se cos(x)=1, podemos tomar x=0, x=2π, x=4π, x=-2π, etc, isto é x=2kπ, 
onde k é um número inteiro, isto quer dizer que não podemos definir a inversa de 
f(x)=cos(x) em seu domínio. Devemos então restringir o domínio para um subconjunto 
dos números reais onde a função é bijetora. 
Como as funções trigonométricas são periódicas, existem muitos intervalos onde elas 
são bijetoras. É usual escolher como domínio, intervalos onde o zero é o ponto médio 
ou o extremo esquerdo e no qual a função percorra todo seu conjunto imagem. 
Função arco seno 
Consideremos a função f(x)=sen(x), com domínio no intervalo [- /2, /2] e imagem 
no intervalo [-1,1]. A função inversa de f, denominada arco cujo seno, definida por 
 f-1:[-1,1] [- /2, /2] é denotada por f-1(x) = arcsen(x). 
Gráfico da função arco seno 
 
Função arco-cosseno. 
Seja a função g(x)=cos(x), com domínio [0, ] e imagem [-1,1]. A função inversa de f, 
denominada arco cujo cosseno é definida por g-1:[-1,1] [0, ] e denotada por 
g-1(x) = arccos(x) 
Gráfico da função arco-cosseno: 
 
cosseno hiperbólico e seno hiperbólico: 
As funções cosseno hiperbólico e seno hiperbólico, são definidas, respectivamente, por: 
( ) ( )cos h t sen h t =
2 2
t t t t
ee e e e
− −+ −
= 
A função cos(h) é positiva, enquanto que sen(h) é positiva para parâmetros 
positivos reais, negativos para parâmetros negativos reais e se anula em t=0. 
 
TABELA TRIGONOMÉTRICA 
a a Sen a Cos a 
0º 0 0 1 
30º π/6 1/2 √3/2 
45º π/4 √2/2 √2/2 
60º π/3 √3/2 1/2 
90º π/2 1 0 
120º 2 π/3 √3/2 -1/2 
135º 3 π/4 √2/2 -√2/2 
150º 5 π/6 1/2 -√3/2 
180º π 0 -1 
210º 7 π/6 -1/2 -√3/2 
225º 5 π/4 - √2/2 -√2/2 
240º 4 π/3 - √3/2 -1/2 
270º 3 π/2 -1 0 
300º 5 π/3 -√3/2 1/2 
315º 7π/4 -√2/2 √2/2 
330º 11 π/6 -1/2 √3/2 
360º 2 π 0 1 
 
EXERCÍCIOS (Lista 07) 
1) Construa o gráfico das seguintes funções e determine o domínio e a imagem 
a) y = − sen (x) d) y = −cos x 
b) y = sen 2x e) y = cos 2x 
c) y = 1 + sen x f) y = 1 + cos x