Módulo 3 - Estatística_Vers 01

Prévia do material em texto

ESTATÍSTICA
(ADMINISTRAÇÃO)
Prof. M.Sc. Waldomiro Bezerra de Queiroz
waldomiro.queiroz@gmail.com
EstatísticaEstatística
 
Medidas de PosiçãoMedidas de Posição::
Medidas SeparatrizesMedidas Separatrizes
6
INTRODUÇÃO 
ADMINISTRAÇÃO
São valores que ocupam determinados lugares, 
abrangendo intervalos iguais, de um conjunto de valores 
coletados e organizados. As medidas de posição 
separatrizes podem ser classificadas em:
 mediana: divide a série em duas partes iguais (Md);
 quartis: divide a série em quatro partes iguais (Q1, Q2, Q3); 
 decis: divide a série em dez partes iguais (D1, D2, D3...D9);
 percentis: divide a série em cem partes iguais (P1, P2,..., 
P99).
INTRODUÇÃO 
Os nomes das medidas de posição separatrizes 
modificam de acordo com a quantidade de partes que é 
dividida a série.
A mediana, além de ser uma medida de posição de 
tendência central, é também uma medida separatriz. A 
mediana já foi estuda no capítulo anterior; sendo assim, 
passaremos ao estudo dos quartis, decis e percentis.
ADMINISTRAÇÃO
QUARTIS
Nos quartis, a série é dividida em quatro partes iguais, 
com o mesmo número de elementos, de tal forma que cada 
intervalo do quartil contenha 25% dos elementos coletados.
Os elementos separatrizes da série são Q1, Q2 e Q3.
ADMINISTRAÇÃO
INTERPRETAÇÃO DOS QUARTIS
 O primeiro quartil (Q1) separa os primeiros 25% dos 
elementos da série.
ADMINISTRAÇÃO
INTERPRETAÇÃO DOS QUARTIS
 O segundo quartil (Q2) separa os primeiros 50% (25%+25%) 
dos elementos da série.
Obs: o segundo quartil (Q2) sempre será igual a mediana (Md) 
da série.
ADMINISTRAÇÃO
INTERPRETAÇÃO DOS QUARTIS
 O terceiro quartil (Q3) separa os primeiros 75% (25%+25%
+25%) dos elementos da série.
Para o cálculo dos quartis, utilizam-se técnicas semelhantes 
àquelas do cálculo da mediana.
ADMINISTRAÇÃO
CALCULO DOS QUARTIS PARA SÉRIES SIMPLES (dados não agrupados)
Método prático: os três quartis podem ser calculados 
utilizando-se a definição de mediana:
 Q2 = mediana de todos os elementos da série;
 Q1 = mediana da primeira metade dos elementos da série;
 Q3 = a mediana da segunda metade dos elementos da série.
Nesse método, observamos o cálculo de “3 medianas” em 
uma mesma série.
ADMINISTRAÇÃO
Dado o conjunto de valores: 7, 13, 5, 12, 16, 4, 9, 15, 6. 
Calcule os quartis Q1; Q2 e Q3.
Solução: Considere o conjunto de valores ordenados 
segundo um critério de grandeza. 4, 5, 6, 7, 9, 12, 13, 15, 16
 Q2: Determina-se em primeiro lugar o valor do segundo 
quartil (Q2).
4, 5, 6, 7, 9, 12, 13, 15, 16
EXERCÍCIO - 1
50% 50%
Q2 = Md = 9
ADMINISTRAÇÃO
 Q1: Para o cálculo do quartil Q1, basta calcular a mediana da 
primeira metade do conjunto.
4, 5, 6, 7
EXERCÍCIO - 1
Q1
ADMINISTRAÇÃO
 Q3: Para o cálculo do quartil Q3, basta calcular a mediana da 
segunda metade do conjunto.
12, 13, 15, 16
EXERCÍCIO - 1
Q3
ADMINISTRAÇÃO
Dado o conjunto de valores: 3, 11, 4, 16, 19, 2, 9, 10, 8, 12. 
Calcule os quartis Q1; Q2 e Q3.
Solução: Considere o conjunto de valores ordenados segundo 
um critério de grandeza. 2, 3, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 16, 19.
 Q2: 2, 3, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 16, 19
EXERCÍCIO - 2
50% 50%
ADMINISTRAÇÃO
 Q1: Para o cálculo do quartil Q1, basta calcular a mediana da 
primeira metade do conjunto.
2, 3, 4, 8, 9
EXERCÍCIO - 2
Q1
ADMINISTRAÇÃO
 Q3: Para o cálculo do quartil Q3, basta calcular a mediana da 
segunda metade do conjunto.
10, 11, 12, 16, 19
EXERCÍCIO - 2
Q3
ADMINISTRAÇÃO
CALCULO DOS QUARTIS PARA DADOS AGRUPADOS SEM INTERVALO DE 
CLASSE
No cálculo dos quartis para dados agrupados sem 
intervalo de classe, utilizam-se técnicas semelhantes 
àquelas do cálculo da mediana.
Isso significa que a localização da posição do quartil 
na série é verificada pela frequência acumulada (Fac). Sendo 
assim, devemos acrescentar à tabela de distribuição de 
frequência uma coluna que contenha os cálculos da 
frequência acumulada (Fac).
ADMINISTRAÇÃO
CALCULO DOS QUARTIS PARA DADOS AGRUPADOS SEM INTERVALO DE 
CLASSE
Os quartis Q1, Q2 e Q3 podem ser generalizados pela 
notação QK, sendo que o quartil considerado é representado 
por k.
Representação: Qk:
 k = 1  Q1
 k = 2  Q2
 k = 3  Q3
ADMINISTRAÇÃO
CALCULO DOS QUARTIS PARA DADOS AGRUPADOS SEM INTERVALO DE 
CLASSE
Cálculo do quartil Qk
 k = 1  Q1
 k = 2  Q2
 k = 3  Q3
Definição: quartil Qk é o valor da variável que corresponde à 
classe desse quartil considerado.
ADMINISTRAÇÃO
CALCULO DOS QUARTIS PARA DADOS AGRUPADOS SEM INTERVALO DE 
CLASSE
Inicialmente, calcular a posição do quartil Qk para 
estabelecer em que classe se localiza o quartil considerado.
Posição: 
ADMINISTRAÇÃO
CALCULO DOS QUARTIS PARA DADOS AGRUPADOS SEM INTERVALO DE 
CLASSE
Sendo:
K = número do quartil considerado;
 
n = número de elementos coletados na pesquisa.
ADMINISTRAÇÃO
CALCULO DOS QUARTIS PARA DADOS AGRUPADOS SEM INTERVALO DE 
CLASSE
 obtido o resultado para a posição Qk, localize esse valor na 
coluna da frequência acumulada, para conhecer qual é a 
classe que corresponde a essa posição. Essa classe recebe 
o nome de “classe do quartil k”.
 Verificar na coluna da variável em estudo qual o valor da 
variável localizada na classe do quartil Qk considerado.
ADMINISTRAÇÃO
O time de futebol masculino, constituído pelos alunos 
do ensino fundamental e médio do colégio Márcia Mariana de 
Itubiara, tem as idades discriminadas na Tabela 8.1. Calcule 
o valor dos quartis Q1, Q2 e Q3.
EXERCÍCIO - 3
ADMINISTRAÇÃO
EXERCÍCIO - 3
Idade Número de alunos
 (fi)
11 3
12 4
13 3
14 4
15 3
16 5
17 3
Total 24
Tabela 8.1 Distribuição da idade do time masculino de futebol.
ADMINISTRAÇÃO
EXERCÍCIO – 3 (solução)
Idade Número de alunos
 (fi)
Frequência 
acumula (Fac)
11 3 3
12 4 7
13 3 10
14 4 14
15 3 17
16 5 22
17 3 25
Total 25
Tabela 8.1 Distribuição da idade do time masculino de futebol.
ADMINISTRAÇÃO
EXERCÍCIO – 3 (solução)
 Cálculo do quartil Q1 (k = 1)
Observamos que a localização da posição 6,25, na coluna da 
frequência acumulada, ocorre na segunda classe.
Na segunda classe, o valor da variável é 12 anos, ou seja:
Q1 = 12 anos.
ADMINISTRAÇÃO
EXERCÍCIO – 3 (solução)
 Cálculo do quartil Q2 (k = 2)
Observamos que a localização da posição 12,5, na coluna da 
frequência acumulada, ocorre na quarta classe.
Na quarta classe, o valor da variável é 14 anos, ou seja:
Q2 = 14 anos.
ADMINISTRAÇÃO
EXERCÍCIO – 3 (solução)
 Cálculo do quartil Q3 (k = 3)
Observamos que a localização da posição 18,75, na coluna 
da frequência acumulada, ocorre na sexta classe.
Na sexta classe, o valor da variável é 16 anos, ou seja:
Q3 = 16 anos.
ADMINISTRAÇÃO
INTERPRETAÇÃO DOS QUARTIS
 Primeiro quartil (Q1): 25% dos alunos têm idade menor ou 
igual a 12 anos e 75% têm idade maior ou igual a 12 anos.
 Segundo quartil (Q2): 50% dos alunos têm idade menor ou 
igual a 14 anos (Q1) e 50% têm idade maior ou igual a 14 
anos.
 Terceiro quartil (Q3): 75% dos alunos têm idade menor ou 
igual a 16 anos e 25% têm idade maior ou igual a 16 anos.
Observamos que a localização da posição 18,75, na coluna 
da frequência acumulada, ocorre na sexta classe.
Na sexta classe, o valor da variável é 16 anos, ou seja:
Q3 = 16 anos.
ADMINISTRAÇÃO
CALCULO DOS QUARTIS PARA DADOS AGRUPADOS COM INTERVALO DE 
CLASSE
No cálculo dos quartis para dados agrupados com 
intervalo de classe, utiliza-se técnicas semelhantes àquelas 
do cálculo dos quartis para dados agrupados sem intervalo 
de classe.
 Inicialmente calcular a posição do quartil Qk para 
estabelecer em que classe se localiza o quartil considerado.
 Posição: 
ADMINISTRAÇÃO
CALCULO DOS QUARTIS PARA DADOS AGRUPADOS COM INTERVALO DE 
CLASSE
 obtido o resultado para a posição do Qk, localize esse valor 
na coluna da frequência acumulada, para conhecer qual é a 
classe que corresponde a essa posição. Essa classe recebe 
o nome de “classe do quartil k”;
 determinar o valor da variável quecorresponde ao quartil 
Qk, através da fórmula a seguir.
ADMINISTRAÇÃO
CALCULO DOS QUARTIS PARA DADOS AGRUPADOS COM INTERVALO DE 
CLASSE
ADMINISTRAÇÃO
CALCULO DOS QUARTIS PARA DADOS AGRUPADOS COM INTERVALO DE 
CLASSE
Sendo:
k = quartil considerado;
 
lQK = limite inferior do intervalo de classe do quartil 
considerado;
Facanterior = frequência acumulada da classe anterior à classe 
do quartil considerado; 
ADMINISTRAÇÃO
CALCULO DOS QUARTIS PARA DADOS AGRUPADOS COM INTERVALO DE 
CLASSE
Sendo:
fQK = frequência (simples) da classe do quartil considerado;
 
n = número total de elementos da amostra;
hQK = LQK – lQK = amplitude do intervalo de classe do quartil 
considerado.
ADMINISTRAÇÃO
EXERCÍCIO – 4 
Numa fábrica de objetos de decoração, a distribuição 
do peso das peças fabricadas está registrada na Tabela 8.3. 
Calcule o valor dos quartis Q1, Q2 e Q3.
ADMINISTRAÇÃO
EXERCÍCIO – 4 
i Peso dos objetos 
(kg)
Número de peças
 (fi)
1 0 |__ 5 52
2 5 |__ 10 36
3 10 |__ 15 30
4 15 |__ 20 41
5 20 |__ 25 28
6 25 |__ 30 25
7 30 |__ 35 18
Total 230
ADMINISTRAÇÃO
EXERCÍCIO – 4 
i Peso dos objetos 
(kg)
Número de peças
 (fi)
Frequência 
acumulada 
(Fac)
1 0 |__ 5 52 52
2 5 |__ 10 36 88
3 10 |__ 15 30 118
4 15 |__ 20 41 159
5 20 |__ 25 28 187
6 25 |__ 30 25 212
7 30 |__ 35 18 230
Total 230
ADMINISTRAÇÃO
EXERCÍCIO – 4 (solução)
 Cálculo do quartil Q1 (k = 1)
ADMINISTRAÇÃO
EXERCÍCIO – 4 (solução)
 Cálculo do quartil Q1 (k = 1)
ADMINISTRAÇÃO
EXERCÍCIO – 4 (solução)
 Cálculo do quartil Q2 (k = 2)
ADMINISTRAÇÃO
EXERCÍCIO – 4 (solução)
 Cálculo do quartil Q2 (k = 2)
ADMINISTRAÇÃO
EXERCÍCIO – 4 (solução)
 Cálculo do quartil Q3 (k = 3)
ADMINISTRAÇÃO
EXERCÍCIO – 4 (solução)
 Cálculo do quartil Q3 (k = 3)
ADMINISTRAÇÃO
INTERPRETAÇÃO DOS RESULTADOS
 25% das peças (do lote analisado) têm peso menor que 5,76 
kg (Q1), isto significa que os 75% restantes têm peso acima de 
5,76 kg;
 50% das peças (do lote analisado) têm peso menor que 14,50 
kg (Q2), e os 50% restantes têm peso acima de 14,50 kg;
 75% das peças (do lote analisado) têm peso menor que 22,41 
kg (Q3), e os 25% restantes têm peso acima de 22,41 kg.
ADMINISTRAÇÃO
EstatísticaEstatística
Medidas de dispersão Medidas de dispersão 
ou de variabilidadeou de variabilidade
7
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE
A interpretação de dados estatísticos exige que se 
realize um número maior de estudos, além das medidas de 
posição. 
O estudo das médias, medianas, moda, quartis e 
percentis são válidos, mas não suficientes para estudos 
comparativos ou conclusões qualitativas.
ADMINISTRAÇÃO
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE
Quanto maior a variação dos dados, menor a 
representatividade da média. Sendo assim, podemos dizer 
que as medidas de dispersão são úteis para qualificar a 
média.
Quanto menor a dispersão, maior a homogeneidade na 
concentração entre os elementos do conjunto de valores, e 
mais confiável é a média.
ADMINISTRAÇÃO
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE
Um exemplo que ajuda a entender a necessidade de ter 
a medida de dispersão.
Se um aluno foi aprovado com média 5, você sabe que 
as notas dele se distribuíram em torno de 5. No entanto a 
média nada diz sobre a variabilidade das notas.
ADMINISTRAÇÃO
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE
Se, durante o curso, foram feitas quatro provas e o 
aluno foi aprovado com média 5, pode ter tirado qualquer das 
combinações de notas apresentadas a seguir:
I. 5; 5; 5; 5;
II. 4; 6; 4; 6
III. 0; 0; 10; 10
ADMINISTRAÇÃO
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE
Observando essas combinações de notas, você vê 
que:
1. as notas 5; 5; 5; 5 não variam;
2. as notas 4; 6; 4; 6 variam pouco;
3. as notas 0; 4; 6; 10 variam mais;
4. as notas 0; 0; 10; 10 têm a maior variabilidade.
ADMINISTRAÇÃO
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE
Este exemplo pretende mostrar que conjuntos com 
médias iguais podem ter variabilidade muito diferente. No 
caso, o conhecimento sobre a variabilidade das notas 
complementa a informação dada pela média. O professor fica 
sabendo, por exemplo:
 se o aluno foi, sempre, do tipo “médio” (5; 5; 5; 5);
 se o aluno tem comportamento muito variável (0; 6; 4; 10);
 se o aluno ou não estuda, ou estuda muito, para tirar 10 (0; 
0; 10; 10).
ADMINISTRAÇÃO
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE
Conclusão: Em várias situações, é importante 
conhecer a variabilidade dos dados. Para isso, é preciso 
calcular e interpretar medidas de dispersão.
Neste capítulo, serão descritas as seguintes medidas 
de dispersão: amplitude, variância e desvio-padrão.
ADMINISTRAÇÃO
AMPLITUDE
A amplitude é a medida de dispersão mais fácil de ser 
calculada e – por conta disso – a mais utilizada.
Para calcular a amplitude, você procura o maior e o 
menor valor do conjunto de dados, ou seja, o máximo e o 
mínimo.
ADMINISTRAÇÃO
AMPLITUDE
• Cálculo da amplitude total para série simples
Para dados não agrupados, a amplitude total é a diferença 
entre o maior e o menor valor da série de dados coletados.
ADMINISTRAÇÃO
 
 
AMPLITUDE
O número de acidentes do trabalho ocorridos 
mensalmente numa empresa, durante o ano de 2009, está 
registrado no gráfico a seguir. 
Qual o valor da amplitude total dos valores dessa série?
ADMINISTRAÇÃO
AMPLITUDE
ADMINISTRAÇÃO
ADMINISTRAÇÃO
AMPLITUDE
Uma empresa seguradora especializada em seguros 
residenciais registrou o número diário de seguros 
contratados durante um período de 30 dias.
Qual o valor da amplitude total dos dados registrados na 
tabela?
N° de Seguros 
residenciais (Xi)
2 4 6 8 10 12 14 16
Número de dias 
(fi)
10 7 4 2 3 1 2 1
ADMINISTRAÇÃO
AMPLITUDE
Solução:
Variável: SEGUROS RESIDENCIAIS
AMPLITUDE
• Cálculo da amplitude total para dados agrupados numa 
distribuição de frequência:
Levando-se em consideração a variável em estudo, a 
amplitude total é a diferença entre o limite superior da 
classe mais alta e o limite inferior da classe mais baixa.
ADMINISTRAÇÃO
 
 
( ) ( )última classe primeira classeMAX MINAT L l= -
AMPLITUDE
Foi feito um levantamento da idade de 43 pessoas 
presentes na sala de espera de um pronto-socorro. Os 
resultados expressos na Tabela 9.2. Calcule o valor da 
amplitude total dessa distribuição de idades.
ADMINISTRAÇÃO
 
 
i Idade N° de pessoas (fi)
1 15 Ⱶ 30 9
2 30 Ⱶ 45 12
3 45 Ⱶ 60 15
4 60 Ⱶ 75 7
Total n = 43
AMPLITUDE
Solução:
Variável: Idade
ADMINISTRAÇÃO
 
 
Observa-se que a amplitude total da série leva em conta 
somente os extremos, sem considerar os termos 
intermediários, e, nesse caso, o resultado não expressa se há 
equilíbrio na distribuição dos termos da série.
VARIÂNCIA (S2) E DESVIO PADRÃO (S)
A variância é a medida de dispersão mais empregada, 
pois leva em consideração todos os valores coletados para a 
variável em estudo. É um indicador de variabilidade mais 
confiável.
ADMINISTRAÇÃO
A variância relaciona os desvios em torno da média, ou 
mais especificamente é a média aritmética dos quadrados dos 
desvios.
VARIÂNCIA (S2) E DESVIO PADRÃO (S)
 Valores da série próximos uns dos outros originam um 
desvio-padrão menor. 
Isso significa que, quanto menor for o valor do desvio-
padrão, menor será a dispersão dos valores da série, ou seja, 
trata-se de uma série de valores de menor variação (série 
mais homogênea).
ADMINISTRAÇÃO
VARIÂNCIA (S2) E DESVIO PADRÃO (S)
 Valores da série muito afastados uns dos outros dão um 
desvio-padrão maior. 
Isso significa que, quanto maior for o valor do desvio-
padrão, maior será a dispersão dos valores da série, ou seja, 
trata-se de uma série de valores com maior variação (série 
mais heterogênea).
ADMINISTRAÇÃO
VARIÂNCIA (S2) E DESVIO PADRÃO (S)
Outro conceito que auxilia o entendimento de desvio-
padrão é o coeficiente de variação, que permite comparar o 
grau de concentração em torno da média para duas ou mais 
séries distintas.
ADMINISTRAÇÃO
EXEMPLO
Para maior clarezados conceitos, considere como 
exemplo a ocupação de dois hotéis, sendo A é um hotel de 
lazer e B é um motel de negócios.
A tabela registra o número médio diário das unidades 
habitacionais ocupadas em cada hotel, durante os meses de 
janeiro a julho.
ADMINISTRAÇÃO
Mês Unidades habitacionais (média diária)
Hotel A Hotel B
Jan. 760 420
Fev. 690 450
Mar. 380 510
Abr. 280 460
Maio 320 470
Jun. 300 440
Jul. 710 480
Ago. 270 430
Set. 360 410
Valor médio 452,22 U.H 452,22 U.H
Desvio-padrão (S) 204,62 U.H 31,53 U.H
Coeficiente de variação VA = 45,25% VA = 6,97%
ADMINISTRAÇÃO
EXEMPLO
ADMINISTRAÇÃO
EXEMPLO
Embora os dois hotéis apresentem a mesma média 
aritmética de leitos ocupados, a ocupação de cada hotel ao 
longo do período considerado é diferente.
O hotel A apresenta uma grande variação do número 
de unidades habitacionais ocupadas em relação à média de 
ocupação diária obtida para o período em estudo (9 meses).
O hotel B apresenta uma pequena variação, como pode 
ser observado no gráfico a seguir.
ADMINISTRAÇÃO
EXEMPLO
ADMINISTRAÇÃO
QUAIS DOS DOIS HOTÉIS APRESENTA VALORES MAIS DISPERSOS?
Qual dos dois hotéis apresentam valores mais dispersos?
A série de valores do hotel A é mais dispersa que a série de 
valores do hotel B.
ADMINISTRAÇÃO
QUAIS DOS DOIS HOTÉIS APRESENTA VALORES MAIS DISPERSOS?
O que se conclui desse estudo?
O hotel B mantém suas acomodações ocupadas de maneira 
uniforme ao longo do mesmo período, o que reduz a 
ociosidade de seus recursos, implicando numa receita maior 
em relação ao custo fixo.
ADMINISTRAÇÃO
QUAIS DOS DOIS HOTÉIS APRESENTA VALORES MAIS DISPERSOS?
O que se conclui desse estudo?
Por outro lado, o hotel A necessita manter uma infraestrutura 
maior para o atendimento nos meses de férias, que se 
mantém ociosa nos meses de menor ocupação, o que 
acarreta num custo maior.
Ou seja, a vantagem para o hotel B está num melhor 
aproveitamento de seus recursos, bem como numa 
previsibilidade maior de suas necessidades futuras.
ADMINISTRAÇÃO
O QUE O ESTUDO DO GRAU DE DISPERSÃO PODE PROPORCIONAR?
A diferença de homogeneidade entre os dados 
coletados para os dois hotéis ilustra a importância e a 
necessidade do estudo do grau de dispersão ou concentração 
dos dados em torno da média.
ADMINISTRAÇÃO
O QUE O ESTUDO DO GRAU DE DISPERSÃO PODE PROPORCIONAR?
Observa-se que:
 quanto maior a dispersão, maior a amplitude, maior o 
desvio-padrão e menos homogênea é a série;
 quanto menor a dispersão, menor a amplitude, menor o 
desvio-padrão e mais homogênea é a série.
ADMINISTRAÇÃO
RELAÇÃO ENTRE A VARIÂNCIA E O DESVIO-PADRÃO
O desvio-padrão é a raiz quadrada da variância, e 
consequentemente a variância é o quadrado do desvio-
padrão.
Notação: Variância = S2 e Desvio-padrão = S
ADMINISTRAÇÃO
EXEMPLO
1. Se o desvio-padrão de um conjunto de dados é 8, 
qual será o valor da variância?
S = 8  S2 = 82 = 64
2. Se a variância de um conjunto de dados é 36, qual 
será o valor do desvio-padrão?
S2 = 36  S = (36)1/2 = 6  S = 6
ADMINISTRAÇÃO
CÁLCULO DO DESVIO-PADRÃO E VARIÂNCIA PARA SÉRIES SIMPLES (dados não agrupados)
O desvio-padrão e a variância de uma série podem ser 
calculados para duas situações de coleta dos dados, 
população e amostra. As formulas são diferentes para cada 
caso, uma vez que deve haver um ajuste para o cálculo 
dessas grandezas quando os dados coletados referem-se a 
amostras.
ADMINISTRAÇÃO
CÁLCULO DO DESVIO-PADRÃO E VARIÂNCIA PARA SÉRIES SIMPLES (dados não agrupados)
A variância relaciona os desvios em torno da média, 
ou, mais especificamente, é a média aritmética dos quadrados 
dos desvios.
(População)
ADMINISTRAÇÃO
CÁLCULO DO DESVIO-PADRÃO E VARIÂNCIA PARA SÉRIES SIMPLES (dados não agrupados)
A variância relaciona os desvios em torno da média, 
ou, mais especificamente, é a média aritmética dos quadrados 
dos desvios.
(Amostra)
ADMINISTRAÇÃO
CÁLCULO DO DESVIO-PADRÃO E VARIÂNCIA PARA SÉRIES SIMPLES (dados não agrupados)
O desvio-padrão é a medida mais usada na 
comparação de diferenças entre conjuntos de dados, por ter 
grande precisão. 
O desvio-padrão determina a dispersão dos valores em 
relação à média.
(População)
ADMINISTRAÇÃO
CÁLCULO DO DESVIO-PADRÃO E VARIÂNCIA PARA SÉRIES SIMPLES (dados não agrupados)
O desvio-padrão é a medida mais usada na 
comparação de diferenças entre conjuntos de dados, por ter 
grande precisão. 
O desvio-padrão determina a dispersão dos valores em 
relação à média.
(Amostra)
ADMINISTRAÇÃO
CÁLCULO DO DESVIO-PADRÃO E VARIÂNCIA PARA SÉRIES SIMPLES (dados não agrupados)
O valor médio em algumas séries resulta números 
decimais, consequentemente, o cálculo da variância e do 
desvio padrão pode-se estender num somatório do quadrado 
de números decimais. Com o objetivo de simplificar os 
cálculos matemáticos, utiliza-se uma fórmula alternativa para 
o cálculo da variância e do desvio padrão.
ADMINISTRAÇÃO
CÁLCULO DO DESVIO-PADRÃO E VARIÂNCIA PARA SÉRIES SIMPLES (dados não agrupados)
ADMINISTRAÇÃO
( )22 21
1
i
i
x
S x
n n
é ù
ê ú= -
- ê ú
ë û
åå
(População)
(Amostra)
Fórmula Alternativa
CÁLCULO DO DESVIO-PADRÃO E VARIÂNCIA PARA SÉRIES SIMPLES (dados não agrupados)
ADMINISTRAÇÃO
( )221 i
i
x
S x
n n
é ù
ê ú= -
ê ú
ë û
åå
( )221
1
i
i
x
S x
n n
é ù
ê ú= -
- ê ú
ë û
åå
(População)
(Amostra)
CÁLCULO DO DESVIO-PADRÃO E VARIÂNCIA (dados agrupados)
(População)
(Amostra)
ADMINISTRAÇÃO
CÁLCULO DO DESVIO-PADRÃO E VARIÂNCIA (dados agrupados)
(População)
(Amostra)
ADMINISTRAÇÃO
CÁLCULO DO DESVIO-PADRÃO E VARIÂNCIA (dados agrupados)
(População)
(Amostra)
ADMINISTRAÇÃO
Fórmula Alternativa
CÁLCULO DO DESVIO-PADRÃO E VARIÂNCIA (dados agrupados)
(População)
(Amostra)
ADMINISTRAÇÃO
Fórmula Alternativa
( )221 i i
i i
x f
S x f
n n
é ù
ê ú= -
ê ú
ë û
åå
( )221
1
i i
i i
x f
S x f
n n
é ù
ê ú= -
- ê ú
ë û
åå
ADMINISTRAÇÃO
DISPERSÃO ABSOLUTA E RELATIVA NA COMPARAÇÃO DE DUAS SÉRIES DE DADO COLETADOS
 
A dispersão relativa é a razão entre a dispersão 
absoluta e o valor da média.
ADMINISTRAÇÃO
DISPERSÃO ABSOLUTA E RELATIVA NA COMPARAÇÃO DE DUAS SÉRIES DE DADO COLETADOS
 
Dispersão absoluta: é medida pelo desvio-padrão (a série 
com maior valor de desvio-padrão terá maior dispersão absoluta).
Dispersão relativa: é medida pelo coeficiente de variação 
(a série com maior coeficiente de variação terá maior dispersão 
relativa).
ADMINISTRAÇÃO
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO OU COEFECIENTE DE VARIAÇÃO DE PEARSON
 
A dispersão relativa é medida pelo coeficiente de variação 
de Pearson, ou simplesmente coeficiente de variação, sendo que 
a dispersão absoluta é o desvio padrão S.
Utiliza-se o coeficiente de variação na comparação do grau 
de concentração de valores em torno da média para duas ou mais 
séries distintas.
ADMINISTRAÇÃO
CURVAS SIMÉTRICAS E ASSIMÉTRICAS
 
Uma curva plana é simétrica se for possível por uma reta 
(chamada eixo de simetria), de forma que as duas metades da 
curva assim obtidas possam ser sobrepostas por dobragem.
Uma curva assimétrica é uma curva não simétrica.
ADMINISTRAÇÃO
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIA REPRESENTADA POR UMA CURVA SIMÉTRICA
 
Na estatística, ocorrem distribuições de frequências, cuja 
representação gráfica é uma curva normal, caso particular de uma 
curva simétrica.
A curva normal é também conhecida como curva em forma 
de sino.
O pico da curva é o valor modal, que corresponde ao maior 
valor da frequência.
ADMINISTRAÇÃO
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIA REPRESENTADA POR UMA CURVA SIMÉTRICA
 
ADMINISTRAÇÃO
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIA REPRESENTADA POR UMA CURVA ASSIMÉTRICA
 
Tanto nas representações gráficas de distribuição de 
frequência simétrica quanto nas assimétricas o pico da curva 
corresponde ao valor modal. 
Observa-se na curva de distribuição de frequência 
assimétrica a distribuição dos pontos do lado esquerdo da curva 
em relação à moda é diferente da distribuição dos pontos do lado 
direito da curva.Uma distribuição de frequência é assimétrica quando a 
média, a mediana e a moda não coincidem num mesmo ponto da 
representação gráfica da distribuição, apresentando valores 
diferentes.
ADMINISTRAÇÃO
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIA REPRESENTADA POR UMA CURVA ASSIMÉTRICA
 
Nas distribuições assimétricas os valores da 
moda, da mediana e da média divergem sendo
que a média sempre estará do mesmo lado que a 
cauda mais longa
Assimétrica à direita (Positiva): à direita da Mo (Mo < Md < )
ADMINISTRAÇÃO
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIA REPRESENTADA POR UMA CURVA ASSIMÉTRICA
 
Assimétrica à esquerda 
(Negativa): .... x à esquerda da Mo 
( < Md < Mo)
ADMINISTRAÇÃO
COEFICIENTE DE ASSIMETRIA DE PEARSON
 
O coeficiente de assimetria de Pearson estabelece o grau 
de assimetria de uma curva de distribuição de frequências, ou 
seja, mede o afastamento da mediana em relação à média 
aritmética da distribuição.
ADMINISTRAÇÃO
 
COEFICIENTE DE ASSIMETRIA DE PEARSON
O coeficiente de assimetria de Pearson pode ser nulo, 
positivo ou negativo. Se o coeficiente de Pearson for:
•Nulo indica que a curva é simétrica, ou seja, não há assimetria (é 
uma curva de distribuição normal); 
•positivo indica a assimetria é positiva (deslocamento para a 
direita); 
•negativo indica que a assimetria é negativa (deslocamento para 
a esquerda)
ADMINISTRAÇÃO
CURTOSE
 
É o grau de achatamento (ou afilamento) de uma 
distribuição em comparação com uma curva normal de frequência. 
De acordo com o grau de curtose, classificamos três tipos de 
curvas de frequência:
•Mesocúrtica: é uma curva básica de referencia chamada curva 
padrão ou curva normal
•Leptocúrtica: é uma curva mais afilada (menos aberta) que a 
curva normal;
ADMINISTRAÇÃO
 
CURTOSE
•Leptocúrtica: é uma curva mais afilada (menos aberta) que a 
curva normal;
• Platicúrtica: é uma curva mais achatada (mais aberta) que a 
curva normal.
ADMINISTRAÇÃO
 
CURTOSE
ADMINISTRAÇÃO
COEFICIENTE PERCENTÍLICO DE CURTOSE
 
A curtose avalia o grau de achatamento (ou afilamento) de 
uma curva. A medida da curtose pode ser feita pela coeficiente 
percentílico de curtose:
ADMINISTRAÇÃO
COEFICIENTE PERCENTÍLICO DE CURTOSE
 
Uma curva normal apresenta um coeficiente percentílico de 
curtose de valor C = 0,263. Esse valor é obtido ao se aplicar a 
expressão matemática do coeficiente percentílico de curtose aos 
valores de uma distribuição simétrica normal.
Tomando-se esse valor como padrão, pode-se estabelecer 
comparações entre as diversas curvas:
• C = 0,263 corresponde à curva mesocúrtica;
• C < 0,263 corresponde à curva leptocúrtica;
• C > 0,263 corresponde à curva platicúrtica.
	Slide 1
	Slide 2
	Slide 3
	Slide 4
	Slide 5
	Slide 6
	Slide 7
	Slide 8
	Slide 9
	Slide 10
	Slide 11
	Slide 12
	Slide 13
	Slide 14
	Slide 15
	Slide 16
	Slide 17
	Slide 18
	Slide 19
	Slide 20
	Slide 21
	Slide 22
	Slide 23
	Slide 24
	Slide 25
	Slide 26
	Slide 27
	Slide 28
	Slide 29
	Slide 30
	Slide 31
	Slide 32
	Slide 33
	Slide 34
	Slide 35
	Slide 36
	Slide 37
	Slide 38
	Slide 39
	Slide 40
	Slide 41
	Slide 42
	Slide 43
	Slide 44
	Slide 45
	Slide 46
	Slide 47
	Slide 48
	Slide 49
	Slide 50
	Slide 51
	Slide 52
	Slide 53
	Slide 54
	Slide 55
	Slide 56
	Slide 57
	Slide 58
	Slide 59
	Slide 60
	Slide 61
	Slide 62
	Slide 63
	Slide 64
	Slide 65
	Slide 66
	Slide 67
	Slide 68
	Slide 69
	Slide 70
	Slide 71
	Slide 72
	Slide 73
	Slide 74
	Slide 75
	Slide 76
	Slide 77
	Slide 78
	Slide 79
	Slide 80
	Slide 81
	Slide 82
	Slide 83
	Slide 84
	Slide 85
	Slide 86
	Slide 87
	Slide 88
	Slide 89
	Slide 90
	Slide 91
	Slide 92
	Slide 93
	Slide 94
	Slide 95
	Slide 96
	Slide 97
	Slide 98
	Slide 99
	Slide 100
	Slide 101
	Slide 102
	Slide 103
	Slide 104