Introdução à Análise Combinatória

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Unidade I
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Prof. Emilio Celso
Introdução
 A Estatística é uma ferramenta para explicar problemas e 
verificar tendências de todos os tipos: opiniões, 
crescimento etc.
 Neste curso, os assuntos são encadeados na direção do 
conhecimento necessário para o estudo de Estatística 
Descritiva. Basicamente, a organização de dados e, 
posteriormente, as noções de Estatística Inferencial, em que 
se fazem extrapolações de uma amostra para uma população.
 Assim, pretendemos apresentar ao estudante ferramentas 
matemáticas e suas aplicações, no universo cotidiano e 
profissional, ligadas ao tema. 
 Para isso, estudaremos os conteúdos da análise combinatória 
e da Teoria de Probabilidades. 
Análise combinatória 
 O experimento matemático mais elementar é o de contar, ou 
seja, obter a quantidade de um conjunto de objetos por meio 
de alguma operação ou algoritmo. Por exemplo, o homem 
primitivo contava suas ovelhas, atribuindo a cada ovelha uma 
pedrinha. Comparando quantidades de pedrinhas colecionadas 
em momentos distintos (dias, semanas etc.), avaliava a 
variação nos números de seu rebanho. A atividade de contar 
objetos é comum em nosso cotidiano, seja contar dinheiro, 
minutos, pessoas, carros; enfim, uma infinidade de objetos. 
 No entanto, por incrível que pareça, algumas coisas são 
difíceis de contar, não pela sua quantidade (contar o número 
de grãos de arroz em um pote é trabalhoso, mas o plano para 
a contagem é bem simples), mas pela natureza 
do problema em si. 
Análise combinatória 
 Por exemplo, contar o número de placas de automóveis 
distintas possíveis de serem criadas ou o número de 
resultados possíveis da Mega-Sena são projetos de contagem 
que exigem raciocínio e criatividade, pois não se tratam de 
contagens nada intuitivas. Ao investigar um pouco mais os 
fenômenos que nos cercam, podemos verificar que tais 
contagens não são tão incomuns e que, portanto, merecem 
atenção e estudo.
 O ramo da Matemática que estuda os processos de contagem 
e suas propriedades é denominado de Análise Combinatória. 
Em termos mais formais, estuda a contagem de estruturas 
discretas e suas propriedades. 
Ferramentas matemáticas: fatorial
 Seja um número n pertencente ao conjunto dos números 
naturais (n).
Define-se o fatorial desse número como o produto de todos
os naturais positivos menores ou iguais a n. Denotando fatorial 
por n!, temos:
 n! = n.(n – 1).(n – 2). ... .1
 Ou de um modo mais simples:
 n = 
Em que a letra grega Π (pi), em maiúscula, representa um 
produtório. 
Define-se, ainda, o fatorial de zero: 
0! = 1 
 (𝐢)
𝐧
𝐢=𝟏
 
Propriedade fundamental dos fatoriais 
Inspecionando mais de perto a definição do fatorial de um 
número:
 n! = n(n – 1)(n – 2) (n – 3)...1 
Podemos notar que: 
 n! = n.(n – 1)!
 Tal igualdade é conhecida como propriedade fundamental dos 
fatoriais, útil no cálculo de expressões envolvendo fatoriais. 
Exemplos de aplicação
1. Qual o valor de 6!?
Solução
 Pela propriedade fundamental do fatorial:n! = n.(n-1).(n-2). ... .1
 Então: 6! = 6.(6-1).(6-2).(6-3).(6-4).(6-5)= 6.5.4.3.2.1 = 720.
 Resposta: 6! = 720.
2. Obtenha o valor da expressão
Solução
Desenvolvendo a expressão:
 Resposta: O valor da expressão é 144.
𝟒!.𝟔!
𝟓!
 = 
𝟒!.𝟔.𝟓!
𝟓!
= 4!6 = (4.3.2.1).6 = 144 
𝟒!.𝟔!
𝟓!
 
Princípio fundamental da contagem
 Contar entidades discretas que pertençam a um dado conjunto 
finito é, por vezes, tarefa mais exigente do que o enunciado do 
problema possa transparecer. Isso porque precisamos pensar 
em etapas de um processo.
 Investiguemos a seguinte situação-problema: uma pessoa 
dispõe de uma camisa rosa e outra branca e de três calças nas 
cores azul, preto e bege. Deseja-se saber de quantas maneiras 
diferentes ela pode se vestir usando uma camisa e uma calça. 
 O problema parece simples, pois procuramos uma quantidade 
finita de pares possíveis (camisa e calça), cujo processo de 
contagem, no entanto, não vem à tona imediatamente. Logo, 
precisamos pensar em uma maneira de solucionar o problema.
Criando algoritmos
Uma alternativa é criar uma série de etapas de cálculo (um 
algoritmo) que nos leve à quantidade desejada. Por exemplo, 
podemos representar a formação de pares como ilustra a figura 
em seguida:
c
a
m
is
a
 r
o
s
a
calça azul
calça preta
calça bege 
c
a
m
is
a
 b
ra
n
c
a
calça azul
calça preta
calça bege 
Diagrama + algoritmo
 Veja que a figura mostra duas etapas: a escolha de uma 
camisa e de uma calça, para formar uma vestimenta.
 Tais escolhas são denominadas experimentos. Assim, 
a formação de um par é fruto da combinação de dois 
experimentos. 
Iniciando por camisa branca, podemos formar 3 pares distintos 
(um com cada calça disponível). O mesmo se verifica para 
camisa rosa; logo, o número total de pares possíveis (n) 
entre eles é: 
 n = 2 x 3 = 6 
 Essa forma de abordar essa situação-problema típica de 
contagem exigiu o uso de uma estrutura criativa e eficiente 
(diagrama + algoritmo). 
Problemas de anagrama
 Anagrama é uma nova palavra, com sentido linguístico ou não, 
criada pelo rearranjo das letras da palavra original.
 Por exemplo, vamos procurar os anagramas da palavra amor.
Observe:
No esquema, a letra A, 
primeira letra escolhida, 
formou anagrama por 
meio de uma sequência 
organizada de escolha 
das outras letras.
Diagrama ou árvores de árvores
Temos um algoritmo em que obtivemos 6 anagramas que iniciam 
com a letra A. Uma vez que o processo deve ser o mesmo para 
os anagramas que iniciam com as outras letras (m, o e r), 
concluímos que o número total de anagramas (n) é: 
 n = 4 x 6 
 n = 24 
 O algoritmo descrito pode ser exemplificado por meio de um 
diagrama ou árvore de possibilidades que representa o 
processo completo de obtenção dos anagramas.
Anagramas de palavras com letras repetidas
 Um problema decorrente do anterior é encontrar um 
procedimento para o caso de palavras com letras repetidas, 
por exemplo, a palavra CASA.
 Se ignorarmos que a palavra tem letras repetidas, o número 
de anagramas (n) é igual a 4! = 24.
 Nesse resultado, contamos a mais todas as permutações das 
letras A entre si, que, por sua vez, não mudam o anagrama! 
 Veja: CA1SA2 =CA2SA1
 Observe que as permutações da letra A não alteram a palavra, 
mas incluem mais valores ao cálculo feito. Para corrigir esse 
valor, basta dividir pelo número de anagramas repetidos (2!): 
 Assim, = 4.3 = 12 anagramas.𝟒!
𝟐!
 = 
𝟒.𝟑.𝟐.𝟏
𝟐.𝟏
 
Contando agrupamentos: arranjos simples
 Considere a seguinte situação: em uma prova de atletismo, 
participam 8 competidores. De quantos modos distintos as 
medalhas de ouro, prata e bronze podem ser distribuídas 
entre os competidores, de acordo a classificação final? 
 Trata-se de uma situação em que a contagem de 
agrupamentos é requerida. Nela, os agrupamentos constituem 
o conjunto de todos os possíveis 3 primeiros lugares, ou seja, 
dado o conjunto dos 8 atletas, dispomos estes em “pacotes” 
de 3, cujo número total corresponde ao número total de 
possíveis distribuições de medalhas. 
 Situações assim, nas quais se contam agrupamentos, em que
a ordem dos elementos diferencia os agrupamentos, são 
denominadas arranjos simples.
Permutações simples sem repetição
 Um caso particular de arranjos simples é o conhecido como 
permutação simples. Isso acontece quando o número de 
elementos nos agrupamentos coincide com o número total 
dos elementos do conjunto de origem, isto é, dado um 
conjunto M com n elementos, as permutações simples 
são arranjos simples de n elementos tomados de n a n. 
Assim, quando tratamos de permutações simples, 
em que não há elementos repetidos, temos: 
Pn = An,n = n.(n – 1).(n – 2). ... .(n – n + 1)
Pn = n.(n – 1).(n – 2) ...1 = n!
Pn =n! 
Permutações com repetição 
É comum acontecerem situações nas
quais permutar elementos 
não diferencia os agrupamentos. Um exemplo já conhecido nosso 
é o cálculo de anagramas de palavras com letras repetidas. Tais 
situações são conhecidas como permutações com repetição, 
cujo cálculo é dado pela expressão: 
, sendo nk (k = 1, 2, 3...) corresponde à quantidade
de repetições do k-ésimo elemento. 
Note que, necessariamente: n1 + n2 + ...+ nk = n.
 Observe que, se aplicarmos a relação anterior em uma situação 
em que não há elementos repetidos, isto é, n1 = n2 = ...= nk = 1, 
recuperamos a expressão correspondente a permutações
sem repetição:
Interatividade
Considere a palavra integral. 
O número de anagramas da palavra integral que começa com 
vogal e termina com consoante é:
a) 3!.5!.6! = 518.400
b) 3.5!.6 = 2.160
c) 2.8! = 80.640
d) 3!.5.6 = 180
e) 3.5.6! = 10.800
Resposta
Alternativa correta e).
 Comentário
Os anagramas são do tipo:
vogal __ __ __ __ __ __ consoante
 A primeira letra que inicia o anagrama pode ser escolhida 
entre 3 vogais, a letra final entre 5 consoantes e as 6 letras 
restantes podem ser permutadas entre essas duas letras de 
P6 = 720 modos.
Temos, então, que o total de anagramas (n) é:
 n = 3.5.6! = 10.800.
Permutações circulares
Seja um grupo de 5 pessoas sentadas ao redor de uma mesa 
redonda. Vamos nominar essas pessoas com letras:A, B, C, D e E. 
 A pergunta é: de quantas formas tais pessoas podem se 
posicionar ao redor da mesa? 
 Situações como essa são casos típicos de
permutações circulares.
Permutações circulares 
 Observe que, se girarmos no sentido horário, obtemos as 
seguintes permutações em linha: ABCDE (partindo de A); 
BCDEA (partindo de B); CDEAB (partindo de C); DEABC 
(partindo de D); EABCD (partindo de E). Essas 5 permutações 
em linha correspondem a uma única permutação circular, pois, 
se trocarmos as pessoas de lugares, daremos origem a novas 
permutações circulares. Na verdade, podemos trocar as 
pessoas de lugar de 4! formas distintas, justamente como se 
estivéssemos calculando os anagramas de ABCDE.
A generalização do raciocínio é imediata. Dado um conjunto M de 
n elementos dispostos de forma circular, o número de possíveis 
permutações circulares é: 
 Pc = (n – 1)!
Combinações simples
 Há situações nas quais devemos contar agrupamentos em 
que a ordem não é importante, isto é, a ordem dos elementos 
agrupados não diferencia o agrupamento.
 Vejamos um exemplo
Dentre 10 pessoas, 3 devem ser escolhidas para compor um 
grupo que participará de um congresso acadêmico. De quantos 
modos distintos podemos formar os grupos? Claramente, a 
ordem dos eleitos não altera o grupo, pois o importante é fazer 
parte da comitiva. Situações assim são conhecidas como 
combinações simples e obedecem à seguinte fórmula: 
Números binomiais e binômio de Newton 
 Representação binomial e propriedades fundamentais 
Como já sabemos, a combinação simples de n elementos, 
tomados p a p, é dada por:
 Essa nova notação não altera o significado numérico da 
quantidade, possibilita a criação de uma estrutura algébrica 
(operações e propriedades) em torno desse novo objeto. 
Números binomiais complementares
Dois números binomiais são ditos complementares quando tiverem
o mesmo numerador e a soma dos denominadores for igual ao 
numerador comum aos dois, ou seja, são complementares os 
números binomiais que respeitem a seguinte estrutura:
Por exemplo:
21 21
8 13
21
Propriedades fundamentais
1. Igualdade de números binomiais complementares 
Propriedade: dois números binomiais complementares são 
sempre iguais.
 Demonstração: somando e subtraindo n ao denominador (p!)
2. Igualdade de números binomiais quaisquer 
Propriedade: dados dois números binomiais quaisquer: 
Relação de Stiffel
Sendo: 
{n,p} C ϗ, •(p +1) < n, temos:
 Expressão conhecida como Relação de Stiffel.
Exemplo:
O Triângulo de Pascal
 Os números binomiais podem ser organizados em uma 
estrutura conhecida como Triângulo de Pascal, em homenagem
ao grande matemático Blaise Pascal. O esquema é organizar os 
números binomiais em linhas e colunas. 
Binômio de Newton
 Newton generalizou uma relação para o de (x + y)n ao perceber
que os coeficientes são combinações e que os expoentes do 
produto xy a cada parcela segue uma regularidade.
Newton chegou à seguinte expressão:
 Ou, de modo mais simples:
Binômio de Newton e Triângulo de Pascal
 O fato de encontrarmos números binomiais no Teorema do 
Binômio de Newton sugere alguma conexão com o Triângulo 
de Pascal. De fato, essa conexão existe e torna fácil o cálculo 
de potências de monômios, se dispusermos de um Triângulo 
de Pascal à mão. 
 É o caso do cálculo de (x + y), usando um Triângulo de Pascal. 
Para calcularmos, basta encontrarmos a linha correspondente 
ao expoente do monômio, no caso, linha 5.
 Assim, 
( x + y )5 = 1.x5.y0 + 5.x4.y1 + 10.x3.y2 + 10.x2.y3 + 5.x1.y4 + 1.x0.y5 = 
 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5 
Interatividade
B Um bairro é constituído de 12 quarteirões,
Uma pessoa deseja sair de A e chegar a B, por
caminhos mais curtos, isto é, tendo o mapa ao
lado por referência, movendo-se da esquerda 
A para a direita ou de baixo para cima. A quantidade de 
maneiras diferentes que ela poderá fazer essa caminhada é:
a) 42
b) 35
c) 32
d) 24
e) 12
Resposta
Alternativa correta b).
 Comentário
Em sua caminhada, a pessoa se desloca quatro vezes para a 
direita (D) e três vezes para cima (C). Dessa forma, uma 
caminhada seria representada assim:
D C D C D C D
Perceba que se trata de uma permutação com repetição:
= = = = 35 maneiras. 
Introdução ao estudo de probabilidades e operações 
com probabilidades
Determinismo e aleatoriedade 
 Podemos dizer que determinísticos são todos os 
experimentos que, realizados de maneira idêntica, levam a 
resultados idênticos. Ao contrário, experimentos realizados 
sob as mesmas condições, mas que levam a resultados 
diferentes, são denominados aleatórios.
 Exemplo de determinismo: ao soltar uma folha de papel de 
certa altura, ela cai em direção ao chão.
 Exemplo de aleatoriedade: ao soltar uma folha de papel de 
certa altura, anota-se o lugar onde caiu. Ao soltar outras vezes 
a mesma folha, podemos verificar que ela cairá em diferentes 
lugares. Claro, eventualmente, ela pode cair em um mesmo 
lugar, mas não podemos prever isso antecipadamente.
 Seja um conjunto A denominado espaço amostral, cujos 
elementos sejam todos os possíveis resultados de um dado 
experimento ou evento. Seja E um subconjunto de A, denominado
conjunto dos eventos, cujo conteúdo é um dado número de 
eventos possíveis do experimento ou evento em estudo. 
 Define-se como probabilidade
de ocorrência do conjunto dos
eventos à razão entre o número
de elementos do conjunto dos
eventos e o número de 
elementos do espaço amostral. 
3.2 Definição clássica de probabilidade 
Probabilidade e análise combinatória
 Um olhar atento à definição clássica de probabilidade mostra-
nos que um dos grandes desafios dos cálculos probabilísticos 
é a contagem dos elementos, tanto do espaço amostral como 
no conjunto dos eventos. De fato, em muitas situações, vemo-
nos frente a frente com contagens que só podem ser feitas 
(quando possível!) via análise combinatória. 
 Assim, a análise combinatória é ferramenta fundamental no 
estudo de probabilidades. 
Vejamos um exemplo de aplicação
 Seja um campeonato de futebol no qual doze times são 
inicialmente divididos aleatoriamente em 4 grupos com 3 times 
cada. Qual a probabilidade de dois times, dados, por exemplo, 
A e B, pertencerem ao mesmo grupo?
Probabilidade e análise combinatória 
A seguir uma das possíveis configurações: 
 O número total de permutações entre os times é de 12!, que é 
justamente o tamanho de nosso espaço amostral. Agora, falta 
calcular o número de elementos de nosso conjunto de eventos 
que, por sua vez, pode
ser feito de maneira combinatória 
também. Observe que, para um dado grupo, A dispõe de 3 
lugares para ocupar, restando, portanto, 2 lugares para B 
ocupar no mesmo grupo (já que se deseja que ambos 
pertençam ao mesmo grupo), enquanto os demais times 
podem permutar livremente nas outras posições. 
Probabilidade e análise combinatória 
 O número de possibilidades de A e B pertencerem a um dado 
grupo é: 3.2.10 
 No entanto, são 4 grupos, logo, o número de possibilidades 
em que A e B figurem no mesmo grupo é: 4.3.2.10!
 Assim,
 n(E) = 4.3.2.10!
 n(A) = 12!
 Para solução do problema, temos:
 Logo: 
Eventos mutuamente exclusivos e a adição de 
probabilidades 
 É comum depararmo-nos com situações em que devemos calcular
a probabilidade de ocorrência desse ou daquele evento, por 
exemplo, de se nos apresentar a face 2 ou face 5, ao lançarmos 
um dado (não viciado). Situações assim, do tipo ou, são 
solucionadas pelo Teorema da Adição de Probabilidades. 
Vamos conhecê-lo: 
 Seja um espaço amostral (A), finito e não vazio, e dois 
subconjuntos de E, denominados X e Y. O Diagrama de
Venn ilustra o que tratamos. 
Eventos mutuamente exclusivos e a adição de 
probabilidades
Analisando o Diagrama de Venn, verificamos que o número de 
elementos da união de X com Y pode ser obtido pela soma dos 
integrantes de cada subconjunto, subtraindo-se, porém, a 
quantidade presente na região de intersecção, ou seja: 
 n(X U Y) = n(X) + n(Y) – n(X ∩ Y)
Dividindo-se ambos os termos da igualdade pelo número 
de elementos do espaço amostral n(A), temos:
 Ou seja, P(X UY) = P(X) + P(Y) – P(X ∩ Y).
 Se P(X ∩ Y) = Ǿ, temos P(XUY) = P(X) + P(Y) e dizemos que 
os eventos são mutuamente exclusivos.
Eventos mutuamente exclusivos e a adição de 
probabilidades
 Dessa forma, agora estamos em condições de responder a nossa
questão inicial: qual a probabilidade de ocorrência da face “2” 
ou face “5” ao lançarmos um dado (não viciado)? Observe que 
os eventos de face 2 e face 5 são mutuamente exclusivos. 
Assim,
 P(X U Y) = P(X) + P(Y)
 P(face “2”) ou P(face “5”) = P(2) + P(5)
 Ou seja, podemos calcular essa probabilidade tipo ou 
somando as probabilidades correspondentes às ocorrências 
individuais de cada resultado.
 Então:
Probabilidade condicional, eventos independentes
e o produto de probabilidades 
 Denomina-se como condicional a probabilidade do acontecimento
de um dado evento que depende da ocorrência de um outro. 
Vamos considerar o exemplo: seja um baralho composto de
52 cartas divididas em 4 naipes distintos (ouros, espadas, 
copas, paus), sendo que cada naipe possui 13 tipos distintos 
de cartas (ás, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove, 
dez, valete, dama e rei). Considerando o maço de cartas bem 
embaralhado, qual a probabilidade de ser escolhida, ao acaso, 
uma dama de ouros? Observe que o evento dama de ouros 
depende da ocorrência do evento retirar uma dama.
 Situações assim são problemas típicos de
probabilidade condicional. 
Probabilidade condicional, eventos independentes
e o produto de probabilidades 
Usando o recurso de 
Diagrama de Venn novamente:
 A probabilidade de ocorrer 
o evento Y, dada a 
ocorrência de X, reduz 
o espaço amostral ao 
próprio subconjunto X. 
Assim, o evento Y só 
poderá ocorrer na região 
de intersecção entre X e Y.
Probabilidade condicional, eventos independentes
e o produto de probabilidades
Voltando ao problema proposto:
 Assim:
Interatividade
Um torneio de futebol é composto por 24 times divididos em seis 
grupos, com 4 times cada um. Suponha que a escolha do grupo 
de cada time seja feita ao acaso.
A probabilidade de dois times A e B se encontrarem no mesmo 
grupo é:
a) 0,25
b) 0,20
c) 0,13
d) 0,30
e) 0,10
Resposta
Alternativa correta c).
Comentário
 O espaço amostral é o conjunto de todas as permutações de 
24 elementos (times), ou seja, em um total de 24!
 Os 24 times estão distribuídos em 6 grupos. A e B estão no 
primeiro grupo. A pode ser disposto em 4 lugares e B em três 
no primeiro grupo, sendo que os demais times podem ser 
dispostos de 22! maneiras diferentes. Assim, o número de 
permutação de A e B no primeiro grupo é 6.4.3.22!.
 A probabilidade procurada é = ≈ 0,13.
Estatística descritiva
 A estatística pode ser considerada uma ciência, no sentido do 
estudo de uma população, e como um método, quando utilizada 
como um instrumento por outra ciência. 
 Atualmente, é considerada como um conjunto de métodos e 
técnicas para coleta, organização, apresentação e interpretação 
de dados; a fim de que conclusões, que vão além dos dados 
iniciais, possam ser obtidas para a tomada de decisões. Sob esse 
aspecto, pode ser subdividida em duas grandes áreas: aquela 
responsável pela coleta, pela organização e pela descrição dos 
dados, a Estatística Descritiva e a responsável pela análise e 
interpretação de dados, a Estatística Indutiva (ou Inferencial), que 
é fundamentada na teoria da probabilidade e compreende dois 
grandes tópicos: a estimação de parâmetros e os testes de 
hipótese. 
Gráficos
 Têm como objetivo facilitar a compreensão de dados 
numéricos por meio de apresentação visual e também 
apresentar resultados ou conclusões de uma análise. 
Podem ser classificados, segundo seu objetivo, em: 
 Gráficos de informação: tipicamente expositivos, devem ser o 
mais completos possível. São destinados ao público em geral 
e têm a finalidade de proporcionar uma compreensão clara e 
rápida do objeto em estudo. 
 Gráficos de análise: são os usados pela estatística. Em uma 
análise, esses gráficos frequentemente vêm acompanhados 
de uma tabela, além de um texto que procura chamar a 
atenção do leitor para os principais pontos apresentados 
tanto pelo gráfico quanto pela tabela. 
A elaboração de um gráfico necessita de alguns 
cuidados
1. Todo gráfico deve ter título, escala e fonte. 
2. Cada eixo do gráfico tem que ser identificado claramente, 
como mostra o exemplo:
3. O sistema de eixos cartesianos e as linhas auxiliares devem 
ter traçados mais leves do que a parte do gráfico que se 
pretende evidenciar.
Cuidados na elaboração de um gráfico
4. Todo gráfico deve ser:
 Simples: constituído somente das informações importantes, 
desconsiderando detalhes de importância secundária, assim 
como traços desnecessários que possam levar a erros. 
 Verdadeiro: expressar a verdade sobre o fenômeno em estudo. 
 Claro: permitir a interpretação correta dos dados em estudo. 
5. A utilização indevida dos gráficos pode trazer uma ideia falsa 
dos dados que estão sendo analisados, chegando mesmo a 
confundir a pessoa.
Cuidados na elaboração de um gráfico
 Gráficos que podem causar má interpretação:
Fonte: CARVALHO, Valéria de; CRUZ, Emerson Flamarion da; GUIMARÃES, Lúcia F. de Almeida. 
Probabilidade e Estatística. São Paulo, UNIP, 2014. 
Gráfico de barras (horizontais) agrupadas
 Visa à comparação de dois ou mais itens obtidos de duas 
diferentes fontes.
Fonte: CARVALHO, Valéria de; CRUZ, Emerson Flamarion da; GUIMARÃES, Lúcia F. de Almeida. 
Probabilidade e Estatística. São Paulo, UNIP, 2014. 
Gráfico de barras (horizontais) agrupadas
 Visa à comparação de dois ou mais itens obtidos de duas 
diferentes fontes.
Fonte: CARVALHO, Valéria de; CRUZ, Emerson Flamarion da; GUIMARÃES, Lúcia F. de Almeida. 
Probabilidade e Estatística. São Paulo, UNIP, 2014. 
Gráfico de colunas e colunas agrupadas
 Tem o mesmo objetivo que o gráfico de barras, sendo 
preferível quando as legendas referentes aos retângulos são 
curtas. Exemplo:
Fonte: CARVALHO, Valéria de; CRUZ, Emerson Flamarion da; GUIMARÃES, Lúcia F. de Almeida. 
Probabilidade e Estatística. São Paulo, UNIP, 2014. 
Gráfico de colunas agrupadas
O gráfico de colunas agrupadas permite uma melhor 
comparação entre as grandezas das diferentes variáveis. 
Exemplo:
Fonte: CARVALHO, Valéria de; CRUZ, Emerson
Flamarion da; GUIMARÃES, Lúcia F. de Almeida. 
Probabilidade e Estatística. São Paulo, UNIP, 2014. 
Gráfico de linhas ou gráficos lineares ou de curvas
 Utilizado para a representação de valores em função do 
tempo. Mais eficiente do que as colunas quando existem 
intensas variações nas informações ou quando é necessária a 
apresentação de várias no mesmo gráfico. Exemplo:
Fonte: CARVALHO, Valéria de; CRUZ, Emerson Flamarion da; GUIMARÃES, Lúcia F. de Almeida. 
Probabilidade e Estatística. São Paulo, UNIP, 2014. 
Gráfico de setores (ou de pizza) 
 É usado para representar valores absolutos ou percentuais 
em função de um todo. Exemplos:
Fonte: CARVALHO, Valéria de; CRUZ, Emerson Flamarion da; GUIMARÃES, Lúcia F. de Almeida. 
Probabilidade e Estatística. São Paulo, UNIP, 2014. 
Cartogramas
Fonte: CARVALHO, Valéria de; CRUZ, Emerson Flamarion da; GUIMARÃES, Lúcia F. de Almeida. 
Probabilidade e Estatística. São Paulo, UNIP, 2014. 
Representação dos dados 
sobre uma carta 
geográfica (mapa). 
Usados quando o 
objetivo é 
representar os dados 
diretamente
relacionados com áreas
geográficas ou políticas.
Pictograma ou gráficos pictóricos
 São gráficos cuja representação é realizada por figuras. Pela 
sua forma atraente e sugestiva, são os que melhor falam ao 
público. Exemplo:
Fonte: CARVALHO, Valéria de; CRUZ, Emerson Flamarion da; GUIMARÃES, Lúcia F. de Almeida. 
Probabilidade e Estatística. São Paulo, UNIP, 2014. 
Variáveis qualitativas
 A figura a seguir mostra os resultados obtidos pelo professor 
de Estatística: 
Fonte: CARVALHO, Valéria de; CRUZ, Emerson Flamarion da; GUIMARÃES, Lúcia F. de Almeida. 
Probabilidade e Estatística. São Paulo, UNIP, 2014. 
Variáveis quantitativas 
 Para as variáveis quantitativas, a distribuição de frequência 
pode ser graficamente representada por meio de histograma, 
polígono de frequência e polígono de frequência acumulada 
(ou Ogiva de Galton). 
 Em todos os tipos de gráficos, as abscissas (eixo horizontal) 
serão os valores da variável e as ordenadas (eixo vertical) 
serão as frequências. 
 Variáveis quantitativas: histograma. 
 Conjunto de retângulos superpostos, cuja base fica no eixo 
horizontal, de tal forma que seus pontos médios coincidem 
com os pontos médios da classe. A largura desses retângulos 
equivale à amplitude da classe e sua altura é proporcional às 
frequências das classes. 
Histograma
Exemplo de histograma:
Fonte: CARVALHO, Valéria de; CRUZ, Emerson Flamarion da; GUIMARÃES, Lúcia F. de Almeida. 
Probabilidade e Estatística. São Paulo, UNIP, 2014. 
Variáveis quantitativas: polígono de frequência 
acumulada
Gráfico de linhas, construído a partir dos valores da frequência 
absoluta acumulada. Exemplo:
Fonte: CARVALHO, Valéria de; CRUZ, Emerson Flamarion da; GUIMARÃES, Lúcia F. de Almeida. 
Probabilidade e Estatística. São Paulo, UNIP, 2014. 
Interatividade
 (ENEM 2008) O gráfico abaixo mostra a área desmatada da 
Amazônia, em km², cada ano, no período de 1988 a 2008.
Fonte: CARVALHO, Valéria de; CRUZ, Emerson Flamarion da; GUIMARÃES, Lúcia F. de Almeida. 
Probabilidade e Estatística. São Paulo, UNIP, 2014. 
Interatividade
As informações do gráfico indicam que:
a) O maior desmatamento ocorreu em 2004. 
b) A área desmatada foi menor em 1997 do que em 2007. 
c) A área desmatada a cada ano manteve-se constante, entre 
1998 e 2001. 
d) A área desmatada por ano foi maior entre 1994 e 1995 do 
que entre 1997 e 1998. 
e) O total de área desmatada em 1992, 1993 e 1994 é maior que 
60.000 km². 
Resposta
Alternativa correta: “d”.
Comentário
 Pelo gráfico, observe que a área desmatada por ano foi maior 
entre 1994 e 1995 do que entre 1997 e 1998. 
Fonte: CARVALHO, Valéria de; CRUZ, Emerson Flamarion da; GUIMARÃES, Lúcia F. de Almeida. 
Probabilidade e Estatística. São Paulo, UNIP, 2014.
ATÉ A PRÓXIMA!