LISTA 1 - SISTEMAS LINEARES

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA 
CAMPUS FLORIANÓPOLIS 
DALTEC 
UNIDADE CURRICULAR: Geometria Analítica 
PROFESSOR: ANTÔNIO JOÃO email: anttoniojoao@gmail.com 
MATEMÁTICA – IFSC Prof. Antônio João anttoniojoao@gmail.com 
LISTA 1 –SISTEMAS LINEARES 
 
1. Diga quais equações são lineares: 
a) 2𝑥 + 3𝑦 = 2 b) 𝑥2 − 5𝑥𝑦 + 3𝑥 = 0 c) 2𝑥𝑦 + 3𝑥 = 7 d) 4𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = −1 
 
2. Verifique quais dos itens abaixo são soluções da equação linear 𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 2. 
a) (1, 2, 4) b) 1, 2,
1
2
 c) −3, −5, 3 d) 0, 0, 0 
 
3. Dada a equação 𝑥 − 3𝑦 − 𝑧 = 4, determine 𝑝 de modo que cada uma das triplas a seguir seja 
solução da equação: 
a) 0, 0, 𝑝 b) 1, −2𝑝, 1 c) 𝑝 + 1, 3, 0 d) (𝑝, 𝑝, 𝑝 + 5) 
 
4. Verifique se 0, 1, 1 é solução dos sistemas: 
a) 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0
2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 3
 b) 
3𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = −2
𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0
 
 
c) 
5𝑥 + 3𝑦 − 3𝑧 = 0
4𝑥 + 5𝑦 − 3𝑧 = 2
𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 7
 
 
5. Classifique e resolva, se possível, os sistemas. (Utilize o método do escalonamento) 
a) 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2
2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 7
3𝑥 + 5𝑦 − 2𝑧 = 4
 b) 
2𝑥 + 𝑦 = 11
𝑥 − 𝑦 = −2
3𝑥 − 2𝑦 = −1
 
 
 
c) 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑡 = 1
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 + 3𝑡 = 0
3𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 + 2𝑡 = 3
 d) 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 3
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2
 
 
 
e) 
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 1
4𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 5
3𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 = 4
 f) 
3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 + 𝑡 = 3
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑡 = 0
2𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 − 3𝑡 = −5
3𝑥 − 2𝑦 + 5𝑧 + 4𝑡 = −7
 
 
 
 
 
 
 
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
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6. Sistema linear homogêneo 𝑚 × 𝑛 é todo sistema no qual os termos independentes são todos nulos. 
Todo sistema homogêneo é possível e admite pelo menos a solução 0, 0, … , 0 , chamada 
𝒔𝒐𝒍𝒖çã𝒐 𝒕𝒓𝒊𝒗𝒊𝒂𝒍. Quando admite apenas a solução trivial, o sistema é 𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐(𝑺𝑷𝑫). 
Se admitir outras soluções além da trivial, o sistema é 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐 (𝑺𝑷𝑰). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolva os seguintes sistemas lineares homogêneos: 
a) 
𝑥 + 𝑦 = 0
2𝑥 − 3𝑦 = 0
 b) 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0
2𝑥 − 3𝑦 − 2𝑧 = 0
3𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 0
 
 
 c) 
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 0
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 0
2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 0
 
 
 
7. Determine 𝑚 ∈ ℝ de modo que os sistemas a seguir admitam apenas a solução trivial: 
 
a) 
3𝑥 − 𝑚𝑦 = 0
6𝑥 + 2𝑦 = 0
 b) 
𝑥 + 2𝑚𝑦 = 0
2𝑥 − 6𝑦 = 0
 
 
c) 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0
3𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = 0
2𝑥 + 𝑦 + 𝑚𝑧 = 0
 
 
8. Determine 𝑝 ∈ ℝ de modo que os sistemas a seguir admitam outra solução além da trivial: 
 
a) 
𝑥 + 𝑝𝑦 = 0
3𝑥 − 2𝑦 = 0
 c) 
𝑝𝑥 + 𝑦 = 0
3𝑥 + 𝑦 = 0
 
 
9. Resolva os seguintes sistemas pela regra de Cramer: 
a) 
3𝑥 − 2𝑦 = 3
𝑥 − 𝑦 = −1
 b) 
5𝑥 − 3𝑦 = 13
4𝑥 + 6𝑦 = 2
 
 
SISTEMA 
HOMOGÊNEO 
DETERMINADO 
Solução trivial (0, 0, … , 0) 
INDETERMINADO 
Solução trivial e outras 
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c) 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0
2𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = −3
3𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 21
 d) 
𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 6
2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 0
𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 4
 
 
10. Determine 𝑚 ∈ ℝ para que: 
1º. Seja possível e determinado (𝑺𝑷𝑫) (tenha uma única solução); 
2º. Seja impossível (𝑺𝑰) (não tenha solução); 
3º. Seja indeterminado (𝑺𝑷𝑰) (tenha infinitas soluções). 
 
a) 
𝑚𝑥 + 𝑦 = 3
3𝑥 + 2𝑦 = 1
 b) 
3𝑥 + 𝑚𝑦 = 2
4𝑥 − 5𝑦 = 1
 
 
c) 
𝑚𝑥 + 8𝑦 = 5
2𝑥 + 𝑚𝑦 = 3
 𝑑) 
𝑥 + 5𝑦 = 3
2𝑥 + 𝑚𝑦 = 6
 
 
 
e) 
𝑚𝑥 − 𝑦 = 1
(𝑚 − 1)𝑥 + 2𝑚𝑦 = 4
 f) 
𝑥 + 2𝑦 + 𝑚𝑧 = 4
2𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 1
3𝑥 + 𝑚𝑦 + 3𝑧 = 0
 
 
 
11. Considere o sistema abaixo: 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4
2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 1
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = −1
 
 
Determine a inversa da matriz dos coeficientes e utilize-a para achar a matriz solução do sistema. 
(Dica: Lembre-se que um sistema de equações lineares pode ser escrito através da equação matricial 
𝐴𝑋 = 𝐵). 
 
12. Discuta a solução dos sistemas, isto é: 
 Escreva a matriz aumentada de cada sistema; 
 Deixe na forma escalonada; 
 Identifique o posto da matriz dos coeficientes e da matriz aumentada e o número de incógnitas e 
escreva, se possível, a solução do sistema. 
 a) 
𝑥 + 5𝑦 = 3
2𝑥 − 3𝑦 = 5
 b) 
𝑥 + 𝑦 = 3
3𝑥 − 2𝑦 = −1
2𝑥 − 3𝑦 = −4
 c) 
𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = 1
−𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = −2
 
 
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 d) 
−𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 1
2𝑥 − 𝑦 + 3𝑡 = 2
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 − 2𝑡 = 0
 e) 
𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 2
3𝑥 + 5𝑦 + 4𝑧 = 4
5𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = −10
 
 
f) ) 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑡 = 1
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 + 𝑡 = −1
 𝑦 − 𝑧 + 2𝑡 = 2
2𝑥 + 𝑧 − 𝑡 = −1
 g) 
3𝑥 + 3𝑦 − 5𝑧 + 𝑤 = 0
3𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 𝑤 = 0
2𝑥 + 𝑧 = 0
−𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 2𝑤 = 0
 
 
13. Dado os circuitos e os sistemas que os representa encontre as correntes indicadas: 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 b) 
 
 
 
 
 c) 
 
 
 
 
 
𝐼1 − 𝐼2 − 𝐼3 = 0
5𝐼1 + 13𝐼2 = 8
 − 13𝐼2 + 14𝐼3 = 3
 
 
𝐼1 + 𝐼2 − 𝐼3 = 0
2𝐼1 − 2𝐼2 = 6
 2𝐼2 + 4𝐼3 = 8
 
 
−𝐼1 + 𝐼2 − 𝐼3 = 0
4𝐼1 + 6𝐼2 = 1
−4𝐼1 + 2𝐼3 = 2
 
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d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação. Fazendo uso dos conhecimentos que serão aprendidos na disciplina de circuitos elétricos 
do seu curso, o sistema acima pode ser reduzido em um sistema de menor ordem, o que facilitaria sua 
resolução. Como não vimos tais técnicas ainda e não faz parte desta disciplina analisar tais técnicas 
nos deteremos apenas na resolução deste sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐼1 − 𝐼2 − 𝐼4 = 0
 − 𝐼3 + 𝐼4 − 𝐼5 = 0
20𝐼1 + 20𝐼2 = 10 
 20𝐼2 − 20𝐼3 = 0
 − 20𝐼3 + 20𝐼5 = 10
 − 𝐼3 − 𝐼5 + 𝐼6 = 0
 
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RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS RESPOSTAS 
 
1. a); d) 2. a) não é solução b) é solução c) não é solução d) não é solução 
3. a) 𝑝 = −4 b) 𝑝 =
2
3
 c) 𝑝 = 12 d) 𝑝 = −2 4. a) é solução b) não é solução 
c) é solução 5. a) SPD; 𝑥 = 3, 𝑦 = −1 𝑒 𝑧 = 0 b) SPD; 𝑥 = 3 𝑒 𝑦 = 5 
c) SPI; (−2𝑘 − 1, −12 − 7𝑘, −6𝑘 − 10, 𝑘) d) SI e) SPD; 𝑥 =
11
9
, 𝑦 = −
1
9
, 𝑒 𝑧 = 0 
f) SPD; 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑧 = −1 𝑒 𝑡 = 0 6. a) 𝑆 = { 0,0,0 } b) 𝑆 = { 0,0,0 } c) 𝑆 = { 0,0,0 } 
7. a) 𝑚 ≠ −1 b) 𝑚 ≠ −
3
2
 c) 𝑚 ≠
6
5
 8. a) 𝑝 = −
2
3
 b) 𝑝 = 3 
9. a) 𝑆 = 5, 6 b) 𝑆 = 2,−1 c) 𝑆 = 3, 2, −5 d) 𝑆 = 
37
15
,
5
3
,
1
15
 
10. a) 1º) para 𝑚 ≠
3
2
temos SPD. 2º) para 𝑚 =
3
2
 temos SI 3º) ∄ 𝑚 ∈ ℝ para que o sistema 
seja SPI. 
b) 1º) para 𝑚 ≠ −
15
4
 temos SPD. 2º) para 𝑚 = −
15
4
temos SI 3º) ∄ 𝑚 ∈ ℝ para que o sistema 
seja SPI. 
c) 1º) para 𝑚 ≠ 4 𝑜𝑢 𝑚 ≠ −4 temos SPD. 2º) para 𝑚 = 4 𝑒 𝑚 = −4 temos SI 
3º) ∄ 𝑚 ∈ ℝ para que o sistema seja SPI. 
d) 1º) para 𝑚 ≠ 10 temos SPD. 2º) ∄ 𝑚 ∈ ℝ para que o sistema seja SI 
3º) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚 = 10 temos SPI 
 e) 1º) para 𝑚 ≠ −1 𝑜𝑢 𝑚 ≠ 1/2 temos SPD. 2º) para 𝑚 = −1 𝑒 𝑚 =
1
2
 temos SI 
3º) ∄ 𝑚 ∈ ℝ para que o sistema seja SPI. 
f) 1º) para 𝑚 ≠ 1 𝑜𝑢 𝑚 ≠
9
2
 temos SPD. 2º) para 𝑚 = 1 𝑒 𝑚 =
9
2
 temos SI 
3º) ∄ 𝑚 ∈ ℝ para que o sistema seja SPI. 
 
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11. 𝑋 = 𝐴−1𝐵 ou seja 𝑋 = 
−1 3 −4
 1 −2 3
 1 −1 1
 ∙ 
 4
 1
−1
 ⟹ 𝑋 = 
 3
−1 
 2
 
Desta forma a solução é 𝑆 = 3, −1,2 
 
12. a) 𝑃 = 2, 𝑃𝐴𝑈𝑀 = 2, 𝑛 = 2 ou seja 𝑃 = 𝑃𝐴𝑈𝑀 = 𝑛 ⟶𝑆𝑃𝐷 𝑆 = 
34
13
,
1
13
 
 b) 𝑃 = 2, 𝑃𝐴𝑈𝑀 = 2, 𝑛 = 2 ou seja 𝑃 = 𝑃𝐴𝑈𝑀 = 𝑛 ⟶𝑆𝑃𝐷 𝑆 = 1, 2 
 c) 𝑃 = 3, 𝑃𝐴𝑈𝑀 = 3, 𝑛 = 3 ou seja 𝑃 = 𝑃𝐴𝑈𝑀 = 𝑛 ⟶𝑆𝑃𝐷 𝑆 = −11, −6, −3 
 d) 𝑃 = 3, 𝑃𝐴𝑈𝑀 = 3, 𝑛 = 4 ou seja 𝑃 = 𝑃𝐴𝑈𝑀 < 𝑛 ⟶𝑆𝑃𝐼 𝑆 = 1 −
13𝑡
5
, −
11𝑡
5
, −1 +
𝑡
5
 
 e) 𝑃 = 2, 𝑃𝐴𝑈𝑀 = 3, ou seja 𝑃 ≠ 𝑃𝐴𝑈𝑀 ⟶𝑆𝐼 
 f) 𝑃 = 4, 𝑃𝐴𝑈𝑀 = 4, 𝑛 = 4 ou seja 𝑃 = 𝑃𝐴𝑈𝑀 = 𝑛 ⟶𝑆𝑃𝐷 𝑆 = −
1
5
, 1, −
1
5
,
2
5
 
 g) 𝑃 = 4, 𝑃𝐴𝑈𝑀 = 4, 𝑛 = 4 ou seja 𝑃 = 𝑃𝐴𝑈𝑀 = 𝑛 ⟶𝑆𝑃𝐷 𝑆 = 0, 0, 0 
 
13. a) 𝐼1 =
255
317
𝐴 𝐼2 =
97
317
𝐴 𝐼3 =
158
317
𝐴 
 b) 𝐼1 =
13
5
𝐴 𝐼2 = −
2
5
 𝐴 𝐼3 =
11
5
𝐴 
 c) 𝐼1 = −
5
22
𝐴 𝐼2 =
7
22
𝐴 𝐼3 =
6
11
𝐴 
 d) 𝐼1 =
1
2
𝐴 𝐼2 = 0 𝐴 𝐼3 = 0𝐴 𝐼4 =
1
2
𝐴 𝐼5 =
1
2
𝐴 𝐼6 =
1
2
A