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CNC 2018 Material de apoio 1 e 2 CNC
Cálculo Numérico Computacional (Universidade Regional Integrada do Alto Uruguai e
das Missões)
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CNC 2018 Material de apoio 1 e 2 CNC
Cálculo Numérico Computacional (Universidade Regional Integrada do Alto Uruguai e
das Missões)
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UNIVERSIDADE REGIONAL INTEGRADA DO ALTO URUGUAI E
DAS MISSÕES
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIAS E CIÊNCIA DA
COMPUTAÇÃO - DECC
333 – ENGENHARIA ELÉTRICA (194) – 2016 – SEGUNDA-FEIRA
303 – ENGENHARIA CIVOL- NOTURNO(201) – 2016 – SEXTA-
FEIRA
10-415 
C ÁLCULO NUMÉRICO
COMPUTACIONAL
CADERNO DE APOIO 
PROFª ELIANI RETZLAFF 
e-mail: elianir@ san.uri.br 
 
SANTO ÂNGELO - MARÇO, 2018
1
Baixado por Douglas Abrão (abrao.sms@gmail.com)
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PLANO DE ENSINO DE CÁLCULO NUMÉRICO COMPUTACIONAL
DADOS DE IDENTIFICAÇÃO
CURSO: ENGENHARIAS: Elétrica, Civil e Mecânica 
DISCIPLINA: CÁLCULO NUMÉRICO COMPUTACIONAL 
DEPARTAMENTO: CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA – DCET CÓDIGO: 10-415
PROFESSOR: ELIANI RETZLAFF
NÚMERO DE HORAS: 60 h/a T: 40/45 P: 20/15 CRÉDITOS: 04
EMENTA DA DISCIPLINA
Erros. Zeros de funções. Interpolação polinomial. Sistemas lineares: Métodos para solução de
equações e sistemas não-lineares. Integração numérica. Introdução a soluções de equações
diferenciais ordinárias.
OBJETIVOS DA DISCIPLINA
GERAL:
Propiciar ao aluno metodologias/conhecimentos para a resolução de diversos problemas que
envolvam a utilização do computador como ferramenta de cálculo.
ESPECÍFICOS:
Entender, saber quando aplicar, como utilizar e como implementar diversos métodos numéricos
apropriados para: achar as raízes de equações algébricas e transcendentes; resolver sistemas de
equações lineares; fazer ajustes de curvas; fazer interpolação; realizar integração numérica.
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:
1. ERROS EM PROCESSOS NUMÉRICOS: 1.1 Alguns conceitos que constituem a solução de
problemas por meio de métodos numéricos; 1.2 Erros; 1.2.1 Erros da Fase de Modelagem;
1.2.2. Erros na conversão de bases; 1.3 Erros de Representação; 1.3.1. Aritmética de ponto
flutuante; 1.3.2. Propriedades do sistema de ponto flutuante; 1.3.3. Regiões de Overflow e
Underflow; 1.4 Erros Absoluto e Relativo; 1.5. Erros de Truncamento; 1.6. Erros de
Arredondamento e Erros de Truncamento em Aritmética de ponto flutuante; 1.5 Propagação
de Erros.
2. ZEROS DE FUNÇÕES: 2.1 Conceitos e definições; 2.1.1 Zeros de uma Função; 2.1.2 Processo
Iterativo; 2.1.3 Determinação da Raiz; 2.2 Localização e Refinamento; 2.2.1 Localização de
Raízes Isoladas; 2.3 Processos Iterativos; 2.3.1 Método da Dicotomia ou Bissecção; 2.3.2
Método de Newton, Newton-Raphson ou das Tangentes; 2.3.3 Método da Iteração Linear; 2.4
Implementação Computacional de Métodos. 
3. SISTEMAS LINEARES: 3.1 Conceitos e Definições; 3.2 Matrizes Associadas a um Sistema; 3.3
Método de Gauss e Gauss-Jordan; 3.3.1 Algoritmo da Triangulação de Gauss; 3.3.2 Algoritmo
da Diagonalização de Gauss-Jordan; 3.4 Métodos Iterativos de Jacobi e Gauss-Seidel; 3.5
Refinamento de Soluções; 3.6 Implementação Computacional de Métodos.
4. SISTEMAS NÃO-LINEARES: 4.1 Introdução; 4.2 Método de Newton; 4.3 Implementação 
Computacional do Método.
5. INTERPOLAÇÃO: 5.1 Interpolação Linear; 5.2 Interpolação Polinomial; 5.3 Interpolação de
Lagrange; 5.4 Interpolação de Newton para diferenças divididas; 5.5 Implementação
Computacional de Métodos 
6. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA; 6.1 Introdução; 6.2 Método dos Trapézios; 6.3 Método de
Simpson; 6.4 Quadratura Gaussiana; 6.5 Implementação Computacional de Métodos. 
7. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA EDO'S: 7.1 Introdução; 7.2 Método de Euler; 7.3 Método de
Runge-Kutta; 7.4 Implementação Computacional de Métodos.
Plano de Ensino Cálculo Numérico Computacional - Profª Eliani Retzlaff 
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METODOLOGIA DE ENSINO
Os conceitos teóricos serão expostos dentro de um contexto aplicado. Será utilizado o
laboratório de informática, utilizando-se da planilha Excel, bem como Implementação
Computacional de Métodos Utilizando o MathCad ou Matlab.
ATIVIDADES DISCENTES
Aplicação dos métodos na resolução de exercícios individuais e/ou em grupo sem e com a
utilização de recursos tecnológicos.
PROCEDIMENTOS DE AVALIAÇÃO
Serão realizadas duas provas constituindo as notas P1 e P2; A prova será realizada com
consulta somente a um formulário de uma folha tamanho A4 (frente e verso) escrito à mão e
deverá ser entregue junto com a prova.
 Em caso de perda de uma das provas o acadêmico deverá procurar o professor até no
máximo 2 (conforme manual acadêmico) dias úteis após a data de realização da prova para
realizar a prova de reposição.
BIBLIOGRAFIA BÁSICA
BARROSO, L. C. Cálculo Numérico com Aplicações. 2ª ed., São Paulo: Harbra, 1987.
CLAUDIO, D. M.; MARINS, J. M. Cálculo Numérico Computacional. 2ª ed., São Paulo: Atlas,
1994.
RUGGIERO, M.A.G.; LOPES, V.L.da R. Cálculo Numérico: Aspectos Teóricos e Computacionais.
2ª ed., São Paulo: Makron Books, 1997.
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR
CUNHA, M. Cristina C. Métodos numéricos. São Paulo: UNICAMP, 1993.
Amos, GILAT,, and SUBRAMANIAM, Vish. Métodos Numéricos para Engenheiros e Cientistas:
Uma Introdução com Aplicações Usando o MATLAB. Bookman, 2008.
http://integrada.minhabiblioteca.com.br/books/9788577802975 (também disponível na
biblioteca)
SPERANDIO, Décio; MENDES, João Teixeira; SILVA, Luiz Henry Monken e. Cálculo
numérico: características matemáticas e computacionais dos métodos numéricos . São Paulo:
Pearson, 2003.
FRANCO, Neide Bertoldi. Cálculo numérico. São Paulo: Pearson, 2007.
SADOSKY, Manuel. Cálculo Numérico e Gráfico. Rio de Janeiro: Interciência, 1980.
ATENDIMENTO AOS ALUNOS
À combinar horários.
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O cálculo numérico é o conjunto de ferramentas ou métodos usados para se obter a
solução de problemas matemáticos de forma aproximada.
 Abrange resolver problemas de Álgebra Linear e Não-Linear, de Estatística e Análise de
Dados, de Cálculo Diferencial e Integral, assim como para outros métodos matemáticos, a
partir de métodos numéricos. Estes servem de aplicações na área da engenharia, como
exemplos: Cálculo de cabos entre postes; Cálculo de canais pela fórmula de Strickler
(hidráulica); Cálculo de fundações (blocos e tubulações); Previsão da população futura de
uma cidade para dimensionamento de sistemas de saneamento; Cálculo de volumes de
jazidas para terraplenagem e pavimentação; Cálculo de esforços; Cálculo de momentos de
inércia; Cálculo de estruturas com inércia variável; Determinação da deformação de uma
viga; Simulações numéricas de problemas de previsão numérica do tempo; Simulações de
escoamentos em torno de perfis aerodinâmicos, com reações químicas, de sistemas
multifásicos, entre outros.
Dessa forma, à priori, define-se o problema real a ser resolvido, observam-se
fenômenos, levantam-se efeitos dominantes e fazem-se referência a conhecimentos prévios
físicos e matemáticos; o passo seguinte é construir ou utilizar-se de um modelo matemático
e em seguida resolve-se o problema matemático, validando o(s) resultados(s).
É importante ressaltar que atualmente os recursos de softwares matemáticos, bem como
linguagens de programação, pela possibilidade de simulações com o uso de modelos,
métodos numéricos e implementação, tornam possíveis desenvolver projetos reais nas
diferentes áreas.
1. ERROS EM PROCESSOS NUMÉRICOS 
1.1. Alguns conceitos que constituem a solução de problemas por meio de
métodos numéricos
Para a solução de um problema da ciência ou da engenharia deve-se ter em mente o
modelo que representa a situação física. Esse modelo matemático poderá ser resolvido por
métodos numéricos quando os métodos analíticos falham ou são trabalhosos.
Os métodos numéricos produzem, em geral, apenas soluções aproximadas. Por este
fato, antes da sua utilização é necessário decidir qual a precisão dos cálculos com que se
pretende obter a solução numérica desejada e ainda conhecer as fontes de erros, para que
se possam eliminar, ou pelo menos, controlar o seu valor.
Esquema do processo:
Capítulo 1: Erros em Processos Numéricos 4
Métodos Numéricos
ResoluçãoModelagem
Problema 
físico
Modelo 
Matemático
Solução
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Modelagem: é a fase de obtenção do modelo matemático que descreve o comportamento
do sistema físico.
Resolução: é a fase de obtenção da solução através da aplicação de métodos numéricos -
objetivo de estudo do Cálculo Numérico.
Método Numérico: Se define como um algoritmo que vai produzir um ou mais valores
numéricos, ou seja, são métodos de convergência que apresentam uma sequência de
cálculos simples, porém repetitivos.
Assim, os métodos numéricos:
 Aplicam-se onde os métodos exatos falham ou são trabalhosos
o Um problema de Matemática pode ser resolvido analiticamente, mas
esse método pode se tornar impraticável com o aumento do tamanho
do problema.
Exemplo: solução de sistemas de equações lineares.
o A existência de problemas para os quais não existem métodos
matemáticos para solução (não podem ser resolvidos analiticamente)
Exemplos:
a) certas equações polinomiais de graus maiores ou
transcendentes (equações com termos exponenciais,
logaritmos ou trigonométricos)
b) certas integrais, como exemplo: y=∫
1
2
e
x
2
dx.
c) equações diferenciais parciais não lineares
Capítulo 1: Erros em Processos Numéricos 5
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 Primam pela simplicidade, sendo que o resultado é possível de refinamento
até obter-se a precisão desejada.
 São conhecidos há muito tempo, mas atualmente encontram larga aplicação
valendo-se da evolução dos processos computacionais.
Cálculo Direto: calculam a solução de um problema em um número finito de passos.
Cálculo Iterativo: realizam sucessivas aproximações que convergem para a solução exata
em seu limite. Um teste de convergência é especificado para decidir quando uma solução
suficientemente precisa foi encontrada.
Algoritmo: conjunto predeterminado e bem definido de regras e processos destinados à
solução de um problema, com um número finito de etapas, ou seja, é um caminho para
solução de um problema.
O algoritmo também representa o rascunho para programas (Software), pois sua
linguagem é intermediária à linguagem humana e às linguagens de programação, sendo
então, uma boa ferramenta na validação da lógica de tarefas a serem automatizadas.
Programa: É a formalização de um algoritmo em uma determinada linguagem de
programação, segundo suas regras de sintaxe (conjunto de regras que determinam quais
construções são corretas) e semântica (descrição de como as construções sintaticamente
corretas são interpretadas ou executadas), de forma a permitir que o computador possa
entender a sequência de ações.
Iteração: repetição sucessiva de um processo. Um método iterativo se caracteriza por
envolver os seguintes elementos:
 Aproximação inicial: consiste em uma primeira aproximação para a solução do
problema numérico.
 Equação de recorrência: equação por meio da qual, partindo da aproximação
inicial, são realizadas as aproximações sucessivas para a solução desejada.
 Teste de parada: é o instrumento por meio do qual o procedimento iterativo é
finalizado.
1.2. Erros 
Partindo da premissa que os métodos numéricos possibilitam a obtenção de
aproximações para o que deveria ser valores exatos, a consequência inerente a tais
soluções é a inclusão de uma componente de erro aos resultados obtidos.
Na solução desses problemas relacionados:
Ao modelo: os modelos são na grande maioria idealizados, pois temos que aceitar certas
condições que simplificam o problema para torná-lo tratável, buscando incluir suas
características a fim de reduzir os erros nesta fase a um nível aceitável.
 
Aos dados e parâmetros: além de equações e relações, um modelo matemático também
contém dados e parâmetros que, frequentemente, são medidos experimentalmente, e
portanto, aproximadas. As aproximações nos dados podem ter grande repercussão no
resultado final.
Capítulo 1: Erros em Processos Numéricos 6
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A truncatura: muitas equações têm soluções advindas de um processo infinito, que por sua
vez não pode ser completado tendo que ser truncado, resultando assim no erro de
truncatura ou truncamento.
Ao arredondamento relacionado ao cálculo: Quer os cálculos sejam efetuados
manualmente quer obtidos por computador ou numa calculadora, somos conduzidos a
utilizar uma aritmética de precisão finita, ou seja, apenas podemos ter em consideração um
número finito de dígitos. O erro devido a desprezar os outros e arredondar o número é
designado por erro de arredondamento.
1.2.1. Erros na Conversão de Bases
 Sistemas de numeração e sua representação
Um sistema de numeração nos informa sobre o valor da quantidade, sua magnitude.
Já o sistema métrico nos informa sobre a unidade de referência da medida. Um sistema de
numeração é determinado fundamentalmente pela sua base.
Sistema de numeração Decimal (ou de base 10):
Quando falamos em sistema decimal, estamos estabelecendo que a nossa base de
contagem é o número 10, pois o sistema decimal possui um alfabeto de 10 símbolos:0, 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Pode-se constatar que o valor atribuído a um símbolo depende da
posição em que ele se encontra no conjunto de símbolos que está representando um
número, onde cada casa vale 10 vezes mais que aquela que está imediatamente a sua
direita e 10 vezes menos que a que está a sua esquerda
Exemplo 1: O número 245 assinalando um símbolo a cada casa, indicando o valor de cada
casa, teremos:
Valor da casa 10³ = 1000 10² =100 101=10 100 = 1 10-1 = 0,1 10-2 = 0,01
Dígitos 0 2 4 5 0 0
O significado de cada dígito em determinada posição é o valor da casa multiplicado
pelo valor do dígito e a quantidade representada é a soma de todos os produtos.
x = (245)10 = 2.102 + 4.101 + 5.100 
Exemplo 2: O número 3547,21, pode ser representado da seguinte forma:
x = (3547,21)10 = 3.103 + 5. 102 + 4.101 + 7. 100 + 2. 10-1 + 1. 10-2 = 3000 + 500 + 40 + 7 + 0,2
+ 0,01
Sistema de numeração Binário (ou de base 2):
No sistema binário, os símbolos 0 e 1, representam os valores numéricos, onde,
cada casa vale 2 vezes mais que aquela que está imediatamente a sua direita e 2 vezes
menos que a que está a sua esquerda. Observe o seguinte esquema:
Valor posicional ... 24 23 22 21 20 2-1 2-2 2-3 2-4 ...
Equivalente em decimal ... 16 8 4 2 1 1/2 1/4 1/8 1/16 ...
Capítulo 1: Erros em Processos Numéricos 7
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Se b0, b1, b2, etc., são os valores (0 ou 1) que se coloca em cada posição, a
quantidade representada valerá:
… + b424 + b323 + b222 + b121 + b020 + b-12-1 + ...
Para evitar a representação mediante o somatório, adota-se a convenção de separar
mediante vírgulas as casas 20 e 2-1, de tal modo que a representação fique: 
... b4 b3 b2 b1 b0, b-1 b-2 …
Em que bi = 0 ou 1.
Exemplo: o número binário 10011,01 representa a quantidade:
Valor da casa 24=16 23=8 22=4 21=2 20=1 2-1=1/2 2-2=1/4
Dígitos 1 0 0 1 1 0 1
x = (10011,01)2 = 1.24 + 0.23 + 0.22 + 1.21 + 1.20 + 0.2-1 + 1.2-2 = 16 + 2 + 1 + 1/4 
Os computadores atuais representam os números internamente no formato binário,
como sequência de zeros e uns. 
Em geral, a partir da base β, todos os números podem ser expressos pelo Teorema
Fundamental da Numeração:
an. β
 n +...+ a2. β
 2 + a1. β
 1 + a0. β
 0 + a-1. β
 -1 + a-2. β
 -2 + ... + a-m. β
 –m,
onde n e m são números inteiros e os ai são os elementos da base.
De forma simplificada: 
∑
i=n
−m
a
i
.β i=X
β
, onde i indica a posição em relação à vírgula.
Esta representação de X é única e é chamada de representação de X na base β,
representada como (X) β .
Exemplo: (11001)2 = 1.24 + 1.23 + 0.22 + 0.21 + 1.20 
Exercício 01: Represente os números nas respectivas bases:
a. (3407)10 =
b. (1059,7)10 =
c. (10101)2 =
d. (1001,101)2 =
e. (0,1101)2 =
2.2.2 Conversão de bases
É o processo de converter valores de um sistema de numeração para outro.
Base qualquer em decimal:
 Basta fazer a representação do número pelo Teorema Fundamental da Numeração.
Exemplos: 
a) (11001)2 = 1.24 + 1.23 + 0.22 + 0.21 + 1.20 = 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = (25)10
b) (1202,01)3 =
Exercício 02: Converta os seguintes números de base binária para base decimal: 
a. (110111)2 = b. (11,0101)2 =
Capítulo 1: Erros em Processos Numéricos 8
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c. (101101)2 =
d. (11010,101)2 =
e. (0,01011)2 =
Base decimal em binário: 
É feito em duas etapas:
 Para a parte inteira – utiliza-se o quadro de valores ou mediante divisões inteiras
sucessivas por 2, tomando-se os restos das divisões no sentido ascendente.
Exemplo 1: Converter o número de base decimal 197,125 para base binária.
 Para inteiros:
 
(197)10 = (11000101)2
 Para parte fracionária usa-se o método das multiplicações sucessivas por 2,
usando a parte inteira do resultado para compor o valor binário e a parte fracionária
para realizar novas multiplicações, até que o resultado seja 1 ou se alcance um
número satisfatório de casas decimais.
Para 0,125:
0,125 x 2 = 0,25
0,25 x 2 = 0,5
0,5 x 2 = 1,0
Logo: 0,12510 = 0,0012
Portanto, (197,125 )10 = (11000101,001)2
Exemplo 2: Converter 0,1875 em binário:
0,1875 x 2 = 0,3750
0,3750 x 2 = 0,7500
0,7500 x 2 = 1,5000
0,5000 x 2 = 1,0000
Portanto, 0,187510
 
 = 0,00112
Exemplo 3: Converta o número (0,1)10 na base 2. Resp.: (0,0001100110011...)2
Capítulo 1: Erros em Processos Numéricos 9
Dividir até que o
último quociente
seja menor que a
base
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Observação: um número real entre 0 e 1 pode ter representação finita no sistema decimal,
mas infinita no sistema binário.
Como visto, um número pode ter representação finita em uma base e não-finita
em outra. Assim, os dados de entrada são enviados ao computador pelo usuário no sistema
decimal; toda esta informação é convertida para o sistema binário, e as operações todas
serão efetuadas neste sistema. Os resultados finais serão convertidos para o sistema
decimal e, finalmente, serão transmitidos ao usuário. Todo este processo de conversão é
uma fonte de erros que afetam o resultado final dos cálculos.
Exercícios 03: 
1) Resolva o exemplo 2 utilizando-se da Planilha Excel e observando o algoritmo que 
segue.
Algoritmo:
Passo 0: x1 = x; k = 1
Passo 1:
Calcule 2.xk 
Se 2.xk = 1, faça: dk = 1
Caso contrário, faça: dk = 0
Passo 2: Faça xk+1 = 2xk - dk, 
Se xk+1 = 0, pare.
Caso contrário:
Passo 3: k = k+1
Volte ao passo 1
E então: 0,d1d2d3...dk
Do exemplo 1:
K Xk 2.Xk dk Xk+1= 2.Xk - dk
1 0,125 0,25 0 0,25 – 0 = 0,25
2 0,25 0,5 0 0,5 – 0 = 0,5
3 0,5 1,0 1 1,0 – 1 = 0 (pare!)
2) Converta os seguintes números de base decimal para base binária: 
a. (34 )10 = 
b. (347)10 = 
c. (0,2)10 = 
d. (0 , 875)10 = 
e. (33 ,023 )10 =
f. (0 ,1875 )10 =
3) Determine o inteiro positivo x que verifica a igualdade (10101)x =(651)10
1.3. Erros de Representação dos Números
Capítulo 1: Erros em Processos Numéricos 10
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1.3.1. Aritmética de ponto flutuante: 
Atualmente, um computador ou calculadora representa um número real (inteiro ou
não-inteiro) num sistema denominado aritmética de ponto flutuante. Nesta notação, os
valores são armazenados em uma forma compacta (conhecida como forma canônica): o
sinal do número, a parte fracionária também chamada de mantissa e uma área para
armazenar o expoente.
 0,12345 x 106 Expoente
 mantissa
Desta forma, é possível representar grandes números no computador, mas esta
facilidade tem seu preço: os valores em ponto flutuante perdem em precisão. 
Como o espaço de armazenamento é limitado, não é possível armazenar todos os
números reais e sim intervalos discretos. Quanto maior for o espaço disponível para
armazenamento, maior será a faixa e a precisão dos números armazenados.
Os computadores atuais utilizam base binária com tamanho de palavra de 32 bits ou
64 bits. Se for baseado no padrão IEEE754, define a representação com tamanho de
palavra de 32 bits, chamado de precisão simples, e com palavra de 64 bits chamado de
precisão dupla, a divisão do tamanho da palavra é assim definido:
Precisão Simples: 32 bits ou 4 bytes
 1 bit é reservado para o sinal do número (positivo ou negativo);
 8 bits são utilizados para armazenar um número inteiro que é o expoente da base; 23 bits são utilizados para a mantissa.
Precisão Dupla: 64 bits ou 8 bytes
 1 bit é reservado para o sinal do número (positivo ou negativo);
 11 bits são utilizados para armazenar um número inteiro que é o expoente da base;
 52 bits são utilizados para a mantissa.
Considerando um sistema de ponto flutuante F⊂ℜ como um subconjunto dos
números reais cujos elementos tem a representação:
x=±( .d1 d2 d3 . ..d t ) β
e
Onde:
 .d1d2d3 .. . d t é chamada de mantissa 
 base β em que a máquina opera (binária, decimal, hexadecimal, etc..);
 precisão t da máquina (nº de dígitos do sistema de representação);
 limites do expoente e de β ( em≤e≤e M );
 di: são números inteiros contidos no intervalo 0 ¿ di < (β-1); i = 1, 2, ..., t; d1 ¿ 0;
Se d1 ¿ 0, diz-se que o número está normalizado.
A mantissa é fracionária nesta representação (<1). E, para assegurar representação
única para cada x∈F , faz-se a normalização no sistema de forma que d1≠0 para
x≠0 .
Capítulo 1: Erros em Processos Numéricos 11
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Exemplos:
1) Representação de números em aritmética de ponto flutuante:
Número na respectiva base Representação em ponto flutuante Mantiss
a
Bas
e
Expoent
e
(5532)10 0,5532 x 104 (corrigir a ordem de
grandeza através da multiplicação)
0,5532 10 4
(-55,32)10 - 0,5532 x 102 - 0,5532 10 2
(0,00233)10 0,233 x 10-2 0,233 10 -2
(100)10 0,1 x 103 0,1 10 3
(100)10 = (1100100)2 0,1100100 x 27= 0,1100100 x 2111 0,11001 2 111
Usualmente, procura-se representar um sistema de ponto flutuante por 
 F(β, t, em , eM ), 
onde em e eM são respectivamente o menor e o maior expoente, β é a base e t é a
precisão.
2) Numa máquina hipotética cujo sistema de representação utilizado seja: F(2, 10, -15,
15). Cada dígito é chamado de bit, portanto nessa máquina são utilizados 1 bit para
o sinal da mantissa, 10 bits para a mantissa, 1 bit para o sinal do expoente e 4 bits
para o expoente, resultando no total de 16 bits. Está estabelecido que o sinal positivo
assume o dígito “0” e o negativo assume o dígito “1”. O número decimal 25 é
representado na forma:
x=( . d1 d2 d3 . .. d10)∗2
e
2510 = 110012 = 0, 11001*25 = 0, 11001*2101
0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1
 
Sinal da Mantissa Mantissa Sinal do Expoente Expoente 
Exercícios 04: 
1) Usando a mesma máquina do exemplo anterior, represente 3,510 e -7,12510.
Alguns exemplos de máquinas: 
1) HP48: F(10, 12, -498,500)
2) IBM 360/370: F(16, 6, -64, 63)
3) B6700: F(8, 13, -51, 77) 
4) Cray 1: F(2, 48, -8192, 8191)
Capítulo 1: Erros em Processos Numéricos 12
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Padrão IEEE
Alguns exemplos de máquinas: 
1) HP48: F(10, 12, -498,500)
2) IBM 360/370: F(16, 6, -64, 63)
3) B6700: F(8, 13, -51, 77) 
4) Cray 1: F(2, 48, -8192, 8191)
Um caso real:
Em 04/06/1996, na Guiana Francesa, o lançamento do foguete
Ariane 5 falhou por uma limitação da representação numérica
(quantidade insuficiente de bits). Houve um erro na trajetória,
36,7 segundos após o lançamento, seguido de explosão.
Prejuízo: US$ 7,5 bilhões.
1.3.2. Propriedades do sistema de ponto flutuante:
 Menor número em módulo: 0,1*βem
 Maior número: 0, [ β−1 ] [β−1 ] [β−1 ]… [ β−1 ] . βeM
 t vezes
 A mantissa está contida no intervalo [0.1, 1) e o número máximo de mantissas positivas 
é dado por:
m+=( β−1 )∗β
t−1
 O número máximo de expoentes possíveis é:
e
p
=e
M
−e
m
+1
 Se x ∈ F , então − x ∈ F e a cardinalidade (número de elementos) de F é:
Capítulo 1: Erros em Processos Numéricos 13
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NE=2∗m+∗e p+1
NE=2∗( β−1)∗β t−1∗[(eM−em )]+1
Exemplo: Considere uma máquina que opere no sistema F(2, 3, -1, 2) 
a) O menor exatamente representável: 
0 , 100∗2−1=0 , 0100=0 .2−1+1. 2−2=1
4
b) O maior exatamente representável: 
0,111*22 = 
11 ,1=1. 21+1 . 20+1 .2−1=3+ 1
2
=7
2 
c) Número máximo de mantissas positivas possíveis: 
m+=(2−1 )∗2
3−1=4 , que são: 0,100; 0,101; 0,110 e 0,111.
d) O número máximo de expoentes possíveis:
e p=2−(−1 )+1=4 , que são: -1, 0, 1, 2
e) Número de elementos positivos representáveis:
m+∗e p=4∗4=16
Desta forma, têm-se os seguintes números positivos: 
(0,100 x 2-1)2 = (0,01)2 =
(0,100 x 20)2 = (0,1)2 =
(0,100 x 21)2 = (1)2 =
(0,100 x 22)2 = (10)2 =
E assim sucessivamente
Então:
Mantissa
e 0,10
0
0,10
1
0,110 0,11
1
-1
0
1
2
f) Número total de elementos exatamente representáveis:
Pode-se perceber pela tabela que a cardinalidade do sistema de ponto flutuante, é igual
ao dobro do número de elementos positivos (por causa dos negativos) mais um (o zero), ou
NE=2∗( β−1)∗β t−1∗[(eM−em+1) ]+1
¿2∗(2−1)∗23−1∗[(2−(−1)+1) ]+1=33
Ou 
Simplesmente 2*mantissas*expoentes possíveis + um (o número zero)
Capítulo 1: Erros em Processos Numéricos 14
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1.3.3. Regiões de Overflow e Underflow:
Devido a representação dos números em A.P.F., pode ocorrer também o erro
relacionado aos limites do expoente. Se o expoente “e” da base não pertencer ao
intervalo ( em , e M ), x não pode ser representado em F, então tem-se os casos de erro de:
 Overflow, se e > eM , o número é muito grande para ser representado (ultrapassa
a capacidade máxima)
 Underflow, se e < em , no número é pequeno demais para ser representado
(ultrapassa a capacidade mínima)
Do exemplo anterior, podem-se observar quais as regiões que ocorrem o overflow e
o underflow. 
Observe que, se o expoente for maior que 2 ou menor que -1, não se tem
representação no conjunto formado pela aritmética de ponto flutuante. No primeiro caso,
tem-se o overflow, no segundo caso, tem-se o underflow. 
Representação das regiões: RU = (−1/ 4;0) ∪ (0;1/ 4) e RO = (−∞;−7 / 2) ∪ (7 / 2;+∞)
a) Representação por Corte ou Truncamento: Desprezam-se os algarismos que ficam
acima da (t+1)-ésima casa decimal. Onde t representa o número de dígitos da mantissa.
Observe que esta forma de representação pode gerar um grande erro de arredondamento. 
b) Representação por Arredondamento: Nesta representação, x é representado pelo
elemento do sistema de ponto flutuante que estiver mais próximo dele, diminuindo ao
máximo o erro de arredondamento.
 Se o valor do algarismo que fica na (t+1)-ésima cada decimal for menor do que 5
arredondamos o número desprezando-se todos os algarismos após a t-ésima casa
decimal;
 Se for maior ou igual a 5 soma-se 1 ao algarismo na t-ésima casa decimal e
desprezam-se os algarismos restantes. 
Exemplo: Em F(10, 4, -98, 100), as quantidades 0.333333, 0.123952, 0.348446 e 0.666...
são representadas por corte, respectivamente, como 0.3333, 0.1239, 0.3484 e 0.6666
(observe que apenas consideramos os primeiros dígitos do número) e são representados
por arredondamento, respectivamente, por 0.3333, 0.1240, 0.3484 e 0.6667 (observe que
quando o próximo dígito é maior que 5, o último algarismo é aumentado de uma unidade).
Nota: Não se deve confundir representação por truncamento e representação por
arredondamento com erro de truncamento e erro de arredondamento. 
Capítulo 1: Erros em Processos Numéricos 15Baixado por Douglas Abrão (abrao.sms@gmail.com)
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Exercícios 05: 
1) Encontrar a representação dos números abaixo em um sistema de números de
aritmética de ponto flutuante, de três dígitos significativos, com emin=−4 e 
e
max
=4 .
Número Representação
Arredondament
o Truncamento
1,45 
10,054 
-231,15 
2,72822 
0,000008 
6524582,
4 
2) Considerando uma máquina hipotética, F(2, 10, -15, 15), represente o número x:
a. x = 21
b. x = -5,15
3) Considere a representação binária de 0,6 e 0,7. Se esses dois números forem
representados na aritmética F(2, 2, -1, 2 ), de que forma eles serão representados e
qual o respectivo decimal?
4) Encontre todos os elementos positivos (em base dez), a cardinalidade, a região de
overflow e a região de underflow para o sistema de ponto flutuante F(3,2,-2,2).
Mantissas
e
-2
-1
0
1
2
5) Dado F(10, 3, -2, 2), represente o número x: 
a. x1 = 0,35
b. x2 = -1,15
c. x3 = 0,0125
d. x4 = 1234,5 
6) Dado F(2, 10, -15, 15), represente o número x: 
a. x1 = 0,35
b. x2 = -1,15
c. x3 = 0,122
d. x4 = 1234,5
Capítulo 1: Erros em Processos Numéricos 16
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1.4. Erros Absoluto e Relativo
1.4.1. Erro Absoluto
É a diferença em módulo, entre um valor exato x e o valor aproximado x , ou seja:
EAx = | x− x̄ |
 Cota para o erro: 
EAx só poderá ser determinado se x for conhecido com exatidão, caso contrário,
costuma-se trabalhar com uma cota (ou limitante) que permitirá, mesmo não conhecendo o
erro, saber que está entre dois valores conhecidos.
Um número  > 0 é uma cota para EAx, se EAx < .
∴ |x− x̄|<ε ⇔ { x̄−ε<x< x̄+ε¿
Exemplo 1: Para π ¿ (3,14; 3,15): EAπ = | π−π |< 0,01
Exemplo 2: Tem-se duas situações: 
1ª - uma pessoa teve uma proposta de trabalho onde foi lhe oferecido x = R$ 8.530, 20, no
entanto na hora de assinar a carteira de trabalho x̄ = R$ 8.530,00. 
2ª – Um acadêmico obteve sua nota no portal de y = 6,8. Recebendo a prova o mesmo
verificou uma questão não corrigida e sua média passaria a y = 7,0.
Calcule o erro absoluto nas duas situações.
EAx =
EAy =
Obviamente o resultado é o mesmo nos dois casos, porém, é necessário comparar a 
ordem de grandeza de x e y, que é medido pelo erro relativo.
1.4.2. Erro Relativo
Serve para prescrever a precisão de um cálculo. É definido como o erro absoluto
dividido pelo valor aproximado, ou seja:
ER
x
=
|x− x̄|
x̄
Exemplo 1: O erro relativo pode transmitir perfeitamente os resultados do exemplo anterior:
ER
x
= ER
y
=
O erro percentual é dado por EPx=100 . ERx . 
EP
x
= EP y=
Capítulo 1: Erros em Processos Numéricos 17
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Observa-se que o número que tem menor erro relativo, terá maior precisão. Logo o 
peso de aproximação em ___ é maior do que em ___.
ER precisão da medida (inversamente proporcional)
Exemplo 2: O erro relativo considerando-se as medidas aproximadas a’= 2112,9; e’= 5,3 e
|EA| = 0,1:
|ER
a
|= 0,1
2112 , 9
≃4,7 . 10−5
|ER
e
|= 0,1
5,3
≃0 , 02
Então, o número a é representado com maior precisão que o número b.
Exemplo 3: Um erro de 1km na medida da distância entre a terra e a lua é menos
significativo que um erro de 1cm na realização de uma cirurgia cerebral via um robô.
Exercícios 06:
1. Suponha que tenhamos um valor aproximado de 0.00004 para um valor exato de
0.00005. Calcular os erros absoluto, relativo e percentual para este caso.
2. Suponha que tenhamos um valor aproximado de 100000 para um valor exato de
101000. Calcular os erros absoluto, relativo e percentual para este caso.
3. Considerando os dois casos acima, onde se obteve uma aproximação com maior
precisão? Justifique sua resposta.
4. Você caminha de uma árvore para outra e estima que elas estão 9 metros distantes
uma da outra. Esse é o valor experimental (aproximado). Em seguida, você volta ao
local com uma fita métrica, mede a mesma distância e descobre que, na verdade,
elas estão 10 metros de distância uma da outra. Esse é o valor real. 
a. Calcule o erro absoluto 
b. Calcule o erro relativo e o erro percentual 
1.5. Erros de Truncamento
Surgem, em geral, quando um processo algoritmo é infinito e utiliza-se uma parte finita
do mesmo.
Exemplo: Cálculo do valor de ex pela série: 
 
ex=1+x+ x
2
2 !
+ x
3
3 !
+. ..+=∑
n=1
∞ x
n
n!
ex=1+x+ x
2
2 !
=?
Capítulo 1: Erros em Processos Numéricos 18
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2. ZEROS DE FUNÇÕES
Em muitos problemas práticos de aplicação matemática de Ciências e Engenharia,
por exemplo: cálculo de valores extremos de uma função indicativa de um fenômeno físico,
como temperatura, energia, etc., ou as raízes de um polinômio característico para a
obtenção dos autovalores e autovetores de uma matriz, extremamente importantes na
análise do comportamento dos sistemas dinâmicos; há a necessidade de se determinar um
número xr para o qual:
f (xr )=0⇒ xr é raiz de f(x)
Equações Algébricas (ou Polinomiais):
A variável aparece submetida a operações algébricas, repetidas um número finito de
vezes. Se x é esta variável, tem-se:
Pn( x )=an x
n+an−1 x
n−1+an−2 x
n−2+. ..+a2 x
2+a1 x+a0
onde:
n∈Ν
ai∈R
Equações Transcendentes:
A variável aparece submetida a operações não algébricas em pelo menos um termo 
da equação. Nestas equações, em pelo menos um termo, aparecem funções como: 
exponenciais, logarítmicas, trigonométricas, etc.
Aplicação: 
Equilíbrio de Mecanismos:
Capítulo 2: Zeros de Funções 
 
 19
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2.1 RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS E TRANSCENDENTES
As equações algébricas de 1° e 2° Graus, certas classes de 3° e 4° graus e algumas
equações transcendentes podem ter suas raízes calculadas exatamente por métodos
analíticos, mas para polinômio de grau posterior a quatro e para a grande maioria das
equações transcendentes o problema só pode ser resolvido por métodos que aproximam as
soluções.
Embora esses métodos não determinem as soluções exatas, as raízes podem ser
calculadas com a exatidão que o problema determine, desde que certas condições de f
sejam satisfeitas.
Localização de Zeros de Funções – problemas e gráficos
Construir o gráfico da função na planilha Excel: 
1. O preço à vista de um carro é de R$ 85.000,00, mas pode ser vendido a prazo em 60
prestações mensais de R$ 2.737,50. Nessas condições, qual a taxa de juros mensal que
estaria sendo cobrada? Da matemática financeira tem-se: 
PV=PMT .[ (1+ i)n−1i . (1+i )n ] .
PV
PMT
=[ (1+i)n−1i .(1+ i)n ] ou [ (1+i)
n−1
i .(1+i )n ] - PVPMT =0 ou PVPMT . [ i .(1+i)n ]=(1+i )n−1 ou
PV
PMT
.[ i .(1+i)n ]−(1+i)n+1=0
, logo: f(i) = 0.
2. Uma haste delgada de comprimento 2R e peso P está presa a um cursor em B e apoiada
a um cilindro R. Sabendo que o cursor pode se deslocar livremente ao longo de sua guia
vertical, determine o valor de θ correspondente ao equilíbrio. Despreze o atrito. Considere
como critério de parada |f(xn)|<0,00001.
3. A função h(x) = x.sen(x) é utilizada noestudo de oscilações forçadas sem amortecimento.
Encontre o valor de x ∈ [0, 2] onde a função assume o valor h(x) = 1. 
Capítulo 2: Zeros de Funções 20
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4. A área As da parte sombreada, com θ em radianos, é
dada por: A=
1
2
r
2(θ−sin θ). Se A = 3,6m² e r = 3m,
para determinar o ângulo θ, a equação deve ser
resolvida para θ. Desta forma, tem-se: 
A−1
2
r
2 (θ−sin θ )=03,6−
1
2
3
2 (θ−sin θ )=0 
3,6−4,5 (θ−sinθ )=0
Então, pode-se escrever que f (θ )=0 e,
f (θ )=3,6−4,5 (θ−sinθ ) 
5. A corrente elétrica em um circuito varia o tempo conforme a seguinte expressão:
I=9⋅e−1⋅cos (2⋅π⋅t+0 . 5 )
Determinar o tempo no qual a corrente se iguala à metade do seu valor inicial (Quando t
= 0). 
Capítulo 2: Zeros de Funções 21
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2.1.1 Teorema de Bolzano
Para que uma função seja contínua y = f(x) tenha no mínimo uma raiz no intervalo [a,
b], é suficiente, que ele tenha valores de sinais opostos nos limites deste intervalo, ou seja,
f(x) assume valores de sinais opostos nos pontos extremos do intervalo fechado [a,b].
Observando o gráfico seguinte:
 Se f (a) . f (b )<0 , então o intervalo conterá no mínimo uma raiz (ou um n° ímpar
de raízes).
 Se f (a) . f (b )>0 , então, a f(x) não tem nenhuma raiz real no intervalo ( ou o n° de
raízes será par).
 A raiz x será definida e única se a derivada f`(x) for contínua e conservar o sinal
dentro do intervalo [a, b].
y = f(x)  f(a).f(b) < 0  xr ¿ [a, b] ⇒ f(xr)
= 0
2.1.2 Refinamento
Para calcular uma raiz, duas etapas devem ser seguidas:
2.1.2.1 Isolar a raiz, ou seja, achar um intervalo [a,b], o menor possível, que
contenha uma e somente uma raiz da equação f(x) = 0;
Técnicas de Isolamento de Raízes:
Para isolar os intervalos que contenham raízes, além do Teorema de Bolzano
(procedimento analítico), podemos utilizar um recurso gráfico, ou o isolamento através de
tabelas, então:
 Isolamento através de Tabelas:
Observamos as mudanças de sinais da função f(x), quando for atribuído
valores para a variável x. Verifique o exemplo, f(x) = x3 – 9x +3,
Capítulo 2: Zeros de Funções 
 
 22
f(b)
f(a)
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x - ∞ -100 -5 -3 -1 0 1 2 3
Tem-se que, x1∈¿ ¿ ( , ) , x2∈¿ ¿ ( , ) e x3∈¿ ¿ ( , )
 Visualização Gráfica – método gráfico: Se possível a subdivisão da função dada
em outras duas funções, pode simplificar muitas vezes a representação gráfica: 
f (x )=g( x )−h( x )⇒ f ( x )=0
∴g( x )=h( x )
ou seja, os valores de x para os quais vale a igualdade de g(x) e h(x), são aproximações das
raízes de f(x), logo: o zero da função se encontra no ponto x da intersecção das duas 
novas funções.
Do exemplo anterior:
f x( ) x
3
9x 3 g x( ) x
3
 h x( ) 9x 3
4 2 0 2
40
20
20
f x( )
g x( )
h x( )
x
Exercício: Como visto, o Método Gráfico, consiste em traçar o gráfico da função f(x) com o
objetivo de determinar o intervalo [a, b] que contenha uma única raiz, então, encontre (isole)
os intervalos onde as raízes da função transcendente f (x )=x
3−sen( x ) estão localizadas.
 (lembrar que: para valores reais, calculadoras em rad)
 Procedimento analítico:
Seja f(x) contínua em [a, b], então:
o Se f(a).f(b) < 0, ∃ um número ímpar de raízes neste intervalo;
o Se f(a).f(b) > 0, ∃ ou ∃ um número par de raízes neste intervalo;
o supondo que f(x) e f’(x) sejam contínuas em [a, b] e que o sinal de f’(x) se
mantenha constante, então:
 Se f(a).f(b) < 0 ∃ uma única raiz em [a, b];
 Se f(a).f(b) > 0 ∃ raiz real em [a, b];
Capítulo 2: Zeros de Funções 23
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Observação: o fato de f’(x) manter o sinal constante em [a, b], implica que f(x) poderá ser
crescente ou decrescente em [a, b].
o Se f’’(x) indica a direção da concavidade da curva:
 Se f’’(x) > 0 ⇒ concavidade voltada para cima;
 Se f’’(x) < 0 ⇒ concavidade voltada para baixo;
Exemplo de uma função qualquer: 
Com relação a primeira raiz: 
 As funções f(x) e f´(x) são contínuas no intervalo x  [-2; -1,5]
 a = -2 e b = -1,5; f(a) = f(-2)  4,32 > 0 e f(b) = f(-1,5)  - 0,388 < 0; 
f´ x( ) x 1( ) x 1( ) x 1.6( ) x 1.6( ) x 1( ) x 1.6( ) x 1.6( ) x 1( ) x 1.6( ) x 1.6( ) x 1( ) x 1( )
f´(x) < 0, para x  [a, b]  o sinal de f´(x) se mantém constante e f(a).f(b) < 0: ∃ uma única
raiz em [a, b] = [-2; -1,5]
Capítulo 2: Zeros de Funções 24
f x( ) x 1.6( ) x 1( ) x 1( ) x 1.6( )
x
-2
-1.9
-1.8
-1.7
-1.6
-1.5
 f´ x( )
-17.76
-13.908
-10.512
-7.548
-4.992
-2.82

f´´ x( )
2
x
f x( )
d
d
2

f´´ x( ) 2 x 1( ) x 1.6( ) 2 x 1( ) x 1.6( ) 2 x 1( ) x 1( ) 2 x 1.6( ) x 1.6( ) 2 x 1.6( ) x 1( ) 2 x 1.6( ) x 1( )
f´´ x( )
40.88
36.20
31.76
27.56
23.60
19.88

















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f´´(x) > 0, para x  [a, b]  concavidade voltada para cima.
Outros exemplos:
{ f (a)>0, f (b )<0 ¿ {f '( x )<0 em [ a ,b ] ¿ ¿ ¿¿ { f (a)<0, f (b )>0 ¿ {f '( x )>0 em [ a , b ] ¿ ¿¿¿
{ f (a)>0, f (b )<0 ¿ {f '( x )<0 em [ a ,b ] ¿ ¿ ¿¿ { f (a)<0, f (b )>0 ¿ {f '( x )>0 em [ a , b ] ¿ ¿ ¿¿
Capítulo 2: Zeros de Funções 25
b
b a
xra
xrxr
b
a
a
b
xr
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2.1.2.2 Melhorar o valor da raiz aproximada, isto é, refiná-la até o grau de
exatidão requerido, através de métodos iterativos, que são as
sequências de instruções que são executadas passo a passo,
algumas repetidas em ciclos (iterações).
2.1.2.2.1 Métodos Iterativos para se obter Zeros de Funções Algébricas
e Transcendentes
Para a resolução de uma situação modelada sob a forma de uma equação a qual
não seja possível isolar a variável solução, deve-se considerar alguns aspectos do processo
iterativo. O ponto de partida é ter uma estimativa inicial do resultado do problema,
observando o tipo de grandeza envolvida (como vistos nos problemas representados
graficamente) . A visualização gráfica fornece a posição aproximada da solução da equação,
bem como propicia a interpretação geométrica para a construção de conceitos referentes
aos métodos numéricos.
 O processo numérico nem sempre garante convergência, no entanto, dispõe de
critérios de verificação antes de utilizá-lo. Na medida em que o resultado esteja próximo o
suficiente do esperado é utilizado um critério de parada que retorne a precisão desejada.
Conforme esses dados de entrada e critérios de parada a serem utilizados para uso dos
métodos, podem ser constituídos os algoritmos para a implementação computacional.
Para exemplificar, considera-se uma situação com dados reais, envolvendo modelos
matemáticos que são estudados na disciplina de Engenharia Econômica: Em certa
concessionária, o preço à vista de um carro é de R$ 79.990,00, mas que pode ser vendido
com entrada de R$ 39.995,00 e saldo parcelado em 48 vezes de R$ 1.745,83 mensais.
Determinar a taxa mensal de juros utilizada.
Descontando a entrada tem-se a financiar R$ 39.995,00 em 48 parcelas. Pode-se
estimara solução dentro de um intervalo, a taxa provavelmente será maior que zero e
menor que 10% ao mês (em exagero). O conhecimento prévio envolve matemática
financeira (rendas certas), o modelo matemático que segue, que envolve respectivamente o
valor presente (PV), o valor da prestação (PMT), a taxa i e o número de parcelas n,
apresentados na equação (1).
PV=PMT .[ (1+ i)n−1i . (1+i )n ] (1) 
 
Capítulo 2: Zeros de Funções 
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Pode-se perceber que não é possível isolar a taxa para determinar seu valor, então
se iguala a equação (1) a zero, resultando em um “problema de raiz de função”. Pode-se
observar que existem diversas maneiras de igualar a equação a zero e que independente da
forma, procura-se o ponto que corta o eixo das abcissas (que nesse caso será i):
39995=1745 ,83 .[ (1+i )48−1i .(1+i )48 ] → 399951745 , 83 .i .(1+i)48−(1+ i)48+1=0 (2)
Da equação (2), tem-se:
f (i )=0 → f ( i )=39995
1745 , 83
. i .(1+i )48−(1+i)48+1 (3 )
 
Pode-se observar que a função (3) descreve uma situação real e específica, onde se
quer determinar a taxa (i), que dentre as várias raízes, uma delas é a taxa utilizada na
operação, pois se sabe que como se trata de uma taxa que será cobrada ela não será zero
nem negativa, logo é necessário observar o intervalo positivo que contenha a raiz da
referida função dentro do intervalo pré-estabelecido. 
Observe também na figura 1 que ao substituir o valor de i na função f(i), se resultar
em zero, i é a raiz da função.
Figura 1: Gráfico da raiz da função.
Fonte: Autores
Considerou-se que i = x para melhor identificação do zero da função no eixo das
abcissas. Daí define-se o intervalo que contem a raiz, xr ϵ [0,03; 0,04]. Para refinar a raiz até
o grau de exatidão requerido, são utilizados processos iterativos como Bisseção, Newton-
Raphson e Iteração Linear.
Capítulo 2: Zeros de Funções 
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O procedimento inicial para os métodos é verificar que f(x) seja uma função contínua
no intervalo [a, b], que contenha a raiz, pesquisando para quais valores de x entre a e b (a <
b) tem-se f(a).f(b) < 0 (mudança do sinal da função) onde haverá um valor xn, a < xn < b,
para o qual f(xn) = f(xr) = 0. É importante salientar que para garantir uma única raiz no
intervalo, é necessário que f’(x) (derivada da função f) mantenha sinal constante em [a, b].
Tratando-se de métodos iterativos, existem diferentes critérios de parada para
assumir um resultado do zero de uma função, basicamente são medidas distâncias sobre o
eixo x, sobre o eixo y, determinado número de iterações ou o erro relativo. 
Critério de Parada:
1) |a-b|< 
2) |xn – xn-1|< 
3) |f(xn)| < 
4) nº de iterações 
5) Erro relativo
Capítulo 2: Zeros de Funções 
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Considerou-se para os métodos a serem utilizados na resolução do problema de
zeros de funções o critério da medida da distância em y, ou seja, |f(xn)| < erro. Para a
situação apresentada, admitir o erro < 0,00001.
3.1 Método da Bisseção 
Encontrado o intervalo em que contenha a raiz, acha-se o ponto médio, ou seja,
divide-se o intervalo [a, b] ao meio, obtém-se xo; Então, tem-se dois subintervalos, [a, xo ]
e [xo, b] a serem considerados. Se f(xo) = 0, então xo é a raiz da função, caso contrário, a
raiz estará no subintervalo onde a função f(x) tem sinais opostos nos pontos extremos, ou
seja, f(xo). f(b) < 0, por exemplo; O novo intervalo que contém a raiz é dividido ao meio
novamente e obtém-se o ponto x1 e assim sucessivamente; Até que se tenha uma
aproximação para a raiz com a margem de erro pré-estabelecida, como demonstrado na
figura 2.
Figura 2: Interpretação geométrica do Método da Bisseção:
f (a) . f (b )<0
x
0
=a+b
2  
f (x0 ) . f (b )<0
x
1
=
x0+b
2  
f (x 0 ). f ( x1)<0
x
2
=
x0+ x1
2  
f (x 0 ). f ( x2 )<0
x
3
=
x0+x2
2
≈ x
r
Fonte: Autores
O mesmo método pode ser desenvolvido pelo fluxograma, visto na figura 3.
Figura 3: Fluxograma para o método da Bisseção
Capítulo 2: Zeros de Funções: Método da Bisseção 
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Fonte: Autores
Diversas resoluções podem ser trabalhadas, assim como o uso do Microsoft
Excel, demonstrado na figura 4.
Figura 4: Desenvolvimento do método da bisseção na planilha do Excel.
Fonte: Autores
Para que a planilha fique mais dinâmica é utilizada uma condição na célula B3:
=se(E2*G2<0;B2;D2); e na célula C3: =se(F2*G2<0;C2;D2). Dessa forma pode-se, a
partir dessas condições, automatizar os cálculos selecionando e arrastando as células
até a precisão pré-estabelecida.
Na figura 5, 6 e 7 o método da bisseção é realizado utilizando o software
Mathcad Prime por meio de algoritmos. 
Figura 5: Desenvolvimento no Software Mathcad Prime:
Capítulo 2: Zeros de Funções: Método da bisseção 
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Fonte: Autores
Figura 6: Programa básico desenvolvido no Mathcad Prime.
Fonte: Autores
Capítulo 2: Zeros de Funções: Método da bisseção 
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Capítulo 2: Zeros de Funções: Método da Bisseção 
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Exercícios: 
1) Calcular a raiz da função f(x) = ex - 3x, localizada próxima ao valor x = 0 pelo 
método da bisseção, com precisão 10-5 e critério de parada |f(xn)|< erro.
2) Uma partícula dentro de um campo magnético tem sua velocidade descrita pela
função V(t) = 2t3 – 3t2 + t – 1 (SI). Determine em que instante sua velocidade será
de 61,125m/s.
3) A área A da parte sombreada, com θ em radianos, é dada por: A=
1
2
r
2(θ−sin θ).
Se A = 3,6m² e r = 3m, determinar o ângulo θ, onde a equação deve ser resolvida
para θ.
4) Calcular o ponto de máximo da função h(x) = - x2 + 2.sen(x). (a) Faça o gráfico da
função e identifique o ponto de máximo; (b) Sabendo que o ponto máximo ou
mínimo de uma função é determinado quando igualamos a derivada a zero,
primeiramente defina o intervalo que contenha a raiz em f´(x). (c) Aplique o
método da Bisseção, use como critério de parada |f ( x )|≤0 , 00001.
Número de Iterações:
A cada iteração o intervalo é dividido ao meio, e na enésima iteração o
comprimento do intervalo será 
b
n
−a
n
=b−a
2
n , ou seja, para um dado intervalo [a,b] são
necessárias, no mínimo n iterações para se calcular a raiz com a margem de erro
desejada.
Usando como critério de parada |a-b|< , pode-se saber com antecedência o
número de iterações a serem feitas:
Capítulo 2: Zeros de Funções: Método da bisseção 
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b−a
2
n
<ε⇒b−a<ε . 2n
2
n>b−a
ε
⇒ ln (2n )>ln(b−aε ) ⇒
n . ln2> ln(b−aε )
n>
ln(b−aε )
ln2
Convergência do Método da Bisseção:
5) A convergência é garantida, a aproximação não sai do intervalo inicial, esse
intervalo é cada vez dividido por dois;
6) A convergência é muito lenta: para ganhar uma casa decimal (base 10), precisa-
se de 3 a 4 passos.
7) Não exige o conhecimento de derivadas;
8) O método deve ser usado para diminuir o intervalo que contém a raiz.
Capítulo 2: Zeros de Funções: Método da bisseção 
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Os métodos de ponto fixo, são métodos que começam suas iterações de uma
aproximação inicial x0, como Newton-Raphson e Iteração Linear.
3.2 Método de Newton-Raphson 
O método de Newton é equivalente a substituir um pequeno arco da curva y = f(x)
por uma reta tangente, traçada a partir do ponto x = x0 em que ∈ [a,b], x0 seja tal que
f(x0).f’’(x0) > 0 (mostrar graficamente), garantido assim a convergência do método. Pelas
retas tangentes pode-se acompanhar e desenvolver a fórmula de recorrência a ser
utilizada. A representação gráfica deste é demonstrada na figura 8.
Figura 8: Representação gráfica do método de Newton-Raphson
Fonte: Autores
Neste caso, é traçado a partir do ponto (xo, f(xo)), uma reta tangente a curva y =
f(x), que intercepta o eixo x no ponto x1. Do ponto (x1, f(x1)) é traçado outra reta tangente
a curva e o processo se repete até que se encontre xr = xn, com tolerância requerida.
Geometricamente, pode-se mostrar que:
tg(α )=f ' ( x
0
)=
f ( x0)
x
0
−x
1 , daí tem-se:
x
0
−x
1
=
f ( x0)
f '( x0 ) =>
x
1
=x
0
−
f ( x0 )
f '( x0 )
tg( β )=f ' ( x
1
)=
f (x1 )
x
1
− x
2 , onde:
x
2
=x
1
−
f ( x1)
f '( x1)
Capítulo 2: Zeros de Funções: Método de Newton-Raphson 
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Por indução: 
∴ x
n
=x
n−1−
f ( xn−1 )
f '( xn−1 ) , para n = 1, 2,...
Na figura 9, 10 e 11 o método de Newton é exemplificado nas três diferentes
maneiras – da mesma forma do método da bisseção.
Figura 9: Fluxograma para o método de Newton-Raphson
Figura 10: Desenvolvimento do método de Newton-Raphson no Excel.
Figura 11: Programa completo desenvolvido no Mathcad Prime.
Capítulo 2: Zeros de Funções: Método de Newton-Raphson 
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Capítulo 2: Zeros de Funções: Método de Newton-Raphson 
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Exercícios: 
1) Calcular novamente a raiz da função f(x) = ex - 3x, localizada próxima ao valor x =
0 pelo método iterativo de Newton-Raphson, com precisão 10-5 e critério de parada
|f(xn)|< erro.
2) Resolva o problema de Equilíbrio de Mecanismos - Uma haste delgada de
comprimento 2R e peso P está presa a um cursor em B e apoiada a um cilindro R.
Sabendo que o cursor pode se deslocar livremente ao longo de sua guia vertical,
determine o valor de θ correspondente ao equilíbrio. Despreze o atrito. Use o
Método de Newton. Considere como critério de parada |f(xn)|<0,00001.
3) A área A da parte sombreada, com θ em radianos, é dada por: A=
1
2
r
2(θ−sin θ).
Se A = 3,6m² e r = 3m, determinar o ângulo θ, onde a equação deve ser resolvida
para θ.
4) Calcular o ponto de máximo da função h(x) = - x2 + 2.sen(x). (a) Faça o gráfico da
função e identifique o ponto de máximo; (b) Sabendo que o ponto máximo ou
mínimo de uma função é determinado quando igualamos a derivada a zero,
primeiramente defina o intervalo que contenha a raiz em f´(x). (c) Aplique o método
de Newton, use como critério de parada |f ( x )|≤0 , 00001.
5)
Exercícios 38
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3.3 Método da Iteração Linear 
O método da iteração linear consiste em transformar f(x) = 0 em duas funções que
lhe sejam equivalentes, da forma x = g(x), onde g(x) é chamada de função de iteração.
Busca-se a intersecção da reta x com a curva g(x), e assim o método transforma o
problema de se encontrar uma raiz da equação f(x) = 0 na busca do ponto em que x =
g(x).
A seguir escolhe-se o valor inicial x = xo ∈ [a, b]. Dependendo da função g(x)
escolhida, a relação de recorrência pode ou não fornecer uma sequência convergente.
Estabelece-se como condições suficientes, porém não necessárias, se g(x) e g´(x) são
funções contínuas no intervalo [a, b] e |g'(x)| < 1 em todo intervalo. O extremo mais rápido
para iniciar o método é aquele para o qual o módulo da primeira derivada é menor. Se |
g’(a)| < |g’(b)| então xo = a, senão xo = b.
Indexando xn = g(xn-1) para cada n = 1, 2, 3, ..., o processo se repete até que se
tenha a precisão pré-estabelecida.
Interpretação geométrica do método da iteração linear:
 
Sendo x0 a primeira aproximação da raiz xr, calcula-se g(x0). Faz-se então, x1 =
g(x0), x2 = g(x1), x3 = g(x2) e assim vai gera-se uma seqüência de aproximação para a raiz
pelo algoritmo:
xn=g ( xn−1) para n = 0, 1, 2, ...
Observe graficamente o problema e verifique que existem funções g(x) que não
são indicadas para a escolha.
Capítulo 2: Zeros de Funções: Método da Iteração Linear 
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xr
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Fluxograma para o metódo da Iteração Linear:
Capítulo 2: Zeros de Funções: Método da Iteração Linear
 
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Figura 11: Desenvolvimento por MIL.
N xn-1 xn=g(xn-1)
|f(xn)|
<0,00001
1 0,04
0,0370077
2 0,129166282
2
0,03700
8
0,0360223
3 0,044607125
... ... ... ...
10
0,03545
3
0,0354526
7 1,83615E-05
11
0,03545
3
0,0354525
2 6,97848E-06
Capítulo 2: Zeros de Funções: Método da Iteração Linear
 
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EXERCÍCIOS:
1. Calcular a raiz da função f(x) = ex - 3x, localizada próxima ao valor x = 0 pelo
método da Iteração Linear, com precisão 10-5 e critério de parada |f(xn)|< erro.
2. Calcular a raiz real da função f(x) = x2 + e3x - 3, entre o intervalo [0, 1], usando
o Método da Iteração Linear. Fazer 6 iterações.
3. Calcular o ponto de máximo da função h(x) = - x2 + 2.sen(x). (a) Faça o gráfico da
função e identifique o ponto de máximo; (b) Sabendo que o ponto máximo ou
mínimo de uma função é determinado quando igualamos a derivada a zero,
primeiramente defina o intervalo que contenha a raiz em f´(x). (c) Aplique o
método da Iteração linear, use como critério de parada |f ( x )|≤0 , 00001.
Capítulo 2: Zeros de Funções: Método da Iteração Linear
 
 42
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4. A área A da parte sombreada, com θ em radianos, é dada por: A=
1
2
r
2(θ−sin θ).
Se A = 3,6m² e r = 3m, determinar o ângulo θ, onde a equação deve ser resolvida
para θ.
Considerações finais:
 A maiordificuldade neste método é encontrar uma função de iteração que
satisfaça à condição de convergência;
 Teste de | g'(x) | < 1 pode levar a um engano se x0 não estiver suficientemente
próximo da raiz. A velocidade de convergência dependerá de |g'(x)|: quanto menor
este valor maior será a convergência;
 Devemos observar que o teste de erro ( |xn - xn-1 | < erro ) não implica
necessariamente que | xn - xr| < erro, conforme vemos na figura abaixo:
Capítulo 2: Zeros de Funções: Método da Iteração Linear
 
 43
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SIMULADO - AVALIAÇÃO - Cálculo Numérico Computacional
1. Considere o sistema de ponto flutuante, no qual o primeiro bit representa o sinal
do número, os próximos quatro representam a mantissa, o seguinte representa o
sinal da característica e os dois últimos representam a característica, ou seja,
F(2,4,-8,8) 
a) Quantos são os números possíveis de serem representados nesse sistema?
b) Quais os erros de underflow e de overflow do sistema em questão?
2. (a) Verifique que a função f(x) = 2x -3x = 0 possui dois zeros: um no intervalo [0,1]
e outro no intervalo [3,4]. (b) Obtenha os zeros dessa função em um dos
intervalos usando o método da bissecção. O critério de parada é o limite de 3
iterações.
3. Considerando um pórtico em L invertido, com comprimentos L e L/2
respetivamente, com um apoio flexível de rotação, para determinar o ângulo θ
correspondente ao equilíbrio quando um peso P é apoiado em sua extremidade,
conforme indicado na figura, sendo K o fator da mola,
A equação resultante durante o desenvolvimento da solução é:
(K/PL).θ = 0,5.cosθ+senθ
Considerando L = 5; K = 13,5 e P = 2. Determine θ. Faça no mínimo 10 iteração, 
utilizando o método da iteração linear.
4. Calcular o ponto de máximo da função f(x) = - 5x – 1/3.e-x +10. (a) Defina o
intervalo que contenha o ponto de máximo. (b) Aplique o método de Newton.
Simulado
 44
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Utilize como critério de parada o número máximo de 3 iterações.
Capítulo 2: Zeros de Funções: Método da Iteração Linear
 
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3. SELA – SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES ALGÉBRICAS
Considere o sistema linear A.x = B, de equações com n equações e n incógnitas,
escrito na usualmente na forma:
{a11 x1+a12 x2+. . .+a1 n xn=b1 ¿ {a21 x1+a22 x2+ .. .+a2 n xn=b2 ¿ {.. .¿ ¿ ¿¿
Usando notação matricial, o sistema linear pode ser representado por AX = B.
(
a11 a12 . .. a1n
a
21
a
21
. .. a
2n
. .. . . . . .. . ..
a
n1
a
n 2
. .. a
nn
) .(
x1
x
2
.. .
x
n
)=(
b1
b
2
. ..
b
n
)
onde
A = (aij): coeficientes; 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n ou i,j = 1,...,n
X = (xj): incógnitas; j = 1, 2, ...,n
B = (bi ): constantes; i = 1, 2,... ,n
Ou ainda:
∑
j=1
n
a
ij
. x
j
=b
i
; i = 1,2 , .., n
A resolução de um sistema linear consiste em calcular os valores de xj, j = 1, 2, ...,
n, caso eles existam, que satisfaçam as n equações simultaneamente, e a garantia de
solução única é que det(A) ≠ 0.
3.1 Classificação Quanto ao Número de Soluções
Um sistema linear pode ser classificado quanto ao número de soluções em:
· Compatível: existe solução
- determinado - o sistema linear tem solução única (determinante diferente de
zero)
- indeterminado - o sistema linear admite infinitas soluções
· Incompatível: o sistema linear não admite solução.
Quando todos os termos independentes forem nulos, isto é, se bi = 0, i = 0, 1, ...,
n, o sistema é dito homogêneo. Todo sistema homogêneo é compatível, pois admitirá
pelo menos a solução trivial (xj = 0, j = 0, 1, 2, ..., n).
Capítulo 3: SELA – Notação e classificação
 46
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3.2. Métodos Diretos
São métodos que permitem obter a solução do sistema realizando-se um número
finito de operações aritméticas. Assim, o esforço computacional necessário para se obter
uma solução do sistema é perfeitamente previsível. Esta solução seria exata se não fosse
a presença de erros de arredondamento. Dentre os métodos diretos mais comuns estão:
3.2.1. Método de Eliminação de Gauss:
 Consiste na transformação da matriz expandida (matriz de coeficientes acrescida
da coluna de termos independentes) em matriz triangular, superior ou inferior, seguida de
um processo de substituições sucessivas para explicitar a solução do sistema. Esta
transformação em matriz triangular (ou escalonamento) é obtida através da aplicação
sucessiva de operações elementares sobre linhas (ou sobre colunas) na matriz
expandida, buscando a eliminação seletiva de elementos não nulos para torná-la uma
matriz triangular. 
No algoritmo do método de eliminação de Gauss é necessário que aii≠0, esse
elemento é chamado de pivô.
Considere o sistema:
A
(0 )
X=B(0) (sistema original)
A=[
a
11
a
12
.. . a
1 n
a
21
a
22
.. . a
2 n
.. . . ..
an 1 an2 .. ann
]
;
B=[
b
1
b
2
. ..
bn
]
;
X=[
x
1
x
2
..
xn
]
1º) Montamos inicialmente a matriz ampliada (ou expandida): A
(0 )|B(0) :
[
a
11
(0 ) a
12
(0 ) . . . a
1 n
(0 )
a
21
(0) a
22
(0 ) . . . a
2 n
(0)
. . .. ..
a
n 1
(0 ) a
n2
(0) . . a
nn
(0)
 
a
1 , n+1
(0 )
a
2 , n+1(0 )
..
a
n , n+1(0 )
]
2º) Triangularização:
Fase 1: ( a11≠0 ) elemento pivô: a11
Objetivo: eliminar a incógnita x1 da 2ª, 3ª, ..., nª equação.
 Subtrair da 2ª equação a 1ª multiplicada por 
m
21
=
a21
(0 )
a
11
(0 )
, ou seja:
L
2
←L
2
−m
21
L
1
 Subtrair da 3ª equação a 1ª multiplicada por 
m
31
=
a31
(0 )
a
11
(0 )
, ou seja:
L
3
←L
3
−m
31
L
1
Capítulo 3: SELA – Métodos Diretos 
 47
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 Subtrair da nª equação a 1ª multiplicada por 
m
n1
=
an 1
(0 )
a
11
(0 )
, ou seja:
L
n
←L
n
−m
n 1
L
1
Assim, obtemos a matriz ampliada A
(1 )|B(1 ) :
[
a
11
(1 ) a
12
(1) . .. a
1 n
(1)
0 a
22
(1) . .. a
2 n
(1)
. . .. . .
0 a
n2
(1) . . a
nn
(1)
 
a
1, n+1
(1)
a
2, n+1(1)
. .
a
n, n+1(1)
]
Fase 2: ( a22≠0 ) elemento pivô: a22
Objetivo: eliminar a incógnita x2 da 3ª, 4ª, ..., nª equação.
 Subtrair da 3ª equação a 2ª multiplicada por 
m
32
=
a32
(1)
a
22
(1)
: L3←L3−m32 L2
 Subtrair da 4ª equação a 2ª multiplicada por 
m
42
=
a42
(1 )
a
22
(1 )
;
 Subtrair da nª equação a 2ª multiplicada por 
m
n2
=
an 2
(1 )
a
22
(1 )
;
Então, obtemos a matriz ampliada A
(2 )|B(2) :
[
a
11
(2) a
12
(2 ) . .. a
1n
(2)
0 a
22
(2) . .. a
2n
(2)
. . . . . . . .
0 0 . . a
nn
(2 )
 
a
1, n+1
(2)
a
2, n+1(2)
. .
a
n, n+1(2 )
]
Ao final da fase n-1, teremos: A
(n−1)|B(n−1 ) :
[
a
11
(n−1) a
12
(n−1 ) .. . a
1n
(n−1 )
0 a
22
(n−1 ) .. . a
2n
(n−1 )
. . . . .. . .
0 0 .. a
nn
(n−1)
 
a
1 ,n+1
(n−1 )
a
2 , n+1(n−1 )
. .
a
n ,n+1(n−1)
]
 
OBS: caso o elemento aii = 0, fazer troca de linhas ou colunas.
 Uma matriz triangular superior é aquela em que os elementos abaixo da
diagonal são zero: 
 uma matriz triangular inferior é aquela em que os elementos acima da diagonal
são zero: 
3º). Processo de retrosubstituição sucessiva:
De forma que o sistema A
(n−1)
. X=B(n−1) seja triangular superior, cuja solução
pode ser facilmente obtida.Assim a solução do sistema A
(n−1)
. X=B(n−1) é também
solução do sistema original, já que ambos são equivalentes.
Capítulo 3: SELA: Métodos diretos
 
 48
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{a11 x1+a12 x2+. . .+a1 n xn=b1 ¿ {a22 x2+ .. .+a2 n xn=b2 ¿ {.. .¿ ¿¿¿
Para ordem n, tem-se: 
[
a
11
(n−1) a
12
(n−1 ) .. . a
1n
(n−1 )
0 a
22
(n−1 ) .. . a
2n
(n−1 )
. . . . .. . .
0 0 .. a
nn
(n−1)
 
a
1 ,n+1
(n−1 )
a
2 , n+1(n−1 )
. .
a
n ,n+1(n−1)
]
x
n
=
a
n, n+1
a
n ,n 
Para: i = n-1, n-2, ..., 1, tem-se:
x
i
=
a
i , n+1− ∑
j=i+1
n
a
ij
. x
j
a
ii
Exemplo: Resolver o seguinte sistema de equação:
[6 2 −12 4 13 2 8 ] . [x1x2x3 ]=[
7
7
13]
1º). Geração da matriz expandida:
2º). Triangularização:
- correspondente a primeira coluna (k = 1):
- correspondente a segunda coluna (k = 2):
3º). Processo de retrosubstituição sucessiva:
IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL:
Capítulo 3: SELA: Métodos diretos
 
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Programa para resolver um sistema pelo Método de Gauss sem pivotamento: 
Capítulo 3: SELA: Métodos diretos
 
 50
T
4
0
0
1
4.5
0
1
0.5
6.889
9
10.5
20.667









X x
n
T
n n 1
T
n n

x
i
T
i n 1
i 1
n
j
T
i j
x
j
 


T
i i

i n 1( ) n 2( ) 1for
x

X
T
1 2 3( )
ORIGIN 1
A
4
2
4
1
5
2
1
1
8
9
15
32









n 3
T G A
m
A
i k
A
k k

G
i j Ai j m Ak 
A G
j k n 1( )for
i k 1 nfor
k 1 n 1for
G

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Pode-se também associar o método de eliminação de Gauss a um processo de
pivotamento, parcial ou total, que promove uma troca seletiva de linhas (ou colunas),
visando tomar pivôs (elementos das diagonais principais) com maior módulo possível, e
assim procurando evitar a presença de pivôs nulos.
Exemplo 1: Resolver o seguinte sistema de equações lineares pelo método de
eliminação de Gauss sem pivotamento adotando operações aritméticas com 4 (quatro)
dígitos significativos e arredondamento ponderado.
 
{−0 , 421 x1+0 ,784 x2+0 ,279 x3=0 ¿ {0 , 448 x1+0 ,832 x2+0 , 193 x3=1 ¿¿¿¿
Na forma matricial tem-se
[−0 ,421 0 ,784 0 , 2790 ,448 0 ,832 0 , 1930 ,421 0 ,784 −0 ,207 ][ x1x2x3 ]=[
0
1
0 ]
1º). Geração da matriz expandida:
[−0 ,421 0 ,784 0 ,2790 , 448 0 ,832 0 ,1930 , 421 0 ,784 −0 , 207 
⋮
⋮
⋮
 
0
1
0 ]
2º). Triangularização correspondente a primeira coluna (k = 1):
 
[(−0 , 421) 0 ,784 0 ,2790 ,448 0 ,832 0 ,193
0 ,421 0 ,784 −0 ,207
 
⋮
⋮
⋮
 
0
1
0 ]L 2←L2−(0 , 448/(−0 , 421)). L1⇒ L2←L 2+1 , 064 L1L3←L 3−(0 ,421 /(−0 ,421)) . L 1⇒L 3←L 3+L1 
 
[−0 , 421 0 , 784 0 , 2790 1 , 666 0 , 48990 1 , 568 0 , 0720 
⋮
⋮
⋮
 
0
1
0 ]
3º). Triangularização correspondente a segunda coluna (k = 2):
 
[−0 ,421 0 , 784 0 ,2790 (1 , 666) 0 , 4899
0 1 , 568 0 ,0720
 
⋮
⋮
⋮
 
0
1
0 ]L3←L3−(1 ,568/1 ,666 )L2⇒ L3←L 3−0 , 9412 L 2
 
[−0 , 421 0 , 784 0 , 2790 1 , 666 0 , 48990 0 −0 ,3891 
⋮
⋮
⋮
 
0
1
−0 ,9412]
4º). Processo de retrosubstituição sucessiva:
Capítulo 3: SELA: Métodos diretos
 
 51
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Após a triangularização analisa-se o sistema de equações equivalente, gerado a
partir do processo de eliminação empregado:
{−0 . 421x1+0 . 784 x2+ 0 ,279 x3=00 x1+1, 666 x2+0 , 4899 x3=10x1+0 x2−0 , 3891 x3= - 0 , 9412
Logo:
x3 = -0,9412/(-0,3891) x3 = 2,419
x2 = ( 1 – 0,4899x3 ) / 1,666 x2 = -0,1110
x1 = ( - 0,784x2 – 0,279 x3 ) /(-0,421) x1 = 1,396
Portanto, a solução do sistema correspondente ao exemplo 2 é:
S = { 1,396; -0,1110; 2,419}
Se os resíduos (r = |b – A.x|) de cada uma das equações do sistema linear
proposto forem avaliados, normalmente são obtidos valores residuais não nulos das
equações, decorrentes de erros de arredondamento.
 
Por ex:
r
1
=| - 0 , 421 x
1
+0 ,784 x
2
+0 ,279 x
3
−0| =0 , 0002
r
2
=| 0 ,448 x
1
+ 0 ,832 x
2
+0 ,193 x
3
−1| =0 ,0000
r
3
 = | 0 , 421 x
1
+0 ,784 x
2
−0 ,207 x
3
−0| =0 ,0000
Neste caso, também pode ser calculado o erro exato, dado por 
erro = | Xexato - Xaproximado |. A solução exata foi encontrada através da calculadora gráfica
CFX-9850G:
Xexato1 = 1,396286256
Xexato2 = - 0,111080218
Xexato3 = 2,419080304
Avaliando o erro utilizando a precisão de 4 dígitos significativos, que foi utilizada
até aqui em todas as operações. temos:
Xexato1 = 1,396 
Xexato2 = - 0,1111
Xexato3 = 2,419
 E o erro exato obtido foi:
Erro1 = | 1,396 – 1,369 | = 0,000
Erro2 = | -0,1111 - (-0,1110) | = 0,0001
Erro3 = | 2,419 – 2,419 | = 0,000
Exemplo 2: Resolver o seguinte sistema de equações lineares pelo método de
eliminação de Gauss com pivotamento parcial utilizando operações aritméticas com 4
(quatro) dígitos significativos e arredondamento ponderado.
Capítulo 3: SELA: Métodos diretos
 
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{−0 , 421 x1+0 ,784 x2+0 ,279 x3=0 ¿ { 0 , 448 x1+0 ,832 x2+0 ,193 x3=1 ¿ ¿¿¿
Na forma matricial tem-se
[−0 ,421 0 , 784 0 , 2790 , 448 0 , 832 0 , 1930 , 421 0 , 784 −0 ,207 ][ x1x2x3 ]=[
0
1
0 ]
1º). Geração da matriz expandida:
[−0 , 421 0 , 784 0 ,2790 ,448 0 , 832 0 ,1930 ,421 0 , 784 −0 , 207 
⋮
⋮
⋮
 
0
1
0 ]
2º). Pivotação parcial, correspondente ao primeiro pivô (k=1):
(i). Busca do maior elemento em módulo da coluna k = 1:
 i = 2 
[−0 ,421 0 ,784 0 , 279(0 , 448 ) 0 , 832 0 , 193
0 , 421 0 ,784 −0 , 207
 
⋮
⋮
⋮
 
0
1
0 ] (maior módulo da coluna k=1 está na linha i = 2).
(ii). troca de linhas:
[−0 , 421 0 , 784 0 , 279(0 , 448 ) 0 , 832 0 , 193
0 , 421 0 , 784 −0 , 207
 
⋮
⋮
⋮
 
0
1
0 ]
L1←L2
L
2
←L
1
¿
¿
(Troca da linha L1 com L2 e vice-versa)
(iii). Matriz pivotada:
[(0 .448) 0.832 0.193−0 . 421 0 .784 0.279
0 .421 0 .784 −0. 207
⋮
⋮
⋮
1
0
0 ]
3º). Processo de triangularização, correspondente ao primeiro pivô (k=1):
[(0 ,448 ) 0 , 832 0 ,193−0 , 421 0 ,784 0 ,279
0 ,421 0 ,784 −0 , 207
⋮
⋮
⋮
1
0
0 ] L2←L2−(−0 ,421/0 , 448 )L1⇒ L2←L 2+0 ,9397 L 1L
3
←L
3
−(0 , 421/0 , 448 )L
1
⇒L 3←L 3−0 , 9397 L1
[(0 , 448 ) 0 .832 0 ,1930 1, 566 0 , 4604
0 0 , 0022 −0 ,3884
⋮
⋮
⋮
1
0 ,9397
−0 , 9397]
Obs.: Note que as operações elementares aplicadas acima eliminam os elementos
abaixo da diagonal principal na primeira coluna. A operação de eliminação acontece
sempre que se subtrai de cada linha, a linha do pivô multiplicada pelo elemento a ser
eliminado divida pelo elemento pivô.
Capítulo 3: SELA: Métodos diretos
 
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4º). Pivotação Parcial, correspondente ao segundo pivô (k=2):
(i). Busca parcial do maior módulo da coluna k = 2 (busca a partir da segunda
linha e da segunda coluna, pois a primeira coluna já foi anulada)
¿ [0 , 448 0 , 832 0 ,1930 (1 , 566) 0 , 4604
0 0 , 0022 −0 ,3884
 
⋮
⋮
⋮
 
1
0 , 9397
−0 ,9397 ]
¿
(maior módulo da coluna k=2 já está na linha i =
2)
(ii). Não é necessário a troca de linhas, pois a matriz já está pivotada.