Matrizes: Definição, Tipos e Operações

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Definição de Matrizes
Matriz: Tabela de elementos dispostos em linhas e colunas.
Amxn = 
a11 a12 L a1n
a21 a22 L a2n
M M M
am1 am2 K amn
= [aij]mxn
matriz A de m linhas e n colunas 
Elemento da linha i
e coluna j 
Elemento da 2 ª linha e 1ª coluna 
TIPOS DE MATRIZES











214
311
221
 Matriz quadrada
m = n (x linhas = x 
colunas)
Esta é uma matriz quadrada de ordem 3 (3 x 3)
 Diagonais
Só tem sentido falar de diagonais 
em matrizes quadradas.
Diagonal principal (i = j) Diagonal secundária = (n + 1 = i + j)
Elementos da
diagonal principal:
1, 1 e 2
Elementos da
diagonal secundária:
2, 1 e 4









 
 400 
 210 
112 
 Matriz triangular superior
Matrizes Triangulares














 2754 
 0432 
 0011 
 0002 
 Matriz triangular inferior










 500 
 020 
 004 
Elementos acima ou abaixo 
da diagonal principal são 
todos nulos.
Lembre-se o ou da matemática não 
é exclusivo, ou seja, vale também 
quando ambos são verdade!
Esta também é uma matriz triangular!
Falou em diagonal, falou em matriz 
quadrada! Todas as triangulares 
são quadradas.
Casos especiais 
de Matrizes 
Triangulares.  Matriz identidade










700 
040 
 002 










100 
010 
 001 
 Matriz diagonal
Apenas os elementos da diagonal 
principal são diferentes de zero
A identidade é uma matriz diagonal 
cujo elementos da diagonal principal 
são todos iguais a um.
Falou em diagonal, falou em matriz 
quadrada! Todas as triangulares 
são quadradas. Chatice hein!
Todas as Triangulares são quadradas, logo, a diagonal e a identidade são quadradas.
Chamamos a matriz acima de I3 
(identidade de ordem 3)
No geral, In onde n é a ordem da 
matriz.










0000
0000
0000
 Matriz nula
Todos os elementos são nulos.
Chamamos a matriz nula de Omxn
Então essa é O3x4
A Matriz nula não precisa ser 
quadrada!
 Igualdade de Matrizes
Duas matrizes são ditas idênticas 
quando seus elementos 
correspondentes são iguais.









 
421
21 3
112









 
421
21 3
112
Caso ao olhar 
essas duas 
matrizes e não 
ver que elas 
são iguais, 
favor procurar 
o oculista.
Transposta troca de linha por coluna (m x n => n x m ) 
3x2 41
30 
 12 











=A .
431 
 102 
2x3 





 =At
Matriz A transposta
Simétrica Matriz quadrada tal que At = A
2x2 23 
 31 





=A
2x2 23 
 31 





=At
Matriz A transposta
Anti-Simétrica Matriz quadrada tal que At = -A
3x3 013 
102
 320 











=A
3x3 013
102 
 320 











=A t
Os elementos 
da transposta 
são os opostos 
da original.
OPERAÇÕES COM MATRIZES
Adição
1 − 1
4 0
2 5
+
0 4
− 2 5
1 0
=
1 3
2 5
3 5
Dadas duas matrizes A e B, somaremos os elementos de A com seus
correspondentes em B, ou seja, se tomarmos um elemento na primeira linha
e primeira coluna de A devemos somá-los com o elemento na primeira linha e
primeira coluna de B.
É sempre possível 
somar matrizes?
Não!
Somente quando 
estas forem de 
mesma ordem.
+ =
Se liguem, o mesmo vale pra subtração.
Multiplicação por escalar
Multiplicação por escalar ( número real qualquer)  multiplicamos todos os
elementos da matriz por este número.








31 
 102 2.








2.3 2.1
 2.102.2=








6 2
 204=
Matriz A Matriz -2A
Multiplicação de matriz por matriz
CONDIÇÃO: Só podemos efetuar o produto de duas matrizes Amxn e Blxp se o número 
de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda (n = l). A matriz C = 
AB será de ordem m x p.
2x2 
3x2 
40
11 .
35
24
12





 










3x2 
3.4153.05.1
2.4142.04.1
1.4121.02.1















+)(+
+)(+
+)(+=










75
44
22=
Em geral AB  BA, ou seja, o produto de matrizes não comutativo
Pode ser possível efetuar AB e não ser possível efetuar BA.
O produto da primeira linha pela 
primeira coluna, gera o elemento C11.
O produto da primeira linha pela 
segunda coluna, gera o elemento C12.
Ihhh... 
Aqui 
fu...!
2 1
4 2
5 3 3x2
. 1 − 1
0 4 2x2










75
44
22=2.1 + 1.0 2.(-1) + 1.4
4.1 + 2.0 4.(-1) + 2.4
5.1 + 3.0 5.(-1) + 3.4
Observe, 
multiplicamos 
ordenadamente os 
termos, ou seja, 
multiplicamos o 
primeiro elemento 
da elemento com o 
primeiro da coluna e 
por aí vai...
EXEMPLO 1
1) Seja A = 




143
201
 e seja B = 




 012
411
 
 
Calcule A + B. 
11
EXEMPLO 2
2) Seja A = 





143
201 e seja B = 





 012
411 . 
Calcule A – B. 
12
EXEMPLO 3
3) Calcule o produto das matrizes: 
 



















20
53
12
.
021
102
321
 
13
EXEMPLO 4
4) A matriz A de ordem 2 x 3 definida por , .i ja i j é 
dada por: 
a) 





321
642
 b) 





1242
621
 c) 





642
321
 
d) 





321
111
 e) 






321
642
 
14
EXEMPLO 5
5) Dadas as matrizes 











65
43
21
A
 







102
231
B
 
calcule a matriz A – Bt é: 
15