Construction mécanique

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BD 2019-2020 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCEPTION MECANIQUE 
 
 
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TRANSMISSION DE PUISSANCE MECANIQUE 
 
1. Problème technique 
Utilisateur  besoin mécanique 
*Elément nécessite
*Mouvement
*Effort




 Cinématique 
trajectoire
vitesse
Accélérations




 
statique
au repos
à la naissance du mouvement
"en mouvement uniforme"
nature de l'effort rE 
 
* Puissance : 
r rPr m .E - puissance moyenne 
 - puissance instantanée 
 
moteur : source d'énergie mécanique 
 
* Mouvement mM 
* Effort mE 
* Puissance m m mP M .E 
 
Transmission de puissance : 
 
m rM M puissance réceptrice moyenne pour 1 cycle < puissance motrice moyenne pour 1 cycle
 
m rE E 
m rP P 
transformation de mouvement
relation univoque entre entrée et sortie
transformation d'effort
relation univoque entre effort d'entrée et sortie






 
 
Exemple :vérin à vis 
Un système quelconque est animé par un moteur (convertit l’énergie électrique en énergie 
mécanique), comporte un réducteur (adapte la puissance mécanique) et un transformateur de 
mouvement vis écrou (transforme le mouvement de rotation en translation). 
 
 
 
 
 
mP 
 
transmission 
de puissance 
 
Moteur 
m
m
M
Pm
E



 
r
r
M
Pr
E



 
 
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Pi correspond à la puissance en sortie du bloc i 
Ci correspond au couple en sortie du bloc i - Fi correspond à l’effort en sortie du bloc i 
ωi correspond à la vitesse en rotation en sortie du bloc i 
Vi correspond à la vitesse en translation en sortie du bloc i 
Ri correspond au rapport de réduction du bloc i 
i correspond au rendement associé au bloc i 
Le schéma bloc suivant permet de suivre la transmission de puissance du mécanisme. 
 
 
 
 
2. Phénomènes utilisés  phénomènes physiques 
* Phénomènes mécaniques entre solides  Action de contact 
obstacle
adhérence



 
 
* Phénomène mécanique entre solides et fluides  pression, vitesse  
 
 
* Phénomène électrique : magnétique,… 
 
* Phénomène thermodynamique, P, V, T 
3. Problème particulier : solution mécanique 
 3.1 étude de l'effort sur un élément intermédiaire 
 
 
i
i
E
m



 
j
j
E
m



 
 
 
moteurs
 
utilisateurs
 
Isolement d'un élément intermédiaire à étudier. 
 
 
 
 
 
 
 
Amont aval 
Théorème de l'énergie à (t) 
i n
i i i i m e
i 1
(C R V ) C


    
j m
j j j j r e
j 1
(C R V ) C


    
Pour tous les ensembles mécaniques : masse en mouvement  inertie 
 
2 2 2
i i i i m e
1 1 1
( M v I ) .I
2 2 2
    2 2 2j j j j r e
1 1 1
( M v I ) .I
2 2 2
    
 1 
 
Elément 
à 
étudier 
Im 
L'arbre 
Elément 
à 
étudier 
Cm 
e 
Cm Cr 
 i 
 n 
 1 
 j 
 m 
 
Ir 
 
Transmission mécanique de 
puissance. 
Transmission hydrostatique 
de puissance. 
Transmission électrique. 
Coupure 
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on effectue une coupure  Isolements 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equation dynamique 
 
em
m e m
er
e r r
d
(C C ) I
dt cas général
d
(C C ) I
dt
 
   
 

  
  
 
très souvent  rigidité : em er   
m e e r
m r
(C C ) (C C )
I I
 
 
3.2Analyse mécanique: mouvement permanent 
 
 mouvement périodique : tel qu'aux 2 extrémités de la période on a les même caractéristiques 
mécaniques: Cm=fonction espace Cr=fonction espace 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Théorème de l'énergie cinétique : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cm 
Im
Cm 
Ce 
me 
Cm 
Ce 
Ir
Cm 
er 
 
Cr 
Cm : période [0,Tm] 
Cr : période [0,Tr] 
r m
e m r
r m m r
I I
C C C
(I I ) (I I )
 
 
 
 
d 
 
Couple en m.N 
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c c 2 2
c 0
0 0
1
Cm.d Cr.d I.[ ]
2
 
      en mouvement permanent c 0   
totale m rI I I I   
c c
0 0
Cm.d Cr.d
 
    sur une même période 
 
Couple moyen: 
c c
m c
0 0
C .d Cr.d [C moyen]( )
 
     
 
Analyse détaillée 
 
Pour () m
r
C
connus
C



 em r
d
(C C ) I
dt

  
 
 
Théorème de l'énergie cinétique : ( 1 2,  ) 
2 22
m r max min
1
1
(C C ).d I[ ]
2


     
1
2 da a


 en Joules. a : aire 
 
 
max minI ( ) ( ) amax min2
moyen
 
  

 
 
moyen
k

 

 coefficient de régularité de transmission 
2
joules moya I.k.  
 
Vérification: 
m rC ,C connus (O, c ) ; 1 2, ,...  I sur un élément connu moyen sur l'élément 
 
Avant projet : m r c 1 2C ,C connus,(O, ), , ...    
Construction  se fixer k  (
1
5
) pour forge 
 k  (1/1000) pour alternateur 
Choix : 
 
 
 
volant  arbre rapide  I léger  solution retenue la plus économique 
Influence sur le couple appliqué à un élément intermédiaire : 
m moyen m
r moyen r
(C ) (C )
(C ) (C )
  

  
 fonctions numériques moyenne de fonction  1 
m r m
e moyen
facteur de service
Ir I
C C
I total I total
fs
  
  
 
 facteur de service : fs 1<fS<4 
écart maxi de vitesse:  
2
moyen
a
k
I


 
 
2
moyen
a
I
k
  
 
 
da Joules
 
moyenne arithmétique: moyen 
variation relative de vitesse 
 
ou coefficient de service: s
s
1
K 1
f
  0,25 < KS < 1 
 
totale m rI I I I   
o
e
(C C )m r
I
totale

  
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Projets : 
P kw(moyenne)
N tr / mn rad / s (moyenne)



 
 
 
 
 
 
 
Exemple :Détermination de la position du volant d'inertie. 
 Répartition de l'inertie I : I total = Im + Ir 
 
 
 
 
 
 
 
m maxi 15 à 20  effort instantané 15 à 20 fois plus grand que l'effort moyen 
réparti sur les 2 tours de moteurs 
Où doit-on placer le volant d'inertie pour avoir moins le moins d'effort sur le réducteur ? 
 
r
r m
I
I I
 très petit  tout le volant avant le réducteur 
exemple : m max i 1  
 
 
 
 
 
 
m
m r
I
I I
 très petit : Placer le volant le plus près possible de l'élément ayant les variations les 
plus importantes de couple. 
 
4.Charge mécanique et point de fonctionnement. 
 
On appelle charge mécanique la charge entrainée par un actionneur. 
Cette charge est caractérisée par un effort ou un couple résistant pour une vitesse ou une 
vitesse angulaire donnée. 
Dans la majorité des applications, les actionneurs sont rotatifs. Le théorème du moment 
dynamique en projection sur l'axe de rotation: m r
d
J c c
dt

  
avec : J : moment d’inertie équivalent ramené sur l’arbre moteur [kg/m2] 
  : vitesse angulaire du moteur [rad/s] 
 cm : couple moteur [Nm] 
 cr : couple résistant (charge de la machine) [Nm] 
 
C = 
P

 
 
m.N :C : couple moyen 
 
W
a 
rad/s 
Calculs d'éléments (ex : roulement à billes) :Ce = 
moyen
A
C
K
 
 
Im 
Im 
Moteur à combustion 
interne 1 ou 2 pistons 
Pompe centrifuge 
multiplicateur 
Moteur électrique 
asynchrone 
Gonfleur 
1 piston 
Ir r max i 10 à 15 
réducteur 
r 1 
Ir 
m 1  
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En régime permanent, les charges entraînées ont des caractéristiques effort-vitesse qui 
dépendent du type de machine. 
• Couple résistant constant (1) : 
compresseurs, pompes à pistons, bandes 
transporteuses, broyeurs concasseurs… 
• Couple résistant proportionnel à la vitesse 
(2) : presses, freins à courants de Foucault , 
machines-outils… 
• Couple(parabolique) résistant 
proportionnel au carré de la vitesse (3) : 
pompes et compresseurs centrifuges, 
ventilateurs, pompes à vis et à hélice, 
centrifugeuses… 
• Couple(hyperbolique) résistant 
inversement proportionnel à la vitesse (4) 
(c'est-à-dire une puissance constante) : bobineuses, tours, dérouleuses à bois… 
On peut connaitre la vitesse angulaire 0 atteinte lorsque 
 le régime permanent est installé en superposant la courbe 
 caractéristique du moteur à celle de la charge mécanique. 
 
 
 
 
5.Représentation du plan de puissance. 
Le plan de puissance décrit la puissance émise, transmise ou reçue par un système 
électromécanique. Il se présente sous la forme d’un graphique (Action Vitesse) où l’action est un 
effort en (N) ou un couple en (N.m) et la vitesse est linéaire en (m/s) ou de rotation en(rad/s). On 
peut remarquer que le produit (Action x Vitesse) est homogène à une puissance: 
Puissance = Action x Vitesse .La figure ci-dessous représente un plan de puissance type. On 
remarque sur ce graphique que pour deux combinaisons du couple (Action, Vitesse) le système est 
moteur (Puissance>0), et que pour deux autres combinaisons le système joue le rôle de frein 
(Puissance <0)Le moteur doit fonctionner dans les deux sens de marche, avec une charge 
entraînante ( couple moteur et couple résistant dans le même sens ), ou avec une charge résistante. 
On définit quatre quadrants de fonctionnement. 
 
 
 
 
 
 
cr 
 
1 
3 
4 
2 
Types de comportement des charges mécaniques 
 
Quadrant 
 Puissance >0 
Quadrant 
 Puissance< 0 
quadrant 1:Le moteur monte la charge 
résistante. 
quadrant 2:Le moteur monte la charge et la 
charge entraine le moteur, le moteur à tendance 
à fonctionner en générateur 
quadrant 3:Le moteur descend la charge et la 
charge à tendance à entrainer le moteur. 
quadrant 4:Le moteur descend la charge et la 
charge à tendance à entrainer le moteur en sens 
inverse. 
 
 
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Régime de fonctionnement d'un arbre 
 
II 
 
 
 
 
 
 
 
 
M1 résistant, M2 moteur 
 
 
III IV 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I sens positif arbitraire 
 
 
+   + ++ + + + +   
  +  + 
 
  +    + 
P 
P 
P P 
M1 moteur, M2 résistant 
M1 
 M1 
 M1 
M1 
M1   
  
M2 
M2 
0 
 
M1
 
 
M2 
M2 
M1 moteur, M2 résistant M1 résistant, M2 moteur 
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Volant d’inertie 
Bouclier de protection Contrainte radiale 
5.Rôle du volant d'inertie 
Un volant d'inertie est, dans une machine tournante, une masse liée à la partie animée d'un 
mouvement de rotation, répartie autour de l'axe de telle sorte qu'elle confère à l'ensemble une 
plus grande inertie en rotation, dans le but de rendre plus régulier le régime de 
fonctionnement, en s'opposant aux à-coups dus au moteur entraînant le dispositif ou au 
récepteur consommant l'énergie transmise. La principale fonction d’un volant d’inertie est le 
stockage et la restitution d'énergie cinétique. Sa caractéristique physique est le moment 
d'inertie qui exprime la répartition des masses autour de l'axe. 
On cherche à faire un choix de matériau 
permettant de maximiser l’énergie cinétique 
par unité de masse en tenant compte des 
contraintes suivantes : le volant ne doit pas 
rompre, le matériau doit avoir une bonne 
résistance à la propagation de fissure. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Utilisation en "batterie" mécanique: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemples d'utilisation du volant d'inertie KERS en F1 
http://fr.wikipedia.org/wiki/Mouvement_de_rotation
http://fr.wikipedia.org/wiki/Inertie
http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89nergie_cin%C3%A9tique
http://fr.wikipedia.org/wiki/Moment_d%27inertie
http://fr.wikipedia.org/wiki/Moment_d%27inertie
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Exemple: Calcul d'un volant d'inertie. 
 
L’étude est menée pour un volant d’inertie représenté par un disque de rayon R, d’épaisseur e 
et de hauteur b mis en mouvement avec une vitesse angulaire ω. 
L’énergie cinétique W stockée est donnée par la relation: 2joules
1
W J.
2
  
J moment d’inertie du volant par rapport à son axe de rotation et M la masse du volant. 
On désire comparer l'énergie cinétique que l'on peut stocker pour un volant d'inertie en 
carbone ou en acier. 
 
Volant d'inertie en carbone – époxyde. 
 
Volume de fibre Vf = 60 %. 
Le schéma indique l'orientation et le pourcentage des fibres. 
 
Caractéristiques du composite : 
Contrainte de rupture du composite: c = 1059 MPa 
e
1
r
 
masse volumique: C = 1530 kg/m
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Calculez l'énergie cinétique maximum que l'on peut obtenir avec un volant de 1 kg. 
 
 
2. Comparez avec l'énergie cinétique maximum que l'on pourrait obtenir avec un volant en 
acier de même masse. 
Contrainte de rupture de l'acier: a = 1000 Mpa 
Masse volumique de l'acier: a 7800  kg/m
3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ARBRE DE TRANSMISSION 
 
1. Définition d'un arbre de transmission. 
Les arbres sont des éléments mécaniques, de section droite généralement circulaire dont la 
dimension suivant l’axe de révolution est grande par rapport aux autres dimensions. 
On peut distinguer deux catégories d’arbres : 
Ceux qui transmettent un couple (torque) entre différents organes mécaniques : poulies , 
engrenages , cannelures d’organes mécaniques ou axes d’articulation, ils sont désignés sous le 
nom d’axes. Un arbre est composé des plusieurs surfaces fonctionnelles séparées le plus 
souvent par des épaulements. On trouve généralement : 
•Les zones de contact avec les éléments assurant le guidage 
•La zone motrice assurant la liaison avec le moteur ou une poulie ou une roue 
•Les zones réceptrices sur lesquelles viennent se monter les éléments récepteurs (poulies, roues, 
pignons, cannelures…) 
•Les zones de liaison assurant la continuité de matière entre les zones précédemment citées. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.Modélisation des guidages en rotation. 
 Les arbres sont en général montés sur des roulements ou des paliers lisses. Le point ou 
s'effectuele calcul des efforts extérieurs est appelé centre de poussée ou de rotulage ,c'est 
l'intersection de la normale au contact avec l'axe de rotation ,en général on recherche des 
guidages isostatiques(montage sur 2 paliers). Pour des bagues de guidage ou des roulements 
symétriques on trouve ainsi le point au centre de l'élément de guidage. La finalité de ces 
montages est de se rapprocher au mieux de l'isostatisme. 
 
 
 
 
 
zone de guidage 
zone de guidage 
zone de liaison 
zone de liaison 
zone motrice: 
cannelures 
zone réceptrice 
roue dentée 
épaulement 
épaulement 
Figure 1 
 
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Le tableau suivant propose des associations possibles d’arrêts axiaux, à titre d’exemples. 
Exemples pour des roulements rigides à billes. Figure 2 
Bague intérieure tournante par rapport à la direction de la charge 
(bagues intérieures montées serrées) 
 
 
 
rotule + linéaire annulaire. Le jeu axial est 
celui du roulement immobilisé. 
 
 
« montage avec réglage du jeu axial » 
Bague extérieure tournante par rapport à la direction de la charge 
(bagues extérieures montées serrées) 
 
 
rotule + linéaire annulaire,Le jeu axial est 
celui du roulement immobilisé 
 
 
« montage avec réglage du jeu axial » 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Pour des roulements dissymétriques les points se décalent on obtient ainsi des longueurs de 
guidage différentes. (voir figures 3et4) suivant la disposition des roulements. Les axes 
forment un X ou un O. 
Les montages en opposition, de type X ou O, sont à privilégier avec les roulements à billes à 
contact oblique ou les roulements à rouleaux coniques. 
Roulement à contact oblique : charge radiale et axiale 
Ces roulements sont nécessairement associés par paires (sauf cas particuliers) 
 Figure 3 
 
Montage en « X » Montage en « O » Montage en « X » Montage en « O » 
 
 Figure 4 
Principe de d’un montage en « X » de 2 
roulements à rouleaux coniques. 
Principe de d’un montage en « O » de 2 
roulements à billes à contact oblique. 
 
Dans les deux cas le schéma de structure peut éventuellement (à l’image de la modélisation 
présentée) permettre d’identifier le plus facilement le type de montage (« X » ou « O ») 
 
Dans les 2 cas, seule l’équation de résultante selon x fait intervenir les inconnues AX et BX : 
A BR.x X X 0   
Remarque : pour arriver à cette conclusion, il suffit d’écrire l’équation de moments en A ou 
en B. Le montage est hyperstatique de degré 1. 
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A
A1/ 2
AT
A
R
d
f
da
d
Roue 2
2
0
a
=
2 0a =
y 
x 
α=20
° 
3.Détermination des actions mécaniques extérieures avec divers éléments de 
transmission de puissance. 
3.1 Poulie courroie. Fonction des tensions de courroie sous la forme 
d
C (T t)
2
  
 
Démonstration :
 
C f T t ( , ) 
 Isolement de la poulie motrice 2 : 
 
 
 
 
 
 
 
 
Isolement de la poulie résistante 1 : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.2 chaine. 
 
m
m
C
Fc 2
d
 . 
 
 
 
3.3 Engrenage. 
Actions mécaniques transmissibles par une roue à denture droite. 
 Action de la roue 1 sur la roue 2 au point de contact A situé sur le cercle primitif : A1/2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bx ext 2
m
m
M F 0
Cm T t r 0
P
Cm T t r

   
   

 /
( )
( )
 
Ax ext 1
s
s
M F 0
Cr T t R 0
P
Cr T t R
/
( )
( )

   
   


O
z 
C3/2 
 Droite d’action 
 
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Exprimons les composantes de l’action inter-denture : 
 
 
 
 
 
 
Exprimons le couple transmissible par la roue 1 : 
2
/oz 1 T 3 2
d
M Fext A C 0
2
/ /
( )     23 2 T
d
C A
2
/
 ou 3 2
T
2
2C
A
d
/ 
FORMULAIRE : 
P2 : puissance transmise par la roue 2 en Watt ω2/0 : vitesse angulaire en rad.s
-1 
C3/2 : couple transmissible en N.m d2= m.Z2 : diamètre primitif exprimé en m 
A1/2 : intensité de l’action normale à la denture en N 
AT : composante tangentielle à la roue 2 en N AR : composante radiale à la roue 2 en N 
α =20°: angle de pression de la denture 
m=d2/Z2 : module de la roue 2 donné en mm Z2 : nombre de dents de la roue 2 
Z2 : nombre de dents de la roue 2 
 3 2
T
2
2C
A
d
/ R TA A tan 
2
3 2
2 0
P
C

/
/
 
2 2
1/2 T R
A = A A 
Actions mécaniques transmissibles par une roue cylindrique à denture hélicoïdale : 
 Action de la roue 1 sur la roue 2 au point de contact A situé sur le cercle primitif : A1/2 
 
 
 
 
 
3 2
T
2
2C
A
d
/ R TA A


tan
cos
 
 2
3 2
2 0
P
C

/
/
 A TA A tan 
 
2 2 2
1/2 T R A
A = A A A  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
T 1 2
R 1 2
R
T
- Composante tangentielle : A A
- Composante radiale : A A
A
: l'angle de pression
A
/
/
.cos
.sin
tan


 


 
T
1 2
R
A
A
A
/
 
  
 
 
AT 
AR 
AR 
AT 
AAx 
AA 
A1/2 
A1/2 
T
1 2 R
A
A
A A
A
/
 
  
  
 
  
 
T 1 2
R 1 2
A 1 2
- Composante tangentielle: A A
- Composante radiale : A A
- Composante axiale : A A
 

 
/
/
/
.cos cos
.sin
.cos sin
 

 
 
P2 : puissance transmise par la roue 2 en Watt 
ω2/0 : vitesse angulaire en rad.s
-1 
C3/2 : couple transmissible en N.m 
n
2 2
m
d Z
cos
 : diamètre primitif converti en m 
A1/2 : intensité de l’action normale à la denture en N 
AT : composante tangentielle à la roue 2 en N 
AR : composante radiale à la roue 2 en N 
AA : composante axiale à la roue 2 en N 
α =20°: angle de pression de la denture 
β : angle d’inclinaison de la denture (d’hélice 
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Actions mécaniques transmissibles par une roue conique à denture droite : 
 F1/2 : Action de la roue 1 sur la roue 2 au 
point de contact I situé sur le cercle moyen 
(Rmoy) du cône primitif. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 2
2
d m Z
Rmoy R
b
Rmoy R sin

  
  
FT FA 
FR 
F1/2 
FR 
FT Fv 
Fv 
3 2
T
m
v T
R v T
A v T
A R
2 2 2
1/2 T R A
2
3 2
2 0
C
F
r
F F
F F F
F F F
F F
F = F F F
P
C 

  
  


/
/
/
tan
cos tan cos
sin tan sin
tan

 
    
    
 
 

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4.Dimensionnement des arbres de transmission. 
4.1 Prédimensionnement à la torsion. 
 
max
max
i
T i
k
M
I
v
 





0
 MT maxi :couple sur l'arbre 
I0 moment quadratique polaire des sections droites 
 
I
v
0 module d'inertie de torsion 
 k coefficient de concentration de contrainte. 
 
 
 
 
 φ: varie de 0 à R. v =R 
 
 
 
 
 
Pour des raisons de sécurité la contrainte maxi de torsion doit rester inférieure à Rpg la 
résistance pratique au glissement . 
Re g
Rpg
s
 S :coefficient de sécurité 
Reg: résistance au glissement obtenue par cisaillement en torsion voir tableau matériau. 
 max i Rpg  
Concentration de contrainte. 
Les calculs sont réalisés au niveau de la section la plus faible. 
Il y a concentration de contraintes quand les poutresétudiées présenteront 
de brusques variations de section (rainure de clavette, épaulement, gorge,etc…) 
 
Coefficients de concentration de contraintes en torsion Kt 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Modèle sans concentration de contrainte 
Avec concentration 
de contrainte 
 
 
τ 
τ 
φ 
 
τ 
τ 
φ 
 
O 
x 
y 
 
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Rainure de clavette 
Exemple pour une rainure de clavette. 
 
 
 τmax=τ.k 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calcul à la déformation. 
Pour les arbres de transmission on doit limiter les déformations de torsion de l’arbre pour éviter 
les vibrations. Pour assurer une rigidité convenable de la transmission on impose une limite à 
 l’angle unitaire de torsion :    limite 
Valeur limite pour l'angle unitaire de torsion lim = 0,25 °/m 
0
TM
G I
 

 avec : G module d’élasticité transversal ( 77000Mpa<G<85000Mpa )pour les aciers. 
 I0 moment quadratique polaire des sections droites : 0 Ox OyI I I  
avec Ox OyI I 
4D
64

 pour un arbre plein 
 
 arbre plein: 
4
0
D
I
32

 arbre creux: 0I 
4 4(D d )
32
 
 
 
4.2. Vérification arbre sollicité en flexion-torsion 
 
Calcul en torsion- flexion avec torsion prépondérante. 
Moment idéal de torsion :
2 2
f tMit M M  
moment de flexion maxi: 2 2f f Oxz f OyzM M M  
Contrainte idéale de torsion: 
it = k
2 2
f t
0
1
( M M )
I
v
 k facteur de concentration de contrainte. 
v :distance de la ligne de centre de gravité à la fibre la plus éloignée. 
 Arbre plein : 0
I
v
=
3D
16

 Arbre creux : 0
I
v
=
3 3(D d )
16
 
 
 
 it Rpg  
 
τmaxi 
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Calcul en torsion- flexion avec flexion prépondérante 
Moment idéal de flexion: if f it
1
M (M M )
2
  
if = 
2 2
f f t
Ox
k 1
(M M M )
I2
v
  avec k facteur de concentration de contrainte. 
 
Arbre plein : Ox
I
v
=
3D
32

 Arbre creux : Ox
I
v
=
4 4(D d )
32D
 
 
 
 if
Re
s
  
 
 
 
Matériaux de construction et caractéristiques (Extrait) (Résistance exprimée en MPa) 
 
 
  < 16 16 <  < 40  > 40 
A% Re Rm A% Re Rm A% Re Rm 
42Cr4 (42C4) 12 770 980 12 700 880 13 600 780 
38CrMo4 (38CD4) 11 880 1080 11 740 930 12 620 780 
42CrMo4 (42CD4) 10 850 1080 11 770 980 12 700 880 
50CrV4 (50CV4) 8 930 1130 10 785 980 12 685 880 
30CrMo12 (30CD12) 10 880 1080 10 810 1030 11 770 980 
 
 
Relation entre la résistance élastique à la traction (Re) et la résistance pratique au 
cisaillement ou glissement (Reg) 
 
Matériaux Relation 
(Reg = f(Re) 
Acier doux (Re < 270 MPa) 
Alliages d'aluminium 
Reg = 0,5 Re 
Acier mi-durs 
(320 < Re < 500 MPa) 
Reg = 0,7 Re 
Aciers durs (Re > 600 MPa) 
Fontes 
Reg = 0,8 Re 
 
 
 
 
 
 
 
 
 BD 2019-2020 
 
CALCUL DES ROULEMENTS 
1.Choix des roulements. 
Au cours de l'étude d'une nouvelle machine l' ingénieur ne peut déterminer la taille des roulements 
qu'après avoir fixé le type de ceux-ci. Ce choix s'opère en fonctions de deux critères principaux que 
complètent ensuite un certain nombre de considérations secondaires. 
 
1.1- Suivant la nature du montage et de pièces principales du système on est conduit à prendre 
soit des roulements rigides, soit des roulements à rotule. Les roulements à rotule s'imposent 
dans tous les dispositifs dont l'usinage ou le montage peu soignés ne peuvent pas garantir 
l'alignement très précis des axes des logements qui reçoivent les roulements ou encore dans 
les systèmes où supports ou rotors sont trop déformables pour maintenir en charge la 
permanence de cet alignement. Dans les autres cas, les roulements rigides, moins chers 
pour des performances équivalentes sont à préférer. 
 
1.2- Suivant la direction relative de la charge 
Les roulements à aiguilles et en principe ceux à rouleaux cylindriques ne peuvent supporter 
aucune composante axiale et sont donc à éliminer dès que celle-ci agit sur le roulement 
considéré. A l'inverse, beaucoup de butées, en particulier celles à billes, ne tolèrent aucune 
composante radiale. Par nature, les autres types de roulements peuvent encaisser des 
charges de direction quelconque, mais quand la composante axiale prend de l'importance 
certains types conviennent mieux que d'autres : on calcule alors les roulements avec une 
charge équivalente P = X.Fr + Y. Fa 
 
On trouve parfois dans le commerce des roulements ou butées qui, rigides par nature, comportent 
une rotule sphérique extérieure. Ce n'est qu'une mauvaise solution, car les frottements sur les 
surfaces glissantes de la sphère sont toujours importants et gênent l'orientation en surchargeant le 
roulement. 
 
On construit aussi des roulements à rouleaux cylindriques qui peuvent encaisser de faibles charges 
axiales, intermittentes parce que la transmission de cet effort se fait par glissement du bout des 
rouleaux contre des épaulements latéraux (dont l'un est une bague auxiliaire rapportée) ; ceci peut 
suffire par exemple pour centrer axialement un rotor qui ne reçoit en principe que des forces 
radiales. Dans les roulements à aiguilles, il existe des ensembles combinés roulement-butée. 
 
Butées et roulements ne sont pas directement comparables, car les charges C ne sont pas 
définies de la même façon : pour les butées c'est une force purement axiale qui charge 
uniformément tous les éléments roulants pour les roulements c'est une force qui charge non 
uniformément la moitié des éléments roulants. 
Pour supporter des composantes axiales importantes, les roulements à contacts obliques ou 
rouleaux coniques sont excellents, les roulements rigides à billes sont bons, les roulements à 
rotule médiocres, surtout ceux à billes. 
 
Quelques autres considérations achèvent de déterminer le choix du type . 
En cas d'une charge très irrégulière et surtout accompagnées de chocs, il faut préférer les 
rouleaux aux billes, les contacts linéaires se révèlent moins sensibles aux chocs que les 
contacts ponctuels. 
Pour un'encombrement donné, les rouleaux donnent une meilleure capacité de charge que les 
billes. Par contre les limites de vitesse sont plus élevées pour les roulements à billes. 
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A diamètre donné et même à charge donnée, les roulements à billes sont souvent moins chers 
que ceux à rouleaux, mais ceux-ci redeviennent plus avantageux pour les grands diamètres et 
il faut aussi noter le prix relativement bas des roulements 
Les roulements à aiguilles permettent de réduire l'encombrement radial toujours notable pour 
les autres roulements. Enfin les roulements à contacts obliques, soit à une rangée de billes, 
soit à rouleaux coniques peuvent être montés de façon à annuler complètement les jeux axiaux 
et radiaux. 
 
2. Notion de DUREE 
Pour un roulement s'il est correctement monté lubrifié entretenu et calculé, le seul mode de 
destruction est la fatigue qui se traduit par un écaillage. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Grâce à des essais : pour un type de roulement 
Pour des conditions identiques de fonctionnement 
 = 1/2(moitié des éléments roulants chargés) 
Bague intérieure tournante par rapport à la charge à vitesse constante 
On peut définir une courbe de durée, fonction de la dispersion de la qualité de la production 
(voir courbe). 
 
On définit : L1 DUREE NOMINALE durée effectivement atteinte pour 90 % des roulements 
essayés dans les hypothèsesd'essais ci-dessus : 
 
 
 
 
Courbe : il n'y a aucun roulement qui ne 
casse pas au démarrage à 100% L = 0. 
 
* L1  90 % des roulements essayés 
* 5L1  50 % des roulements essayés 
* 14 L1 10 % des roulements essayés 
 
 
 
3. Correction de la durée nominale 
 
 
 
 
 BD 2019-2020 
 
La durée L1 peut être corrigée en fonction d'un facteur de fiabilité, de la température 
d'utilisation du roulement et de la lubrification.(voir tableau) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Capacité de charge dynamique de base C 
 
C'est la charge (axiale pour les butées, radiale pour les autres) qui, statistiquement, ne 
provoque la destruction que de 10% des roulements du type et de la dimension considérée 
au bout d'un million de tours en respectant les conditions d'essais. 
 
La valeur de C, obtenue par expérimentation systématique de chaque roulement est donnée 
par le fabricant. 
5. Charge dynamique équivalente P 
Un roulement supporte en général un effort oblique de 
composantes Fr et Fa. 
La "charge équivalente" est la charge radiale fictive qui détériorerait le 
 roulement dans les mêmes conditions que Fr et Fa simultanément. 
Elle est calculée à l'aide de la relation : P = X.Fr + Y. Fa 
Les coefficients X et Y, obtenus par expérimentation systématique sont des données du 
fabricant des roulements. 
D'une façon générale X et Y dépendent du type de roulement et de la valeur du rapport 
Fa/Fr (voir tableau). 
6. Relations charge-Durée 
Evolution de la durée en fonction de la charge 
 
essais avec 1 type de roulement, même chargement 0,5  , bague intérieure tournante 
sous charge P1  durée L1 
P2  durée L2 et 
 
 
Pour la capacité de charge dynamique C le roulement atteint 106 tours P PC 1 L (P)  
P
C
L
P
 
  
 
 
Durée en heure 
P6
h
10 C
L
60 N P
 
  
 
 
 
p
1 2
2 1
L P
L P
 
  
 
 ou p p1 1 2 2L .(P ) L .(P ) 
 
 
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p dépend de la nature des contacts : 
* p = 3 billes, contacts ponctuels 
* p = 
10
3
 contacts linéaires courts, faibles charges (rouleaux cylindriques, coniques 
 grand, tonneaux) 
 
* p = 4 contacts linéaires longs, fortes charges (aiguilles, rouleaux coniques  petit). 
 
* Durée d'un ensemble de roulements 
incidence de la proximité des roulements, notion de durée statistique d'un ensemble. 
 
 
 
 
Exemple : la durée d'un roulement sous la charge P1 est L1, la durée statistique de deux 
roulements côte à côte, supportant chacune L1 est e e
1
1 1
2( )
L L
 
1/e
1 1L 2 .L 0,535.L  
 
* unités de durée : donnée en 106 tours pour les roulements 
 
- peu pratique pour les mécanismes usuels : 
 
 heures de fonctionnement pour les machines 
 kilométrage pour les véhicules 
- correspondance : 
6 6
1 1
N 60 L (heures)
Tours10 10
    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e e e e
ensemble 1 11 i
1 1 1 1
...
L L L L
    avec e = 9/8 pour les rouleaux 
 e 10/9 pour les billes 
 
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6. Détermination de la charge dynamique équivalente P 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Les constructeurs établissent des courbes d'équidurée suivant les différents types de 
roulement. 
Le roulement fonctionnant suivant une charge radiale pure ou axiale et radiale, on ramène 
ces charges à une charge radiale équivalente. 
 
- pour un roulement à une rangée d'éléments roulants 
P Fr si 
Fa
e
Fr
 
P = X Fr + Yfa si 
Fa
e
Fr
 
 
- pour un roulement à deux rangées d'éléments roulants 
1 1P X Fr Y Fa  si 
Fa
e
Fr
 
 
 
 
 
 
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Cas général d'une charge combinée: 
aF et rF étant connues, la charge P est calculée à l’aide de la relation : 
P=X.Fr+Y.Fa Les coefficients X et Y agissant sur les charges radiales et axiales sont 
données par les catalogues des constructeurs et sont liés aux roulements 
Remarque : Si la bague extérieure tourne par rapport à la direction de la charge la valeur de P 
est calculée par la relation suivante : P=1,2.X.Fr+Y.Fa 
 Les relations sont obtenues à partir de courbes expérimentales d’équidurée. 
Sous l’action des charges 1F , 2F , 3F ou 4F le roulement à la même durée de vie. 
La courbe d’équidurée est approximée par deux droites : 
 L’une d’équation rFP  lorsque la charge est essentiellement radiale 
 L’autre d’équation ar F.YF.XP  lorsque la composante axiale de la charge est plus 
importante 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
charge radiale 
charge radiale 
 
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Cas particulier du roulement rigide à bille à contact radial : 
Une charge radiale peut entraîner un déplacement axial d'une bague par rapport à l'autre. 
Il en découle un angle de contact variant avec l'intensité de la force axiale. 
On utilise le rapport 
0
Fa
C
 pour déterminer les coefficients X et Y. 
Valeurs des coefficients X et Y 
Si e
F
F
r
a  alors rFP  Si e
F
F
r
a 
 alors ar F.YF.56,0P  
Les coefficients e et Y dépendent du rapport 
0
a
C
F 
0
a
C
F 0,014 0,028 0,056 0,084 0,110 0,170 0,280 0,420 0,560 
e 0,19 0,22 0,26 0,28 0,30 0,34 0,38 0,42 0,44 
Y 2,30 1,99 1,71 1,55 1,45 1,31 1,15 1,04 1,00 
 
Valeurs des coefficients 0X et 0Y 
Type de 
roulement 
Roulement à une rangée Roulement à 2 rangées 
 0X 0Y 0X 0Y 
A contact radial 0,6 0,5 0,6 0,5 
7. Méthode de calcul pour prédéterminer ou vérifier des roulements 
- on effectue un choix de roulement 
- détermination des efforts extérieurs, intensités, direction, chocs éventuels, cycles de 
chargements 
- détermination des charges axiales et radiales 
- calcul de la charge équivalente P 
- détermination de la durée nominale L 
- détermination du rapport 
C
P
 en fonction de L et de la vitesse de rotation. 
- calcul à la charge dynamique, choix du roulement ayant la capacité C souhaitée 
- vérification éventuelle de la charge statique. 
8. Méthode de calcul statique. 
Capacité de charge statique 0C et charge statique équivalente 0P 
Pour un roulement chargé à l’arrêt, ou dans le cas de faible amplitude, 0C représente la 
charge à ne pas dépasser. Au-delà de cette charge, les déformations des éléments roulants 
deviennent inadmissibles. 0C est une grandeur caractéristique du roulements indiquée dans 
les catalogues de fabricants en même temps que d, D, B, r, C. 
0 0 0. .r aP X F Y F  avec 0 0 0.P s C 
charge radiale 
 
 BD 2019-2020 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D'après SKF 
 
 
 
 BD 2019-2020 
 
ORGANIGRAMME DE VERIFICATION DES ROULEMENTS 
 
Roulements à gorges profondes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Roulement à billes à contact oblique à deux rangées 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
X = 1 
Y = 0 
 
Calcul de la charge équivalente 
P = X Fr + Y Fa 
 
Lecture des valeurs C. C0 et Nmax 
du roulement sélectionné 
Lire la valeur du paramètre e en fonction 
du rapport Fa/C0 
du roulement sélectionné 
Lire la valeur des 
coefficients Xet Y 
 non oui 
Fa / Fr < e 
Ajustement du choix : On 
choisit un autre roulement 
proche du précédent dans la 
gamme retenue ou dans une 
autre série 
Lcal  L 
oui 
FIN du calcul 
Vérification de la durée de vie 
Lcal = 106[C/P]3 
Lecture des valeurs C. C0 et Nmax 
du roulement sélectionné 
Ajustement du choix : On 
choisit un autre roulement 
proche du précédent dans la 
gamme retenue ou dans une 
autre série 
 non oui 
Fa / Fr < e 
Lcal  L 
oui 
FIN du calcul 
Vérification de la durée de vie 
Lcal = 106[C/P]3 
X = 1 
Y = 0,73 
 
Fa / Fr  0,86 
X = 1 
Y = 1,17 
 
Calcul de la charge équivalente 
P = X Fr + Y Fa 
 
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9.Condition de fonctionnement variables 
a) charge d'intensité constante, de direction constante s'appliquant à une vitesse variable 
 
Déterminer la durée dépend du nombre de cycles, pour le calcul on détermine une 
vitesse moyenne calculée sur l'intervalle de durée T (formule de la moyenne) T 
(période) 
 
t
moy
0
1
V V dt
T
  
 
 
b) charge d'intensité variable et de direction constante (ex : boite de vitesse) 
 
 
 
caractéristique du roulement : C. 
Si P1 appliquée seule durée L1 = 
p
1
C
P
 
 
 
. 
un fait P1 s'applique pendant N1 < L1  
 
coefficient d'utilisation de durée : 11
1
N
a
L
 
utilisation totale : 1 2 i
1 2
N N
... 1 a
L L
     
p P
i ia .C Ni(P ) ia 1   
n
p P
i i i
i 1
(a C ) N (P )

  p pi i i( a ).C N (P )  d'où 
p p
i iC N (P )  
 
Si L est la durée sous la charge moyenne Pm équivalente aux différents chargements Pi de 
durée Ni 
 
p
p p p
m i i
m
C
L L.(P ) C N (P )
P
 
     
 
 





 
p
1 1
1 1
1
N P
N . a
L C

 
  
 
 p p
1 1 1a .C N (P )  
 BD 2019-2020 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) charge d'intensité variable, de direction variable 
 
dans le cas où il n'y a pas proportionnalité entre Fr et Fa  
 
1/ p
L p
m
0
1
P (X Fr Y Fa) dN
L
 
  
 
 où Fr et fa sont des fonctions du nombres de cycles et 
tout à fait indépendantes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1/ p
p
i i
m
N (P )
P
 
  
 
 variation discontinue 
1/ p
L p
m
0
1
P P dN
L
 
  
 
 
variation continue. On peut faire le calcul sur une 
période pour une fonction P périodique 
 
m mini maxi
1 2
P P P
3 3
 
charge variant linéairement entre une 
valeur maxi et mini 
L 
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TRAIN PLANETAIRE 
 
 
1. Définition 
 
Un train planétaire encore appelé train épicycloïdal est un train d'engrenages possédant au 
moins une roue en rotation autour de son axe, cet axe tournant lui-même par rapport à l'axe 
central de la machine. 
Exemples de trains planétaires : 
Il existe deux familles d'architecture : 
axe 1 1X X et 2 2X X parallèles  train épicycloïdal PLAN figure 1 et 2 
axe 1 1X X et 2 2X X concourants  train planétaire SPHERIQUE figure 3 
 
 
1. Planétaire central (ou solaire) 
2. Satellite 
3. Planétaire couronne 
4. Porte-satellites 
 
 
 
 
 
 
 
Figure 1 
 
1X
 
Z2 
2X 
1X 
2X 
2Z
3Z
3Z
 
2X 
1X
 
1X
 
Z3 
Z1 
X2 
 1. Planétaire central Z1 
 
 2. Satellite double (roues Z2 et 2Z ) 
3
3. Planétaire couronne 3Z 
4
4. Porte-satellites 
 
 1. Planétaire central 
 
 2. Satellite 
3
3. Planétaire couronne 
4
4. Porte-satellites 
 
Figure 3:Train planétaire sphérique. 
4 
2 
3 
1 
4 
Figure 2 
 BD 2019-2020 
 
2. Etude cinématique 
On utilise la méthode d'étude de WILLIS : 
Le rapport de vitesse d'un train planétaire est égal au rapport du train simple associé après 
l'immobilisation du porte-satellite. 
Le rapport du train simple  est algébrique, il est appelé rapport basique (ou encore raison du 
train).Le signe de  est donné par la règle du (-1)n n étant le nombre de contacts extérieurs. 
(contact extérieur : pignon-roue, contact intérieur : pignon-couronne). 
Dans le cas d'un train sphérique le signe se traite directement sur le schéma cinématique. 
 
Exemple : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
On immobilise 4 
Train simple associé 1 – 2 – 2' – 3 
210 32
1 230
ZZ
( 1) . .
Z Z

 

. 2 3
1 2
Z Z
Z Z
  

 
 
 
 
 
 
C'est un mécanisme à deux degrés de liberté on peut l'utiliser de différentes façons : 
 
- une entrée, une sortie avec un élément bloqué - deux entrées, une sortie 
- une entrée, deux sorties 
 
Détermination des rapports possibles avec un élément bloqué: 
4 bloqué 
10
1
30
i

  

 
3 bloqué 
10
40
1

  

 
40
2
10
1
i
1

 
 
 
1 bloqué 
30
3
40
1 1
1 i
  
   
 
 
La valeur de  étant un paramètre de construction du train épicycloïdal on peut étudier la 
variation des trois rapports des trains planétaires (i) en fonction des valeurs de  possibles. 
est égal au rapport du train simple associé après l'immobilisation on peut étudier -satellite. 
On étudie i f ( )  . 
On trace les fonctions 1i   2
1
i
1


 3
1
i
 


 
 
 
2Z 2Z 
4 
3 
2 
1 
3Z 
Z1 
Relation de RAVIGNEAUX : 10 40(1 )     30 0  
 
 
Relation de WILLIS : 
10 40
30 40
 
 
 
 
 
Figure 4 
1.Planétaire central. 
 
2.Satellite double. 
 
3.Second planétaire central. 
 
4.Porte satellite 
 
 BD 2019-2020 
 
λ rapport du train de base(train simple équivalent) et i rapport du train planétaire 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Remarque : 
On constate que si deux vitesses sont égales la troisième l'est aussi, le mécanisme tourne 
alors d'un seul bloc. 
10 40 30(1 ) 0      si 10 30   
 
10 30 40( 1) 0       10 40(1 ) ( 1) 0      
 
solution 10 40   
 
 Pour une raison de base donnée le train peut fonctionner en inverseur, réducteur ou 
multiplicateur. Pour immobiliser un des éléments du train on peut utiliser des freins à disques 
commandés hydrauliquement ou par électro-aimants, des freins à bande ou à tambour. Ces 
mécanismes sont très utilisés dans les boites de vitesses automatiques. 
 
3. Etude dynamique 
 
3.1. Etude des moments exercés par l'extérieur. 
 
Le train épicycloïdal comporte un élément moteur, un récepteur, un organe de réaction fixe ou 
mobile. Le train est considéré en mouvement permanent, les frottements seront négligés, on 
considère le rendement égal à 1. 
Les vitesses et moments par rapport à l'axe sont algébriques, la puissance fournie (motrice) au 
système est considérée comme positive celle sortant négative (résistante). 
 
 
i 
λ 
 BD 2019-2020 
 
On considère le train planétaire ci-dessous : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Théorème du moment dynamique : 1 3 4C C C 0   
 
Conservation de l'énergie : 1 10 4 40 3 30C C C 0      
 
relation cinématique : 10 40 30(1 ) 0      
 
Il existe deux relations linéaires entre les trois moments, la connaissance d'un seul 
moment(couple) permet de déterminer les deux autres. 
1 40 4 40 3 40C C C 0         1 10 40 3 30 40C C 0     
 
 10 403 1
30 40
C C
 
 
 
 willis: 10 40
30 40
 
 
 
 on obtient: 3 1C C  
 
Si C1 est connu on obtient : 
34
1
CC
C
1
  
  
 
 
4. Etude technique et conséquences technologiques 
 
4.1. Etude des efforts 
 
L'étude se fait sur le train de la Figure 1, on considère les satellites équidistants, la 
couronne 3 bloquée. 
On utilise S satellites avec S = 3. 
On isole le planétaire 1 
 
2 /1 2 /1 2 /1 O
1
A A A F 0     
1 A A2/1 2 /1 2 /1A
C M M M 0     
 
 
Si on considère des roues cylindriques à denture droite 2 /1 A2/1 A2/1A Ft Fr  
 
2 /1A ''
2 /1A 
'
2 /1A 
0 /1F 
 
2Z 
2Z 
4 
3 
2 
1 
3Z 
1Z 
Nota: tous les termes des 
équations sont algébriques. 
 BD 2019-2020 
 
1
. .X 'X A A' A 1
2/1 2/1 2/1
1 1
d d d
Mt / 0 Ft Ft Ft . C 0
22 2
       
seule solution 2 /1 2 /1 2 /1A , A , A   doivent former un triangle équilatéral. 
 
2 /1 2 /1 2 /1A A A   
 
Ft A2/1 = 
1
1
2 C
3 d
 de manière générale Ft A2/1 = 
1
1
2 C
S d
 Fr A2/1 = Ft A2/1.tan . 
 
La solution sera technologique il faut monter le planétaire flottant en donnant des 
degrés de liberté dans une liaison. 
 
Remarque : il suffit de monter des éléments flottant pour égaliser les efforts sur la 
denture. Il est préférable de monter flottant l'organe fixe ou le plus lent. 
 
Isolement d'un satellite 2. 
 
2 /1 3/ 2 2 4 /1A B O 0   
2d 2
.02 A B 3/ 221/ 2
d
Mt / 0 Ft Ft . 0
2
    
 A1/ 2 B 3/ 2Ft Ft 
A B 3/ 2
1/ 22 4/ 2
0 2 Ft 2 Ft  
 
si on isole le porte-satellite 4. 
3. 2 4
d d1 2.2 / 4 2
0 C 0
 
 
 
 
1 2
4 2 2/4 2 2/4 12
d d
C 3.0 . 3.0 .a
2
 
  
 
 
4 A1/ 2 12C 6 Ft .a pour trois satellites 
De manière générale : 4C = S. 2 Ft A1/2. 12a 
 
 
Exemples de solutions techniques : 
 
 
-cannelures bombées simple - cannelures bombées doubles entre 
entre couronne – carter couronne et carter 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B 
A 
02 
3/ 2B 
1/ 2A 
4 / 2
20 
2 / 4
20 
2 / 4
20 
2/ 4
20 '' 
 
 
 BD 2019-2020 
 
- lame du ressort élastique entre - éléments élastiques entre couronne 
 couronne et carter et carter 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- cannelures bombées simple sur - cannelures bombées doubles sur 
 le planétaire central le planétaire central 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.2. Conditions de montage 
 
4.2.1. Condition d'entraxe : 
 
Cas de la figure 1: 
12 23a a si l'on n'effectue pas de correction de denture 0 012 23
a a 
 
3 21 2 (Z Z )(Z Z )m m
2 2

 3 1 2Z Z 2 Z  
 
cas de la figure2: 2 31 2
(Z Z )(Z Z )
m m*
2 2
 
 1 2 2 3m(Z Z ) m*(Z Z )   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 BD 2019-2020 
 
4.2.2. Condition d'encombrement 
 
La distance entre les centres de deux satellites adjacents doit être strictement 
supérieure au diamètre de tête d'un satellite. 
 
CD > da2 
12 1 2
CD
2 CD2sin
2S a d d

 

 
1 2
180 CD
sin
S d d



 
 
 
 
Cette condition permet d'obtenir le nombre maximum de satellites montables. 
4.2.3. Condition de calage angulaire 
Cas de la figure 1 
Les satellites étant monté à 
2
S

 pour que les satellites puissent 
s'enclencher entre 1 et 3 le parcours surligné doit correspondre 
à un nombre entier k de pas. 
 
 1 2 3 2
d 1 1 1
d d d k pas
3 2 3 2

       
 31 2
Zm Z
m Z m k m
3 3

      1 3 2Z Z 3(k Z )   
 avec 2Z entier 1 3Z Z 3 k  
 De manière générale 1 3Z Z S k  
 
 Calage d'un train avec satellites double: cas de la figure 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
entraxe : 12 43a a 
1 2
12
m(Z Z )
a
2

 4 3 43
(Z Z )
m* a
2

 
 
C 
D 
 
 
 
Ө 
 BD 2019-2020 
 
Calage angulaire on considère S satellites: 
- hypothèse : on bloque, on cherche une relation entre les nombres de dents de façon que les 
satellites se montent au même endroit. 
 
Tous les satellites 2 par rapport 3 à ont le même calage et sont identiques. 
 
Le porte-satellite doit tourner de 
1
S
 tour pour monter les S satellites, de cette façon le montage 
des S satellites se fait au même endroit. 
Ou encore 3
n
S
  tours n entier non multiple de S. 
 est libre: La rotation de 4 donne 4
4
c
(tours)
Z
  , 4 entier pour obtenir une position de 4 
analogue à la précédente. Cela correspond à une rotation d'un nombre de pas. 
 
Willis 40 30 3 1
4 210 30
Z Z
Z Z
 
 
 
 10 0  
40 3 1 4 2 3
4 2 4 230
Z Z Z Z Z Z
1
Z Z Z Z
 
  

 
 
4 2 3 14
3 4 2
Z Z Z Z
Z Z



 4 2 3 1
4 4 2
Z Z Z Zc n
Z s Z Z
 
  
 
 
4 2 3 1
4
Z Z Z Zn
c
S Z
 
  
 
 solution: n entier = Z2 
4 2 3 1Z Z Z Zc
S

 
 
application : Z1 = 27 Z2 = 115 Z3 = 19 Z4 = 90 
 
 module m  module m* 3 satellites 
 
calage : 1 angle dont a tourné le pignon. 
 3 angle correspondant dont a tourné le porte-satellite. 
 
1
1
e
Z
  3
n
S
  tours 10 30 4 2
3 140 30
Z Z
Z Z
 
 
 
 10 4 2
3 140
Z Z
1
Z Z

 

 
 
3 1 4 2
1 3 1
Z Z Z Ze n
Z S Z Z
 
  
 
 
3 1 4 2
3
Z Z Z Zn 19.27 115.90
e n
s Z 3.19
   
    
  
 
 
 
1
e 19.9 115.30
n
Z 19
 
  
 
3621
n. e
19
  e = 3621 n = 19 
 
1
1
e 3621
134 tours
Z 27
    + 3 pas pour le pignon 
 
3
n 19
6 tours
3 3
    + 
1
3
 tour pour le porte-satellite 
Les différents types de réducteurs épicycloïdaux imposeront une relation de même type en 
fonction de l'application de la relation de Willis. 
 BD 2019-2020 
 
5.Rendement des trains planétaires . 
 
Hypothèses : Liaisons parfaites ,on néglige les pertes par frottement et par barbotage 
Mouvements permanents, un des planétaires est considéré fixe. 
Raisonnement : Les vitesses relatives des différents organes les uns par rapport aux autres ne 
changent pas si l'on communique à l'ensemble une rotation 40( ) ayant pour l'effet 
d'immobiliser le porte-satellite.Si les couples sont conservés la perte de puissance dans le 
train épicycloïdal sera donc celle qui intervient dans le train simple ( porte-satellites fixe). 
Soit b le rendement de ce train ordinaire, appelé rendement de base. 
5.1.Application pour le train planétaire figure 1 avec planétaire moteur et porte satellite 
récepteur 
Soit  la vitesse angulaire du planétaire et C S le couple appliqué sur 
ce planétaire : 
- dans le train simple ordinaire les pertes sont b S 40P (1 ).C . | |    
- dans le train épicycloïdal le rendement vaut me
m
P P
P
P

 
avec m SP puissance motrice = C .  
40
e b
m
P
1 1 (1 ). |1 |
P

      

 
Dans un train de type I, 
40


 est toujours plus grand que 1. 
Si on désigne par i le rapport 
40
,


 (i > 1), on trouve e b
1
1 (1 )(1 )
i
     
 
5.1.Application pour le train 1 avec porte-satellite moteur et planétaire récepteur 
 
train simple : puissance réceptrice : S 40C | | puissance motrice: S 40
b
1
C | |

 
train épicycloïdal : puissance réceptriceSC . puissance motrice : 4 40 S
e
1
C . C . .  

. 
Les pertes dans le train ordinaire à porte-satellite fixe sont les mêmes que celles du train 
épicycloïdal. S 40 S
b e
1 1
C | | .( 1) C . .( 1)     
 
 
 
e
40
b
1
1
1 ( 1). |1 |
 

  
 
 
 
Si i = 
40


.Le rendement d'un train I avec porte-satellite moteur est :
b
e
b1
i

 

 
 
 
 BD 2019-2020 
 
TRAINS PLANETAIRES SPHERIQUES – APPLICATION AU DIFFERENTIEL 
 
1) Mécanisme sphérique 
 
 
Un solide 1 est en mouvement sphérique si son 
mouvement général se réduit à une rotation autour d'un 
point fixe 0. 
 
 
 
2) Relation cinématique 
On applique la méthode de Willis sans la règle du (-1)n, le signe du train simple sera 
déterminé par analyse sur le schéma. En imposant un sens de rotation à l'un des 
planétaires et en déterminant le sens de l'autre après l'immobilisation du porte-satellite. 
3) Description du différentiel (figure 1 et 3) 
C'est un train épicycloïdal sphérique composé de roues coniques. Les pignons coniques 1 
et 2 liés aux arbres des roues sont appelés planétaires, les roues dentées coniques 
satellites 3 sont montées folles sur leur axe lié au carter porte- satellite 4.La couronne est 
fixée sur le porte- satellite et engrène avec le pignon 5 appelé pignon d'attaque du 
différentiel. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
5 
2 
3 
4 
Z 
Y 
X 
1 
O 
Figure 1 Figure2 
 
Le pignon d'attaque 5 et la couronne 4 
définissent sur un véhicule le rapport de pont. 
Figure 3 
 BD 2019-2020 
 
4) Rôle du différentiel (figure 2) 
 
En virage, les roues d'un véhicule parcourent des trajets de longueur différente. Il en résulte 
des vitesses de rotation différentes au niveau des roues. En ligne droite, ce phénomène peut 
se produire si les roues présentent des inégalités d'usure, de gonflage ou de charge 
(diamètres de roues différents). 
 
5) Etude du différentiel 
5.1) Etude cinématique 
 
Le différentiel est entrainé par un couple de roues coniques(ou cylindriques) 5 et 4. Le 
pignon 5 est solidaire de l’arbre de transmission 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6 - Arbre de transmission 
 sortie boite de vitesse 
5 - Pignon d’attaque conique. 
 4- Roue conique fixée sur le 
porte satellite 
(4 boitier du différentiel) 
3- Satellite 
2- Planétaire roue droite 
1- Planétaire roue gauche 
 
 
On applique la relation de WILLIS comme pour le train épicycloïdal plan, mais la règle 
des contacts extérieurs (-1)n ne convient plus ici. 
Schéma du différentiel : 
 Relation cinématique du train planétaire : 
 
 avec 2 1Z Z 
 
 
 10 40 2
120 40
Z
1
Z
 
   
 
 
 
 10 20 402 0     
 
 
 
Figure 3 
 
3 
2 
3 
4
3 
5 
1 
roue gauche roue droite 
g
d
6 
3 
4 
2 
1 
4 
5 
Vers roue droite 
Vers 
 roue gauche 
10 20
40
2
 
  
 BD 2019-2020 
 
En ligne droite, avec des roues de diamètre identiques : 10 20 40     . 
En ligne droite, les satellites 3 ne tournent pas sur leur axe 3/ 4 0  , ils entraînent les 
planétaires en rotation en faisant tourner le différentiel en un seul bloc. 
En virage, on aura : 10 20 1     . 
 
5.2 Etude dynamique 
On isole le différentiel en supposant un rendement égal à 1 : 
1 10 2 20 4 40C C C 0      Relation cinématique 10 20 402 0     . 
 1 2 4C C C 0   On en déduit 
4
1 2
C
C C
2
    
Le différentiel répartit le couple également sur les deux roues. 
5.3 Inconvénient du différentiel. 
Si une roue motrice n'a plus de contact avec le sol ou que son adhérence diminue, neige 
sur le sol par exemple, le couple que va recevoir cette roue va diminuer et se réduire au 
couple nécessaire à faire tourner la roue à vide. Sur l'autre roue, le couple va également 
diminuer et ne différer du premier que par le frottement interne du différentiel. Le 
véhicule va s'immobiliser car le couple moteur sur les roues sera très faible par rapport au 
couple nécessaire pour vaincre la résistance à l'avancement. Au niveau du véhicule une 
roue tourne à vide et l'autre est arrêtée. 
D'après la relation 4 1 2
C
C C
2
    le véhicule ne peut se dégager, si 1C =0 par 
exemple. En virage, la roue à l'intérieur du virage est moins chargée que la roue à 
l'extérieur, on rencontrera le même problème de motricité la roue à l'intérieur ayant 
tendance à s'accélérer. 
Solutions pour remédier à ce problème de motricité : 
* le blocage du différentiel. 
* le différentiel autobloquant. 
* dispositif de contrôle de traction en créant un couple résistant sur la roue qui perd 
son adhérence en utilisant une action sur les freins. 
5.4. Le blocage du différentiel 
On verrouille le différentiel en crabotant directement la couronne porte-satellite sur 
l'arbre de roue. L'ensemble tourne alors à la même vitesse; c'es t le système fréquemment 
utilisé sur les véhicules tous-terrains. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.5. différentiel auto-bloquant 
 
 
Exemple: crabotage de différentiel 
 BD 2019-2020 
 
On interpose un dispositif de friction entre les planétaires et la cage de différentiel, le 
tarage initial étant réglé par ressorts ou rondelles Belleville, on peut également utiliser 
un dispositif viscocoupleur. 
 
On pourra obtenir le même effet avec des planétaires et satellites utilisant des roues 
dentées à mauvais rendement : exemple du différentiel TORSEN OU MERCIER. 
On évalue l'efficacité du différentiel auto-bloquant en fonction du pourcentage de 
couple que les deux arbres transmettent par frottement. 
 
Cette valeur est donnée par un coefficient S données en pourcentage 
 
couple roue droite - couple roue gauche
S% .100
couple moteur
 
Plus S est élevé plus l'autobloquant est efficace, S peut atteindre des valeurs de plus de 
80 % dans le cas de voitures de compétition. 
L'autobloquant transfère le couple de la roue la moins adhérente à la plus adhérente. 
 
Différentiel ZF : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 BD 2019-2020 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Il comprend quatre satellites montés fous sur des axes formant croisillon. 
 
Le porte-satellite est en deux parties, il comprend des logements en V recevant ces axes. 
 
L'ensemble est englobé, par le carter du différentiel sur lequel est montée la couronne. 
 
Entre les planétaires et le carter on trouve des disques multiples d'embrayages pré-
chargés : les disques intérieurs sont liés en rotation par cannelures aux planétaires. Les 
disques extérieurs sont liés en rotation par cannelures à la cage du différentie l. 
 
Sous l'action du couple les axes écartent les deux parties du porte-satellite et viennent 
comprimer les disques). Il s'en suit une augmentation du frottement interne. Une partie 
du couple de la roue possédant la moindre adhérence est transmis par l'intermédiaire de 
son embrayage à l'autre roue. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(1) Couronne du différentiel 
 
(2) Cage de différentiel 
 
(3) Encoches prismatiques sur bagues de 
pression pour écartement axial 
 
(4) Pignon satellite 
 
(5) Pignon conique de l'arbre conique 
 
(6) Axe du croisillon porte-satellites 
 
(7) Rondelle de butée 
 
(8) Disque intérieur, solidaire en rotation 
du pignon conique de l'arbreprimaire 
 
(9) Disque extérieur, solidaire en 
 rotation de la cage 
 
(10) Rondelles Belleville 
 
(11) Bagues de pression 
 
(12) Couvercle 
 
 
 
 
12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 BD 2019-2020 
 
- Différentiel TORSEN 
Le différentiel Torsen est constitué: 
 1 : Planétaire du train épicycloïdal lié à la roue gauche. 
 2 : Satellites: trois paires de satellites liés deux à deux par des pignons à denture droite et 
engrenages gauches avec les planétaires 
3 : Planétaire du train épicycloïdal lié à la roue droite. 
4 : Boîtier de différentiel avec couronne conique 
5. Pignon d'attaque 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En ligne droite: 
Couple venant du moteur; adhérence des roues identiques; route plane. 
Le pignon d’attaque entraîne la couronne.e boîtier de différentiel entraîne 
en rotation les satellites.( le planétaire peut entraîner en rotation le satellite, 
mais pas l’inverse). 
 La taille des dents sur le planétaire impose aux satellites de tourner 
dans le même sens. Par leurs liaisons supérieures des pignons denture droite 
 il est impossible que les satellites tourne dans le même sens. 
 De ce fait, le différentiel s’autobloque et il se comporte comme une liaison rigide. 
En virage à droite; 
Couple venant du moteur; adhérence des roues identiques; virage à droite. 
La roue droite ralentit et transmet au satellite son mouvement. L’engrenage 
tourne.La roue gauche accélère et entraîne son satellite dans le sens 
contraire de celui de la roue droite. 
La rotation inverse des vis et des satellites permet l’engrènement des 
engrenages et le différentiel Torsen se comporte comme un différentiel 
classique. Remarque: Une roue ne peut accélérer que de la valeur du 
 ralentissement de l’autre . 
 
Mauvaise adhérence: 
Couple venant du moteur; adhérence des roues différentes. La roue droite adhère 
correctement. 
Le satellite et l’engrenage de la roue droite est obligé de tourner du fait de l’adhérence, et 
impose la rotation du satellite gauche et de ce fait impose la rotation du planétaire gauche. 
Mais le satellite, ne pouvant faire tourner la vis , bloque le système différentiel et impose la 
rotation du boîtier. Les deux roues sont motrices malgré la mauvaise adhérence de la roue 
gauche. 
 
5 
 
 
 
 BD 2019-2020 
 
 Différentiel BORG-WARNER 
Des ressorts exercent un effort sur les planétaires 
et sur des plateaux coniques en contact avec le 
boitier du différentiel ce qui engendre une friction 
 en cas de différence de vitesse entre les roues 
gauche et droite ce qui génère un transfert de 
couple par friction. 
 
 
 
 
- Différentiel avec visco-coupleur 
 
On interpose, un visco-coupleur entre les planétaires ou entre un planétaire et le boîtier 
de différentiel. 
La différence de vitesse entre les planétaires provoque le cisaillement du fluide 
silicone entre les perforations des disques. Le silicone s'échauffe et se dilate ce qui 
entraîne un rapprochement des disques. 
Plus la différence de vitesse est importante plus le couple transmis par les forces de 
cisaillement du fluide augmente, une partie de couple passe ainsi de la roue la moins 
adhérente à la plus adhérente. 
Dans le cas d'une grande différence de vitesse, les disques sont plaqués, la pression 
interne augmente fortement. La différence de vitesse diminue ainsi que les forces de 
cisaillement ce qui entraîne une protection du visco-coupleur. 
 
Visco-coupleur entre planétaire Visco-coupleur entre planétaires. 
 et boîtier différentiel. 
 
 
 
 
Disques ajourés 
du viscocoupleur 
 
 
 
 
 
 
Les deux dispositions donnent les même avantages, la disposition entre planétaire et boîtier 
revient à diviser la vitesse relative par 2 par rapport à la disposition entre planétaires 
 
 
 BD 2019-2020 
 
Transmission d'un véhicule à quatre roues motrices. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lorsque la différence de vitesses entre les trains avant et arrière croit, due à la perte 
d’adhérence d’une ou des roues, le visco- coupleur reporte automatiquement une partie du 
couple sur le train le plus adhérent. 
La différence de vitesses des disques provoquent l’échauffement de l’huile de silicone et sa 
dilatation.Ce phénomène a pour conséquence: 
- d’augmenter la transmission des forces de cisaillement dans le fluide, et de fait, d’équilibrer 
les vitesses de rotation et transférer une partie du couple sur le train le plus adhérent. 
- Un rapprochement des disques amplifiant le mouvement précédent. 
Dans le cas d’une différence importante de vitesses entre les trains et de manière prolongée, 
l’huile de silicone se dilate de façon importante, augmentant la pression interne du 
visco coupleur) et plaque les disques entre eux. Le viscocoupleur est bloqué. 
Lorsque les disques sont accolés, les forces de cisaillement diminuent dans l’huile et sa 
température diminue.(auto- protection du viscocoupleur). 
Le visco coupleur permet de passer un couple important ( 90 % )sur les roues adhérentes. 
La page suivante montre une réalisation sur un véhicule de rallye. 
 
 BD 2019-2020 
 
 
Transmission de véhicule quatre roues motrices Peugeot 205 turbo 16 
 BD 2019-2020 
 
 
 
 
 
 
 
 Différentiel autobloquant de la 205 Turbo 16 
 BD 2019-2020 
 
MECANISMES A ROUES DE FRICTION 
APPLICATION AUX VARIATEURS DE VITESSE 
 
1. PROBLEME TECHNOLOGIQUE 
 
Cas général : on dispose de deux arbres d'axes 1 1x x et 2 2x x guidés en rotation. 
On désire transformer une rotation de vitesse 10 en 20 avec un rapport 
10
20
i



. 
 
Géométrie 
 
    1 1 2 2x ,x ,x x a,    
 constantes. 
 
 
 
Solutions technologiques : 
 
* engrenage : par obstacle, les appuis successifs des dents assurent la continuité 
* adhérence : roues de friction 
* chaîne et courroie : si l'entraxe est important, problème d'encombrement 
 
2. ETUDE CINEMATIQUE 
 
On recherche les surfaces utilisables pouvant assurer la transmission de 
puissance par friction en transformant la rotation par une autre. 
On désire une résistance suffisante qui implique un contact linéique et un 
glissement minimum. 
2.1. Etude des surfaces axoides : 
Ce sont les surfaces caractéristiques du mouvement relatif entre deux 
solides 1 et 2, ces surfaces roulant sans glisser l'une par rapport à l'autre. 
Ces solides seront animés par des rotations 10 et 20 . 
   1 1 2 2x ,x ,x x A,    constantes et 
10
20
i



. 
Analyse à un instant t : on considère le point coïncidant M appartenant à 
l'intersection de 1 et 2 lors du mouvement relatif de 1/ 2 
 
12
1/ 2 M
M 12
M
V
  
   
  
 
     1/ 2 1/ 0 2 / 0M M M     
12 10 20
M12 M10 M20V V V
    

 
. 
 
 
 
 BD 2019-2020 
 
Représentation spatiale du système géométrie descriptive 
 
 Etude de la vitesse relative angulaire 
Cinématique graphique : 
 
 1 2 constante     
 
1
2
cste
M considéré
cste
  

  
 
 12 direction fixe 
 1 2,  dans un plan // 1 1 2 2x ,x ,x x  . 
 
12 10 1 20 2cos cos       . M . 
10 2
20 1sin
i
sin
 
 
 
 
 1
1 1
sin sin
i cos
sin tan
   
   
 
 1
sin
tan
i cos

 
 
 
 
 Etude de la vitesse relative linéaire 
 
M12 M10 M20V V V  M12 10 1 20 2V 0 M 0 M     
1 10 M 0 H HK KM   2 20 M 0 H HK KM   
12 10 1 20 2
s'effectue dans un 
plan horizontal
VM 0 H 0 H     +  
12
10 20
// HK
0
HK


   +  10 20
porte par une verticale
KM   
 
 BD 2019-2020 
 
 
Recherche de M12V minimale 
 1/ 2 M
12
axe central du torseur

  12
12 12
V

  
 
  
 12 M12 12 M12// V V 0    
 
 N M 12V V MN   
 
 
 
 
Recherche de 12 12VM // 
12 horizontal 
12 KM 0    KM 0 M sur HK 
 M 10 1 20 2 1212V 0 H 0 H       
 
 Cinématique graphique 
* 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 1 1 20 2 2 M1/ 2R sin R .sin V      10 1 1 20 2 2R cos R cos     
1 2R R a  
2 10 1
1 20 2
R cos
R cos
 

 
 10 2
20 1
sin
sin
 

 
 2 2
1 1
R tan
cste
R tan

 

 
 
 Bilan 
12 unique 



 
Quand t varie : 
Lors du mouvement 10 12,  décrit une surface axoide S1 hyperboloide de révolution 
Lors du mouvement 20 12,  décrit une surface axoide S2 hyperboloide de révolution 
S1 et S2 sont tangentes et représentent des surfaces roulant sans glisser (axoides). 
  1 1R , 
  2 2R , 
 
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 Nature de S1 et S2 
 
 
 
 
 
 
 
 Cas particulier : 
 
* 0, 1 0  , 2 0  cylindre de révolution 
M12V 0 (adhérence) 
 
* a 0, 1 0  , , 2 0  cône de révolution 
M12V 0 (adhérence) 
 
2.2. Etudes des surfaces pseudo axoides. 
Ce type de surface pourra être utilisé. Ce sont des surfaces de révolution qui seront 
tangentes en un contact linéique. 
Les deux axes de rotation 1 1X' X , et 2 2X' X sont concourants en O, une ligne L 
dans le plan 1 1X' X , 2 2X' X engendre une surface de révolution 1S avec 1 1X' X 
et 2S avec 2 2X' X
 1S et 2S sont tangentes en L. 
En un point M de L : M12 10 1 20 2V H M H M     et  A 1 1 2 2X X ,X X  
 
L'axe central 12 du mouvement relatif ½ est hors des points M et L sauf en deux 
points. Les surfaces engendrées vont présenter un glissement lors de leur rotation. 
 
 
L' hyperboloïde est de fabrication difficile et de prix élevé. 
En construction on adopte des surfaces particulières de réalisation 
plus simple 
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Ces deux surfaces étant de révolution enveloppes l'une de l'autre en contact linéique 
seront utilisées en roue de friction. 
La réalisation pratique va conduire à l'emploi de courbes L simples; 
 
Cas particulier de surface : variable : réglage. 
 a, 0   
 
 
 C : droite ou cercle 
 
 
 
 
 Application au variateur 
 
 
 a 0, 0   axes concourants 
 Ligne L utilisée : cercle 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ligne L utilisée : droite 
 
contact linéaire réglage par translation 
 
 
 
Application au variateur 
réglage angulaire : variateur de vitesse 
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3. ETUDE DE CAS : exemple d'un multiplicateur 
 
Deux cylindres de révolution de diamètre D1, D2 et de largeur b. 
 
1 2D Da
2

 adhérence au contact : 
l'étude cinématique donne 
10 2
20 1
D
i
D

 

 multiplicateur 
 
 
 
 
 
 
3.1. Etude dynamique 
Mouvement permanent et uniforme 
isolement de l'élément moteur 2 : 
M12V  ?   1/ 2M1/ 2
M 1/ 2
M
R
?
G
  
  
  
 
1/ 21/ 2 MT // V même sens et même direction 
que le glissement entre les 2 
   . 
 
1/ 2G même sens que 1/ 2 . 
 
équilibre : 
 
12 20
2 2 12 1/ 2
R R 0
C 0 M R G 0
  

   
 
Simplification : 12 12T N . f 
1/ 2 12G N .  
 : Paramètre de résistance au roulement 
f : coefficient d'adhérence 
 
 
Moment par rapport à 2 20 X 
2
2
T.D
C N. 0
2
    
 
 
 
 
 
 
 
 
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Isolement de 1 : 
 
 
Moment par rapport à 1 10 X 
1T.DC N. 0
2
    
 
   2/1 1/ 2M M     
 
 
 
 
 
 
 
Bilan : transformation d'effort 
 
 
1 1
2 2
C TD 2N
C TD 2N
 

 
 
 
Puissance  rendement 1 101
2 2 20
CP
P C

 

 1 1
2 2
TD 2N D
TD 2N D
 
  
 
 
 
Remarque : f 0, 0 1      
 f 0, 0 1 0,9 0,95        . 
 
3.2. Résistance des matériaux 
 
L'étude est basée sur les formules de Hertz 
 
0 un écrasement se produit sur W.b. (b largeur du contact) 
 
 
 
 
 max 1 2 1 2 1 2P f b E E N      
. 
 
1 2 1 2 1 2w f ( b E E N)     
 
 
 m 1 2 1 2 1 2f b E E N      
 
1 2 1 2 1 2w f ( b E E N)     
 
 
 
 
 
 
 
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3.3. Cas de 2 cylindres à axe parallèles 
 
eq
max max
eq
N.E
p 0,59
b.
  

. 
eq 1 2
1 1 1 1
2
 
  
   
 suivant le contact 
t sT F N.f  sf : coefficient d'adhérence de sécurité 
eq 1 2
1 1 1 1
E 2 E E
 
  
 
 
eq2 t
max
s q
EF 1
0,35 . .
f b
 

 eqE module d'Young équivalent 
eq rayon de courbure équivalent 
2
max s
t
eq
.f
F .b. eq
0,35 E

 
 
  
 
 
 
 b : largeur du contact 
contrainte x surface 
Pour 0 adaptation par essai: La formule de Hertz est corrigée par des coefficients 
généraux car il y a déformation du diagramme théorique de pression. 
 
 
Adaptation de la relation de HERTZ: t eqF .b. [série de coefficients]  
 coefficient de service KA caractérisant la modulation de l'effort 0,4  KA  1. 
 
 coefficient de Fatigue KL. 
Courbes de Wöhler. 
 
N en coordonnée logarithmique 
 
 
KL = 
1/ 6
c
0
N
N

 
 
 
 NC : nombre de cycles de chargement pour une génératrice. 
N0 : 10
7 en pression de contact 
 
NC = Hh . 60 . N.q Hh : durée en heures q : nombre de contacts par tour 
 2 maxi  KL 0,5 mini KL = 
7 1/ 6
c(N .10 )
 
 
N : effort normal au contact 
statique 
statique 
dynamique
 
statique 
Ncycle 
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- coefficient de vitesse KV : ce coefficient est fonction de la rugosité au contact 
 
V
n
K
n v


 V : vitesse en 
m
s
 tangentielle au contact. 
6  n  20 on prend en général n = 10. 
 
- coefficient de sécurité: KS adaptation en fonction des matériaux 
 
KS = 0,5 à 1 suivant résultats d'essais. 
 
La relation devient: 
2
S
t eq m V L S A
q
max.f
F b .K .K .K .K K
0,35E

  t eq M V L S AF b .K .K .K .K .K  
 
3.4. Détermination des rayons de courbure équivalent. 
Cylindre extérieur contact convexe 
eq 1 2 1 2
1 1 1 1 1 2 2
2 2 d d
   
      
     
 1 2
2 1
N d
i
N d
  
2 1d i d eq 1
i
d [ ]
i 1
 

 
eq peut prendre la forme eq 1K .d  
 
 
 
Cylindre – cylindre intérieur: contact convexo -concave 
 
 
 
eq 1 2
1 1 1 1
2
 
  
   
 eq 1
i
d
i 1
 
   
 
 
Cas du cône (axoide): 
Théorème de Meusnier : 
Le centre de courbure d'une surface de révolution est obtenu par l'intersection entre 
le plan normal au contact et l'axe de rotation. 'i i i nC X X P  . 
 
 
 
Plan normal 
au contact