CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS

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CENTRO UNIVERSITÁRIO ESTÁCIO DO CEARÁ
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS PELO 
PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS
Pedro Sanderson
pedrosanderson88@gmail.com
Fortaleza
2019
Bibliografia
LEET, K. M., UANG, C., GILBERT, A. M. Fundamentos 
da Análise Estrutural. 3ª Ed., McGraw Hill, 2009.
MARTHA, L. F. Análise de Estruturas: Conceitos e 
Métodos Básicos. 2ª Ed. Elsevier, 2017.
SORIANO, H. L. Análise de Estruturas: Formulações 
Clássicas, 1ª Ed., Editora Livraria da Física, 2016.
SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural. Vol. II e 
III. Ed. Globo, 1977.
2
Bibliografia
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Bibliografia
4
Trabalho
• Trabalho é definido como o produto entre uma força e um
deslocamento na direção da força.
• Nos cálculos de deflexão nos preocuparemos com o
trabalho realizado por forças e por momentos.
• Se uma força F tem magnitude constante à medida que se
move δ do ponto A para B, seu trabalho W é dado por:
• O trabalho é positivo quando a força e o deslocamento
estão na mesma direção, negativo quando a força atua na
direção oposta ao deslocamento e nulo se a direção da
força e do deslocamento forem perpendiculares entre si.
5
FW 
Trabalho
• Se a magnitude e a direção de uma
força permanecem constantes à
medida que a força se move por um
deslocamento δ que não é colinear
com a linha de ação da força, o
trabalho total pode ser avaliado pela
soma do trabalho realizado por cada
componente da força movendo-se
pelas componentes do deslocamento
colinear correspondentes δx e δy.
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yyxx FFW  
Trabalho
• A expressão para o trabalho
realizado por um momento
pode ser deduzida somando-se
o trabalho realizado por cada
força F da figura, à medida que
ela se move em um arco
circular durante o deslocamento
angular θ. Portanto:
7
   FaalFFlW 
MW 
Trabalho
• Se a magnitude de uma
força varia durante um
deslocamento e se a
relação funcional entre a
força F e o deslocamento
colinear δ é conhecida, o
trabalho pode ser avaliado
por integração.
8



0
dFW 


0
dMWou
Trabalho
• Se uma força ou um momento varia linearmente com o
deslocamento, à medida que aumenta de zero até seu valor
final de F ou M, respectivamente, o trabalho pode ser
representado pela área triangular sob a curva de carga-
deflexão linear. Assim:
9


FFW
2
1d
0
 


MMW
2
1d
0
 
Trabalho
• Se a magnitude de uma força ou de um momento é
constante durante um deslocamento, o trabalho é plotado
como uma área retangular. Assim:
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

FFW  
0
d


MMW  
0
d
Energia de Deformação
• Quando um material é submetido a cargas externas, pelo
Princípio da Conservação da Energia, este tende a
absorver a energia deste carregamento na forma de
deformação.
• A energia absorvida é chamada energia de deformação U.
• Esta energia é provocada pela ação da tensão normal e/ou
da tensão de cisalhamento.
• Considera-se que as cargas são aplicadas lentamente, ou
seja, a intensidade das cargas é aumentada de zero ao seu
valor máximo de forma gradual.
11
Energia de Deformação
• Se o elemento de volume mostrado for
submetido à ação da tensão normal, a
força desenvolvida nas faces superior e
inferior serão:
12
yxdF dd
zd 
• Durante a aplicação da força, o elemento
irá deformar e sofrerá um alongamento δ,
dado por:
• Pelo Princípio da Conservação da Energia:

V
VU d
2
1 
Energia de Deformação
• Se o elemento de volume mostrado for submetido à ação da
tensão de cisalhamento, a força desenvolvida nas faces superior
e inferior serão:
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yxdF dd
zd d 
• Durante a aplicação da força, o elemento irá deformar e
distorcer de um ângulo γ, e o deslocamento da força dF é
dado por:
• Pelo Princípio da Conservação
da Energia:

V
VU d
2
1 
Energia de Deformação
• Podemos observar que a energia de deformação sempre será
um valor positivo, uma vez que a tensão e a deformação gerada
estarão sempre no mesmo sentido.
• Um elemento pode estar sujeito à tensões normais e de
cisalhamento simultaneamente, de modo que a energia de
deformação do corpo é a soma das expressões anteriores.
• Se o material obedece à Lei de Hooke, podemos reescrever as
expressões anteriores como:
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 
VV
V
G
V
E
U d
2
1d
2
1 22 
Energia de Deformação
• Usando as equações de deformação elástica desenvolvidas
anteriormente, formularemos agora a energia de
deformação em um elemento estrutural quando este é
submetido à:
• Carga Axial,
• Momento Fletor,
• Esforço Cortante e
• Momento de Torção.
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Energia de Deformação
• CARGA AXIAL:
• Considere uma barra de seção transversal variável, que
está sujeita a uma carga axial aplicada no seu centroide.
• No caso geral de treliças, a seção transversal é
constante, assim como o esforço normal. Deste modo:
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 
 xA
xN
L
V
N
EA
LNV
E
U   2
1
2
1d
2
1 22
Energia de Deformação
• MOMENTO FLETOR:
• Considere uma viga de seção prismática, que está
sujeita a um momento fletor M(x).
• Desenvolvendo a expressão da energia de deformação,
temos que:
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 
L
V EI
xMV
E
U
0
22 d
2
1d
2
1 
I
yM
Energia de Deformação
• ESFORÇO CORTANTE:
• Considere uma viga de seção prismática, que está
sujeita a um esforço cortante V(x).
• Desenvolvendo a expressão da energia de deformação:
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 
L
s
V GA
xVfV
G
U
0
22 d
2
1d
2
1 
tI
QV

A
s At
Q
I
Af d2
2
2
Energia de Deformação
• ESFORÇO CORTANTE:
• O fator de forma fs é um número adimensional
exclusivo para cada área de seção transversal.
• No caso de uma seção retangular:
195
6d2
2
2  
A
s At
Q
I
Af
12
3bhIbhAbt 



  2
2
42
'' yhbAyQ
Energia de Deformação
• MOMENTO DE TORÇÃO:
• Considere um eixo prismático de seção circular maciça
ou tubular, que está sujeita a uma torção T(x).
• Desenvolvendo a expressão da energia de deformação:
20
GJ
LTV
G
U
V
22
2
1d
2
1   
J
T  
Método do Trabalho Virtual
• Trabalho virtual é um procedimento para calcular uma
única componente da deflexão em qualquer ponto de
uma estrutura.
• O método é aplicável a muitos tipos de estruturas, desde
vigas simples a placas e cascas complexas. Além disso, o
método permite ao projetista incluir nos cálculos de
deflexão a influência de:
• Recalques de apoio,
• Mudança de temperatura e
• Erros de fabricação.
21
Método do Trabalho Virtual
• Considere a treliça de
barra única mostrada a
seguir.
• Deseja-se determinar o
deslocamento horizontal δP
no apoio em B.
• A barra, que transmite
apenas esforço normal,
tem uma área de seção
transversal A e um
módulo de elasticidade E.
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NP
RB
Método do Trabalho Virtual
• A figura mostra a força interna na barra NP, o alongamento
da barra ΔLP e o deslocamento horizontal δP do nó B,
produzidos pelo sistema P (carga Real). Como a barra
está sob tração, ela alonga por uma quantidade ΔLP, onde:
• Supondo que a carga horizontal no nó B é aplicada
lentamente e aumenta de zero até um valor final P,
podemos expressar o trabalho real WP realizado por:
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EA
LNL PP 
PP PW 2
1
Método do Trabalho Virtual
• Uma representação gráfica da deflexão do nó B em função
da carga aplicada P é mostrada a seguir:
• Conforme mostrado, a área triangular WP sob a curva
carga-deflexão representa o trabalho real realizado na
estrutura pela carga P.
24
Método do Trabalho Virtual
• Como resultado do trabalho real realizado por P, uma
energia de deformação UP de magnitude igual é
armazenadana barra AB. Podemos expressar essa energia
de deformação como:
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PPP LNU  2
1
• Uma representação gráfica da
energia de deformação armazenada
na barra, como uma função da força
normal NP e do seu alongamento
ΔLP, é mostrada ao lado.
N
NQ
QB
Método do Trabalho Virtual
• Em seguida, consideramos o trabalho realizado na energia
de deformação armazenada na barra pela aplicação, em
sequência, de uma carga fictícia Q, seguida da carga real
P.
26
• A figura mostra o
esforço normal NQ, o seu
alongamento ΔLQ e o
deslocamento horizontal
δQ do nó B, produzidos
pela carga fictícia Q.
Método do Trabalho Virtual
• Supondo que a carga fictícia é
aplicada lentamente e aumenta de
zero até seu valor final Q, podemos
expressar o trabalho real WQ realizado
pela carga fictícia como:
27
QQ QW 2
1
QQQ LNU  2
1
• A energia de deformação UQ,
armazenada na barra quando ela se
alonga, é igual a:
Q
Q
Método do Trabalho Virtual
• Com a carga fictícia em vigor, imaginamos agora que a carga
real P é aplicada.
28
• Como supomos que o
comportamento é
elástico, o princípio da
superposição exige que
as deformações finais,
esforços internos,
reações etc. sejam iguais
à soma daquelas
produzidas por Q e P
atuando separadamente.
Nt = NP + NQ
RB + QB
Método do Trabalho Virtual
• A figura ao lado mostra o
trabalho total Wt realizado
pelas forças Q e P quando o
ponto B se desloca
horizontalmente por uma
quantidade δt = δQ + δP.
29
Q
V
Método do Trabalho Virtual
• A figura ao lado mostra a
energia de deformação
total Ut armazenada na
estrutura pela ação das
forças Q e P.
30
Q
V
Método do Trabalho Virtual
• Observe que, pelo Princípio da Conservação da Energia,
WV = UV, que representam, respetivamente, o trabalho
virtual realizado pela carga fictícia e a energia de
deformação virtual absorvida no elemento pela carga
fictícia.
• Graficamente, observamos que:
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PV QW  PQV LNU 
PQP LNQ 
Método do Trabalho Virtual
• A equação geral do trabalho virtual para a análise de
treliças de várias barras é:
• Sabemos ainda que:
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  PQP LNQ
 EA
LNNQ PQPEA
LNL PP 
Método do Trabalho Virtual
• Geralmente, utiliza-se uma carga virtual Q unitária, mas os
mesmos deslocamentos são obtidos se adotando outros
valores.
• O sentido da força fictícia pode ser escolhida de forma
arbitrária.
• Um valor positivo de δP indica que o deslocamento ocorre
no mesmo sentido da carga virtual.
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 EA
LNN PP 11 
Exemplo 1
Determine o deslocamento horizontal e vertical no ponto B
da treliça de aço abaixo. Considere que cada barra tem 15
mm de diâmetro.
34
Exemplo 2
Determine o deslocamento vertical no ponto C da treliça de
aço abaixo. Considere que o diâmetro de cada barra é 15
mm2.
35
20 kN
600 mm
800 mm 800 mm
20 kN
600 mm
800 mm 800 mm
Exemplo 3
Determine o deslocamento horizontal no ponto C da treliça
de aço abaixo. Considere que o diâmetro de cada barra é 15
mm2.
36
Trabalho Virtual: Vigas
• Como sabemos, as deformações produzidas pelo esforço
cortante em vigas de proporções usuais são pequenas.
Assim, estas serão desprezadas. Consideraremos somente
as deformações produzidas por flexão.
• Se uma viga é alta (L/h ≤ 3) ou se a alma de uma viga é
fina ou construída de material com módulo de
cisalhamento baixo (madeira, p.ex.), as deformações de
cisalhamento podem ser significativas e devem ser
investigadas.
37
Trabalho Virtual: Vigas
• O procedimento para calcular uma componente da
deflexão de uma viga pelo trabalho virtual é semelhante ao
de uma treliça.
38
• Aplica-se uma carga fictícia
Q no ponto onde a deflexão
vai ser avaliada.
• Q = 1 kN, caso se deseje
obter uma translação; ou
• Q = 1 kN.m, caso se deseje
determinar uma rotação.
Trabalho Virtual: Vigas
• Quando a viga deflete, um trabalho virtual externo WV é
realizado pela carga fictícia Q, movendo-se por uma
distância igual ao deslocamento real δP na direção da carga
fictícia, de modo que:
• Uma energia de deformação virtual dUV é armazenada em
cada elemento infinitesimal à medida que o momento MQ
se move pelo ângulo dθ produzido pelo sistema P. Assim:
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PV QW 
dd QV MU 

L
QV MU d
Trabalho Virtual: Vigas
• Sabemos também que a relação momento-curvatura é dada
por:
• Da análise de pequenos deslocamentos e deformações,
temos:
• Combinando as expressões anteriores e substituindo o
resultado na expressão da energia de deformação, temos:
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EIM 
xx
v
xx
v
d
d
d
d
d
d
d
d
2
2  





L
PQ
V xEI
MM
U d
Trabalho Virtual: Vigas
• Portanto, pelo Princípio da Conservação da Energia, para
se calcular o deslocamento em um ponto de uma viga ou
pórtico, fazemos:
• De maneira análoga, para a determinação de uma rotação,
podemos fazer:
onde Q = 1 kN (translação) ou Q = 1 kN.m (rotação)
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
L
PQ
P xEI
MM
Q d

L
PQ
P xEI
MM
Q d
Exemplo 4
Calcule a deflexão δB e a inclinação θB na extremidade da
viga em balanço da figura. Considere w = 20 kN/m, L = 4
m, E = 200 GPa e I = 100×106 mm4.
42
Exemplo 5
Calcule a deflexão vertical δC no meio do vão para a viga
da figura. Considere LAB = LBC = 2 m, LCD = 4 m, E = 200
GPa e I = 80×106 mm4.
43
20 kN
Exemplo 6
Calcule a deflexão vertical no centro da viga abaixo.
Considere E = 200 GPa e I = 80×106 mm4.
44