GEOMETRIA ESPACIAL UERJ

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GEOMETRIA ESPACIAL UERJ 
PROF.MAICON MENEGUCI / 
CANAL : PRATICANDO 
MATEMÁTICA 
Questão 01 - (UERJ) 
A figura a seguir representa a trajetória curva 
do ponto P sobre a superfície lateral de um 
cone circular reto cujo raio da base mede 10 
cm e a geratriz, 60 cm. O ponto P inicia sua 
trajetória no ponto A, que pertence à 
circunferência da base, e dá uma volta 
completa em torno do cone, até retornar ao 
ponto A. 
 
 
 
Com a planificação da superfície lateral do 
cone, é possível calcular o menor 
comprimento da trajetória percorrida por P, 
que corresponde, em centímetros, a: 
 
a) 50 
b) 60 
c) 18  
d) 20  
 
Gab: B 
 
Questão 02 - (UERJ) 
Observe na imagem uma pirâmide de base 
quadrada, seccionada por dois planos 
paralelos à base, um contendo o ponto A e o 
outro o ponto B. Esses planos dividem cada 
aresta lateral em três partes iguais. 
 
Considere as seguintes medidas da pirâmide: 
 
• altura = 9 cm; 
• aresta da base = 6 cm; 
• volume total = 108 cm3. 
 
 
 
O volume da região compreendida entre os 
planos paralelos, em cm3, é: 
 
a) 26 
b) 24 
c) 28 
d) 30 
 
Gab: C 
 
Questão 03 - (UERJ) 
Barris de carvalho costumam ser usados para 
dar sabor a muitos tipos de vinho. Considere 
https://www.youtube.com/channel/UCw1x5GDOQsQ9yVrpTrKYxHg
https://www.youtube.com/channel/UCw1x5GDOQsQ9yVrpTrKYxHg
 
 
um desses barris, representado na ilustração 
abaixo. 
 
 
 
• diâmetro maior 
• diâmetro menor 
• distância 
• altura = h 
 
Um dos métodos usados para calcular o 
volume aproximado V desses barris, em 
litros, consiste em medir com uma vareta a 
distância interna x, em metros, do furo A, na 
metade da altura do barril, ao ponto C da 
base, situado no lado oposto. Em seguida, 
aplica-se fórmula V = 605 x3 litros. 
Admita um barril com as seguintes medidas: 
y = 0,7 m; z = 0,5 m; h = 1,6 m. 
Calcule o volume aproximado, em litros, de 
vinho que pode ser armazenado nesse barril. 
 
Gab: 
 
O trapézio isósceles ABCD possui como bases 
os diâmetros AB = 0,7 e CD = 0,5. 
O segmento AP corresponde à altura desse 
trapézio, que mede m. 
. Assim, 
. 
No triângulo retângulo ACP, tem-se: x2 = 
(0,6)2 + (0,8)2 x = 1 m. 
De acordo com o método apresentado, o 
volume do tonel V = 605 13 V = 605 L. 
 
Questão 04 - (UERJ) 
A imagem a seguir ilustra um prisma 
triangular regular. Sua aresta da base mede b 
e sua aresta lateral mede h. 
 
 
 
Esse prisma é seccionado por um plano BCP, 
de modo que o volume da pirâmide ABCP 
seja exatamente do volume total do 
prisma. 
 
Logo, a medida de é igual a: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
yAB=
zCD =
 x AC=

8,0
2
h
=
1,0
2
CDAB
DP =
−
=
6,01,05,0DPCDCP =+=+=

 
9
1
AP
9
h
3
h
3
h2
6
h5
 
 
Gab: B 
 
Questão 05 - (UERJ) 
A figura a seguir representa um objeto com a 
forma de um octaedro. Admita que suas 
arestas, feitas de arames fixados nos 
vértices, possuem os comprimentos 
indicados na tabela. 
 
 
 
 
 
Calcule o menor comprimento do arame, em 
centímetros, necessário para construir esse 
objeto. 
 
Gab: 
O menor comprimento necessário é a soma 
das medidas das arestas: 
AB + AD + AE + AF + … + DF 
Soma = 10.(3) + 11.(4) + 12.(5) = 134 cm 
 
Questão 06 - (UERJ) 
Um depósito de óleo tem a forma de um cone 
circular reto cujo eixo vertical forma com 
suas geratrizes o ângulo de 45º. Foram 
retirados desse depósito 19 m3 de óleo. Com 
isso, a altura do nível de óleo foi reduzida em 
1 m e passou a ter X metros de altura. 
 
 
 
Considerando , calcule a altura X do nível 
de óleo. 
 
Gab: 
 
Como o eixo AC faz com a geratriz BC um ângulo de 
45º, o triângulo ABC é isósceles. 
Então, , do mesmo modo 
. 
O volume do cone maior menos o volume do menor é 
igual a 19m3. Desse modo: 
 
(x + 1)3 – x3 = 19 x3 + 3x2 + 3x + 1 – 
x3 = 19 
3x2 + 3x – 18 = 0 (÷3) x2 + x – 6 = 0 
(x + 3) (x – 2) = 0 
Logo, as raízes são –3 e 2. 
Sendo assim, x = 2 m. 
 
Questão 07 - (UERJ) 
O esquema a seguir representa um prisma 
hexagonal regular de base ABCDEF, com 
3=
1xABAC +==
xDECD ==
19xx
3
1
)1x()1x(
3
1 22 =−++
3=  


 
 
todas as arestas congruentes, e uma 
pirâmide triangular regular de base ACE e 
vértice G. 
 
 
 
Sabe-se que os dois sólidos têm o mesmo 
volume e que a altura h da pirâmide mede 12 
cm. 
A medida da aresta do prisma, em 
centímetros, é igual a: 
 
a) 1,5 
b) 
c) 2 
d) 
 
Gab: C 
 
Questão 08 - (UERJ) 
Um cilindro circular reto possui diâmetro AB 
de 4 cm e altura AA’ de 10 cm. O plano , 
perpendicular à seção meridiana ABB’A’, que 
passa pelos pontos B e A’ das bases, divide o 
cilindro em duas partes, conforme ilustra a 
imagem. 
 
 
 
O volume da parte do cilindro compreendida 
entre o plano α e a base inferior, em cm3, é 
igual a: 
 
a) 8 
b) 12 
c) 16 
d) 20 
 
Gab: D 
 
Questão 09 - (UERJ) 
Dois cubos cujas arestas medem 2 cm são 
colados de modo a formar o paralelepípedo 
ABCDA’B’C’D’. Esse paralelepípedo é 
seccionado pelos planos ADEF e BCEF, que 
passam pelos pontos médios F e E das arestas 
A’B’ e C’D’, respectivamente. A parte desse 
paralelepípedo compreendida entre esses 
planos define o sólido ABCDEF, conforme 
indica a figura a seguir. 
 
3
32





 
 
 
 
O volume do sólido ABCDEF, em cm3, é igual 
a: 
 
a) 4 
b) 6 
c) 8 
d) 12 
 
Gab: C 
 
Questão 10 - (UERJ) 
Para construir uma caixa com a forma de um 
paralelepípedo retângulo, foi usado um 
quadrado de cartolina de 12 cm de lado. 
Nessa cartolina, recortou-se um dodecágono 
com quatro lados medindo x cm e oito lados 
medindo cm. A caixa tem altura y e sua 
base é um quadrado de lado x. Observe as 
ilustrações: 
 
 
 
 
Sabe-se que o gráfico a seguir representa 
uma função polinomial de variável real 
definida por , sendo a um 
número real positivo. Para x > 0, P(x) assume 
valor máximo em . 
 
 
Com base nessas informações, calcule o 
maior volume que essa caixa pode assumir. 
 
Gab: 
O lado do quadrado da cartolina, que mede 
12 cm, corresponde a: 
 






+ y
2
x
23 ax x P(x) +−=
3
a2
x1 =
12y
2
x
xy
2
x
=





+++





+
 
 
2x + 2y = 12 
y = 6 – x 
V = x2y 
V = x2(6 – x) 
V = –x3 + 6x2 
a = 6 
VMáx ocorre para x = 4 
VMáx = x2 (6 – x) = 42 (6 – 4) = 32 cm3 
 
Questão 11 - (UERJ) 
Dois dados, com doze faces pentagonais cada 
um, têm a forma de dodecaedros regulares. 
Se os dodecaedros estão justapostos por 
uma de suas faces, que coincidem 
perfeitamente, formam um poliedro 
côncavo, conforme ilustra a figura. 
 
 
 
Considere o número de vértices V, de faces F 
e de arestas A desse poliedro côncavo. 
A soma V + F + A é igual a: 
 
a) 102 
b) 106 
c) 110 
d) 112 
 
Gab: D 
 
Questão 12 - (UERJ) 
Um prisma triangular reto ABCDEF foi 
dividido em duas partes por um plano , de 
acordo com a imagem abaixo. Os angulos 
 e das bases do prisma são retos, e 
o plano contém os pontos A, B e G, sendo 
que G pertence à aresta CF e dista 4 cm de C. 
 
 
 
Calcule o volume, em cm3, do maior sólido 
definido pela separação estabelecida no 
prisma pelo plano . 
 
Gab: 
VFEDGBA = VABCDEF – VABCG 
 
 
Assim: 
VFEDGBA = 75 – 10 = 65 cm3 
 
Questão 13 - (UERJ) 
Um cubo de aresta EF medindo 8 dm contém 
água e está apoiado sobre um plano  de 

CÂB FD̂E


 
 
modo que apenas a aresta EF esteja contida 
nesse plano. A figura abaixo representa o 
cubo com a água. 
 
 
 
Considere que a superfície livre do líquido no 
interior do cubo seja um retângulo ABCD com 
área igual a . 
Determine o volume total, em dm3, de água 
contida nesse cubo. 
 
Gab: Volume = 128 dm3 
 
Questão 14 - (UERJ) 
Um funil, com a forma de cone circular reto, 
é utilizado na passagem de óleo para um 
recipiente com aforma de cilindro circular 
reto. O funil e o recipiente possuem a mesma 
capacidade. 
De acordo com o esquema, os eixos dos 
recipientes estão contidos no segmento TQ, 
perpendicular ao plano horizontal . 
 
 
 
Admita que o funil esteja completamente 
cheio do óleo a ser escoado para o recipiente 
cilíndrico vazio. Durante o escoamento, 
quando o nível do óleo estiver exatamente 
na metade da altura do funil, o nível do 
óleo no recipiente cilíndrico corresponderá 
ao ponto K na geratriz AB. 
A posição de K, nessa geratriz, é melhor 
representada por: 
 
a)
 
b)
 
c)
 
d)
 
 
Gab: A 
 
Questão 15 - (UERJ) 
Um recipiente com a forma de um cone 
circular reto de eixo vertical recebe água na 
razão constante de 1 cm3/s. A altura do cone 
mede 24 cm, e o raio de sua base mede 3 cm. 
Conforme ilustra a imagem, a altura h do 
nível da água no recipiente varia em função 
do tempo t em que a torneira fica aberta. A 
2dm 532
,
2
H
 
 
medida de h corresponde à distância entre o 
vértice do cone e a superfície livre do líquido. 
 
 
Admitindo  = 3, a equação que relaciona a 
altura h, em centímetros, e o tempo t, em 
segundos, é representada por: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
Gab: A 
 
Questão 16 - (UERJ) 
Uma esfera de centro A e raio igual a 3 dm é 
tangente ao plano  de uma mesa em um 
ponto T. Uma fonte de luz encontra-se em 
um ponto F de modo que F, A e T são 
colineares. Observe a ilustração: 
 
 
 
Considere o cone de vértice F cuja base é o 
círculo de centro T definido pela sombra da 
esfera projetada sobre a mesa. 
Se esse círculo tem área igual à da superfície 
esférica, então a distância em 
decímetros, corresponde a: 
 
a) 10 
b) 9 
c) 8 
d) 7 
 
Gab: C 
 
Questão 17 - (UERJ) 
Um quadrado ABCD de centro O está situado 
sobre um plano . Esse plano contém o 
segmento OV, perpendicular a BC, conforme 
ilustra a imagem: 
 
 
 
Admita a rotação de centro O do segmento 
OV em um plano perpendicular ao plano , 
como se observa nas imagens: 
 
3 t4h =
3 t2h =
t2h =
t4h =
,FT
 
 
 
 
Considere as seguintes informações: 
 
• o lado do quadrado ABCD e o segmento OV 
medem 1 metro; 
• a rotação do segmento OV é de x radianos, 
sendo 0 < x  ; 
• x corresponde ao ângulo formado pelo 
segmento OV e o plano ; 
• o volume da pirâmide ABCDV, em metros 
cúbicos, é igual a y. 
 
O gráfico que melhor representa o volume y 
da pirâmide, em m3, em função do ângulo x, 
em radianos, é: 
 
a)
 
b)
 
c)
 
d)
 
 
Gab: A 
 
Questão 18 - (UERJ) 
Um cristal com a forma de um prisma 
hexagonal regular, após ser cortado e polido, 
deu origem a um sólido de 12 faces 
triangulares congruentes. Os vértices desse 
poliedro são os centros das faces do prisma, 
conforme representado na figura. 
 
 
 
Calcule a razão entre os volumes do sólido e 
do prisma. 
 
Gab: 
 
Questão 19 - (UERJ) 
As figuras a seguir mostram dois pacotes de 
café em pó que têm a forma de 
paralelepípedos retângulos semelhantes. 
 
2

4
1
 
 
 
 
Se o volume do pacote maior é o dobro do 
volume do menor, a razão entre a medida da 
área total do maior pacote e a do menor é 
igual a: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
Gab: B 
 
Questão 20 - (UERJ) 
Para transportar areia, uma loja dispõe de 
um caminhão cuja caçamba tem 1 m de 
altura e a forma de um paralelepípedo 
retângulo de base quadrada. A maior 
distância entre dois pontos desse 
paralelepípedo é igual a 3 m. 
Determine a capacidade máxima, em metros 
cúbicos, dessa caçamba. 
 
Gab: Capacidade máxima = 4 m3 
 
 
3 3
3 4
6
8