Trabalho AVA 1 Matemática Financeira

Prévia do material em texto

PAMELA NATACHA DOMINGUES AGUILAR
Matemática Financeira:
Avaliação 1 - Trabalho da Disciplina 1
Rio de Janeiro – RJ
2019
APLICAÇÃO PRÁTICA DO REGIME DE JUROS COMPOSTOS
 A capitalização composta consiste na incorporação dos juros do período anterior ao capital, para efeito de cálculo dos juros do período seguinte. Os juros de cada intervalo de tempo são calculados a partir do saldo no início do correspondente intervalo, isto é, os juros de cada intervalo de tempo são incorporados ao capital inicial e passa a render juros também. Os juros são oriundos do seu capital, raciocina o seu detentor. E então, fazem parte do mesmo e como continua na mão do tomador do empréstimo, nada mais justo do que pagar juros também por eles. Em tese, o tomador do empréstimo inicial está postergando o pagamento dos juros periódicos e deve pagar juros por cada tempo que a quantia não foi paga.
 Objetivando associar a teoria à prática e fortalecer a capacidade de reflexão, trabalho em equipe e solução de problemas, segue proposta para elaboração do primeiro Trabalho da Disciplina (TD), no formato de Resolução de Situações Práticas envolvendo o Regime de Capitalização de Juros Composto, como um importante exercício de aprendizagem.
Situação problema:
 Sobre a aplicação de Juros Compostos, regime de capitalização mais utilizado no sistema financeiro, e conhecido como: “JUROS SOBRE JUROS”, vamos resolver as seguintes situações:
Situação 1:
 Uma pessoa aplicou um capital de R$ 50.000,00 durante 40 meses no regime de capitalização composto. Sabendo que nos 10 primeiros meses a taxa foi de 2% am, nos 15 meses seguintes foi de 1,5% a.m e nos últimos 15 meses foi de 2,5% a.m, qual o valor de resgate deste capital aplicado?
Dados primeira etapa: 
VF = ? / VP = 50.000 / i = 2% / n = 10 
VF = VP ∙ (1 + i)n
VF = 50.000 ∙ (1 + 0,02)10 
VF = 50.000 ∙ (1,02)10 
VF = 50.000 ∙ (1,21899442)
VF = 60.949,72 (esse será o valor presente da segunda etapa)
Dados segunda etapa:
VF = ? / VP = 60.949,72 / i = 1,5% / n = 15
VF = VP ∙ (1 + i)n
VF = 60.949,72 ∙ (1 + 0,015)15
VF = 60.949,72 ∙ (1,015)15
VF = 60.949,72 ∙ (1,25023206) 
VF = 76.201,30 (esse será o valor presente da terceira etapa)
Dados terceira etapa:
VF = ? / VP = 76.201,30 / i = 2,5% / n = 15
VF = VP ∙ (1 + i)n
VF = 76.201,30 ∙ (1 + 0,025)15 
VF = 76.201,30 ∙ (1,025)15 
VF = 76.201,30 ∙ (1,44829816)
VF = 110.362,20 
Valor de Resgate → 110.362,20
Situação 2:
 A Concessionária Vende Tudo S/A está oferecendo um automóvel por R$ 35.000,00 à vista, ou entrada de R$ 20% e mais uma parcela de R$ 31.000,00, no fim de 5 meses. Sabendo-se que outra opção seria aplicar esse capital à taxa de 3,5% no mercado financeiro, determinar a melhor opção para o interessado que possua os recursos disponíveis, comprá-lo pelo método do valor presente e pelo método do valor futuro.
Caso o interessado opte por financiar, teria que desembolsar os 20% de entrada, e portanto, o que sobraria para aplicar seria o valor a ser financiado, que está calculado abaixo:
Valor financiado = 35.000 - (20% de 35.000) = 35.000 - 7.000 = 28.000, então
VP = 28.000 (Valor financiado)
VF = 31.000 no final de 5 meses, ou seja, em n = 5
Qual a taxa i que a concessionária está cobrando, nesses 5 meses, em cima dos R$ 28.000 financiados?
i = ?
Usamos a fórmula da capitalização composta:
VF = VP ∙ (1 + i)n
31.000 = 28.000 ∙ (1 + i)n
 = (1 + i)n
1,1071 = (1 + i)5
 = (1 + i)
1,0205 = (1 + i)
i = 1,0205 - 1
i = 0,0205 = 2,05% a.m. é a taxa cobrada pela concessionária para financiar R$ 28.000 por 5 meses; como o mercado financeiro está oferecendo uma taxa de 3,5%, ou seja, mais alta que a da concessionária será melhor aplicar os R$ 28.000 por um período de 5 meses, pois os juros da aplicação vão superar os da concessionária, veja:
VF = VP ∙ (1 + i)n usando a taxa do mercado financeiro teremos:
VF = 28.000 ∙ (1 + 0,035)5
VF = 28.000 ∙ (1,035)5
VF = 28.000 ∙ (1,1876)
VF = 33.252,80 é o montante se os R$ 28.000 forem aplicados, ou seja, valor maior do que a concessionária cobraria após 5 meses, confirmando que a aplicação à taxa de 3,5% seria um melhor investimento, do que comprar o automóvel à vista.
Á vista: R$ 35.000 (o interessado tem o dinheiro e paga tudo, não sobra nada)
Financiado: 7.000 no ato + 31.000 em 5 meses (mas deixando aplicado os R$ 28.000 que sobram após dar a entrada, em 5 meses o interessado teria R$ 33.252,80 e com isso uma sobra de R$ 2.252,80 em relação ao que teria que pagar em 5 meses, que são os R$ 31.000 cobrados pela concessionária)
Situação 3:
 Um investidor resgatou a importância de R$ 255.000,00 nos bancos Alfa e Beta. Sabe-se que resgatou 38,55% do Banco Alfa e o restante no banco Beta, com as taxas mensais de 8% e 6%, respectivamente. O prazo de ambas as aplicações foi de 1 mês. Quais foram os valores aplicados nos Bancos Alfa e Beta?
VF Total = 255.000 Resgate ou Montante
VF do banco Alfa = 38,55% de 255.000 = 98.302,50
VF do banco Beta = 61,45% de 255.000 = 156.697,50
Taxa de Alfa: i = 8% a.m.
Taxa de Beta: i = 6% a.m.
Aplicação no Banco Alfa:
VF = VP ∙ (1 + i)n
98.302,50 = VP ∙ (1 + 0,08)1
98.302,50 = VP ∙ 1,08
VP = = R$ 91.020,83
Aplicação no Banco Beta:
VF = VP ∙ (1 + i)n
156.697,50 = VP ∙ (1 + 0,06)1
156.697,50 = VP ∙ 1,06
VP = = R$ 147.827,83
Situação 4:
 Quantos dias serão necessários para que um investidor consiga triplicar uma aplicação financeira de 6% ao ano, pelo regime de juros compostos? E quantos meses seriam necessários para duplicar um capital investido a uma taxa de juros compostos de 3,5% ao semestre?
Quantos dias serão necessários para que um investidor consiga triplicar uma aplicação financeira à taxa de 6% ao ano, pelo regime de juros compostos?
VF = 3 ∙ VP
3VP = VP ∙ (1+ i)n 
 = (1+ i)n → 3 = (1 + i)n aplicando logaritmo dos dois lados da igualdade, temos:
log 3 = log(1 + 0,06)n 
log 3 = 0,47712
0,47712 = n ∙ log(1,06)
0,47712 = n ∙ 0,02530
n = = 18,85 anos, em dias 18,85 * 360 = 6.786 dias
Quantos meses seriam necessários para duplicar um capital investido a uma taxa de juros compostos de 3,5% ao semestre?
VF = 2 ∙ VP
2VP = VP ∙ (1 + i)n 
 = (1 + i)n → 2 = (1 + i)n aplicando logaritmo dos dois lados da igualdade, temos:
log 2 = log(1 + 0,035)n 
log 2 = 0,3010
0,3010 = n ∙ log(1,035)
0,3010 = n ∙ 0,0149
n = = 20 semestres, em meses 20 * 6 = 120 meses
Situação 5:
 Um investidor aplicou R$100.000,00 em um CDB prefixado e resgatou R$110.000,00 após 63 dias úteis. Determine a taxa anual de juros desta aplicação, de acordo com o regime composto de capitalização.
n = 63 dias úteis
1 ano = 252 dias úteis
Logo:
n = = 0,25 de ano
VF = VP ∙ (1 + i)n
110.000 = 100.000 ∙ (1 + i)0,25
 = (1 + i)0,25
1,1 = (1 + i)0,25 
 = 1 + i
1,4641 = 1 + i
i = 1,4641 - 1
i = 0,4641 = 46,41% a.a.