INTEGRAL IMPRÓPRIA

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INTEGRAL IMPRÓPRIA 
 
 Definição: 
1)Se f(x) é uma função contínua para t ≥ a, 
 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
𝑎
= lim
𝑡→∞
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑡
𝑎
 
2)Se f(x) é uma função contínua para t ≤ a, 
 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
−∞
= lim
𝑡→−∞
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
𝑡
 
3) Se (1) e (2) são convergentes, então definimos, 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
−∞
= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
−∞
+ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
𝑎
 
 Se o limite que define a integral imprópria é um número finito, dizemos que a 
integral converge, caso contrário, dizemos que a integral diverge. 
Exemplo: 
1) Considere a região infinita S que está sob a curva 𝑦 =
1
𝑥2
 , acima do eixo x e à 
direita da reta x = 1. A área da parte de S que está à esquerda da reta x = t é 
 
𝐴(𝑡) = ∫
1
𝑥2
𝑑𝑥
𝑡
𝑎
 
 
 𝐴(𝑡) = −
1
𝑥
]
1
𝑡
 
 
𝐴(𝑡) = −
1
𝑡
− (−
1
1
) 
 
𝐴(𝑡) = −
1
𝑡
+ 1 ou 
𝐴(𝑡) = 1 −
1
𝑡
 
2 
 
Observe que A(t) < 1 independentemente de quão grande t seja escolhido 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Também observamos que 
 
lim
𝑡→∞
𝐴(𝑡) = lim
𝑡→∞
(1 −
1
𝑡
) = 1 
 
 A área da região tracejada se aproxima de 1 quando 𝑡 → ∞, assim, dizemos 
que a área da região S é igual a 1, e escrevemos 
 
∫
1
𝑥2
𝑑𝑥 =
∞
1
lim
𝑡→∞
∫
1
𝑥2
𝑑𝑥 = 1
𝑡
1
 
 
2) Determine se a integral ∫
1
𝑥
𝑑𝑥
∞
1
 é convergente ou divergente. 
∫
1
𝑥
𝑑𝑥 =
∞
1
lim
𝑡→∞
∫
1
𝑥
𝑑𝑥
𝑡
1
 
 = lim
𝑡→∞
ln | 𝑥|]
1
𝑡
 
 = lim
𝑡→∞
[ln|𝑡| − ln |1|] 
 = [∞ − 0] 
 = ∞ 
 
 O limite não existe como um número finito e, assim a integral imprópria 
∫
1
𝑥
𝑑𝑥
∞
1
 é divergente. 
x 
y 
1 t 
3 
 
3) Calcule ∫
1
1+𝑥2
𝑑𝑥
∞
−∞
 
∫
1
1 + 𝑥2
𝑑𝑥
∞
−∞
= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
−∞
+ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
𝑎
 
 
Considerando a = 0 
a) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
0
−∞
= lim
𝑡→−∞
∫
1
1+𝑥2
𝑑𝑥
0
𝑡
 
 = lim
𝑡→−∞
𝑡𝑔−1𝑥]
𝑡
0
 
 = lim
𝑡→−∞
[ 𝑡𝑔−10 − 𝑡𝑔−1𝑡] 
 = 0 − (−
𝜋
2
) 
 =
𝜋
2
 
b) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
∞
0
= lim
𝑡→∞
∫
1
1+𝑥2
𝑑𝑥
𝑡
0
 
 = lim
𝑡→∞
𝑡𝑔−1𝑥]
0
𝑡
 
 = lim
𝑡→∞
[ 𝑡𝑔−1𝑡 − 𝑡𝑔−10] 
 = [
𝜋
2
− 0] 
 =
𝜋
2
 
 
c) ∫
1
1+𝑥2
𝑑𝑥
∞
−∞
=
𝜋
2
+
𝜋
2
= 
2𝜋
2
= 𝜋 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
 x 
4 
 
Exercícios 
 
1) Calcule as integrais impróprias: 
a) ∫ 5𝑒−2𝑥𝑑𝑥
∞
0
 
b) ∫
𝑥2
𝑥3+2
𝑑𝑥
∞
1
 
c) ∫
𝑥2
√𝑥3+2
𝑑𝑥
∞
1
 
d) ∫
1
(𝑥−2)
3
2
𝑑𝑥
∞
3
 
e) ∫
𝑥2
(𝑥3+2)2
𝑑𝑥
∞
1
 
f) ∫
1
(2𝑥−1)2
𝑑𝑥
∞
1
 
g) ∫
1
(3−4𝑥)
𝑑𝑥
0
−∞
 
 
2) Um milionário deseja fazer uma doação a uma universidade particular de modo 
que a universidade possa usar R$7000,00 por ano para manutenção dos seus 
computadores. Supondo que a taxa de juros permaneça constante em 10% ao 
ano capitalizados continuamente, qual deverá ser a doação? (10%=0,1) 
 C(t) = ∫ 𝑗(𝑡)𝑒−𝑖𝑡𝑑𝑡
∞
𝑎
 
 C(t) – capital; j(t) – juros; i – taxa; t - tempo 
 
3) Um investimento é capaz de gerar R$ 2400,00 ao ano por um prazo 
indeterminado. Se o dinheiro é aplicado continuamente e a taxa de juros 
permanecer fixa em 12% ao ano capitalizados continuamente, qual é o valor 
atual do investimento? 
 
 
 
 
 
 
5 
 
TABELAS 
 
LIMITES 
 
 1)lim
 𝑥→∞
ln|𝑥| = ∞ 
 2)lim
 𝑥→−∞
𝑡𝑔−1𝑥 = −
𝜋
2
 
 3)lim
 𝑥→∞
𝑡𝑔−1𝑥 = +
𝜋
2
 
4)lim
 𝑥→∞
𝑒𝑘𝑥 = ∞ 
 5) lim
 𝑥→∞
√𝑥 = ∞ 
6) lim
 𝑥→∞
1
𝑥
= 0 
7) lim
 𝑥→0
1
𝑥
= ∞ 
8) lim
 𝑥→∞
1
√𝑥
= 0 
9) lim
 𝑥→∞
𝑥𝑛 = ∞ 
 
INTEGRAIS 
 
1) ∫
1
1 + 𝑥2
 𝑑𝑥 = 𝑡𝑔−1𝑥 + 𝑐 
 
2) ∫
1
𝑥
 𝑑𝑥 = ln|𝑥| + 𝑐 
 
3) ∫ 𝑒𝑘𝑥 𝑑𝑥 =
1
𝑘
𝑒𝑘𝑥 + 𝑐