15479_REVISÃO potenciação

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MATEMÁTICA BASICA- REVISÃO 
POTENCIAÇÃO 
a) Expoente positivo ( n > 0 ) 
an = a . a . a . ... . a, se n e n > 1 
an = a, se n = 1 
an = 1, se n = 0 
b) Expoente negativo ( n < 0 ) 
 
c) Propriedades: 
Potência com expoente inteiro e base não nula: 
 am . an = am + n 
 am : an = am - n , se m > n 
ou = , se n > m (a .b) n = an . bn 
 
 ( am ) n = am.n 
Exercícios: 
1) Calcule o valor das potências: 
a) 35 = 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 243 b) (-3)5 = 
c) 04 = d) (-3)4 = 
e) -33 = f ) 26 = 
g) h) 
2 
 
 
2) Calcule o valor das potências: 
a) b) (-3)-1 
c) 5-2 = d) (-3)-2 
 
 
e) f) 4-3 = 
 
3) Reduza a uma única potência e calcule o seu valor: 
a) 102 . 10-4 = 
b) 23 . 26 = 
c) 38 . 3-5 = 
d) 34 : 3 = 
e) 28 : 24 = 
f ) 26 : 29 = 
g) (1
5
)
2
: (1
5
)
4
= 
h ) (1
5
)
3
: 24 = 
i ) (1
2
)
6
.64= 
 
Assim como podemos expressar e resolver de forma mais simples, umas somas de várias parcelas iguais recorrendo à 
multiplicação, da mesma forma podem recorrer à exponenciação para obtermos o produto de vários fatores iguais. 
A potenciação ou exponenciação é a operação de elevar um número ou expressão a uma dada potência. Para entendermos o 
significado disto, observe a figura em vermelho à direita: 
Note que temos o número dois ( 2 ) com o número três ( 3 ) sobrescrito à sua direita ( 23 ). Dizemos que o número 2 está elevado à 
terceira potência, ou ainda que 23 é a terceira potência de 2. 
Nesta potência o número 2 é a sua base e ao número 3 damos o nome de expoente. 
Esta potência representa a multiplicação de três fatores iguais a dois, então 23 é igual a 2 . 2 . 2 que é igual a 8. 
Potências com expoente 2 ou 3 possuem uma outra forma particular de leitura. A potência 23 também pode ser lida como dois ao 
cubo, assim como a potência 32 pode ser lida como três ao quadrado. 
Potências de Base Real com Expoente Inteiro 
Nestas condições há quatro situações em particular que iremos tratar. A saber, quando o expoente é maior que 
um, quando é igual a um, quando é igual a zero e quando é negativo. 
Expoente Maior que 1 
De forma geral: 
, isto é, a multiplicação de n fatores iguais a a. 
3 
 
Este é o caso de mais fácil compreensão, pois o conceito da exponenciação está bem claro. Observe a expressão abaixo: 
 
54, que se lê 5 elevado a 4, ou 5 elevado à quarta potência é igual ao produto de quatro fatores todos eles iguais a cinco. Ao 
multiplicarmos 5 vezes 5 vezes 5 vezes 5 iremos obter 625 que é o resultado da exponenciação. O número de fatores iguais a 5 é 
justamente o numeral do expoente. 
Apesar de estarmos trabalhando com expoentes inteiros, as bases podem ser decimais: 
 
Assim como também podem ser fracionárias: 
 
Expoente Igual a 1 
Todo número elevado a 1 é igual ao próprio número: 
Expoente Igual a 0 
Todo número, diferente de zero, elevado a 0 é igual a 1: 
00 é indeterminado, embora em algumas situações convenciona-se que seja igual a 1. Para qualquer outro expoente real n, temos 
que 0n = 0. 
Mais à frente teremos outras informações que nos levarão a concluir que 00 = 0/0 e como não existe divisão por zero no conjunto dos 
números reais, trata-se então de uma indeterminação. 
Expoente Negativo 
Qualquer número diferente de zero elevado a um expoente negativo é igual ao inverso deste número elevado ao oposto do expoente: 
Vejamos agora a explicação onde se baseiam estes três últimos conceitos explicados acima. 
Propriedades das Potências de Base Real com Expoente Inteiro 
Multiplicação de Potências de Mesma Base 
A multiplicação de potências de mesma base é igual a esta base elevada à soma dos expoentes. 
Vamos analisar o desenvolvimento da expressão a elevado à quinta potência vezes a elevado ao quadrado para confirmarmos 
esta afirmação: 
 
Primeiramente vamos substituir as potências por suas respectivas multiplicações: 
 
Repare que a expressão foi substituída pela multiplicação de 7 fatores iguais a a. 
Pelo conceito da exponenciação podemos então escrever a seguinte potência: 
 
4 
 
De onde concluímos que: 
 
Generalizando: 
 
Divisão de Potências de Mesma Base 
A divisão de potências de mesma base, diferente de zero, é igual a esta base elevada à diferença dos expoentes. 
Vamos utilizar as mesmas potências analisadas na propriedade anterior, mas agora fazendo a análise em relação à divisão: 
 
Substituindo as potências por suas respectivas multiplicações: 
 
Utilizamos uma fração ao invés do operador , apenas para visualizarmos mais facilmente o próximo passo, que será a 
simplificação de dois fatores do numerador com dois fatores do denominador: 
Do estudado até agora sabemos que: 
 
Então chegamos a conclusão de que: 
 
Novamente generalizando temos: 
 
Note que a base a deve ser diferente de 0, pois como sabemos não existe quociente real para a divisão por zero neste conjunto 
numérico. 
Entendendo porque a0 = 1 
Para a ≠ 0 sabemos que: 
 
Então se tivermos m = n temos que: 
 
Sabemos que: 
 
Já todo número, diferente de zero, dividido por ele mesmo é igual a 1 e que todo número menos ele mesmo é igual a zero. 
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Logo concluímos que: 
 
É por isto que todo número, diferente de zero, elevado a 0 é igual a 1: 
Entendendo porque a1 = a 
Para a ≠ 0 sabemos que: 
 
Logo se tivermos m = n + 1 temos que: 
 
Como: 
 
Então: 
 
Logo: 
 
Agora vamos transformar as potências do primeiro membro em multiplicações do fator a: 
Repare que o numerador da fração no primeiro membro possui um fator a a mais que o denominador, pois o expoente da potência 
do numerador tem uma unidade a mais que o expoente da potência do denominador. Simplificando a fração temos: 
 
Ou ainda: 
 
Uma outra forma de entendermos porque a1 = a é que pela própria definição de potência, o expoente indica o número de fatores e 
como o expoente é igual a 1, obviamente este fator será o próprio número. 
Entendendo porque a-n = 1/an 
Como já vimos para a ≠ 0 temos que: 
 
Se tivermos m = 0: 
 
Como a0 = 1, temos: 
 
Ou: 
6 
 
 
Potência de um Produto 
A potência do produto de dois ou mais fatores é igual ao produto de cada um destes fatores elevados ao expoente em questão: 
 
Vamos tomar como exemplo o produto de três fatores distintos elevados ao cubo: 
 
Não custa nada fazermos uma verificação só para conferir: 
Potência de um Quociente 
Podemos proceder de forma análoga ao que fizemos no caso da multiplicação, mas neste caso os divisores não podem ser iguais a 
zero: 
 
Exemplo: 
 
Vamos verificar: 
Potência de um Expoente Fracionário 
Podemos transformar uma potência com expoente fracionário em um radical: 
 
Exemplo: 
 
Potência de uma Raiz 
Ao elevarmos um radical a uma dada potência, estaremos obtendo o mesmo resultado que obteríamos se elevássemos apenas o 
seu radicando a esta mesma potência: 
 
Exemplo: 
 
Potência de uma Potência 
Novamente para uma base diferente de zero podemos expressar a seguinte igualdade: 
 
http://www.matematicadidatica.com.br/Radiciacao.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/Radiciacao.aspx
7 
 
 
Vamos como de costume recorrer a um exemplo: 
 
E agora vamos verificar a veracidade desta propriedade: 
 
Você sabe por que 2 + 3 . 5 é igual a 17 e não igual a 30? 
Simplesmente porque o operador da multiplicação tem precedência sobre o operador da adição. Você deve primeiro realizar a 
multiplicação e depois a adição. Agora veja a expressão abaixo: 
 
Qual é a razão desta desigualdade? 
No caso de devemos calcular primeiro por causa da precedência dos parênteses, o que está entre parênteses deve ser 
calculado primeiro. Já no caso de devemos calcular primeiro, pois neste caso a precedência é calcularmos do expoente 
mais externo para o maisinterno. 
Usemos como exemplo a expressão para verificarmos a desigualdade: 
No primeiro membro iremos resolver primeiro 43 que é igual a 64, já no segundo membro vamos resolver primeiro 32 que é igual a 9: 
 
Finalmente vamos elevar 64 ao quadrado e 4 à nona potência: 
 
Alternativamente também podemos realizar as seguintes operações, multiplicando os expoentes da potência do primeiro membro: 
 
 
POTENCIA DE DEZ OU NOTAÇÃO CIENTIFICA 
 
Mas existe um jeito muito mais fácil, é só utilizar a notação científica. A notação científica consiste em representar 
os números seguidos de uma potência de dez. 
 
A potência de dez é utilizada para abreviar múltiplos (ou submúltiplos) de dez. Assim: 
 
100 = 10 x 10; 
1000 = 10 x 10 x 10; 
100000 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10. 
 
Para escrevermos estes números de uma maneira abreviada, basta indicar o número de dezenas envolvidas na 
multiplicação com um pequeno número (expoente) no alto da potencia de 10. 
 
8 
 
Logo, se 100 = 10 x 10, podemos dizer que 100 = 102. Da mesma maneira 1000 = 103, e 100000 = 105. 
 
Nestes exemplos o expoente é igual ao número de zeros. 
 
Para os submúltiplos de dez, também utilizamos o sistema exponencial. Assim: 
 
0,01 = 1/10 x 1/10 ; 
0,001 = 1/10 x 1/10 x 1/10 
0,00001 = 1/10 x 1/10 x 1/10 x 1/10 x 1/10 
 
Neste caso, para abreviar esses números indicamos o número de casas decimais com expoente negativo no alto da 
potencia de 10. 
 
Assim, se 0,01 = 1/10 x 1/10, podemos dizer que 0,01 = 10-2 . Da mesma maneira, 0,001 = 10-3 e 0,00001 = 10-5. 
 
Para escrever um número em notação científica devemos obedecer ao seguinte formato: A x 10B onde A deve ser um 
número que esteja entre 1 e 9 , ou seja, deve ser maior ou igual a 1 e menor que 10 e B o número de zeros (ou casas 
decimais se o expoente for negativo) do número. 
 
Vamos ver alguns exemplos: 
 
40 é igual a 4 vezes 101, então em notação científica representa-se 40 = 4 x 101. 
 
15000 é igual a 15 vezes 1000, ou 1,5 vezes 10000. Como 10000 que é igual 104, então em notação científica 
representa-se 15000 = 1,5 x 104. 
 
0,2 corresponde a 2 dividido por 10, ou 2 multiplicado por 0,1 que corresponde a 1/10. Como 1/10 pode ser 
representado por 10-1, então em notação científica representa-se 0,2 = 2 x 10-1. 
 
Notamos então que fica muito mais fácil de representar números muito grandes ou muito pequenos utilizando a 
notação científica e a potencia de dez. 
 
Abaixo temos mais alguns números expressos em notação científica: 
 
1 000 000 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 106 mega 
100 000 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 105 
10 000 = 10 x 10 x 10 x 10 = 104 
1 000 = 10 x 10 x 10 = 103 quilo 
100 = 10 x 10 = 102 
10 = 10 = 101 
1 = 1 = 100 
0,1 = 1/10 = 10-1 
0,01 = 1/100 = 10-2 centi 
0,001 = 1/1000 = 10-3 mili 
0,0001 = 1/10 000 = 10-4 
0,00001 = 1/100 000 = 10-5 
0,000001 = 1/1 000 000 = 10-6 micro 
 
 
Como foi dito no início, podemos ter qualquer tipo de base para uma potência. Em certos casos é muito utilizado a 
escrita na forma de "BASE DEZ". Que é o que iremos estudar neste tópico. 
Vamos começar mostrando uma propriedade SUPER básica de uma multiplicação de um número qualquer por 10. 
5 x 10 = 50 
52 x 10 = 520 
458 x 10 = 4580 
30 x 10 = 300 
9 
 
Note que sempre que multiplicamos qualquer número inteiro por 10, acrescentamos um zero à direita deste número e 
obtemos o resultado, não interessa por quais e por quantos algarismos é formado este número. 
 
Vamos pegar o número 256 e multiplicá-lo por 10 três vezes: 
256 x 10 = 2560 
2560 x 10 = 25600 
25600 x 10 = 256000 
Ao multiplicar por 10 três vezes, acrescentamos três zeros à direita do número. 
Veja que o número 256000 pode ser escrito como 256 x 10 x 10 x 10. Ou seja: 
256000 = 256 x 10 x 10 x 10 
Aplicando potenciação na multiplicação do 10, temos: 256000 = 256 x 103 
Bom, este exemplo não foi muito satisfatório, pois escrever 256000 ou 256 x 103 acaba dando o mesmo trabalho. Mas 
veja agora o número :12450000000000000000000000000000 
Para representá-lo em uma forma mais compacta, utilizaremos a potência de base DEZ: 
12450000000000000000000000000000 = 1245 x 1028 
Note que para este tipo de número, o expoente da base 10 será igual ao número de zeros à direita que existem no 
número a ser representado. 
Potências de base DEZ também são utilizadas para "movimentar a vírgula" de um número decimal. 
Vamos ver agora uma outra propriedade básica de DIVISÃO por 10. 
5 ÷ 10 = 0,5 
52 ÷ 10 = 5,2 
458 ÷ 10 = 45,8 
30 ÷ 10 = 3,0 
Note que ao dividir por 10, o resultado será composto pelos algarismos do dividendo (número a ser dividido), sendo 
que este resultado terá um destes algarismos DEPOIS da vírgula. 
254 ÷ 10 = 25,4 
Número sem 
vírgula 
 Resultado tem os mesmos algarismos, com UM algarismo APÓS a 
vírgula. 
 
Agora, se pegarmos este resultado e dividirmos novamente por 10. O que irá acontecer? Veja o quadro abaixo: 
25,4 ÷ 10 = 2,54 
Número a ser 
dividido 
 Resultado tem os mesmos algarismos, só que agora com DOIS algarismos APÓS 
a vírgula. 
 
Note que cada vez que dividimos por 10, a vírgula "se movimenta" uma casa para esquerda. Vamos dividir novamente 
para confirmar. 
2,54 ÷ 10 = 0,254 
10 
 
Número 
a ser 
dividido 
 Resultado tem os mesmos algarismos, agora com TRÊS algarismos APÓS a vírgula. 
Como o número só tinha três algarismos, colocamos um zero à esquerda, para não ficar 
,254 
 
Portanto, podemos dizer que 0,254 é igual a 254 dividido por 10 três vezes, ou seja: 
0,254 = 254 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 
Aqui devemos ver que, dividir um número por 10 é a mesma coisa que multiplicar pela fração . Aplicando esta 
propriedade: 
 
 
Agora, aplicando as propriedades de potenciação: 
 
 
Esta notação (forma de apresentar o valor) é também chamada de notação científica. Para números extremamenta 
pequenos ou absurdamente grandes é muito utilizada. 
Continuando no exemplo acima. Se multiplicarmos por 10, iremos desfazer a "movimentação" para esquerda, ou seja, 
a vírgula irá "se movimentar" para direita. 
0,254 x 10 = 2,54 
Então, se multiplicarmos por 10 três vezes, voltaremos para 254: 
0,254 x 10 x 10 x 10 = 254 
0,254 x 103 = 254 
RESUMÃO 
Quando temos um número multiplicado por uma potência de base 10 positiva, indica que iremos "aumentar" o 
número de zeros à direita ou "movimentar" para direita a vírgula tantas casas quanto indicar o expoente da base 
10. Veja alguns exemplos: 
54 x 105 = 5400000 Acrescentamos 5 zeros à direita do 54 
2050 x 102 = 205000 Acrescentamos 2 zeros à direita do 2050 
0,00021 x 104 = 2,1 "Movimentamos" a vírgula 4 casas para direita 
0,000032 x 103 = 0,032 "Movimentamos" a vírgula 3 casas para direita 
Quando temos um número multiplicado por uma potência de base 10 negativa, indica que iremos "diminuir" o 
número de zeros à direita ou "movimentar" a vírgula para esquerda tantas casas quanto indicar o expoente da 
base 10. Veja alguns exemplos: 
11 
 
54 x 10-5 = 0,00054 "Movimentamos" a vírgula 5 casas para esquerda 
2050 x 10-2 = 20,5 
 "Movimentamos" a vírgula 2 casas para esquerda. Lembrando que 20,5 
= 20,50 
0,00021 x 10-4 = 0,000000021 "Movimentamos" a vírgula 4 casas para esquerda 
0,000032 x 10-3 = 0,000000032 "Movimentamos" a vírgula 3 casas para esquerda 
32500000 x 10-4 = 3250 "Diminuimos" 4 zeros que estavam à direita 
 
 
Agora vamos mostrar um exemplo de uso desta matéria: 
- Calcule o valor de : 
 - Primeiro de tudo vamos colocar todos números em notação científica (potências de base DEZ): 
 
 - Vamos organizar os termos, para facilitar o cálculo: 
 
 
 - Agora ficou fácil. É só calcular o lado direito da multiplicação e aplicar as propriedades de potênciação no lado 
esquerdo para calcular. Fazendo isso, temos: 
1024 x 10-1 = 102,4 
EXERCICIOS PROPOSTOS 
 
 
LOGARITMOS 
 
Teoria dos Logaritmos 
 
1. DEFINIÇÃO 
 
Sejam a e b números reais positivos diferentes de zero e b 1. Chama-se logaritmo de a na base b o expoente x tal 
que bx = a: 
logb a= x bx = az 
 
Na sentença logb a = x temos: 
 
a) a é o logaritmando; 
 
b) b é a base do logaritmo; 
 
c) x é o logaritmo de a na base b. 
 
Exemplos: 
12 
 
 
 
Observação 1: Quando a base não vier expressa, fica subentendido que esta vale 10. 
 
Exemplos: 
 
a) log 3 = log 10 3 
 
b) log 20 = log10 20 
 
Condições de existência 
 
a) A base tem de ser um número real positivo e diferente de 1. 
 
b) O logaritmando tem de ser um número real positivo. 
 
 
2. PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS 
 
a) O logaritmo de um número, na base de valor igual a ele mesmo, é sempre igual a 1. 
 
logb b = 1. 
 
Exemplo: 
log8 8 = 1. 
 
b) O logaritmo de 1 em qualquer base é sempre igual a 0. 
 
logb 1 = 0 
 
Exemplo: 
log9 1 = 0 
 
c) Logaritmo de uma potência 
 
logb ay = y. logb a 
 
Exemplo: 
Log2 34 = 4. log2 3 
 
d) O logaritmo de um número b, na base b, elevado a um expoente x é sempre igual a x. 
 
logb bx = x 
 
Exemplo: 
 
Log3 37 = 7 
 
e) Um número b, elevado ao logaritmo de a na base b, é sempre igual a a. 
 
blogb a = a 
 
Exemplo: 
 
7log7 13 = 13 
13 
 
 
f) Logaritmo do produto: 
 
logc (m . n) = logc m + logc n, sendo m > 0, n > 0 e b 1. 
 
Exemplo: 
log2 (4 . 3) = log2 4 + log2 3 
EXERCICIOS PROPOSTOS 
 
 
REGRA DE TRES 
 
1. Regra de três simples 
 
Definição 
 
Considerando que a e b são dois valores da grandeza A, e c e d são os valores correspondentes da 
grandeza B, podemos dizer que a regra de três simples é um processo prático usado para definir um 
desses valores, sendo que já temos conhecimento dos outros três. 
 
Técnica operatória 
 
 
 
Considerando A e B como duas grandezas diretamente proporcionais, temos: 
 
 
 
Considerando A e B como duas grandezas inversamente proporcionais, temos: 
 
 
. Regra de três compostas 
 
Definição 
 
O processo para a resolução da regra de três composta é o mesmo utilizado para a regra de três simples, havendo 
uma única diferença: a regra de três composta utiliza mais de duas grandezas proporcionais direta ou inversamente 
proporcionais. 
 
Propriedades 
 
a) Considerando que uma grandeza A(a1, a2, ...) seja diretamente proporcional a uma grandeza B(b1, b2, ...) e a outra 
grandeza C(c1, c2, ...), nesse caso, temos: 
 
 
 
Assim, A é diretamente proporcional ao produto das grandezas B e C. 
 
b) Considerando que uma grandeza A(a1; a2; ...) seja diretamente proporcional a outra grandeza B(b1; b2; ...) e 
14 
 
inversamente proporcional a uma grandeza C(c1; c2; ...), nesse caso, temos: 
 
 
 
c) Considerando que uma grandeza A(a1; a2; ...) seja diretamente proporcional às grandezas B(b1; b2; ...), C(c1; c2; ...), 
D(d1; d2; ...) e E(e1; e2; ...), logo, temos: 
 
 
 
 
EXERCICIOS PROPOSTOS 
 
 
 Prof. Moreira – 03/2016