Geometria Analítica Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento (1)

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MATEMATICA E SUAS TECNOLOGIAS
Ensino Médio, 3ª ano
Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento
PLANO CARTESIANO
O plano cartesiano contém dois eixos perpendiculares entre si, tendo a origem comum no ponto O. Chamamos de eixo das abscissas ao eixo horizontal (eixo dos x). Chamamos de eixo das ordenadas ao eixo vertical (eixo dos y). Esses eixos dividem o plano em quatro regiões que chamamos de quadrantes.
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento
x
y
O (0, 0)
1º quadrante
2º quadrante
3º quadrante
4º quadrante
Eixo das abscissas
Eixo das ordenadas
Origem
PLANO CARTESIANO
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento
P
x
y
O
4
3
P(3, 4)
COORDENADAS NO PLANO
3 é a abscissa de P;
4 é a ordenada de P;
3 e 4 são as coordenadas de P;
P(x, y)
 Em geral:
A localização de um ponto P(xp, yp) no plano cartesiano é feita pelas suas coordenadas (abscissa e ordenada).
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento
4
SINAIS NO PLANO
x
y
+
+
+
+
–
–
–
–
y = 0
O( 0, 0)
x = 0
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento
BISSETRIZES DOS QUADRANTES
x
y
x = y 
(abscissa = ordenada)
x = – y
(abscissa = - ordenada)
1ª bissetriz
2ª bissetriz
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento
A
B
xA
xB
yA
yB
x
y
C
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos: 
(AB)2 = (BC)2 + (AC)2
0
(AB)2 =
|xB – xA|2
+ |yB – yA|2
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS NO PLANO
Dados dois pontos quaisquer, A e B, de coordenadas (xA, yA) e (xB, yB), respectivamente, a distância entre os pontos A e B pode ser obtida pela aplicação do teorema de Pitágoras.
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento
(UFC) Se o triângulo de vértices nos pontos A(0,0); B(3,1) e C(2,k) é retângulo em B, então k é igual a:
A(0,0)
B(3,1)
C(2,k)
Usando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos: 
(dAC)² = (dAB)² + (dBC)² 
(2-0)² + (k-0)² = (3-0)² + (1-0)² + (3-2)² + (1-k)² 
(Operando os quadrados e termos semelhantes): 2k = 8  k = 4
EXEMPLO
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento
Observe que o ponto M divide o segmento AB em dois segmentos congruentes: AM e MB. As projeções de A, M e B nos eixos Ox e Oy formam segmentos que mantêm as mesmas relações.
Determinando a ordenada yM do ponto médio M, temos:
A
B
M
xA
xM
xB
yA
yM
yB
x
y
Determinando a abcissa xM do ponto médio M, temos:
xM =
xA + xB
2
0
PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO
yM =
yA + yB
2
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento
(FMU-SP) As coordenadas do ponto médio do segmento de extremidades 
A(5,-2) e B(-1, -4) são:
Seja M(xM, yM) o ponto médio, então:
 xM = xA + xB 
 2
= 5 + (-1) = 2
 2
 yM = yA + yB 
 2
= -2 + (-4) = -3
 2
M(2,-3)
EXEMPLO 1
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento
10
(U.Juiz Fora -MG) Se (2,1); (3,3) e (6,2) são os pontos médios dos lados de um triângulo, quais são os seus vértices?
No triângulo, usaremos a fórmula do ponto médio em cada um de seus lados:
 xA + xC = 2 yA + yc = 1
 2 2
 xA + xB = 3 yA + yB = 3
 2 2
 xB + xC = 6 yB + yC = 2 
 2 2
Resolvendo os sistemas, temos:
A(1,2), B(7, 4) e C(5,0)
A
B
C 
(2,1)
(3,3)
(6,2)
EXEMPLO 2
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento
EXEMPLO 3
Encontrar o ponto simétrico de P(1, –1) em relação ao ponto Q(–2, 3).
P(1, –1)
Q(–2, 3)
R(a, b)
–2 =
a + 1
2
a + 1 = – 4
⇒
⇒
a = – 5
3 =
b – 1
2
b – 1 = 6
⇒
⇒
b = 7
⇒ R (–5, 7)
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento
MEDIANA
Segmento de reta que parte de um vértice do triângulo e divide o lado oposto ao meio. 
G
A(xA , yA)
B(xB , yB)
C(xC , yC)
M1
M2
M3
G é chamado BARICENTRO (ponto de encontro das medianas) do Triângulo.
AG = 2/3 AM1 GM = 1/3 AM1
G(xG , yG) 
xG = xA + xB + xC
 3
yG = yA + yB + yC
 3
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento
(FEI) Dado um triângulo de vértices (1,1), (3,1) e (-1,3) calcular o seu baricentro.
O baricentro G(xG , yG) é o ponto de encontro das medianas, logo:
xG = xA + xB + xC = 1 + 3 + (-1) = 1
 3 3
yG = yA + yB + yC = 1 + 1 + 3 = 5/3
 3 3
G(1;5/3)
EXEMPLO
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento
APLICAÇÕES - ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS
Considere os pontos A(xA , yA), B(xB , yB) , C(xC , yC) e 
x
y
C
B
A
xA
xB
xC
yC
yB
yA
0
D = 0  A, B e C são colineares, isto é, estão alinhados
D  0  A, B e C formam um triângulo. 
xA
yA
1
xB
yB
1
xC
yC
1
D =
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento
(PUC) Os pontos A(-1,2), B(3,1) e C(a,b) são colineares. Para que C esteja sobre o eixo das abscissas, quanto valem a e b?
C sobre o eixo das abcissas C(a, 0)
A, B e C são colineares  det = 0
Portanto: = 0
a = 7 
C(7;0)
-1
2
1
3
1
1
a
0
1
EXEMPLO 1
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento
(PUC) Os pontos A(k, 0), B(1,-2) e C(3,2) são vértices de um triângulo. Calcular k.
 A, B e C são pontos não alinhados  det  0, ou seja:
  0  k  2
EXEMPLO 2
k
0
1
1
-2
1
3
2
1
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento
APLICAÇÕES - ÁREA DE UM TRIÂNGULO
Se A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) são os vértices de um triângulo. Para calcular a área do triângulo ABC, utilizando determinantes, devemos fazer:
Calcular o seguinte determinante, a partir das coordenadas dos vértices.
xA
yA
1
xB
yB
1
xC
yC
1
D =
A área do triângulo é metade do módulo desse determinante.
AABC = 
|D|
2
xA
xB
xC
yA
yC
yB
y
x
C
B
A
0
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento
Na figura, os pontos não-alinhados A(2, 1), B(6, 3) e C(4, 5) são os vértices de um triângulo. Como podemos calcular a área desse triângulo, a partir das coordenadas de seus vértices?
x
y
4
1
A
B
C
2
6
3
5
EXEMPLO
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento
x
y
4
1
A
B
C
2
6
3
5
③
①
②
M
N
P
AT = AMNP – (AT1 + AT2 + AT3)
AMNP = AM . AP
= 4 . 4 = 16
AT1 = (CP . AP)/2
= (4 . 2)/2 = 4
AT2 = (CN . BN)/2
= (2 . 2)/2 = 2
AT3 = (AM . BM)/2
= (4 . 2)/2 = 4
AT = 16 – (4 + 2 + 4)
AT = 6
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento
x
y
4
1
A
B
C
2
6
3
5
③
①
②
M
N
P
5
4
1
5
4
3
6
1
3
6
1
2
1
1
2
+6
–12
D = – 28 + 40 = 12
+4
+30
–10
–6
Área = 
|D|
2
|12|
2
= 6
=
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento
QUESTÕES
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Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento
1) (FGV) O triângulo PQR, no plano cartesiano, de vértices P(0,0), Q(6,0) e R(3,5), é:
 
 a) equilátero.
 b) isósceles, mas não equilátero.
 c) escaleno.
 d) retângulo.
 e) obtusângulo.
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento
2) (Fuvest–SP) A distância entre os pontos M(4,-5) e N(-1,7) do plano cartesiano x0y vale:
a) 14 
b) 13 
c) 12 
d) 9 
e) 8
 
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontose ponto médio de um segmento
3) (PUC-SP) A(3,5), B(1,-1) e C(x,-16) pertencem a uma mesma reta, se x for igual a:
a) -5
b) -1
c) -3
d) -4
e) -2
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento
4) (PUC-RJ) O valor de x para que os pontos (1, 3), (–2, 4) e (x, 0) do plano sejam colineares é:
a) 8 	
b) 9 	
c) 11 	
d) 10 	
e) 5
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento
5) (Vunesp) Os pares ordenados A (0, 0); B (4, 0); C (4, 4) e D (0, 4) são os vértices de um quadrado. O ponto M divide a diagonal BD em dois segmentos congruentes. Então, M é:
 
a) (2, 2) 
b) (0, 4) 
c) (5, 6) 
d) (2, 4)	 
e) (4, 0)
 
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento
6) (UNIRIO) Uma universidade organizou uma expedição ao sítio arqueológico de Itaboraí, um dos mais importantes do Rio de Janeiro. Para facilitar a localização dos locais de escavação, foi adotado um sistema cartesiano de coordenadas. O objetivo da expedição é realizar escavações nos pontos A (0, 0),B (6, 18) e C (18, 6). Se o chefe da expedição pretende acampar em um ponto equidistante dos locais de escavação determine as coordenadas do local do acampamento.
P(15/2 ; 15/2)
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento
EXTRAS
GEOGEBRA 
Utilizar o software geogebra para a representação geométrica e algébrica de ponto e reta, bem como o cálculo de distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento.
Este programa é de uso livre e pode ser obtido no endereço: http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm.
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento
REFERÊNCIAS
Sites:
http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/distancia-entre-dois-pontos.htm
http://www.brasilescola.com/matematica/distancia-entre-dois-pontos.htm
http://www.brasilescola.com/matematica/ponto-medio-um-segmento-reta.htm
http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/ponto-medio-um-seguimento-reta.htm
Livros:
I. Silva, Cláudio Xavier da. II. Filho, Benigno Barreto. Matemática aula por aula, 3 : ensino médio – São Paulo : FTD, 2009. 
Dante, Luiz Roberto. Matemática : volume único - Ática. São Paulo : Ática, 2005.
I. Iezzi,Gelson. II. Dolce, Osvaldo. III. Degenszajn, David. IV. Périgo, Roberto. Matemática : volume único – São Paulo : Atual, 2002.
Matemática, 3ª Série, Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento