Operações na forma trigonométrica dos números complexos

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MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
Ensino Médio, 3º ano
Operações na forma trigonométrica dos números complexos 
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06/10/2015
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Matemática, 3º ano, Operações na forma trigonométrica dos números complexos
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A potenciação e a radiciação de complexos na forma trigonométrica também ficam facilitadas com a utilização das fórmulas de De Moivre.
As operações com números complexos na forma trigonométrica facilitam o cálculo envolvendo os elementos desse conjunto. Multiplicação e divisão de complexos que estão na forma trigonométrica são feitas quase que instantaneamente, enquanto que na forma algébrica o processo requer mais cálculos. 
Não é usual efetuar-se adições ou subtrações de números complexos na forma polar, devido ao fato de que estas operações com os números complexos na forma algébrica, são bem mais fáceis de realizar. Se os números complexos estiverem na forma polar, para somá-los (ou subtraí-los), primeiro converta-os para a forma algébrica e efetue os cálculos. 
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Matemática, 3º ano, Operações na forma trigonométrica dos números complexos
Todo complexo não-nulo z = a + bi pode ser escrito em função de seu módulo  e de seu argumento principal α.
FORMA TRIGONOMÉTRICA OU POLAR DE UM NÚMERO COMPLEXO
cos α =
a
 
⇒ a =  cos α
sen α =
b
 
⇒ b =  sen α
z = a + b.i
⇒ z =  cos α +  sen α . i
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Sejam dados dois números z e w tais que:
Vejamos o que acontece quando fazemos z.w:
MULTIPLICAÇÃO NA FORMA TRIGONOMÉTRICA
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Matemática, 3º ano, Operações na forma trigonométrica dos números complexos
Conclusão: na multiplicação de dois números z e w na forma trigonométrica:
 O módulo do produto é O PRODUTO DOS MÓDULOS:
 O argumento do produto é A SOMA DOS ARGUMENTOS:
 |z.w| = rs = |z|.|w|
 arg(z.w) = α + β = arg(z) + arg(w)
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Matemática, 3º ano, Operações na forma trigonométrica dos números complexos
Exemplo 1
Observação:
O produto de n números complexos z1 z2 ...zn ,pode ser generalizado por:
Calcule z1 . z2.
Dados os números:
Resolução:
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Matemática, 3º ano, Operações na forma trigonométrica dos números complexos
Determine o produto de z = 2(cos 112 + i sen 112) por w = 3(cos 68 + i sen 68).
z.w = 2.3 [cos (112 + 68) + i sen (112 + 68)]
z.w = 6 (cos 180 + i sen 180)
z.w = 6 (–1 + 0i)
z.w = –6 
Exemplo 2
Resolução:
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Matemática, 3º ano, Operações na forma trigonométrica dos números complexos
Qual o produto de x = 4(cos 80 + i sen 80) por y = cos 40 + i sen 40?
x.y = 4.1 [cos (80 + 40) + i sen (80 + 40)]
x.y = 4 (cos 120 + i sen 120)
x.y = 4
3
2 
–1
2 
+ i.
x.y = –2 + 23 i
Exemplo 3
Resolução:
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Matemática, 3º ano, Operações na forma trigonométrica dos números complexos
Vejamos o que acontece quando fazemos z/w:
DIVISÃO NA FORMA TRIGONOMÉTRICA
Sendo dados dois números z e w tais que:
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Matemática, 3º ano, Operações na forma trigonométrica dos números complexos
O módulo da quociente é O QUOCIENTE DOS MÓDULOS:
O argumento do quociente é A DIFERENÇA DOS ARGUMENTOS:
 |z/w| = r/s = |z|/|w|
 arg(z/w) = α – β = arg(z) – arg(w)
Conclusão: na multiplicação de z e w na forma trigonométrica:
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Exemplo 1
Resolução:
Calcule z1/z2 e z1.z2.z3.
Sejam os números complexos:
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Matemática, 3º ano, Operações na forma trigonométrica dos números complexos
11
Determine o quociente na divisão de z = 6(cos 20 + i sen 20) por w = 3(cos 65 + i sen 65).
z/w = 6/3 [cos (20 – 65) + i sen (20 – 65)]
z/w = 2 [(cos (–45) + i sen (– 45)]
z/w = 2 (cos 315 + i sen 315)
z/w = 2
2
2 
2
2 
– i.
z/w = 2 – 2 i
Exemplo 2
Resolução:
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Matemática, 3º ano, Operações na forma trigonométrica dos números complexos
POTENCIAÇÃO NA FORMA TRIGONOMÉTRICA
1ª Fórmula de De Moivre
Vamos primeiro lembrar que: Potenciação é uma multiplicação de fatores iguais. Deste modo, sendo dado um número z:
Para calcularmos zn fazemos:
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Matemática, 3º ano, Operações na forma trigonométrica dos números complexos
Conclusão: na potenciação de dois números z e w na forma trigonométrica:
 O módulo da potência é A POTÊNCIA DO MÓDULO:
 O argumento da potência é O PRODUTO DO EXPOENTE PELO ARGUMENTO:
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 |zk| = rk = |z|k
 arg(zk) = k.α = k . arg(z)
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Matemática, 3º ano, Operações na forma trigonométrica dos números complexos
Dado z = 2(cos30 + isen30), obtenha a forma trigonométrica de z3.
Resolução:
Exemplo 1
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Matemática, 3º ano, Operações na forma trigonométrica dos números complexos
15
Calcule z5 onde z = 2 + 2i3.
Logo:
Exemplo 2
Resolução:
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Matemática, 3º ano, Operações na forma trigonométrica dos números complexos
Se z = 2(cos 15 + i sen 15), calcular z6.
z6 = 26 [cos (6.15) + i sen (6.15)]
z6 = 64 (cos 90 + i sen 90)
z6 = 64 (0 + i)
z6 = 64i
z6 = 64i
Exemplo 3
Resolução:
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Pela fórmula de De Moivre, calcular (1 – i)–9.
Vamos escrever z = 1 – i na forma trigonométrica.
z = 1 – i
⇒ a = 1 e b = –1 
r = |z| = a2 + b2
= (1)2 + (–1)2
= 2
⇒ arg(z) = α = 315
–2
sen α =
b
r 
=
–1
 2 
=
2 
2 
cos α =
a
r 
=
1 
2 
=
2 
Exemplo 4
Resolução:
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Pela fórmula de De Moivre,
z–9 = (2 )–9[cos (–9.315) + i sen (–9.315)]
z–9 = 2.2–5[cos (–2 835) + i sen (–2 835)]
2
z–9 =
(cos 45 + i sen 45)
32 
z–9 =
2
2 
2
2 
+ i.
2
32 
z–9 =
1
32 
1
32 
+
i
z = 2(cos 315 + i sen 315)
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Matemática, 3º ano, Operações na forma trigonométrica dos números complexos
Extrair as raizes n-ésimas z1/n de um complexo z é resolver a equação zon = z.
Se considerarmos: wk = |wk|(cos 0 + isen 0) 
Então de wkn = z, teremos wk|n[cos(no) + isen (n0)] = |z|(cos + i sen)
 
Se os ângulos são dados em radianos, 
RADICIAÇÃO NA FORMA TRIGONOMÉTRICA
2ª Fórmula de De Moivre
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Onde k = 0, 1, ..., (n - 1)
Portanto, existem exatamente n raízes distintas quando z  0, a saber, encontradas por meio expressão: 
 wk = |wk|(cos 0 + isen 0)
No cálculo das raízes n-ésimas de z, dizemos que:
O módulo de cada uma das raízes é a raiz do módulo;
O argumento de cada uma das raízes é o quociente do argumento, escrito na sua forma geral, pelo índice da raiz. Neste caso, devemos atribuir valores para k a fim de obtermos valores particulares para as raízes.
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Calcular as raízes cúbicas de 8.
 
Exemplo 1 
Resolução:
Primeiro vamos escrever z = 8 na forma trigonométrica:
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Agora é só atribuir valores para k, com k = 0, 1 e 2
Agora, vamos extrair as raízes cúbicas de z = 8, sabendo que:
|z| = 8, n=3,  = 0.
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Vamos representar as raízes cúbicas de z = 8 no plano de Argand-Gauss.
2
3
-1
-3
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Observações:
3. No exemplo que resolvemos o argumento da 1ª raiz é 0 ( = 0) e o argumento das demais é 120 e 240, pois 360/3 = 120;
4. As raízes n-ésimas de z formarão no plano de Argand-Gauss um polígono regular de n lados.
2
3
-1
-3
1. Perceba que quando representamos no plano de Argand-Gauss as raízes n-ésimas de z, os afixos destas raízes representarão pontos da circunferência trigonométrica;
2. Perceba ainda que basta achar o argumento da 1ª raiz (para k = 0), as demais posicionam-se a 360/n graus uma da outra;
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Exemplo 2 
Determine as raízes cúbicas de .
Resolução:
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EXERCÍCIOS
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EXTRAS
GEOGEBRA 
Utilizar o software geogebra para trabalhar operações com números complexos na forma trigonométrica.
Este programa é de uso livre e pode ser obtido no endereço: http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm.
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REFERÊNCIAS
Sites:
http://www.brasilescola.com/matematica/operacoes-numeros-complexos-na-forma-trigonometrica.htm
http://www.alunosonline.com.br/matematica/operacoes-com-numeros-complexos-na-forma-trigonometrica.html
http://www.colegioweb.com.br/numeros-complexos/operacoes-na-forma-trigonometrica.html
Livros:
I. Silva, Cláudio Xavier da. II. Filho, Benigno Barreto. Matemática aula por aula, 3 : ensino médio – São Paulo : FTD, 2009. 
Dante, Luiz Roberto. Matemática : volume único - Ática. São Paulo : Ática, 2005.
I. Iezzi,Gelson. II. Dolce, Osvaldo. III. Degenszajn, David. IV. Périgo, Roberto. Matemática : volume único – São Paulo : Atual, 2002.
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)
sen
.
i
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z
a
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(
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[
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3
 
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1
 
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raízes
 
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Determine
 
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4
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-
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14
 
d)
 
24
 
c)
 
36
 
b)
 
48
 
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é
c 
 
de
 
valor
 
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,
14
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(
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tais
 
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,
,
 
Se
 
(Vunesp)
 
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2
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c
c
b
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