5 Medidas de dispersão

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Estatística
Medidas de dispersão
Prof. Hugo Nunes
hugonunes.ifal@gmail.com
Instituto Federal de Alagoas
Campus Maceió
2020.1
Medidas de dispersão
Medidas de dispersão
Dados não-agrupados
Definição (Medidas de dispersão ou de variabilidade)
São medidas utilizadas para medir o grau de variabilidade ou dis-
persão dos valores observados em torno da média aritmética.
Servem para medir a representatividade da média e proporcionar
o conhecimento do nível de homogeneidade ou heterogeneidade
dentro de cada grupo analisado.
1 59
É comum encontrar séries que, apesar de terem medidas de ten-
dência central iguais, são compostas de maneira distinta.
Assim, essas medidas indicam quão dispersos estão os valores da
amostra em torno da medida de centralidade.
2 59
É comum encontrar séries que, apesar de terem medidas de ten-
dência central iguais, são compostas de maneira distinta.
Assim, essas medidas indicam quão dispersos estão os valores da
amostra em torno da medida de centralidade.
2 59
Motivação
Três empresas contratam 5 jovens aprendizes, cada. A idade desses jovens,
são:
• Empresa A: 20 ; 20 ; 20 ; 20 ; 20
• Empresa B: 20 ; 21 ; 20 ; 19 ; 20
• Empresa C: 15 ; 10 ; 20 ; 25 ; 30
Calculando as medidas centrais, temos:
Empresa A
X = 20
Md = 20
Empresa B
X = 20
Md = 20
Empresa C
X = 20
Md = 20
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Motivação
Três empresas contratam 5 jovens aprendizes, cada. A idade desses jovens,
são:
• Empresa A: 20 ; 20 ; 20 ; 20 ; 20
• Empresa B: 20 ; 21 ; 20 ; 19 ; 20
• Empresa C: 15 ; 10 ; 20 ; 25 ; 30
Calculando as medidas centrais, temos:
Empresa A
X = 20
Md = 20
Empresa B
X = 20
Md = 20
Empresa C
X = 20
Md = 20
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As empresas A, B e C acima apresentadas têm a mesma média e
mediana, cujo valor é igual a 20, mas elas apresentam caracterís-
ticas diferentes.
• A empresa A não apresenta nenhuma variação.
• A empresa B apresenta pouca dispersão.
• A empresa C estão bastante dispersos em torno da média.
4 59
As empresas A, B e C acima apresentadas têm a mesma média e
mediana, cujo valor é igual a 20, mas elas apresentam caracterís-
ticas diferentes.
• A empresa A não apresenta nenhuma variação.
• A empresa B apresenta pouca dispersão.
• A empresa C estão bastante dispersos em torno da média.
4 59
As empresas A, B e C acima apresentadas têm a mesma média e
mediana, cujo valor é igual a 20, mas elas apresentam caracterís-
ticas diferentes.
• A empresa A não apresenta nenhuma variação.
• A empresa B apresenta pouca dispersão.
• A empresa C estão bastante dispersos em torno da média.
4 59
As empresas A, B e C acima apresentadas têm a mesma média e
mediana, cujo valor é igual a 20, mas elas apresentam caracterís-
ticas diferentes.
• A empresa A não apresenta nenhuma variação.
• A empresa B apresenta pouca dispersão.
• A empresa C estão bastante dispersos em torno da média.
4 59
Observação
Quanto maiores os valores encontrados para as medidas de dis-
persão, mais afastados estarão os dados entre si e menor será
a importância das medidas de posição central para a tomada de
decisão.
5 59
Empresa A
6 59
Empresa B
7 59
Empresa C
8 59
Em Estatística, existem algumas medidas de dispersão comumente
utilizadas. São elas:
• Amplitude total;
• Intervalo interquartílico;
• Desvio médio;
• Desvio padrão e Variância;
• Coeficiente de variação;
• Escores reduzidos
9 59
As medidas de dispersão se dividem em:
Absoluta
• Amplitude
• Desvio médio
• Variância
• Desvio padrão
Relativa
• Coeficiente de variação
10 59
Definição (Amplitude)
A amplitude de um conjunto de dados é a diferença entre os va-
lores máximo e mínimo.
Amplitude = (valor máximo) - (valor mínimo)
Ou, simplesmente:
A = Xmáx − xmin
11 59
Exemplo
Tomando nosso exemplo sobres as empresas, temos:
• Empresa A: 20 ; 20 ; 20 ; 20 ; 20
A = 20− 20 = 0
• Empresa B: 20 ; 21 ; 20 ; 19 ; 20
A = 21− 19 = 2
• Empresa C: 15 ; 10 ; 20 ; 25 ; 30
A = 30− 15 = 15
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Exemplo
Tomando nosso exemplo sobres as empresas, temos:
• Empresa A: 20 ; 20 ; 20 ; 20 ; 20
A = 20− 20 = 0
• Empresa B: 20 ; 21 ; 20 ; 19 ; 20
A = 21− 19 = 2
• Empresa C: 15 ; 10 ; 20 ; 25 ; 30
A = 30− 15 = 15
12 59
Exemplo
Tomando nosso exemplo sobres as empresas, temos:
• Empresa A: 20 ; 20 ; 20 ; 20 ; 20
A = 20− 20 = 0
• Empresa B: 20 ; 21 ; 20 ; 19 ; 20
A = 21− 19 = 2
• Empresa C: 15 ; 10 ; 20 ; 25 ; 30
A = 30− 15 = 15
12 59
Exemplo
Considere esta série:
10︸︷︷︸
x1
15︸︷︷︸
x2
9︸︷︷︸
x3
4︸︷︷︸
x4
16︸︷︷︸
x5
13︸︷︷︸
x6
8︸︷︷︸
x7
21︸︷︷︸
x8
O maior número da série apresentada é 21 e o menor é 4, portanto,
a amplitude total é de 17:
A = 21− 4 = 17.
Quanto maior a amplitude total maior será a dispersão ou varia-
bilidade dos valores observados.
Já se apurarmos a média aritmética da série, teremos:
X =
10 + 15 + 9 + 4 + 16 + 13 + 8 + 21
8
= 12.
O grau de dispersão neste caso é igual a 5.
13 59
Exemplo
Considere esta série:
10︸︷︷︸
x1
15︸︷︷︸
x2
9︸︷︷︸
x3
4︸︷︷︸
x4
16︸︷︷︸
x5
13︸︷︷︸
x6
8︸︷︷︸
x7
21︸︷︷︸
x8
O maior número da série apresentada é 21 e o menor é 4, portanto,
a amplitude total é de 17:
A = 21− 4 = 17.
Quanto maior a amplitude total maior será a dispersão ou varia-
bilidade dos valores observados.
Já se apurarmos a média aritmética da série, teremos:
X =
10 + 15 + 9 + 4 + 16 + 13 + 8 + 21
8
= 12.
O grau de dispersão neste caso é igual a 5.
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Exemplo
Considere esta série:
10︸︷︷︸
x1
15︸︷︷︸
x2
9︸︷︷︸
x3
4︸︷︷︸
x4
16︸︷︷︸
x5
13︸︷︷︸
x6
8︸︷︷︸
x7
21︸︷︷︸
x8
O maior número da série apresentada é 21 e o menor é 4, portanto,
a amplitude total é de 17:
A = 21− 4 = 17.
Quanto maior a amplitude total maior será a dispersão ou varia-
bilidade dos valores observados.
Já se apurarmos a média aritmética da série, teremos:
X =
10 + 15 + 9 + 4 + 16 + 13 + 8 + 21
8
= 12.
O grau de dispersão neste caso é igual a 5.
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Exemplo
Considere esta série:
10︸︷︷︸
x1
15︸︷︷︸
x2
9︸︷︷︸
x3
4︸︷︷︸
x4
16︸︷︷︸
x5
13︸︷︷︸
x6
8︸︷︷︸
x7
21︸︷︷︸
x8
O maior número da série apresentada é 21 e o menor é 4, portanto,
a amplitude total é de 17:
A = 21− 4 = 17.
Quanto maior a amplitude total maior será a dispersão ou varia-
bilidade dos valores observados.
Já se apurarmos a média aritmética da série, teremos:
X =
10 + 15 + 9 + 4 + 16 + 13 + 8 + 21
8
= 12.
O grau de dispersão neste caso é igual a 5.
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Exemplo
Considere esta série:
10︸︷︷︸
x1
15︸︷︷︸
x2
9︸︷︷︸
x3
4︸︷︷︸
x4
16︸︷︷︸
x5
13︸︷︷︸
x6
8︸︷︷︸
x7
21︸︷︷︸
x8
O maior número da série apresentada é 21 e o menor é 4, portanto,
a amplitude total é de 17:
A = 21− 4 = 17.
Quanto maior a amplitude total maior será a dispersão ou varia-
bilidade dos valores observados.
Já se apurarmos a média aritmética da série, teremos:
X =
10 + 15 + 9 + 4 + 16 + 13 + 8 + 21
8
= 12.
O grau de dispersão neste caso é igual a 5.
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Observações
• A amplitude total é a medida mais simples de dispersão.
• A desvantagem desta medida de dispersão é que leva em
conta apenas os valores mínimo e máximo do conjunto.
• Se ocorrer qualquer variação no interior do conjunto de da-
dos, a amplitude total não nos dá qualquer indicação dessa
mudança.
• A amplitude total também sofre a influência de um valor atí-
pico na distribuição (um valor muito elevado ou muito baixo
em relação ao conjunto)
14 59
Observações
• A amplitude total é a medida mais simples de dispersão.
• A desvantagem desta medida de dispersão é que leva em
conta apenas os valores mínimo e máximo do conjunto.
• Se ocorrer qualquer variação no interior do conjunto de da-
dos, a amplitude total não nos dá qualquer indicação dessa
mudança.
• A amplitude total também sofre a influência de um valor atí-
pico na distribuição (um valor muito elevado ou muito baixo
em relação ao conjunto)
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Observações
• A amplitude total é a medida mais simples de dispersão.
• A desvantagem desta medida de dispersão é que leva em
conta apenas os valores mínimo e máximo do conjunto.
• Se ocorrer qualquer variação no interior do conjunto de da-
dos, a amplitudetotal não nos dá qualquer indicação dessa
mudança.
• A amplitude total também sofre a influência de um valor atí-
pico na distribuição (um valor muito elevado ou muito baixo
em relação ao conjunto)
14 59
Observações
• A amplitude total é a medida mais simples de dispersão.
• A desvantagem desta medida de dispersão é que leva em
conta apenas os valores mínimo e máximo do conjunto.
• Se ocorrer qualquer variação no interior do conjunto de da-
dos, a amplitude total não nos dá qualquer indicação dessa
mudança.
• A amplitude total também sofre a influência de um valor atí-
pico na distribuição (um valor muito elevado ou muito baixo
em relação ao conjunto)
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Definição (Desvio)
O desvio (d) de um valor xi é a diferença entre o valor e a média
X do conjunto de dados.
d = xi −X .
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Exemplo
Uma empresa contrata 10 funcionários. A idade de cada funcio-
nário é mostrado abaixo:
41 38 39 45 47 41 44 41 37 42
A idade média desses funcionários é:
X =
41 + 38 + 39 + 45 + 47 + 41 + 44 + 41 + 37 + 42
10
= 41, 5
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Exemplo
Uma empresa contrata 10 funcionários. A idade de cada funcio-
nário é mostrado abaixo:
41 38 39 45 47 41 44 41 37 42
A idade média desses funcionários é:
X =
41 + 38 + 39 + 45 + 47 + 41 + 44 + 41 + 37 + 42
10
= 41, 5
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Exemplo (continuação)
Idade X Desvio (d)
41
41, 5
41− 41, 5 = −0, 5
38
41, 5
38− 41, 5 = −3, 5
39
41, 5
39− 41, 5 = −2, 5
45
41, 5
45− 41, 5 = 3, 5
47
41, 5
47− 41, 5 = 5, 5
41
41, 5
41− 41, 5 = −0, 5
44
41, 5
44− 41, 5 = 2, 5
41
41, 5
41− 41, 5 = −0, 5
37
41, 5
37− 41, 5 = −4, 5
42
41, 5
42− 41, 5 = 0, 5
Σxi = 415 Σ(xi −X) = 0
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Exemplo (continuação)
Idade X Desvio (d)
41 41, 5
41− 41, 5 = −0, 5
38
41, 5
38− 41, 5 = −3, 5
39
41, 5
39− 41, 5 = −2, 5
45
41, 5
45− 41, 5 = 3, 5
47
41, 5
47− 41, 5 = 5, 5
41
41, 5
41− 41, 5 = −0, 5
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41, 5
44− 41, 5 = 2, 5
41
41, 5
41− 41, 5 = −0, 5
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41, 5
37− 41, 5 = −4, 5
42
41, 5
42− 41, 5 = 0, 5
Σxi = 415 Σ(xi −X) = 0
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Exemplo (continuação)
Idade X Desvio (d)
41 41, 5 41− 41, 5 = −0, 5
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41, 5
38− 41, 5 = −3, 5
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41, 5
39− 41, 5 = −2, 5
45
41, 5
45− 41, 5 = 3, 5
47
41, 5
47− 41, 5 = 5, 5
41
41, 5
41− 41, 5 = −0, 5
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41, 5
44− 41, 5 = 2, 5
41
41, 5
41− 41, 5 = −0, 5
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37− 41, 5 = −4, 5
42
41, 5
42− 41, 5 = 0, 5
Σxi = 415 Σ(xi −X) = 0
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Exemplo (continuação)
Idade X Desvio (d)
41 41, 5 41− 41, 5 = −0, 5
38 41, 5
38− 41, 5 = −3, 5
39
41, 5
39− 41, 5 = −2, 5
45
41, 5
45− 41, 5 = 3, 5
47
41, 5
47− 41, 5 = 5, 5
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41, 5
41− 41, 5 = −0, 5
44
41, 5
44− 41, 5 = 2, 5
41
41, 5
41− 41, 5 = −0, 5
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37− 41, 5 = −4, 5
42
41, 5
42− 41, 5 = 0, 5
Σxi = 415 Σ(xi −X) = 0
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Exemplo (continuação)
Idade X Desvio (d)
41 41, 5 41− 41, 5 = −0, 5
38 41, 5 38− 41, 5 = −3, 5
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39− 41, 5 = −2, 5
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45− 41, 5 = 3, 5
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47− 41, 5 = 5, 5
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41, 5
41− 41, 5 = −0, 5
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44− 41, 5 = 2, 5
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41− 41, 5 = −0, 5
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37− 41, 5 = −4, 5
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42− 41, 5 = 0, 5
Σxi = 415 Σ(xi −X) = 0
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Exemplo (continuação)
Idade X Desvio (d)
41 41, 5 41− 41, 5 = −0, 5
38 41, 5 38− 41, 5 = −3, 5
39 41, 5
39− 41, 5 = −2, 5
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41, 5
45− 41, 5 = 3, 5
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41, 5
47− 41, 5 = 5, 5
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41, 5
41− 41, 5 = −0, 5
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44− 41, 5 = 2, 5
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41− 41, 5 = −0, 5
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37− 41, 5 = −4, 5
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42− 41, 5 = 0, 5
Σxi = 415 Σ(xi −X) = 0
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Exemplo (continuação)
Idade X Desvio (d)
41 41, 5 41− 41, 5 = −0, 5
38 41, 5 38− 41, 5 = −3, 5
39 41, 5 39− 41, 5 = −2, 5
45
41, 5
45− 41, 5 = 3, 5
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41, 5
47− 41, 5 = 5, 5
41
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41− 41, 5 = −0, 5
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44− 41, 5 = 2, 5
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41− 41, 5 = −0, 5
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37− 41, 5 = −4, 5
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42− 41, 5 = 0, 5
Σxi = 415 Σ(xi −X) = 0
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Exemplo (continuação)
Idade X Desvio (d)
41 41, 5 41− 41, 5 = −0, 5
38 41, 5 38− 41, 5 = −3, 5
39 41, 5 39− 41, 5 = −2, 5
45 41, 5
45− 41, 5 = 3, 5
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41, 5
47− 41, 5 = 5, 5
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41− 41, 5 = −0, 5
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44− 41, 5 = 2, 5
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41− 41, 5 = −0, 5
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37− 41, 5 = −4, 5
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42− 41, 5 = 0, 5
Σxi = 415 Σ(xi −X) = 0
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Exemplo (continuação)
Idade X Desvio (d)
41 41, 5 41− 41, 5 = −0, 5
38 41, 5 38− 41, 5 = −3, 5
39 41, 5 39− 41, 5 = −2, 5
45 41, 5 45− 41, 5 = 3, 5
47
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47− 41, 5 = 5, 5
41
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41− 41, 5 = −0, 5
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44− 41, 5 = 2, 5
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41− 41, 5 = −0, 5
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37− 41, 5 = −4, 5
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42− 41, 5 = 0, 5
Σxi = 415 Σ(xi −X) = 0
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Exemplo (continuação)
Idade X Desvio (d)
41 41, 5 41− 41, 5 = −0, 5
38 41, 5 38− 41, 5 = −3, 5
39 41, 5 39− 41, 5 = −2, 5
45 41, 5 45− 41, 5 = 3, 5
47 41, 5
47− 41, 5 = 5, 5
41
41, 5
41− 41, 5 = −0, 5
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44− 41, 5 = 2, 5
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41− 41, 5 = −0, 5
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37− 41, 5 = −4, 5
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42− 41, 5 = 0, 5
Σxi = 415 Σ(xi −X) = 0
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Exemplo (continuação)
Idade X Desvio (d)
41 41, 5 41− 41, 5 = −0, 5
38 41, 5 38− 41, 5 = −3, 5
39 41, 5 39− 41, 5 = −2, 5
45 41, 5 45− 41, 5 = 3, 5
47 41, 5 47− 41, 5 = 5, 5
41
41, 5
41− 41, 5 = −0, 5
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44− 41, 5 = 2, 5
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41− 41, 5 = −0, 5
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37− 41, 5 = −4, 5
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41, 5
42− 41, 5 = 0, 5
Σxi = 415 Σ(xi −X) = 0
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Exemplo (continuação)
Idade X Desvio (d)
41 41, 5 41− 41, 5 = −0, 5
38 41, 5 38− 41, 5 = −3, 5
39 41, 5 39− 41, 5 = −2, 5
45 41, 5 45− 41, 5 = 3, 5
47 41, 5 47− 41, 5 = 5, 5
41 41, 5
41− 41, 5 = −0, 5
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41, 5
44− 41, 5 = 2, 5
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41, 5
41− 41, 5 = −0, 5
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37− 41, 5 = −4, 5
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41, 5
42− 41, 5 = 0, 5
Σxi = 415 Σ(xi −X) = 0
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Exemplo (continuação)
Idade X Desvio (d)
41 41, 5 41− 41, 5 = −0, 5
38 41, 5 38− 41, 5 = −3, 5
39 41, 5 39− 41, 5 = −2, 5
45 41, 5 45− 41, 5 = 3, 5
47 41, 5 47− 41, 5 = 5, 5
41 41, 5 41− 41, 5 = −0, 5
44
41, 5
44− 41, 5 = 2, 5
41
41, 5
41− 41, 5 = −0, 5
37
41, 5
37− 41, 5 = −4, 5
42
41, 5
42− 41, 5 = 0, 5
Σxi = 415 Σ(xi −X) = 0
17 59
Exemplo (continuação)
Idade X Desvio (d)
41 41, 5 41− 41, 5 = −0, 5
38 41, 5 38− 41, 5 = −3, 5
39 41, 5 39− 41, 5 = −2, 5
45 41, 5 45− 41, 5 = 3, 5
47 41, 5 47− 41, 5 = 5, 5
41 41, 5 41− 41, 5 = −0, 5
44 41, 5
44− 41, 5 = 2, 5
41
41, 5
41− 41, 5 = −0, 5
37
41, 5
37− 41, 5 = −4, 5
42
41, 5
42− 41, 5 = 0, 5
Σxi = 415 Σ(xi −X) = 0
17 59
Exemplo (continuação)
Idade X Desvio (d)
41 41, 5 41− 41, 5 = −0, 5
38 41, 5 38− 41, 5 = −3, 5
39 41, 5 39− 41, 5 = −2, 5
45 41, 5 45− 41, 5 = 3, 5
47 41, 5 47− 41, 5 = 5, 5
41 41, 5 41− 41, 5 = −0, 5
44 41, 5 44− 41, 5 = 2, 5
41
41, 5
41− 41, 5 = −0, 5
37
41, 5
37− 41, 5 = −4, 5
42
41, 5
42− 41, 5 = 0, 5
Σxi = 415 Σ(xi −X) = 0
17 59
Exemplo (continuação)
Idade X Desvio (d)
41 41, 5 41− 41, 5 = −0, 5
38 41, 5 38− 41, 5 = −3, 5
39 41, 5 39− 41, 5 = −2, 5
45 41, 5 45− 41, 5 = 3, 5
47 41, 5 47− 41, 5 = 5, 5
41 41, 5 41− 41, 5 = −0, 5
44 41, 5 44− 41, 5 = 2, 5
41 41, 5
41− 41, 5 = −0, 5
37
41, 5
37− 41, 5 = −4, 5
42
41, 5
42− 41, 5 = 0, 5
Σxi = 415 Σ(xi −X) = 0
17 59
Exemplo (continuação)
Idade X Desvio (d)
41 41, 5 41− 41, 5 = −0, 5
38 41, 5 38− 41, 5 = −3, 5
39 41, 5 39− 41, 5 = −2, 5
45 41, 5 45− 41, 5 = 3, 5
47 41, 5 47− 41, 5 = 5, 5
41 41, 5 41− 41, 5 = −0, 5
44 41, 5 44− 41, 5 = 2, 5
41 41, 5 41− 41, 5 = −0, 5
37
41, 5
37− 41, 5 = −4, 5
42
41, 5
42− 41, 5 = 0, 5
Σxi = 415 Σ(xi −X) = 0
17 59
Exemplo (continuação)
Idade X Desvio (d)
41 41, 5 41− 41, 5 = −0, 5
38 41, 5 38− 41, 5 = −3, 5
39 41, 5 39− 41, 5 = −2, 5
45 41, 5 45− 41, 5 = 3, 5
47 41, 5 47− 41, 5 = 5, 5
41 41, 5 41− 41, 5 = −0, 5
44 41, 5 44− 41, 5 = 2, 5
41 41, 5 41− 41, 5 = −0, 5
37 41, 5
37− 41, 5 = −4, 5
42
41, 5
42− 41, 5 = 0, 5
Σxi = 415 Σ(xi −X) = 0
17 59
Exemplo (continuação)
Idade X Desvio (d)
41 41, 5 41− 41, 5 = −0, 5
38 41, 5 38− 41, 5 = −3, 5
39 41, 5 39− 41, 5 = −2, 5
45 41, 5 45− 41, 5 = 3, 5
47 41, 5 47− 41, 5 = 5, 5
41 41, 5 41− 41, 5 = −0, 5
44 41, 5 44− 41, 5 = 2, 5
41 41, 5 41− 41, 5 = −0, 5
37 41, 5 37− 41, 5 = −4, 5
42
41, 5
42− 41, 5 = 0, 5
Σxi = 415 Σ(xi −X) = 0
17 59
Exemplo (continuação)
Idade X Desvio (d)41 41, 5 41− 41, 5 = −0, 5
38 41, 5 38− 41, 5 = −3, 5
39 41, 5 39− 41, 5 = −2, 5
45 41, 5 45− 41, 5 = 3, 5
47 41, 5 47− 41, 5 = 5, 5
41 41, 5 41− 41, 5 = −0, 5
44 41, 5 44− 41, 5 = 2, 5
41 41, 5 41− 41, 5 = −0, 5
37 41, 5 37− 41, 5 = −4, 5
42 41, 5
42− 41, 5 = 0, 5
Σxi = 415 Σ(xi −X) = 0
17 59
Exemplo (continuação)
Idade X Desvio (d)
41 41, 5 41− 41, 5 = −0, 5
38 41, 5 38− 41, 5 = −3, 5
39 41, 5 39− 41, 5 = −2, 5
45 41, 5 45− 41, 5 = 3, 5
47 41, 5 47− 41, 5 = 5, 5
41 41, 5 41− 41, 5 = −0, 5
44 41, 5 44− 41, 5 = 2, 5
41 41, 5 41− 41, 5 = −0, 5
37 41, 5 37− 41, 5 = −4, 5
42 41, 5 42− 41, 5 = 0, 5
Σxi = 415 Σ(xi −X) = 0
17 59
Exemplo (continuação)
Idade X Desvio (d)
41 41, 5 41− 41, 5 = −0, 5
38 41, 5 38− 41, 5 = −3, 5
39 41, 5 39− 41, 5 = −2, 5
45 41, 5 45− 41, 5 = 3, 5
47 41, 5 47− 41, 5 = 5, 5
41 41, 5 41− 41, 5 = −0, 5
44 41, 5 44− 41, 5 = 2, 5
41 41, 5 41− 41, 5 = −0, 5
37 41, 5 37− 41, 5 = −4, 5
42 41, 5 42− 41, 5 = 0, 5
Σxi = 415
Σ(xi −X) = 0
17 59
Exemplo (continuação)
Idade X Desvio (d)
41 41, 5 41− 41, 5 = −0, 5
38 41, 5 38− 41, 5 = −3, 5
39 41, 5 39− 41, 5 = −2, 5
45 41, 5 45− 41, 5 = 3, 5
47 41, 5 47− 41, 5 = 5, 5
41 41, 5 41− 41, 5 = −0, 5
44 41, 5 44− 41, 5 = 2, 5
41 41, 5 41− 41, 5 = −0, 5
37 41, 5 37− 41, 5 = −4, 5
42 41, 5 42− 41, 5 = 0, 5
Σxi = 415 Σ(xi −X) = 0
17 59
Observação
As somas dos desvios é igual a zero.
18 59
Definição (Desvio médio)
O desvio médio analisa a dispersão dos dados em torno da média.
Em outras palavras, trata-se da média aritmética dos desvios dos
dados observados em relação à média, considerados em módulos
(valor absoluto).
DMS =
Σ|xi −X|
n
19 59
Observação
O conceito estatístico de desvio corresponde ao conceito mate-
mático de distância.
20 59
Exemplo
Considere novamente a série:
10︸︷︷︸
x1
15︸︷︷︸
x2
9︸︷︷︸
x3
4︸︷︷︸
x4
16︸︷︷︸
x5
13︸︷︷︸
x6
8︸︷︷︸
x7
21︸︷︷︸
x8
Já vimos que a média aritmética da série é:
X =
10 + 15 + 9 + 4 + 16 + 13 + 8 + 21
8
= 12.
Na sequência, determinamos o quanto cada número se encontra
distante da média.
21 59
Exemplo
Considere novamente a série:
10︸︷︷︸
x1
15︸︷︷︸
x2
9︸︷︷︸
x3
4︸︷︷︸
x4
16︸︷︷︸
x5
13︸︷︷︸
x6
8︸︷︷︸
x7
21︸︷︷︸
x8
Já vimos que a média aritmética da série é:
X =
10 + 15 + 9 + 4 + 16 + 13 + 8 + 21
8
= 12.
Na sequência, determinamos o quanto cada número se encontra
distante da média.
21 59
Exemplo
Considere novamente a série:
10︸︷︷︸
x1
15︸︷︷︸
x2
9︸︷︷︸
x3
4︸︷︷︸
x4
16︸︷︷︸
x5
13︸︷︷︸
x6
8︸︷︷︸
x7
21︸︷︷︸
x8
Já vimos que a média aritmética da série é:
X =
10 + 15 + 9 + 4 + 16 + 13 + 8 + 21
8
= 12.
Na sequência, determinamos o quanto cada número se encontra
distante da média.
21 59
Exemplo (continuação)
|x1 −X| = |10− 12| = 2
|x2 −X| = |15− 12| = 3
|x3 −X| = |9− 12| = 3
|x4 −X| = |4− 12| = 8
|x5 −X| = |16− 12| = 4
|x6 −X| = |13− 12| = 1
|x7 −X| = |8− 12| = 4
|x8 −X| = |21− 12| = 9
22 59
Exemplo (continuação)
|x1 −X| = |10− 12| = 2
|x2 −X| = |15− 12| = 3
|x3 −X| = |9− 12| = 3
|x4 −X| = |4− 12| = 8
|x5 −X| = |16− 12| = 4
|x6 −X| = |13− 12| = 1
|x7 −X| = |8− 12| = 4
|x8 −X| = |21− 12| = 9
22 59
Exemplo (continuação)
|x1 −X| = |10− 12| = 2
|x2 −X| = |15− 12| = 3
|x3 −X| = |9− 12| = 3
|x4 −X| = |4− 12| = 8
|x5 −X| = |16− 12| = 4
|x6 −X| = |13− 12| = 1
|x7 −X| = |8− 12| = 4
|x8 −X| = |21− 12| = 9
22 59
Exemplo (continuação)
|x1 −X| = |10− 12| = 2
|x2 −X| = |15− 12| = 3
|x3 −X| = |9− 12| = 3
|x4 −X| = |4− 12| = 8
|x5 −X| = |16− 12| = 4
|x6 −X| = |13− 12| = 1
|x7 −X| = |8− 12| = 4
|x8 −X| = |21− 12| = 9
22 59
Exemplo (continuação)
|x1 −X| = |10− 12| = 2
|x2 −X| = |15− 12| = 3
|x3 −X| = |9− 12| = 3
|x4 −X| = |4− 12| = 8
|x5 −X| = |16− 12| = 4
|x6 −X| = |13− 12| = 1
|x7 −X| = |8− 12| = 4
|x8 −X| = |21− 12| = 9
22 59
Exemplo (continuação)
|x1 −X| = |10− 12| = 2
|x2 −X| = |15− 12| = 3
|x3 −X| = |9− 12| = 3
|x4 −X| = |4− 12| = 8
|x5 −X| = |16− 12| = 4
|x6 −X| = |13− 12| = 1
|x7 −X| = |8− 12| = 4
|x8 −X| = |21− 12| = 9
22 59
Exemplo (continuação)
|x1 −X| = |10− 12| = 2
|x2 −X| = |15− 12| = 3
|x3 −X| = |9− 12| = 3
|x4 −X| = |4− 12| = 8
|x5 −X| = |16− 12| = 4
|x6 −X| = |13− 12| = 1
|x7 −X| = |8− 12| = 4
|x8 −X| = |21− 12| = 9
22 59
Exemplo (continuação)
|x1 −X| = |10− 12| = 2
|x2 −X| = |15− 12| = 3
|x3 −X| = |9− 12| = 3
|x4 −X| = |4− 12| = 8
|x5 −X| = |16− 12| = 4
|x6 −X| = |13− 12| = 1
|x7 −X| = |8− 12| = 4
|x8 −X| = |21− 12| = 9
22 59
Exemplo (continuação)
O DMS é a média aritmética simples destes valores:
DMS =
2 + 3 + 3 + 8 + 4 + 1 + 4 + 9
8
= 4, 25.
A partir do resultado alcançado, podemos inferir que, em média,
cada elemento da série está afastado da média por 4, 25 unidades.
23 59
Exemplo (continuação)
O DMS é a média aritmética simples destes valores:
DMS =
2 + 3 + 3 + 8 + 4 + 1 + 4 + 9
8
= 4, 25.
A partir do resultado alcançado, podemos inferir que, em média,
cada elemento da série está afastado da média por 4, 25 unidades.
23 59
Exemplo (continuação)
O DMS é a média aritmética simples destes valores:
DMS =
2 + 3 + 3 + 8 + 4 + 1 + 4 + 9
8
= 4, 25.
A partir do resultado alcançado, podemos inferir que, em média,
cada elemento da série está afastado da média por 4, 25 unidades.
23 59
Definição (Variância)
A variância mede a dispersão dos dados de observações de em
relação à respectiva média. Ela relaciona os desvios em torno da
média, isto é, é a média aritmética dos quadrados dos desvios.
24 59
Variância populacional
A variância populacional de um conjunto de dados com N ele-
mentos é:
Var. populacional = σ2 =
Σ(x−X)2
N
25 59
Exemplo
Considere novamente a série:
10︸︷︷︸
x1
15︸︷︷︸
x2
9︸︷︷︸
x3
4︸︷︷︸
x4
16︸︷︷︸
x5
13︸︷︷︸
x6
8︸︷︷︸
x7
21︸︷︷︸
x8
Já vimos que a média aritmética da série é:
X =
10 + 15 + 9 + 4 + 16 + 13 + 8 + 21
8
= 12.
Na sequência, determinamos os quadrados das diferenças.
26 59
Exemplo
Considere novamente a série:
10︸︷︷︸
x1
15︸︷︷︸
x2
9︸︷︷︸
x3
4︸︷︷︸
x4
16︸︷︷︸
x5
13︸︷︷︸
x6
8︸︷︷︸
x7
21︸︷︷︸
x8
Já vimos que a média aritmética da série é:
X =
10 + 15 + 9 + 4 + 16 + 13 + 8 + 21
8
= 12.
Na sequência, determinamos os quadrados das diferenças.
26 59
Exemplo
Considere novamente a série:
10︸︷︷︸
x1
15︸︷︷︸
x2
9︸︷︷︸
x3
4︸︷︷︸
x4
16︸︷︷︸
x5
13︸︷︷︸
x6
8︸︷︷︸
x7
21︸︷︷︸
x8
Já vimos que a média aritmética da série é:
X =
10 + 15 + 9 + 4 + 16 + 13 + 8 + 21
8
= 12.
Na sequência, determinamos os quadrados das diferenças.
26 59
Exemplo (continuação)
(x1 −X) = (10− 12)2 = (−2)2 = 4
(x2 −X) = (15− 12)2 = 32 = 9
(x3 −X) = (9− 12)2 = (−3)2 = 9
(x4 −X) = (4− 12)2 = (−8)2 = 64
(x5 −X) = (16− 12)2 = (4)2 = 16
(x6 −X) = (13− 12)2 = 12 = 1
(x7 −X) = (8− 12)2 = (−4)2 = 16
(x8 −X) = (21− 12)2 = 92 = 81
27 59
Exemplo (continuação)
(x1 −X) = (10− 12)2 = (−2)2 = 4
(x2 −X) = (15− 12)2 = 32 = 9
(x3 −X) = (9− 12)2 = (−3)2 = 9
(x4 −X) = (4− 12)2 = (−8)2 = 64
(x5 −X) = (16− 12)2 = (4)2 = 16
(x6 −X) = (13− 12)2 = 12 = 1
(x7 −X) = (8− 12)2 = (−4)2 = 16
(x8 −X) = (21− 12)2 = 92 = 81
27 59
Exemplo (continuação)
(x1 −X) = (10− 12)2 = (−2)2 = 4
(x2 −X) = (15− 12)2 = 32 = 9
(x3 −X) = (9− 12)2 = (−3)2 = 9
(x4 −X) = (4− 12)2 = (−8)2 = 64
(x5 −X) = (16− 12)2 = (4)2 = 16
(x6 −X) = (13− 12)2 = 12 = 1
(x7 −X) = (8− 12)2 = (−4)2 = 16
(x8 −X) = (21− 12)2 = 92 = 81
27 59
Exemplo (continuação)
(x1 −X) = (10− 12)2 = (−2)2 = 4
(x2 −X) = (15− 12)2 = 32 = 9
(x3 −X) = (9− 12)2 = (−3)2 = 9
(x4 −X) = (4− 12)2 = (−8)2 = 64
(x5 −X) = (16− 12)2 = (4)2 = 16
(x6 −X) = (13− 12)2 = 12 = 1
(x7 −X) = (8− 12)2 = (−4)2 = 16
(x8 −X) = (21− 12)2 = 92 = 81
27 59
Exemplo (continuação)
(x1 −X) = (10− 12)2 = (−2)2 = 4
(x2 −X) = (15− 12)2 = 32 = 9
(x3 −X) = (9− 12)2 = (−3)2 = 9
(x4 −X) = (4− 12)2 = (−8)2 = 64
(x5 −X) = (16− 12)2 = (4)2 = 16
(x6 −X) = (13− 12)2 = 12 = 1
(x7 −X) = (8− 12)2 = (−4)2 = 16
(x8 −X) = (21− 12)2 = 92 = 81
27 59
Exemplo (continuação)
(x1 −X) = (10− 12)2 = (−2)2 = 4
(x2 −X) = (15− 12)2 = 32 = 9
(x3 −X) = (9− 12)2 = (−3)2 = 9
(x4 −X) = (4− 12)2 = (−8)2 = 64
(x5 −X) = (16− 12)2 =(4)2 = 16
(x6 −X) = (13− 12)2 = 12 = 1
(x7 −X) = (8− 12)2 = (−4)2 = 16
(x8 −X) = (21− 12)2 = 92 = 81
27 59
Exemplo (continuação)
(x1 −X) = (10− 12)2 = (−2)2 = 4
(x2 −X) = (15− 12)2 = 32 = 9
(x3 −X) = (9− 12)2 = (−3)2 = 9
(x4 −X) = (4− 12)2 = (−8)2 = 64
(x5 −X) = (16− 12)2 = (4)2 = 16
(x6 −X) = (13− 12)2 = 12 = 1
(x7 −X) = (8− 12)2 = (−4)2 = 16
(x8 −X) = (21− 12)2 = 92 = 81
27 59
Exemplo (continuação)
(x1 −X) = (10− 12)2 = (−2)2 = 4
(x2 −X) = (15− 12)2 = 32 = 9
(x3 −X) = (9− 12)2 = (−3)2 = 9
(x4 −X) = (4− 12)2 = (−8)2 = 64
(x5 −X) = (16− 12)2 = (4)2 = 16
(x6 −X) = (13− 12)2 = 12 = 1
(x7 −X) = (8− 12)2 = (−4)2 = 16
(x8 −X) = (21− 12)2 = 92 = 81
27 59
Exemplo (continuação)
A seguir, somando estes valores obtemos:
Σ(xi −X)2 = 4 + 9 + 9 + 64 + 16 + 1 + 16 + 81 = 200
Aplicando-se a fórmula da variância para uma população, tere-
mos:
σ2 =
200
8
= 25.
28 59
Exemplo (continuação)
A seguir, somando estes valores obtemos:
Σ(xi −X)2 = 4 + 9 + 9 + 64 + 16 + 1 + 16 + 81 = 200
Aplicando-se a fórmula da variância para uma população, tere-
mos:
σ2 =
200
8
= 25.
28 59
Observação
Como uma medida de variação, uma desvantagem da variância é
que sua unidade de medida é diferente da unidade de medida do
conjunto de dados. Para superar esse problema, tiramos a raiz
quadrada da variância para obter o desvio padrão.
29 59
Definição (Desvio padrão)
O desvio padrão dá a noção de como os valores de determinado
conjunto estão dispersos em relação a sua média aritmética. Quer
dizer, o desvio padrão nos informa a distância média em que os
valores de determinado conjunto de dados estão em relação à
média desse conjunto.
30 59
Desvio padrão populacional
O desvio padrão populacional de um conjunto de dados populaci-
onal deN elementos é a raiz quadrada da variância populacional.
Desvio. P. populacional =
√
σ2 =
√
Σ(x−X)2
N
31 59
Exemplo (continuação)
Retomando o exemplo. Como a variância é:
σ2 =
200
8
= 25.
O desvio padrão é:
σ =
√
25 = 5.
32 59
Exemplo (continuação)
Retomando o exemplo. Como a variância é:
σ2 =
200
8
= 25.
O desvio padrão é:
σ =
√
25 = 5.
32 59
Determinando a variância e o desvio padrão populacionais
Em palavras
1. Calcule a média
2. Calcule o desvio de cada valor
3. Eleve cada desvio ao quadrado
4. Some para obter a soma dos
quadrados
5. Divida por N para obter a vari-
ância
6. Calcule a raiz para obter o desvio
padrão
Em símbolos
1. X = Σxi
N
2. xi −X
3. (xi −X)2
4. Σ(xi −X)2
5. σ2 = Σ(xi −X)
2
N
6.
√
σ2
33 59
Determinando a variância e o desvio padrão populacionais
Em palavras
1. Calcule a média
2. Calcule o desvio de cada valor
3. Eleve cada desvio ao quadrado
4. Some para obter a soma dos
quadrados
5. Divida por N para obter a vari-
ância
6. Calcule a raiz para obter o desvio
padrão
Em símbolos
1. X = Σxi
N
2. xi −X
3. (xi −X)2
4. Σ(xi −X)2
5. σ2 = Σ(xi −X)
2
N
6.
√
σ2
33 59
Determinando a variância e o desvio padrão populacionais
Em palavras
1. Calcule a média
2. Calcule o desvio de cada valor
3. Eleve cada desvio ao quadrado
4. Some para obter a soma dos
quadrados
5. Divida por N para obter a vari-
ância
6. Calcule a raiz para obter o desvio
padrão
Em símbolos
1. X = Σxi
N
2. xi −X
3. (xi −X)2
4. Σ(xi −X)2
5. σ2 = Σ(xi −X)
2
N
6.
√
σ2
33 59
Determinando a variância e o desvio padrão populacionais
Em palavras
1. Calcule a média
2. Calcule o desvio de cada valor
3. Eleve cada desvio ao quadrado
4. Some para obter a soma dos
quadrados
5. Divida por N para obter a vari-
ância
6. Calcule a raiz para obter o desvio
padrão
Em símbolos
1. X = Σxi
N
2. xi −X
3. (xi −X)2
4. Σ(xi −X)2
5. σ2 = Σ(xi −X)
2
N
6.
√
σ2
33 59
Determinando a variância e o desvio padrão populacionais
Em palavras
1. Calcule a média
2. Calcule o desvio de cada valor
3. Eleve cada desvio ao quadrado
4. Some para obter a soma dos
quadrados
5. Divida por N para obter a vari-
ância
6. Calcule a raiz para obter o desvio
padrão
Em símbolos
1. X = Σxi
N
2. xi −X
3. (xi −X)2
4. Σ(xi −X)2
5. σ2 = Σ(xi −X)
2
N
6.
√
σ2
33 59
Determinando a variância e o desvio padrão populacionais
Em palavras
1. Calcule a média
2. Calcule o desvio de cada valor
3. Eleve cada desvio ao quadrado
4. Some para obter a soma dos
quadrados
5. Divida por N para obter a vari-
ância
6. Calcule a raiz para obter o desvio
padrão
Em símbolos
1. X = Σxi
N
2. xi −X
3. (xi −X)2
4. Σ(xi −X)2
5. σ2 = Σ(xi −X)
2
N
6.
√
σ2
33 59
Determinando a variância e o desvio padrão populacionais
Em palavras
1. Calcule a média
2. Calcule o desvio de cada valor
3. Eleve cada desvio ao quadrado
4. Some para obter a soma dos
quadrados
5. Divida por N para obter a vari-
ância
6. Calcule a raiz para obter o desvio
padrão
Em símbolos
1. X = Σxi
N
2. xi −X
3. (xi −X)2
4. Σ(xi −X)2
5. σ2 = Σ(xi −X)
2
N
6.
√
σ2
33 59
Determinando a variância e o desvio padrão populacionais
Em palavras
1. Calcule a média
2. Calcule o desvio de cada valor
3. Eleve cada desvio ao quadrado
4. Some para obter a soma dos
quadrados
5. Divida por N para obter a vari-
ância
6. Calcule a raiz para obter o desvio
padrão
Em símbolos
1. X = Σxi
N
2. xi −X
3. (xi −X)2
4. Σ(xi −X)2
5. σ2 = Σ(xi −X)
2
N
6.
√
σ2
33 59
Determinando a variância e o desvio padrão populacionais
Em palavras
1. Calcule a média
2. Calcule o desvio de cada valor
3. Eleve cada desvio ao quadrado
4. Some para obter a soma dos
quadrados
5. Divida por N para obter a vari-
ância
6. Calcule a raiz para obter o desvio
padrão
Em símbolos
1. X = Σxi
N
2. xi −X
3. (xi −X)2
4. Σ(xi −X)2
5. σ2 = Σ(xi −X)
2
N
6.
√
σ2
33 59
Determinando a variância e o desvio padrão populacionais
Em palavras
1. Calcule a média
2. Calcule o desvio de cada valor
3. Eleve cada desvio ao quadrado
4. Some para obter a soma dos
quadrados
5. Divida por N para obter a vari-
ância
6. Calcule a raiz para obter o desvio
padrão
Em símbolos
1. X = Σxi
N
2. xi −X
3. (xi −X)2
4. Σ(xi −X)2
5. σ2 = Σ(xi −X)
2
N
6.
√
σ2
33 59
Determinando a variância e o desvio padrão populacionais
Em palavras
1. Calcule a média
2. Calcule o desvio de cada valor
3. Eleve cada desvio ao quadrado
4. Some para obter a soma dos
quadrados
5. Divida por N para obter a vari-
ância
6. Calcule a raiz para obter o desvio
padrão
Em símbolos
1. X = Σxi
N
2. xi −X
3. (xi −X)2
4. Σ(xi −X)2
5. σ2 = Σ(xi −X)
2
N
6.
√
σ2
33 59
Determinando a variância e o desvio padrão populacionais
Em palavras
1. Calcule a média
2. Calcule o desvio de cada valor
3. Eleve cada desvio ao quadrado
4. Some para obter a soma dos
quadrados
5. Divida por N para obter a vari-
ância
6. Calcule a raiz para obter o desvio
padrão
Em símbolos
1. X = Σxi
N
2. xi −X
3. (xi −X)2
4. Σ(xi −X)2
5. σ2 = Σ(xi −X)
2
N
6.
√
σ2
33 59
Determinando a variância e o desvio padrão populacionais
Em palavras
1. Calcule a média
2. Calcule o desvio de cada valor
3. Eleve cada desvio ao quadrado
4. Some para obter a soma dos
quadrados
5. Divida por N para obter a vari-
ância
6. Calcule a raiz para obter o desvio
padrão
Em símbolos
1. X = Σxi
N
2. xi −X
3. (xi −X)2
4. Σ(xi −X)2
5. σ2 = Σ(xi −X)
2
N
6.
√
σ2
33 59
Variância e o desvio padrão amostrais
As fórmulas para calcular a variância amostral e o desvio padrão
amostral de um conjunto de dados amostral de n elementos estão
listadas a seguir.
Var. amostral = s2 =
Σ(x−X)2
n− 1
Desvio. P. amostral =
√
s2 =
√
Σ(x−X)2
n− 1
34 59
Observações
• Se os valores dos dados se repetirem em todas as amostras,
então a variância da amostra será zero.
• Se os dados estiverem muito espalhados, então a variância
da amostra acusará um número positivo elevado.
• Uma grande variância significará uma grande dispersão dos
dados em relação à média.
• Quanto menor o desvio padrão, mais os valores da variável
se aproximam de sua média.
• Quanto maior o desvio padrão, mais significativo à heteroge-
neidade entre os elementos de um conjunto35 59
Observações
• Se os valores dos dados se repetirem em todas as amostras,
então a variância da amostra será zero.
• Se os dados estiverem muito espalhados, então a variância
da amostra acusará um número positivo elevado.
• Uma grande variância significará uma grande dispersão dos
dados em relação à média.
• Quanto menor o desvio padrão, mais os valores da variável
se aproximam de sua média.
• Quanto maior o desvio padrão, mais significativo à heteroge-
neidade entre os elementos de um conjunto
35 59
Observações
• Se os valores dos dados se repetirem em todas as amostras,
então a variância da amostra será zero.
• Se os dados estiverem muito espalhados, então a variância
da amostra acusará um número positivo elevado.
• Uma grande variância significará uma grande dispersão dos
dados em relação à média.
• Quanto menor o desvio padrão, mais os valores da variável
se aproximam de sua média.
• Quanto maior o desvio padrão, mais significativo à heteroge-
neidade entre os elementos de um conjunto
35 59
Observações
• Se os valores dos dados se repetirem em todas as amostras,
então a variância da amostra será zero.
• Se os dados estiverem muito espalhados, então a variância
da amostra acusará um número positivo elevado.
• Uma grande variância significará uma grande dispersão dos
dados em relação à média.
• Quanto menor o desvio padrão, mais os valores da variável
se aproximam de sua média.
• Quanto maior o desvio padrão, mais significativo à heteroge-
neidade entre os elementos de um conjunto
35 59
Observações
• Se os valores dos dados se repetirem em todas as amostras,
então a variância da amostra será zero.
• Se os dados estiverem muito espalhados, então a variância
da amostra acusará um número positivo elevado.
• Uma grande variância significará uma grande dispersão dos
dados em relação à média.
• Quanto menor o desvio padrão, mais os valores da variável
se aproximam de sua média.
• Quanto maior o desvio padrão, mais significativo à heteroge-
neidade entre os elementos de um conjunto
35 59
Quando conhecemos a média e o desvio padrão de um conjunto
de dados, podemos medir a posição de um elemento no conjunto
de dados com um escore padrão ou escore-z.
Definição (Escore padrão)
O escore padrão ou escore-z representa o número de desvios pa-
drão em que um valor x encontra-se a partir da média X . Para
calcular o escore-z para um valor, use a fórmula a seguir:
z =
valor−Média
Desvio padrão =
x−X
σ
36 59
Quando conhecemos a média e o desvio padrão de um conjunto
de dados, podemos medir a posição de um elemento no conjunto
de dados com um escore padrão ou escore-z.
Definição (Escore padrão)
O escore padrão ou escore-z representa o número de desvios pa-
drão em que um valor x encontra-se a partir da média X . Para
calcular o escore-z para um valor, use a fórmula a seguir:
z =
valor−Média
Desvio padrão =
x−X
σ
36 59
Observação
• Um escore-z pode ser negativo, positivo ou zero.
• Quando z é negativo, o valor x correspondente é menor do
que a média.
• Quando z for positivo, o valor x correspondente é maior que
a média.
• E, para z = 0, o valor x correspondente é igual à média.
37 59
Observação
• Um escore-z pode ser negativo, positivo ou zero.
• Quando z é negativo, o valor x correspondente é menor do
que a média.
• Quando z for positivo, o valor x correspondente é maior que
a média.
• E, para z = 0, o valor x correspondente é igual à média.
37 59
Observação
• Um escore-z pode ser negativo, positivo ou zero.
• Quando z é negativo, o valor x correspondente é menor do
que a média.
• Quando z for positivo, o valor x correspondente é maior que
a média.
• E, para z = 0, o valor x correspondente é igual à média.
37 59
Observação
• Um escore-z pode ser negativo, positivo ou zero.
• Quando z é negativo, o valor x correspondente é menor do
que a média.
• Quando z for positivo, o valor x correspondente é maior que
a média.
• E, para z = 0, o valor x correspondente é igual à média.
37 59
Exemplo
A velocidade média de veículos em um trecho de uma rodovia é de 56
milhas por hora (mph), com um desvio padrão de 4 mph. A velocidade de
três carros nesse trecho é 62 mph, 47 mph e 56 mph. Encontre o escore-z
que corresponde a cada velocidade.
Solução.
O escore-z que corresponde a cada velocidade é calculado a seguir.
z =
62− 56
4
= 1, 5
z =
47− 56
4
= −2, 25
z =
56− 56
4
= 0
38 59
Exemplo
A velocidade média de veículos em um trecho de uma rodovia é de 56
milhas por hora (mph), com um desvio padrão de 4 mph. A velocidade de
três carros nesse trecho é 62 mph, 47 mph e 56 mph. Encontre o escore-z
que corresponde a cada velocidade.
Solução.
O escore-z que corresponde a cada velocidade é calculado a seguir.
z =
62− 56
4
= 1, 5
z =
47− 56
4
= −2, 25
z =
56− 56
4
= 0
38 59
Exemplo
A velocidade média de veículos em um trecho de uma rodovia é de 56
milhas por hora (mph), com um desvio padrão de 4 mph. A velocidade de
três carros nesse trecho é 62 mph, 47 mph e 56 mph. Encontre o escore-z
que corresponde a cada velocidade.
Solução.
O escore-z que corresponde a cada velocidade é calculado a seguir.
z =
62− 56
4
= 1, 5
z =
47− 56
4
= −2, 25
z =
56− 56
4
= 0
38 59
Exemplo
A velocidade média de veículos em um trecho de uma rodovia é de 56
milhas por hora (mph), com um desvio padrão de 4 mph. A velocidade de
três carros nesse trecho é 62 mph, 47 mph e 56 mph. Encontre o escore-z
que corresponde a cada velocidade.
Solução.
O escore-z que corresponde a cada velocidade é calculado a seguir.
z =
62− 56
4
= 1, 5
z =
47− 56
4
= −2, 25
z =
56− 56
4
= 0
38 59
Exemplo
A velocidade média de veículos em um trecho de uma rodovia é de 56
milhas por hora (mph), com um desvio padrão de 4 mph. A velocidade de
três carros nesse trecho é 62 mph, 47 mph e 56 mph. Encontre o escore-z
que corresponde a cada velocidade.
Solução.
O escore-z que corresponde a cada velocidade é calculado a seguir.
z =
62− 56
4
= 1, 5
z =
47− 56
4
= −2, 25
z =
56− 56
4
= 0
38 59
Solução.
A partir dos escores-z, podemos concluir que:
• a velocidade de 62 mph está 1, 5 desvio padrão acima da mé-
dia;
• a velocidade 47 mph está 2, 25 desvios padrão abaixo da mé-
dia;
• a velocidade 56 mph é igual à média;
• O carro que viaja a 47 mph está excepcionalmente devagar,
pois sua velocidade corresponde a um escore-z de −2, 25.
39 59
Solução.
A partir dos escores-z, podemos concluir que:
• a velocidade de 62 mph está 1, 5 desvio padrão acima da mé-
dia;
• a velocidade 47 mph está 2, 25 desvios padrão abaixo da mé-
dia;
• a velocidade 56 mph é igual à média;
• O carro que viaja a 47 mph está excepcionalmente devagar,
pois sua velocidade corresponde a um escore-z de −2, 25.
39 59
Solução.
A partir dos escores-z, podemos concluir que:
• a velocidade de 62 mph está 1, 5 desvio padrão acima da mé-
dia;
• a velocidade 47 mph está 2, 25 desvios padrão abaixo da mé-
dia;
• a velocidade 56 mph é igual à média;
• O carro que viaja a 47 mph está excepcionalmente devagar,
pois sua velocidade corresponde a um escore-z de −2, 25.
39 59
Solução.
A partir dos escores-z, podemos concluir que:
• a velocidade de 62 mph está 1, 5 desvio padrão acima da mé-
dia;
• a velocidade 47 mph está 2, 25 desvios padrão abaixo da mé-
dia;
• a velocidade 56 mph é igual à média;
• O carro que viaja a 47 mph está excepcionalmente devagar,
pois sua velocidade corresponde a um escore-z de −2, 25.
39 59
Definição (Regra Empírica (ou Regra 68− 95− 99, 7))
Para conjuntos de dados com distribuições que são aproximadamente simé-
tricas e com forma de sino, o desvio padrão tem estas características:
1. Cerca de 68% dos dados encontram-se dentro do intervalo de ±1 desvio
padrão em relação à média.
[X − s,X + s]
2. Cerca de 95% dos dados encontram-se dentro do intervalo de±2 desvios
padrão em relação à média.
[X − 2s,X + 2s]
3. Cerca de 99, 7% dos dados encontram-se dentro do intervalo de ±3 des-
vios padrão em relação à média.
[X − 3s,X + 3s]
40 59
Definição(Regra Empírica (ou Regra 68− 95− 99, 7))
Para conjuntos de dados com distribuições que são aproximadamente simé-
tricas e com forma de sino, o desvio padrão tem estas características:
1. Cerca de 68% dos dados encontram-se dentro do intervalo de ±1 desvio
padrão em relação à média.
[X − s,X + s]
2. Cerca de 95% dos dados encontram-se dentro do intervalo de±2 desvios
padrão em relação à média.
[X − 2s,X + 2s]
3. Cerca de 99, 7% dos dados encontram-se dentro do intervalo de ±3 des-
vios padrão em relação à média.
[X − 3s,X + 3s]
40 59
Definição (Regra Empírica (ou Regra 68− 95− 99, 7))
Para conjuntos de dados com distribuições que são aproximadamente simé-
tricas e com forma de sino, o desvio padrão tem estas características:
1. Cerca de 68% dos dados encontram-se dentro do intervalo de ±1 desvio
padrão em relação à média.
[X − s,X + s]
2. Cerca de 95% dos dados encontram-se dentro do intervalo de±2 desvios
padrão em relação à média.
[X − 2s,X + 2s]
3. Cerca de 99, 7% dos dados encontram-se dentro do intervalo de ±3 des-
vios padrão em relação à média.
[X − 3s,X + 3s]
40 59
41 59
Exemplo
Os pratos produzidos por uma indústria têm diâmetro médio de 19cm e
desvio padrão de 0, 2cm. Dois pratos A e B cujos diâmetros medem res-
pectivamente 19, 8cm e 18, 3cm serão testados pelo Controle Estatístico
de Qualidade, que admite uma tolerância de três desvios acima e três
abaixo da média. Verifique se os pratos serão aprovados pelo controle.
Solução.
Pela regra empírica, temos:
[X − 3s,X + 3s] = [19− 3(0, 2), 19 + 3(0, 2)]
= [18, 4; 19, 6]
Logo, ambos serão reprovados.
42 59
Exemplo
Os pratos produzidos por uma indústria têm diâmetro médio de 19cm e
desvio padrão de 0, 2cm. Dois pratos A e B cujos diâmetros medem res-
pectivamente 19, 8cm e 18, 3cm serão testados pelo Controle Estatístico
de Qualidade, que admite uma tolerância de três desvios acima e três
abaixo da média. Verifique se os pratos serão aprovados pelo controle.
Solução.
Pela regra empírica, temos:
[X − 3s,X + 3s]
= [19− 3(0, 2), 19 + 3(0, 2)]
= [18, 4; 19, 6]
Logo, ambos serão reprovados.
42 59
Exemplo
Os pratos produzidos por uma indústria têm diâmetro médio de 19cm e
desvio padrão de 0, 2cm. Dois pratos A e B cujos diâmetros medem res-
pectivamente 19, 8cm e 18, 3cm serão testados pelo Controle Estatístico
de Qualidade, que admite uma tolerância de três desvios acima e três
abaixo da média. Verifique se os pratos serão aprovados pelo controle.
Solução.
Pela regra empírica, temos:
[X − 3s,X + 3s] = [19− 3(0, 2), 19 + 3(0, 2)]
= [18, 4; 19, 6]
Logo, ambos serão reprovados.
42 59
Exemplo
Os pratos produzidos por uma indústria têm diâmetro médio de 19cm e
desvio padrão de 0, 2cm. Dois pratos A e B cujos diâmetros medem res-
pectivamente 19, 8cm e 18, 3cm serão testados pelo Controle Estatístico
de Qualidade, que admite uma tolerância de três desvios acima e três
abaixo da média. Verifique se os pratos serão aprovados pelo controle.
Solução.
Pela regra empírica, temos:
[X − 3s,X + 3s] = [19− 3(0, 2), 19 + 3(0, 2)]
= [18, 4; 19, 6]
Logo, ambos serão reprovados.
42 59
Exemplo
Os pratos produzidos por uma indústria têm diâmetro médio de 19cm e
desvio padrão de 0, 2cm. Dois pratos A e B cujos diâmetros medem res-
pectivamente 19, 8cm e 18, 3cm serão testados pelo Controle Estatístico
de Qualidade, que admite uma tolerância de três desvios acima e três
abaixo da média. Verifique se os pratos serão aprovados pelo controle.
Solução.
Pela regra empírica, temos:
[X − 3s,X + 3s] = [19− 3(0, 2), 19 + 3(0, 2)]
= [18, 4; 19, 6]
Logo, ambos serão reprovados.
42 59
Propriedades das medidas de dispersão
1. Todas as medidas de dispersão são não negativas.
2. Somando-se uma mesma constante a todas as observações,
as medidas de dispersão não se alteram.
3. Ao multiplicarmos todos os dados por uma constante não
nula temos que:
I Amplitude: |k|A
I Desvio médio: |k|DMS
I Variância: k2σ2
I Desvio padrão: |k|σ
43 59
Propriedades das medidas de dispersão
1. Todas as medidas de dispersão são não negativas.
2. Somando-se uma mesma constante a todas as observações,
as medidas de dispersão não se alteram.
3. Ao multiplicarmos todos os dados por uma constante não
nula temos que:
I Amplitude: |k|A
I Desvio médio: |k|DMS
I Variância: k2σ2
I Desvio padrão: |k|σ
43 59
Propriedades das medidas de dispersão
1. Todas as medidas de dispersão são não negativas.
2. Somando-se uma mesma constante a todas as observações,
as medidas de dispersão não se alteram.
3. Ao multiplicarmos todos os dados por uma constante não
nula temos que:
I Amplitude: |k|A
I Desvio médio: |k|DMS
I Variância: k2σ2
I Desvio padrão: |k|σ
43 59
Propriedades das medidas de dispersão
1. Todas as medidas de dispersão são não negativas.
2. Somando-se uma mesma constante a todas as observações,
as medidas de dispersão não se alteram.
3. Ao multiplicarmos todos os dados por uma constante não
nula temos que:
I Amplitude: |k|A
I Desvio médio: |k|DMS
I Variância: k2σ2
I Desvio padrão: |k|σ
43 59
Propriedades das medidas de dispersão
1. Todas as medidas de dispersão são não negativas.
2. Somando-se uma mesma constante a todas as observações,
as medidas de dispersão não se alteram.
3. Ao multiplicarmos todos os dados por uma constante não
nula temos que:
I Amplitude: |k|A
I Desvio médio: |k|DMS
I Variância: k2σ2
I Desvio padrão: |k|σ
43 59
Propriedades das medidas de dispersão
1. Todas as medidas de dispersão são não negativas.
2. Somando-se uma mesma constante a todas as observações,
as medidas de dispersão não se alteram.
3. Ao multiplicarmos todos os dados por uma constante não
nula temos que:
I Amplitude: |k|A
I Desvio médio: |k|DMS
I Variância: k2σ2
I Desvio padrão: |k|σ
43 59
Propriedades das medidas de dispersão
1. Todas as medidas de dispersão são não negativas.
2. Somando-se uma mesma constante a todas as observações,
as medidas de dispersão não se alteram.
3. Ao multiplicarmos todos os dados por uma constante não
nula temos que:
I Amplitude: |k|A
I Desvio médio: |k|DMS
I Variância: k2σ2
I Desvio padrão: |k|σ
43 59
Definição (Coeficiente de variação)
Quando se deseja comparar a variabilidade de duas ou mais dis-
tribuições, mesmo quando elas se referem a diferentes fenôme-
nos e são expressas em unidades de medida distintas, usa-se a
razão entre o desvio padrão e a média, chamada de coeficiente
de variação de Pearson.
44 59
Coeficiente de variação
O coeficiente de variação para um conjunto de n observações é
definido como o quociente entre o desvio padrão e a média arit-
mética da distribuição:
CV =
s
X
× 100.
O coeficiente de variação é, portanto, a magnitude relativa do des-
vio padrão expresso em porcentagem da média:
45 59
Coeficiente de variação
Alguns autores consideram a seguinte regra empírica para a inter-
pretação do coeficiente de variação:
• Baixa dispersão: C.V. ≤ 15%
• Média dispersão: 15% < C.V < 30%
• Alta dispersão: C.V. ≥ 30%
46 59
Exemplo
Considere novamente a série:
10︸︷︷︸
x1
15︸︷︷︸
x2
9︸︷︷︸
x3
4︸︷︷︸
x4
16︸︷︷︸
x5
13︸︷︷︸
x6
8︸︷︷︸
x7
21︸︷︷︸
x8
Já vimos que a média aritmética da série é:
X =
10 + 15 + 9 + 4 + 16 + 13 + 8 + 21
8
= 12.
E o desvio padrão é s = 5. Logo:
CV =
s
X
× 100 ⇒ CV = 5
12
× 100 = 0, 416667 ou 41, 6667%
Portanto, a série tem uma alta dispersão.
47 59
Exemplo
Considere novamente a série:
10︸︷︷︸
x1
15︸︷︷︸
x2
9︸︷︷︸
x3
4︸︷︷︸
x4
16︸︷︷︸
x5
13︸︷︷︸
x6
8︸︷︷︸
x7
21︸︷︷︸
x8
Já vimos que a média aritmética da série é:
X =
10 + 15 + 9 + 4 + 16 + 13 + 8 + 21
8
= 12.
E o desvio padrão é s = 5. Logo:
CV =
s
X
× 100 ⇒ CV = 5
12
× 100 = 0, 416667 ou 41, 6667%
Portanto, a série tem uma alta dispersão.
47 59
Exemplo
Considere novamente a série:
10︸︷︷︸
x1
15︸︷︷︸
x2
9︸︷︷︸
x3
4︸︷︷︸
x4
16︸︷︷︸
x5
13︸︷︷︸
x6
8︸︷︷︸
x7
21︸︷︷︸
x8
Já vimos que a média aritmética da série é:
X =
10 + 15 + 9 + 4 + 16 + 13 + 8 + 21
8
= 12.
E o desvio padrão é s = 5. Logo:
CV =
s
X
× 100 ⇒ CV = 5
12
× 100 = 0, 416667 ou41, 6667%
Portanto, a série tem uma alta dispersão.
47 59
Exemplo
Considere novamente a série:
10︸︷︷︸
x1
15︸︷︷︸
x2
9︸︷︷︸
x3
4︸︷︷︸
x4
16︸︷︷︸
x5
13︸︷︷︸
x6
8︸︷︷︸
x7
21︸︷︷︸
x8
Já vimos que a média aritmética da série é:
X =
10 + 15 + 9 + 4 + 16 + 13 + 8 + 21
8
= 12.
E o desvio padrão é s = 5. Logo:
CV =
s
X
× 100
⇒ CV = 5
12
× 100 = 0, 416667 ou 41, 6667%
Portanto, a série tem uma alta dispersão.
47 59
Exemplo
Considere novamente a série:
10︸︷︷︸
x1
15︸︷︷︸
x2
9︸︷︷︸
x3
4︸︷︷︸
x4
16︸︷︷︸
x5
13︸︷︷︸
x6
8︸︷︷︸
x7
21︸︷︷︸
x8
Já vimos que a média aritmética da série é:
X =
10 + 15 + 9 + 4 + 16 + 13 + 8 + 21
8
= 12.
E o desvio padrão é s = 5. Logo:
CV =
s
X
× 100 ⇒ CV = 5
12
× 100 = 0, 416667 ou 41, 6667%
Portanto, a série tem uma alta dispersão.
47 59
Exemplo
Considere novamente a série:
10︸︷︷︸
x1
15︸︷︷︸
x2
9︸︷︷︸
x3
4︸︷︷︸
x4
16︸︷︷︸
x5
13︸︷︷︸
x6
8︸︷︷︸
x7
21︸︷︷︸
x8
Já vimos que a média aritmética da série é:
X =
10 + 15 + 9 + 4 + 16 + 13 + 8 + 21
8
= 12.
E o desvio padrão é s = 5. Logo:
CV =
s
X
× 100 ⇒ CV = 5
12
× 100 = 0, 416667 ou 41, 6667%
Portanto, a série tem uma alta dispersão.
47 59
Definição (Amplitude interquartil)
A amplitude interquartil, ou distância interquartil, é uma medida
de variabilidade que não é facilmente influenciada por valores
discrepantes no conjunto de dados. Ela engloba 50% das observa-
ções centrais do conjunto de dados e seu cálculo é definido como:
Amplitude do interquartil = AIQ = Q3 −Q1
48 59
Observação
Um outlier foi descrito como um valor que está muito distante dos
demais valores do conjunto de dados. Uma forma de identificar
outliers é usando a amplitude interquartil.
49 59
Usando a amplitude interquartil para identificar outliers
1. Encontre o primeiro (Q1) e o terceiro (Q3) quartis do conjunto
de dados.
2. Encontre a amplitude interquartil: AIQ = Q3 −Q1.
3. Multiplique a AIQ por 1, 5:
4. Subtraia 1, 5AIQ de Q1
I Qualquer valor menor que Q1 − 1, 5AIQ é um outlier.
5. Adicione 1, 5AIQ de Q3
I Qualquer valor maior que Q3 + 1, 5AIQ é um outlier.
50 59
Usando a amplitude interquartil para identificar outliers
1. Encontre o primeiro (Q1) e o terceiro (Q3) quartis do conjunto
de dados.
2. Encontre a amplitude interquartil: AIQ = Q3 −Q1.
3. Multiplique a AIQ por 1, 5:
4. Subtraia 1, 5AIQ de Q1
I Qualquer valor menor que Q1 − 1, 5AIQ é um outlier.
5. Adicione 1, 5AIQ de Q3
I Qualquer valor maior que Q3 + 1, 5AIQ é um outlier.
50 59
Usando a amplitude interquartil para identificar outliers
1. Encontre o primeiro (Q1) e o terceiro (Q3) quartis do conjunto
de dados.
2. Encontre a amplitude interquartil: AIQ = Q3 −Q1.
3. Multiplique a AIQ por 1, 5:
4. Subtraia 1, 5AIQ de Q1
I Qualquer valor menor que Q1 − 1, 5AIQ é um outlier.
5. Adicione 1, 5AIQ de Q3
I Qualquer valor maior que Q3 + 1, 5AIQ é um outlier.
50 59
Usando a amplitude interquartil para identificar outliers
1. Encontre o primeiro (Q1) e o terceiro (Q3) quartis do conjunto
de dados.
2. Encontre a amplitude interquartil: AIQ = Q3 −Q1.
3. Multiplique a AIQ por 1, 5:
4. Subtraia 1, 5AIQ de Q1
I Qualquer valor menor que Q1 − 1, 5AIQ é um outlier.
5. Adicione 1, 5AIQ de Q3
I Qualquer valor maior que Q3 + 1, 5AIQ é um outlier.
50 59
Usando a amplitude interquartil para identificar outliers
1. Encontre o primeiro (Q1) e o terceiro (Q3) quartis do conjunto
de dados.
2. Encontre a amplitude interquartil: AIQ = Q3 −Q1.
3. Multiplique a AIQ por 1, 5:
4. Subtraia 1, 5AIQ de Q1
I Qualquer valor menor que Q1 − 1, 5AIQ é um outlier.
5. Adicione 1, 5AIQ de Q3
I Qualquer valor maior que Q3 + 1, 5AIQ é um outlier.
50 59
Usando a amplitude interquartil para identificar outliers
1. Encontre o primeiro (Q1) e o terceiro (Q3) quartis do conjunto
de dados.
2. Encontre a amplitude interquartil: AIQ = Q3 −Q1.
3. Multiplique a AIQ por 1, 5:
4. Subtraia 1, 5AIQ de Q1
I Qualquer valor menor que Q1 − 1, 5AIQ é um outlier.
5. Adicione 1, 5AIQ de Q3
I Qualquer valor maior que Q3 + 1, 5AIQ é um outlier.
50 59
Usando a amplitude interquartil para identificar outliers
1. Encontre o primeiro (Q1) e o terceiro (Q3) quartis do conjunto
de dados.
2. Encontre a amplitude interquartil: AIQ = Q3 −Q1.
3. Multiplique a AIQ por 1, 5:
4. Subtraia 1, 5AIQ de Q1
I Qualquer valor menor que Q1 − 1, 5AIQ é um outlier.
5. Adicione 1, 5AIQ de Q3
I Qualquer valor maior que Q3 + 1, 5AIQ é um outlier.
50 59
Exemplo (Relembrando o exercicio)
O número de usinas nucleares nos 15 maiores produtores de energia nuclear
no mundo está listado a seguir.
7 20 16 6 58 9 20 50 23 33 8 10 15 16 104
Encontre o primeiro, o segundo e o terceiro quartis do conjunto de dados. O
que você observa?
Solução.
Primeiro, ordene o conjunto de dados:
6 7 8 9 10 15 16 16 20 20 23 33 50 58 104
• Primeiro quartil:
P =
n+ 1
4
⇒ P = 15 + 1
4
= 4
O número que está na posição 4 é o primeiro quartil, logo Q1 = 9.
51 59
Exemplo (Relembrando o exercicio)
O número de usinas nucleares nos 15 maiores produtores de energia nuclear
no mundo está listado a seguir.
7 20 16 6 58 9 20 50 23 33 8 10 15 16 104
Encontre o primeiro, o segundo e o terceiro quartis do conjunto de dados. O
que você observa?
Solução.
Primeiro, ordene o conjunto de dados:
6 7 8 9 10 15 16 16 20 20 23 33 50 58 104
• Primeiro quartil:
P =
n+ 1
4
⇒ P = 15 + 1
4
= 4
O número que está na posição 4 é o primeiro quartil, logo Q1 = 9.
51 59
Exemplo (Relembrando o exercicio)
O número de usinas nucleares nos 15 maiores produtores de energia nuclear
no mundo está listado a seguir.
7 20 16 6 58 9 20 50 23 33 8 10 15 16 104
Encontre o primeiro, o segundo e o terceiro quartis do conjunto de dados. O
que você observa?
Solução.
Primeiro, ordene o conjunto de dados:
6 7 8 9 10 15 16 16 20 20 23 33 50 58 104
• Primeiro quartil:
P =
n+ 1
4
⇒ P = 15 + 1
4
= 4
O número que está na posição 4 é o primeiro quartil, logo Q1 = 9.
51 59
Exemplo (Relembrando o exercicio)
O número de usinas nucleares nos 15 maiores produtores de energia nuclear
no mundo está listado a seguir.
7 20 16 6 58 9 20 50 23 33 8 10 15 16 104
Encontre o primeiro, o segundo e o terceiro quartis do conjunto de dados. O
que você observa?
Solução.
Primeiro, ordene o conjunto de dados:
6 7 8 9 10 15 16 16 20 20 23 33 50 58 104
• Primeiro quartil:
P =
n+ 1
4
⇒ P = 15 + 1
4
= 4
O número que está na posição 4 é o primeiro quartil, logo Q1 = 9.
51 59
continuação.
• Segundo quartil:
P =
n+ 1
2
⇒ P = 15 + 1
2
= 8
O número que está na posição 8 é o segundo quartil, logo
Q2 = 16.
• Terceiro quartil:
P =
3(n+ 1)
4
⇒ P = 3(15 + 1)
4
= 12
O número que está na posição 12 é o terceiro quartil, logo
Q3 = 33.
52 59
continuação.
• Segundo quartil:
P =
n+ 1
2
⇒ P = 15 + 1
2
= 8
O número que está na posição 8 é o segundo quartil, logo
Q2 = 16.
• Terceiro quartil:
P =
3(n+ 1)
4
⇒ P = 3(15 + 1)
4
= 12
O número que está na posição 12 é o terceiro quartil, logo
Q3 = 33.
52 59
continuação.
• Segundo quartil:
P =
n+ 1
2
⇒ P = 15 + 1
2
= 8
O número que está na posição 8 é o segundo quartil, logo
Q2 = 16.
• Terceiro quartil:
P =
3(n+ 1)
4
⇒ P = 3(15 + 1)
4
= 12
O número que está na posição 12 é o terceiro quartil, logo
Q3 = 33.
52 59
continuação.
• Segundo quartil:
P =
n+ 1
2
⇒ P = 15 + 1
2
= 8
O número que está na posição 8 é o segundo quartil, logo
Q2 = 16.
• Terceiro quartil:
P =
3(n+ 1)
4
⇒ P = 3(15 + 1)
4
= 12
O número que está na posição 12 é o terceiro quartil, logo
Q3 = 33.
52 59
continuação.
Temos que Q1 = 9 e Q3 = 33. Então, a amplitude interquartil é:
AIQ = Q3 −Q1 = 33− 9 = 24.
Para identificar quaisquer outliers, primeiro devemos notar que:
1, 5(AIQ) = 1, 5(24) = 36.
Assim:
Q1 − 1, 5(AIQ) = 9− 36 = −27
Temos também:
Q3 + 1, 5(AIQ) = 33 + 36 = 69.
Logo, 104 é um outlier.
53 59
continuação.
Temos que Q1 = 9 e Q3 = 33. Então, a amplitude interquartil é:
AIQ = Q3 −Q1 = 33− 9 = 24.
Para identificar quaisquer outliers, primeiro devemos notar que:
1, 5(AIQ) = 1, 5(24) = 36.Assim:
Q1 − 1, 5(AIQ) = 9− 36 = −27
Temos também:
Q3 + 1, 5(AIQ) = 33 + 36 = 69.
Logo, 104 é um outlier.
53 59
continuação.
Temos que Q1 = 9 e Q3 = 33. Então, a amplitude interquartil é:
AIQ = Q3 −Q1 = 33− 9 = 24.
Para identificar quaisquer outliers, primeiro devemos notar que:
1, 5(AIQ) = 1, 5(24) = 36.
Assim:
Q1 − 1, 5(AIQ) = 9− 36 = −27
Temos também:
Q3 + 1, 5(AIQ) = 33 + 36 = 69.
Logo, 104 é um outlier.
53 59
continuação.
Temos que Q1 = 9 e Q3 = 33. Então, a amplitude interquartil é:
AIQ = Q3 −Q1 = 33− 9 = 24.
Para identificar quaisquer outliers, primeiro devemos notar que:
1, 5(AIQ) = 1, 5(24) = 36.
Assim:
Q1 − 1, 5(AIQ) = 9− 36 = −27
Temos também:
Q3 + 1, 5(AIQ) = 33 + 36 = 69.
Logo, 104 é um outlier.
53 59
continuação.
Temos que Q1 = 9 e Q3 = 33. Então, a amplitude interquartil é:
AIQ = Q3 −Q1 = 33− 9 = 24.
Para identificar quaisquer outliers, primeiro devemos notar que:
1, 5(AIQ) = 1, 5(24) = 36.
Assim:
Q1 − 1, 5(AIQ) = 9− 36 = −27
Temos também:
Q3 + 1, 5(AIQ) = 33 + 36 = 69.
Logo, 104 é um outlier.
53 59
continuação.
Temos que Q1 = 9 e Q3 = 33. Então, a amplitude interquartil é:
AIQ = Q3 −Q1 = 33− 9 = 24.
Para identificar quaisquer outliers, primeiro devemos notar que:
1, 5(AIQ) = 1, 5(24) = 36.
Assim:
Q1 − 1, 5(AIQ) = 9− 36 = −27
Temos também:
Q3 + 1, 5(AIQ) = 33 + 36 = 69.
Logo, 104 é um outlier.
53 59
Exemplo
Um gerente de banco deseja estudar a movimentação de pessoas
em sua agência na segunda semana de um mês qualquer. Ele
constata que no primeiro dia entraram 1348 pessoas, no segundo
dia, 1260 pessoas, no terceiro, 1095, no quarto, 832 e no último dia
do levantamento, 850 pessoas. Encontre a amplitude, o desvio-
padrão, a variância e o coeficiente de variação para este conjunto
de dados e interprete os resultados.
54 59
Solução - Amplitude.
A amplitude é dada por:
A = Xmáx − xmin
⇒ A = 1348− 832 = 516 pessoas.
A diferença, no número de pessoas que entram na agência, entre
o dia de maior movimento e o dia de menor movimento é de 516
pessoas.
55 59
Solução - Amplitude.
A amplitude é dada por:
A = Xmáx − xmin ⇒ A = 1348− 832 = 516 pessoas.
A diferença, no número de pessoas que entram na agência, entre
o dia de maior movimento e o dia de menor movimento é de 516
pessoas.
55 59
Solução - Amplitude.
A amplitude é dada por:
A = Xmáx − xmin ⇒ A = 1348− 832 = 516 pessoas.
A diferença, no número de pessoas que entram na agência, entre
o dia de maior movimento e o dia de menor movimento é de 516
pessoas.
55 59
Solução - Variância.
Primeiramente, encontramos a média:
X =
1348 + 1260 + 1095 + 832 + 850
5
= 1077
Em seguida, os desvios:
Pessoas X Desvio (d)
1348 1077 1348− 1077 = 271
1260 1077 1260− 1077 = 183
1095 1077 1095− 1077 = 18
832 1077 832− 1077 = −245
850 1077 850− 1077 = −277
Σxi = 5385 Σ(xi −X) = 0
56 59
Solução - Variância.
Primeiramente, encontramos a média:
X =
1348 + 1260 + 1095 + 832 + 850
5
= 1077
Em seguida, os desvios:
Pessoas X Desvio (d)
1348 1077 1348− 1077 = 271
1260 1077 1260− 1077 = 183
1095 1077 1095− 1077 = 18
832 1077 832− 1077 = −245
850 1077 850− 1077 = −277
Σxi = 5385 Σ(xi −X) = 0
56 59
Solução - Variância.
Primeiramente, encontramos a média:
X =
1348 + 1260 + 1095 + 832 + 850
5
= 1077
Em seguida, os desvios:
Pessoas X Desvio (d)
1348 1077 1348− 1077 = 271
1260 1077 1260− 1077 = 183
1095 1077 1095− 1077 = 18
832 1077 832− 1077 = −245
850 1077 850− 1077 = −277
Σxi = 5385 Σ(xi −X) = 0
56 59
Solução - Variância.
Primeiramente, encontramos a média:
X =
1348 + 1260 + 1095 + 832 + 850
5
= 1077
Em seguida, os desvios:
Pessoas X Desvio (d)
1348 1077 1348− 1077 = 271
1260 1077 1260− 1077 = 183
1095 1077 1095− 1077 = 18
832 1077 832− 1077 = −245
850 1077 850− 1077 = −277
Σxi = 5385 Σ(xi −X) = 0
56 59
Solução - Variância.
Primeiramente, encontramos a média:
X =
1348 + 1260 + 1095 + 832 + 850
5
= 1077
Em seguida, os desvios:
Pessoas X Desvio (d)
1348
1077
1348− 1077 = 271
1260
1077
1260− 1077 = 183
1095
1077
1095− 1077 = 18
832
1077
832− 1077 = −245
850
1077
850− 1077 = −277
Σxi = 5385 Σ(xi −X) = 0
56 59
Solução - Variância.
Primeiramente, encontramos a média:
X =
1348 + 1260 + 1095 + 832 + 850
5
= 1077
Em seguida, os desvios:
Pessoas X Desvio (d)
1348 1077
1348− 1077 = 271
1260
1077
1260− 1077 = 183
1095
1077
1095− 1077 = 18
832
1077
832− 1077 = −245
850
1077
850− 1077 = −277
Σxi = 5385 Σ(xi −X) = 0
56 59
Solução - Variância.
Primeiramente, encontramos a média:
X =
1348 + 1260 + 1095 + 832 + 850
5
= 1077
Em seguida, os desvios:
Pessoas X Desvio (d)
1348 1077 1348− 1077 = 271
1260
1077
1260− 1077 = 183
1095
1077
1095− 1077 = 18
832
1077
832− 1077 = −245
850
1077
850− 1077 = −277
Σxi = 5385 Σ(xi −X) = 0
56 59
Solução - Variância.
Primeiramente, encontramos a média:
X =
1348 + 1260 + 1095 + 832 + 850
5
= 1077
Em seguida, os desvios:
Pessoas X Desvio (d)
1348 1077 1348− 1077 = 271
1260 1077
1260− 1077 = 183
1095
1077
1095− 1077 = 18
832
1077
832− 1077 = −245
850
1077
850− 1077 = −277
Σxi = 5385 Σ(xi −X) = 0
56 59
Solução - Variância.
Primeiramente, encontramos a média:
X =
1348 + 1260 + 1095 + 832 + 850
5
= 1077
Em seguida, os desvios:
Pessoas X Desvio (d)
1348 1077 1348− 1077 = 271
1260 1077 1260− 1077 = 183
1095
1077
1095− 1077 = 18
832
1077
832− 1077 = −245
850
1077
850− 1077 = −277
Σxi = 5385 Σ(xi −X) = 0
56 59
Solução - Variância.
Primeiramente, encontramos a média:
X =
1348 + 1260 + 1095 + 832 + 850
5
= 1077
Em seguida, os desvios:
Pessoas X Desvio (d)
1348 1077 1348− 1077 = 271
1260 1077 1260− 1077 = 183
1095 1077
1095− 1077 = 18
832
1077
832− 1077 = −245
850
1077
850− 1077 = −277
Σxi = 5385 Σ(xi −X) = 0
56 59
Solução - Variância.
Primeiramente, encontramos a média:
X =
1348 + 1260 + 1095 + 832 + 850
5
= 1077
Em seguida, os desvios:
Pessoas X Desvio (d)
1348 1077 1348− 1077 = 271
1260 1077 1260− 1077 = 183
1095 1077 1095− 1077 = 18
832
1077
832− 1077 = −245
850
1077
850− 1077 = −277
Σxi = 5385 Σ(xi −X) = 0
56 59
Solução - Variância.
Primeiramente, encontramos a média:
X =
1348 + 1260 + 1095 + 832 + 850
5
= 1077
Em seguida, os desvios:
Pessoas X Desvio (d)
1348 1077 1348− 1077 = 271
1260 1077 1260− 1077 = 183
1095 1077 1095− 1077 = 18
832 1077
832− 1077 = −245
850
1077
850− 1077 = −277
Σxi = 5385 Σ(xi −X) = 0
56 59
Solução - Variância.
Primeiramente, encontramos a média:
X =
1348 + 1260 + 1095 + 832 + 850
5
= 1077
Em seguida, os desvios:
Pessoas X Desvio (d)
1348 1077 1348− 1077 = 271
1260 1077 1260− 1077 = 183
1095 1077 1095− 1077 = 18
832 1077 832− 1077 = −245
850
1077
850− 1077 = −277
Σxi = 5385 Σ(xi −X) = 0
56 59
Solução - Variância.
Primeiramente, encontramos a média:
X =
1348 + 1260 + 1095 + 832 + 850
5
= 1077
Em seguida, os desvios:
Pessoas X Desvio (d)
1348 1077 1348− 1077 = 271
1260 1077 1260− 1077 = 183
1095 1077 1095− 1077 = 18
832 1077 832− 1077 = −245
850 1077
850− 1077 = −277
Σxi = 5385 Σ(xi −X) = 0
56 59
Solução - Variância.
Primeiramente, encontramos a média:
X =
1348 + 1260 + 1095 + 832 + 850
5
= 1077
Em seguida, os desvios:
Pessoas X Desvio (d)
1348 1077 1348− 1077 = 271
1260 1077 1260− 1077 = 183
1095 1077 1095− 1077 = 18
832 1077 832− 1077 = −245
850 1077 850− 1077 = −277
Σxi = 5385 Σ(xi −X) = 0
56 59
Solução - Variância.
Primeiramente, encontramos a média:
X =
1348 + 1260 + 1095 + 832 + 850
5
= 1077
Em seguida, os desvios:
Pessoas X Desvio (d)
1348 1077 1348− 1077 = 271
1260 1077 1260− 1077 = 183
1095 1077 1095− 1077 = 18
832 1077 832− 1077 = −245
850 1077 850− 1077 = −277
Σxi = 5385
Σ(xi −X) = 0
56 59
Solução - Variância.
Primeiramente, encontramos a média:
X =
1348 + 1260 + 1095 + 832 + 850
5
= 1077
Em seguida, os desvios:
Pessoas X Desvio (d)
1348 1077 1348− 1077 = 271
1260 1077 1260− 1077 = 183
1095 1077 1095− 1077 = 18
832 1077 832− 1077 = −245
850 1077 850− 1077 = −277
Σxi = 5385 Σ(xi −X) = 0
56 59
Solução - Variância.
Agora, elevamos os desvios ao quadradoe somamos:
Σ(xi −X)2 = (271)2 + (183)2 + (18)2 + (−245)2 + (−227)2
Σ(xi −X)2 = 73441 + 33489 + 324 + 60025 + 51529
Σ(xi −X)2 = 218808
Aplicamos a fórmula da variância
amostral!
:
s2 =
Σ(xi −X)2
n− 1
⇒ s2 = 218808
5− 1
⇒ s2 = 54702 pessoas.
57 59
Solução - Variância.
Agora, elevamos os desvios ao quadrado e somamos:
Σ(xi −X)2 = (271)2 + (183)2 + (18)2 + (−245)2 + (−227)2
Σ(xi −X)2 = 73441 + 33489 + 324 + 60025 + 51529
Σ(xi −X)2 = 218808
Aplicamos a fórmula da variância
amostral!
:
s2 =
Σ(xi −X)2
n− 1
⇒ s2 = 218808
5− 1
⇒ s2 = 54702 pessoas.
57 59
Solução - Variância.
Agora, elevamos os desvios ao quadrado e somamos:
Σ(xi −X)2 = (271)2 + (183)2 + (18)2 + (−245)2 + (−227)2
Σ(xi −X)2 = 73441 + 33489 + 324 + 60025 + 51529
Σ(xi −X)2 = 218808
Aplicamos a fórmula da variância
amostral!
:
s2 =
Σ(xi −X)2
n− 1
⇒ s2 = 218808
5− 1
⇒ s2 = 54702 pessoas.
57 59
Solução - Variância.
Agora, elevamos os desvios ao quadrado e somamos:
Σ(xi −X)2 = (271)2 + (183)2 + (18)2 + (−245)2 + (−227)2
Σ(xi −X)2 = 73441 + 33489 + 324 + 60025 + 51529
Σ(xi −X)2 = 218808
Aplicamos a fórmula da variância
amostral!
:
s2 =
Σ(xi −X)2
n− 1
⇒ s2 = 218808
5− 1
⇒ s2 = 54702 pessoas.
57 59
Solução - Variância.
Agora, elevamos os desvios ao quadrado e somamos:
Σ(xi −X)2 = (271)2 + (183)2 + (18)2 + (−245)2 + (−227)2
Σ(xi −X)2 = 73441 + 33489 + 324 + 60025 + 51529
Σ(xi −X)2 = 218808
Aplicamos a fórmula da variância
amostral!
:
s2 =
Σ(xi −X)2
n− 1
⇒ s2 = 218808
5− 1
⇒ s2 = 54702 pessoas.
57 59
Solução - Variância.
Agora, elevamos os desvios ao quadrado e somamos:
Σ(xi −X)2 = (271)2 + (183)2 + (18)2 + (−245)2 + (−227)2
Σ(xi −X)2 = 73441 + 33489 + 324 + 60025 + 51529
Σ(xi −X)2 = 218808
Aplicamos a fórmula da variância amostral!:
s2 =
Σ(xi −X)2
n− 1
⇒ s2 = 218808
5− 1
⇒ s2 = 54702 pessoas.
57 59
Solução - Variância.
Agora, elevamos os desvios ao quadrado e somamos:
Σ(xi −X)2 = (271)2 + (183)2 + (18)2 + (−245)2 + (−227)2
Σ(xi −X)2 = 73441 + 33489 + 324 + 60025 + 51529
Σ(xi −X)2 = 218808
Aplicamos a fórmula da variância amostral!:
s2 =
Σ(xi −X)2
n− 1
⇒ s2 = 218808
5− 1
⇒ s2 = 54702 pessoas.
57 59
Solução - Variância.
Agora, elevamos os desvios ao quadrado e somamos:
Σ(xi −X)2 = (271)2 + (183)2 + (18)2 + (−245)2 + (−227)2
Σ(xi −X)2 = 73441 + 33489 + 324 + 60025 + 51529
Σ(xi −X)2 = 218808
Aplicamos a fórmula da variância amostral!:
s2 =
Σ(xi −X)2
n− 1
⇒ s2 = 218808
5− 1
⇒ s2 = 54702 pessoas.
57 59
Solução - Variância.
Agora, elevamos os desvios ao quadrado e somamos:
Σ(xi −X)2 = (271)2 + (183)2 + (18)2 + (−245)2 + (−227)2
Σ(xi −X)2 = 73441 + 33489 + 324 + 60025 + 51529
Σ(xi −X)2 = 218808
Aplicamos a fórmula da variância amostral!:
s2 =
Σ(xi −X)2
n− 1
⇒ s2 = 218808
5− 1
⇒ s2 = 54702 pessoas.
57 59
Solução - Desvio padrão.
Para calcular o desvio padrão, basta tirar a raiz da variância:
s =
√
54702 ⇒ s = 233, 8 pessoas.
O número de pessoas que entram na agência varia, mas, tipica-
mente, a diferença em relação à média foi de aproximadamente
234 pessoas.
58 59
Solução - Desvio padrão.
Para calcular o desvio padrão, basta tirar a raiz da variância:
s =
√
54702 ⇒ s = 233, 8 pessoas.
O número de pessoas que entram na agência varia, mas, tipica-
mente, a diferença em relação à média foi de aproximadamente
234 pessoas.
58 59
Solução - Desvio padrão.
Para calcular o desvio padrão, basta tirar a raiz da variância:
s =
√
54702 ⇒ s = 233, 8 pessoas.
O número de pessoas que entram na agência varia, mas, tipica-
mente, a diferença em relação à média foi de aproximadamente
234 pessoas.
58 59
Solução - Coeficiente de variação.
Já conhecemos os valores da média aritmética e do desvio-
padrão, agora basta calcular o coeficiente de variação:
CV =
s
X
× 100
CV =
233, 88
1077
× 100
CV = 0, 2172 ou 21, 72%
Utilizando a regra empírica, podemos dizer que o conjunto de da-
dos apresenta uma média dispersão.
59 / 59
Solução - Coeficiente de variação.
Já conhecemos os valores da média aritmética e do desvio-
padrão, agora basta calcular o coeficiente de variação:
CV =
s
X
× 100
CV =
233, 88
1077
× 100
CV = 0, 2172 ou 21, 72%
Utilizando a regra empírica, podemos dizer que o conjunto de da-
dos apresenta uma média dispersão.
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Solução - Coeficiente de variação.
Já conhecemos os valores da média aritmética e do desvio-
padrão, agora basta calcular o coeficiente de variação:
CV =
s
X
× 100
CV =
233, 88
1077
× 100
CV = 0, 2172 ou 21, 72%
Utilizando a regra empírica, podemos dizer que o conjunto de da-
dos apresenta uma média dispersão.
59 / 59
Solução - Coeficiente de variação.
Já conhecemos os valores da média aritmética e do desvio-
padrão, agora basta calcular o coeficiente de variação:
CV =
s
X
× 100
CV =
233, 88
1077
× 100
CV = 0, 2172 ou 21, 72%
Utilizando a regra empírica, podemos dizer que o conjunto de da-
dos apresenta uma média dispersão.
59 / 59
Solução - Coeficiente de variação.
Já conhecemos os valores da média aritmética e do desvio-
padrão, agora basta calcular o coeficiente de variação:
CV =
s
X
× 100
CV =
233, 88
1077
× 100
CV = 0, 2172 ou 21, 72%
Utilizando a regra empírica, podemos dizer que o conjunto de da-
dos apresenta uma média dispersão.
59 / 59
	Medidas de dispersão
	Dados não-agrupados